平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第1讲偏好、效用与消费者的基本问题)
平新乔课后习题详解(第1讲--偏好、效用与消费者的基本问题)
平新乔《微观经济学十八讲》第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。
对于（2）和（3）题，写出效用函数。
（1）王力喜欢喝汽水x ，但是厌恶吃冰棍y 。
（2）李楠既喜欢喝汽水x ，又喜欢吃冰棍y ，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。
（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水x 就要吃两根冰棍y ，当然汽水和冰棍对他而言是多多益善。
（4）杨琳对于有无汽水x 喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍y 。
答：（1）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图1-1所示（图中箭头表示更高的效用方向）。
图1-1 喜欢喝汽水厌恶吃冰棍（2）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为(),23u x y x y =+，相应的无差异曲线如图1-2所示。
图1-2 既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍（3）消费者对这两种商品的效用函数为(),min ,2y u x y x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，如图1-3所示。
图1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍（4）如图1-4所示，其中x 为中性品。
图1-4 对于有无汽水喝毫不在意2．作图：如果一个人的效用函数为(){}1212,max ,u x x x x =（1）请画出三条无差异曲线。
（2）如果11p =，22p =，10y =。
请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。
答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。
图1-5 无差异曲线和最优点（2）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品，最优点如图1-5中的A 点所示，在该点此人消费10个单位的1x ，0个单位的2x 。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(一般均衡与福利经济学的两个基本定理)
第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS = 从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈。
系统内存在I （I 为正整数）个消费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为ik e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：()10ni ik k k k i Ii Ip x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：()()()11n i i i ik k k n k k k i Ii Ii Ii Ii i nkki Ii Ii i k ki Ii Ip x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
平新乔微观经济学第18讲
者绿色上凸区域加黄色缺角矩形区域面积）；
（张五常 佃农理论 商务印书馆 第三章）
而事实上，当以上的每项契约的达成都是需要交易成本的，比如商定和执行合约条款 的费用、对条款中的数值标准的测定、以及双方在商定之前收集信息所需要的费用、在合 约中的产权的全部或者是部分转让、以及在生产中各种投入要素的相互协调所要的花费成 本等等；
3、生产总成本为企业所有员工（人数×每人工资）的工资与每单位产量的平均成本：
18-10-6 12/13/2005 9:48:54 PM
第十八讲 企业的性质、边界与产权
m
∑ C(Q) = si−1 ⋅ (β m−iwO ) + γ ⋅ Q i =1
m
∑ C(Q) = wO ⋅ si−1 ⋅ β m−i + γ ⋅ Q i =1
此时，无论地主是完全自己耕作还是完全给佃农耕作，或者两者结合，其结果都是会得到蓝色半
凸区域的地租总额，这一地租额等于定额租约条件下的地租额；
而当地主实行分成合约时，佃农的工资总额为绿色半凸区域加上绿色矩形区域，而地主的地租总
额为蓝色双凸区域，因为此时的佃农工资总额超过了他从事其他的经济活动的所得；在“均衡”
其中（ β > 1; 1 ≤ i ≤ m ）；
β m−1 ⋅ wO β m−2 ⋅ wO β m−i ⋅ wO
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平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 22222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
第一讲___偏好、效用与消费者的
二、偏好与效用（理性假设）
• 完备性：任何两个消费束都是可以比 较的，消费者可以对任意两个消费束 做出偏好判断。 •( x , x )( y , y ) 或 ( y1 , y 2 )( x1 , x2 ) 1 2 1 2
• 完备性公理是说任何两种消费方案都可以比较。 • 其实，在现实生活中，总存在着“难以比较”的 情况。之所以出现这种情况，是因为人们对事情 真相不了解，掌握的信息不完全。消费评价也是 这样，如果消费者的信息不完全，就可能对某两 种消费方案无法进行评价。比如，若不了解股票 信息，那么是买多好还是买少好，就很难作出判 断。因此，信息是判断和评价的根本依据。 • 作了上述解释，便可看出，偏好关系的完全性意 味着消费者掌握着关于所有可行消费方案的所有 信息。
一、效用函数的定义 所谓效用是指消费者通过消费一定数量商品而获得的满足程度， 效用函数则刻画满足水平与所消费商品数量之间的关系。 假若消费者只选择消费两种商品 x1 和 x 2 ，其效用函数可表示成 若消费者选择 n 种商品数量，u u ( x1 , , x n ) u (x) ，x 为 u u ( x1 , x 2 ) ， 消费束。 我们一般可以定义效用函数为一个实函数 u ： R n R ， R n 称 为 u 的定义域， R 称为 u 的值域。设消费束 x R n ，则称 u (x) R 为消 费束 x 在映射 u 下的像或解。实际上，效用函数 u 是消费商品集的单 值映射。
[tx1 (1 t ) y1 , tx2 (1 t ) y 2 ] ( x1 , x2 )or( y1 , y 2 )
严格凸偏好不但是凸的，而且是弱凸的， 并且严格凸偏好下的无差异曲线不会包含 直线段，更不会“厚”，而是既薄又弯。
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平新乔《微观经济学十八讲》第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。
对于（2）和（3）题，写出效用函数。
（1）王力喜欢喝汽水，但是厌恶吃冰棍。
x y （2）李楠既喜欢喝汽水，又喜欢吃冰棍，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异x y 的。
（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水就要吃两根冰棍，当然汽水和冰棍对他而言x y 是多多益善。
（4）杨琳对于有无汽水喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍。
x y 答：（1）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图1-1所示（图中箭头表示更高的效用方向）。
图1-1 喜欢喝汽水厌恶吃冰棍（2）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为，相应的无差异曲线如图1-2所示。
(),23u x y x y =+图1-2 既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍（3）消费者对这两种商品的效用函数为，如图1-3所示。
(),min ,2y u x y x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭图1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍（4）如图1-4所示，其中为中性品。
x图1-4 对于有无汽水喝毫不在意2．作图：如果一个人的效用函数为(){}1212,max ,u x x x x =（1）请画出三条无差异曲线。
（2）如果，，。
请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。
11p =22p =10y =答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。
图1-5 无差异曲线和最优点（2）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品，最优点如图1-5中的点所示，在该点此人消费10个单位的A ，0个单位的。
第1章--偏好、效用与消费者的基本问题ppt课件
26
2020/3/31
二、效用函数的导数：边际效用
边际效用是新增一个单位商品的消费所增加的 总效用。
边际效用的数学表达式就是效用函数的一阶偏导 数。
边际效用递减规律： 边际效用随着商品消费数量的增加而不断减小。
边际效用递减规律的数学含义是什么？
27
2020/3/31
三、边际替代率
是在保证效用水平不变的条件下，若消费者减 少一种商品的消费数量则需要增加的另一种商 品的数量。
满足这三个公理的偏好就是理性的或是一致的 （rational or consistent）
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2020/3/31
其他两种关系
强偏好关系
a f成b立，但 %
不b 成f 立a，记做 %
af b
无差异关系：
a f和b b同f时a成立，记为 %%
a: b
消费集中相互之间无差异的元素组成的子集就是 无差异集。
对 于 所 有 的 x0,x1 R n,u(x0)u(x1)， 当 且 仅 当 x0fx1 。 效用函数
偏好% 关系
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2020/3/31
效用函数的存在定理
定理1：如果消费集是有限集，且偏好关系是 理性的，则存在一个代表该偏好关系的效用函 数。
定理2：如果理性的偏好关系满足连续性和严 格单调性，那么必存在一个可以代表该偏好关 系的连续的效用函数。
x 1 f x 2 和 x 2 f x 1 两 者 必 有 一 个 成 立 % %
这就是说，任意两个消费束之间是可以进行比较 的。
9
2020/3/31
（2）偏好关系的自反性：一个消费束至少应当 与其自身一样好。
xX
xf x %
（3）偏好关系的传递性：
平新乔18讲01-02
平新乔十八讲第一讲偏好与效用§1 消费集与偏好关系一、选择（五类选择问题）1、1个人从n个目标中选一（资源有限，择优）2、社会的选择：Match-exchangeA个人B个人X Y3、m个人X （选择冲突解决机制）凭价格低限排队（标准：配额）价格机制不起作用；或没有让价格机制发挥作用。
（人为的不正常排队）4、m个人在n个目标中选一：（社会选择）对目标排序，m个人偏好加总5、m个人同时从n个目标中选择：（股市）一般均衡价格机制是解决选择中冲突的一种机制，另外一种解决方法是实行配额，即凭证供应。
价格和配额都是对人们无穷欲望的一种限制。
除此之外，还有更高层次的途径，即修身、自觉，但那是通过道德约束与调节对欲望的自我节制。
而经济学假定人们的自觉程度不高，在人的最起码的道德低限（利己但不损人）这一假定下展开。
一般采取价格机制，有时也采取配额的手段，二者各有优劣。
二、消费集（选择集）1、购买三要素：欲望（x）、能力-钱（Y）、价格-付费（向量P=（P1，P2……Pn））。
对于每一个消费计划x : x=(x1，x2……x n ), x i代表对物品i的计划消费量。
所有的消费计划的集合记为消费集X=R n+。
收入（钱数）Y≥P·x, 预算集可表示为：（P,Y）。
欲望x：x∈消费集X；偏好关系（x1,x2……x m）∈X，即x R, x g的取舍关系。
2、消费集的性质：（1）、X 是R 的非空子集，即X ≠φ且X ∈R n +。
（2）、X 为闭集，即X 中所有的极限点都包含在X 之内。
（3）、X 为凸集，①经济含义：若x i ∈X, x g ∈X, 则∀λ∈［0，1］必有(1)i gx x X λλ+-∈。
即x i 与x g无限细分单位的线性组合仍包含在该消费集内，假定每一个消费计划中的商品是无限可分的。
但实际上，商品具有自然单位，非无限可分，这里存在理论与实际的差距。
②生活中还是有办法让x i 与x g 接近于无限可分的，如房子的消费额 x 1无限细分就表示分期付款，租用电脑，可按天、月等收费。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第3讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应习)
平新乔《微观经济学十八讲》第3讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．证明：如果一个消费者只消费两种商品，假设是1x 与2x ，那么它们不可能都是劣等品。
证明：劣等品是指随着消费者收入的增加，其需求量减少的商品。
如果假设(),i x p m 是第i 种商品的马歇尔需求函数，那么商品i 是劣等品就意味着(),0i x p m m∂<∂。
对于消费两种商品的消费者，如下的预算约束恒成立：()()11212212,,,,p p p m p p x p x m m += ①①式两边关于收入m 求导，得到：()()11221212,,,,1x p p m x p p m p p mm∂∂+=∂∂ ②对于消费两种商品的消费者，等式②恒成立。
假设商品1和2都是劣等品，那么就有(),0i x p m m∂<∂，1i =或2，从而②式左边恒小于零，等式②不成立，这与假设矛盾！所以如果一个消费者只消费两种商品，那么它们不可能都是劣等品。
2．如果偏好是凹的，替代效应仍然为负吗？答：如果偏好是凹的，替代效应不一定为负，但肯定是非正的。
分析如下： 一种商品的替代效应是指价格变化引起商品需求量的总变化当中，仅仅因为该商品和其他商品之间的相对价格变化而引起的需求量的变化。
替代效应包括希克斯替代效应和斯拉茨基替代效应。
希克斯替代效应是指保持消费者的效用不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图3-1所示）；斯拉茨基替代效应是指保持消费者的购买能力不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图3-2所示）。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第5讲 风险规避、风险投资与跨期决策)
平新乔《微观经济学十八讲》第5讲 风险规避、风险投资与跨期决策跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．一个农民认为在下一个播种的季节里，雨水不正常的可能性是一半对一半。
他的预期效用函数的形式为：预期效用11ln ln 22NR R y y =+这里，NR y 与R y 分别代表农民在“正常降雨”与“多雨”情况下的收入。
（1）假定农民一定要在两种如表5-1所示收入前景的谷物中进行选择的话，会种哪种谷物？表5-1 小麦和谷子在不同天气状况下的收入 单位：元（2）假定农民在他的土地上可以每种作物都播种一半的话，他还会选择这样做吗？请解释你的结论。
（3）怎样组合小麦与谷子才可以给这个农民带来最大的预期效用？（4）如果对于只种小麦的农民，有一种要花费4000元的保险，在种植季节多雨的情况下会赔付8000元，那么，这种有关小麦种植的保险会怎样改变农民的种植情况？解：（1）农民种小麦的预期效用()w E u 为：()()60.5ln 280000.5ln100000.5ln 28010w E u =+=⨯农民种谷子的预期效用()c E u 为：()()60.5ln190000.5ln150000.5ln 28510c E u =+=⨯因为()()w c E u E u <，所以农民会种谷子。
（2）若农民在土地上每种作物都播种一半，他不会选择继续只种谷子。
如果农民在他的土地上每种作物各种一半，他的收益如表5-2所示：表5-2 混合种植时不同天气状况下的收入 单位：元从而他的预期效用()E u 为：()()60.5ln 235000.5ln125000.5ln 293.7510E u =+=⨯由于()()()w c E u E u E u <<，所以农民会混合种植。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题和强化习题详解(1-3讲)【圣才出品】
lim
→0
1
x1 ln x1 1 x1
+ +
2 2
x2 x2
ln
x2
= exp
1 ln x1 +
2 ln x2
=
x1 1
x2 2
1 + 2 = 1
1
( ) （3）当 → − 时，对效用函数 u( x1, x2 ) = 1x1 + 2 x2 两边变换求极限有：
( ) ( ) lim u
3 / 62
4．设
u
(
x1,
x2
)
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
，这里
x1，x2
R+
。
（1）证明： x1 与 x2 的边际效用都递减。
（2）请给出一个效用函数形式，但该形式不具备边际效用递减的性质。
答：（1）将 u
关于
x1
和
x2
分别求二阶偏导数得
2u x12
=
−
1 2x12
y)
=
min
x,
y 2
，如图
1-3
所示。
图 1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍 （4）如图 1-4 所示，其中 x 为中性品。
图 1-4 对于有无汽水喝毫不在意
2．作图：如果一个人的效用函数为 u ( x1, x2 ) = maxx1, x2
2 / 62
（1）请画出三条无差异曲线。 （2）如果 p1 = 1 ， p2 = 2 ， y = 10 。请在图 1-5 上找出该消费者的最优消费组合。 答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图 1-5 所示。
平新乔-微观十八讲答案
第七讲18%9.一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品.每个工厂生产相同的产品且每个工厂的生产函数都是q=(K i L i) 1/2（i=1,2）,但是K1=25，K2=100，K 与L的租金价格由w=r=1元给出。
（1）如果该企业家试图最小化短期生产总成本，产出应如何分配。
（5%）min{STC}= min{125+L1 +L2}S.T 5 L11/2+10L21/2≥QL(L1 ,L2)=125+ L1 +L2+λ[ Q-(5 L11/2+10L21/2 )]F.O.C(一阶条件) :1=5/2*λ* L1-1/21=10/2*λ* L2-1/2将两式相除得L2=4 L1再代入5 L11/2+10L21/2=Q得q1=5* L11/2=1/5Q ，q2=10* L21/2=4/5Q（2）给定最优分配，计算短期总成本、平均成本、边际成本曲线。
产量为100、125、200时的边际成本是多少？（5%）STC(Q)=125+5* L1=125+Q2/125SAC(Q)=125/Q+Q/125SMC(Q)=2/125*Q SMC(Q=100)=1.6, SMC(Q=125)=2, SMC(Q=200)=3.2（3）长期应如何分配？计算长期总成本、平均成本、边际成本。
（5%）min{LTC}= min{ K1+ K2+L1 +L2}S.T (K1 L1) 1/2 +(K2 L2) 1/2≥QL(L1 ,L2,K1,K2)= K1+ K2+ L1 +L2+λ[ Q-(K1 L1) 1/2 -(K2 L2) 1/2 )]F.O.C 1=1/2*λ*(K1/ L1 ) 1/21=1/2*λ*(K2/ L2 ) 1/21=1/2*λ*(L1/ K1 ) 1/21=1/2*λ*(L2/ K2 ) 1/2从而有K1/ L1 =K2/ L2，K1=L1，K2= L2所以L1+L2=Q,分配比例任意LC(Q)=2(L1+L2)=2Q LAC=2 LMC=2（4）如果两个厂商呈现规模报酬递减，则第三问会有什么变化？（3%）如果两个厂商呈现规模报酬递减则长期总成本、平均成本、边际成本均是产量的增函数。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第4讲--VNM效用函数与风险升水)
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1．（单项选择）一个消费者的效用函数为()bw u w ae c -=-+，则他的绝对风险规避系数为：（A ）a （B ）a b + （C ）b （D ）c【答案】C【解析】由消费者的效用函数()bw u w ae c -=-+，可得()bw u'w abe -=，()2bw u w ab e -''=-，则可得该消费者的风险规避系数为：()()()2bwa bwab e R w u w w b abe ---=-"'=-=。
2．证明：若一个人的绝对风险规避系数为常数c ，则其效用函数形式必为()cw u w e -=-，这里w 代表财产水平。
证明：这是一个求积分的问题，即由绝对风险规避系数来倒求效用函数。
根据绝对风险规避系数的定义，就有：()()()a u w R w c u w "=-='对等式（1）最后一个等号两边积分得：()()d d u w w c w u w "=-⎰⎰' 即：()ln u w cw C '=-+。
进一步整理得：()cw C cw u w e Ce -+-'== ①其中0C C e =>，对①式两边积分得：()1cw C u w e C c-=-+ 其中1C 为任意实数。
根据效用函数的单调递增特性可知0c >（因为如果0c <，就说明财富越少，消费者的效用就越高，这不符合正常的情况）。
平新乔微观经济学十八讲》答案
p1c + p2 s = M
（**）
s = 2M
c= M
综合*与**式，可以得到， p1 + 2 p2 ， p1 + 2 p 2
6
第一讲 偏好、效用……
s′ = 2M
c′ = M
如果价格变成
p1′
和
p
′
2
，同样可以得到
p1′ + 2 p2′ ，
p1′ + 2 p2′ ．咖啡和糖的
消费比例不会发生变化．
2 x12
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5. 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2 )
=
x2
5
第一讲 偏好、效用……
当 x1 = x2 时，有 t(x1, x2 ) ≡ x1 = x2 综上所述，当 ρ → −∞ 时，原效用函数描述的偏好关系趋近于
u(x1, x2 ) = min{x1, x2} 所描述的偏好关系．
如果α1 与α 2 满足α1 + α 2 = 1 ，那么当 ρ → −∞ 时，同时有效用函数
为 p1′ 和 p2′ ，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？
解：咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品（perfect complements），即她的效用函数可以表 示为（假设她的偏好满足单调性）：
平新乔十八讲课后习题答案
;
因为 x1 为常数，把之代入（3）式得：
x2
=
m
− αp2 p2
2-11-1
（1） （2） （3）
第二讲 间接效用函数与支出函数
x2
•
•
• m = p1x1 + p2x2
x1
=
αp2 p1
u = α ln x1 + x2
效用函数为拟线 性 曲 线 u = v(x1) + x2
可知，其中 x 1 的需
把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：
11，（1） u′ = 2
x1
=
αm p1
；
√
x2
=
(1 − α )m p2
（2） u′ = 2v−3(v > 0) √
（3） u′ = −2v−3(v > 0) ×
（4） u′ = v−1(v > 0) √
（5） u′ = ve−v (v > 0) √
（6） u′ = 2v(v > 0) √
⎫ ⎬
⎩ a1 a2 ⎭
当a
=1则
y
=
Min
⎧ ⎨
x1
;
x2
⎫ ⎬
，而当 a
不指定时，则存
⎩ a1 a2 ⎭
在多种表示形式（但它们都无伤大雅），萧锋的效用函数也可 写为 u(x, y) = min(2x, y) ；
2
x2
u(x1, x2 ) = max(x1, x2 )
10 = x1 + 2x2
• x1
（2）
lim ln u(x)
ρ →0
=
lim
ρ →0
1 ρ
ln(α1x1ρ
平新乔十八讲答案第三讲
10以需求函数 为例，试分析为什么在需求曲线缺乏弹性的部分经营不可能产生最大利润．
分析：该需求的弹性表达式为
，
需求曲线缺乏弹性时，有
．
经营的总收益为 ，
考虑企业的成本函数 ，其中 ， ，
企业的利润函数为 ．
最大利润产生在利润对价格一阶导等于零的地方：
．
9判断对错并简要说明理由：
和 是一个消费者消费的两种物品，我们说 是 的替代品，如果 ， 为 的价格．如果 是 的替代品，则 也是 的替代品．
答：按照替代品的定义，第一句正确．第二句错误．
用斯勒兹基恒等式来分析，记 为 对 的替代效应， 为收入，有
，
和 符号均为负，但每个式子中的收入效应是不确定的．因此 ，并不意味着 一定成立．
证明：征税前消费者的消费者剩余为
，
费者剩余为
．
政府征税所获收入为
．
因此， ．和
即消费者剩余的损失总是超过政府通过征税而获得的收入．
16设一个消费者只消费两类商品，他在 元， 元时购买了 ， ．现在， 下降至8元， 上升至6元．问该消费者的生活水平在价格变动后提高了还是降低了？为什么？
令 为调整收入以保持购买力条件下，对商品1的消费量． 为为保持购买力对收入进行调整后得到的收入．有：
，
．
其中，斯拉茨基替代效应 为
，
收入效应 为
．
4.2请根据计算，验证恩格尔加总规则．
解：由4.1知
， ， ， ．
因此
，
恩格尔加总规则成立．
5（单项选择）当价格是（3，1）时，某个消费者选择的消费束是 ．在新的价格 下，他选择的消费束是 ，若此消费者的行为满足显示偏好的弱公里，那么必定有：
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该偏好满足单调性吗？满足凸性吗？为什么？你能从生活中举出一个例子对应这种偏 好关系吗？
解：（1）该偏好满足严格凸性，理由如下： 无差异曲线 x1 x2 c 的图像如图 1-3 所示，可知其偏好满足严格凸性。
图 1-3 无差异曲线
将无差异曲线 u x1, x2
若灾区人民获得的是棉被，则其最优化问题为：
maxU
x1 , x2
x1, x2
s.t. m p g x2 p x1
①
x1 g
若灾区人民获得的是现金，则其最优化问题为：
maxU
x1 , x2
x1, x2
②
s.t. m c x2 p x1
由于最优化问题①和②的目标函数式相同，但是①的预算集（即 x1 和 x2 的取值范围）
x1
x2 c 转化为 x2 c
2
x1 ，则有：
dx2 dx1
1
1 cx1 2
0
，
d2 x2 d x12
1 2
cx1
3 2
0
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则满足这种性质的函数会严格凸向原点，故其偏好必定满足严格凸性。 （2）该偏好满足单调性，满足凸性，但不满足严格凸性。理由如下： 根据函数可大致画出其图像，如图 1-4 所示：
3．下列函数可以作为马歇尔需求函数吗？为什么？
xi
p1 2
pi w
p2 2
p3 2
，i
1, 2, 3
答：这个函数可以作为马歇尔需求函数，理由如下：
马歇尔需求函数需要满足下列性质：
（1）在 p, w 上具有零次齐次性：
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平新乔《微观经济学十八讲》第讲
偏好、效用与消费者的基本问题
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．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。
对于（）和（）题，写出效用函数。
（）王力喜欢喝汽水x ，但是厌恶吃冰棍y 。
（）李楠既喜欢喝汽水x ，又喜欢吃冰棍
y ，
但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。
（）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水x 就要吃两根冰棍
y ，当然汽水和冰棍对他而言是多多益善。
（）杨琳对于有无汽水x 喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍y 。
答：（）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图所示（图中箭
头表示更高的效用方向）。
图喜欢喝汽水厌恶吃冰棍
（）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为,23u x y
x
y ，
相应的无差异曲线如图所示。
图既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍
（）消费者对这两种商品的效用函数为
,min ,
2
y
u x y
x ，如图所示。
图
喝一杯汽水就要吃两根冰棍
（）如图所示，其中
x 为中性品。
图对于有无汽水喝毫不在意
．作图：如果一个人的效用函数为1212
,max ,u x x x x （）请画出三条无差异曲线。
（）如果1
1p ，2
2p ，10y。
请在图上找出该消费者的最优消费组合。
答：（）由效用函数画出的三条无差异曲线如图所示。
图
无差异曲线和最优点
（）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，
即他会将所有收入都
用于购买相对便宜的商品，最优点如图中的A 点所示，在该点此人消费个单位的
1x ，个单
位的2x 。
．下列说法对吗？为什么？若某个消费者的偏好可以由效用函数2
2121
122
,10250u x x x
x x x
来描述，那么对此
消费者而言，商品和商品是完全替代的。
答：此说法正确。