《医用高数》PPT课件

定义3-2 若函数 F ( x)是 f ( x)的一个原函数, 则
f ( x) 原函数的全体 F ( x) C 称为 f ( x) 的不定积分.
记为 f ( x ) dx .
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f ( x ) dx F ( x ) C
被 积 表 达 式 积 分 变 量 任 意 常 数
积 被 分 积 号 函 数
7 2
(4)
e (3 2 )dx 3 e dx (2e) dx
x x x x
(2e) 2 e x 3e C 3e C ln(2e) ln 2 1
x
x
x
x
1 例 求 sin 2 x cos 2 x dx 1 解 sin 2 x cos 2 x dx
sin x是 cos x在区间 (,)上的一个原函数
1 (ln x ) x
x (0,)
1 ln x是 在区间 (0, )上的一个原函数 x
问题 (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ (3) 原函数的全体如何表示? 分析
sin x cos x sin x c cos x
第三章
第一节
一元函数积分学
不定积分
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法
一、不定积分的概念
定义3-1 若在某区间上 F ( x) f ( x) ,则称 F ( x) 为 f ( x) 在该区间上的一个原函数． 例 sin x cos x x (,)
不定积分的几何意义
y F ( x) C
是积分曲线 F ( x) 上、 下平移所得到一族 积分曲线，称为积 分曲线族．
在点 x 处有相同 的斜率 f ( x) ，即这 些切线互相平行．
y
y F ( x) C
y F ( x)
o
x
x
二、不定积分的性质和基本积分公式
性质3-1
性质3-2
例3-3: 求 (3x
2
1 2 x
1)dx
解:
(3x
2

2
1 2 x
1)dx
1 2
1 3 x dx x dx dx 2 3 x x xC
x4 例3-4（1）求 dx 2 1 x
4 4 x x 11 解 1 x 2 dx 1 x 2 dx 1 2 (x 1 )dx 2 1 x 3 x x arctan x C 3
基本积分公式
(1)
x

dx
x
1
1
C ( 1);
dx (2) ln x C x x a x (3) a dx ln a C
(4)
e dx e
x
x
C
(5)
cos xdx sin x C
( 6)
sin xdx cos x C
由此可知, 求 f ( x) 不定积分只需求出 f ( x) 一 个原函数, 再加上任意常数 C .
例3-1：求经过点 (1, 3)，且其切线的斜率为 3x2 的曲线方程 解：因为 (x3)=3x2
3x2dx=x3+C
得曲线族 y=x3+C 将 x =1, y=3 代入得 C=2, 故所求曲线为: y =x3+2
1 1 解 x 0时, (ln x) , 所以 ln x是 在(0, )上的 x x
一个原函数 .
1 x 0时, [ln( x)] (1), 所以 ln( x)是 x
1 在( ,0)上的 一个原函数 .所以 x
1 x dx ln x C x ( ,0) (0, )

（C 为任意常数）
结论 （1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数C ，
都有 ( F ( x) C ) f ( x)
（2）若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数, 则 G( x) F ( x) C （C为任意常数）
（3）F ( x) C 为 f ( x) 原函数的全体
2 sec x tan x C
(7 )
(8)
2 csc x cot x C
1 (9) dx arctan x C arc cot x C 2 1 x
(10) 1 1 x2 dx arcsin x C arccos x C
1 例3-2 求 dx x
f (x)dx f (x)或 d f ( x)dx f ( x)dx

f ( x)dx f ( x) C 或 df ( x) f ( x) C
kf ( x)dx k f ( x)dx
（k 是常数，k 0 )
性质3-3
性质3-4
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
sin x cos x dx 2 2 sin x cos x
2 2
1 1 ( 2 2 )dx cos x sin x
tan x cot x C
三、换元积分法 第一类换元法(凑微分法)
问题的提出 e x dx e x C 但是 因为
2x 2x e dx e C
2x
2x (e C) e
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
1 2x 1 2x e dx 2 e (2 x)dx 2 e d 2 x
2x
1 u 1 u 1 2x e du e C e C. 2 2 2
u 2 x
定理3-1 设f (u)具有原函数 F (u),u ( x)可导
2 tan xdx 例3-4（2）求
解
2 2 tan xdx (sec x 1)dx
tan x x C
例3-4（3）求
解

2
5 2
x ( x 2 5) dx

x ( x 5)dx
1 2
3 2
( x 5x )dx
1 10 x x C 7 3