变异函数及结构分折

i 1 n
(4)
非负定的， (5)
() C (0) 。
2 变异函数的性质
2.3 协方差函数 C ( h) 与变异函数 (h) 关系 在介绍区域化变量二阶平稳条件时，我们知道协方差函数与变异函数关系为：
(h) C (0) C (h)
协方差函数 C ( h) 和变异函数 (h) 两者关系曲线如图 4.2。
负定矩阵） 。
2 变异函数的性质
2.2 变异函数 (h) 性质 设 Z ( x) 满足二阶平稳假设，则 (h) 存在且平稳，并有以下性质： (1) (2) (3)
(0) 0 ，
(h) (h) ，即 (h) 是对 h=0 的直线对称，
( h) 0 ，
(h) 必须是条件非负定函数（即由 ( xi x j ) 构成的矩阵在条件 i 0 时，为
型也称块金效应型。这种类型说明变异函数 (h) 连续性差。当 h 增大时， (h) 又可逐渐变 得比较连续。
3 变异函数的功能
（2） 变异函数在原点处的性状反映变量的空间连续性
（d） 随机型 当 h 0 时， (h) C0 ，当 h 增大时， | h | 时， (h) 仍是在 C0 附 近摆动，无论 h 多么小，区域化变量 Z ( x) 与 Z ( x h) 总是不相关。这种类型称随机型，也 称纯块金效应型。 它反映了区域化变量完全不存在空间相关的情况、 或者说反映了变量是普 通的随机变量。这时 C0 等于先验方差， Var[Z ( x)] C0 。 （e） 过渡型 当 h 0 时， (h) C0 ，当 h=a（a 为变程） ，
h
它实际上等于区域化变量的先验方差，即 () Var[Z ( x)] C (0) 。阈值与块金方差之差 C（即： C C (0) C0 ） ：表示由于调查数据中存在空间自相关性引起的方差变化范围。
1. 变异函数图结构分析
（3）变程（range）
在理论上，当 h 时，C（h）趋于 0，即随着 h 逐渐增大，空间上 Z（x）与 Z（x+h）之 间的相关性逐渐减小以至消失。但在实际计算中，将 h ， C ( h ) 0 时的滞后 定义为 变程。当 h 增大到此数值时，随机变量在空间上的自相关性被认为是 0。由此可见，变程是 一个重要的基本参数。变程 的大小，反映区域化变量影响范围的大小，或者说反映该变量 自相关范围的大小。因此，也可以说变程 是区域化变量 Z ( x) 空间变异尺度或空间自相关 尺度。
2 变异函数的性质
前面已经证明了： 在二阶平稳假设下， 变异函数与协方差函数及方差函数三者之间有关系式
(h) C (0) C (h) 存在。因此，要了解变异函数的性质，就要先了解协方差函数 C (h) 的
性质。
2 变异函数的性质
2.1 协方差函数 C ( h) 性质
设 Z ( x) 满足二阶平稳假设，则 C ( h) 存在且平稳，并有以下性质： (1) (2) (3) (4) (5)
1. 变异函数图结构分析
将以 (h) 为纵轴， h 为横轴绘制出 (h) 随滞后增加的变化曲线称为变异函数图 （Burgessbnm et al.，1980） 。通过大多数实际应用发现变异函数是滞后的单调函数。即随着
h 由小增大， (h) 逐渐增加，当 h 增大到某一数值时， (h) 增加到最大值（见图 4.1） 。
3 变异函数的功能
（2） 变异函数在原点处的性状反映变量的空间连续性
3 变异函数的功能
（3） 不同方向上的变异函数图可反映区域化变量的各向异性
通过作出各个方向上的变异函数图 (h) ，并把它们放到一起进行比较，就可以确定区域化 变量的各向异性（包括有无各向异性，及各向异性的类型等） 。一般在生态学、土壤学中， 许多区域化变量都是各向异性的
变程
方差
基台值
块金方差
分离距离 h 图 4.1 变异函数图三个基本参数
1. 变异函数图结构分析
（1）块金方差（nugget variance）
（1）块金方差（nugget variance） ：根据变异函数定义，当 h =0 时，其变异函数值应为 0。 然而，由于诸多因素的影响，比如小尺度的变异，造成在 h 0时， (h) 0 ，导致变异函 数在原点的不连续。在实际的样本变异函数计算过程中，其近似平滑曲线并不通过原点，而 是具有一个正的截距，将其定义为块金方差（C0） ，这种现象在空间统计学中称为块金效应 （nugget effect） 。用公式表示为： C0 C (0) lim C ( h ) lim ( h ) 。
北方向上的各向异性。
3 变异函数的功能
（4） 块金常数 的大小可反映区域化变量的随机性大小
对变异函数 (h) ，当 h 0 时，变异函数 (h) 0 ，而等于一个常数 C0 ， C0 称为块 金常数或块金方差。块金常数 C0 反映了区域化变量 Z ( x) 内部随机性的可能程度。它主要 有两种来源；一是来自于区域化变量 Z ( x) 在小于抽样尺度 h 时所具有的内部变异，二是来 自于抽样分析的误差。如，在分析土壤有机氮含量时，在同一点上取样两次，所得的结果会 存在一定或较大差异。当样点间的距离大于微域结构范围，或样点的大小，大于微域结构范 围，就会出现块金效应。因此，要想了解微域结构特征, 靠大尺度取样数据是不够的，必须 在小尺度上进行测量、取样。才能了解区域化变量在不同尺度上的变异特征。
h 0 h 0
1. 变异函数图结构分析
块金方差：主要来源于远小于抽样间距的空间尺度上
存在的差异。块金方差的大小直接限制了空间内插的精
度，如果实际的样本方差图主要表现为块金效应，即随 的增加变异函数的变化近似于一水平线，说明了在最小 抽样间距以上的空间尺度上不存在自相关性，这种结果 也意味着可能存在一个比抽样间距更加小的空间自相关
3 变异函数的功能
（4） 块金常数 的大小可反映区域化变量的随机性大小
(a) C (0) 。这种变异
函数处于抛物线型和纯块金效应型之间的过渡型。 即变异函数 (h) 存在块金常数 C0 和基台 值 C 0 C ，有时也将 C 0 C 中的 C 称为“拱高” 。当存在块金常数 C0 (C0 0) 时，基台 值等于块金常数 C0 加上拱高 C ，当块金常数 C0 0 时，基台值就等于拱高 C 。过渡型是 实际研究工作中最常见的类型。
1. 变异函数图结构分析
（3）变程（range）
变程 是区域化变量 Z ( x) 空间变异尺度或空间自相关尺度。这一点在空间异质性定量研究 或景观格局定量分析方面是非常有用的工具（Rossi et al.，1992；Cressie，1991；李哈滨等， 1992） 。同理，在变程距离之内，空间上越靠近在一起的点之间的相关性越大，相隔距离大 于 的点间不具有自相关性， 这对一般常见变异函数均具有此属性， 但对具有周期性变化情 况的变异函数则不适用。 变程也表示了空间内插的极限距离， 在 范围内的内插才是有意义 的（Webster，1985；Trangmar et al.，1985） 。
过程，这种小于抽样间距的空间相关性只有通过加密抽
样过程来提示。
1. 变异函数图结构分析
（2）阈值（sill）
（2）阈值（sill） ：变异函数 (h) 是一个单调递增函数，即 (h) 随着 h 的增大而单调增加。 当 h 超过某一个范围，例如变程 ，变异函数 (h) 不再增大，而是在一个极限值 () 附近 摆动， () 的极限值称为“阈值”或“基台值” ，公式表示为： ( ) C (0) lim ( h ) 。
第四章 变异函数及结构分折
冯益明
为了弥补经典统计学没有考虑各观测值空间 位置的缺陷，在空间统计学中引入了变异函 数这一有力工具。它能够反映区域化变量的 空间变化特征，特别是透过随机性反映区域 化变量的结构性。所谓对区域化变量进行结 构分析，其主要内容就是计算实验变异函数， 然后拟合一个理论变异函数模型，并对变异 函数进行解释。
3 变异函数的功能
凡具有一个“变程”a 和一个“基台值”的变异函数，都称为“可迁型”的变异函数。若区 域化变量 Z ( x) 的变异函数是可迁型的，则 Z ( x) 与落在以 x 为中心，以 a（变程）为半径的 邻域内的任何其他 Z ( x h) 有空间相关性，或说 Z ( x) 与 Z ( x h) 相互有影响。其影响程度 一 般 随 着 两 点 间 距 离 的 增 大 而 减 弱 。 当 h a 时 ， 有 C (h) 0 ， 此 时
3 变异函数的功能
（1） 通过“变程”反映变量影响范围 通常， 变异函数 (h) 从原点处为零开始， 随 h 增大而增大。 但一旦 h 超过某一数值 （a>0） 后， (h) 不再继续单调增大， 而稳定在一个极限值 () 附近。 这种现象称为 “跃迁” 现象。 此处的 () 称为 “基台值 （sill） ” ， 它实际等于 Z ( x) 的先验方差 () Var[Z ( x)] C (0) 。
2
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（共中 A 为常数） ，即变
异函数曲线在原点处趋向于一条抛物线。这类性质反映出该区域化变量有高度连续性特征。 （b） 线性型 当 h 0 时， (h) A | h | （其中 A 为常数） ，即变异函数曲线在原点处
趋向于一条直线， 或说在原点处有斜向的切线存在。 它反映出该区域化变量有平均意义的连 续性。 （c） 间断型 当 h 0 时， (h) C0 ， (h) 在原点处间断，反映块金效应存在。间断
3 变异函数的功能
如图 4.4 。 1 ( h) 表示东西方向上的变异函数， 2 (h) 表示南北方向上的变异函数，由于
（3） 不同方向上的变异函数图可反映区域化变量的各向异性 在结构分析中， 主要是根据变异函数的变程 a 在不同方向上的大小反映各向同性或各向异性，
a 2 a1 ，可见在南北方向上的变异大于东西方向上的变异。表现出区域化变量在东西、南
(h) C(0) C(h) C(0) () （基台值） 。 故当两点间距离 h 大于等于 a 时，Z ( x) 与
Z ( x h) 就不存在空间相关性了。因此，变程 a 能很好地反映变量的影响范围。
3 变异函数的功能
（2） 变异函数在原点处的性状反映变量的空间连续性
变异函数在原点处的性状，反映了区域化变量不同程度的空间连续性。主要有五种类型，见 图 4.3。 （a） 抛物线型（或称连续型） 当 h 0 时， (h) A | h |
(4.1)
图 4.2 协方差函数 C ( h) 和变异函数 ( h) 关系图
2 变异函数的性质
由于 C ( h) 和 (h) 均对称于直线 h=0，故我们只要讨论 h>0 时的情况。 当 h 时， C (h) 0 ， (h) C (0) 。实际上，当只要 h 相当大（即存在 a>0，当 h ≥a）时，就可使 C (h) 0, (h) C (0) 。此处 a 称为“变程（range） ” ，它表示区域化变量 从存在空间相关状态（当 h a 时）转向不存在空间相关状态（当 h a 时）的转折点。也 可说变程 a 是区域化变量 Z ( x) 空间变异尺度或空间自相关尺度。
C (0) 0 ，即先验方差不小于零。 C (h) C (h) ，即 C (h) 是对 h=0 的直线对称。
| C (h) | C (0) ，协方差函数绝对值小于等于先验方差。
| h | 时， C (h) 0 ，或写作 C () 0 。 C (h) 必须是一个非负定函数 （即由 C ( xi x j ) 构成的协方差函数矩阵必须是一个非