二次项定理典型例题教师版

典型例题

例1 在二项式n

x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+4

21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．

解：二项式的展开式的通项公式为：

4324121C 21)(C r

n r r n r r n r n r x x x T --+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r

得系数为：)1(8

141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8

1

123

12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n

通项公式为143168

1,82,1,021C +-

+==r r

r r

r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r

依次得到有理项为22

888944

8

541256

121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，100

3)32(+的

展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有17项．

例2 求10

3

21⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-x x 的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项． 分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值，需要对所有项

的系数的变化规律进行研究．由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值．

解：展开式的通项公式为：6

5301012)1(C r

r r r

r x

T --+⋅⋅-= 系数的绝对值为r

r -⋅2C 10，记为1+r t ．

用前后两项系数的绝对值作商得：

.)

1(210!102)!10(!)!9()!1(!10C 2C 2C 2C 1011010)1(11012+-=⋅-⨯-⋅+==⋅⋅=+-+-+++r r r r r r t t r

r r r r r r r 令

1)1(210≥+-r r 得：3

8

≤r 即0=r 、1、2时，上述不等式成立．

所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小． 系数绝对值最大的项为第4项，2

52

5

3

3

410

4152)1(C x x T -=-=-．

从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，

.8

105162102C ,4452

C 44

1052

210

3==⋅==⋅=--t t 所以，系数最大的项为第5项，35

58105x t =． 例3 已知7

722107)21(x a x a x a a x ++++=- ，求：（1）7321a a a a ++++ ；

（2）7531a a a a +++；（3） 6420a a a a +++．

分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有0、1、－1等．

解：（1）取0=x 可得10=a ， 取1=x 得1)1(7

710-=-=+++a a a ．

∴27321-=++++a a a a . （2）取1-=x 得7

7632103=-++-+-a a a a a a ，

记75316420,a a a a B a a a a A +++=+++=． ∴7

3,1=--=+B A B A ．

可得1094)31(2

1

,1093)13(2177-=+-==-=

B A 从而10947531-=+++a a a a ． （3）从（2）的计算已知10936420=+++a a a a ．

说明：赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和大多数也能用此方法

解决，如：6

5)21()1(x x -⋅+的展开式中各项的系数和为多少？可以看到6

5

)21()1(x x -+的展开式仍是多项式，令

1=x ，即得各项系数和为32)1(265=-．再比如：n n n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ，则

n a a a a 2420++++ 等于多少？本题可以由取1=x 得到各项系数和，取1-=x 得到奇数项系数和减去偶数项系数

和，两式相加可得)13(2

1220+=

+++n

n a a a ．此外，为了赋值的需要，有时需要用一个新的二项式替换原来二项式，只要它们的系数等同即可．如：n

x x )log 2(2+的展开式中各项的系数和是多少？我们可以用一个更简单的二项式n

x )21(+代替原来的二项式，它们的系数并不改变，令1=x 便得各项系数和为n 3．

例4 （1）求10

3

)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21

(++

x

x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．

解：（1）10

3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3

)1(x -展开式中的一次项乘以

10)1(x +展开式中的4x 项可得到5

4104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为：5

521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．

（2）2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x 12

5

1)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=++x x x x ． 由121⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛+x x 展开式的通项公式r r r

r r r x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 6

12=． 说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开

的问题来解决．

例5 求6

2)1(x x -+展开式中5

x 的系数．

分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12

x x -+把它看成二项式展开． 解：方法一：[]

6

262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=4

4256)1(15)1(6)1(x x x x x

其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-． 含5

x 项的系数为6．