经典导数培优专题(含解析)
导数专题(含答案
说明:导数的几何意义
可以简记为"k= ",
强化这一句话"斜率导数,导数斜率"
导数的物理意义：s=s<t>是物体运动的位移函数,物体在t= 时刻的瞬时速度是 .可以简记为 =
例1、已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 .
2、若函数 的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 在区间[a,b]上的图像可能是〔〕
〔2〕设函数 则 〔〕
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
3〕设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 时,
的解集为▲.
3>已知函数的单调性求参数范围
方法:常利用导数与函数单调性关系：即
"若函数单调递增,则 ；若函数单调递减,则 "来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数〔 是二次型〕
[例]1函数y = f < x > = x3＋ax2＋bx＋a2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b =.
15.已知函数f<x>=－x3＋3x2＋9x＋a.
〔I〕求f<x>的单调递减区间；
〔II〕若f<x>在区间[－2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
解：〔I〕f’<x>＝－3x2＋6x＋9．令f‘<x><0,解得x<－1或x>3,
综上,
4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x〔x 10〕层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x〔单位：元〕.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
导数培优试卷--解答题(含答案)
导数综合应用---解答题一、解答题1．已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．2．已知函数()2xf x e x =-()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围3．已知函数()()221ln f x ax a x x =-+-，()22ln g x a x x=--，其中a R ∈. （1）当0a >时，求()f x 的单调区间；（2）若存在21,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围.4．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.5．已知函数()()2xxf x eea a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．6．已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意0x >，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.参考答案1、【详解】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x << 令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增. （2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得4027k <<， 当4027k <<>20f k =>， 所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<， 所以()f x在(1,k --上有唯一一个零点， 又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点， 综上可知k 的取值范围为4(0,)27. 2、【详解】（1）因为()e 2x f x x =-，所以()e 2xf x '=-.所以()0 1.f '=- 又()01,f =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1,y x -=-即10x y +-=.（5分）（2）由题意得，()e 2xg x x a =--，所以()e 2xg x '=-.由()e 20xg x ='-=，解得ln2x =，故当1ln2x -≤<时，()0g x '<，()g x 在[)1,ln2-上单调递减； 当ln21x <≤时，()0g x '>，()g x 在(]ln2,1上单调递增. 所以()()min ln222ln2g x g a ==--. 又()11e +2g a --=-，()1e 2g a =--，若函数恰有两个零点，则()()()11e 20,1e 20,ln22220,g a g a g ln a -⎧-=+-≥⎪=--≥⎨⎪=--<⎩解得22ln2e 2a -<≤-.所以实数a 的取值范围为(]22ln2,e 2--.3、【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()()222221212212ax a x ax x a f x a x x x x-++--+'=-+==. 当0a >时，令()0f x '=，可得10x a=>或2x =. ①当12a =时，即当12a =时，对任意的0x >，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+； ①当102a <<时，即当12a >时， 令()0f x '>，得10x a<<或2x >；令()0f x '<，得12x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭； ①当12a>时，即当102a <<时，令()0f x '>，得02x <<或1x a>；令()0f x '<，得12x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由题意()()f x g x ≥，可得ln 0ax x -≥，可得ln x a x ≥，其中21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 构造函数()ln x h x x =，21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()min a h x ≥. ()21ln x h x x -'=，令()0h x '=，得21,x e e e ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 当1x e e≤<时，()0h x '>；当2e x e <≤时，()0h x '<. 所以，函数()y h x =在1=x e或2x e =处取得最小值，1h e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()222h e e =，则()1h h e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()min 1h x h e e ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，a e ∴≥-.因此，实数a 的取值范围是[),e -+∞. 4、【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a -=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)∈a 进行讨论，可知当(0,1)∈a 时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（①）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减.（①）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（①）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（①）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ①当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ①当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln 1ln a a ⎛⎫->-⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1. 5．（1）见解析（2）34[2,1]e - 【解析】试题分析：（1）先求函数导数()()()2x xf x e a e a =+-'，再按导函数零点讨论：若0a =，无零点，单调；若0a >，一个零点ln x a =，先减后增；若0a <，一个零点ln 2a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，先减后增；（2）由单调性确定函数最小值：若0a =，满足；若0a >，最小值为()2ln ln 0f a a a =-≥，即1a ≤；若0a <，最小值为23ln ln ?0242a a f a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即342a e ≥-，综合可得a 的取值范围为342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.试题解析：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()2222x x x x f x e ae a e a e a =--=+-'，①若0a =，则()2xf x e =，在(),-∞+∞单调递增.①若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增. ①若0a <，则由()0f x '=得ln 2a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 当,ln 2a x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当ln ,2a x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增.（2）①若0a =，则()2xf x e =，所以()0f x ≥.①若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为()2ln ln f a a a =-.从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.①若0a <，则由（1）得，当ln 2a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值，最小值为23ln ln 242a a f a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.从而当且仅当23ln 042a a ⎡⎤⎛⎫--≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即342a e ≥-时()0f x ≥.综上，a 的取值范围为342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 6．（1）当0a ≤时，在()0,+∞上，()f x 是减函数,当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x 是减函数,在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()f x 是增函数；（2）[1,)+∞【分析】求出函数的定义域，函数的导数，通过a 的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）对任意x ＞0，都有f （x ）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f （x ）min ＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可． 【详解】（1）解：函数f （x ）的定义域为（0，+∞）又()()()()()2/221211122ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--== 当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数 当a ＞0时，由f′（x ）=0得：1x a =或12x =-（舍） 所以：在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，f′（x ）＞0，f （x ）是增函数 （2）对任意x ＞0，都有f （x ）＞0成立，即：在（0，+∞）上f （x ）min ＞0由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f （x ）是减函数， 又f （1）=2a ﹣2＜0，不合题意 当a ＞0时，当1x a=时，f （x ）取得极小值也是最小值， 所以：11()1min f x f lna a a ⎛⎫==-+⎪⎝⎭令()111u a f lna a a ⎛⎫==-+⎪⎝⎭（a ＞0） 所以：()/211u a a a=+ 在（0，+∞）上，u′（a ）＞0，u （a ）是增函数又u （1）=0所以：要使得f （x ）min ≥0，即u （a ）≥0，即a≥1， 故：a 的取值范围为[1，+∞） 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
高三数学数学导数及其应用多选题的专项培优易错试卷练习题及解析
高三数学数学导数及其应用多选题的专项培优易错试卷练习题及解析一、导数及其应用多选题1．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（ ）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增lnf fπ∴<<<∴>，故：B正确C．()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证：212x x e<，即要证：221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭，则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时，2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e+∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=，即：()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾，故C错D．设25x y k==，且,x y均为正数，则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．2．对于函数()2ln1f x x ax x a=+--+，其中a R∈，下列4个命题中正确命题有（）A．该函数定有2个极值B．该函数的极小值一定不大于2C．该函数一定存在零点D．存在实数a，使得该函数有2个零点【答案】BD【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数．【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+， 例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >， 所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．3．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1-D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2ey =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x+'∴=+=>， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-， 故B 正确，C 错误；对于D ，函数()f x 和()h x 的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(2ey k x -=，即2e y kx =-，则222x ekx ≥-（x ∈R），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2ey =-，下面证明()2e h x ≤-， 令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.4．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.5．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x 的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx k e e -+-≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有2k e =，此时直线方程为2y ex e =-，下面证明()2h x ex e ≤-，令()22n ()2l G x ex e h x ex e x e =--=--，()2()e x eG x x-'=，当x e =时，()0'=G x ，当0x e <<时，()0'<G x ，当x e >时，()0G x '>，则当x e =时，()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()2()0G x ex e h x =--≥，则()2h x ex e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”2e e y x =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.7．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】BCD 【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=- 由1121c d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。
高三数学 数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(及解析
高三数学 数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(及解析一、导数及其应用多选题1．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得152x -±=，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．2．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ） A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C ．22sin 24x x x >+D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()224x h x x =+的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+ 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数， 令2224144x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.3．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．4．已知函数()()2214sin 2x xe xf x e -=+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，()()222114sin =2cos 2x x xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xxf x e x e '=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx x f x e x e x f x e e--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xx g x e x e=-+， 则1()+2cos 2+2cos 0x x g x e x x e'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.5．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e 442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.6．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.7．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0x C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】对于A ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确； 对于B ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,xf x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=>⎪⎝⎭，334433cos 0442f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0xe x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于 C 、D ：()sin xf x e a x =+,(),x π∈-+∞，令()sin 0xf x e a x =+=得：1sin x x a e-=， 则令sin ()xxF x e =，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()x x x x x F x e e π--'==，令()0F x '=，得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知：52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减，52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值， 又354435sin sin 44eeππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又因为在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭，sin ()x xF x e=单调递减，所以343()4F x F e ππ⎛⎫≥=⎪⎝⎭，所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值，即当944x ππ=、， 时，()F x 取得极大值. 又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e π⎛⎫≤=⎪⎝⎭当(),x π∈-+∞时，344()22e F x e ππ-≤≤，所以当341e a π-<，即4a e > ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当3412e a π-=-时，即4a e π=时，1=-y a 与sin x xy e=的图象只有一个交点，即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点， 故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.8．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞- D．1112x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x xy e-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题. 【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x xm e-=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x xy e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11y x x =--，12x xy e-=-的图像如图所示， 注意到：当()0,1x ∈时，11122x xx x x e---<-<-， 由图可知，3201x x <<<，()2,1m ∈--， 从而()11112,1x x --∈--，解得115,12x ⎛⎫--∈- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以选项AD 正确，选项C 错误， 又121310x x x x -=<<. 故选：ABD .【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。
导数培优高考题及解答
导数高考题1. 已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--．令()0f x '=，得1x b =-．当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，和(1)+∞，上单调递减．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：当11b ->，即b所以，2b <11)，上单调递增，2b =时，函数()f x 在(1)-∞，和(1)+∞，上单调递减． 2b >时，函数()f x 在(1)-∞，和(1)b -+∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增． 点评：本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧。
2. 已知函数22()(23)(),xf x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈. 当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. [].42)2()('22x e a a x a x x f +-++=解：.2232.220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论. （1）a 若＞32，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： x()a 2-∞-，a 2-()22--a a ，2-a ()∞+-，2a f '(x)+ 0— 0+ f (x)↗极大值 ↘极小值↗.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以--∞+---∞a a a a x f.3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数（2）a 若＜32，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： x()2-∞-a ，2-a ()a a 22--，a 2-()∞+-，a 2f '(x)+ 0— 0+ f (x)↗极大值 ↘极小值↗内是减函数。
高中数学导数经典20题附解析
导数经典20题目录导数经典20题 (1)一、【不等式恒成立-单变量】5道 (3)二、【不等式恒成立-双变量】5道 (13)三、【不等式证明】5道 (23)四、【零点问题】5道 (32)一、【不等式恒成立-单变量】【第01题】（2017•广东模拟）已知()ln a f x x x=+．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意0x >，均有()2ln ln x a x a −≤恒成立，求正数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为2ln ln 1a a ≤+，求出a 的范围即可．【解答】解：（1）（0x >）， ()221a x a f x x x x−′=−=（0x >）， 当0a ≤时，()0f x ′>，在()0,+∞上递增，无极值；当0a >时，0x a <<时，()0f x ′<，在()0,a 上递减，x a >时，()0f x ′>，()f x 在(),a +∞上递增，()()ln 1f x f a a ==+极小值，无极大值．（2）若对任意0x >，均有恒成立，即对任意0x >，均有2ln ln a a x x≤+恒成立， 由（1）得：0a >时，()f x 的最小值是ln 1a +，故问题转化为：2ln ln 1a a ≤+，即ln 1a ≤，故0e a <≤．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查()ln a f x x x =+()f x ()f x ()2ln ln x a x a −≤转化思想，是一道中档题．一、【不等式恒成立-单变量】【第02题】（2019•西安一模）已知函数()()21e x f x x ax =−−（其中e 为自然对数的底数）． （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若对任意的0x >，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的极值点的个数即可；（2）将原问题转化为恒成立的问题，然后分类讨论确定实数a 的取值范围即可．【解答】解：（1）()()e 2e 2x xf x x ax x a ′=−=− ，当0a ≤时，()f x 在(),0−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x 有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a −∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f a 有2个极值点； 当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时函数没有极值点； 当12a >时，()f x 在(),0−∞上单调递增，在()0,ln 2a 上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f a 有2个极值点． 综上，当12a =时，()f x 没有极值点；当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点．（2）由得32e 0x x x ax x −−−≥．当0x >时，2e 10x x ax −−−≥， 即2e 1x x a x−−≤对0x ∀>恒成立． 设()2e 1x x g x x−−=（0x >）， ()3e x f x x x +≥+则()()()21e 1x x x g x x −−−′=，设()e 1x h x x =−−，则()e 1x h x ′=−，由0x >可知()0h x ′>，()h x 在()0,+∞上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=−，e 2a ∴≤−，故a 的取值范围是(],e 2−∞−．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值点，导数研究不等式恒成立的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．【第03题】（2017春•太仆寺旗校级期末）已知函数()ln f x x a x =−，()1a g x x+=−（a ∈R ）． （1）若1a =，求函数()f x 的极小值；（2）设函数()()()h x f x g x =−，求函数()h x 的单调区间；（3）若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．【分析】（1）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数()f x 的极值；（2）先求出函数()h x 的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（3）先把()()00f x g x <成立转化为()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x +=+−在[]1,e 上的最小值小于零；再结合（2）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =时，()ln f x x x =−，()111x f x x x −′=−=， x ()0,11 ()1,+∞ ()'f x− 0 + ()f x减 极小 增 所以()f x 在1x =处取得极小值1．（2）()1ln a h x x a x x +=+−， ()()()221111x x a a a h x x x x+−+ + ′=−−=， ①当10a +>时，即1a >−时，在()0,1a +上()0h x ′<，在()1,a ++∞上()0h x ′>， 所以()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；②当10a +≤，即1a ≤−时，在()0,+∞上()0h x ′>，所以，函数()h x 在()0,+∞上单调递增．（3）在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数在[]1,e 上的最小值小于零． 由（2）可知，①当1e a +≥，即e 1a ≥−时，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()e h ，由()1e e 0ea h a +=+−<可得2e 1e 1a +>−， 因为2e 1e 1+−e 1>−， 所以2e 1e 1a +>−； ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <−；③当11e a <+<，即0e 1a <<−时，可得()h x 最小值为()1h a +，因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+−+>，此时，()10h a +<不成立．综上可得，所求a 的范围是：或2a <−． 【点评】本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．()1ln a h x x a x x+=+−[]1,e 2e 1e 1a +>−【第04题】（2019•蚌埠一模）已知函数()()2ln f x a x x x =−−．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的值．【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论x 的范围，问题转化为01x <<时，2ln x a x x ≤−，1x >时，2ln x a x x ≥−，令()g x =2ln x x x−，根据函数的最值求出a 的范围，取交集即可． 【解答】解：（1）1a =时，()2ln f x x x x −−，（0x >） 故()()()211121x x f x x x x+−′=−−=， 令()0f x ′>，解得：1x >，令()0f x ′<，解得：01x <<，故()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增．（2）若()0f x ≥恒成立，即()2ln a x x x −≥，①()0,1x ∈时，20x x −<，问题转化为2ln x a x x ≤−（()0,1x ∈），1x >时，20x x −>，问题转化为2ln x a x x ≥−（1x >）， 令()g x =2ln x x x −， 则()()()22121ln x x x g x x x −−−′=−， 令()()121ln h x x x x =−−−，则()112ln h x x x ′=−+−，()2120x x xh ′=−−<′， 故()h x ′在()0,1和()1,+∞内都递减，()0,1x ∈时，()()10h x h ′′>=，故()h x 在()0,1递增，()()10h x h <=，故()0,1x ∈时，()0g x ′<，()g x 在()0,1递减，而1x →时，()1g x →，故()0,1x ∈时，()1g x >，故1a ≤，()1,x ∈+∞时，()()10h x h ′′<=，故()h x 在()0,1递减，()()10h x h <=， 故()1,x ∈+∞时，()0g x ′<，()g x 在()1,+∞递减，而1x →时，()1g x →，故()1,x ∈+∞时，()1g x >，故1a ≥，②1x =时，显然成立．综上：1a =．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．【第05题】（2019•南昌一模）已知函数()()e ln x f x x x a =−++（e 为自然对数的底数，a 为常数，且1a ≤）． （1）判断函数()f x 在区间()1,e 内是否存在极值点，并说明理由； （2）若当ln 2a =时，()f x k <（k ∈Z ）恒成立，求整数k 的最小值． 【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可； （2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k 的最小值即可． 【解答】解：（1）()1e ln 1x f x x x a x ′=−++−，令()1ln 1g x x x a x=−++−，()1,e x ∈，则()()'e x f x g x =， ()2210x x g x x −+′=−<恒成立，所以()g x 在()1,e 上单调递减，所以()()110g x g a <=−≤，所以()'0f x =在()1,e 内无解． 所以函数()f x 在区间()1,e 内无极值点．（2）当ln 2a =时，()()e ln ln 2x f x x x =−++，定义域为()0,+∞，()1e ln ln 21x f x x x x ′=−++−，令()1ln ln 21h x x x x =−++−， 由（1）知，()h x 在()0,+∞上单调递减，又11022h => ，()1ln 210h =−<，所以存在11,12x∈，使得()10h x =，且当()10,x x ∈时，()0h x >，即()'0f x >，当()1,x x ∈+∞时，()0h x <，即()'0f x <．所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减， 所以()()()1111max e ln ln 2x f x f x x x ==−++． 由()10h x =得1111ln ln 210x x x −++−=，即1111ln ln 21x x x −+=−， 所以()1111e 1x f x x =−，11,12x∈ ，令()1e 1x r x x =− ，1,12x ∈ ，则()211e 10x r x x x′=−+> 恒成立， 所以()r x 在1,12上单调递增，所以()()1102r r x r <<= ，所以()max 0f x <，又因为1211e ln 2ln 2122f=−−+=>−，所以()max 10f x −<<，所以若()f x k <（k ∈Z ）恒成立，则k 的最小值为0．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．二、【不等式恒成立-双变量】【第06题】（2019•广元模拟）已知函数()()ln 11xf x a x x=−++（a ∈R ），()2e mx g x x =（m ∈R ）． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）若0a <，且对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可； （2）令()()1x f x ϕ=+，根据函数的单调性分别求出()x ϕ的最小值和()g x 的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()1,−+∞， 当1a =时，()()()2211111xf x xx x −′=−=+++，∴当()1,0x ∈−时，()'0f x >，函数()f x 在()1,0−上单调递增， ∴当()0,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 在()0,+∞上单调递减， ()()max 00f x f ∴==．（2）令()()1x f x ϕ=+，因为“对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立”， 所以对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()min max x g x ϕ≥成立， 由于()()211ax a x x ϕ−−+′=+，当0a <时，对[]0,2x ∀∈有()'0x ϕ>，从而函数()x ϕ在[]0,2上单调递增， 所以()()min 01x ϕϕ==， ()()222e e 2e mx mx mx g x x x mmxx ′=+⋅=+，当0m =时，()2g x x =，x ∈[]0,2时，()()max 24g x g ==，显然不满足()max 1g x ≤，当0m ≠时，令()'0g x =得10x =，22x m=−， ①当22m−≥，即10m −≤≤时，在[]0,2上()0g x ′≥，所以()g x 在[]0,2上单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，只需24e 1m ≤，得ln 2m ≤−，所以1ln 2m −≤≤−． ②当202m <−<，即1m <−时，在20,m − 上()0g x ′≥，()g x 单调递增，在2,2m−−上()0g x ′<，()g x 单调递减，所以()22max 24eg x g m m== ， 只需2241e m ≤，得2e m ≤−，所以1m <−． ③当20m−<，即0m >时，显然在[]0,2上()0g x ′≥，()g x 单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，24e 1m ≤不成立． 综上所述，m 的取值范围是(],ln 2−∞−．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．【第07题】（2019•濮阳一模）已知函数()ln b f x a x x =+（0a ≠）． （1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1x ，21,e e x ∈，都有()()12e 2f x f x −≤−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）原问题等价于()()max min e 2f x f x −≤−成立，可得()()min 11f x f ==，可得()()max e e b f x f b ==−+，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），可得()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，即可得不等式e e 10b b −−+≤的解集．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞． 当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()22x a f x x+′=． ①当0a >时，()0f x ′>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．②当0a <时，令()0f x ′=，解得：x =当0x <<()0f x ′<，所以函数()f x 在 上单调递减；当x >()0f x ′>，所以函数()f x 在+∞上单调递增． 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在 上单调递减，在 +∞上单调递增． （2） 对任意1x ，21,e e x∈，有()()12e 2f x f x −≤−成立，()()max min e 2f x f x ≤∴−−成立，0a b += ，0b >时，()ln b f x b x x =−+．()()11bb b x b f x bx x x−−′=−+=． 当01x <<时，()0f x ′<，当1x >时，()0f x ′>，()f x ∴在1,1e单调递减，在[]1,e 单调递增，()()min 11f x f ==，1e e bf b − =+ ，()e e b f b =−+， 设()()1e e e 2e b b g b f f b −=−=−−（0b >），()e e 20b b g b −′=+−>． ()g b ∴在()0,+∞递增，()()00g b g ∴>=，()1e e f f ∴>．可得()max f x =()e e b f b =−+，e 1e 2b b ∴−+−≤−，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），()e 10b b ϕ′−>在()0,b ∈+∞恒成立．()b ϕ∴在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，∴不等式e e 10b b −−+≤的解集为(]0,1． ∴实数b 的取值范围为(]0,1．【点评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．【第08题】（2019•衡阳一模）已知()32342f x x ax x −=+（x ∈R ），且()f x 在区间[]1,1−上是增函数．（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由()f x 在区间[]1,1−上是增函数．可得()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．可得()10f ′−≥，()10f ′≥，即可得出． （2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，可得12x x a +=，122x x =−．()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增，进而得出其最大值为7．()21213g t m tm x x ++≥−=对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，可得()()1717g g −≥ ≥，解得m 范围即可得出．【解答】解：（1） ()f x 在区间[]1,1−上是增函数， ∴()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．()14220f a ∴′−=−−≥，()14220f a ′=+−≥，解得11a −≤≤． []1,1A ∴=−．（2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ， ∴12x x a +=，122x x =−．∴()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈ ，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增．123x x ∴−的最大值为()17h =．设()2211g t m tm mt m ++=++=，[]1,1t ∈−，()123g t x x ≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，则()()1717g g −≥≥ ，解得3m ≤−或3m ≥． ∴存在实数3m ≤−或3m ≥，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第09题】（2018•呼和浩特一模）已知函数()ln f x x =，()212g x x bx =−（b 为常数）． （1）当4b =时，讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）2b ≥时，如果对于1x ∀，(]21,2x ∈，且12x x ≠，都有()()()()1212f x f x g x g x −<−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的单调性关系即可求出，（2）令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2（1，2]上单调递减，即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立，所以得1b x x ≥+，求出即可．【解答】解：（1）()21ln 2h x x x bx =+−的定义域为()0,+∞，当4b =时，()21ln 42h x x x x =+−，()2141'4x x h x x x x−+=+−=， 令()'0h x =，解得12x =−，22x =+(2x ∈时，()0h x ′<， 当(0,2x ∈或()2+∞时，()0h x ′>，所以，()h x 在(0,2和()2+∞单调递增；在(2单调递减． （2）因为()ln f x x =在区间(]1,2上单调递增， 当2b ≥时，()212g x x bx =−在区间(]1,2上单调递减， 不妨设12x x >，则()()()()1212f x f x g x g x −<−等价于()()()()1122f x g x f x g x +<+， 令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2上单调递减， 即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立， 所以得1b x x≥+在区间(]1,2上恒成立， 因为1y x x=+在(]1,2上单调递增， 所以max 15222y =+=，所以得5b≥．2【点评】本题考查了导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值，理解等价转化思想的运用，属于中档题．【第10题】（2018•邕宁区校级模拟）设函数()e xa f x x x=−，a ∈R 且0a ≠，e 为自然对数的底数． （1）求函数()f x y x=的单调区间； （2）若1ea =，当120x x <<时，不等式()()()211212m x x f x f x x x −−>恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数y 的导数y ′，利用导数判断函数y 的单调性与单调区间； （2）120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−；构造函数()()mg x f x x=−，由()g x 在()0,+∞上为减函数，得出()0g x ′≤， 再利用构造函数求最值法求出m 的取值范围． 【解答】解：（1）函数()2e 1xf x a y x x==−， ()243e 2e 2e xx x a x a x x a y x x −⋅−⋅∴′==， ①当0a >时，由0y ′>得02x <<，由0y ′<得0x <或2x >； ②当0a <时，由0y ′>得0x <或2x >，由0y ′<得02x <<． 综上：①当0a >时，函数()f x y x=的增区间为()0,2，减区间为(),0−∞，()2,+∞； ②当0a <时，函数()f x y x=的增区间为(),0−∞，()2,+∞，减区间为()0,2． （2）当120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−，即函数())e (e x m mg x f x x x x x=−=−−在()0,+∞上为减函数，则()()()1212221e 1e 10x x x x x m m g x x x x−−−−−+′=−+=≤， ()121e x m x x −∴≤−−；令()()121e x h x x x −=−−， 则()()11 e 2e 2x x h x x xx −−′=−=−，由()0h x ′=得ln 2e x =；当()0,ln 2e x ∈时，()0h x ′<，()h x 为减函数； 当()ln 2e,+x ∈∞时，()0h x ′>，()h x 为增函数．()h x ∴的最小值为()()()()22ln 2e 12ln 2e ln 2e 1e ln 2e 2ln 2ln 21ln 21h −=−−=−+=−−； 2ln 21m ∴≤−−，m ∴的取值范围是(22,ln 1 −−∞− ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．三、【不等式证明】【第11题】（2018新课标Ｉ）已知函数()e ln 1x f x a x =−−．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【分析】（1）推导出0x >，()1e x f x a x ′=−，由2x =是()f x 的极值点，解得212ea =，从而()21e ln 12exf x x =−−，进而()211e 2e x f x x ′=−，由此能求出()f x 的单调区间． （2）当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e xg x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−，由此利用导数性质能证明当1ea ≥时，()0f x ≥． 【解答】解：（1）∵函数()e ln 1x f x a x =−−． ∴0x >，()1e xf x a x′=−， ∵2x =是()f x 的极值点，∴()212e 02f a ′=−=，解得212ea =，∴()21e ln 12exf x x =−−，∴()211e 2e x f x x ′=−， 当02x <<时，()0f x ′<，当2x >时，()0f x ′>， ∴()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增．（2）证明：当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e x g x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−， 由()e 10e x g x x ′=−=，得1x =，当01x <<时，()0g x ′<， 当1x >时，()0g x ′>， ∴1x =是()g x 的最小值点，故当0x >时，()()10g x g ≥=， ∴当1ea ≥时，()0f x ≥． 【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．【第12题】（2018新课标Ⅲ）已知函数()21e xax x f x +−=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1−处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥． 【分析】（1）()()()()2221e 1e e x xx ax ax x f x +−+−′=由()02f ′=，可得切线斜率2k =，即可得到切线方程． （2）可得()()()()()()2221e 1e 12ee x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．可得()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a−递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．只需()min e f x ≥−，即可． 【解答】解：（1）()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．∴()02f ′=，即曲线()y f x =在点()01−，处的切线斜率2k =， ∴曲线()y f x =在点()01−，处的切线方程方程为()12y x −−=． 即210x y −−=为所求．（2）证明：函数()f x 的定义域为：R ， 可得()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．令()0f x ′=，可得12x =，210x a=−<， 当1,x a∈−∞−时，()0f x ′<，当1,2x a ∈− 时，()0f x ′>，当()2,x ∈+∞时，()0f x ′<．∴()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a − 递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．函数()f x 的图象如下：∵1a ≥，∴(]10,1a∈，则11e e a f a−=−≥−， ∴()1min e e af x =−≥−， ∴当1a ≥时，()e 0f x +≥．【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．【第13题】（2016新课标Ⅲ）设函数()ln 1f x x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<； （3）设1c >，证明当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证ln 1ln x x x x <−<．运用（1）的单调性可得ln 1x x <−，设()ln 1F x x x x =−+，1x >，求出单调性，即可得到1ln x x x −<成立；（3）设()()11x G x c x c =+−−，求()G x 的二次导数，判断()G x ′的单调性，进而证明原不等式．【解答】解：（1）函数()ln 1f x x x =−+的导数为()11f x x′=−， 由()0f x ′>，可得01x <<；由()0f x ′<，可得1x >． 即有()f x 的增区间为()0,1；减区间为()1,+∞； （2）证明：当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<，即为ln 1ln x x x x <−<． 由（1）可得()ln 1f x x x =−+在()1,+∞递减， 可得()()10f x f <=，即有ln 1x x <−；设()ln 1F x x x x =−+，1x >，()1ln 1ln F x x x ′=+−=， 当1x >时，()0F x ′>，可得()F x 递增，即有()()10F x F >=， 即有ln 1x x x >−，则原不等式成立； （3）证明：设()()11x G x c x c =+−−，则需要证明：当()0,1x ∈时，()0G x >（1c >）；()1ln x G x c c c ′=−−，()()2ln 0x G x c c ′′=−<，∴()G x ′在()0,1单调递减，而()01ln G c c ′=−−，()11ln G c c c ′=−−， 由（1）中()f x 的单调性，可得()01ln 0G c c ′=−−>，由（2）可得()()11ln 1ln 10G c c c c c ′=−−=−−<，∴()0,1t ∃∈，使得0G t ′=（），即()0,x t ∈时，()0G x ′>，(),1x t ∈时，()0G x ′<； 即()G x 在()0,t 递增，在(),1t 递减； 又因为：()()010G G ==，∴()0,1x ∈时()0G x >成立，不等式得证； 即1c >，当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．【第14题】（2015新课标Ｉ）设函数()2e ln x f x a x =−． （1）讨论()f x 的导函数()f x ′零点的个数； （2）证明：当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【分析】（1）先求导，在分类讨论，当0a ≤时，当0a >时，根据零点存在定理，即可求出；（2）设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ，根据函数()f x 的单调性得到函数的最小值()0f x ，只要最小值大于22ln a a a+，问题得以证明．【解答】解：（1）()2e ln x f x a x =−的定义域为()0,+∞， ∴()22e x xx af =′−． 当0a ≤时，()0f x ′>恒成立，故()f x ′没有零点， 当0a >时，∵2e x y =为单调递增，ay x=−单调递增， ∴()f x ′在()0,+∞单调递增， 又()0f a ′>，假设存在b 满足0ln2a b <<时，且14b <，()0f b ′<， 故当0a >时，导函数()f x ′存在唯一的零点；（2）由（1）知，可设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ， 当()00,x x ∈时，()0f x ′<， 当()0,x x ∈+∞时，()0f x ′>，故f(x)在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增， 所欲当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ， 由于0202e 0x ax −=，所以()002a f x x =+02ax +2ln a a ≥2a +2ln a a． 故当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．【第15题】（2015安徽）设n ∗∈N ，n x 是曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线与x 轴交点的横坐标． （1）求数列{}n x 的通项公式； （2）记2221321n n T x x x −= ，证明：14n T n≥． 【分析】（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标； （2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．【解答】解：（1）2221'1'22n n y x n x ++=+=+（）（），曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线斜率为22n +，从而切线方程为()()2221y n x −=+−．令0y =，解得切线与x 轴的交点的横坐标为1111n n x n n =−=++；（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：22213222211321242n n n n T x x x−− = =， 当1n =时，114T =， 当2n ≥时，因为()()()()2222212221211212212222n n n n n n n n n n n x −−−−−−−=>=== ， 所以2112112234n T n n n − >××××= ；综上所述，可得对任意的n ∗∈N ，均有14n T n≥． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．四、【零点问题】【第16题】（2018秋•龙岩期末）已知函数()()2ln 12f x x ax a x a =−−−+（a ∈R ）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）令函数()()()()22e 1ln 1x g x f x x a x −=+−+−−，若函数()g x 有且只有一个零点0x ，试判断0x 与3的大小，并说明理由．【分析】（1）由()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >），分212a +≤和212a +>两类分析函数的单调性；（2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+，求其导函数，可得()21e 1x g x a x −′=−−−，令()()h x g x ′=，对()h x 求导，分析可得()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，结合已知可得01x x =，则()()0000g x g x ′ = = ，由此可得()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 再利用导数判断其单调性，结合函数零点的判定可得03x <． 【解答】解：（1）()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >）， 当212a +≤，即0a ≤时，()0f x ′>在()1,+∞上恒成立，()f x 在()1,+∞上单调递增； 当212a +>，即0a >时，若21,2a x + ∈ ，则()0f x ′<，若2,2a x + ∈+∞，则()0f x ′>， ∴()f x 在21,2a + 上单调递减，在2,2a ++∞上单调递增； （2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+． 则()21e 1x g x a x −′=−−−，易知()g x ′在()1,+∞上单调递增，当1x >且1x →时，()g x ′→−∞，x →+∞，()g x ′→+∞， ∴()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，当()11,x x ∈时，()0g x ′<，当()1,x x ∈+∞时，()0g x ′>． ∴()()1min g x g x =，由已知函数()g x 有且只有一个零点0x ，则01x x =． ∴()()0000g x g x ′ = = ，即()0022001e 01e ln 120x x a x ax x a −− −−= − −−−+=， 消a 得，()000222000011e ln 1e 2e 011x x x x x x x −−−−−−−+−= −−， ()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 则()()()2212e 1x t x x x −′=−+−． ∴()1,2x ∈时，()0t x ′>，()2,x ∈+∞时，()0t x ′<． ∴()t x 在()2,+∞上单调递减． ∵()210t =>，()13ln 202t =−+<， ∴()t x 在()2,3上有一个零点，在()3,+∞上无零点． 若()t x 在()1,2上有一个零点，则该零点必小于3． 综上，03x <．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第17题】（2019•大庆二模）已知函数()22ln f x x a x =−（a ∈R ）． （1）当12a =时，点M 在函数()y f x =的图象上运动，直线2y x =−与函数()y f x =的图象不相交，求点M 到直线2y x =−距离的最小值； （2）讨论函数()f x 零点的个数，并说明理由．【分析】（1）首先写出函数的定义域，对函数求导，分析在什么情况下满足距离最小，构造等量关系式，求解，得到对应的点的坐标，之后应用点到直线的距离公式进行求解即可；（2）对函数求导，分情况讨论函数的单调性，依次得出函数零点的个数． 【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 12a =时，()2ln f x x x =−，()12f x x x ′=−，令()1f x ′=，解得：1x =或12x =−，又()11f =，故图像上的点到直线20x y −−=的距离的最小值即为点()1,1M 到直线20x y −−=的距离，其距离d（2）由()0f x =，得22ln x a x =（0x >且1x ≠），设()2ln x g x x=（0x >且1x ≠），2y a =， 问题转化为讨论()y g x =的图象和2y a =的图象的交点个数问题， ()()22ln 1ln x x g x x−′=，（0x >且1x ≠），令()0g x ′=，解得x ，当01x <<或1x <<时，()0g x ′<，当x 时，()0g x ′>，故()g x 在()0,1，(递减，在)+∞递增，故()2e g x g =极小值，又01x <<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >，故当20a <或22e a =即0a <或e a =时，直线2y a =与函数()y g x =的图象有1个交点， 当22e a >即e a >时，有2个交点， 当0e a ≤<时没有交点，故函数()f x 当0a <或e a =时1个零点，当0a <或e a =时2个零点，0e a ≤<时没有零点．【点评】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有图象上的点到直线的距离的最小值的求解，导数的几何意义，应用导数研究函数的零点的问题，注意对分类讨论思想的应用，要做到不重不漏，属于较难题目．【第18题】（2018秋•周口期末）已知函数()22ln f x ax x =−（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当21e a =时，若函数()y f x =的两个零点分别为1x ，2x （12x x <），证明：()12ln ln 21x x +>+．【分析】（1）求函数的定义域和函数的导数，分0a ≤和0a >分类讨论函数的单调性即可；（2）欲证()12ln ln 21x x +>+，只需证122e x x +>，即证122e x x >−，只需证()()212e 0f x f x −>=，将()22e f x −表示出来化简整理并构造函数()()442ln 2ln 2e 1etg t t =−+−−，由函数()g t 的单调性即可证明． 【解答】解：（1）易知()f x 的定义域是()0,+∞，()()22122ax f x ax x x−′=−=， 当0a ≤时，()0f x ′<，()f x 在()0,+∞递减，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞递增； （2）证明：当21ea =时，()222ln e x f x x =−，由（1）知()()min e 1f x f ==−，且()10,e x ∈，()2e,x ∈+∞，又由()2e 22ln 20f =−>知22e x <，即()2e,2e x ∈，故()22e 0,e x −∈，由()222222ln 0e x f x x =−=，得22222e ln x x =，故()()()()222222222e 42e 2ln 2e 42ln 2ln 2e eex x f x x x x −−=−−=−+−−，()2e,2e x ∈，令()()442ln 2ln 2e etg t t t =−+−−，()e,2e t ∈， 则()()()24e 0e 2e t g t t t −′=>−， 故()g t 在()e,2e 递增，故()()e 0g t g >=，即()()212e 0f x f x −>=， 又()f x 在()0,e 上单调递减，故212e x x −<，即()12ln ln 21x x +>+．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想考查不等式的证明，是一道综合题．（2018秋•咸阳期末）已知函数()221ln 2f x x a x =−（0a >）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在[]1,e 上没有零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出()f x ′，解不等式()0f x ′>，()0f x ′<，即可求出()f x 的单调区间； （2）用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >）， 令()0f x ′>，解得x a >；令()0f x ′<，解得0x a <<， ∴函数()f x 的单调增区间为(),a +∞，单调减区间为()0,a ．（2）要使()f x 在[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <， 又()1102f =>，只需在区间[]1,e 上，()min 0f x >． ①当e a ≥时，()f x 在区间[]1,e 上单调递减，则()()22min 1e e 02f x f a ==−>，解得0a <<与e a ≥矛盾． ②当1e a <<时，()f x 在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],e a 上单调递增， ()()()2min 112ln 02f x f a a a ==−>，解得0a <1a <③当01a <≤时，()f x 在区间[]1,e 上单调递增，()()min 10f x f =>，满足题意， 综上所述，实数a 的取值范围是：0a <<【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．（2018秋•芜湖期末）已知函数()2ln 1f x x a x =−−（a ∈R ）． （1）求()f x 的极值点；（2）若函数()f x 在区间()0,1内无零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定是否存在零点，进而判断a 的范围．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >），当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,+∞递增，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞ 递增，故x =是极小值点，无极大值点； （2）()22x af x x −′=（01x <<）， ∵01x <<，∴2022x <<，当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,1递增， 故()()10f x f <=，函数无零点，符合题意； 当2a ≥时，()0f x ′<，()f x 在()0,1递减， 故()()10f x f >=，函数无零点，符合题意；当02a <<时，存在()00,1x =，使得()00f x ′=，故()f x 在 递减，在递增，又10e1a−<<，1e 0a f −> ，()10f f <=， 故()f x 在()0,1有零点，不合题意；综上，若函数()f x 在区间()0,1内无零点，则2a ≥或0a ≤．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
导数复习导数大题练习(含详解答案)
1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。
〔I 〕求函数()f x 单调区间； 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕； 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。
高三数学 导数培优专题(含解析)
培优导数专题1、（本大题满分12分） 设函数f （x ）=.cos 2sin xx+（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）如果对任何,0≥x 都有f （x ）ax ≤，求a 的取值范围. 2．（本小题满分12分）已知.)2()(,02xe ax x xf a -=≥函数（Ⅰ）当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围.3、已知函数21()ln (1)(0).2f x x ax a x a R a =-+-∈≠且（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点．如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）夺在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．4、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。
如果函数2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2f -<-。
（1）试求函数()f x 的单调区间；（2）已知各项均为负的数列{}n a 满足1)1(4=nn a f s ，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-；（3）设1n nb a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：201120101ln 2011T T -<<。
5、（12分）设函数f （x ） ＝ x 2＋bln （x ＋1）,（1）若对定义域的任意x ，都有f （x ）≥f （1）成立，求实数b 的值； （2）若函数f （x ）在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝－1，证明对任意的正整数n ，不等式33311......31211)1(nk f nk ++++∑=π都成立；6、（12分）已知函数)()(R x kx e x f x∈-= （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间；（2）若0>k 且对任意R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(21*+∈+>⋅N n en F F F nn Λ1解： （I ）.)cos 2(1cos 2)cos 2()sin (sin cos )cos 2()(22x x x x x x x x f ++=+--+=' ……2分分是减函数在每一个区间是增函数在每一区间因此即时当即时当6.))(342,322()(,))(322,322()(.0)(,21cos ,)(342322;0)(,21cos ,)(322322ΛΛZ Z Z Z ∈++∈+-<'-<∈+<<+>'->∈+<<-k k k x f k k k x f x f x k k x k x f x k k x k ππππππππππππππππ（II ）令则),()(x f ax x g -=.31)31cos 21(3)cos 2(3cos 22)cos 2(1cos 2)(222-+-+=+++-=++-='a x x x a x x a x g故当.)(,0)0()(,0,0)0(.0)(,31ax x f g x g x g x g a ≤=≥≥=≥'≥即时所以当又时[)[).2021)2(,0.3sin cos 2sin )(,)3arccos ,0(,.3sin ,0)0()(,)3arccos ,0(.3arccos ,0)(.0)(,3arccos ,0.3cos )(,3sin )(,310ππ⋅≥>=≤>>+=∈>=>∈>'∈-='-=<<a f a ax xx x x f a x ax x h x h a x a x h x h a x a x x h ax x x h a 有时当时当于是即时故当上单调增加在因此时故当则令时当因此，a 的取值范围是.,31⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞……12分2．解：（I ）对函数f (x )求导数，得 .]2)1(2[)22()2()(22xx x e a x a x e a x e ax x x f --+=-+-='令0)(='x f ，得 [x 2+2(1－a )x －2a ]e x =0，从而x 2+2(1－a )x －2a =0.解得 212221,11,11x x a a x a a x <++-=+--=其中,当x 变化时，)(x f '，f (x )的变化如下表：当f (x )在x =x 1处取到极大值，在x =x 2处取到极小值，……………………4分 当a ≥0时，x 1<－1, x 2≥0，f (x )在(x 1 , x 2)为减函数，在(x 2,+ ∞)为增函数.而当x <0时，f (x )=x (x －2a )e x>0；当x =0时，f (x )=0.所以当x =a －1+21a +时, f (x )取得最小值. …………………8分（II ）当a ≥0时，f (x )在[－1，1]上单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1+21a +≥1.解得a ≥43；综上：f (x )在[－1，1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥43；即a 的取值范围是),43[+∞… 3、解：（Ⅰ） 函数()f x 的定义域是(0,)+∞. ………1分由已知得，1(1)()1'()1a x x a f x ax a x x-+=-+-=-. ………2分 ⅰ 当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⅱ 当0a <时，①当11a -<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得10x a<<-或1x >; ∴函数()f x 在1(0,)a-和(1,)+∞上单调递增②当11a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a>-∴函数()f x 在(0,1)和1(,)a-+∞上单调递增 。
数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案
数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案一、导数及其应用多选题1．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论． 【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||2PQ =，而2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ． 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．2．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，1223bx x a +=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】 因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦， 令()()+1xf xg x e =，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.4．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上 B ．若阿基米德三角形PAB为正三角形，则其面积为4C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩，解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒=， 因此正三角形PAB， 所以正三角形PAB的面积为11sin 6022︒==， 故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+， 因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.5．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.6．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>【答案】ABC 【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13ax -=-，23a x -= 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值 极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3a x -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需0303a f a f ⎧⎛--<⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a ab -<<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨-⎪>⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即2033a ab ->>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.7．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+= 【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos x x π-=. 分别画出21x y π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数， ,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数， (),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确.因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =， 显然122x x π+<，故D 错误. 故选：BC【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.8．下列命题正确的有（ ）A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a b ab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围.【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点， 所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-； D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。
根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。
2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。
解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。
因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。
3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。
解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。
新人教版高中数学选择性必修第二册培优班精讲《导数的运算》练习含答案解析
5.2 导数的运算考点一 初等函数求导【例1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ （4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x = （6）11x y x +=-【答案】(1)2()68f x x x =-+ (2)2()2f x x x a '=-+ (3)()sin 1f x x '=-+ (4)1()23f x x x'=--+ (5)cos y x '= (6)22(1)y x '=--【解析】（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ ，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则 'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.【一隅三反】1．（2020·西藏高二期末（文））求下列函数的导数.（1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x=+；（3）322354y x x x =-+-.【答案】（1）22sin cos y x x x x '=+（2）211y x x'=-（3）2665y x x '=-+【解析】（1）2sin y x x =22sin cos y x x x x '=+（2）n 1l y x x =+211y x x'=-（3）322354y x x x x =-+-2665y x x '=-+2．（2020·通榆县第一中学校高二月考（理））求下列函数的导数：（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e x y x =.【答案】（Ⅰ）14sin x x x+-；（Ⅱ）()233e xx x +.【解析】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得()212(ln )(cos )4sin y x x x x x x'=++=+-'''.（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得()()()3323e e 3e x xx y x x xx ''=+=+'.3．（2020·山东师范大学附中高二期中）求下列函数在指定点的导数：（1）4ln(31)y x =++ ，1x =； （2）2cos 1sin x y x=+，π2x =．【答案】（1）12x y ='=（2）21ln 2x y π==+'【解析】（1）321231y x x -'=-++，12x y ='=（2）21sin y x+'=，21ln2x y π==+'考点二 复合函数求导【例2】．（2020·凤阳县第二中学高二期末（理））求下列函数的导数：（1）2=e x y ；（2）()313y x =-.【答案】（1）22x e ；（2）29(13)x --或281549y x x '=-+-．【解析】（1）2'22e (2)e 22e x x x y x =⋅=⋅='；（2）()()22'313(13)913y x x x =--=--'．或281549y x x '=-+-． 【一隅三反】1．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考（理））求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，；(2)(ln y x =+；(3)11x x e y e +=-；(4)2)2(+5y xsin x ＝．【答案】（1）()1'221n y n x -=+；（2）'y =；（3）()221xxe y e-'=-；（4）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.【解析】(1)()()()11'2121'221n n y n x x n x ⋅－－＝＋＋＝＋；（2）1y ⎛=+= ⎝'（3）∵12111xx xe y e e +==+--∴()()222211xxx xe e y e e'-=-=--；（4）()()2sin 254cos 25y x x x =+'++.2．（2020·横峰中学高二开学考试（文））求下列各函数的导数：（1）ln(32)y x =-；（2）()212x x f x ee e -+=++（3）y【答案】（1）332y x '=-；（2）21()2x x f x e e -+'=-+.（3）y '=【解析】（1）因为ln(32)y x =-令32t x =-，ln y t =所以()()1332ln 332y x t t x '''=-⋅=⋅=-（2）()21221,()2x x x x f x e f x ee e e -+-+∴'=-+++= .（3）令212t x =-，则12y t =，所以112211()(4)22y t t t x -'''==⋅=-=；考点三 求导数值【例3】．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()3(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=A ．12-B ．12C ．1-D ．e【答案】A【解析】()()31ln f x xf x '=+ ，求导得()()131f x f x''=+，则()()1311f f ''=+，解得()112f '=-.故选：A.【一隅三反】1．（2020·广东湛江·高二期末（文））已知函数()cos x f x x =，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭'（ ）A ．2π-B ．2πC ．3πD ．3π-【答案】A【解析】()cos x f x x = ，()2sin cos x x x f x x --'∴=，因此，2sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭'-==- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2020·四川高二期中（理））若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．6πC ．3πD ．π【答案】B【解析】因为()()20sin 1f x x f x ''=-+，所以令0x =，则()01f '=，所以()2sin 1f x x x '=-+，则66f ππ⎛⎫'=⎪⎝⎭，故选： B.3．（2020·广西桂林·高二期末（文））已知函数2()f x x x =+，则()1f '=（ ）A ．3B ．0C ．2D ．1【答案】A【解析】由题得()21(1)3f x x f ''=+∴=，.故选：A 考点四 求切线方程【例4】．（2020·郸城县实验高中高二月考（理））已知曲线31433y x =+（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程【答案】（1）440x y --=；（2）20x y -+=或440x y --=．【解析】（1）∵2y x '=，∴在点()2,4P 处的切线的斜率2|4x k y ='==，∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为()442y x -=-，即440x y --=．（2）设曲线31433y x =+与过点()2,4P 的切线相切于点30014,33A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线的斜率020|x x k y x =='=，∴切线方程为()320001433y x x x x ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，即23002433y x x x =⋅-+．∵点()2,4P 在该切线上，∴2300244233x x =-+，即320340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴()()()2000014110x x x x +-+-=，∴()()200120x x +-=，解得01x =-或02x =．故所求切线方程为440x y --=或20x y -+=．【一隅三反】1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考（文））曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-【答案】A【解析】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A.2．（2020·河南高三其他（理））曲线()21ln 22y x x =-在某点处的切线的斜率为32-，则该切线的方程为（）A ．3210x y +-=B ．3210x y ++=C ．6450x y +-=D ．12870x y +-=【答案】D【解析】求导得1y x x '=-，根据题意得132y x x '=-=-，解得2x =-（舍去）或12x =，可得切点的坐标为11,28⎛⎫⎪⎝⎭，所以该切线的方程为131822y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得12870x y +-=.故选：D.3．（2020·北京高二期末）过点P （0，2）作曲线y ＝1x 的切线，则切点坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（2，12）C ．（3，13）D ．（0，1）【答案】A【解析】设切点001(,)x x ,022001112(0)y x x x x '=-∴-=--Q 01x ∴=,即切点(1,1)故选：A4．（2020·吉林洮北·白城一中高二月考（理））已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4．(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【答案】（1）x －y －4＝0（2）x －y －4＝0或y ＋2＝0【解析】(1)∵f′(x)＝3x 2－8x ＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0．(2)设切点坐标为(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∵f′(x 0)＝3x 02－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 02－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∴x 03－4x 02＋5x 0－2＝(3x 02－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0．考点五 利用切线求参数【例5】．（2020·全国高三其他（理））已知曲线()ln xy e ax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，则k =（）A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】D【解析】令()()ln xy f x eax x ==-，则()()1ln x xf x e ax x e a x'=-+-（，所以()12f ea e ='-，因为曲线()ln xy eax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，所以该切线过原点，所以()12f ea e ae ='-=，解得1a =，即k e =.故选：D.【一隅三反】1．（2020·岳麓·湖南师大附中月考）已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______.【答案】12-【解析】因为函数()2ln x f x ax x =-，所以()21ln 2xf x ax x-'=-，又因为曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，所以()1122f a '=-=，解得12a =-，故答案为：12-2．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））曲线(1)x y ax e =+在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a ＝_____.【答案】1【解析】 (1)x y ax e =+，∴(1)x y ax a e '=++ 012x y a =∴=+='，1a \=.故答案为：1.3．（2020·山东莱州一中高二月考）已知直线y x b =+是曲线3x y e =+的一条切线，则b =________.【答案】4【解析】设()3xf x e =+，切点为()00,+3xx e ，因为()xf x e '=，所以01x e =，解得00x =，所以0034y e =+=，故切点为(0,4)，又切点在切线y x b =+上，故4b =.故答案为：4。
高考理科数学考前培优练习导数及其应用(压轴题)
(x>
0),
当 m≥ 0 时 ,函数 y=f (x) 的减区间为
0,1
2
,增区间为
1
2 ,+ ∞ .
当
m< 0 时 ,由
f'
(x)
=
(????+1)( ??2
2??- 1)=
0,得
1
x=- ??,或
1
x= 2.
当 m<- 2 时 ,y=f (x)的减区间为
0,- 1 和
??
1,+ ∞
2
,增区间为
-1
1
,
;
?? 2
当 m=- 2 时 ,y=f (x)的减区间为 (0,+ ∞),没有增区间 .
当 -2<m< 0 时,y=f (x)的减区间为
0,1
2
和
-
1
??,+
∞
,增区间为
11
2,-?? .
综上可知 : 当 m≥ 0 时 ,函数 y=f ( x)的减区间为
1
0,
2
,增区间为
1
2,+ ∞ ;
当 m<- 2 时 ,y=f (x)的减区间为
当 a>- 1 时,f' (x) 在[ -2,a] 上的最小值为 f'(-1), 由 f' (-1)= 1-2+a ≥ 0 得 a≥1, 综上 ,实数 a 的取值范围是 [1,+∞).
1
2.已知函数 f(x)= (2-m )ln x+ ??+ 2mx.
(1) 当 f'(1) = 0 时 ,求实数 m 的值及曲线 y=f (x)在点 (1,f(1)) 处的切线方程 ; (2) 讨论函数 f(x)的单调性 . 解 (1)函数 y=f ( x)的定义域为 (0,+∞),
高考数学重难点培优讲义之导数小题典型题型(含答案解析)
导数小题【题型1 函数切线问题】 (4)【题型2 导数中函数的单调性问题】 (4)【题型3 导数中函数的极值问题】 (5)【题型4 导数中函数的最值问题】 (6)【题型5 函数零点（方程根）个数问题】 (7)【题型6 利用导数解不等式】 (9)【题型7 导数中的不等式恒成立问题】 (10)【题型8 任意存在性问题】 (10)【题型9 函数零点嵌套问题】 (11)【题型10 双变量问题】 (13)导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1 切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4 导数的综合应用】1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)已知函数零点个数求参数的常用方法①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解．【题型1 函数切线问题】【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=(1−x)e x有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(3,+∞)B．(−3,1)C．(−∞,−3)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数f(x)=1e x−1，则曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为（）A．e x+y+1=0B．e x−y+1=0C．e x+y−1=0D．e x−y−1=0【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线y=kx与曲线y=ln x相切，则k=（）A．1e2B．2e2C．1eD．2e【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数f(x)=12x2+alnx在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−2,0)D．(−3,−2)【题型2 导数中函数的单调性问题】【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A．y=1x2B．y=e−2x C．y=−x2+1D．y=lg|x|【变式2-1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数f(x)=2(x−1)e x−x2−ax在R上单调递增，则a的最大值是（）A．0B．1eC．e D．3【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知x=ln56，y=2425ln45，z=−16，则（）A．y<x<z B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z【变式2-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数f(x)=e x(x+a)x在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0,+∞)B．(−∞,−4]C．(−∞,−4]∪[0,+∞)D．[−4,0]【题型3 导数中函数的极值问题】【例3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数f(x)=x3−2ax2+a2x+1在x=1处有极小值，则a的值为（）A．1B．3C．1或3D．−1或3【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x−tanx−π在区间(−π2,π2)的极大值、极小值分别为（）A ．π2+1，−π2+1 B ．−π2+1，−3π2+1 C ．3π2−1，−π2+1D ．−π2−1，−3π2+1【变式3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数f (x )=e x +x 22−lnx 的极值点为x 1，函数ℎ(x )=lnx 2x的最大值为x 2，则（ ）A ．x 1>x 2B ．x 2>x 1C ．x 1≥x 2D ．x 2≥x 1【变式3-3】（2023·广东广州·广州校考模拟预测）设函数f (x )=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（ ）A ．ω的取值范围是[125,2910)B ．f (x )在(0,π10)单调递增C ．若x =3π25是f (x )在(0,2π)上的第一个极值点，则ω=165；D ．若x =3π25是f (x )在(0,2π)上的第一个极值点，y =−52x +4π5是f (x )的切线【题型4 导数中函数的最值问题】【例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数f (x )=x 2+(a −1)x −3lnx 在(1,2)内有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−32,2)B ．[−32,2]C ．(−43,2)D ．(−43,1]【变式4-1】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为（）A．1B．−4C．−3D．5【变式4-2】（2023·广东湛江·校考模拟预测）已知函数f(x)=e x+x3+(a−3)x+1在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．(-e，2)B．(-e，1-e)C．(1，2)D．(−∞,1−e)【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数f(x)=xlnx，g(x)=x e x，若存在t>0，使得f(x1)= g(x2)=t成立，则x1−2x2的最小值为（）A．2−ln4B．2+ln4C．e−ln2D．e+ln2【题型5 函数零点（方程根）个数问题】，若函数g(x)=【例5】（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数f(x)={x3+2x2+x,x≥0−2x,x<0f(x)−|kx2−4x|,(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围（）A．(−∞,−1)∪(2√5,+∞)B．(−∞,−√5)∪(0,2)C．(−∞,0)∪(0,2+2√2)D．(−∞,0)∪(2+2√5,+∞)【变式5-1】（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）已知函数f(x)={e x,x≥0−3x,x<0，若函数g(x)=f(−x)−f(x)，则函数g(x)的零点个数为（）A．1B．3C．4D．5【变式5-2】（2023·陕西商洛·陕西校考模拟预测）已知函数f(x)={x e x,x<0−x2+2x,x≥0，若关于x的方程f2(x)−(2+t)f(x)+2t=0有3个不同的实数根，则实数t的取值范围为（）A．(−∞,−1e )B．(−1e,0)C．[−1e,1]D．(−e,2)【变式5-3】（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）已知函数f(x)=(x2−2x)e x，若方程f(x)=a有3个不同的实根x1,x2,x3(x1<x2<x3)，则ax2−2的取值范围为（）A．[−1e ,0)B．[−2e,0)C．(−√2e−√2,0)D．(−√2e−√2,√2e√2)【题型6 利用导数解不等式】【例6】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足f ′(x )−f (x )x−1>0，且f (1)=1，则不等式f (e x )−(x +1)e x >0的解集为（ ）A ．(0,+∞)B ．(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(−∞,1)【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 3+2x 2+3．若f(−9)≥f (a 2−2a +1)，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[−2√3,4]B ．[−4,2]C ．[−2,4]D ．[−4,2√3]【变式6-2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）设函数f ′(x )是函数f(x)(x ∈R )的导函数，f (3)=e 3，且f ′(x )−f (x )>0恒成立，则不等式f (x )−e x >0的解集为（ ）A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(−∞,3)D ．(3,+∞)【变式6-3】（2023·四川达州·统考一模）已知f (x )=lnx −ax 3，g (x )=x e x −lnx −x −34，若不等式f (x )g (x )>0的解集中只含有两个正整数，则a 的取值范围为（ ）A ．[ln327,ln28) B ．(ln327,ln28) C ．[ln232,ln327) D ．(ln232,ln327)【题型7 导数中的不等式恒成立问题】【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=ln(√x2+1+x)+e x−e−x−2x+3，若f(a e x)+f(lna−lnx)>6对于x∈(0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是．【变式7-1】（2023·陕西咸阳·咸阳校考模拟预测）已知f(x),g(x)分别是定义域为R的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=e x，若关于x的不等式2f(x)−ag2(x)≥0在(0,ln2)上恒成立，则实数a的最大值是．【变式7-2】（2023·陕西咸阳·武功校考模拟预测）已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数，若xf′(x)−f(x)=xe x ，f(1)=−1e，且x≥1时，f(x e x)≤f(x+lnx−a)恒成立，则a的取值范围是.【变式7-3】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数f(x)=e x+ax−2，其中a∈R，若对于任意的x1,x2∈[2,+∞)，且x1<x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)<a(x1−x2)成立，则实数a的取值范围是．【题型8 任意存在性问题】【例8】（2023·四川乐山·统考二模）若存在x0∈[−1,2]，使不等式x0+(e2−1)lna≥2ae x0+e2x0−2成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[12e ,e 2]B ．[1e2,e 2]C ．[1e2,e 4]D ．[1e,e 4]【变式8-1】（2023·四川南充·统考三模）已知函数f(x)=13x 3，g(x)=e x −12x 2−x ，∃x 1，x 2∈[1,2]使|g (x 1)−g (x 2)|>k |f (x 1)−f (x 2)|（k 为常数）成立，则常数k 的取值范围为（ ）A ．(−∞,e −2]B ．(−∞,e −2)C ．(−∞,e 2−34] D ．(−∞,e 2−34)【变式8-2】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数f (x )=x 2e x,x >0.若存在实数a ∈[0,1]，使得f (2−1m )≤a 3−12a 2−2a +e −1成立，则正实数m 的取值范围为（ ）A ．(12,1] B ．[12,1]C ．(0,1)D ．(0,1]【变式8-3】（2023·贵州·校联考二模）已知函数f (x )=x e x +2a ，g (x )=eln x x，对任意x 1∈[1,2]，∃x 2∈[1,3]，都有不等式f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[−e 2,+∞)B ．[1−e 2,+∞)C ．[−e2,+∞)D ．[12−e 2,+∞)【题型9 函数零点嵌套问题】【例9】（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知函数f (x )=(ln x )2−a2x ln x +aex 2有三个零点x 1、x 2、x 3且x 1<x 2<x 3，则2lnx 1x 1+lnx 2x 2+lnx 3x 3的取值范围是（ ）A．(−1e2−e ,0)B．(−1e2,0)C．(−12e,0)D．(−2e,0)【变式9-1】（2023·四川成都·四川校考模拟预测）已知a>1，x1,x2,x3为函数f(x)=a x−x2的零点，x1< x2<x3，若x1+x3=2x2，则（）A．x3x2<2ln a B．x3x2=2ln aC．x3x2>2ln a D．x3x2与2ln a大小关系不确定【变式9-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数f(x)=e x−1x +xe x−1+x+a，若f(x)=0有3个不同的解x1，x2，x3且x1<x2<x3，则2e x1x1+e x2x2+e x3x3的取值范围是（）A．(e,+∞)B．[2e,+∞)C．(−8e,+∞)D．(e,2e)【变式9-3】（2023·江西南昌·统考二模）已知正实数a使得函数f(x)=(e x−ax)(x−alnx)有且只有三个不同零点x1,x2,x3，若x1<x2<x3，则下列x1,x2,x3的关系式中，正确的是（）A．x1+x3=2x2B．x1+x2=√ax3C．x1x3=√a2x22D．x1x3=x22【题型10 双变量问题】【例10】（2023下·福建福州·高二校考期中）已知函数f(x)=(x−2)e x，若f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，x1⋅x2> 0，则（）A．x1>12B．x2<32C．x1x2>1D．x1+x2<2【变式10-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）若实数x,y满足4lnx+2ln(2y)≥x2+8y−4，则（）A．xy=√24B．x+y=√2C．x+2y=1+√2D．x2y=1【变式10-2】（2023下·河南信阳高二淮滨高中校考阶段练习）设函数f(x)=e x(x−ae x)(其中e为自然对数的底数)恰有两个极值点x1,x2(x1<x2)，则下列说法中正确的是(）A．0<a<13B．0<x2<1C．−12<f(0)<0D．f(x1)+f(x2)>0【变式10-3】（2023·全国·高三专题练习）已知a>b>0，blna=alnb，有如下四个结论：①b<e；②b>e；③∃a,b满足a⋅b<e2；④a⋅b>e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y =e x x+1在点(1,e2)处的切线方程为（ ）A ．y =e4xB ．y =e2xC ．y =e 4x +e4D ．y =e 2x +3e42．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x )=a e x −lnx 在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为（ ）． A ．e 2 B ．eC ．e −1D ．e −23．（2023·全国·统考高考真题）函数f (x )=x 3+ax +2存在3个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−2) B ．(−∞,−3) C ．(−4,−1) D ．(−3,0)4．（2022·全国·统考高考真题）当x =1时，函数f(x)=alnx +bx 取得最大值−2，则f ′(2)=（ ）A ．−1B ．−12C ．12D ．15．（2022·全国·统考高考真题）已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则（）A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b6．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18,814]B．[274,814]C．[274,643]D．[18,27]7．（2021·全国·统考高考真题）若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则（）A．e b<a B．e a<bC．0<a<e b D．0<b<e a8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（）．A．f(0)=0B．f(1)=0C．f(x)是偶函数D．x=0为f(x)的极小值点9．（2023·全国·统考高考真题）若函数f(x)=alnx+bx +cx2(a≠0)既有极大值也有极小值，则（）．A．bc>0B．ab>0C．b2+8ac>0D．ac<010．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=x3−x+1，则（）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线11．（2023·全国·统考高考真题）设a∈(0,1)，若函数f(x)=a x+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是.12．（2022·全国·统考高考真题）已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2a x−ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是．导数小题【题型1 函数切线问题】 (3)【题型2 导数中函数的单调性问题】 (4)【题型3 导数中函数的极值问题】 (6)【题型4 导数中函数的最值问题】 (9)【题型5 函数零点（方程根）个数问题】 (12)【题型6 利用导数解不等式】 (16)【题型7 导数中的不等式恒成立问题】 (19)【题型8 任意存在性问题】 (22)【题型9 函数零点嵌套问题】 (25)【题型10 双变量问题】 (30)导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1 切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4 导数的综合应用】1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)已知函数零点个数求参数的常用方法①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解．【题型1 函数切线问题】【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=(1−x)e x有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(3,+∞)B．(−3,1)C．(−∞,−3)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】设切点为(x0,(1−x0)e x0)，由已知得y′=−xe x，则切线斜率k=−x0e x0，切线方程为y−(1−x0)e x0=−x0e x0(x−x0)．∵直线过点A(a,0)，∴−(1−x0)e x0=−x0e x0(a−x0)，化简得x02−(a+1)x0+1=0．∵切线有2条，∴Δ=(a+1)2−4>0，则a的取值范围是(−∞,−3)∪(1,+∞)，故选：D.【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数f(x)=1e x−1，则曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为（）A．ex+y+1=0B．ex−y+1=0C．ex+y−1=0D．ex−y−1=0【解题思路】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.【解答过程】由f(x)=1e x −1，得f′(x)=−1e x，所以f′(−1)=−e，又f(−1)=e−1，故曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线的方程为y−(e−1)=−e(x+1)，即ex+y+1=0.故选：A.【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k=（）A．1e2B．2e2C．1eD．2e【解题思路】利用导数的几何意义计算即可.【解答过程】设切点为(x0,lnx0)，则由题意可知f′(x)=1x ⇒f′(x0)=1x0=k，所以{1x0=kkx0=lnx0⇒{x0=ek=1e.故选：C.【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数f(x)=12x2+alnx在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−2,0)D．(−3,−2)【解题思路】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.【解答过程】由f(x)=12x2+alnx⇒f′(x)=x+ax(x>0)，不妨设这两条相互垂直的切线的切点为(x1,f(x1)),(x2,f(x2))，且f′(x1)⋅f′(x2)=−1若a≥0，则f′(x)>0恒成立，不符合题意，可排除A项；所以a<0，此时易知y=f′(x)单调递增，要满足题意则需{f′(1)=1+a<0 f′(2)=2+a2>0f′(1)f′(2)=(1+a)(2+a2)<−1⇒a∈(−3,−2).故选：D.【题型2 导数中函数的单调性问题】【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A．y=1x2B．y=e−2x C．y=−x2+1D．y=lg|x|【解题思路】求导判断函数单调性，并结合偶函数的定义逐一判断即可.【解答过程】对于A选项：当x∈(0,+∞)时，y=1x2的导函数为y′=−2x3<0，所以y=1x2在x∈(0,+∞)时单调递减，故A选项不符合题意；对于B选项：当x∈(0,+∞)时，y=e−2x的导函数为y=−2e−2x<0，所以y=e−2x在x∈(0,+∞)时单调递减，故B选项不符合题意；对于C选项：当x∈(0,+∞)时，y=−x2+1的导函数为y′=−2x<0，所以y=−x2+1在x∈(0,+∞)时单调递减，故C选项不符合题意；对于D选项：当x∈(0,+∞)时，y=lg|x|=lgx的导函数为y′=1x⋅ln10>0，所以y=1x2在x∈(0,+∞)时单调递增，又函数y=lg|x|的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(x)=lg|x|=lg|−x|=f(−x)，故D选项符合题意.故选：D.【变式2-1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数f(x)=2(x−1)e x−x2−ax在R上单调递增，则a的最大值是（）A．0B．1eC．e D．3【解题思路】结合导数，将f(x)在R上单调递增转化为f′(x)=2xe x−2x−a≥0恒成立，再参变分离，转化为a≤2xe x−2x恒成立，即求出2xe x−2x的最小值即可得.【解答过程】由题意可得f′(x)=2xe x−2x−a，因为f(x)在R上单调递增，所以f′(x)=2xe x−2x−a≥0恒成立，即a≤2xe x−2x恒成立，设g(x)=2xe x−2x，则g′(x)=(2x+2)e x−2，令ℎ(x)=(2x+2)e x−2，则ℎ′(x)=(2x+4)e x，当x<−2时，ℎ′(x)<0，x>−2时,ℎ′(x)>0,故ℎ(x)在(−∞,−2)为减函数，在(−2,+∞)上为增函数，故ℎ(x)min=ℎ(−2)<0，但ℎ(0)=0，x→−∞时，ℎ(x)→−2，故当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0，则g(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故g(x)min=g(0)=0，即a≤0.故选：A.【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知x=ln56，y=2425ln45，z=−16，则（）A．y<x<z B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z【解题思路】设函数f (x )=xlnx ，利用函数单调性，比较x ，y 的大小，再结合lnx ≤x −1，比较x ，z 的大小.【解答过程】设f (x )=xlnx （x >0），则f ′(x )=lnx +1>0 ⇒ x >1e，所以函数f (x )在(1e,+∞)上为增函数.又1e <45<56所以f (45)<f (56)即2425ln 45<ln 56 ⇒ x >y ； 设g (x )=lnx −x +1，则g ′(x )=1x −1=1−x x>0 ⇒ 0<x <1，故g (x )在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减.所以g (x )≤g (1)=0，故lnx −x +1≤0 ⇒ lnx ≤x −1（当x =1时取“=”） 所以ln 56≤56−1=−16，即x <z .故选：A.【变式2-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数f (x )=e x (x+a )x在(0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,+∞)B ．(−∞,−4]C ．(−∞,−4]∪[0,+∞)D ．[−4,0]【解题思路】由导函数f ′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立可得． 【解答过程】f ′(x )=e x (x 2+ax−a )x 2，因为函数f (x )=e x (x+a )x在(0,+∞)上单调递增，所以当x ∈(0,+∞)时，f ′(x )=e x (x 2+ax−a )x 2≥0恒成立，即当x ∈(0,+∞)时，g (x )=x 2+ax −a ≥0恒成立，因为对称轴为x =−a2，当a >0时，x =−a 2<0，g (0)=−a <0，所以当x ∈(0,+∞)时，g (x )=x 2+ax −a ≥0不恒成立，不符题意；当a ≤0时，x =−a2≥0，当x ∈(0,+∞)时，g (x )=x 2+ax −a ≥0恒成立，则Δ=a 2+4a ≤0，解得−4≤a ≤0． 故选：D ．【题型3 导数中函数的极值问题】【例3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数f (x )=x 3−2ax 2+a 2x +1在x =1处有极小值，则a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．−1或3【解题思路】由f (x )在x =1处有极小值可知，f ′(1)=0解出a 的值，并根据单调性验证. 【解答过程】因为f (x )=x 3−2ax 2+a 2x +1，所以f ′(x )=3x 2−4ax +a 2，因为函数f (x )=x 3−2ax 2+a 2x +1在x =1处有极小值， 所以f ′(1)=3−4a +a 2=0，解得a =1或a =3， 当a =1时，f ′(x )=3x 2−4x +1=(3x −1)(x −1)， 当f ′(x )>0时，x <13或x >1，当f ′(x )<0时，13<x <1， f (x )在x =1处取到极小值，符合题意；当a =3时，f ′(x )=3x 2−12x +9=3(x −1)(x −3)， 当f ′(x )>0时，x <1或x >3，当f ′(x )<0时，1<x <3， f (x )在x =1处取到极大值，不符合题意； 综上：a 的值为1. 故选：A.【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x −tanx −π在区间(−π2,π2)的极大值、极小值分别为（ ）A ．π2+1，−π2+1B ．−π2+1，−3π2+1 C ．3π2−1，−π2+1D ．−π2−1，−3π2+1【解题思路】求出f ′(x )，由f ′(x)<0、f ′(x)>0可得答案． 【解答过程】由题意，得f ′(x)=2−(sinx cosx)′=2−1cos 2x =2cos 2x−1cos 2x，当x ∈(−π2,−π4)∪(π4,π2)时，2cos 2x −1<0，f ′(x)<0； 当x ∈(−π4,π4)时，2cos 2x −1>0，f ′(x)>0．所以f(x)在(−π2,−π4)上单调递减，在(−π4,π4)上单调递增，在(π4,π2)上单调递减． 当x =−π4时，f(x)取得极小值，为f (−π4)=−3π2+1；当x =π4时，f(x)取得极大值，为f (π4)=−π2−1． 故选：D ．【变式3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数f (x )=e x +x 22−lnx 的极值点为x 1，函数ℎ(x )=lnx 2x的最大值为x 2，则（ ）A ．x 1>x 2B ．x 2>x 1C ．x 1≥x 2D ．x 2≥x 1【解题思路】根据题目条件求出x1∈(14,12)，x2=12e<14，即可判断．【解答过程】f(x)=e x+x22−lnx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=e x+x−1x 在(0,+∞)上单调递增，且f(12)=e12−32>0，f(14)=e14−154<0，所以∃x1∈(14,12)，e x1+x1−1x1=0，所以当0<x<x1时f′(x)<0，当x>x1时f′(x)>0，即f(x)在(0,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增，则f(x)在x=x1处取得极小值且x1∈(14,12 )．ℎ(x)=lnx2x 的定义域为(0,+∞)，由ℎ′(x)=2−2lnx4x2=1−lnx2x2，当x∈(0,e)时，ℎ′(x)>0，当x∈(e,+∞)时，ℎ′(x)<0，故ℎ(x)=lnx2x 在x=e处取得极大值，也是最大值，ℎ(x)max=ℎ(e)=lne2e=12e，即x2=12e <14．所以x1>x2．故选：A.【变式3-3】（2023·广东广州·广州校考模拟预测）设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（）A．ω的取值范围是[125,29 10)B．f(x)在(0,π10)单调递增C．若x=3π25是f(x)在(0,2π)上的第一个极值点，则ω=165；D．若x=3π25是f(x)在(0,2π)上的第一个极值点，y=−52x+4π5是f(x)的切线【解题思路】选项A，利用函数有5个零点，根据整体思想，可得答案；选项B，根据正弦函数的单调性，利用整体思想，结合选项A，求其最值，可得答案；选项C，根据正弦函数零点的计算公式，建立方程，可得答案；选项D，先求直线与三角函数的公共点，根据导数的几何意义，可得答案.【解答过程】∵f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，在[0,2π]有且仅有5个零点，∴0≤x≤2π，π5≤ωx+π5≤2πω+π5，则5π≤2πω+π5<6π，125≤ω<2910，A正确；当0<x<π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π5，当ω=2910时，ωπ10+π5=29π100+20π100=49π100<π2，B 正确；若x =3π25是f (x )在(0,2π)上的第一个极值点，ω3π25+π5=π2，ω=52，C 错误；由C 得f (x )=sin (52x +π5)，直线y =−52x +4π5过定点M (8π25,0)，点M 在f (x )上，f ′(x )=52cos (52x +π5)=−52，f ′(8π25)=−52， 所以直线y =−52x +4π5是f (x )的切线，D 正确.故选：C.【题型4 导数中函数的最值问题】【例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数f (x )=x 2+(a −1)x −3lnx 在(1,2)内有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−32,2) B ．[−32,2] C ．(−43,2)D ．(−43,1]【解题思路】求出f ′(x)=2x 2+(a−1)x−3x，设g(x)=2x 2+(a −1)x −3，得出g(x)=0有一正根一负根，因此题意说明正根在区间(1,2)内，从而由{g(1)<0g(2)>0得参数范围．【解答过程】f ′(x)=2x +(a −1)−3x =2x 2+(a−1)x−3x，设g(x)=2x 2+(a −1)x −3，因为Δ=(a −1)2+24>0，因此g(x)=0有两个不同实根， 又g(0)=−3<0，因此g(x)=0两根一正一负， 由题意正根在(1,2)内，所以{g(1)=2+(a −1)−3<0g(2)=8+2(a −1)−3>0 ，解得−32<a <2，故选：A ．【变式4-1】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为（ ）A ．1B ．−4C ．−3D ．5【解题思路】分类参数可得a =2x +1x 2(x >0)，构造函数ℎ(x )=2x +1x 2(x >0)，利用导数求出函数ℎ(x )的单调区间及极值，作出其大致函数图象，结合函数图象求出a ，再利用导数求出函数f (x )在[−1,1]上的最值即可.【解答过程】函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，即方程f(x)=2x3−ax2+1=0在(0,+∞)内有且仅有一个实根，分离参数可得a=2x+1x2(x>0)，令ℎ(x)=2x+1x2(x>0)，则函数y=ℎ(x),y=a只有一个交点，ℎ′(x)=2−2x3=2(x3−1)x3，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，当x>1时，ℎ′(x)>0，所以函数ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)min=ℎ(1)=3，又当x→0时，ℎ(x)→+∞，当x→+∞时，ℎ(x)→+∞，如图，作出函数ℎ(x)=2x+1x2(x>0)的大致图像，由图可知a=3，所以f(x)=2x3−3x2+1，则f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，当−1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(−1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，又f(−1)=−4,f(0)=1,f(1)=0，所以f(x)在[−1,1]上的最大值为1，最小值为−4，所有f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值之和为1−4=−3.故选：C.【变式4-2】（2023·广东湛江·校考模拟预测）已知函数f(x)=e x +x 3+(a −3)x +1在区间(0，1)上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-e ，2)B ．(-e ，1-e )C ．(1，2)D ．(−∞,1−e)【解题思路】f ′(x )在(0,1)上递增，根据f (x )在(0,1)上有最小值，可知f (x )有极小值点，也即最小值点，由此列不等式来求得a 的取值范围.【解答过程】∵f ′(x )=e x +3x 2+(a −3)在区间(0,1)上单调递增，由题意只需 {f ′(0)<0f ′(1)>0 ⇒{a −2<0e +a >0⇒−e <a <2， 这时存在x 0∈(0,1)，使得f(x)在区间(0,x 0)上单调递减，在区间[x 0,1)上单调递增，即函数f(x)在区间(0,1)上有极小值也即是最小值． 所以a 的取值范围是(−e,2). 故选：A.【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数f (x )=xlnx ，g (x )=xe x ，若存在t >0，使得f (x 1)=g (x 2)=t 成立，则x 1−2x 2的最小值为（ ）A ．2−ln4B ．2+ln4C ．e −ln2D ．e +ln2【解题思路】由题设知f(x 1)=f(e x 2)=t ，研究f(x)的单调性及最值，画出函数图象，数形结合确定y =t >0、f(x)的交点个数得x 1=e x 2，进而将目标式化为x 1−2x 2=x 1−2lnx 1且x 1>1，构造函数研究最小值即可.【解答过程】由题设x 1lnx 1=x 2e x 2=e x 2lne x 2=t ，即f(x 1)=f(e x 2)=t ，由f ′(x)=1+lnx ，则(0,1e )上f ′(x)<0，f(x)递减；(1e ,+∞)上f ′(x)>0，f(x)递增； f(x)≥f(1e )=−1e ，且f(1)=0，f(x)图象如下：由图知：t ∈(0,+∞)时，x 1=e x 2，即x 2=lnx 1且x 1>1，所以x 1−2x 2=x 1−2lnx 1， 令ℎ(x)=x −2lnx 且x ∈(1,+∞)，则ℎ′(x)=1−2x =x−2x，。
2024年高考数学复习培优讲义专题3-原函数与导函数混合还原问题(含解析)
专题1-3 原函数与导函数混合还原问题常见函数的构造模型1.对于)()(x g x f '>'，构造)()()(x g x f x h −=模型2.对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()b kx x f x g +−=. 模型3.对于不等式()()0'>+x f x f ，构造函数())(x f e x g x = 拓展：对于不等式()()0'>+x kf x f ，构造函数())(x f e x g kx=模型4.对于不等式()()0'>−x f x f ，构造函数()x e)(x f x g =模型5.对于不等式()()0'>+x f x xf ，构造函数()()x xf x g = 拓展：对于不等式()()0'>+x nf x xf ，构造函数())(x f x x g n = 模型6.对于不等式()()0'>−x f x xf ，构造函数()()x x f x g =()0≠x 拓展：对于不等式()()0'>−x nf x xf ，构造函数()n xx f x g )(=模型7.对于0)()(>'x f x f ，分类讨论：（1）若0)(>x f ，则构造);(ln )(x f x h =（2）若0)(<x f ，则构造)](ln[)(x f x h −=模型8.对于()ln ()0(0)f x af x '+><，构造()()x h x a f x =. 模型9.对于()()ln 0(0)f x f x x x'+><，构造()()ln h x f x x =. 模型10.（1）对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '−><， 构造()()cos h x f x x =．对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x=． 模型11.（1）()sin ()cos [()sin ]f x x f x x f x x ''+= （2）2()sin ()cos ()[]sin sin f x x f x x f x x x'−'= 解题思路利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别题型一 由导函数不等式构造函数解不等式2024届·重庆市第八中学高三上学期入学测试T81．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当(),0x ∈−∞时，()2'>f x x ，则不等式 ()()()()3123331f x f x x −−>−+的解集为（ ）A ．1,3⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭B ．()()1,1,3−∞−⋃+∞C ．()1,+∞D ．1,13⎛⎫− ⎪⎝⎭2023·南京二模T82．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '．若对任意x ∈R 有()1f x '>，()()110f x f x ++−=，且()02f =−，则不等式()11f x x −>−的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．()2,+∞D ．()3,+∞3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()2f x '<，且()45f =，则不等式()222log log 3f x x >−的解集是 ．4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为(),f x '且当0x ＞时，()()ln 0f x f x x x'⋅+>，则不等式()()210xf x −<的解集为（ ）A ．()1,1－B ．(),1()0,1∞⋃－－C ．,11,()()∞⋃∞－－＋D ．1,0),()(1⋃∞－＋5．已知函数()f x 的定义域为(),0∞−,其导函数()'f x 满足()()'20xf x f x −>,则不等式()()()22023202310f x x f +−+−<的解集为（ ）A ．(2024,2023)−−B ．(2024,0)−C ．(,2023)−∞−D ．(,2024)−∞−重点题型·归类精讲2023·广州2023届综合能力测试（一）T156．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，若()10xf x '−<.(e)2f =，则关于x 的不等式1)(e x f x <+的解集为__________.2023届广州大学附属中学高三上学期第一次月考T87．设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()3R f x f x x '>∈，1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式()3ln f x x <的解集为（ ）A ．e 0,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．1e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()30,eD ．3e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭2023届长郡中学月考（六）·118．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的x ∈R 有2()()f x f x x +−=，且在[0,)+∞上()f x x '>，若(2)2()2f a a f a −+>+，则实数a 的可能取值为（ ） A. 1− B. 0C. 1D. 2广州华南师大附中高三第一次月考·79．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数,()10f −=,当0x >时,()()0xf x f x '−>则使得()0f x >成立的x 的取值范围是().(,1)(1,0)A −∞−⋃−B.(0,1)∪(1,+∞) ().,1(0,1)C −∞−⋃D.(-1,0)∪(1,+∞)2022武汉高二下期中·710．定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '>−，()f x '是()f x 的导函数，且()06f =，则不等式()e 51x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）．A. ()(),01,−∞⋃+∞B. ()(),03,−∞+∞C. ()0,∞+D. ()3,+∞11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()0f x f x +'>在R 上恒成立，则不等式()2e 21xf x +>()2e 3x f x −−的解集是 ．12．已知函数()f x 的定义域是（-5，5），其导函数为()f x '，且()()2f x xf x '+>，则不等式()()()()23231124x f x x f x x −−−−−>−的解集是 .安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质检13．已知函数()f x 的定义域是11,22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭R ，若对于任意的x ∈R 都有()40f x x '+<，则当[]0,2απ∈时，不等式()sin cos20f αα−<的解集为（ ）A ．5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,,266πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．50,,233πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭14．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '．若()05f =，且()()2f x f x '−>，则使不等式()3e 2xf x ≤+成立的x 的值可能为( )A ．－2B ．－1C ．12−D ．2题型二 由导函数不等式构造函数比大小广东省四校2024届高三上学期10月联考（二）数学试题15．已知函数()f x 满足()()ln 0xf x x f x '+>（其中()f x '是()f x 的导数），若12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e b f =，()2e c f =，则下列选项中正确的是（ ） A ．42c b a << B ．24b c a <<C ．24a b c <<D ．42a c b <<江苏南通市部分学校3月模拟·T816．已知()f x 是可导的函数，且()()2f x f x '≤，对于x R ∈恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）A ．()()()()2404001,12021e f f e f f >> B ．()()()()2404001,12021e f f e f f <>C ．()()()()2404001,12021e f f e f f >< D ．()()()()2404001,12021e f f e f f <<2024届湖南师范大学附属中学月考(一)·T717．已知函数()f x 的定义域为R ，设()f x 的导数是()f x '，且()()sin 0f x f x x '⋅+>恒成立，则（ ）A ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．已知偶函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若对任意[0,)x ∞∈+，都有()()20f x x xf '+>恒成立，则下列结论正确的是（ ） A ．()00f < B ．()()931f f −< C ．()42(1f f >−） D ．()()12f f <19．设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '−++<，则（ ）A ．()()2130f f >>B ．()()2130f f <<C ．()()2310f f >>D ．()()2310f f <<20．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，满足()()0f x xf x '−>，若()41a f =，()22b f =，()4c f =，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．c b a >>2023届菏泽市二模T821．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()0,01f x f >=，且()()222e x f x f x ++=−，当1x >时，()()f x f x '>，则（ ）A ．()11e f −−<B ．e 11e e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()22e f > D ．()ee ef >河南省洛阳市六校高三上10月联考·1022．设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '−++<，则（ ） A ．()()2130f f >> B ．()()2130f f << C ．()()2310f f >> D ．()()2310f f <<23．定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立，则（ ）．A 3()2()43ππ>B ．(1)2()sin16f f π<⋅C 2()()64f ππ>D 3()()63f ππ<2022湖北六校高二下期中·1124．（多选）已知函数f （x ）的定义域是（0，+∞），其导函数是f '（x ），且满足1ln '( >)()0x f x f x x⋅+⋅，则下列说法正确的是（ ） A ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．f （e ）＞0D ．f （e ）＜025．已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导函数都存在，若()()()()10f x g x f x g x x <'+'，且()()()()2211f g f g −为整数，则()()()()2211f g f g −的可能取值的最大值为 .题型三 由导函数不等式构造函数结合奇偶性解不等式经典例题26．设函数'f x （）是奇函数()()f x x ∈R 的导函数(1)0f −＝，当x ＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＜0成立的x 的取值范围为 ．深圳第二高级中学高二下期中T1527．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且f （2）0=，当0x >时，()()0xf x f x '+>恒成立，不等式()0f x <的解集为_______________．28．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()20f =，对()0,x ∀∈+∞，()()0f x xf x '+>成立，则()()10x f x −≥的解集为 ．2023届广东佛山高三上学期期末T1629．已知()f x 是定义在(,0)(0,)−∞+∞上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x >时，()2()0xf x f x '+>，若(2)0f =，则不等式2()0x f x >的解集是________．2023·湖北省·一模T1630．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()()2,0f x f x x x =−−>时，()10f x '+>．若不等式()()ln ln f x a f x a +>−在[)2,−+∞上恒成立，则a 的取值范围是__________,2023淄博市二模T831．已知定义在()3,3−上的函数()f x 满足42()e ()0,(1)e ,()x f x f x f f x '+−==为()f x 的导函数，当[0,3)x ∈时，()2()f x f x '>，则不等式24e (2)e x f x −<的解集为（ ）A ．(2,1)−B ．(1,5)C ．(1,)+∞D ．(0,1)广东省梅州市2022-2023学年高二下学期期末32．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，有()2()0xf x f x '+<恒成立，则（ ） A ．14(1)2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．(2)(3)94f f < C ．119423f f⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．19(1)3f f ⎛⎫−<− ⎪⎝⎭2023届第七次百校大联考T833．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x >时，()()0xf x f x x'+>，且(2)1f =，则不等式2(21)21f x x −<−的解集为 （ ） A ．13,,22⎛⎫⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．1113,,2222⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2023届梅州二模T834．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()22f x f x x −+=，且在()0,∞+上()2f x x '<．若(3)()96f a f a a −−≥−，则实数a 的取值范围为（ ）A. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 3,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦C. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. [)3,+∞2023届湖南湘考王3月模拟T835．设定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x −+=，且当0x ≤时，'()f x x <，其中'()f x 为函数()f x 的导数，则不等式1()(1)2f x f x x −−≥−的解集是（ ）A ．(1]−∞，B ．[1)+∞，C ．1[)2+∞，D ．1(]2−∞，2023届邵阳三模T836．定义在R 上的可导函数f （x ）满足()()()e e x xf x f x x −−−=+，且在()0,∞+上有()10e xx f x −'+<若实数a 满足()()222222e e2e 0a a a f a f a a a −−−−−−+−++≥，则a 的取值范围为（ ） A ．2,23⎡⎤−⎢⎥⎣⎦B ．[)2,+∞C ．[)2,2,3⎛⎤−∞−⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(],2−∞2023届广东佛山·华南师大附中南海实验强化考（三）T837．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()24f x x f x =−−，当(),0x ∈−∞时，()142f x x '+<.若()()142f m f m m +≤−++，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,−+∞D ．[)2,−+∞,0)(0,)+∞上的奇函数，()0x f x ⋅>的解集为 ．辽宁省名校联盟2023届高考模拟调研卷数学（三）T839．已知函数f （x ）为定义在R 上的偶函数，当()0,x ∈+∞时，()2'>f x x ，()24f =，则不等式()2312xf x x x x −+>+的解集为（ ）A ．()()103−⋃+∞,, B ．()()1,13,−+∞C ．()(),10,3−∞−D ．()1,3−40．已知定义在R 上的连续偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0f x f x x'+<，且(2)3f =−，则不等式6(21)21f x x −−<−的解集为（ ） A ．13,,22⎛⎫⎛⎫−∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1113,,2222⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭题型四 由等式构造函数2024届山西大学附属中学10月月考T1141．（多选）已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫− ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '.若()()sin cos x f x x f x x '⎡⎤+=⎣⎦，且()00f =，则（ ）A ．()f x 是增函数B ．()f x 是减函数C ．()f x 有最大值D ．()f x 没有极值河北省石家庄市部分学校2023届高三联考（二）42．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()2sin f x f x x −−=，且在[)0,∞+上()cos f x x '>．若()πcos sin 2f f t t t t ⎛⎫− ⎝−⎭−>⎪．则实数t 的取值范围为（ ）A ．π,4⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭ B ．π,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ D ．π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭山东省德州市2022-2023学年高二下学期期末43．（多选）R 上的函数()f x 满足()()e xf x f x ='+，且()01f =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在2x =−处取得极小值B ．()f x 有两个零点C ．若0x ∀>，()f x k >恒成立，则1k <D ．若1x ∃，2R x ∈，12x x ≠，()()12f x f x =，则124x x +<−44．（多选）已知()f x '为函数()f x 的导函数，若()()2ln x f x xf x x '+=，()112f =，则下列结论错误的是 A ．()xf x 在()0,∞+上单调递增 B ．()xf x 在()0,∞+上单调递减 C ．()xf x 在()0,∞+上有极大值12D ．()xf x 在()0,∞+上有极小值12专题1-3 原函数与导函数混合还原问题常见函数的构造模型1.对于)()(x g x f '>'，构造)()()(x g x f x h −=模型2.对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()b kx x f x g +−=. 模型3.对于不等式()()0'>+x f x f ，构造函数())(x f e x g x = 拓展：对于不等式()()0'>+x kf x f ，构造函数())(x f e x g kx = 模型4.对于不等式()()0'>−x f x f ，构造函数()xe )(x f x g =模型5.对于不等式()()0'>+x f x xf ，构造函数()()x xf x g =拓展：对于不等式()()0'>+x nf x xf ，构造函数())(x f x x g n=模型6.对于不等式()()0'>−x f x xf ，构造函数()()x x f x g =()0≠x 拓展：对于不等式()()0'>−x nf x xf ，构造函数()nx x f x g )(=模型7.对于0)()(>'x f x f ，分类讨论：（1）若0)(>x f ，则构造);(ln )(x f x h =（2）若0)(<x f ，则构造)](ln[)(x f x h −=模型8.对于()ln ()0(0)f x af x '+><，构造()()x h x a f x =. 模型9.对于()()ln 0(0)f x f x x x'+><，构造()()ln h x f x x =. 模型10.（1）对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '−><， 构造()()cos h x f x x =．对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x=． 模型11.（1）()sin ()cos [()sin ]f x x f x x f x x ''+= （2）2()sin ()cos ()[]sin sin f x x f x x f x x x'−'= 解题思路利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别题型一 由导函数不等式构造函数解不等式2024届·重庆市第八中学高三上学期入学测试T81．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当(),0x ∈−∞时，()2'>f x x ，则不等式 ()()()()3123331f x f x x −−>−+的解集为（ ）A ．1,3⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭B ．()()1,1,3−∞−⋃+∞C ．()1,+∞D ．1,13⎛⎫− ⎪⎝⎭【答案】D重点题型·归类精讲【分析】根据不等式的结构，构造函数()()2g x f x x =−，判断其奇偶性及单调性，解不等式即可. 【详解】令()()2g x f x x =−，因为()f x 为偶函数，即()()f x f x −=，故()()g x g x −=，()g x 为偶函数，当(),0x ∈−∞时，()2'>f x x ，则()()()20,g x f x x g x =−>''在(),0∞−上单调递增，因为()()()()3123331f x f x x −−>−+，即()()2231(31)22f x x f −−−>−，所以()()312g x g −>，故312x −<，解113−<<x ，所以不等式的解集为1,13⎛⎫− ⎪⎝⎭.2023·南京二模T82．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '．若对任意x ∈R 有()1f x '>，()()110f x f x ++−=，且()02f =−，则不等式()11f x x −>−的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．()2,+∞D ．()3,+∞【答案】D【分析】构造()()g x f x x =−，确定函数单调递增，计算()22f =，()20g =，转化得到()()12g x g −>，根据单调性得到答案.【详解】设()()g x f x x =−，则()()10g x f x ''=−>恒成立，故函数在R 上单调递增.()()110f x f x ++−=，则()()200f f +=，即()22f =，故()()2220=−=g f .()11f x x −>−，即()10g x −>，即()()12g x g −>，故12x −>，解得3x >.3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()2f x '<，且()45f =，则不等式()222log log 3f x x >−的解集是 ．【答案】()1,16【分析】构造函数()()23g x f x x =−+，由导数确定其单调性，题设不等式化为2(log )(4)g x g >，再利用单调性变形求解．【详解】令()()23g x f x x =−+，则()()20g x f x ''=−<， ∴()g x 在(0,)+∞上是减函数， (4)(4)830g f =−+=，不等式()222log log 3f x x >−化为22(log )2log 3f x x >−，即22(log )2log 30f x x −+>，也即为2(log )(4)g x g >， 所以20log 4x <<，116x <<. 故答案为：(1,16)，4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为(),f x '且当0x ＞时，()()ln 0f x f x x x'⋅+>，则不等式()()210xf x −<的解集为（ ）A ．()1,1－B ．(),1()0,1∞⋃－－C ．,11,()()∞⋃∞－－＋D ．1,0),()(1⋃∞－＋【答案】B【分析】构造新函数()()ln g x f x x =，利用导数确定()g x 的单调性，从而可得0x >时()f x 的正负，利用奇函数性质得出0x <时()f x 的正负，然后分类讨论解不等式． 【详解】设()()ln g x f x x =，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， 又(1)0g =，所以1x >时，()()ln (1)0g x f x x g =>=，此时ln 0x >，所以()0f x >，01x <<时，()()ln (1)0g x f x x g =<=，此时，ln 0x <，所以()0f x >，所以(0,1)(1,)x ∈+∞时，()0f x >，因为()f x 是奇函数，所以(,1)(1,0)x ∈−∞−−时，()0f x <，由2(1)()0x f x −<得210()0x f x ⎧−>⎨<⎩或210()0x f x ⎧−<⎨>⎩，所以1x <−或01x <<．关键点点睛：本题考查用导数解不等式，关键是构造新函数()()ln g x f x x =，利用导数确定单调性后，得出()0f x >的解．5．已知函数()f x 的定义域为(),0∞−,其导函数()'f x 满足()()'20xf x f x −>,则不等式()()()22023202310f x x f +−+−<的解集为（ ）A ．(2024,2023)−−B ．(2024,0)−C ．(,2023)−∞−D ．(,2024)−∞−【答案】A【分析】由题可得当(),0x ∈−∞时，()()20xf x f x −>，构造函数2()()f x g x x =，可判断()g x 在(,0)−∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2023)(1)g x g +<−，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集. 【详解】由题意知，当(,0)x ∈−∞时，'()2()0xf x f x −>， 设2()()f x g x x =， 则2'''43()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x −−==<，所以()g x 在(,0)−∞上单调递减，不等式2(2023)(2023)(1)0f x x f +−+−<等价于()22(2023)(1)(2023)1f x f x +−<+−，即为(2023)(1)g x g +<−，所以2023120230x x +>−⎧⎨+<⎩，解得20242023x −<<−. 故选：A.2023·广州2023届综合能力测试（一）T156．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，若()10xf x '−<.(e)2f =，则关于x 的不等式1)(e x f x <+的解集为__________.【答案】(1,)+∞【解析】令函数()()ln ,0g x f x x x =−>，则1()1()()0xf x g x f x x x'−''=−=<，因此函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，(e)(e)ln e 1g f =−=，因此1))))(e 1(e (e (e x x x f x g f x g −<+<⇔<⇔，即e e x >，解得1x >，所以不等式1)(e x f x <+的解集为(1,)+∞.2023届广州大学附属中学高三上学期第一次月考T87．设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()3R f x f x x '>∈，1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式()3ln f x x <的解集为（ ）A ．e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()30,eD ．3e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()3exf xg x =，由已知可得函数()g x 在R 上为增函数，不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据函数的单调性即可得解.【详解】解：令()()3e xf xg x =，则()()()33exf x f xg x '−'=， 因为()()()3R f x f x x '>∈， 所以()()()330e xf x f xg x '−'=>，所以函数()g x 在R 上为增函数，不等式()3ln f x x <即不等式()3ln <1>0f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，又()()()3ln 3ln ln ln e x f x f x g x x ==，11313e f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭，所以不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln 3x <，解得30e x <<， 所以不等式()3ln f x x <的解集为(3e .2023届长郡中学月考（六）·118．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的x ∈R 有2()()f x f x x +−=，且在[0,)+∞上()f x x '>，若(2)2()2f a a f a −+>+，则实数a 的可能取值为（ ） A. 1− B. 0C. 1D. 2【答案】AB 【解析】【分析】构建2()()2x g x f x =−，根据题意分析可得：()g x 为奇函数，在R 上单调递增，利用单调性解不等式即可得结果.【详解】222()()()()()022x x f x f x x f x f x −+−=⇔−+−−=令2()()2x g x f x =−，即()()0g x g x +−=，则()g x 为奇函数，当0x ≥时，()()0g x f x x ''=−>，则()g x 在区间[0,)+∞上单调递增， 故()g x 在区间(],0−∞上单调递增，则()g x 在R 上单调递增，∵(2)2()2f a a f a −+>+⇔22(2)(2)()22a af a f a −−−>−，即()(2)g a g a −>，∴2a a −>，解得1a <， 故A 、B 正确，C 、D 错误.广州华南师大附中高三第一次月考·79．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数,()10f −=,当0x >时,()()0xf x f x '−>则使得()0f x >成立的x 的取值范围是().(,1)(1,0)A −∞−⋃−B.(0,1)∪(1,+∞) ().,1(0,1)C −∞−⋃D.(-1,0)∪(1,+∞)【答案】 D2022武汉高二下期中·710．定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '>−，()f x '是()f x 的导函数，且()06f =，则不等式()e 51x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）．A. ()(),01,−∞⋃+∞B. ()(),03,−∞+∞C. ()0,∞+D. ()3,+∞【答案】C 【解析】【分析】构造函数()1()exf xg x −=，(R)x ∈，研究()g x 的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解． 【详解】设()1()exf xg x −=，(R)x ∈，则2e ()e ()(()11()e [)]e x x x xf x f x f x f xg x −''−−+'==， ()()1f x f x '>−， ()()10f x f x '∴−+>，()0g x '∴>，()y g x ∴=在定义域R 上单调递增，()5e 1x f x >+，()06f =，即()1(0)15e e x f x f −−>=， ()(0)g x g ∴>，0x ∴>，∴不等式的解集为(0,)+∞11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()0f x f x +'>在R 上恒成立，则不等式()2e 21xf x +>()2e 3x f x −−的解集是 ．【答案】2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()e x g x f x =，再将()2e 21x f x +>()2e 3xf x −−转化为()()213g x g x +>−，进而根据()g x 的单调性求解即可.【详解】令()()e x g x f x =，则()()()e 0x g x f x f x ''+>⎡⎤⎣⎦=，所以()g x 在R 上单调递增， 由()2e 21x f x +>()2e 3x f x −−，得()()213e 21e 3x xf x f x +−+>−，即()()213g x g x +>−，所以213x x +>−，解得23x >. 所以不等式()2e 21x f x +>()2e 3xf x −−的解集是2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.12．已知函数()f x 的定义域是（-5，5），其导函数为()f x '，且()()2f x xf x '+>，则不等式()()()()23231124x f x x f x x −−−−−>−的解集是 .【答案】()2,4【分析】设()()2g x xf x x =−，根据()()2f x xf x '+>，得到()0g x '>，从而()g x 是()5,5−上的增函数，将不等式()()()()23231124x f x x f x x −−−−−>−转化为()()()()()()23232231121x f x x x f x x −−−−>−−−−，即()()231g x g x −>−求解.【详解】解：设()()2g x xf x x =−， 则()()()2g x f x xf x =+'−'. 因为()()2f x xf x '+>， 所以()0g x '>，则()g x 是()5,5−上的增函数.不等式()()()()23231124x f x x f x x −−−−−>−等价于，()()()()()()23232231121x f x x x f x x −−−−>−−−−，即()()231g x g x −>−，则5235,515,231,x x x x −<−<⎧⎪−<−<⎨⎪−>−⎩解得24x <<. 故答案为：()2,4安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质检13．已知函数()f x 的定义域是11,22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭R ，若对于任意的x ∈R 都有()40f x x '+<，则当[]0,2απ∈时，不等式()sin cos20f αα−<的解集为（ ）A ．5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,,266πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．50,,233πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】构造函数()()221g x f x x =+−，求导得()g x 在R 上是减函数，由题知()1sin 2g g α⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以1sin 2α>，计算得解.【详解】令()()221g x f x x =+−，则()()()40,g x f x x g x =+<''在R 上是减函数.2111210222g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()()()2sin sin 2sin 1sin cos20g f f ααααα=+−=−<得1sin 2α>，又[]0,2απ∈，所以5,66αππ⎛⎫⎪⎝⎭∈. 14．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '．若()05f =，且()()2f x f x '−>，则使不等式()3e 2xf x ≤+成立的x 的值可能为( )A ．－2B ．－1C ．12−D ．2【分析】根据已知条件构造函数()()2exf x F x −=，要求解的不等式可化为()()0F x F ≤，判断F (x )单调性即可求解.【详解】设()()2e xf x F x −=，则()()()2exf x f x F x '−+'=， ∵()()2f x f x '−>，∴()()20f x f x '−+<， ∴()0F x '<，即()F x 在定义域R 上单调递减． ∵()05f =，∴()03F =，∴不等式()3e 2xf x ≤+等价于()23exf x −≤，即()()0F x F ≤，解得0x ≥，结合选项可知，只有D 符合题意．题型二 由导函数不等式构造函数比大小广东省四校2024届高三上学期10月联考（二）数学试题15．已知函数()f x 满足()()ln 0xf x x f x '+>（其中()f x '是()f x 的导数），若12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e b f =，()2e c f =，则下列选项中正确的是（ ） A ．42c b a << B ．24b c a << C ．24a b c << D ．42a c b <<【答案】C【分析】构造函数()()ln (0)g x f x x x =>，由题意可得(0,)∀∈+∞x ，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增，然后由1220e e e <<<可得答案.【详解】因为()()ln 0xf x x f x '+>（0x >）， 所以()()1ln 0f x x f x x'+>，所以[()ln ]0f x x '>， 令()()ln (0)g x f x x x =>，则(0,)∀∈+∞x ，()0g x '>， 所以()g x 在(0,)+∞上递增，因为1220e e e <<<， 所以122(e )(e)(e )g g g <<，所以112222(e )ln e (e)ln e (e )ln e f f f <<，所以1221(e )(e)2(e )2f f f <<，所以122a b c <<，所以24a b c <<江苏南通市部分学校3月模拟·T816．已知()f x 是可导的函数，且()()2f x f x '≤，对于x R ∈恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）A ．()()()()2404001,12021e f f e f f >>B ．()()()()2404001,12021e f f e f f <>C ．()()()()2404001,12021e f f e f f >< D ．()()()()2404001,12021e f f e f f <<【答案】A 【解析】令()()2xf xg x e =，则()()()()()()2222222x x xxf x e e f x f x f xg x e e ''⋅−⋅−'==，()()2f x f x '≤，20x e >，()0g x '∴≤，()g x ∴在R 上单调递减， ()()01g g ∴>，()()12021g g >，即()()0201f f e e >，()()2404212021f f e e >，()()201e f f ∴>，()()404012021e f f >.17．已知函数()f x 的定义域为R ，设()f x 的导数是()f x '，且()()sin 0f x f x x '⋅+>恒成立，则（ ）A ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】设()()22cos g x f x x =−，得到()0g x '>，得到()g x 为增函数，得到22ππ22f f ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解.【详解】设()()22cos g x f x x =−，则()()()22sin 0g x f x f x x ''=⋅+>，故()y g x =在定义域R 上是增函数，所以ππ22g g ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππ22f f ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22f f ππ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．已知偶函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若对任意[0,)x ∞∈+，都有()()20f x x xf '+>恒成立，则下列结论正确的是（ ） A ．()00f < B ．()()931f f −<C ．()42(1f f >−）D ．()()12f f <【答案】C【详解】令0x =，则2(0)00,(0)0f f +>∴>，则A 错误； 令2()()g x x f x =，则2()2()()g x xf x x f x ''=+， 当0x >时，由()()20f x xf x '+>，22()()0xf x x f x '∴+>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又因为偶函数()f x 的定义域为R ，∴2()()g x x f x =为偶函数，()g x 在(0,)+∞上单调递增， ()(3)3(1)g g g ∴−=>，9(3)(1)f f −>，故B 错误；(2)(1)g g ∴>−，4(2)(1)f f >−，故C 正确；由题意，不妨假设()0f x c =>(c 为常数)符合题意，此时()()12f f c ==，故D 错误.19．设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '−++<，则（ ）A ．()()2130f f >>B ．()()2130f f <<C ．()()2310f f >>D ．()()2310f f <<【答案】B【分析】构造函数ln(1)()()x g x f x +=，根据题意可得()0g x '<，从而根据单调性可得0(1)(3)g g >>，进而得出结果.【详解】由题意，在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，构造函数ln(1)()()x g x f x +=，则()()2()ln(1)1()f x f x x xg x f x '−++'=，∵[)0,∞+上()()()()()1ln ()ln(1)0111f x x f x x f x f x x x x −+'−+'+=<++，即()0g x '<， ∴()g x 在[)0,∞+上单调递减，而(0)0g =，故0(1)(3)g g >> ∴ln 2ln 42ln 20(1)(3)(3)f f f >>=，可得2(1)(3)0f f <<.20．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，满足()()0f x xf x '−>，若()41a f =，()22b f =，()4c f =，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】A【分析】依题意令()()f x g x x=，进而根据题意得()g x 在R 上单调递减，故()()()24124f f f >>，进而得答案.【详解】解：因为()f x 满足()()0f x xf x '−<，令()()f x g x x=，则()()()20xf x f x g x x'−'=<，所以()g x 在R 上单调递减，所以()()()124g g g >>，即()()()24124f f f >>，所以()()()41224f f f >>.所以c b a <<.2023届菏泽市二模T821．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()0,01f x f >=，且()()222e x f x f x ++=−，当1x >时，()()f x f x '>，则（ ）A ．()11e f −−<B ．e 11e e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()22e f > D ．()ee ef >【答案】D【分析】设()()xf xg x =e ，由1x >时，()()f x f x '>可得()g x 在()1,+∞上单调递增，由()()222e x f x f x ++=−，可得()()2g x g x +=−.A 选项，比较()1g −与()2g 大小即可判断选项正误；B 选项，比较1e g ⎛⎫⎪⎝⎭与()2g 大小即可判断选项正误；C 选项，比较1与()2g 大小即可判断选项正误；D 选项，比较()e g 与()2g 大小即可判断选项正误；【详解】因()()f x f x '>，则()()()()()200e e e e e x x xxx f x f x f x f x f x '⎡⎤''−−>⇒=>⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 则函数()()xf xg x =e 在()1,+∞上单调递增；因()()()()()()22222e 2e e x xx f x f x g x g x f x f x ++−+−⇒=⇒++=−−=，则()()()00201ef g g ===.A 选项，()()()()()111132111e e f g g g f −−−−=>=⇒>⇒−>，故A 错误；B 选项，注意到11221e e <<−<，则()11221e e g g g ⎛⎫⎛⎫=−<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111e ee e e ef f ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭⇒<⇒< ⎪⎝⎭，故B 错误； C 选项，()()()2222112e ef g f =⇒=⇒=，故C 错误； D 选项，()()()()211e ee e e e ef g g f >=⇒>⇒>，故D 正确.河南省洛阳市六校高三上10月联考·1022．设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '−++<，则（ ） A ．()()2130f f >> B ．()()2130f f << C ．()()2310f f >> D ．()()2310f f <<【答案】B【解析】由题意，在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，构造函数ln(1)()()x g x f x +=，则()()2()ln(1)1()f x f x x xg x f x '−++'=，∵[)0,∞+上()()()()()1ln ()ln(1)0111f x x f x x f x f x x x x −+'−+'+=<++，即()0g x '<， ∴()g x 在[)0,∞+上单调递减，而(0)0g =，故0(1)(3)g g >> ∴ln 2ln 42ln 20(1)(3)(3)f f f >>=，可得2(1)(3)0f f <<. 23．定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立，则（ ）． A 3()2()43ππ>B ．(1)2()sin16f f π<⋅C 2()()64f ππ>D 3()()63f ππ<【答案】D【分析】由已知条件构造函数()()sin f x g x x =，求导后结合已知可得()g x 在(0,)2π上为增函数，从而可比较出大小【详解】()cos ()sin f x x f x x '⋅<⋅，()cos ()sin 0f x x f x x '⋅−⋅<， 设()()sin f x g x x =，则2()sin ()cos ()0sin f x x f x x g x x'⋅−⋅'=>， 则()g x 在(0,)2π上为增函数，对于A ，因为0432πππ<<<，所以()()43g g ππ<，即()()34sin sin43f f ππππ<3()2()43ππ，所以A 错误，对于B 因为0162ππ<<<，所以()(1)6g g π<，即()(1)6sin1sin 6f f ππ<，得(1)2()sin16f f π>⋅，所以B 错误， 对于C ，因为0642πππ<<<，所以()()64g g ππ<，即()()64sin sin 64f f ππππ<2()()64f ππ<，所以C 错误， 对于D ，因为0632πππ<<<，所以()()63g g ππ<，即()()63sin sin 63f f ππππ<3()()63f ππ<，所以D 正确， 2022湖北六校高二下期中·1124．（多选）已知函数f （x ）的定义域是（0，+∞），其导函数是f '（x ），且满足1ln '( >)()0x f x f x x⋅+⋅，则下列说法正确的是（ ） A ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．f （e ）＞0D ．f （e ）＜0【解答】解：令g （x ）＝f （x ）lnx （x ＞0）， 则g ′（x ）＝1ln ()()0x f x f x x'⋅+⋅>， ∴g （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，又g （1）＝f （1）ln 1＝0， ∴当0＜x ＜1时，g （x ）＜0，当x ＞1时，g （x ）＞0， 而1e∈（0，1），e ∈（0，+∞），因此111()()ln0 <g f e e e=，g （e ）＝f （e ）lne ＞0， ∴>1()0 f e，f （e ）＞0，故AC 正确，BD 错误；故选：AC ．25．已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导函数都存在，若()()()()10f x g x f x g x x <'+'，且()()()()2211f g f g −为整数，则()()()()2211f g f g −的可能取值的最大值为 .【答案】14【分析】构建()()()25h x f x g x x =−，根据题意利用导数可得()h x 在R 上单调递减，由()()12h h >，结合题意分析求解.【详解】因为()()()()10f x g x f x g x x <'+'，设函数()()()25h x f x g x x =−，则()()()()()100h x f x g x f x g x x '=+''−<，所以()h x 在R 上单调递减，则()()12h h >，即()()()()2211512252f g f g −⨯>−⨯，整理得()()()()221115f g f g −<， 又因为()()()()2211f g f g −为整数，所以()()()()2211f g f g −的可能取值的最大值为14. 故答案为：14.题型三 由导函数不等式构造函数结合奇偶性解不等式经典例题26．设函数'f x （）是奇函数()()f x x ∈R 的导函数(1)0f −＝，当x ＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＜0成立的x 的取值范围为 ．【解答】解：令g （x ）＝()f x x（x ＞0）， 因为x ＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，所以g ′（x ）＝2()()f x x f x x '−＜0，故g （x ）在（0，+∞）上单调递减， 因为f （x ）为奇函数，所以g （x ）为偶函数，根据偶函数对称性可知，g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减， 由g （﹣1）＝﹣f （﹣1）＝0，g （1）＝f （1）＝﹣f （﹣1）＝0， 因为f （x ）＜0， 所以xg （x ）＜0，可转化为0 >0()x g x ⎧⎨<⎩或，0 <0()x g x ⎧⎨>⎩ 解得x ＞1或﹣1＜x ＜0，故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）。
数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案
数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解， 即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确； 对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确； 对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.2．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点C ．若()f x 为增函数，则1a ≤D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】ACD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ，()()()()33sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，当3a =-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2cos 330f x x x '=++>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；对于C 选项，()2cos 3f x x x a '=+-，由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()23cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，所以，函数()g x '在R 上为增函数，当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2cos 33f x x x '=+-.由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.3．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故1515y -≤≤，当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max y =B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．4．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则213x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增，∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x -==≥，B对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.5．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.6．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+.设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.7．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--， 所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确； 当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34， 则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：①切点坐标满足原曲线方程；②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.8．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-【答案】AD【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x 的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确.故选：AD【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.9．对于函数2ln ()x f x x =，下列说法正确的是（ ） A ．()f x在x =12e B ．()f x 有两个不同的零点 C．f f f <<D ．若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD【分析】 求得函数的导数312ln ()-'=x f x x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】 由题意，函数2ln ()x f x x =，可得312ln ()(0)x f x x x -'=>， 令()0f x '=，即312ln 0x x -=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln ln 2ln ,242f f πππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以f f f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x = 所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e e g e =-=， 所以2e k >，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．10．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）.A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC【分析】 将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>， 则()222131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()10x x x ϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>， 所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式，得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因为k 为整数，所以0k ≤.故选：ABC【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.。
高考数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案
高考数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（ ）A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线 【答案】ABD 【分析】求出A 、B 两点的坐标，得出AB 关于m 的函数表达式，利用导数求出AB 的最小值，即可判断出A 选项的正误；解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==，得ln x m =，令()1ln22x g x m =+=，得122m x e -=， 则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，122ln m AB e m -=-，其中0m >，令()122ln m h m em -=-，则()1212m h m em-'=-，则函数()y h m '=单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102m <<时，0h m，当12m >时，0h m.所以，函数()122ln m h m e m -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以，min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭，A 选项正确； ()x f x e =，()1ln 22x g x =+，则()x f x e '=，()1g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'= ⎪⎝⎭，令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，即1212m m e -=，即1221m me -=， 则12m =满足方程1221m me -=，所以，m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-，可得()1x F x e x'=-， 函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数，由于120F e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110F e -'=>，则存在1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()10t F t e t '=-=，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>，所以，函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项错误；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ， 则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-，所以，()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln 202m m m --++=，令()()11ln ln 22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-， 函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数，()110G '=>，()12ln 202G '=-<，则存在()1,2s ∈，使得()1ln 0G s s s'=-=，且1s s e =. 当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<.所以，函数()y G x =在()2,+∞上为减函数，()5202G =>，()17820ln 202G =-<， 由零点存在定理知，函数()y G x =在()2,+∞上有零点， 即方程()11ln ln 202m m m --++=有解. 所以，m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.2．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2x x aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，其中a 为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为（ ）（注：[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AC【分析】求出导数，表示出切线，令0x t a=，可得()()110t tt e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<，即可求出. 【详解】()2x xaae ef x a -+=⋅，()2x x aae ef x --'∴=，∴切线斜率002x x aae ek --=，()0002x x aae ef x a -+=⋅，则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-，直线过原点，()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=，则可得()()110t tt e t e --++=， 令()()()11xxh x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，()()x x h x x e e -'=-+，当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，021x a ∴-<<-或012xa<<， 02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令0x t a=，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.3．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤当15y =时，有1cos 44ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max y =B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫-⎪⎝⎭为增函数， 所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．4．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则213x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴21x x -==≥，B 对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a a f x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.5．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值，∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.7．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确； 对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点， 即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+， 要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD.【点睛】 本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.8．下列命题正确的有（ ）A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a b ab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围.【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点， 所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-； D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.。
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培优点五导数的应用1．利用导数判断单调性例1：求函数32333e x f xx x x 的单调区间【答案】见解析【解析】第一步：先确定定义域，f x 定义域为R ，第二步：求导：'2323363e 333e 9e x x x f x x x x x x x x 33e x x x x，第三步：令0f x ，即33e0x x x x ，第四步：处理恒正恒负的因式，可得330x x x ，第五步：求解3,03,x ，列出表格2．函数的极值例2：求函数()e x f x x 的极值．【答案】f x 的极大值为11e f ，无极小值【解析】'e e 1e x x x fx x x 令'0f x 解得：1x ，f x 的单调区间为：f x 的极大值为11e f ，无极小值．3．利用导数判断函数的最值例3：已知函数ln m f x x m x R 在区间1,e 上取得最小值4，则m ___________．【答案】3e【解析】思路一：函数f x 的定义域为0,，21m f x x x ．当0fx 时，210m x x ，当0m时，0f x ，f x 为增函数，所以min ()(1)4f x f m ，4m ，矛盾舍去；当0m 时，若0,x m ，0f x ，f x 为减函数，若,x m ，0f x ，f x 为增函数，所以ln 1fm m 为极小值，也是最小值；①当1m ，即10m 时，f x 在[1,e]上单调递增，所以min ()(1)4f x f m ，所以4m（矛盾）；②当e m ，即e m 时，f x 在[1,e]上单调递减，min e 14e mf x f ，所以3e m；③当1e m ，即e 1m 时，f x 在[1,e]上的最小值为ln 14f m m ，此时3e e m（矛盾）．综上3e m ．思路二：'221m x m f x x x x ，令导数'0fx x m ，考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得，因此可假设x m ，1x ，e x 分别为函数的最小值点，求出m 后再检验即可．。
导数优生培优小题---含参考答案
导数优生培优试卷导数综合应用---综合训练（难度较大）一、单选题1．()ln m f x x m x=-+在区间()1,e e -内有唯一零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．,112e e e ⎛⎤-+ ⎥+⎝⎦B ．1,11e e e -⎛⎫ ⎪++⎝⎭C ．,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭ D ．1,12e ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 2．已知函数()sin cos ef x x x x x=-+⋅，当[]4,4x ππ∈-且0x ≠时，方程0f x 的根的个数是（ ） A ．7 B ．6 C ．9D ．83．已知函数21()ln 22f x x x ax x =--有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,e --∞B ．()20,e -C ．()1,e --∞D ．()10,e -4．函数()2ln 12f x x x x =+--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞6．已知函数321,0,()235,0,x x x x x f x x ⎧++<=⎨+-⎩若函数()27ay f x =-恰有3个零点，则满足条件的整数a 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数()()2ex x f x x =∈R ，若关于方程()()210f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，则实数t 的取值范围为（ ）A ．()24,22,e e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭B ．24,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．24,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．241,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭8．若函数11()ln x x f x x x e e m --+=-+++有零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[1,)-+∞D ．[3,)+∞9．已知函数()xf x ax e =-与函数()ln 1g x x x =+的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,e -+∞B ．1,2e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2e -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．(),1e -∞- 10．已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是（ ）A ．9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．4,(0,)3⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．9,(0,)2⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭11．已知函数()2f x x m =-与函数()11ln ,,22g x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]0,2ln2-B ．10,ln 24⎛⎤⎥⎝+⎦- C ．1ln 2,2[)ln 24-+-D ．1ln 2,ln 24⎛-+⎤⎥⎝⎦12．已知关于x 的不等式32ln x ax x -≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．(,1]-∞B ．(0,1]C ．10,e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．(,0]-∞13．已知函数()3sin f x x x x =--+，当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()()2cos 22sin 20f m f m θθ-+->成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭14．已知函数ln ,0()(2),0x xx f x x x e x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若函数()()g x f x a =-仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．(2,)+∞B ．31(2,),e ⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪⎝⎭C ．311,2,e e ⎛⎤⎛⎫⋃-∞- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ D ．31,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭15．设函数()()21xf x ex mx m =--+，其中1m <，若有且仅有一个整数n ，使得()0f n <，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知函数2()31f x xx =---，()e g 2x exx ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A ．1BC．D17．函数()()ln 0f x ax x a =->有两个零点1x ，2x ，且122x x <，则a 的取值范围是（ ）A ．2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．20,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C．⎫+∞⎪⎪⎝⎭D．⎛⎝⎭导数优生培优试卷18．设函数()f x 在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x "，若在(,)a b 上()0f x "<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”.已知2()ln x f x e x x px =--在(1,4)上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是（ ）A ．1,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[1,)-+∞eC ．41,28e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,)e +∞19．函数()ln 12122x a x f x x x+=+-在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)4,-+∞B ．[)e,-+∞C ．[)2,-+∞D ．[)0,+∞20．已知函数()2ln f x x x =-，()33g x x xm =-+，方程()()f x g x =在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的实根，则m 的取值范围是（ ）A ．2121,333e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．22212,333e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦C ．221,133e ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D ．212,33e ⎛⎤- ⎥⎝⎦21．32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =--有3个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[0,2)B ．[0,1)C ．(,2]-∞D ．(,1]-∞22．已知函数()()ln 1xf x ex =-，1,2x ⎡⎤∈+∞⎢⎥⎣⎦若存在[]2,1a ∈-，使得21223f a a e m ⎛⎫-≤+-- ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,+∞C ．2,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦23．设函数()24x f x x +=，()xg x xe =，若对任意1x 、(]20,x e ∈，不等式()()121g x f x k k≤+恒成立，则正数k 的取值范围为（ ）A ．141,e e e +⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(],4eC ．10,4e e e +⎛⎤ ⎥-⎝⎦D ．140,4e e +⎛⎤ ⎥-⎝⎦ 24．已知函数()22ln f x x x =-，若关于x 的不等式()0f x m -≥在[]1,e 上有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,2e -∞-B ．(2,2e ⎤-∞-⎦C ．(],1-∞D ．(),1-∞25．设02m <≤，已知函数()3125016x x f x m-+=，对于任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦26．已知函数()33f x x x =-，过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()f x 的三条切线，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．(2,3)-C ．(2,1)-D ．(3,2)--27．已知函数()()()110ln x f x x x++=>，若()1kf x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．528．()22ln 2f x x e x mx =-+，()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为（ ）A ．22ln 22,42e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．22ln 22,42e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．22ln 2ln 34,623e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．22ln 2ln 34,623e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 29．设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭30．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．12-B ．13C ．12D ．131．已知函数31()21xx f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦32．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x >时，()()'0xf x f x -<，若()()()ln23,,ln23f e f f a b c e-===-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<导数优生培优试卷33．若函数2,0()21,0x e x f x x x x ⎧≥=⎨-++<⎩（其中e 是自然对数的底数），且函数()y f x mx=-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(0,)eC ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．(,0)(,)e -∞⋃+∞34．已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有()()12124f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[4,)+∞B ．(4.?)+∞C ．(,4]-∞D ．(,4)-∞35．已知函数()33,0ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4B ．[)0,2C ．(],4-∞D ．(],2-∞36．已知函数()xf x e ex a =-+与()1ln g x x x=+的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[),e -+∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞-D ．(],e -∞-37．已知()f x 的定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（ ）A ．()0,1B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()1,+∞38．已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．39．已知函数()f x kx =，ln ()x g x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e 内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( ) A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)eD ．1(,)e+∞40．函数2()ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．ln 2212a -<≤- B ．21a -<≤- C ．31a -<≤-D ．ln3ln 23232a -<≤- 41．函数()321162f x x bx cx =++的导函数()'f x 是偶函数，若方程()'ln 0f x x -=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中e 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围是（ ）A ．2111,2e 2⎡⎤---⎢⎥⎣⎦B ．2111,2e 2⎡⎫---⎪⎢⎣⎭ C ．2111e ,22⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．2111e ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦42．已知函数()x x f x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A ．21[3,]3e --B ．2[,)e +∞C ．21[,]3eD ．1[,)3+∞43．已知函数()1x f x e ax =--在区间(1,1)-内存在极值点，且()0f x <恰好有唯一整数解，则的取值范围是（ ）A ．221,e 2e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．22211,11,22e e e e ⎡⎫⎛⎤--⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．()1,e e -D ．()2211,1,2e e e e ee ⎡⎫---⎪⎢⎣⎭44．已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的函数，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()()10f x x f x '+->，则下列结论中正确的是（ ）A ．()0f x >恒成立B ．()0f x <恒成立C ．()10f =D ．当(),1x ∈-∞时，()0f x <；当()1,x ∈+∞时，()0f x >45．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()Fx f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( )A ．(21e-，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e)导数优生培优试卷参考答案1．B 【分析】 等价转化为ln 1x x m x =+在区间()1,e e -内只有一个根，然后利用导数求得ln ()1x x h x x =+在区间()1,e e -的单调性，最后简单计算可得结果. 【详解】由题可知：等价于11ln m x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间()1,e e -内只有一个根 即ln 1x x m x =+在区间()1,e e -内只有一个根 令2ln 1ln (),()1(1)x x x xh x h x x x ++'==++， 令()1ln k x x x =++，1()10k x x'=+>，函数()y k x =在区间()1,e e -单调递增，()11()0k x k e e -->=>，所以()0h x '>，函数()y h x =在区间()1,e e -单调递增，所以有()()()1h e h x h e -<<，即11(),1111e eh x m e e e e --<<<<++++， 故选：B.【点睛】思路点睛：（1）等价转为ln 1x x m x =+在区间()1,e e -内只有一个根；（2）构造函数ln ()1x x h x x =+；（3）利用导数研究函数ln ()1x xh x x =+性质；（4）得出结果.2．D 【分析】 设()eg x x=，()sin cos h x x x x =-⋅ ，求方程()0f x =的根的个数，即求函数()y g x =与()y h x =的交点个数，利用函数均为奇函数求区间交点数即可.【详解】 设()eg x x=，()sin cos h x x x x =-⋅ ，()f x 与()g x 均为奇函数， ∴只需求()y g x =与()y h x =在(0,4]π上的交点个数.∴()sin h x x x '=，所以()h x 在(0,)π和(2,3)ππ上单调递增，在(,2)ππ和(3,4)ππ上单调递减，且()()()()()00,,22,33,44h h h h h ππππππππ===-==-； 又()e g x x=单调递减且()()()(),444e eg h g h ππππππ=<=>，∴在(0,4]π上有4个交点，故在[4,0)π-上也有4个交点，故方程()0f x =在[4,4]ππ-且0x ≠上有8个根，故选：D.【点睛】关键点点睛：将函数拆分成两个函数()eg x x=，()sin cos h x x x x =-⋅ ，研究它们在指定区间上的交点个数. 3．B 【分析】由()'ln 1f x x ax =--在()0,∞+上有两个不同的零点，转化为函数y a =与ln 1x y x-=有两个不同的交点，利用数形结合法求解. 【详解】()'ln 1f x x ax =--，因为()'ln 1f x x ax =--在()0,∞+上有两个不同的零点， 即ln 10x ax --=有两个不同的正根，即ln 1x a x-=有两个不同的正根， 即y a =与ln 1x y x-=有两个不同的交点. 因为22ln xy x-'=，当20x e <<时，0y '>，当2x e >时，0y '<，导数优生培优试卷所以函数ln 1x y x -=在()20,e 为增函数，在()2,e +∞为减函数， 当2x e =时，21y e=，且当x e >时，0y >，在同一坐标系中作出 y a =与ln 1x y x-=的图象，如图所示：由图象得210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决． 4．D 【分析】易知()f x 的图象是由函数()2ln 1g x x x =-+的图象向左平移一个单位长度得到，然后利用()2ln 1g x x x =-+的奇偶性和极值求解.【详解】因为()()22ln 12ln 111f x x x x x x =+--=+-++，所以()f x 的图象是由函数()2ln 1g x x x =-+的图象向左平移一个单位长度得到，因为()2ln 1g x x x =-+为偶函数，故()f x 的图象关于直线1x =-对称.又0x >时，()2ln 1g x x x =-+，()21122x g x x x x-'=-=，所以在⎛ ⎝⎭上，()0g x '>，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上，()0g x '<， 所以()g x 在()0,∞+存在极值点， 所以()f x 在()1,-+∞上存在极值点. 综上可知，只有选项D 符合条件.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对函数()f x 的变形，得到与()2ln 1g x x x =-+的图象关系而得解. 5．B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围. 【详解】∴()2222ln 2x x t f x x -+-'=，∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立∴对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立， ∴对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立, ∴1x t x+>恒成立， 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==， ∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.导数优生培优试卷6．C【分析】画出函数的图像，利用零点的个数，结合图像，即可得到结果． 【详解】当0x ≥时，()235x x f x =+-单调递增，此时函数的值域为[3,)-+∞．当0x <时，2()32f x x x '=+，由()0f x '=，得23x =-，则231()max 327f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 因为320011++=，且函数()27a y f x =-恰有3个零点，所以3112727a <<，即2731a <<，故整数a 的个数为3．故选：C 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 7．D 【分析】求得()f x 的导数，可得单调区间和极值，作出()f x 的图象，将方程()()210f x tf x t -+-=因式分解为()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，则()1f x =或()1f x t =-，从而()1f x t =-有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点，数形结合即可得到1t -的取值范围，从而得解；【详解】解：函数2()x x f x e=的导数为22()xx x f x e -'=， 当02x <<时，()0f x '>，()f x 递增； 当2x >或0x <时，()0f x '<，()f x 递减，可得()f x 在0x =处取得极小值0， 在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象如下所示，因为()()210fx tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，所以()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，解得()1f x =或()1f x t =-，当()1f x =时，有1个实数解，所以()1f x t =-应有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点， 所以2401t e <-<，即2411t e<<+ 故选：D 【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力． 8．A 【分析】设11()ln e e x x g x x x --+=-++，则函数11()ln x x f x x x e e m --+=-+++有零点转化为函数导数优生培优试卷()g x 的图象与直线y m =-有交点，利用导数判断函数()g x 的单调性，即可求出．【详解】设11()ln e e x x g x x x --+=-++，定义域为()0,∞+，则111()1e e x x g x x--+'=-+-，易知()'g x 为单调递增函数，且(1)0,g '= 所以当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 递减； 当(1,)x ∈+∞时， ()0g x '>， ()g x 递增，所以 ()(1)3,g x g ≥= 所以3m -≥，即3m ≤-． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查根据函数有零点求参数的取值范围，意在考查学生的转化能力，属于基础题．9．A 【分析】根据题意将函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点转化为ln 1x e x x a x--=有两解，令新的函数ln 1()x e x x h x x --=，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得a 的取值范围.【详解】因为函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，所以()()f x g x -=，即ln 1xe ax x x -=+有两解，则ln 1x e x x a x--=有两解，令ln 1()x e x x h x x --=，则()21()1x x h x e x-'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>；所以函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以()h x 在1x =处取得极小值，所以(1)1h e =-，所以1a e >-，a 的取值范围为()1,e -+∞. 故选：A.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． 10．A 【分析】求出三次函数的导数，根据导函数正负情况分析单调性和极值，图象要与x 轴三个交点，据此得出取值范围. 【详解】由条件得2()3(3)f x x x x x '=+=+，令()0f x '>，可得解集为(,3)(0,)-∞-⋃+∞ 令()0f x '<，可得解集为(3,0)-则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(3,0)-上单调递减，又9(3)2f c -=+，(0)f c =，要使()f x 有3个不同的零点，则902c c <<+，所以902c -<<. 故选：A【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 11．B 【分析】由题意可得()()f x g x =-对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不等式的实根，等价于方程21ln 0x x x m -+-=对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不等式的实根，令()21ln x x h x x =+-，可转化为y m =与()21ln x x h x x =+-两个函数图象在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦有两个不同的交点，对()h x 求导判断单调性，作出其函数图象，数形结合即可求解.【详解】若函数()2f x x m =-与函数()11ln,,22g x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则()()f x g x =-对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不等式的实根， 即21ln0x x x m -+-=对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不等式的实根， 可得21lnx m x x +=-对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不等式的实根， 令()21lnx xh x x =+-， 则y m =与()21lnx x h x x =+-两个函数图象在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦有两个不同的交点，导数优生培优试卷()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=--==， 由()0h x '>可得12x <<，由()0h x '<可得112x <<， 所以()21lnx xh x x =+-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()1,2单调递增，所以()h x 图象如图所示：当1x =时，()ln11011h =-=+， 当12x =时，ln 12111l 4n 2242h ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭-，若y m =与()21ln x x h x x =+-两个函数图象在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦有两个不同的交点， 由图知104ln 2m <≤-+， 所以实数m 的取值范围是10,ln 24⎛⎤ ⎥⎝+⎦-， 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12．A 【分析】将不等式32ln x ax x -≥恒成立，转化为不等式2ln x xa x≤-在()0,∞+上恒成立，令()2ln x x xg x =-，用导数法求得其最小值即可. 【详解】因为不等式32ln x ax x -≥恒成立， 所以不等式2ln x xa x≤- 在()0,∞+上恒成立， 令()2ln x x xg x =-， 则()3312ln x xg x x -+'=，令()312ln h x x x =-+，则()2230h x x x'=+>， 所以()h x 在()0,∞+上是递增，又()10h =， 所以当01x <<时，()0h x <，即()0g x '<， 当1x >时，()0h x >，即()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得最小值()11g =， 所以 1a ≤， 故选：A 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.13．A【分析】可判断()f x 是奇函数且在R 上为减函数，不等式可化为导数优生培优试卷()()2cos 222sin f m f m θθ->-，可得2sin 12sin 1m θθ+>-在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，令()()21,0,11t g t t t +=∈-，利用导数可得()()01g t g <=-，即可求出.【详解】由()f x 解析式可得()f x 是奇函数，()231cos 0f x x x '=--+≤，()f x ∴在R 上为减函数，由()()2cos 22sin 20f m f m θθ-+->得()()()2cos 22sin 222sin f m f m f m θθθ->--=-，2cos 222sin m m θθ-<-∴，即2sin 12sin 1m θθ+>-在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，令sin t θ=，则()0,1t ∈，设()()21,0,11t g t t t +=∈-，则()()222101t t g t t --'=<-，()g t ∴在()0,1单调递减，()()01g t g ∴<=-，21m ∴≥-，即12m ≥-.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是判断()f x 是奇函数且在R 上为减函数，得出2sin 12sin 1m θθ+>-在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.14．C【分析】转化为()y f x =的图象与直线y a =仅有一个交点，利用导数得到函数的性质，根据函数的性质作出函数的图象，根据图象可得解. 【详解】当0x >时，ln ()x f x x=，21ln ()x x x f x x⋅-'=21ln xx -=，当0x e <<时，()'f x 0>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，所以()f x 在x e =处取得极大值为1()f e e=， 当0x ≤时，()(2)x f x x e =+，()(2)(3)x x x f x e x e x e '=++=+， 当3x <-时，()0f x '<，当3x >-时，()0f x '>， 所以()f x 在(,3)-∞-上递减，在(3,0]-上递增，所以()f x 在3x =-处取得极小值为331(3)f e e --=-=-，又(0)2f =， 因为函数()()g x f x a =-仅有一个零点，所以()y f x =的图象与直线y a =仅有一个交点， 作出函数()f x 的图象，如图：由图可知：12a e <≤或31a e<-. 故实数a 的取值范围为311,2,e e ⎛⎤⎛⎫⋃-∞- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭. 故选：C【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 15．D 【分析】 设()()21xg x ex =-，y mx m =-，则有且仅有一个整数n ，使得()g x 在直线y mx m=-的下方，由此利用导数性质能求出m 的取值范围. 【详解】导数优生培优试卷函数()()21xf x e x mx m =--+，其中1m <，设()()21xg x ex =-，y mx m =-，∴有且仅有一个整数n ，使得()0f n <，∴有且仅有一个整数n ，使得()g x 在直线y mx m =-的下方， ∴()()21xg x e x '=+，∴当12x <-时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当12x >-时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； ∴当12x =-时，()1212[2]min g x g e -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当0x =时，()01g =-，当1x =时，()10g e =>， 直线y mx m =-恒过()1,0，斜率为m ，故()01m g ->=-，且()113g e m m --≥-=--，解得312m e≤<， ∴m 的取值范围是：3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故选：D.【点睛】 关键点点睛：（1）利用数形结合思想将题意转化为两图象相交的问题；（2）利用导数判断函数的单调性，分析临界位置处函数值的大小关系. 16．A 【分析】利用导数求得()g x 的单调区间和最小值.画出()f x 和()g x 的图象，结合图象求得n m -的最大值. 【详解】()()()()'22222222214222xx x x x x xe e ex e ex eex e e e x e e x g x e e x ex exex +⋅-+⋅⋅-⋅⋅--====⋅， 所以当01x <<时，()()'0,g x g x <递减；当1x >时，()()'0,g x g x >递增. 所以在区间()0,∞+上，()g x 的最小值为()112e eg e+==. ()23524f x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，故()f x 在32x =-时取得最大值54. 画出()()0f x x <和()()0g x x >图象如下图所示， 令()1f x =，解得2x =-或1x =-.依题意，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，由图可知，n m -的最大值为()121---=. 故选：A【点睛】恒成立、存在性问题的求解，可通过结合图象以及函数的最值来求解. 17．A 【分析】导数优生培优试卷根据已知可进行分离参数后，构造函数，两个零点1x ，2x ，求解a 的范围和切点，可得1201x x <<<，且()()12f x f x =，结合1x 与2x 的大小关系及函数的性质可求1x 的范围，然后结合函数单调性进行求解即可． 【详解】解：函数()()ln 0f x ax x a =-> 有两个零点1x ，2x ， 令()0f x =，可得e xa x = 令()e xg x x= 即()()2e 1x x g x x-'=， 令()0g x '=，可得1x =， 可得当()0,1x ∈时，则()0g x '<， 当()1,x ∈+∞时，则()0g x '>，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得1201x x <<<， （i ）若1102x <<，则21120x x >>>，符合题意； （ii ）若1112x <<，则2121x x >>， 根据单调性，可得()()122f x f x <， 即()()112f x f x <，可得1111ln 22ln ax x ax x -<-，1ln 2x ∴>，综合（i ）（ii ）得，1x 的取值范围是()ln2,1． 又()g x 在()ln2,1上单调递减，可得()()ln 2g x g >， 即2ln 2a． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数求解参数的取值范围，体现了转化思想的应用．导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 18．C 【分析】 求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可. 【详解】∴()2ln xf x e x x px =--，∴()ln 12xf x e x px '=---，∴()12xf x e p x''=--， ∴()2ln xf x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，∴()120xf x e p x''=--<在()1,4上恒成立， 即12xp e x >-在()1,4上恒成立， 令()1xg x e x =-，()1,4x ∈，∴()210xg x e x =+>'，∴()1xg x e x=-在()1,4上单调递增，∴()()4144g x g e <=-，∴4124p e ≥-，即41,28e p ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：C.【点睛】导数优生培优试卷导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19．C 【分析】先根据题意将问题转化为()'0f x ≥在()0,∞+上恒成立，进而得22ln 230x x a -++≥在()0,∞+上恒成立，故令()22ln 23g x x x a =-++，()0,x ∈+∞，研究函数()min 0g x ≥即可得答案.【详解】解：因为函数()ln 12122x a x f x x x+=+-在()0,∞+上单调递增， 所以()'0f x ≥在()0,∞+上恒成立；由于()22221ln 1212ln 23222'x a x x f xx a x x -+-++=++=， 所以22ln 230x x a -++≥在()0,∞+上恒成立， 故令()22ln 23g x x x a =-++，()0,x ∈+∞，()2222'2x g x x x x-=-=， 故当()0,1x ∈时，()'0g x <，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >，所以函数()22ln 23g x x x a =-++在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以()()min 1240g x g a ==+≥，解得2a ≥-， 故实数a 的取值范围为[)2,-+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数单调性求参数取值范围，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意将问题抓化为()'0f x ≥在()0,∞+上恒成立，进一步运算得22ln 230x x a -++≥在()0,∞+上恒成立，进而构造函数并研究函数最值即可.20．A 【分析】由题可得232ln m x x =-，构造函数()22ln h x x x =-，讨论其在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦的变化情况即可得出答案. 【详解】由()()f x g x =，得232ln m x x =-， 令()22ln h x x x =-，则()()()211x x h x x-+'=，所以()h x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，所以()()min 11h x h ==，()221122h e e h e e ⎛⎫=->=+ ⎪⎝⎭， 则21132m e <≤+，即2121333m e <≤+． 故选：A ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 21．A 【分析】化为()a f x x =-有3个实根，设()()h x f x x =-，利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果. 【详解】因为函数()()g x f x x a =--有3个零点，所以()a f x x =-有3个实根， 设()()h x f x x =-，当0x ≤时，3()3h x x x =-，2()33h x x '=-， 当10-<≤x 时，()0h x '<，当1x <-时，()0h x '>， 所以()h x 在(,1)-∞-上递增，在(1,0)-上递减， 所以()h x 在1x =-时取得极大值(1)2h -=， 当0x >时，()ln h x x x =--为减函数， 作出函数()h x 的图象如图：导数优生培优试卷由图可知，02a ≤<. 故选：A 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 22．D 【分析】'1()ln 1x f x e x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令1()ln 1g x x x =+-，计算函数的单调性，得到()121f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】'1()ln 1x f x e x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令1()ln 1g x x x =+-，则'22111()x g x x x x -=-=，故当112x <<时，)'(0g x <，()g x 单调递减，当1x >时，'()0,()g x g x >单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，'()0f x ≥，()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.设()()222314h a a a e a e =+--=+--，则()h a 在[]2,1--上单调递减，在[]1,1-上单调递增，()max ()1h a h e ==-， 存在[]2,1a ∈-，使21223f a a e m ⎛⎫-≤+-- ⎪⎝⎭成立，等价于()121f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭.1211122m m ⎧-≤⎪⎪∴⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤.故选：D. 【点睛】本题考查了能成立问题，转化为函数的值域问题是解题的关键，得出参数与函数的最值的大小关系. 23．D 【分析】 由已知条件可得()()max min1g x f x k k≤+，分别利用基本不等式和导数可求得()min f x 和()max g x ，可得出关于正实数k 的不等式，由此可得出正数k 的取值范围.【详解】对任意1x 、(]20,x e ∈，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则()()max min 1g x f x k k≤+. 当(]0,x e ∈时，由基本不等式可得()2444x f x x x x +==+≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以，()min 4f x =.()x g x xe =，()()10x g x x e '∴=+>对任意的(]0,x e ∈恒成立，所以，函数()g x 在区间(]0,e 上单调递增，所以，()()1max ee g x g e e e e+==⋅=，所以，141e e k k+≤+，因为0k >，解得1404e k e +<≤-. 故选：D.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，()y g x =，[],x c d ∈.（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，则()()max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，则()()max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，则()()min max f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值导数优生培优试卷域的子集. 24．B 【分析】由题意可得()max m f x ≤，利用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，存在[]1,3x ∈，使得()m f x ≤，则()max m f x ≤.()22ln f x x x =-，则()()()22112222x x x f x x x x x-+-'=-==， 当[]1,3x ∈时，()0f x '≥，所以，函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，则()()2max 2f x f e e ==-，22m e ∴≤-，因此，实数m 的取值范围是(2,2e ⎤-∞-⎦.故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 25．B 【分析】令()31250g x x x =-+，用导数法得到()g x 在[]2,m m -上递减；再根据02m <≤，则()f x 在[]2,m m -上递减，然后再根据对任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤，由()()max min 1f x f x -≤求解. 【详解】设()31250g x x x =-+，则()()2231234g x x x '=-=-，当2x <-或2x >时()0g x '>，()g x 递增；当22x -<<时()0g x '<，()g x 递减；当02m <≤时，[]2,m m - []22-,， 所以()g x 在[]2,m m -上递减； 所以()f x 在[]2,m m -上递减；所以()()()()max min 2,f x f m f x f m =-=因为任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤， 所以()()max min 1f x f x -≤， 即()()()()332122501250211616m m m m f m f m m m---+-+--=-≤，即23280m m +-≥， 解得2m ≤-或43m ≥，又02m <≤， 所以实数m 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键有两点：一是对任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤等价于()()max min 1f x f x -≤，二是()f x 在[]2,m m -上的单调性，由()31250g x x x =-+，利用导数法求解. 26．D 【分析】先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m 的方程，因为过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可． 【详解】解；设切点坐标3000(,3)x x x -， ∴()33f x x x =-，∴233fxx∴曲线()f x 在3000(,3)x x x -处的切线斜率为0233x - 又∴切线过点(1,)A m ，导数优生培优试卷∴切线斜率为300031x x mx ---，∴3000203133x x mx x --=-- 即320023x x m+3=0-+ ∴∴过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线， ∴方程∴有3解．令()32000233h x x x m+=-+，则()0h x 图象与x 轴有3个交点， ∴()0h x 的极大值与极小值异号()200066h x x x '=-，令()00h x =，得00x =或1，∴()()010h h <，即（m ＋3）（m ＋2）＜0解得−3＜m ＜−2 故选：D ． 【点睛】方法点睛：１.准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将切线的条数转化为函数()32000233h x x x m+=-+的零点个数，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．２.当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解. 27．B 【分析】 将不等式化为()()111ln x x k x +++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得()02,3x ∃∈使()00g x '=，进而可得()()001()g x x x g ≥=+，即求.【详解】()()()1ln 10x f x x x++=>，()1k f x x ∴>+可化为()111ln x kx x ++>+ 即()()111ln x x k x+++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，则()()()()21ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣⎦'= ()211x ln x x--+=令()()11h x x ln x =--+， 则()111h x x '=-+，()0,x ∈+∞时， ()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.又()()1ln 32ln 420,30,49g g --''=<=> ()02,3x ∃∈使()00g x '=，即()0011ln x x +=-.当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，()()000001ln 1))1(()(1x x g x x x x g +∴≥==+++，()02,3x ∈，()013,4x +∴∈， ∴正整数k 的最大值为3.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在()02,3x ∈，使得()00g x '=，考查了分离参数法求范围. 28．A 【分析】导数优生培优试卷由()0f x ≥且0x >，得出2ln 2x e x m x -+≥-，构造函数()ln =-xg x x，利用导数研究()g x 的单调性，画出()ln =-xg x x和22y e x =-的大致图象，由图可知0m >，设0x 为()ln =-xg x x和22y e x m =-+的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即012x ≤<，当直线22y e x m =-+过1,0A 和ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，即可求出求出m 的值，从而得出m 的取值范围. 【详解】解：由题可知，()22ln 2f x x e x mx =-+，0x >，由于()0f x ≥的解集中恰有一个整数，即22ln 20x e x mx -+≥，即222ln e x mx x -+≥-，因为0x >，所以2ln 2xe x m x-+≥-的解集中恰有一个整数， 令()ln =-x g x x ，则()21ln xg x x -'=-，当1x e <<时，()0g x '<；当x e >时，()0g x '>， 所以()g x 在()1,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，画出()ln x y xg x ==-和22y e x =-的大致图象，如图所示： 要使得2ln 2x e x m x -+≥-，可知0m >，设0x 为()ln =-xg x x 和22y e x m =-+的交点的横坐标，而2ln 2x e x m x-+≥-的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即012x ≤<，当01x =时，得()10g =；当02x =时，得()ln 222g =-，即1,0A ，ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线22y e x m =-+过点1,0A 时，得22m e =， 当直线22y e x m =-+过点ln 22,2B ⎛⎫-⎪⎝⎭时，得2ln 242m e =-，所以m 的取值范围为22ln 22,42e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 故选：A.【点睛】 关键点点睛：本题考查根据不等式的解集求参数的取值范围，考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数以及转化成两个函数的交点是解题的关键，考查数形结合思想和转化能力. 29．D 【分析】 设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，。
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培优导数专题1、（本大题满分12分） 设函数f （x ）=.cos 2sin xx+（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）如果对任何,0≥x 都有f （x ）ax ≤，求a 的取值范围. 2．（本小题满分12分）已知.)2()(,02xe ax x xf a -=≥函数（Ⅰ）当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围.3、已知函数21()ln (1)(0).2f x x ax a x a R a =-+-∈≠且（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点．如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）夺在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．4、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。
如果函数2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2f -<-。
（1）试求函数()f x 的单调区间；（2）已知各项均为负的数列{}n a 满足1)1(4=nn a f s ，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-；（3）设1n nb a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：201120101ln 2011T T -<<。
5、（12分）设函数f （x ） ＝ x 2＋bln （x ＋1）,（1）若对定义域的任意x ，都有f （x ）≥f （1）成立，求实数b 的值； （2）若函数f （x ）在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝－1，证明对任意的正整数n ，不等式33311......31211)1(nk f nk ++++∑= 都成立；6、（12分）已知函数)()(R x kx e x f x∈-= （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间；（2）若0>k 且对任意R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(21*+∈+>⋅N n e n F F F n n1解： （I ）.)cos 2(1cos 2)cos 2()sin (sin cos )cos 2()(22x x x x x x x x f ++=+--+=' ……2分分是减函数在每一个区间是增函数在每一区间因此即时当即时当6.))(342,322()(,))(322,322()(.0)(,21cos ,)(342322;0)(,21cos ,)(322322 Z Z Z Z ∈++∈+-<'-<∈+<<+>'->∈+<<-k k k x f k k k x f x f x k k x k x f x k k x k ππππππππππππππππ（II ）令则),()(x f ax x g -=.31)31cos 21(3)cos 2(3cos 22)cos 2(1cos 2)(222-+-+=+++-=++-='a x x x a x x a x g故当.)(,0)0()(,0,0)0(.0)(,31ax x f g x g x g x g a ≤=≥≥=≥'≥即时所以当又时[)[).2021)2(,0.3sin cos 2sin )(,)3arccos ,0(,.3sin ,0)0()(,)3arccos ,0(.3arccos ,0)(.0)(,3arccos ,0.3cos )(,3sin )(,310ππ⋅≥>=≤>>+=∈>=>∈>'∈-='-=<<a f a ax xx x x f a x ax x h x h a x a x h x h a x a x x h ax x x h a 有时当时当于是即时故当上单调增加在因此时故当则令时当因此，a 的取值范围是.,31⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞……12分2．解：（I ）对函数f (x )求导数，得 .]2)1(2[)22()2()(22xxxe a x a x e a x e ax x xf --+=-+-=' 令0)(='x f ，得 [x 2+2(1－a )x －2a ]e x =0，从而x 2+2(1－a )x －2a =0. 解得 212221,11,11x x a a x a a x <++-=+--=其中,当x 变化时，)(x f '，f (x )的变化如下表：当f (x )在x =x 1处取到极大值，在x =x 2处取到极小值，……………………4分 当a ≥0时，x 1<－1, x 2≥0，f (x )在(x 1 , x 2)为减函数，在(x 2,+ ∞)为增函数. 而当x <0时，f (x )=x (x －2a )e x >0；当x =0时，f (x )=0.所以当x =a －1+21a +时, f (x )取得最小值. …………………8分（II ）当a ≥0时，f (x )在[－1，1]上单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1+21a +≥1.解得a ≥43；综上：f (x )在[－1，1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥43；即a 的取值范围是),43[+∞… 3、解：（Ⅰ） 函数()f x 的定义域是(0,)+∞. ………1分由已知得，1(1)()1'()1a x x a f x ax a x x-+=-+-=-. ………2分 ⅰ 当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⅱ 当0a <时，①当11a -<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得10x a<<-或1x >; ∴函数()f x 在1(0,)a-和(1,)+∞上单调递增②当11a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a>-∴函数()f x 在(0,1)和1(,)a-+∞上单调递增 。
6分综上所述:⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增⑵当1a <-时,函数()f x 在1(0,)a-和(1,)+∞上单调递增⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1(,)a-+∞上单调递增 ………….7分 (Ⅱ)假设函数()f x 存在“中值相依切线”.设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y f x =上的不同两点，且120x x <<， 则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，222221ln (1)2y x ax a x =-+-. 2121ABy y k x x -=-22212121211(ln ln )()(1)()2x x a x x a x x x x ---+--=- 211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x -=-++-- …………9分曲线在点00(,)M x y 处的切线斜率0()k f x '=12()2x x f +'=12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+， 依题意得：211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+.化简可得： 2121ln ln x x x x --122x x =+， 即21ln x x =21212()x x x x -+21212(1)1x x x x -=+. ….11分设21x t x = (1t >)，上式化为：2(1)4ln 211t t t t -==-++, 4ln 21t t +=+. 令4()ln 1g t t t =++,214'()(1)g t t t =-+=22(1)(1)t t t -+. 因为1t >,显然'()0g t >，所以()g t 在(1,)+∞上递增, 显然有()2g t >恒成立.所以在(1,)+∞内不存在t ,使得4ln 21t t +=+成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数()f x 不存在“中值相依切线”. …..14分（1）设22(1)0(1)x ax b x cx a b bx c+=⇒-++=≠-201201c b a b ⎧+=-⎪⎪-⇒⎨⎪⨯=⎪-⎩∴012a c b =⎧⎪⎨=+⎪⎩ ∴2()(1)2x f x c x c =+-由21(2)1312f c c --=<-⇒-<<+又∵,*b c N ∈ ∴2,2c b == ∴2()(1)2(1)x f x x x =≠- …… 3分于是222222(1)22()4(1)2(1)x x x x xf x x x ---'==-- 由()0f x '>得0x <或2x >； 由()0f x '<得01x <<或12x << 故函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(2,)+∞，单调减区间为(0,1)和(1,2) ……4分（2）由已知可得22n n n S a a =-， 当2n ≥时，21112n n n S a a ---=-两式相减得11()(1)0n n n n a a a a --+-+= ∴1n n a a -=-或11n n a a --=-当1n =时，2111121a a a a =-⇒=-，若1n n a a -=-，则21a =这与1n a ≠矛盾∴11n n a a --=- ∴n a n =- ……6分于是，待证不等式即为111ln 1n n n n +<<+。