微观经济学 第3讲-偏好和效用

• 假设效用函数是
效用 x y
2 2
• 对于这个例子，如下的变形比较简单
U*(x,y) = [U(x,y)]2 = x2 + y2
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无差异曲线的凸性
• 因此,
U * x 2 x x MRS U * 2y y y
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效用函数的例子
• 柯布－道格拉斯效用函数
效用 = U(x,y) = xy
其中 和 是正常数
– 和的相对大小表示了商品的相对重要程度
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效用函数的例子
• 完全替代
效用 = U(x,y) = x + y
y的数量
无差异曲线是线性的。沿着无差异曲线， MRS是常数。
U3
U1
U2
x的数量
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效用函数的例子
• 完全互补
效用 = U(x,y) = min (x, y)
y的数量
MRS 递减的假设等价于假设所有好于 x* 和y* 的x 和y 的组合构成一个凸集。
y* U1
x的数量
x*
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凸性
• 如果无差异曲线是凸的, 那么组合 (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2 既好于 (x1,y1)也好与(x2,y2)。
y的数量
这意味着 “平衡的” 商品束好于着重关注一种商品的 消费束。
• 在任何一条无差异曲线上, 效用都是常数 (dU = 0)
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推导 MRS
• 因此, 我们得到:
U MRS dy dx
U 常数
x U y
• MRS 是 x 的边际效用与 y 的边际效用的 比率
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边际效用递减和MRS
• 从直觉上看, 边际效用递减假设和 MRS 递 减有关联
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效用
• 效用受到商品消费量、消费者心理态度、 群体压力、个人经验和文化环境的影响 • 经济学家一般关注消费数量，假设其他影 响效用的因素不变
– 其他条件不变 假设
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效用
• 假定消费者必须在消费品 x1, x2,…, xn中选 择 • 消费者的排序可以用如下形式的效用函数 表示:
效用 = U(x1, x2,…, xn; 其他因素)
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位似偏好
• 对于一般的柯布－道格拉斯函数, MRS 为
U y x MRS 1 U x y x y y x
1
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非位似偏好
• 一些效用函数不表示位似偏好
效用 = U(x,y) = x + ln y
U x 1 y MRS U 1 y y
• 整理可得
U MRS ( xi 对 x j ) dx j dxi xi U x j
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多商品无差异曲面
• 无差异曲面是 n 维点集，满足方程
U(x1,x2,…xn) = k
其中 k 是任意事先指定的常数
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多商品无差异曲面
• 如果效用函数是拟凹的, 满足 U k 的点 集是凸集
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效用和MRS
MRS = -dy/dx = 100/x2
• 注意随着 x 的增加, MRS 下降
– x = 5, MRS = 4 – x = 20, MRS = 0.25
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边际效用
• 假设那个一个消费者具有下列形式的效 用函数
效用 = U(x,y)
• U的全微分是
dU U x dx U y dy
– 递减的 MRS 要求效用函数是拟凹的
• 这不依赖于如何测量效用
– 递减的边际效用依赖于如何测量效用
• 因此, 这两个概念是不同的
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无差异曲线的凸性
• 假设效用函数是
效用 x y
• 我们可以通过对这个函数取对数来简化代 数运算
U*(x,y) = ln[U(x,y)] = 0.5 ln x + 0.5 ln y
消费者选择理论
• 目标：市场需求曲线 • 方法：个人需求曲线加总
– 目标函数－偏好公理（第3章） – 约束－预算约束线（第4章） – 最优化－选择理论（第4章） – 参数变化－个人需求曲线（第5、6章）
1
第3讲
偏好和效用
2
理性选择公理
• 完备性
– 如果 A 和 B 是任意两种状态, 一个人总是可 以确切识别下列可能性之一:
• A 好于 B • B 好于 A • A 和 B 一样好
3
理性选择公理
• 传递性
– 如果A 好于 B, 同时 B 好于 C, 那么 A 好于 C – 假定人们的选择具有内在一致性
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理性选择公理
• 连续性
– 如果A 好于 B, 那么足够 “接近” A 的状态 也一定好于B – 用于分析人们对于收入和价格微小变化的反 应
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效用
• 给定这些假设, 可以证明人们能够将所有可 能的状态进行排序 • 经济学家称这个排序为 效用
– 如果A 好于 B, 那么赋予 A 的效用超过赋予B 的效用
U(A) > U(B)
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效用
• 效用排序在本质上是序数的
– 它们表示了人们对于商品束的相对获得意愿
• 因为效用测量不是唯一的, 考虑从 A 中可 以比 B 多获得多少效用是没有意义的 • 也不可能在人们之间比较效用
– 位于 U = k 这个无差异曲面上任意两点的连 线都有U k
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无差异曲线的凸性
• 因此,
U * 0 .5
x x y MRS U * 0 .5 x y y
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无差异曲线的凸性
• 如果效用函数是
U(x,y) = x + xy + y
• 对于效用函数变形没有什么好处, 因此
U x 1 y MRS U 1 x y
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无差异曲线的凸性
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多商品情况
• 假定包含 n 种商品的效用函数为
效用 = U(x1, x2,…, xn)
• U 的全微分为
U x1 U x 2 U x n
dU
Leabharlann Baidu
dx1
dx 2 ...
dx n
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多商品情况
• 通过令 dU = 0，我们可以得到任意两种 商品之间的 MRS
dU 0 U xi dxi U x j dx j
y1 y2 U1
x的数量
x1 x2
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边际替代率
• 随着 x 和 y 的变化，MRS随之变化
– 反映了消费者为了x 而交易 y 的意愿
y的数量
在 (x1, y1), 无差异曲线比较陡峭。这表示为了获得额外一单位x 人们愿意放弃更多的y。
y1 y2 U1
在(x2, y2), 无差异曲线比较平缓. 这表示 为了获得额外一单位x人们愿意放弃较少 的y。
y的数量
无差异曲线是 L形的。 仅仅当两种商品 都增加的时候效用才增加。
U3 U2
U1
x的数量
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效用函数的例子
• CES效用 (常替代弹性) 当 0 效用= U(x,y) = x/ + y/ 当 = 0 效用 = U(x,y) = ln x + ln y 当
– 完全替代 = 1 – 柯布－道格拉斯 = 0 – 完全互补 = -
B
但是， B 好于 A，这因为 B 比A 包含了更多的x和y
U2 U1
x的数量
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边际商品替代率
• 无差异曲线任意一点斜率的负数被称作 边 际替代率 (MRS)
y的数量
MRS
y1 y2
dy dx
U U1
U1
x的数量
x1 x2
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凸性
• 一个点集是 凸集，如果任何两个点的连线 还全部处于这个集合内。
– 这个函数对于保持排序不变的变换是唯一的
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经济物品
• 在效用函数中, x 被假设为 “商品”
– 多比少好
y的数量 好于 x*, y*
?
y*
劣于 x*, y*
x*
?
x的数量
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无差异曲线
• 一条 无差异曲线 表示消费者看来无差异 的商品束组成的集合
y的数量
组合(x1, y1) 和 (x2, y2) 为消费者提供了相同水平的效用
y1 (y1 + y2)/2 y2 U1
x的数量
x1 (x1 + x2)/2 x2
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效用和MRS
• 假设一个消费者对于汉堡 (y) 和软饮料 (x) 的偏好可以表示为
效用 10 x y
• 解出 y
y = 100/x
• 解出 MRS = -dy/dx:
MRS = -dy/dx = 100/x2
x的数量
x1 x2
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无差异曲线图
• 每一点一定有一条无差异曲线通过
y的数量
效用增加
U3 U2
U1 < U2 < U3
x的数量
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U1
传递性
• 任意两条无差异曲线能相交吗?
消费者认为 A 和 C无差异。同时，消费者认为 B 和C也没有差异。传递性要求消费者应该认为 A 和 B没有差异
y的数量
C A
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位似偏好
• 如果 MRS 仅仅依赖两种商品数量的比率 , 不依赖于商品的绝对数量, 效用函数就 是 位似的
– 完全替代 MRS 在每点都相同 – 完全互补 如果y/x > / 那么MRS = , 如 果 y/x = /就没有定义, 并且如果 y/x < / 那么MRS = 0