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f( u )(x ) f[(x ) ](x )
f[(x )] (x )d x F [(x ) ] C [ f(u)d]uu(x)
注意 使用此公式的关键在于
f [( x ) ( ] x ) d x f(( x ) d ) ( x ) F (( x ) C )
2
2
u2x
1eud u1euC1e2xC .
2
2
2
定理3-1 设 f(u)具有原 F(u)u ,函 (x数 )可导
则有换元公式
f[(x)](x)d x[f(u )d]u u (x) F [(x ) ]C
证明
dF[(x)]F(u)(x)
dx
性质3-3 kf(x)dxk f (x)dx
（ k是 常 数 ， k0)
性质3-4 [f(x)g(x)d ] xf(x)d xg(x)dx
基本积分公式
(1) xd x x 1 1C(1);(2) dxxlnxC
(3) axdxa x C ln a
1
1 x2
)dx
x 3 x arctan x C 3
例3-4（2）求tan2 xdx
解 ta2nxdx(se2cx1)dx
taxn xC
例3-4（3）求 x(x25)dx
解 x(x25)dx
5
1
(x2 5x2)dx
1x72 10x23 C 73
即将 f[(x ) ](x )d拼 x f凑 ((x )d ) 成 (x )
例3-5（1）求
a2
1
x2
dx.
解
a2
1
x2 dx
1 a2
f[(x )] (x )d x F [(x ) ] C [ f(u)d]uu(x)
注意 使用此公式的关键在于
f [( x ) ( ] x ) d x f(( x ) d ) ( x ) F (( x ) C )
2
2
u2x
1eud u1euC1e2xC .
2
2
2
定理3-1 设 f(u)具有原 F(u)u ,函 (x数 )可导
则有换元公式
f[(x)](x)d x[f(u )d]u u (x) F [(x ) ]C
证明
dF[(x)]F(u)(x)
dx
性质3-3 kf(x)dxk f (x)dx
（ k是 常 数 ， k0)
性质3-4 [f(x)g(x)d ] xf(x)d xg(x)dx
基本积分公式
(1) xd x x 1 1C(1);(2) dxxlnxC
(3) axdxa x C ln a
1
1 x2
)dx
x 3 x arctan x C 3
例3-4（2）求tan2 xdx
解 ta2nxdx(se2cx1)dx
taxn xC
例3-4（3）求 x(x25)dx
解 x(x25)dx
5
1
(x2 5x2)dx
1x72 10x23 C 73
即将 f[(x ) ](x )d拼 x f凑 ((x )d ) 成 (x )
例3-5（1）求
a2
1
x2
dx.
解
a2
1
x2 dx
1 a2
医用高等数学第四章课件
医用高等数学第四章课件
医用高等数学第四章课件将为你带来微积分的基本概念、导数定义和性质、 求导法则、高阶导数、微分法等内容。让我们一起探索数学的美妙世界！
微积分基本概念
正向无穷大和负向无穷小
学习微积分的核心思想，理解函数在无穷大和无穷小的极限行为。
数列和数列极限
掌握数列的概念，了解数列极限的计算方法和性质。
常见数学函数的高阶导数
研究各类常见数学函数的高阶导 数，包括幂函数、指数函数和三 角函数等。
隐函数求导
一阶隐函数求导
学习一阶隐函数求导的方法，解决隐函数求导问题。
高阶隐函数求导
深入研究高阶隐函数求导，掌握隐函数求导与高阶导数的联系。
隐函数求导的实际应用
探索隐函数求导在实际问题中的应用，如医学图像处理和经济学模型分析。
函数和函数极限
认识函数的特性，学习函数极限的求解和运算规则。
导数的定义
1 导数的几何意义
探索导数与函数图像的联系，理解导数的几何解释。
2 导数的物理意义
发现导数在物理学中的应用，讨论速度、加速度和导数之间的关系。
3 导数的计算方法
学习导数的基本运算法则，掌握导数的计算技巧。
导数的性质
1
可加性和可乘性
微分法
1
微分的定义
理解微分的概念和几何意义，推导出微分的计算公式。
2
微分法的应用
探索微分法在近似计算和最优化问题中的应用，如极值问题和泰勒公式。
3
微分方程
引入微分方程的概念，研究微分方程与医学模型的关系。
向量的基本概念
1 向量的定义和表示
2 向量的运算
了解向量的定义，学习向 量表示的不同方法和性质。
掌握向量的加法、减法和 数量积运算，理解向量运 算的几何意义。
医用高等数学第四章课件将为你带来微积分的基本概念、导数定义和性质、 求导法则、高阶导数、微分法等内容。让我们一起探索数学的美妙世界！
微积分基本概念
正向无穷大和负向无穷小
学习微积分的核心思想，理解函数在无穷大和无穷小的极限行为。
数列和数列极限
掌握数列的概念，了解数列极限的计算方法和性质。
常见数学函数的高阶导数
研究各类常见数学函数的高阶导 数，包括幂函数、指数函数和三 角函数等。
隐函数求导
一阶隐函数求导
学习一阶隐函数求导的方法，解决隐函数求导问题。
高阶隐函数求导
深入研究高阶隐函数求导，掌握隐函数求导与高阶导数的联系。
隐函数求导的实际应用
探索隐函数求导在实际问题中的应用，如医学图像处理和经济学模型分析。
函数和函数极限
认识函数的特性，学习函数极限的求解和运算规则。
导数的定义
1 导数的几何意义
探索导数与函数图像的联系，理解导数的几何解释。
2 导数的物理意义
发现导数在物理学中的应用，讨论速度、加速度和导数之间的关系。
3 导数的计算方法
学习导数的基本运算法则，掌握导数的计算技巧。
导数的性质
1
可加性和可乘性
微分法
1
微分的定义
理解微分的概念和几何意义，推导出微分的计算公式。
2
微分法的应用
探索微分法在近似计算和最优化问题中的应用，如极值问题和泰勒公式。
3
微分方程
引入微分方程的概念，研究微分方程与医学模型的关系。
向量的基本概念
1 向量的定义和表示
2 向量的运算
了解向量的定义，学习向 量表示的不同方法和性质。
掌握向量的加法、减法和 数量积运算，理解向量运 算的几何意义。
[医学]医用高数课件1
![[医学]医用高数课件1](https://img.taocdn.com/s3/m/e645505b16fc700abb68fcdd.png)
医用高数课件1
一、微积分的概念
1、微积分学是微分学 (Differential Calculus) 和积 分学 (Integral Calculus) 统称, 英文简称Calculus, 意 为计算。这是因为早期微积分主要用于天文、力学、 几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分 析学或无穷小分析。
第一章 函数和极限
第一节 函数 一、函数的概念 二、初等函数 三、分段函数 四、函数的几种简单性质
一、函数的概念
1．常量与变量
在某过程中始终保持同一数值的量称为常量, 而在过程中可取不同数值的量称为变量.
注意 一个量究竟是常量还是变量,不是绝 对的,要根据具体过程和条件来确定.
例如：人的身高, 在研究少儿发育成长的 过程中是常量；而在研究成人的健康状况时通 常是变量．
三、微积分的发展
1、到了十六世纪，有许多科学问题需要解决，由 于航海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成了 自然科学的中心议题，于是在数学中开始研究各种变 化过程中的量（变量）之间的依赖关系，变量的引进， 形成了数学中的转折点。
２、十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、 物理学家都为解决问题作了大量的研究工作，如法国 的费尔玛、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、 瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提 出许多很有建树的理论, 为微积分的创立做出了贡献。
1985 年医学诺贝尔奖《免疫网络理论》
一系列突破性的研究正在重新定义以下 领域：数学生态学、流行病学、遗传学、免 疫学、神经生物学和生理学等等。
现在每年产生的生物数据量可以达到1015 字节。如何管理这些“海量”数据，以及如何 从中提取有用的知识，成为了对当前生物学家、 数学家、计算机专家等的巨大挑战。一门新兴 学科——生物信息学（bioinformatics），也应 运而生。
一、微积分的概念
1、微积分学是微分学 (Differential Calculus) 和积 分学 (Integral Calculus) 统称, 英文简称Calculus, 意 为计算。这是因为早期微积分主要用于天文、力学、 几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分 析学或无穷小分析。
第一章 函数和极限
第一节 函数 一、函数的概念 二、初等函数 三、分段函数 四、函数的几种简单性质
一、函数的概念
1．常量与变量
在某过程中始终保持同一数值的量称为常量, 而在过程中可取不同数值的量称为变量.
注意 一个量究竟是常量还是变量,不是绝 对的,要根据具体过程和条件来确定.
例如：人的身高, 在研究少儿发育成长的 过程中是常量；而在研究成人的健康状况时通 常是变量．
三、微积分的发展
1、到了十六世纪，有许多科学问题需要解决，由 于航海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成了 自然科学的中心议题，于是在数学中开始研究各种变 化过程中的量（变量）之间的依赖关系，变量的引进， 形成了数学中的转折点。
２、十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、 物理学家都为解决问题作了大量的研究工作，如法国 的费尔玛、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、 瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提 出许多很有建树的理论, 为微积分的创立做出了贡献。
1985 年医学诺贝尔奖《免疫网络理论》
一系列突破性的研究正在重新定义以下 领域：数学生态学、流行病学、遗传学、免 疫学、神经生物学和生理学等等。
现在每年产生的生物数据量可以达到1015 字节。如何管理这些“海量”数据，以及如何 从中提取有用的知识，成为了对当前生物学家、 数学家、计算机专家等的巨大挑战。一门新兴 学科——生物信息学（bioinformatics），也应 运而生。
医用高等数学第六章课件
第18页/共45页
将通解中的任意常数 C 换成待定函数 C(x),即令 y=C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得.
Cx 1 ln x
x
所以
C
x
ln x x
dx
1 2
ln
x2
C
将所求的 C(x)代入式(3),得原方程的通解为
y x ln x2 Cx
2
第19页/共45页
例2.求解微分方程
第40页/共45页
（2）当自由项
f (x) ex pl (x) cos x ~pn (x) sin x
其中, 是常数，pl (x) 和 ~pn (x)分别
是 l 次和 n 次多项式
特解形如：
y xkex Qm(x)cosx Q~m(x)sin x
第41页/共45页
y xkex Qm(x)cosx Q~m(x)sin x
其中 Qm(x),Q~m(x) 是两个待定的 m 次
多项式，m max l, n
0 i 不是特征根 k 1 i 是特征根
第42页/共45页
例：1、求微分方程
y y 3sin x 的通解
2、求微分方程
y y 2y cosx 3sin x 满足y x0 1, y x0 2
的特解。
解上述一阶方程，得 y p ( x,C1 ), 再积分一次，得通解：
y 第(2x5页, C/共415)页dx C2 .
例2 求方程 x2 y xy 1 . 的通解.
例 3 求方程2xyy 1 ( y)2 的通解.
第26页/共45页
3. y f ( y, y) 型的微分方程
y 6y 13y 0 的通解。
3、求微分方程
y y 2y 0 满足
将通解中的任意常数 C 换成待定函数 C(x),即令 y=C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得.
Cx 1 ln x
x
所以
C
x
ln x x
dx
1 2
ln
x2
C
将所求的 C(x)代入式(3),得原方程的通解为
y x ln x2 Cx
2
第19页/共45页
例2.求解微分方程
第40页/共45页
（2）当自由项
f (x) ex pl (x) cos x ~pn (x) sin x
其中, 是常数，pl (x) 和 ~pn (x)分别
是 l 次和 n 次多项式
特解形如：
y xkex Qm(x)cosx Q~m(x)sin x
第41页/共45页
y xkex Qm(x)cosx Q~m(x)sin x
其中 Qm(x),Q~m(x) 是两个待定的 m 次
多项式，m max l, n
0 i 不是特征根 k 1 i 是特征根
第42页/共45页
例：1、求微分方程
y y 3sin x 的通解
2、求微分方程
y y 2y cosx 3sin x 满足y x0 1, y x0 2
的特解。
解上述一阶方程，得 y p ( x,C1 ), 再积分一次，得通解：
y 第(2x5页, C/共415)页dx C2 .
例2 求方程 x2 y xy 1 . 的通解.
例 3 求方程2xyy 1 ( y)2 的通解.
第26页/共45页
3. y f ( y, y) 型的微分方程
y 6y 13y 0 的通解。
3、求微分方程
y y 2y 0 满足
医用高等数学第四章课件
（ k是 常 数 ， k0)
例7
求积分
(13x2
2 )dx. 1x2
解
(13x2
2 )dx
1x2
311x2d x2
1 dx
1x2
3arcx t a2a nrcxsiCn
例8
求积分
1 x x2
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
x(1
x2
dx )
xx(1(1xx2)2)dx
11x2 1xdx11x2dx1xdx
12co1s2
dx1tanxC. x2
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
例 11 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的 切线斜率为sec2 x sin x，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
解 dyse2x csix n, dx
例4
求
x (1 x)3dx.
解
x (1 x)3dx
(x11x)31dx
[(1 1x)2(1 1x)3]d(1x)
1 1xC12(1 1x)2C2
1 1x2(1 1x)2C.
例5 求
a2
1
x2dx.
解
a2
1
x2dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2d
x a
1arctaxnC.
2
解（二） sin2xdx2six ncoxsdx
2six n(dsix)n six n 2C; 解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
2coxs(dcx o)sco x2 sC .
例7
求积分
(13x2
2 )dx. 1x2
解
(13x2
2 )dx
1x2
311x2d x2
1 dx
1x2
3arcx t a2a nrcxsiCn
例8
求积分
1 x x2
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
x(1
x2
dx )
xx(1(1xx2)2)dx
11x2 1xdx11x2dx1xdx
12co1s2
dx1tanxC. x2
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
例 11 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的 切线斜率为sec2 x sin x，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
解 dyse2x csix n, dx
例4
求
x (1 x)3dx.
解
x (1 x)3dx
(x11x)31dx
[(1 1x)2(1 1x)3]d(1x)
1 1xC12(1 1x)2C2
1 1x2(1 1x)2C.
例5 求
a2
1
x2dx.
解
a2
1
x2dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2d
x a
1arctaxnC.
2
解（二） sin2xdx2six ncoxsdx
2six n(dsix)n six n 2C; 解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
2coxs(dcx o)sco x2 sC .
医用高等数学第四章 PPT课件
不定积分，记为 f ( x )dx .
积 被 分 积 号 函 数
f ( x )dx F ( x ) C
被 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x dx .
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6
1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
导函数为 f ( x ) ， 即x I ，都有 F ( x ) f ( x )
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 内原函数. 或 f ( x )dx 在区间
例
sin x cos x
sin x 是cos x 的原函数.
C kdx kx 1
( k是常数);
1 arctan x C ; ( 4) dx 1 x2 1 ( 5) dx arcsin x C ; 2 1 x (6) cos xdx sin x C ;
(7)
( 8)
sin xdx cos x C ; dx 2 sec xdx tan x C ; cos2 x
1 ln x ( x 0) x 1 ln x 是 在区间(0, )内的原函数. x
原函数存在定理：
I 内连续， 如果函数 f ( x ) 在区间
那么在区间I 内存在可导函数 F ( x ) ， 使x I ，都有F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
1 , 2 1 x
医学高等数学PPT课件
（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。 （5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。
医学高等数学
9
高等数学1
2、函数连续 理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f (x) 在 x 0 的一个邻域内有定义； ② f (x) 在 x 0 处存在极限；③极限值等于 f (x) 在 x 0 处的函数值， 这三点缺一不可。 若函数f (x) 在 x 0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断 点。 了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。 知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为 连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理）。
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
两端求导得
lny1lnx (1)1lnx (2)
2
3
y 1 1 y 2(x1) 3(x2)
整理后便可得 y x1 x8 3 x2 6(x2 x2)
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
医学高等数学
14
高等数学1
第二章：一元函数微分学 二、导数的应用
则 f [ ( x ) ( x ] ) d f x [ ( x ) d ( ] x ) F [ ( x ) C ]
______凑微分法
x ( t )
f ( x ) d x f [ ( t ) d ] ( t ) f [ ( t ) ( ] t ) d F [ t( t ) C ]
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(uv)dudv
医学高等数学
9
高等数学1
2、函数连续 理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f (x) 在 x 0 的一个邻域内有定义； ② f (x) 在 x 0 处存在极限；③极限值等于 f (x) 在 x 0 处的函数值， 这三点缺一不可。 若函数f (x) 在 x 0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断 点。 了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。 知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为 连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理）。
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
两端求导得
lny1lnx (1)1lnx (2)
2
3
y 1 1 y 2(x1) 3(x2)
整理后便可得 y x1 x8 3 x2 6(x2 x2)
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
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高等数学1
第二章：一元函数微分学 二、导数的应用
则 f [ ( x ) ( x ] ) d f x [ ( x ) d ( ] x ) F [ ( x ) C ]
______凑微分法
x ( t )
f ( x ) d x f [ ( t ) d ] ( t ) f [ ( t ) ( ] t ) d F [ t( t ) C ]
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(uv)dudv
《医学高等数学》课件 第三章 一元函数积分学
2
1 1
d t
(1
t)
2t
2 ln(1 t)
C
因为t 1 x ，于是
1
dx 1
x
2
1 x 2 ln(1
1 x)C
例10 求 a2 x2 dx。
解 求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来消去根式。
设x=asint，
2
t
2
，则
t
arcsin
x a
例10 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线 的方程。
解 设所求的曲线方程为y=f(x)，由题设，曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为 dy 2x，
dx
即dy 2xdx。
因为 2xdx x2 C，所以必有某个常数C使f(x)=x2+C。即曲线方程为
第二节 不定积分的计算
案例导入：
判断下列积分是否成立:
cos3xdx sin 3x C;
1 3x
5
dx
ln
3x
5
C;
exdx ex C; (2x 5)3 dx (2x 5)4 C.
4
验证了案例之后,我们提出这样的问题,如果遇到这样的积分,我们怎么去求出它 的原函数呢? 这就是我们这一节要着重介绍的换元积分法和分部积分法。
解
dx 1 dx
a2 x2
a 1 ( x)2
d(x) a
arcsin x C
1 ( x)2
a
a
a
例5 求 e5xdx 。
解
e5xdx 1 e5xd (5x) 1 e5x C
5
5
《医用高数》课件
探索医学影像分析 的基本原理和方法， 如计算机断层扫描 和磁共振成像。
第五部分：结语
1 总结
回顾医用高数的重要内容，强调对医学统计学的理解和应用。
2 展望
展望医学统计学发展的前景，并鼓励学习者继续深入探索相关领域。
《医用高数》PPT课件
医用高数PPT课件大纲
第一部分：导论
课程简介
探索医学统计学的重要性 和应用，帮助医学相关专 业人士更好地理解数据分 析的基本概念和方法。
相关概念介绍
介绍统计学中的常见概念， 如样本、总体、参数和变 量类型，为后续内容打下 基础。
数理统计的重要性
讲解数理统计在医疗领域 中的作用，包括数据收集、 数据分析和结果解读。
第二部分：概率论
概念及定义
阐述概率的基本概念和定义，包括样本空间、 事件和概率的计算。
事件与概率
通过举例说明概率与事件的关系，并介绍如何 计算常见事件的概率。
随机变量及其概率分布
介绍随机变量和概率分布的概念，包括离散型 和连续型随机变量。
Hale Waihona Puke 常见分布及特性讲解常见概率分布，如二项分布、正态分布等， 并探讨它们的特性和应用。
第四部分：医学统计学应用
药效学实验 设计
探究如何设计药物 实验，确定样本量、 随机化和盲法等的 重要性。
临床试验设计
介绍临床试验的基 本设计原则和常见 类型，如随机对照 试验和前瞻性研究。
生存分析及 风险估计
讲解生存分析的概 念和方法，包括 Kaplan-Meier曲线和 Cox比例风险模型。
影像分析
第三部分：统计学基础
1
样本及抽样
解释样本和抽样的概念，介绍样本容量和抽样方法对统计结果的影响。
第五部分：结语
1 总结
回顾医用高数的重要内容，强调对医学统计学的理解和应用。
2 展望
展望医学统计学发展的前景，并鼓励学习者继续深入探索相关领域。
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医用高数PPT课件大纲
第一部分：导论
课程简介
探索医学统计学的重要性 和应用，帮助医学相关专 业人士更好地理解数据分 析的基本概念和方法。
相关概念介绍
介绍统计学中的常见概念， 如样本、总体、参数和变 量类型，为后续内容打下 基础。
数理统计的重要性
讲解数理统计在医疗领域 中的作用，包括数据收集、 数据分析和结果解读。
第二部分：概率论
概念及定义
阐述概率的基本概念和定义，包括样本空间、 事件和概率的计算。
事件与概率
通过举例说明概率与事件的关系，并介绍如何 计算常见事件的概率。
随机变量及其概率分布
介绍随机变量和概率分布的概念，包括离散型 和连续型随机变量。
Hale Waihona Puke 常见分布及特性讲解常见概率分布，如二项分布、正态分布等， 并探讨它们的特性和应用。
第四部分：医学统计学应用
药效学实验 设计
探究如何设计药物 实验，确定样本量、 随机化和盲法等的 重要性。
临床试验设计
介绍临床试验的基 本设计原则和常见 类型，如随机对照 试验和前瞻性研究。
生存分析及 风险估计
讲解生存分析的概 念和方法，包括 Kaplan-Meier曲线和 Cox比例风险模型。
影像分析
第三部分：统计学基础
1
样本及抽样
解释样本和抽样的概念，介绍样本容量和抽样方法对统计结果的影响。
《医用高等数学》(第二版)幻灯片 6-6二重积分
y=y1(x)
Oa
bx
高等数学
06-06-32
f(x,y)dxdy d x2(y) f(x,y)dxdy c x1(y) D
y
dy d
x2(y)
f
( x,
y)dx
c
x1(y)
d
x=x1(y) D
c
x=x2(y)
O
x
高等数学
06-06-33
b d
xy2(x)
f(x,y)dy
dy d
系D 中的面积元素。
高等数学
二
z
重
积
分
的
几
何
意
O
义
x
06-06-19
z=f(x,y)
i
y
D
高等数学
06-06-20
性质1 被积函数的常数因子可以提 到二重积分号外面，即
k (fx,y)dx dkyf(x,y)dxdy
D
D
高等数学
06-06-21
性质2 两个〔或有限个〕函数代数 和的二重积分等于各函数等数学
04-01-11
〔1〕分割：将区域 D 任意分成 n 个 小闭区域 1, 2,…, n，这 些小薄片的质量分别记为
m1, m2,…, mn。
高等数学
04-01-12
〔2〕近似替代：当这些小闭区域的直径〔指
区域上任意两点间距离的最大值〕很小时， 由于 (x,y) 连续，对同一个小闭区域来说，
叫做曲顶柱体，现在来讨论如何定 义并计算上述曲顶柱体的体积。
高等数学
曲
z
顶
柱
体
的
体
积
O
x
06-06-04
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sin x是 cos x在区间 (,)上的一个原函数
1 (ln x ) x
x (0,)
1 ln x是 在区间 (0, )上的一个原函数 x
问题 (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ (3) 原函数的全体如何表示? cos x
sin x cos x dx 2 2 sin x cos x
2 2
1 1 ( 2 2 )dx cos x sin x
tan x cot x C
三、换元积分法 第一类换元法(凑微分法)
问题的提出 e x dx e x C 但是 因为
2x 2x e dx e C
不定积分的几何意义
y F ( x) C
是积分曲线 F ( x) 上、 下平移所得到一族 积分曲线，称为积 分曲线族．
在点 x 处有相同 的斜率 f ( x) ，即这 些切线互相平行．
y
y F ( x) C
y F ( x)
o
x
x
二、不定积分的性质和基本积分公式
性质3-1
性质3-2
定义3-2 若函数 F ( x)是 f ( x)的一个原函数, 则
f ( x) 原函数的全体 F ( x) C 称为 f ( x) 的不定积分.
记为 f ( x ) dx .
f ( x ) dx F ( x ) C
被 积 表 达 式 积 分 变 量 任 意 常 数
积 被 分 积 号 函 数
f (x)dx f (x)或 d f ( x)dx f ( x)dx
f ( x)dx f ( x) C 或 df ( x) f ( x) C
kf ( x)dx k f ( x)dx
（k 是常数，k 0 )
性质3-3
性质3-4
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
第三章
第一节
一元函数积分学
不定积分
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法
一、不定积分的概念
定义3-1 若在某区间上 F ( x) f ( x) ,则称 F ( x) 为 f ( x) 在该区间上的一个原函数． 例 sin x cos x x (,)
基本积分公式
(1)
x
dx
x
1
1
C ( 1);
dx (2) ln x C x x a x (3) a dx ln a C
(4)
e dx e
x
x
C
(5)
cos xdx sin x C
( 6)
sin xdx cos x C
由此可知, 求 f ( x) 不定积分只需求出 f ( x) 一 个原函数, 再加上任意常数 C .
例3-1：求经过点 (1, 3)，且其切线的斜率为 3x2 的曲线方程 解：因为 (x3)=3x2
3x2dx=x3+C
得曲线族 y=x3+C 将 x =1, y=3 代入得 C=2, 故所求曲线为: y =x3+2
2x
2x (e C) e
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
1 2x 1 2x e dx 2 e (2 x)dx 2 e d 2 x
2x
1 u 1 u 1 2x e du e C e C. 2 2 2
u 2 x
定理3-1 设f (u)具有原函数 F (u),u ( x)可导
例3-3: 求 (3x
2
1 2 x
1)dx
解:
(3x
2
2
1 2 x
1)dx
1 2
1 3 x dx x dx dx 2 3 x x xC
x4 例3-4（1）求 dx 2 1 x
4 4 x x 11 解 1 x 2 dx 1 x 2 dx 1 2 (x 1 )dx 2 1 x 3 x x arctan x C 3
2 sec x tan x C
(7 )
(8)
2 csc x cot x C
1 (9) dx arctan x C arc cot x C 2 1 x
(10) 1 1 x2 dx arcsin x C arccos x C
1 例3-2 求 dx x
1 1 解 x 0时, (ln x) , 所以 ln x是 在(0, )上的 x x
一个原函数 .
1 x 0时, [ln( x)] (1), 所以 ln( x)是 x
1 在( ,0)上的 一个原函数 .所以 x
1 x dx ln x C x ( ,0) (0, )
2 tan xdx 例3-4（2）求
解
2 2 tan xdx (sec x 1)dx
tan x x C
例3-4（3）求
解
2
5 2
x ( x 2 5) dx
x ( x 5)dx
1 2
3 2
( x 5x )dx
1 10 x x C 7 3
7 2
(4)
e (3 2 )dx 3 e dx (2e) dx
x x x x
(2e) 2 e x 3e C 3e C ln(2e) ln 2 1
x
x
x
x
1 例 求 sin 2 x cos 2 x dx 1 解 sin 2 x cos 2 x dx
（C 为任意常数）
结论 （1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数C ，
都有 ( F ( x) C ) f ( x)
（2）若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数, 则 G( x) F ( x) C （C为任意常数）
（3）F ( x) C 为 f ( x) 原函数的全体