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微专题：中考复习数学分类专题提分训练：图形相似之选择题专项(二)(Word版,含答案)

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苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题 专项练习题汇编(Word版,含答案)

苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题 专项练习题汇编(Word版,含答案)

苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题专项练习题汇编1．已知四边形ABCD中，M，N两点分别在AB，BD上，且满足∠MCN＝∠BDC．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，①求证：△ACM∽△DCN；②求证：DN+BM＝CD；（2）如图2，当四边形ABCD为菱形时，若∠BAD＝120°，试探究DN，BM，CD的数量关系．2．在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．3．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．问题发现：（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则＝；②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则＝；拓展研究：（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；解决问题：（3）如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．4．在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，连接BD、AE相交于点F．（1）如图1，当时，＝；（2）如图2，求证：△AFD∽△BAD；（3）如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．5．如图1，点D是△ABC中AB边上一点，∠ACD＝∠B，BC2＝AB•BD．（1）求证：∠ADC＝∠ACB；（2）求∠ACB的度数；（3）将图1中的△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，BD的对应边EF经过点A（如图2所示），若AC＝2，求线段CD的长．6．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN ⊥DM，且MN＝DM，连接DN．（1）如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E．①求证：△ABD∽△MND；②求证：∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．7．在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB＝8，AD＝6．（1）如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值；（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN＝AE+DN；（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，当MG2＝MN•MD时，求AE的值．8．【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：①△≌△；②△∽△．【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，求证：△ACE∽△ABD．【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，，求的值．9．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．（1）请判断△AEF的形状；（2）求证：P A2＝PG•PF；（3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长．10．如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4，点F 为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N．（1）若AF＝4，当BG＝4时，求线段HF和EH的长；（2）若AF＝a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）如图1，点D为AC上一点，DE∥BC交AB边于点E，若＝，求AD及DE的长；（2）如图2，折叠△ABC，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且FH∥AC．①求证：四边形AGHF是菱形；②求菱形的边长；（3）在（1）（2）的条件下，线段CD上是否存在点P，使得△CPH∽△DPE？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由．12．如图①，AB∥MH∥CD，AD与BC相交于点M，点H在BD上．求证：．小明的部分证明如下：证明：∵AB∥MH，∴△DMH∽△DAB，∴．同理可得：＝，…．（1）请完成以上的证明（可用其他方法替换小明的方法）；（2）求证：；（3）如图②，正方形DEFG的顶点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，E、F在边BC 上，AN⊥BC，交DG于M，垂足为N，求证：．13．【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．（1）请证明“射影定理”中的结论③BC2＝AB•BD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．①求证：△BOF∽△BED．②若CE＝2，求OF的长．14．如图①，在正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，将△ABP沿直线AP翻折得到△AEP，点Q是CD的中点，连接BQ交AE于点F，若BQ∥PE．（1）求证：△ABF∽△BQC；（2）求证：BF＝FQ；（3）如图②，连接DE交BQ于点G，连接EC，GC，若FQ＝6，求△GBC的面积．15．如图1，已知等边△ABC的边长为8，点D在AC边上，AD＝2，点P是AB边上的一个动点．（1）连接PC、PD．①当AP＝时，△APD∽△ACP；②若△APD与△BPC相似，求AP的长度；（2）已知点Q在线段PB上，且PQ＝2．①如图2，若△APD与△BQC相似，则∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是；②如图3，若E、F分别是PD、CQ的中点，连接EF，线段EF的长是否是一个定值，若是，求出EF的长，若不是，说明理由．16．（1）如图①，点E，F分别在正方形边AB，BC上，且AF⊥DE，请直接写出AF与DE的关系．（2）如图②，点E，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，且AF⊥EG，求证：．（3）如图③，在（2）的条件下，连接AG，过点G作AG的垂线与CF交于点H，已知BH＝3，HG＝5，GA＝7.5，求的值．17．【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．18．在相似的复习课中，同学们遇到了一道题：已知∠C＝90°，请设计三种不同方法，将Rt△ABC分割成四个小三角形，使每个小三角形与原三角形相似．（1）甲同学设计了如图1分割方法：D是斜边AB的中点，过D分别作DE⊥AC，DF ⊥BC，请判断甲同学的做法是否正确，并说明理由．（2）乙同学设计了如图2分割方法，过点D作FD⊥AB，DE⊥BC，连结EF，易证△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，但是只有D在AB特殊位置时，才能证明另两个三角形与原三角形相似，李老师通过几何画板，发现∠A＝30°时，，∠A＝45°时，，∠A＝60°时，．猜测对于任意∠A，当＝（用AC，BC或AB相关代数式表示），结论成立．请补充条件并证明．（3）在普通三角形中，显然连结三角形中位线分割成四个小三角形与原三角形相似．你能参考乙同学的分割方法找到其他分割方法吗？请做出示意图并作适当分割说明（不要求证明过程）．19．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC边上，连接DE，取BC边的中点O，连接DO并延长到点F，使OF＝OD，连接CF，EF，令＝＝k．（1）①如图1，若k＝1，填空：＝；△ECF是三角形．②如图2，将①中△ADE绕点A旋转，①中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2所示情况给出证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若k＝，AB＝AD，将△ADE由图1位置绕点A旋转，当点C，E，D三点共线时，请直接写出sin∠1的值．20．【基础探究】如图1，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB，AC为对角线，AD•CB＝DC•AC．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）若AC＝8，AB＝12，则AD＝．【应用拓展】如图2，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC为对角线，AD•CB ＝DC•AC，E为AB的中点，连结CE、DE，DE与AC交于点F．若CB＝6，CE＝5，请直接写出的值．参考答案1．（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形∴∠ACD＝∠BDC＝∠BAC＝45°，又∵∠MCN＝∠BDC，∴∠MCN＝∠ACD＝45°，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠DCN，∴∠MCA＝∠DCN，∴△ACM∽△DCN．②证明：由①可知：△ACM∽△DCN，∴，∴DN＝AM，∴AM+BM＝AB＝CD，∴DN+BM＝CD．（2）解：如图所示：连接AC，在DN上取一点P使∠PCD＝∠PDC＝30°，过P作PQ ⊥CD于Q，∴∠PCD＝∠PDC＝30°，∴∠NPC＝60°，又∵四边形ABCD为菱形且∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠NPC＝∠BAC，又∵∠ACP＝∠ACD﹣∠PCD＝30°，∠MCN＝∠BDC＝30°，∵∠MCN＝∠ACP，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠NCP，∴∠MCA＝∠NCP，∴△AMC∽△PNC，∴，∵，∴CD＝CP，∴，∴AM，∴AM＝PN，∴AM+MB＝AB＝CD，∴PN+MB＝CD，∴（DN﹣DP）+MB＝CD，∴（DN﹣CD）+MB＝CD，即DN﹣CD+MB＝CD，∴DN+MB＝2CD．2．解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°，∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m，∴BE＝CD，∵∠A＝45°，∴直线CD与BE的夹角为45°，故答案为：BE＝CD，45°；（2）不满足，BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°，理由如下：如图2，过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，∵CA＝CB，∴AH＝HB，∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°，∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE，由勾股定理得：AH＝AC，∴AB＝AC，同理可得：AE＝AD，∵∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，∠ACD＝ABE，∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°，∴BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°；（3）如图3，点E在线段BD上，∵m＝2，∴AD＝DE＝1，AB＝2，由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣1，∴CD＝BE＝，如图4，点D在线段BE上，BE＝BD+DE＝+1，∴CD＝BE＝，综上所述：当B，E，D三点共线．CD的长为或．3．（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°＝∠ADC，∴∠ADE+∠EDC＝90°＝∠EDC+∠DCF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴DE＝CF，故答案为：1；②解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AB＝CD＝m，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝，故答案为：；（2）证明：如图所示，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠EGF＝180°，∴∠B＝∠EGF，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM，∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B＝∠EGF，∴∠EGF+∠A＝180°，∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，∴△ADE∽△DCM，∴，即；（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴，∴，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣5，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣5）2+（x）2＝52，解得：x1＝0（舍去），x2＝8，∴CN＝8，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝．4．解：（1）如图，∵∠ABC＝∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠EAC＝∠DBA，∵，∴点D是AC中点，且△ABC是等边三角形，∴∠DBA＝30°，∴∠EAC＝30°，∴∠BAE＝∠DBA＝30°，∴AF＝BF，∴，故答案为：1；（2）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴∠EAC＝∠DBA，∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD；（3）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBA，∴∠BFE＝∠DBA+∠BAF＝∠EAC+∠BAF＝∠BAD＝60°，设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，∵∠EAC＝∠DBA，∠ADB＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴，∴①，∵∠BFE＝∠C＝60°，∠DBC＝∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴，∴②，①÷②得：，∴，∵，即n＝4，∴．5．（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB．∴∠ADC＝∠ACB．（2）解：∵BC2＝AB•BD，∴．又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD．∴∠ACB＝∠CDB．∵∠ADC+∠CDB＝180°，∠ADC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CDB＝∠ADC＝90°．（3）解：∵△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，∴CE＝BC，∠E＝∠B．∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠E．∴AC＝AE．∵∠ADC＝90°，∴CE⊥AB．∴CD＝DE＝CE．∴∵△ADC∽△ACB，∴．∴AD＝•AC＝1，在Rt△ADC中，．6．证明：（1）①∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠A＝∠DMN＝90°，∵AB＝6，AD＝4，MN＝DM，∴，∴△ABD∽△MND；②∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠ABC＝∠DMN＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由①得△ABD∽△MND，∴∠ABD＝∠DNM，又∵∠MEB＝∠DEN，∴△MBE∽△DNE，∴，又∵∠MED＝∠BEN，∴△DME∽△NBE，∴∠NBE＝∠DME＝90°，∴∠CBN+∠CBD＝90°，∴∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，则∠NF A＝90°，∵四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝6，∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，，则∠ADM+∠AMD＝90°，∵AM＝4BM，AB＝6，∴AM＝AB＝，又∵DM⊥MN，∴∠DMN＝90°，∴∠AMD+∠FMN＝90°，∴∠ADM＝∠FMN，∴△ADM∽△FMN，∴，，∴MF＝6，FN＝，∴，∴，∵∠ABC＝∠AFN＝90°，∴△ABC∽△AFN，∴∠BAC＝∠F AN，∴A，C，N三点在同一条直线上．7．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFN＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DFN＝∠AEF．∴△DFG≌△AEF（AAS），∴AF＝DG，AE＝DF，∴AE+DG＝AF+DF＝AD＝6；（2）证明：如图，延长NF，EA相交于H，∴∠HFE＝90°，∠HAF＝90°，∵∠HFE＝∠NFE，EF＝EF，∠HEF＝∠NEF，∴△HFE≌△NFE（ASA），∴FH＝FN，HE＝NE，∵∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝∠D，∴△HF A≌△NFD（AAS），∴AH＝DN，∵EH＝AE+AH＝AE+DN，∴EN＝AE+DN；（3）解：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，∵MG2＝MN•MD，∴＝，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴∠GDM＝45°，∠PDG＝45°，∴△PDG是等腰直角三角形，PG＝PD，∵∠AFE+∠PFG＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠PFG＝∠AEF，∵∠A＝∠P＝90°，EF＝FG，∴△PFG≌△AEF（AAS），∴AF＝PG，AE＝PF，∴AE＝PD+DF＝AF+DF＝AD＝6．8．【问题背景】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴△ABC∽△ADE．∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，故答案为：①△ABD≌△ACE；②△ABC∽△ADE．【尝试应用】∵△ABC∽△ADE，∴，∠CAB＝∠EAD，∴∠CAE＝∠BAD，∴△ACE∽△ABD；【问题解决】连接CE，由【尝试应用】知，△ABD∽△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴，∵，∴，∵，∴．9．（1）解：△AEF是等腰直角三角形，理由如下：由旋转的性质可知：AF＝AE，∠F AE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∠CAB＝45°，由（1）知∠AFE＝45°，∴∠P AG＝∠AFP＝45°，又∵∠APG＝∠FP A，∴△APG∽△FP A，∴，∴P A2＝PG•PF；（3）解：设正方形的边长为2a，∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴∠ABF＝∠D＝90°，DE＝BF，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝180°，∴F，B，C三点共线，∵DE＝EC＝BF＝a，BC＝2a，∴CF＝3a，EF＝＝＝a，∵BG∥EC，∴BG：EC＝FB：CF＝FG：FE＝1：3，∴BG＝，AG＝，GE＝a，∵∠GAP＝∠EG＝45°，∠AGP＝∠EGA，∴△AGP∽△EGA，∴，∴AG2＝GP•GE，∴（）2＝（）×，∴a＝或a＝0（舍去），∴AG＝．10．解：（1）如图1，由题意可得：BD＝DF＝8，∵HF∥BC，∴∠HFD＝∠B，在△HFD和△GBD中，，∴△HFD≌△GBD（ASA），∴HF＝BG＝4，连接DE，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∵AD＝AE＝4，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝4，∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴DE∥FH，∵FH＝DE＝4，∴四边形DEFH是平行四边形，∴HE和DF互相平分，∵DA＝AF，∴HE经过点A，∴HE＝2AE＝8；（2）如图2，面积不变，理由如下：连接DE，作FK⊥BC于K，在Rt△BFK中，∠B＝60°，BF＝12+a，∴FK＝BF•sin60°＝，由（1）得，DE∥FH＝BC，∴△HDE∽△HGN，△HFD∽△GBD，∴，，∴，∴，∴，∴GN＝，∴S△HGN＝＝＝，11．解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AD＝2，；（2）①由翻折不变性可知：AF＝FH，AG＝GH，∠AFG＝∠GFH，∵FH∥AC，∴∠AGF＝∠GFH，∴∠AGF＝∠AFG，∴AG＝AF，∴AG＝AF＝FH＝HG，∴四边形AGHF是菱形；②∵FH∥AC，∴△FBH∽△ABC，∴，又∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BH：FH：BF＝3：4：5，∴设BH＝3a，则FH＝AF＝4a，BF＝5a，∴4 a+5a＝10，∴，∴FH＝，即菱形的边长为；（3）在点P使得△CPH∽△DPE，理由如下：∵△CPH∽△DPE，∴，∵BH＝，∴CH＝，∴，∴．12．证明：（1）∴＝，两边都除以MH，得，；（2）如图1，作AE⊥BD于E，MF⊥BD于F，CG⊥BD于G，∴AE∥MF∥CG，∴，∵HH∥AB，∴，∴，同理可得：，由（1）得，，两边乘以，得，（3）如图2，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，∵，∴，∵四边形DEFG是正方形，∴MN＝DE＝DG，∴，两边都除以DG，得，．13．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°＝∠ACB，∵∠CBD＝∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴，∴BC2＝AB•BD；（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即，∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；②解：在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝2，∴BE＝＝2，∴DE＝4，BO＝3，由①知△BOF∽△BED，∴，∴，∴OF＝．14．（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CQB，由翻折的性质可知，∠E＝∠ABC＝90°∵PE∥BQ，∴∠AFB＝∠E＝90°，∴△AFB∽△BCQ；（2）证明：如图①中，设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∵Q是CD的中点，∴CQ＝QD＝a，∵∠C＝90°，∴BQ＝＝＝a，∵△AFB∽△BCQ，∴＝，∴＝，∴BF＝a，∴QF＝a，∴＝＝，∴BF＝QF；（3）解：如图②，建立如图平面直角坐标系，过点E作EH⊥AB于点T．∵BF＝FQ，FQ＝6，∴BF＝4，∴BQ＝BF+FQ＝4+6＝10，∴CQ＝2，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴Q（4，2），∴直线BQ的解析式为y＝x，∵∠EAT＝∠CBQ，∠ATE＝∠BCQ＝90°，∴△ATE∽△BCQ，∴＝＝，∴＝＝，∴AT＝8，ET＝4，∴BT﹣AB﹣AT＝4﹣8，∴E（4，4﹣8），∵D（4，4），∴直线DE的解析式为：y＝x+2﹣10，由，解得，∴G（4﹣4，2﹣2），∴S△BCG＝××（2﹣2）＝20﹣4．15．解：（1）①∵等边△ABC的边长为8，∴AC＝8，∵△APD∽△ACP，∴，∵AD＝2，∴，∴AP＝4，故答案为4；②∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝60°，∵△APD与△BPC相似，∴△APD∽△BPC或△APD∽△BCP，Ⅰ、当△APD∽△BPC时，，∴，∴AP＝，Ⅱ、当△APD∽△BCP时，，∴，∴AP＝4，即△APD与△BPC相似时，AP的长度为或4；（2）①∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵△APD与△BQC相似，∴△APD∽△BQC或△APD∽△BCQ，Ⅰ、当△APD∽△BQC时，∠APD＝∠BQC，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BQC，∴∠BQC＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（180°﹣∠B﹣∠BAC）＝∠B+∠BQC﹣120°＝60°+∠PDC﹣60°﹣120°＝∠PDC﹣120°，∴∠PDC+∠ACQ＝120°；Ⅱ、当△APD∽△BCQ时，∠APD＝∠BCQ，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BCQ，∴∠BCQ＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（∠PDC﹣60°）＝120°﹣∠PDC，∴∠ACQ+∠PDC＝120°，即满足条件的∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是∠ACQ+∠PDC＝120°或∠PDC﹣∠ACQ＝120°；②线段EF的长是一个定值，为．如图，连接AE并延长至G，使AE＝GE，连接PG，QG，∵点E是DP的中点，∴DE＝PE，∵∠AED＝∠GEP，∴△AED≌△GEP（SAS），∴AE＝GE，PG＝AD＝2，∠ADE＝∠GPE，∴PG∥AD，∴∠QPG＝∠BAC＝60°，∵PQ＝2＝PG，∴△PQG为等边三角形，∴QG＝2，∠PQG＝60°＝∠B，∴QG∥BC，连接GF并延长交BC于H，∴∠FQG＝∠FCH，∵点F是CQ的中点，∴FQ＝FC，∵∠QFG＝∠CFH，∴△QFG≌△CFH（ASA），∴FG＝FH，CH＝QG＝2，连接AH，过点A作AM⊥BC于M，∴∠AMC＝90°，CM＝BC＝4，在Rt△AMC中，AC＝8，根据勾股定理得，AM2＝AC2﹣CM2＝82﹣42＝48，在Rt△AMH中，MH＝CM﹣CH＝2，根据勾股定理得，AH＝＝＝2，∵AE＝GE，FG＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AH＝，即线段EF的长是一个定值．16．解：（1）∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠DAF＝∠AED，∵∠ADE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∴△ADE≌△DAF（AAS），∴AF＝DE；（2）过点G作GM⊥BA交于点M，∵AF⊥EG，∴∠F AB+∠AEG＝90°，∵∠F AB+∠AFB＝90°，∴∠AEG＝∠AFB，∵∠GME＝∠ABF＝90°，∴△GME∽△ABF，∴＝，∵AD＝GM，∴；（3）连接AH，∵AG⊥GH，∴△AGH是直角三角形，∵HG＝5，GA＝7.5，∴AH＝，在Rt△ABH中，BH＝3，AH＝，∴AB＝，∵∠AGH＝90°，∴∠DGA+∠CGH＝90°，∵∠DGA+∠GAD＝90°，∴∠GAD＝∠CGH，∴△DAG∽△CGH，∴＝＝，∴＝＝，∴AD＝6，由（2）知，∴＝＝．17．解：（1）如图②，BF与CD交于点M，与DE交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，∴∠CDE+∠DMF＝90°，∴∠BND＝90°，∴BF⊥DE，故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；（2）①如图③，，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∵，∴△BCF∽△DCE，∴＝；②如图③，连接BD，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF＝∠CDE，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，∵CE＝6，，∴＝，∴CF＝8，BC＝16，∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，∴∠BOD＝90°，∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，∴BD2+EF2＝400+100＝500，∴DF2+BE2＝500．18．解：（1）甲的做法正确，理由如下：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴∠EDF＝90°，DE∥BC，DF∥AC，∴，△AED∽△ACB，△BFD∽△BCA，即：AE＝CE，同理可得：BF＝CF，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形AEFD是平行四边形，△CEF∽△CAB，同理可得：四边形DEFB是平行四边形，∴∠EFD＝∠A，∵∠AED＝∠EDF，∴△AED∽△FDE，∴四个小三角形与△ABC相似；（2）当时，△EDF∽△AFD∽△FEC，理由如下：∵△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，∴①，②，得，，∴DE＝EF，∵DE∥AF，∴四边形ADFE是平行四边形，由（1）可得，△DEF和△CEF与△ABC相似，故答案是：；（3）如图，根据和AC和AB及AB的长度找出点D的位置，然后作DE∥AC交BC于E，作EF∥AB交AC于F，连接DF即可．19．解：（1）①∵O是BC的中点，∴OB＝OC，在△BOD和△COF中，，∴△BOD≌△COF（SAS），∴CF＝BD，∠OCF＝∠B，∵AD＝AE，AB＝AC，∴BD＝CE，∴CE＝CF，即：，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠OCF+∠ACB＝90°，∴∠ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，故答案是：1，等腰直角三角形，解：（2）如图1，仍然成立，理由如下：连接BD，由（1）得：CF＝BD，CF∥BD，∴∠CFO＝∠DBO，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD，∴CE＝CF，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ACE+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠EAO+∠DBO＝90°，∴∠EAO+∠CFO＝90°，∴∠FCE＝90°，∴＝1，△ECF是等腰直角三角形；（3）如图2，连接BD，作AG⊥CD于G，设AD＝a，则AB＝，AC＝a，AE＝，由（2）得：∠CAE＝∠BAD，CF＝BD，∵，∴△CAE∽△BAD，∴，∠ACD＝∠ABD，∴，同理（2）得：∠CEF＝90°，∴∠ECF＝∠EAD＝90°，∴点C、A、B、D共圆，∴∠1＝∠ACG，∵AD＝a，AE＝，∠DAE＝90°，∴DE＝，由S△ADE＝得，AG＝a，∴sin∠ACD＝＝＝，∴sin∠1＝．20．（1）证明：∵∠ADC＝∠ACB，，∴△ADC∽△ACB，∴∠DAC＝∠CAB，∴AC平分∠DAB；（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AB×AD，∵AC＝8，AB＝12，∴64＝12AD，∴AD＝，故答案为：；（3）解：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，∴AB＝2CE＝10，∴AC＝8，∵△ADC∽△ACB，∴AD＝＝6.4，由（1）知∠DAC＝∠EAC，∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴△AFD∽△CFE，∴．。

初三数学中考复习图形的相似专题复习训练题及答案

初三数学中考复习图形的相似专题复习训练题及答案

2019 初三数学中考复习图形的相像专题复习训练题一、选择题1．如图，已知直线 a ∥b ∥c ，直线 m 交直线 a ，b ，c 于点 A ，B ，C ，直线 n 交AB 1 DE直线 a ，b ，c 于点 D ， E ，F ，若 BC ＝2，则 EF ＝(B)1 1 2A. 3B.2C.3 D ．1．已知△ ABC ∽△ DEF ，若△ ABC 与△ DEF 的相像比为 3，则△ ABC 与△ DEF 24对应中线的比为 ( A )34916A. 4B.3C.16D. 93．如图，在△ ABC 中，D ，E 分别是 AB ，AC 的中点，以下说法中不正确的选项是 ( D )1ADAEA ．DE ＝2BCB.AB ＝ ACC ．△ ADE ∽△ ABCD ．S △ ADE ∶S △ ABC ＝1∶24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点 O 为1位似中心，相像比为 3，把△ ABO 减小，则点 A 的对应点 A ′的坐标是 ( D )A ．(－1，2)B ．(－9，18)C ．(－9，18)或(9，－ 18)D ．(－1，2)或(1，－ 2),第 4题图),第 5题图)5．如图， AD 是△ ABC 的角均分线，则 AB ∶AC 等于 ( A )A ．BD ∶CDB ． AD ∶CDC ．BC ∶AD D ．BC ∶AC二、填空题6．如图， AB ∥CD∥EF，AF 与 BE 订交于点 G，且 AG ＝2，GD＝1，DF＝5，BC3那么CE的值等于 ___5___.7．如图，已知∠ A＝∠ D，要使△ ABC ∽△ DEF，还需增添一个条件，你增添的条件是 __AB ∥DE__．(只要写一个条件，不增添协助线和字母)8．如图，在平行四边形ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点， EC 交对角线 BD 于点 F，若 S△DEC＝3，则 S△BCF＝__4__．9．如图，在△ ABC 中，∠ A＝63°，直线 MN ∥BC，且分别与 AB ，AC 订交于点 D，E，若∠ AEN ＝133°，则∠ B 的度数为 __70°__．10．如图，菱形ABCD 的边长为 1，直线 l 过点 C，交 AB 的延伸线于 M ，交11AD 的延伸线于 N，则AM＋AN＝__1__．三、解答题11．请在图中补全坐标系中缺失的部分，并在横线上写适合的内容．图中各点坐标以下： A(1 ，0)，B(6，0)，C(1，3)，D(6 ，2)．线段 AB 上有上点 M ，使△ACM ∽△ BDM ，且相像比不等于 1.求出点 M 的坐标并证明你的结论．解： M(__4__，__0__)证明：∵ CA⊥AB ，DB⊥AB ，∴∠ CAM ＝∠ DBM ＝(__90__)度．∵CA ＝AM ＝3，DB＝BM ＝2，∴∠ ACM ＝∠ AMC(__ 等边相同角 __)，∠ BDM ＝∠ BMD( 同理 )，1∴∠ ACM ＝2(180°－ __90°__)＝45°，∠ BDM ＝45°(同理 )，∴∠ ACM ＝∠ BDM.在△ ACM 与△ BDM 中，∠C AM ＝∠ DBM ，（∠ACM ＝∠ BDM），∴△ ACM ∽△ BDM( 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像)12．已知：△ ABC 在直角坐标平面内，三个极点的坐标分别为A(0 ，3)，B(3 ，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．(1)画出△ ABC 向下平移 4 个单位长度获得的△ A1B1C1，点 C1的坐标是 __(2，－2)__；(2)以点 B 为位似中心，在网格内画出△ A2B2C2，使△ A2B2C2与△ ABC 位似，且位似比为 2∶1，点 C2的坐标是 __(1，0)__；(3)△A2B2C2的面积是 __10__平方单位．解： (1)(2，－2)，图略(2)(1，0)，图略(3)1013．如图，已知△ ABC 和△ DEC 的面积相等，点 E 在 BC 边上， DE∥ AB 交 AC 于点 F，AB ＝12，EF＝9，则 DF 的长是多少？解：∵△ ABC 与△ DEC 的面积相等，∴△ CDF 与四边形 AFEB 的面积相等，∵AB ∥DE，∴△ CEF∽△ CBA ，∵E F＝9，AB ＝12，∴E F∶AB ＝9∶12＝3∶4，∴△ CEF 和△ CBA 的面积比＝ 9∶16，设△ CEF 的面积为 9k，则四边形 AFEB 的面积＝ 7k，∵△ CDF 与四边形 AFEB 的面积相等，∴S△CDF＝7k，∵△ CDF 与△ CEF 是同高不一样样底的三角形，∴面积比等于底之比，∴D F∶EF＝7k∶9k，∴ DF＝7︵14．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙ O，A 是BDC的中点， AE⊥AC 于点 A ，︵︵与⊙ O 及 CB 的延伸线交于点F，E，且 BF＝AD .(1)求证：△ ADC ∽△ EBA ；(2)假如 AB ＝ 8，CD＝5，求 tan∠CAD 的值．︵︵解： (1)∵四边形 ABCD 内接于⊙ O，∴∠ CDA ＝∠ ABE. ∵BF＝AD ，∴∠ DCA ＝∠ BAE. ∴△ ADC ∽△ EBA︵︵︵(2)∵A 是BDC的中点，∴ AB ＝AC，∴ AB ＝AC ＝8，∵△ ADC ∽△ EBA，∴∠DC AC 5 AC AC5CAD ＝∠ AEC，AB ＝AE，即8＝AE，∴ tan∠CAD ＝tan∠AEC＝AE＝8第4页/共4页。

中考数学复习《相似》专题训练--附参考答案

中考数学复习《相似》专题训练--附参考答案

中考数学复习《相似》专题训练--附参考答案一、选择题1．如图，已知AB//CD//EF，BC：CE=3：4，AF=21那么DF的长为（）A．9B．12C．15D．182．如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（）A．∠A=∠CBD B．∠CBA=∠CDBC．BC2=AC⋅CD D．AB⋅CD=BD⋅BC3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且AC＝2√2，则线段DF的长度为（）．A．2√2B．3√2C．4√2D．6√24．已知AB=4，CD=6，BD=10，AB⊥BD，CD⊥BD在线段BD上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，则满足条件的点P的有个．（）A．1B．2C．3D．无数5．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.已知OA=1，OD=3△ABC的周长为3，则△DEF的周长是（）A．4 B．6 C．9 D．276．如图，为了估计某一条河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS 垂直的直线b的交点为R，如果QS = 60m，ST =120m，QR=80m，则这条河的宽度PQ为（）A．40m B．120m C．60m D．180m7．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB点E为AC边上的中点，连接BE交CD于点F．若AC=4√2，则BF的长为（）．A．163B．4 C．2√103D．4√1038．如图，在△OAB中∠BOA=45°，点C为边AB上一点，且BC=2AC．如果函数y=9x(x>0)的图象经过点B和点C，那么点C的坐标是（）A．(3，3)B．(3，1.5)C．(4.5，2)D．(9，1)二、填空题9．已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为.10．如图，在△ABC中，D为AB上一点，且∠ACD=∠B，若AD=2，BD= 5，则AC=211．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB=3：1，则AO：OH= .12．如图，P是平行四边形ABCD边BC上的一点，M、N分别是PA、PD的中点，若△PMN的面积为3cm2，则平行四边形ABCD的面积是cm2．13．如图，四边形ABCD是菱形，E为对角线BD的延长线上一点，且BD=8，DE=2∠BAE=45°则AB 的长为.三、解答题14．如图，AD、BE是的高，连接．（1）求证：∽；（2）若点D是的中点，CE=3，BE=4，求的长．15．已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求证：．16．如图，在矩形ABCD 中，点G 在边BC 上（不与点B 、C 重合），连接AG ，作DF ⊥AG 于点F ，BE ⊥AG 于点E.（1）若AG ＝AD ，求证：AB ＝DF ；（2）设BG BC ＝k ，连接BF 、DE ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β，求tana tanβ的值.17．如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，OC 平分∠BOD ，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F ．（1）求证：OC ∥AD ；（2）如图2，若DE ＝DF ，求AE AF 的值；（3）当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DE DF 的值．18．如图1， ABD 内接于,AD 是直径， BAD 的平分线交BD 于H ，交 于点C ，连接O ODC 并延长，交AB 的延长线于点E.（1）求证： AE=AD ；（2）若 32BEAB = ，求 AHHC 的值（3）如图2，连接CB 并延长，交DA 的延长线于点F ，若 ,6AH HC AF == 求 BEC 的面积.参考答案1．B2．D3．B4．B5．C6．B7．D8．D9．4：910．311．2：112．2413．4√1014．（1）证明：∵、是的高∴∵∴∽；（2）解：∵点D是的中点∴在中∵∴∴∵∽∴∴∴∴．15．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形∴∵∴∴∵∴∴∵∴；（2）证明：∵∴ .∵∴∠B=∠EAG，∠BCE=∠G∴△AGE∽△BCE∴∴∵∴∴．16．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD//BC∴∠DAG=∠BGA∵DF⊥AG ∴∠DFA=∠BEG=90°∵∠ABC=90°∴∠DFA=∠ABC在△ADF和△GAB中{∠DAG=∠BGA ∠DFA=∠ABC AD=AG∴△ADF≌△GAB∴AB=DF（2）解：由已知得：∵∠DFA=∠BEG=90°∴在Rt△DEF中tanα=EFDF；在Rt△BEF中∴tanαtanβ=EFDFEFBE=BEDF∵∠DAG=∠BGA∴△DFA∽△BEG∴BEDF =BGAD∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC∵BGBC=k∴BEDF =BGAD=BGBC=k∴tanαtanβ=BEDF=k17．（1）证明：∵AO＝OD ∴∠OAD＝∠ADO∵OC平分∠BOD∴∠DOC＝∠COB又∵∠DOC+∠COB∠＝∠OAD+∠ADO ∴∠ADO＝∠DOC∴CO∥AD；（2）解：∵OA=OB=OC∴∠ADB=90°∴△AOD和△ABD是等腰直角三角形∴AD= √2AO∴ADAO=√2∵DE=DF∴∠DFE=∠AED∵∠DFE=∠AFO∴∠AFO=∠AED∵∠AOF=∠ADE=90°∴△ADE∽△AOF∴AEAF =ADAO= √2；（3）解：如图2∵OD＝OB，∠BOC＝∠DOC，∴△BOC≌△DOC（SAS），∴BC＝CD 设BC＝CD＝x，CG＝m，则OG＝2﹣m∵OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2∴4﹣（2﹣m）2＝x2﹣m2，解得：m =14x2，∴OG＝2 −14x2∵OD＝OB，∠DOG＝∠BOG，∴G为BD的中点又∵O为AB的中点，∴AD＝2OG＝4 −12x2∴四边形ABCD的周长为2BC+AD+AB＝2x+4 −12x2+ 4 =−12x2+ 2x+8 =−12(x−2)2+ 10∵−12< 0，∴x＝2时，四边形ABCD的周长有最大值为10．∴BC＝2∴△BCO为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵OC∥AD，∴∠DAC＝∠COB＝60°∴∠ADF ＝∠DOC ＝60°，∠DAE ＝30°，∴∠AFD ＝90°，∴DE DA =√33 ，DF =12 DA ∴DE DF =2√33 ．18．（1）证明：∵AD 是 的直径90ACD ACE ∴∠=∠=︒∵AC 平分DAC EAC ∴∠=∠在△ACD 和△ACE 中∵∠ACD=∠ACE ，AC=AC ，∠DAC=∠EAC∴△ACD ≌△ACE （ASA ）AE AD ∴=（2）解：如图，连接OC 交BD 于G 32BE AB = 设 3,2BE x AB x == 则 5AD AE AB BE x ==+= ，OC= AD= 52x DAC EAC ∠=∠BC CD ∴=∴OC 垂直平分BD又∵O 为AD 的中点∴OG 为△ABD 的中位线 ∴OC ∥AB ，OG= 1AB 2x = ，CG= 53OC OG=22x x x --= ABH CGH ∴~24332AH AB x HC CG x ∴===O BAD ∠12第 11 页 共 11 页 （3）解：如图，连接OC 交BD 于G由（2）可知：OC ∥AB ，OG= AB ∴∠BHA=∠GCH在△BHA 和△GHC 中 ∵∠BHA=∠GCH ，AH=CH ，∠BHA=∠GHC ()BHA GHC ASA ∴≅∴CG AB =设 OG m = ，则 2,3CG AB m OA OC m ==== 又 //OC AB∴FAB FOC ~FA AB FO OC∴= 62633m m m∴=+ 1m ∴= 2,6,4AB AD BE ∴=== ∵AD 是 的直径90ABD EBD ∴∠=∠=︒22226242BD AD AB =--=114428222EBD S EB BD ∴=⋅=⨯⨯= 又 ,ACD ACE ≅ EC CD ∴= 11824222BEC EBD S S ∴==⨯=12O。

中考数学总复习《图形的相似》专项提升训练(带有答案)

中考数学总复习《图形的相似》专项提升训练(带有答案)

中考数学总复习《图形的相似》专项提升训练(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．两个相似三角形的相似比是1:2，则其对应中线之比是( )A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:42．如图，在ABC 中2AC =，BC=4，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC △的面积为2，则ABD △的面积为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．若35a b =，则下列各式一定成立的是（ ）A ．53a b =B ．35a b =C ．65a b a +=D ．145a b += 4．如图，在ABC 中DE BC ∥，AD=1，BD=2，AC=6，则CE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别是BC AC ，上的点72AB CD ==，，60ADE ∠=︒则AE 等于（ ）A ．5B ．397C ．6D ．4176．下列命题正确的是（ ）A ．方程210x x --=没有实数根B ．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似C ．平分弦的直径垂直于弦D ．反比函数的图像不会与坐标轴相交7．已知ABC DEF ∽△△，:1:2AB DE =且ABC 的周长为6，则DEF 的周长为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．248．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()0,0,1,2,0,3O A B ．若OA B ''△与OAB 是原点O 为位似中心的位似图形，且点B 的对应点为()0,9B '-，则点A 的对应点A '坐标为（ ） A ．()3,6 B ．()3,6-- C ．()3,6- D ．()3,6- 9．如图，D 是ABC 边AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACD ABC △∽△的是（ ）A ．ACDB ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AD CD AC BC = D ．AC AB AD AC = 10．如图，已知ABC DAC △∽△，37B ∠=︒和116∠=︒D ，则BAD ∠的度数为（ ）A ．37︒B ．116︒C ．153︒D ．143︒二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，8AB =和4BC =，连接AC ，EF AC ⊥于点O ，分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连接AF 、CE ，则AF CE +的最小值为 ．12．如图，在ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，点F 为DE 中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，则:AG GE = ．13．如图AC ，AD 和CE 是正五边形ABCDE 的对角线，AD 与CE 相交于点F ．下列结论：（1）CA 平分BCF ∠；（2）2CF EF =；（3）四边形ABCF 是菱形；（4）2AB AD EF =⋅．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）14．如图AC 、BD 交于点O ，连接AB 和CD ，若要使AOB COD ∽，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)15．如图，在ABC 中4AC AB ==和30C ∠=︒，D 为边BC 上一点，且3CD =，E 为AB 上一点，若30ADE ∠=︒，则BE 的长为 ．16．在ABC 中，6810AC BC AB D ===，，，是AB 的中点，P 是CD 上的动点，若点P 到ABC 的一边的距离为2，则CP 的长为 ．17．如图，M 是Rt ABC △斜边AB 上的中点，将Rt ABC △绕点B 旋转，使得点C 落在射线CM 上的点D 处，点A 落在点E 处，边ED 的延长线交边AC 于点F ．如果3BC =．4AC =那么BE 的长为 ；CF 的长为 ．18．如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若:3:1BF FD =，8BC =则CE 的长为 ．三、解答题19．已知O 为ABCD 两对角线的交点，直线l 过顶点D ，且绕点D 顺时针旋转，过点A ，C 分别作直线l 的垂线，垂足为点E ，F ．(1)如图1，若直线l 过点B ，求证：OE OF =；(2)如图2，若EFO FCA ∠=∠，2FC AE =求CFO ∠的度数；(3)如图3，若ABCD 为菱形4AE =，6AO =和8EO =直接写出CF 的长． 20．如图，在ABC 中2BAC C ∠=∠，利用尺规作图法在BC 上求作一点D ，使得ABDCBA ．（不写作法，保留作图痕迹）21．如图，在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥于点E ，过点E 作EF CB ∥交BD 于点F ．(1)求证：ACE BAC ∽△△；(2)若5AC =，5AB =求CE 及EF 的长．22．如图，在直角梯形OABC 中BC AO ∥，=90AOC ︒∠点A 、B 的坐标分别为()5,0、()2,6点D 为AB 上一点，且2BD AD =．双曲线()0k y x x=>经过点D ，交BC 于点E ．求点E 的坐标．23．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．求证：APE FPA △∽△．24．如图1，菱形AGBD 边长为3，延长DB 至点C ，使得5BC =．连接AB ，AB AD =点E ，F 分别在线段AD 和AB 上，且满足DE AF =，连接BE ，DF 交于点O ，过点B 作BM BE ⊥，交DF 延长线于点M ，连接CM ．图1 图2(1)求OB 与BM 之间的数量关系；(2)当DMB DCM △∽△时，求DO 的长度；(3)如图2，过点M 作MN CD ⊥交CD 于N ，求MN MC的最大值． 1．B2．C3．A4．C5．B6．D7．C8．B9．C10．C11．1012．2:113．①①①14．A C ∠=∠(答案不唯一)15．9416．103或52或3512 17． 59418．16519．(2)60CFO ∠=︒(3)CF 的长为7 21．(2)1CE = 655EF =． 22．4,63⎛⎫ ⎪⎝⎭/11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭ 24．(1)3BM OB =(2)1OD =(3)1014101911316206517MN CN ++=。

(必考题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(包含答案解析)(2)

(必考题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．在ABC 中，10AB AC ==，72ABC ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，则CD 的长为（ ）A ．5B ．555-C ．1555-D ．551- 2．如图，ABC 中，AD BC ⊥于点D ，下列条件中不．能判定ABC 是直角三角形的是（ ）A ．B DAC ∠=∠B ．90B DAC ∠+∠=︒ C ．2AB BD BC =⋅ D ．2AC CD BC =⋅3．有一个三角形木架三边长分别是15cm ，20cm ，24cm ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为12cm 和24cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）A ．一种B ．两种C ．三种D ．四种 4．若:3:2x y =，则x y y -的值为（ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．25．如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，BC 上的点，且//DE AC ，若BE ：CE=1:3，则DOE AOC S S :的值为（ ）A ．13B ．14C ．19D ．1166．如图，ABC 中，90ABC ∠=︒，点E 在CB 的延长线上，13BE AB =，过点E 作ED AC ⊥于D ．若AD ED =，6AC =，则CD 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．47．如图，乐器上的一根弦AB ＝80cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则C ，D 之间的距离为（ ）A ．（405﹣40）cmB ．（805﹣40）cmC ．（120﹣405）cmD ．（805﹣160）cm8．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为13，∠OCD=120°，CO=CD ，若B （2，0），则点C 的坐标为（ ）A ．（2，23） B ．（3，3） C ．（3，32） D ．（23，3） 9．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR FG ⊥于点R ，再过点C 作PQ CR ⊥分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若2QH PE =，9PQ =，则CR 的长为（ ）A ．14B ．9C ．425D ．36510．如图，直线123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若:1:2AB BC =，6DF =，则EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 11．若ABC 的每条边长增加各自的20%得A B C '''，则B '∠的度数与其对应角B 的度数相比（ ）A ．增加了20%B ．减少了20%C ．增加了()120%+D ．没有改变 12．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）A ．AD 是∠BAC 的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的垂直平分线上 D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆=二、填空题13．已知高为2m 的标杆在水平地面上的影子长1.5m ，此时测得附近旗杆的影子长7.5m ．则旗杆的高为__m ．14．如图是一张矩形纸片，E 是AB 的中点，把BCE ∆沿直线CE 对折，使点B 落在BD 上的点F 处，2AB =，则CB =__________．15．如图，在平行四边形MNPQ 中，点E 是NP 边的中点，连接ME 交对角线NQ 于点O ，则△MNO 与四边形EPQO 的面积之比为_____．16．已知AEF ABC ∽，且:1:3AE AB =，四边形EBCF 的面积是8，则ABC S =____________．17．已知点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，△ADE ，△DEC ，△BCD 的面积之比为4：2：3，∠ACD=∠ADE ，CD=6，则BC 的长为_______．18．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O ，32OE EA =，则FG BC=________．19．在Rt △ABC 中，AB =6，AC =5，点D 在边AB 上，且AD =2，点E 在边AC 上，当△ADE ∽△ABC 时，AE =____．20．在ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点1,2F DE AB =，则:AF BC =__________．三、解答题21．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ． （1）求证：△ABC ∽△ADE ；（2）如果AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，求AE 的长．22．如图，已知ADB A C ∠=∠+∠．（1）求证：CBD CAB ；（2）若1,2CD AD ==，求CB 的长．23．如图，已知二次函数y ＝ax 2﹣5ax +2的图象交x 轴于点A （1，0）和点B ，交y 轴于点C ．（1）求该二次函数的解析式；（2）过点A 作y 轴的平行线，点D 在这条直线上且纵坐标为3，求∠CBD 的正切值； （3）在（2）的条件下，点E 在直线x ＝1上，如果∠CBE ＝45°，求点E 的坐标．24．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 上的点，点F 在边CD 上，90BEF ︒∠=且3CF FD =．（1）求证：ABE DEF ∆∆；（2）若4AB =，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求CG 的长．25．如图，已知90EOF ∠=︒，A 是EOF ∠内部的一点，过点A 作AB OF ⊥，垂足为点B ，6cm AB =，8cm OB =，动点M ，N 同时从O 点出发，点M 以1.5cm /秒的速度沿OF 方向运动，点N 以2cm /秒的速度沿OE 方向运动，MN 与OA 交于点C ，连接AM ，当点M 到达点B 时，点N 随之停止运动．设运动时间为t 秒(0)t >． （1）当2t =秒时，MON △与ABO 是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，试判断MN 与OA 的位置关系，并说明理由．（3）连接AN ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得2AMN ABON SS =四边形？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数24y x =-+图象与坐标轴分别交于点(),0A a ，()0,B b ．（1）A 点的坐标为 ，B 点的坐标为 ；（2）若M 为直线()0y mx m =>在第一象限上一点，连接MA ，MB ．①当1m =时，ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形，求点M 的坐标；②当1m ≠时，是否仍然存在ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形的情况？如果存在，求此时点M 的坐标；如果不存在，说明理由；③当ABM ∆是以AB 为底的等腰三角形，且为锐角三角形时，直接写出m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】证明△ABC ∽△BCD ，得到AB BC BC CD =，设CD=x ，表示出BC ，代入得到方程，解之即可． 【详解】解：如图，∵AB=AC ，∠ABC=72°，∴∠C=72°，∴∠A=180°-2×72°=36°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴AD=BD ，∠BDC=72°，∴BC=BD ，在△ABC 和△BCD 中，∠A=∠CBD ，∠ABC=∠C ，∴△ABC ∽△BCD ，∴AB BC BC CD=， 设CD=x ，则BD=AD=BC=10-x ，∴101010x x x-=-， 解得：x=1555+（舍）或1555-，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据已知条件证明出△ABC ∽△BCD ．2．B解析：B【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B=∠DAC，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B=90°；∴△ABC是直角三角形；B.不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴无法证明△ABC是直角三角形；C.能，∵2=⋅AB BD BC∴AB BC=BD AB∵∠B=∠B∴△CBA∽△ABD，∴∠ADB=∠BAC ，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形；D.能，∵2=⋅，AC CD BC∴AC BC=CD AC∵∠C=∠C∴△CBA∽△CAD，∴∠ADC=∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形．故选：B【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意相似三角形的判定与性质的应用．3．B解析：B【分析】长24cm 的木条与三角形木架的最长边相等，则长24cm 的木条不能作为一边，设从24cm 的一根上截下的两段长分别为xcm 和ycm ，且x+y≤24cm ；长12cm 的木条不能与15cm 的边对应，否则x+y>24cm ，故分12cm 的木条与20cm 的边对应和与24cm 的边对应讨论即可求解．【详解】解：长24cm 的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长24cm 的木条不能作为一边，设从24cm 的木条上截下两段长分别为xcm ，ycm （x+y≤24），由于长12cm 的木条不能与15cm 的一边对应，否则x+y ＞24cm ，当长12cm 的木条与20cm 的一边对应时，则12152420==x y ， 解得：9,14.4==x y ，此时+23.424=<x y ，故满足； 当长12cm 的木条与24cm 的一边对应时，则12152024==x y ， 解得：7.5,10==x y ，此时+17.524=<x y ，故满足； 综上所述，共有2种截法，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：构建三角形相似，然后利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例计算即可．4．B解析：B【分析】根据比例的性值计算即可；【详解】∵:3:2x y =， ∴32122x y y --==； 故答案选B ．【点睛】 本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键．5．D解析：D【分析】由BE ：EC=1：3，得BE ：BC=1：4；证明△DOE ∽△AOC ，得到14DE BE AC BC ==，借助相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵BE ：EC=1：3；∴BE ：BC=1：4；∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ， ∴14DE BE AC BC ==， ∴21()16DOE AOC S DE S AC ∆∆==， 故选：D ．【点睛】该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．6．B解析：B【分析】证明△ADF ≌△EDC ，得到DC=DF ，设DC=x ，再证明△EBF ∽△ABC ，求出x 即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，ED ⊥AC ，∴∠EBA=∠ADE=90°，又∠1=∠2，∴∠E=∠A ，∵AD=ED ，∴△ADF ≌△EDC ，∴DC=DF ，设DC=x ，∴DF=x ，∴AD=ED=6-x ，∴EF=6-2x ，∵∠E=∠A ，∠FBE=∠ABC ，∴△EBF ∽△ABC ， ∴BE EF AB AC=， ∵AC=6，BE=13AB ，∴163EF =， ∴EF=6-2x=2，∴x=2，∴CD=2，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定方法，利用性质定理求出结果．7．D解析：D【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC ＝BD ＝540，进而得出答案．【详解】解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点，∴AC ＝BD ＝8051-=540， ∴CD ＝BD ﹣（AB ﹣BD ）＝2BD ﹣AB ＝5160，故选：D ．【点睛】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值512叫做黄金比． 8．B解析：B【分析】作AE ⊥OB 于E ，根据等腰三角形的性质求出∠COD ＝∠CDO ＝30°，利用直角三角形的性质与等腰三角形的性质可求出点A 的坐标，最后利用以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k 即可求出点C 的坐标．【详解】解：作AE ⊥OB 于E ，∵∠OCD＝120°，CO＝CD，B（2，0），∴∠COD＝∠CDO＝30°，OB＝2，∴AE＝12OA，∵△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，∴AO＝AB，∴OE＝12AB＝1，∴OA2－AE2＝OE2，即3AE2＝1，解得AE3∴点A的坐标为：（13），∵△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3，∴点C的坐标为（33故选：B．【点睛】本题考查了位似变换、直角三角形的性质等知识，掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的性质是解题的关键．9．C解析：C【分析】连接EC，CH，设AB交CR于点J，先证得△ECP∽△HCQ，可得12PC CE EPCQ CH HQ===，进而可求得CQ＝6，AC:BC＝1:2，由此可设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝6，再根据勾股定理求得65 AC=，125 BC=125CJ=，进而可求得CR的长．【详解】解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J，∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，∴∠ACE＝∠BCH＝45°，∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，∴∠ACE ＋∠ACB ＋∠BCH ＝180°，∠ACB ＋∠BCI ＝180°，∴点E 、C 、H 在同一直线上，点A 、C 、I 在同一直线上，∵DE ∥AI ∥BH ，∴∠CEP ＝∠CHQ ，∵∠ECP ＝∠QCH ，∴△ECP ∽△HCQ ， ∴12PC CE EP CQ CH HQ ===， ∵PQ ＝9，∴PC ＝3，CQ ＝6，∵EC :CH ＝1:2，∴AC :BC ＝1:2，设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵PQ ⊥CR ，CR ⊥AB ，∴CQ ∥AB ，∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，∴四边形ABQC 为平行四边形，∴AB ＝CQ ＝6，∵222AC BC AB +=，∴2536a =，∴a =（舍负）∴AC =，BC = ∵1122AC BC AB CJ ⋅⋅=⋅⋅，∴125565CJ ==， ∵JR ＝AF ＝AB ＝6，∴CR ＝CJ ＋JR ＝425， 故选择：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 10．C解析：C【分析】连接AF 交2l 于点G ，根据平行线分线段成比例，得出12AB AG BC GF ==和21FG FE GA ED ==，则23EF DF =，即可求出结果． 【详解】 解：如图，连接AF 交2l 于点G ，∵23//l l ， ∴12AB AG BC GF ==， ∵12l l //， ∴21FG FE GA ED ==， ∵6DF =，∴243EF DF ==． 故选：C ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质． 11．D解析：D【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．【详解】解：∵△ABC 的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′，∴△ABC 与△A′B′C′的三边对应成比例，∴△ABC ∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B ．故选：D ．【点睛】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，即可判断A ；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，即可判断B ；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断C ；由30CAD ∠=︒，可得12CD AD =，由AD DB =，可得12DC DB =．可得::DAC ABD SS CD DB =，由12CD DB =，可得:1:21:3DAC ABD S S =≠，即可判断D ．【详解】解：根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确；∵90,30C B ∠=︒∠=︒，∴60CAB ∠=︒．∵AD 是BAC ∠的平分线，∴30DAC DAB ∠=∠=︒．∴60ADC ∠=︒．故B 正确；过D 作DE ⊥AB∵30,30B DAB ∠=︒∠=︒，∴AD DB =．∴AE=BE∴点D 在AB 的垂直平分线上．故C 正确；∵30CAD ∠=︒，∴12CD AD =， ∵AD DB =， ∴12DC DB =． ∴12DAC CD AC S⋅=，12ABD DB AC S ⋅=， ∴::DAC ABD SS CD DB =， ∴12CD DB =， ∴:1:21:3DAC ABD S S =≠，故D 错误．故选择：D ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法及性质应用，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据题意标杆光线影长组成的三角形与旗杆旗杆影长光线所组成的三角形相似故可利用相似三角形的性质解答【详解】解：设旗杆的高度为x 米根据题意得：解得：x ＝10故答案为：10【点睛】本题考查了相似三 解析：10【分析】根据题意，标杆、光线、影长组成的三角形与旗杆、旗杆影长、光线所组成的三角形相似，故可利用相似三角形的性质解答．【详解】解：设旗杆的高度为x 米，根据题意得：21.57.5x =， 解得：x ＝10．故答案为：10．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通解方程求出树的高度，体现了方程的思想．14．【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1CE⊥BD设EG=x可得CG=2x再根据∆BEG~∆CBG∆BEG~∆CEB即可求解【详解】解：∵E为AB中点∴AE=EB=1∵把沿直线CE对折使点B落在B解析：2【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设EG=x，可得CG=2x，再根据∆BEG~∆CBG，∆BEG~∆CEB，即可求解．【详解】AB=，解：∵E为AB中点，2∴AE=EB=1，∆沿直线CE对折，使点B落在BD上的点F处，∵把BCE∴EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设CE与BD交于点G，EG=x，∵CD∥AB，∴CG：EG=CD：EB，∴CG=2x，∵BG⊥EC，EB⊥BC，∴∆BEG~∆CBG，∴BG2=CG∙EG∴BG=2x，同理：∆BEG~∆CEB，∴BG：CB=EG：EB，∴BC=AD=2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握“母子相似三角形”模型，是解题的关键．15．2：5【分析】证明△ONE∽△OQM由相似三角形的性质得出可得出设S△ONE=x则S△OQM=4x得出S△MNO=S△OQM=2x四边形EPQO的面积=5x则可求出答案【详解】解：∵四边形MNPQ是【分析】证明△ONE ∽△OQM ，由相似三角形的性质得出12ON NE NQ MQ ==，可得出 21124ONE OQM S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 12MNOOQM S ON S OQ ==，设S △ONE =x ，则S △OQM =4x ，得出S △MNO =12S △OQM=2x ，四边形EPQO 的面积=5x ，则可求出答案 . 【详解】解：∵四边形MNPQ 是平行四边形，∴MQ ＝NP ，MQ ∥NE ，∵E 为NP 的中点， ∴EN ＝EP ＝12NP ＝12MQ ， ∵EN ∥MQ ，∴△ONE ∽△OQM ， ∴12ON NE OQ MQ ==， ∴ONE OMQ S S ＝212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝14，12MNOMOQ S ON S OQ ==， 设S △ONE ＝x ，则S △OQM ＝4x ，∴S △MNO ＝12MOQ S ＝2x ，∴S △NMQ ＝S △MNO +S △OQM ＝6x ，∵S △NMQ ＝S △NPQ ＝6x ，∴四边形EPQO 的面积＝5x ，∴△MNO 与四边形EPQO 的面积比＝2：5，故答案为：2：5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键.16．9【分析】根据相似三角形性质得到△AEF 和△ABC 面积比为1∶9设列方程即可求解【详解】解：∵∴∴设则解得x=9故答案为：9【点睛】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形性质求出面积比设出未知数列解析：9【分析】根据相似三角形性质得到△AEF 和△ABC 面积比为1∶9，设ABC S x =△，列方程即可求解．解：∵AEF ABC ∽，:1:3AE AB =， ∴219AEF ABCS AE S AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△, ∴设ABC S x =△，则189x x -=， 解得x=9．故答案为：9【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形性质求出面积比，设出未知数列出方程是解题关键．17．3【分析】根据△ADE △DEC △BCD 的面积之比为4：2：3可得出AE ：EC=2：1AD ：BD=2：1则可证明DE ∥BC 利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD ∽△ABC 与△ACD ∽△ADE 根解析：3【分析】根据△ADE ，△DEC ，△BCD 的面积之比为4：2：3，可得出AE ：EC=2：1，AD ：BD=2：1，则可证明DE ∥BC ，利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD ∽△ABC 与△ACD ∽△ADE ，根据相似三角形的判定可推出BC CD CD DE=，计算后即可得出结论． 【详解】解：如图，∵S △ADE ：S △DEC =4：2，∴AE ：EC=2：1，∵S △ADE ：S △DEC ：S △BCD =4：2：3，∴S △ACD ：S △BCD =6：3，∴AD ：BD=2：1， ∵AE AD EC BD=， ∴DE ∥BC ，∴∠B=∠ADE ， ∵∠ACD=∠ADE ，∴∠ACD=∠B ，∵∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴BC AB AC CD AC AD==， 同理可证：△ACD ∽△ADE ， ∴CD AC AD DE AD AE ==， ∴BC CD CD DE=， ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ，， ∴DE AD BC AB=， ∵AD ：BD=2：1， ∴23AD AB =， ∴23DE BC =， ∴23DE BC =， ∴223BC BC CD ⋅=， ∵，∴3BC =．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握平行线的判定与相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．【分析】由得即得到位似比根据位似的性质计算即可【详解】∵∴即∵四边形与四边形位似∴故答案为【点睛】本题考查了图形的位似准确将线段的比转化为位似图形的位似比是解题的关键解析：35. 【分析】 由32OE EA =，得323OE EA OE =++即35OE OA =，得到位似比，根据位似的性质计算即可. 【详解】 ∵32OE EA =，∴323OE EA OE =++， 即35OE OA =， ∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，∴FG BC =35OE OA =， 故答案为35. 【点睛】 本题考查了图形的位似，准确将线段的比转化为位似图形的位似比是解题的关键. 19．【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案【详解】解：∵△ADE ∽△ABC ∴即解得：AE ＝；故答案为：【点睛】此题考查了相似三角形的性质掌握相似三角形的性质是解题的关键解析：53【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解，即可求得答案．【详解】解： ∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE AB AC =， 即265AE =，解得：AE ＝53； 故答案为：53． 【点睛】 此题考查了相似三角形的性质．掌握相似三角形的性质是解题的关键．20．2:3【分析】证明△ABF ∽△DEF 进而得到设AF=2k(k≠0)则DF=k 得到BC=AD=3k 由此即可求解【详解】解：∵ABCD 为平行四边形∴AB ∥DE ∴∠A=∠FDE 且∠AFB=∠DFE ∴△AB解析：2:3【分析】证明△ABF ∽△DEF ，进而得到2=1=AB AF DE DF ，设AF=2k(k≠0)，则DF=k ，得到BC=AD=3k ，由此即可求解．【详解】解：∵ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DE ，∴∠A=∠FDE ，且∠AFB=∠DFE ，∴△ABF ∽△DEF ， ∴2=1=AB AF DE DF ， 设AF=2k(k≠0)，则DF=k ，BC=AD=3k ， ∴2233==AF k BC k ， 故答案为：2:3．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由90AED C ∠=∠=︒以及A A ∠=∠，从而求证△ABC ∽△ADE ；（2）由△ABC ∽△ADE ，可知AE DE AC BC=，代入条件求解即可． 【详解】（1）证明：∵DE ⊥AB 于点E ，∴∠AED ＝∠C ＝90°，又∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ADE ．（2）∵△ABC ∽△ADE ，且AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3， ∴AE DE AC BC=， 即：386AE =， ∴AE ＝4．【点睛】 本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，即可求解．22．（1）证明见解析；（2）CB =【分析】（1）根据三角形外角的性质易证A DBC ∠=∠，再根据∠C 为公共角，即可证明相似； （2）根据相似三角形对应边成比例，即可求得CB 的值．【详解】解：（1）∵ADB A C ∠=∠+∠，ADB DBC C ∠=∠+∠，∴A DBC ∠=∠，∵∠C=∠C ，∴△CBD ∽△CAB ；（2）∵1,2CD AD ==，∴3AC AD DC =+=，∵△CBD ∽△CAB ， ∴CD CB CB AC =， ∴13CB CB =，即CB =． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质．在证明三角形相似时，不要忽略公共角相等这一条件．23．（1）215222y x x =-+；（2）13；（3）点E 坐标为（1，9）或（1，﹣1） 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）先求出点C ，点B ，点D 坐标，由两点距离公式可求CD ，BD ，BC 的长，由勾股定理的逆定理可求∠CDB ＝90°，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2﹣5ax +2的图象交x 轴于点A （1，0），∴0＝a ﹣5a +2，∴a＝12，∴二次函数的解析式y＝12x2﹣52x+2；（2）∵二次函数y＝12x2﹣52x+2的图象交x轴于点A（1，0）和点B，交y轴于点C．∴点C（0，2），点B（4，0），∵点D（1，3），∴CD＝22(10)(32)-+-＝2，DB＝22(41)(30)-+-＝32，BC＝164+＝25，∵CD2+DB2＝20，BC2＝20，∴CD2+DB2＝BC2，∴∠CDB＝90°，∴tan∠CBD＝CDDB ＝232＝13；（3）如图，当点E在x轴上方时，在AB上截取AH=AF，连接HF∵点C（0，2），点B（4，0），∴直线BC解析式为y=-12x+2，当x=1时，y=32，∴点H（1，32），∴AH=32，∴AH=AF=32，HF=322，∴∠AFH=45°，BF=32，∴∠BFH=135°，∵点A （1，0），点B （4，0），点D （1，3），∴AD=3=AB ，∴∠ADB=∠ABD=45°=∠CBE ，∴∠ABC=∠EBD ，∠BDE=∠HFB=135°，∴△BFH ∽△BDE ， ∴BD DE BF HF=，∴32DE =， ∴DE=6，∴点E （1，9）；当点E'在x 轴下方时，∵∠E'BC=45°=∠EBC ，∴∠EBE'=90°，∴∠BEE'+∠EE'B=90°=∠BEE'+∠ABE=∠BE'E+∠ABE'，∴∠BEE'=∠ABE'，∠EBA=∠AE'B ，∴△ABE ∽△AE'B ， ∴AB AE AE AB'=， ∴9=9×AE'，∴AE'=1，∴点E'（1，-1），综上所述：点E （1，9）或（1，-1）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．24．（1）见解析；（2）6【分析】（1）先根据正方形的性质得到90A D ︒∠=∠=，AB BC CD AD ===，//AD BC ；然后再说明ABE DEF ∠=∠即可证明ABE DEF ∆∆；（2）先求得1DF =、3CF =，再根据相似三角形的性质得到AE AB DF DE =，进而求得DE=2,然后再根据EDFGCF ∆∆的性质求得CG 即可．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 为正方形， 90A D ︒∴∠=∠=，AB BC CD AD ===，//AD BC ，90BEF ︒∠=，90ABE AEB DEF AEB ︒∴∠+∠=∠+∠=，ABE DEF ∴∠=∠，ABE DEF ∴∆∆；（2）解：4AB BC CD AD ====，3CF DF =，1DF ∴=，3CF =，ABE DEF ∆∆，AE AB DF DE ∴=，即441DE DE-=，解得：2DE =， //AD BC ，EDF GCF ∆∆，DE DF CG CF ∴=，即213CG =， 6CG ∴=．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，正确运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键．25．（1）∽MON ABO △△，见解析；（2）MN OA ⊥，见解析；（3）存在，3t =或83t = 【分析】解：（1）由2t =，求得3cm OM =，4cm ON =，由6cm AB =，8cm OB =，计算比值OM AB =12ON OB =，由夹角相等90MON ABM ∠=∠=︒，可证∽MON ABO △△； （2） 由15OM t =.，2ON t =．6AB =，8OB =．可得OM ON AB OB=．可证Rt MON Rt ABO ∽△△．由性质MNO AOB ∠=∠．由90ONM NMO ∠+∠=︒，可得90AOB NMO ∠+∠=︒，经计算∠OCM=90°即可； （3）如图，连接AN ，由15OM t =.，2ON t =，求出815BM t =-.，求出232NOM S t =△，9242ABM S t =-△，824ABON S t =+梯形由12AMN ABON S S =四边形△，知余下部分面积12NOM ABM ABON S S S +=梯形△△，构造方程()239124824222t t t +-=+，解之即可．【详解】解：（1）∵2t =，∴3cm OM =，4cm ON =，∵6cm AB =，8cm OB =， ∴3162OM AB ==，4182ON OB ==，∴OM AB =ON OB， ∵90MON ABM ∠=∠=︒， ∴∽MON ABO △△；（2）MN OA ⊥在运动过程中，15OM t =.，2ON t =．∵6AB =，8OB =． ∴4OM ON t AB OB ==． 又∵90MON ABO ∠=∠=︒， ∴Rt MON Rt ABO ∽△△．∴MNO AOB ∠=∠．∵90ONM NMO ∠+∠=︒，∴90AOB NMO ∠+∠=︒，∴∠OCM=90°，∴MN OA ⊥；（3）如图，连接AN ，∵15OM t =.，2ON t =，∴815BM t =-.， ∴2113152222NOM S OM ON t t t =⋅=⨯⨯=．△， ()1981562422ABM S t t =⨯-⨯=-.△， ()12688242ABON S t t =+⨯=+梯形， ∵12AMN ABONS S =四边形△， ∴12NOM ABM ABON S S S +=梯形△△， ∴()239124824222t t t +-=+， 即231712022t t -+=， 解得3t =或83t =． ∴当3t =或83t =时，12AMN ABON S S =四边形△．【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，抓住三角形ANM 面积的2倍=四边形ABON 面积构造t 的方程是解题关键．26．（1）()2,0，()0,4；（2）①M ()3,3；②不存在，见解析；③122m << 【分析】（1）由x=0时,y=4，可求B （0，4），由y=0时，24=0x -+解得=2x ，可求A （2，0）；（2）①由()2,0A ，()0,4B ，得2OA =4OB =．由勾股定理求5AB =ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形， 可求10AM BM ==M 为直线y x =在第一象限上一点，45BOM COM ︒∠=∠=．过点M 分别向x 轴，y 轴作垂线段MC ，MD ，有MD MC =，可证△BMD ≌△AMC （ASA ），妨设点M 的坐标为(),a a ，利用DB=AC 可得42a a -=-，可求3a =． ②不存在．由1m ≠，设M 点的横坐标为x ，则M 点的纵坐标为mx ，可得tan ∠MOC=MC =1OC mx m x =≠，可证△BMD ∽△AMC ，可得OC 1MCBM DM AM CM ==≠，可得BM≠AM 即可； ③取AB 的中点E ，过E 作AB 的垂线，交x 轴与F ，与直线()0y mx m =>交于M ，则△ABM 为等腰三角形，设E （x,y ）可求E （1,2），()0y mx m =>过点E 时，可得 m=2，证△FAE ∽△BAO ，求得AF=5，求得F （-3，0）设EF 解析式为：y kx e =+，可求直线FE ：13y 22x =+，当()0y mx m =>与EF 平行是两直线没有交点，即m=12，结合图形得122m <<时，ABM ∆是以AB 为底的等腰三角形． 【详解】解：（1）一次函数24y x =-+图象与坐标轴分别交于点(),0A a ，()0,B b ， 当x=0时,y=4，B （0，4），当y=0时，24=0x -+解得=2x ，A （2，0），故答案为：()2,0，()0,4；（2）①由()2,0A ，()0,4B ，得2OA =4OB =，AB ∴==ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形，BM AM ∴=，22220AM AB ==，即AM BM ==点M 为直线y x =在第一象限上一点，即45BOM COM ︒∠=∠=，过点M 分别向x 轴，y 轴作垂线段MC ，MD ，则有MD MC =．∵90BMA ︒∠=，∠DMC=90°，∴∠BMD+∠DMA=90°，∠DMA+∠AMC=90°，∴∠BMD=∠AMC ，∵∠BDM=∠ACM=90°，∴△BMD ≌△AMC （ASA ），∴BD=AC ，不妨设点M 的坐标为(),a a ，则有OD OC MD MC a ====．BD AC OB OD OC OA ∴==-=-．42a a ∴-=-，解得3a =．点M 的坐标为()3,3；②不存在．∵1m ≠，设M 点的横坐标为x ，则M 点的纵坐标为mx ，tan ∠MOC=MC =1OC mx m x =≠ ∴MC 1OC≠， ∵90BAM ︒∠=，∠DMC=90°，∴∠BMD+∠DMA=90°，∠DMA+∠AMC=90°，∴∠BMD=∠AMC ，∵∠BDM=∠ACM=90°，∴△BMD ∽△AMC ， ∴OC 1MCBM DM AM CM ==≠， ∴BM≠AM ， ∴不存在ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形；③取AB 的中点E ，过E 作AB 的垂线，交x 轴与F ，与直线()0y mx m =>交于M ，则△ABM 为等腰三角形，∴B （0，4），A （2，0），设E （x,y ）， ∴2012x +==，0422y +==， ∴点E 坐标为E （1,2）， ()0y mx m =>过点E 时，2=m ，∴m=2，∵AB 25=，∴5∵∠FEA=∠BOA=90°，∠FAE=∠BEO ，∴△FAE ∽△BAO ， ∴FA AE =AB OA 5225， ∴AF=5，∴FO=FA-OA=5-2=3，∴F （-3，0），设EF 解析式为：y kx e =+，过E 、F 两点，3=02k e k e -+⎧⎨+=⎩， 解得1232k e ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线FE ：13y 22x =+， 当()0y mx m =>与EF 平行是两直线没有交点，即m=12， 结合图形得122m <<时，ABM ∆是以AB 为底的等腰三角形．【点睛】本题考查x，y轴上点的特征，勾股定理，三角形全等判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，一次函数解析式求法，抓住BD=AC构造等式， EF与直线y mx交于E以及平行是解题关键．。

图形的相似专项训练题

图形的相似专项训练题

图形的相似专项训练题一．选择题（共8小题）1．已知BD是平行四边形ABCD的对角线，E是AB上一点，连接EC，交BD于点F，若△BEF与△DCF的面积比是1：9，则的值为（）A．B．C．D．2．如图，线段AB两个端点坐标分别为A（6，9），B（9，3），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后，得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，﹣1 ）D．（﹣2，﹣1）3．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，连结AG并延长交CD于点M，延长BG交CD于点N．若AE：EF＝4：5，则AB与MN的比值为（）A．B．C．D．4．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（）cm．A．B．6C．D．85．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．6．如图，△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，已知A（﹣4，2），△OAB与△OCD的相似比为2：1，则点C的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，2）7．如图所示，点E是▱ABCD的边AD的中点，点F是CE的中点，BF的延长线交分别交CD和AD的延长线于T，G．若△DGT的面积为1，则四边形ABFE的面积为（）A．4B．5C．6D．78．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、AB上一点，CE交对角线BD于点G，FG ⊥CE，交CE于点G，现给出下列结论：①∠FCG＝45°；②GH2＝BH2+DG2；③CH2＝HG•HD；④△FHG∽△BCH．其中正确的是（）A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④二．填空题（共8小题）9．如果，那么＝．10．如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：3，若S△AEF＝1，则△CDF的面积为．11．如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB＝2，那么AP＝．12．已知C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB＝2，则AC的长为．（结果保留根号）13．已知如图AB＝1、BC＝6、CD＝4，P在线段BC上，AB⊥BC、CD⊥BC垂足分别为B、C；当△ABP与P、C、D三点组成的三角形相似时则BP＝．14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P 从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EP⊥QE交射线BC于点Q，设O是线段EQ的中点，则在点P运动的整个过程中，点O运动路线的长为．15．如图，DE是△ABC的中位线，S△ADE＝1，则S△ABC＝．16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADB＝90°，BD＝BC，点E是AB边上一点，且BE＝BC，连接CE交BD于点F，若BC＝6，AD＝8，则EF的长为．三．解答题（共4小题）17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（2，3），C （0，3）．（1）以坐标原点O为位似中心，在x轴上方作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′；（2）直接写出顶点B′的坐标为，S△ABC：S△A′B′C′＝．18．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE＝60°．（1）请找出图中相似的三角形；（2）请选择其中一对说明理由．19．如图，AB是⊙O的直径，点D，E为⊙O上的点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，DF＝1，BF＝6，求AD的长．20．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△EMA；（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长．。

中考数学专项训练 图形的相似(附参考答案)

中考数学专项训练 图形的相似(附参考答案)

中考数学专项训练图形的相似一、选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是() A．1∶16 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶22．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应中线的比为()A.34 B.43 C.916 D.1693．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若ABBC＝12，则DEEF的值为()A.13 B.12 C.23D．1第3题图第4题图第5题图第6题图4.如图，在△ABC中，DE∥BC，ADAB＝13，BC＝12，则DE的长是()A．3 B．4 C．5 D．65．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有() A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是()A．(－1，2) B．(－9，18)C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)8．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个第8 题图第9题图第10题图9．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若AFDF＝2，则HFBG的值为()A.23 B.712 C.12 D.51210．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E是AB上一点，DE⊥CE.若AD＝1，BC＝2，CD＝3，则CE与DE的数量关系正确的是() A．CE＝3DE B．CE＝2DE C．CE＝3DE D．CE＝2DE二、填空题11．若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则2x＋yz－y＝________．12．如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是____________(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)．第12题图第14题图第15题图第16题图13．在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△ODM ：S△OBC＝________．14．(2016·临沂中考)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC 上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为________．15．(2016·安顺中考)如图，矩形EFGH内接于△ABC，边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝23EH，那么EH的长为________．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段B′F的长为________．三、解答题17．在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．(1)以点M为位似中心，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC和△A′B′C′的位似比为2；(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．18．(菏泽中考)如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须测量M，N两点之间的直线距离．选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．19．★(泰安中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC 边上的点，∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．参考答案与解析1．D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C7.D8．C解析：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.∵AD∥BC，∴∠A＝180°－∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°.设AP＝x，则BP＝8－x.若AB边上存在点P，使△P AD 与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：(8－x)＝3：4，解得x＝247；②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：(8－x)，解得x＝2或x＝6.∴满足条件的点P的个数是3个．故选C.9．B解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，设DF＝a，则DF＝AE＝a，AD＝AB＝3a，AF＝EB＝2a.∵HD∥AB，∴△HFD∽△BF A，∴HD BA＝DFAF＝HFBF＝12，∴HD＝1.5a，FHHB＝13，∴HF＝13HB.∵HD∥EB，∴△DGH∽△EGB，∴HGBG＝HDBE＝1.5a2a＝34，∴BGHB＝47，∴BG＝47HB，∴HFBG＝13HB47HB＝712.故选B.10．B解析：过点D作DH⊥BC，则DH＝AB，BH＝AD＝1.又∵BC＝2，∴CH＝1，∴DH＝CD2－CH2＝32－12＝22，∴AB＝2 2.∵AD∥BC，∠ABC ＝90°，∴∠A＝90°，∴∠AED＋∠ADE＝90°.∵DE⊥CE，∴∠AED＋∠BEC＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴ADBE＝AEBC＝DEEC.设BE＝x，则AE＝22－x，即1x＝22－x2，解得x＝2，∴ADBE＝DECE＝12，∴CE＝2DE.故选B.11．－512.AB∥DE(答案不唯一)13.49或1914.12515.32解析：如图所示，设AD与EH的交点为M.∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，EH∥BC，∴AM⊥EH，∴AMAD＝EHBC.易证EF ＝MD .设EH ＝3x ，则EF ＝23EH ＝2x ，AM ＝AD －MD ＝AD －EF ＝2－2x ，∴2－2x 2＝3x 3，解得x ＝12，则EH ＝32.16.45 解析：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5.由翻折可得∠AEC ＝∠DEC ＝90°，∠ECF ＝45°，∴CE ＝EF ，利用Rt △AEC ∽Rt △ACB ，得AE AC ＝CE BC ＝AC AB ，解得AE ＝95，CE ＝125，∴EF ＝125，∴B ′F＝BF ＝AB －AE －EF ＝45.17．解：(1)如图所示；(2)△A ′B ′C ′的各顶点坐标分别为A ′(3，6)，B ′(5，2)，C ′(11，4)．18．解：连接MN .∵AC AM ＝301000＝3100，AB AN ＝541800＝3100，∴AC AM ＝AB AN .又∵∠BAC ＝∠NAM ，∴△BAC ∽△NAM ，∴BC MN ＝3100，∴MN ＝100×453＝1500(米)． 答：M ，N 两点之间的直线距离为1500米．19．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠APD ＝∠B ，∴∠APD ＝∠B ＝∠C .∵∠APC ＝∠BAP ＋∠B ，∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，∴BP CD ＝AB CP ，∴AB ·CD ＝CP ·BP .∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP ·BP ；(2)解：∵PD ∥AB ，∴∠APD ＝∠BAP .由(1)可知∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C .∵∠B ＝∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BC ＝BP BA .∵AB ＝10，BC ＝12，∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.。

(必考题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》检测题(包含答案解析)(2)

(必考题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》检测题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB AB AC =＝k ，那么k 的值为（ ） A ．512+ B ．512- C ．5＋1 D ．5－1 2．如图，▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则DF BF=（ ）A ．23B ．2C ．13D ．123．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，DE ，AC 相交于点F ，S △CEF ＝1，则S △ADC ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，直线123////l l l ，直线AB ，DE 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，若:2:5AB AC =，15EF =，则DF 的长等于（ ）A ．18B ．20C ．25D ．305．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm ，到屏幕的距离为60cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为（ ）cm ．A ．20B ．18C ．15D ．16 6．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判断△ABC ∽△ADE的是（ ）A ．∠ADE ＝∠B B ．∠AED ＝∠C C ．AD AB AE AC = D ．DE AE BC AC = 7．点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB <BC ．若AC=4，则BC 的长为（ ） A ．252+ B ．252- C ．512- D ．51- 8．如图，CD ，BE 分别是ABC 两条中线，连结DE ，则:EDC ABC SS 的比值是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．239．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt ABC △的两条直角边的长分别为5和12,则它的内接正方形CDEF 的边长为（ ）A ．2517B ．6017C ．10017D ．1441710．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >），2AB =，那么AP 的长约为（ ）A ．0.618B ．1.382C ．1.236D ．0.76411．若ABC 的每条边长增加各自的20%得A B C '''，则B '∠的度数与其对应角B 的度数相比（ ）A ．增加了20%B ．减少了20%C ．增加了()120%+D ．没有改变 12．如图，D ，E 分别是ABC 的边AB 、BC 上的点，//DE AC ，若:1:2BDE CDE S S =，则:DOE AEC S S 的值为（ ）A ．16B ．19C ．112D ．116二、填空题13．如图，△ABC 是测量小玻璃管内径的量具，AB 的长为18cm ，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处（D 、E 分别在AC 、BC 上，且DE ∥AB ），那么小玻璃管内径DE 是_____cm ．14．已知高为2m 的标杆在水平地面上的影子长1.5m ，此时测得附近旗杆的影子长7.5m ．则旗杆的高为__m ．15．已知ABC 是等边三角形，6AB =，点D ，E ，F 点分别在边,,AB BC AC 上，:2:3BD BE =，DE 同时平分BEF ∠和BDF ∠，则BD 的长为_____．16．如图，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 到墙距离BC 是1.6米梯上的点D 到墙距离DE 是1.4米，BD 的长是0.55米，则梯子的长为__________米．17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，已知斜边DF 保持水平并且边DE 与点B 在同一直线上，若DE ＝40cm ，EF ＝20cm ．DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝8m ，则树的高度AB ＝________米．18．如图，在ABC 中，8AB =，6AC =，D 是AC 上一点，4=AD ，在AB 上取一点E ，使A 、D 、E 为定点的三角形与ABC 相似，则AE 的长为_______________．19．如图，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为1米，他继续往前走3米到达E 处（即3CE =米），测得自己影子EF 的长为2米，已知小明的身高为1.5米，那么路灯A 的高度AB 是__________米．20．如图，在ABC 中，AB AC >，将ABC 以点A 为中心顺时针旋转，得到AED ，点D 在BC 上，DE 交AB 于点F ．如下结论中：①DA 平分EDC ∠；②AEF DBF △∽△；③BDF CAD ∠=∠；④EF BD =．所有正确结论的序号是_____．三、解答题21．如图，点C，B，E在同一条直线上，AC⊥BC，BD⊥DE，BC＝ED＝6，BE＝10，∠BAC ＝∠DBE．（1）求证：△ABC≌△BED；（2）求△ABD的面积．22．如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长．23．如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）24．ABC ∆和ADE ∆均是等腰直角三角形，其中90ACB AED ∠=∠=︒．如图1，开始时，//DE AC ，现在固定ABC ∆将ADE ∆绕着点A 按顺时针方向旋转α（0180α︒<<︒）．（1）当ADE ∆中的DE 边旋转到与ABC ∆的某条边平行时，旋转角α的度数是 ； （2）如图2，连结BD ，CE ，求证：ABD ACE ∆∆∽；（3）若2AB AD =，在ADE ∆的旋转过程中，当C ，D ，E 三点在同一条直线上时，请画出图形求DBC ∠的度数．25．由36个边长为1的小正方形组成的66⨯网格中，线段AB 的两个端点在格点上． （1）如图1，C ，D 也在格点上，连结AB ，CD 相交于点O ，求AO BO 的值和OC 的长；（2）如图2，仅用无刻度直尺在线段AB 上找一点M ，使得23AM MB =．26．（1）如图1，矩形ABCD 中，点M 在BC 上，连接AM ，作AMN AMB ∠=∠，点N 在直线AD 上，MN 交CD 于点E ．请找出图1中的一个等腰三角形，并证明结论．（2）如图2，矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点M 为BC 中点，连接AM ，作AME AMB ∠=∠，ME 交于点E ，求CE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】设AC=1，由题意得AB=k ，BC=2k ，由AC=AB+ BC=1得到关于k 的一元二次方程，解方程即可．【详解】设AC=1， ∵BC AB AB AC==k ，且0k >， ∴AB=k ，BC=2k ，∵AC=AB+ BC=1，∴21k k +=，即210k k +-=，∵1a =，1b =，1c =-，()224141150b ac =-=-⨯⨯-=>，∴12k -±=(负值舍去)，∴k = 故选：B ．【点睛】本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关键．2．D解析：D【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，得到AD ∥BC ，AD=BC ，证得△DEF ∽△BCF ，由点E 是AD 的中点，得到1122DE AD BC ==，由此得到12DF DE BF BC ==． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴△DEF ∽△BCF ，∵点E 是AD 的中点， ∴1122DE AD BC ==， ∴12DF DE BF BC ==， 故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟记平行四边形的性质证得△DEF ∽△BCF 是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据已知可得△CEF ∽△ADF ，及EF 和DF 的关系，从而根据相似三角形的性质和三角形的面积得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD=BC ，△CEF ∽△ADF ， ∴EC EF AD DF= ∵E 是BC 的中点，∴EC=1122BC AD = ∴12EC EF AD DF == ∴2211()()24CEF ADF S EF S DF ∆∆=== ∵S △CEF ＝1，∴S △ADF ＝4， ∵12EF DF = ∴DF=2EF ∴S △D CF ＝2 S △CEF ＝2，∴S △ADC ＝S △ADF + S △D CF =4+2=6故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．4．C解析：C【分析】由:2:5AB AC =可得BC ：AC=3：5，根据平行线分线段成比例定理即可得答案．【详解】∵:2:5AB AC =，∴BC ：AC=3：5，∵123////l l l ，直线AB ，DE 分别交1l ，2l ，3l 于点A 、B 、C 和D 、E 、F ， ∴35BC EF AC DF ==， ∵EF=15，∴DF=25．故选：C ．【点睛】 本题考查平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握定理是解题关键．5．B解析：B【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．【详解】解：如图，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC ∴AE DEAC BC=设屏幕上图形的高度是x，则206 60x=解得x=18cm．所以，屏幕上图形的高度为18cm．故选：B．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．6．D解析：D【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、∠ADE=∠B，∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故A选项不符合题意；B、∠AED=∠C，∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故B选项不符合题意；C、AD ABAE AC=，即AD AEAB AC=，且夹角∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故C选项不符合题意；D、DE AEBC AC=，缺少条件∠AED和∠ACB相等，则不能确定△ABC∽△ADE，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．7．B解析：B【分析】根据黄金分割的定义可得出较长的线段51-AC，将AC=4代入即可得出BC的长度．【详解】解：∵点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB ＜BC ，∴AC ， ∵AC=4，∴BC=2．故选：B ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=12AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个． 8．B解析：B【分析】利用三角形中位线定理证明三角形的相似，根据相似三角形的性质确定面积之比，利用中线的性质等量代换三角形即可得证．【详解】∵CD ，BE 分别是ABC 两条中线，∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴ADE S =14ABC S , ∴ADE S：ABC S =1：4， ∵点E 是AC 的中点， ∴ADE S=EDC S ， ∴EDC S ：ABC S =1：4， 故选B ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形相似的判定与性质，中位线的性质，熟练掌握定理，灵活运用性质，规范进行代换是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据正方形的性质得：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ACB ，列比例式可得结论．【详解】解：∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=ED ，DE ∥CF ，设ED=x ，则CD=x ，AD=5-x ，∵DE ∥CF ，∴∠ADE=∠C ，∠AED=∠B ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE AD BC AC =， ∴5125x x -=， ∴x=6017， ∴正方形CDEF 的边长为6017． 故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据黄金分割点的定义，由题意知AP 是较长线段；则AP=12-AB ，代入数据即可． 【详解】解：∵线段AB=2，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >），∴AP=12-+AB=1-+≈1.236 故选：C 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．【详解】解：∵△ABC 的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′，∴△ABC 与△A′B′C′的三边对应成比例，∴△ABC ∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B ．故选：D ．本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．12．C解析：C【分析】先根据等高三角形的面积证明BE ：1EC =：2，进而可得BE ：1BC =：3；根据DE//AC 可得DOE △∽COA ，BDE ∽BAC ，得到13DE BE EO AC BC OA ===，根据相似三角形的性质得到DOE S △：21()9AOC DE S AC ==，再根据等高三角形的面积计算得到AOC S ：39412AEC S ==即可得答案． 【详解】 ∵BDE S △：1CDE S =：2，BDE 和CDE △等高，∴BE ：1EC =：2；∴BE ：1BC =：3；∵//DE AC ，DOE ∴△∽COA ，BDE ∽BAC ，13DE BE EO AC BC OA ∴===， ∴34AO AE =，DOE S △：21()9AOC DE S AC ==， ∵AOC △和AEC 等高，∴AOC S ：39412AEC AO S AE ===， ∴:1DOE AEC S S =：12．故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据平行得出两组相似三角形并熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．二、填空题13．12【分析】利用平行证明△CDE ∽△CAB 根据相似三角形对应边成比例的性质即可求DE 长【详解】∵DE ∥AB ∴△CDE ∽△CAB ∴即解得：cm 故答案为：12【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质解题解析：12【分析】利用平行证明△CDE ∽△CAB ，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求DE 长．∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ， ∴=CD DE CA AB ，即()6020=6018DE - 解得：12DE =cm故答案为：12【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及其性质：相似三角形对应边成比例．14．【分析】根据题意标杆光线影长组成的三角形与旗杆旗杆影长光线所组成的三角形相似故可利用相似三角形的性质解答【详解】解：设旗杆的高度为x 米根据题意得：解得：x ＝10故答案为：10【点睛】本题考查了相似三 解析：10【分析】根据题意，标杆、光线、影长组成的三角形与旗杆、旗杆影长、光线所组成的三角形相似，故可利用相似三角形的性质解答．【详解】解：设旗杆的高度为x 米， 根据题意得：21.57.5x =， 解得：x ＝10．故答案为：10．【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通解方程求出树的高度，体现了方程的思想．15．【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE ∠BED=∠FED 根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠DFEBD=DFBE=EF 由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°求得∠DFE=60° 解析：145【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE ，∠BED=∠FED ，根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠DFE ，BD=DF ，BE=EF ，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，DE 同时平分BEF ∠和BDF ∠，BDE FDE ∴∠=∠，BED FED ∠=∠，在BDE ∆与FDE ∆中，BDE FDE DE DE BED FED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BDE FDE ASA ∴∆≅∆，DBE DFE ∴∠=∠，BD DF =，BE EF =，ABC ∆是等边三角形，60A ABC C ∴∠=∠=∠=︒，60DFE ∴∠=︒，120ADF AFD AFD CFE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ADF CFE ∴∠=∠，ADF CFE ∴∆∆∽， ∴AD DF AF CF EF CE ==， :2:3BD BE =，∴设2BD DF x ==，3BE EF x ==，62AD x ∴=-，63CE x =-，∴622363x x AF CF x x-==-， 93CF x ∴=-，42AF x =-，6AF CF +=， 93426x x ∴-+-=，75x ∴=， 1425BD x ∴==． 故答案为：145．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．16．4【分析】由DE//BC 可得到进而利用相似三角形的对应边成比例可得到梯子AB 的长；【详解】∵∴DE ∥BC ∴∴解得：；故答案是44【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用准确计算是解题的关键解析：4【分析】由DE//BC 可得到ADE ABC ，进而利用相似三角形的对应边成比例可得到梯子AB 的长；【详解】∵DE AC ⊥，AC CB ⊥，∴DE ∥BC ，∴ADE ABC ， ∴AD DE AB BC=， 0.55 1.41.6AB AB -=， 解得： 4.4AB =；故答案是4.4．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确计算是解题的关键．17．5【分析】根据可得可求得BC 的长树高即可求出树高【详解】故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的应用熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键解析：5【分析】根据DEF DCB ∽△△可得DE EF DC BC=，可求得BC 的长，树高AB BC AC =+即可求出树高．【详解】 400.4DE cm m ==，200.2EF cm m ==，8CD m =90DEF DCB ∠=∠=︒，EDF CDB ∠=∠，∴DEF DCB ∽△△ ∴DE EF DC BC = ∴0.40.28BC= ∴4BC =，1.5AC =∴4 1.5 5.5AB BC AC =+=+=故答案为：5.5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 18．或【分析】本题应分两种情况进行讨论①△ABC ∽△AED ；②△ABC ∽△ADE ；可根据各相似三角形得出的关于AEAEABAC 四条线段的比例关系式求出AE 的长【详解】解：本题分两种情况：①△ADE ∽△A 解析：163或3 【分析】 本题应分两种情况进行讨论，①△ABC ∽△AED ；②△ABC ∽△ADE ；可根据各相似三角形得出的关于AE 、AE 、AB 、AC 四条线段的比例关系式求出AE 的长．【详解】解：本题分两种情况：①△ADE ∽△ACB∴AB ：AC=AE ：AD ，∵AB=8，AC=6，AD=4，∴AE=163； ②△ADE ∽△ABC∴AB ：AC=AD ：AE ，∵AB=8，AC=6，AD=4，∴AE=3，故答案为：163或3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质．由于题中没有明确相似三角形的对应角和对应边，因此本题要分情况进行讨论，以免漏解． 19．6【分析】设米米先根据题意可得出再根据相似三角形的判定与性质即可得【详解】设米米则米米由题意得：米即解得经检验是所列分式方程组的解则米故答案为：6【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点熟练 解析：6【分析】设AB x =米，BC y =米，先根据题意可得出//,//MC AB NE AB ，再根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】设AB x =米，BC y =米，则()1BD CD BC y =+=+米，()5BF EF CE BC y =++=+米，由题意得：//,//MC AB NE AB ， 1.5MC NE ==米，MCD ABD ∴~，NEF ABF ~，MC CD AB BD ∴=，NE EF AB BF=， 即 1.5111.525x y x y⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩， 解得63x y =⎧⎨=⎩， 经检验，6,3x y ==是所列分式方程组的解，则6AB =米，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．20．①②③【分析】由旋转性质得AD=AC ∠ADE=∠C 利用AD=AC 得到∠ADC=∠C 即可推出∠ADC=∠ADE 判断①正确；根据∠E=∠B ∠AFE=∠BFD 即可证明△AEF ∽△DBF 判断②正确；利用三角解析：①②③【分析】由旋转性质得AD=AC ，∠ADE=∠C ，利用AD=AC 得到∠ADC=∠C ，即可推出∠ADC=∠ADE ，判断①正确；根据∠E=∠B ，∠AFE=∠BFD ，即可证明△AEF ∽△DBF ，判断②正确；利用三角形的外角性质判断③正确；由∠FAD 不一定等于∠CAD ，不能证明△ADF 全等于△ADC ，故CD 不一定等于DF ，由此判断④错误．【详解】由旋转得：AD=AC ，∠ADE=∠C ，∵AD=AC ，∴∠ADC=∠C ，∴∠ADC=∠ADE ，即DA 平分∠EDC ，故①正确；∵∠E=∠B ，∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△DBF ，故②正确；∵∠ADB=∠ADE+∠BDF=∠C+∠CAD ，∠ADE=∠C ，∴BDF CAD ∠=∠，故③正确；∵∠FAD 不一定等于∠CAD ，AD=AD ，∠ADC=∠ADE ，∴不能证明△ADF 全等于△ADC ，故CD 不一定等于DF ，∴DE-DF 不一定等于BC-CD ，即无法证明EF=BD ，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，三角形的外角性质，是一道三角形的综合题．三、解答题21．（1）见解析，（2）ABD S40= 【分析】（1）由AC ⊥BC ，BD ⊥DE ，可得∠ACB=∠BDE=90°，可证△ACB ≌△BDE （AAS ）； （2）由△ACB ≌△BDE ，可得AB=BE=10,，在Rt △BDE 中，由勾股定理8=，由∠CAB+∠ABC=90°可求∠ABD=180°-∠ABC-∠EBD=90°，可求S △ABD =1AB BD 2⋅即可． 【详解】解：（1）∵AC ⊥BC ，BD ⊥DE ，∴∠ACB=∠BDE=90°，在△ACB 和△BDE 中， ACB=BDE BAC=DBE BC=ED ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ACB ≌△BDE （AAS ）；（2）∵△ACB ≌△BDE ，∴AB=BE=10,在Rt △BDE 中，由勾股定理8==，又∵∠CAB+∠ABC=90°，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠ABD=180°-∠ABC-∠EBD=90°，∴S △ABD =11AB BD=108=4022⋅⨯⨯． 【点睛】 本题考查三角形全等判定与性质，勾股定理，直角三角形面积，掌握三角形全等判定与性质，勾股定理应用方法，直角三角形面积的求法是解题关键．22．203【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：∵a ∥b ∥c ，AB ＝3，BC ＝5，DE ＝4， ∴AB DE BC EF =，即345EF=， 解得，EF 203=， 故答案为：203． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 23．32米【分析】易得△ABC ∽△EDC 以及△ABD ∽△GFD ，根据相似三角形的性质得到关于x 和y 的方程组，求解即可．【详解】解：设AB 为xm ，BC 为ym ，根据题意知，△ABC ∽△EDC ，有1.62.4x y =①． △ABD ∽△GFD ，有 1.62.4 2.52x y =+②． 联立①②，得x ＝32．答：建筑物AB 的高度为32m ．【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．24．（1）45︒或90︒；（2）见解析；（3）图见解析，15DBC ∠=︒或75︒．【分析】（1）分2种情况进行讨论：AB ∥DE 、BC ∥DE ，分别画出图形，计算出度数即可；（2）根据等腰直角三角形的性质得出2AC AE AB AD ==，∠BAC=∠DAE=45°，即可得出∠BAD=∠CAE ，从而证得△ABD ∽△ACE ；（3）由（2）可知，△ABD ∽△ACE ，得到∠ABD=∠ACE=90°，根据AB=2AD 得出∠ACE=30°，即可得出∠DBC=15°或75°．【详解】解：（1）当△ADE 中的DE 边旋转到与△ABC 的某条边平行时，旋转角α的度数是45°，90°．①当AB ∥DE 时，α=45°；②当DE ∥BC 时，α=90°；∴旋转角α的所有可能的度数为45°，90°．故答案为45°，90°；（2）∵△ABC 和△ADE 均是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠AED=90°． ∴22AC AE AB AD ==，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE ；（3）如图，由BAD CAE ∆∆∽得，ABD ACE ∠=∠，2AC AB AE AD==． 在Rt ACE ∆中，90AEC ∠=︒，2AC AE =，∴30ACE ∠=︒，∴30ABD ACE ∠=∠=︒．∴453015DBC ∠=︒-︒=︒．如图，在BAD CAE ∆∆∽得，ABD ACE ∠=∠，2AC AB AE AD==． 在Rt ACE ∆中，90AEC ∠=︒，2AC AE =，∴30ACE ∠=︒，∴30ABD ACE ∠=∠=︒．∴453075DBC ∠=+=︒︒︒．∴15DBC ∠=︒或75︒．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．25．（1）34，157；（2）见解析 【分析】（1）由//AB CD ，可证AOC BOD ∆∆∽，由性质知34AO CO AC BO DO BD ===，由勾股定理求出22345CD =+=，利用比例即可求出CO 的长；（2）从A 向左取两个格为E ，过B 向右取三个格为F ，连结EF 交AB 与点M ，构造相似，利用相似比即可求出M 满足条件．【详解】解：（1）由图知：3AC =，4BD =，∵//AB CD ，∴A B ∠=∠，C D ∠=∠．∴AOC BOD ∆∆∽， ∴34AO CO AC BO DO BD ===， ∵22345CD =+=， ∴31577CO CD ==， （2）从A 向左取两个格为E ，过B 向右取三个格为F ，连结EF 交AB 与点M ， ∵AE ∥BF ，∴∠A=∠B ，∠E=∠F ，∴△AEM ∽△BFM ，∴AE AM 2==BF BM 3， 如图，点M 是所求作的点．【点睛】本题考查网格作图问题，与平行线性质，相似三角形的判定与性质，掌握网格作图经常利用相似或全等解决问题．26．（1）AMN ，证明见解析；（2）34 【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可； （2）作NH AM ⊥于H ，证明NAH AMB ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到212AN BM AM =，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）AMN ∆是等腰三角形，证明：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，NAM BMA ∴∠=∠，又AMN AMB ∠=∠，AMN NAM ∴∠=∠，AN MN ∴=，即AMN ∆是等腰三角形；（2）如图，延长AD 和ME ，交于点N ，作NH AM ⊥于H ，AN MN =，NH AM ⊥，12AH AM ∴=， 90NHA ABM ∠=∠=︒，AMN AMB ∠=∠，NAH AMB ∴∆∆∽，∴AN AH AM BM =， 212AN BM AH AM AM ∴==， M 为BC 中点，112BM CM BC ∴===，2223110AM =+=，5AN ，523DN ∴=-=，设DE x =，则3CE x =-，//AN BC ， ∴DN DE CM CE =，即313x x=-， 解得，94x =，即94DE =， 34CE ∴=．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用以及等腰三角形的性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意方程思想的正确运用．。

(word)九年级数学图形相似(带答案)

(word)九年级数学图形相似(带答案)

第3章图形的相似【经典例题】1.〔2021湖北咸宁，6，3分〕如图，正方形 OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1，0)，那么E点的坐标为〔〕．1yF EC BAD x〔第6题〕A．(2，0)B．(3，3)C．(2，2)D．( 2，2)22【解析】由得，E点的坐标就是点A坐标的2倍．【答案】C【点评】此题着重考查了位似图形的坐标特点，注意此题是同向位似．2.(2021山东日照，8，3分)在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE 交BD于点F,假设EC=2BE,那么BF的值是〔〕FDA DFBE CA.1 B.C.1D.1245解析：如图，由菱形ABCD得AD∥BE,，所以△BEF∽△ADF,又由EC=2BE,得AD=BC=3BE,故BF=BE=1.FDAD3解答：选B．点评：此题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.〔2021·湖南省张家界市·10题·3分〕△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25，那么△ABC 与△DEF的相似比为．【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】△ABC与△DEF的相似比为4=2.（ 5（【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.（（〔2021山东省滨州，18，4分〕如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两（对相似三角形：〔用相似符号连接〕．（（（（（（（【解析】〔１〕由于∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE∽△CDF。

由于∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF∽△ACE。

（解：〔1〕在△BDE和△CDF中∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE∽△CDF．（2〕在△ABF和△ACE中，∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF∽△ACE．【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE2【点评】此题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA，AAS、ASA、SAS等．5.(2021贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，假设AD=1，BC=3，△AOD的面积为3，那么△BOC的面积为___________．【解析】由题意知AD∥BC，所以∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，所以△OAD∽△OCB．又AD=1，BC=3，所以△OAD与△OCB的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD的面积为3，所以△BOC的面积为27．【答案】27．【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决此题的关键．6.〔2021贵州遵义，7,3分〕如图，在△ABC中，EF∥BC，=，S四边形BCFE=8，那么S△ABC=〔〕A．9 B．10 C．12 D．13解析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出= ，把S四边形BCFE=8代入求出即可．解：∵= ，==，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴= =，9S△AEF=S△ABC，∵S四边形BCFE=8，9〔S△ABC﹣8〕=S△ABC，解得：S△ABC=9．应选A．答案：A点评：此题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．7.〔2021南京市，15，2〕如图，在平行四边形ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米，E为AD上一点，且BE=BC,CE=CD，那么DE=厘米.A EDB C解析：△BCE与△CDE均为等腰三角形，且两个底角∠DEC=∠BCE，∴△BCE∽△CDE，∴BC=CE,CD DE3∴10=6,∴厘米.6 DE答案：3.6.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长. 8.(2021山东日照，21，9分)如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为H,交CD于∥,交BF于.CGAE G求证CG=BH;2(2)FC=BF·GF;( 3)FC2=GF.2GBABA DGFHB E C2解析：(1)可证△ABH≌△BCG；(2)证△CFG∽△BFC可得；(3)先证△B CG∽△BFC得BC=BF·BG,结合AB=BC 可得.证明：〔1〕∵BF⊥AE，CG∥AE, CG⊥BF,CG⊥BF.∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90o,∠CBG+∠BCG=90o,BAH+∠ABH=90o,∴∠BAH=∠CBG,∠ABH=∠BCG,AB=BC,∴△ABH≌△BCG,CG=BH;o∴(2) ∵∠BFC=∠CFG,∠BCF=∠CGF=90,∴∴△CFG∽△BFC,∴FCGF,BF FC2即FC=BF·GF;2(3) 由〔2〕可知，BC=BG·BF,AB=BC,2∴AB=BG·BF,2∴FC 2=FG?BF=FG4即FC 2=GFGBA B点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等〔或相似〕三角形，并找到三角形全等〔或相似〕的条件.9.(2021海南省，12，3分〕12、如图3，在△ABC 中，∠ACB=900，CD⊥AB，于点D ，那么图中相似三角形共有〔CA DBA 、1对B 、2对C 、3对 、4对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：△BDC ～△BCA～△CDA 【答案】C ．【点评】此题主要考查相似三角形根本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。

图形的相似(压轴专练)(十大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)

图形的相似(压轴专练)(十大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)

图形的相似（压轴专练）（十大题型）题型1：相似三角形解答证明题1．在ABC V 中，AB AC =，点D 在线段CB 的延长线上，连接AD ，过点B 作BE BC ^交线段AD 于点,2120E BED BAC Ð+Ð=°．(1)如图1，求CAD Ð的度数．(2)如图2，若32DE AE =，求BD BC的值．(3)如图3，在（2）的条件下，连接,EC EC 交线段AB 于点F ，若BD =AF 的长．2．如图1，在ABC V 中，90BAC AB AC BD CD Ð=°=^,,于点D ，连接AD ，在CD 上截取CE ，使CE BD =，连接AE ．(1)直接判断AE 与AD 的位置关系(2)如图2，延长AD ，CB 交于点F ，过点E 作EG AF ∥交BC 于点G ，试判断FG 与AB 之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若2AE =，CE =EG 的长．题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用3．如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 的延长线上，点F 在边AB 上，且AF CE =，连接EF 交DC 于点P ，连接AC 交EF 于Q ，连接DE DF 、．(1)求证：EQ FQ =；(2)连接BQ ，如图2，①若AQ DP ×=BQ 的长；②若FP FD =，则PE PQ = ．4．综合与实践已知：矩形ABCD ，M 是AD 边上一点．【基本图形】（1）如图1，AM MD =，BM 交AC 于F 点，BM 的延长线与CD 的延长线交于点E ，连AE ，求证：MF EM BF EB=；【类比探究】（2）如图2，AM MD =，过点D 任意作直线与BM ，BC 的延长线分别交于点E ，点P ，连AE ，求证：EAD PAD ÐÐ=；【扩展延伸】（3）如图3，E 是CD 延长线上一点，P 是BC 延长线上一点，AP 交CD 于Q 点，BE 交AD 于M 点，延长AD 交EP 于N 点，若M 是AN 的中点，且3AB =，4BC =，求AEP △的面积．题型3：翻折问题5．菱形ABCD 中，5AB =，点F 是AD 边上的点，点Q 是AB 边上的点．(1)如图1，若点F 是AD 的中点，CQ AB ^，连接CF 并延长交BA 的延长线于点P ，连接QF ，①求证：PAF CDF △≌△；②判定FCQ V 的形状，并说明理由；(2)若菱形面积为20，将菱形ABCD 沿CQ 翻折，点B 的对应点为点E ．①如图2，当点E 落在BA 边的延长线上时，连接BD ，交CQ 于R ，交EC 于点M ，求DR BM 的值；②如图3，当CE AD ^，垂足为点F ，交AD 于点N ，求四边形CFNQ 的面积．6．如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，点E 在BC 上，连接AE ，把ABE V 沿直线AE 翻折得到AFE △，直线EF 与直线CD 交于点G ，连接DF ．(1)当DFG GEC Ð=Ð时，求BE 的长．小星看到把ABE V 沿直线AE 翻折得到AFE △，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道BE FE =，AB AF =，90ABE AFE Ð=Ð=°，根据DFG GEC Ð=Ð，他延长EG 与AD 的延长线相交于点H ，可证AD DF DH ==，AH EH =，再通过勾股定理即可求出BE 的长．请用小星的方法或自己的方法求BE 的长；(2)当G 是CD 的中点时，求BE 的长；(3)如图2，已知等边ABC V 的边长为6，点D 在边BC 上，连接AD ，把ABD △沿直线AD 翻折得到AED △，直线DE 与直线AC 交于点F ，若12CF =，求BD 的长．7．（1）发现：如图1，正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，将ADE V 沿AE 对折得到AFE △，延长EF 交BC 边于点G ，连接AG ．证明：BG DE EG +=．（2）探究：如图2，矩形ABCD 中AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC AD 、于点M 、N ，四边形AMNE 是四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，若CDN △的面积与CMN V 的面积比为1:3，求MN DN的值．（3）拓展：如图3，在菱形ABCD 中，6AB =，E 为CD 边上的三等分点，60D Ð=°，将ADE V 沿AE 翻折得到AFE △，直线EF 交BC 于点P ，求PC 的长．题型4：旋转问题8．如图，ABC V 和ADE V 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°．(1)如图1，连接BE 、CD ，BE 的延长线交AC 于F ，交CD 于点P ，求证：①ABE ACD V V ≌；②BP CD ^；(2)如图2，把ADE V 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在AB 上时，连接BE 、CD ，CD 的延长线交BE 于点P ，若BC =3AD =．①求证：BDP CDA △∽△，②PDE △的面积是 ．9．问题背景：如图（1），在ABC V 和ADE V 中，AB AC AD AE ==，，BAC DAE Ð=Ð，求证：ABD ACE △△≌；尝试应用：如图（2），在ABC V 和ADE V 中，90ABC ADE Ð=Ð=°，30ACB AED Ð=Ð=°，连接CE ，点F 是CE 的中点．判定以B ，D ，F 为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；拓展创新：如图（3），在ABC V 中，AC BC ＝AB 绕点A 逆时针旋转90°得到AD ，连接BD CD ，．若点E 是CD 的中点，连接BE ，直接写出BE 的最大值．10．如图，在V 锐角ABC 中，AB =3BC =，45ACB Ð=°，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转得到11A BC V ．(1)如图①，当点1C 在线段CA 的延长线上时，求11CC A Ð的度数；(2)如图②，连接1AA ，1CC ，若1ABA △的面积为2，求1CBC △的面积；(3)如图③，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点1P ，求线段1EP 长度的最大值与最小值．题型5：最值问题11．如图，在ABC V 中，90,BAC AB AC Ð=°=，点D 为AC 一点，连接BD ．(1)如图1，若CD =，15ABD Ð=°，求AD 的长；(2)如图2，过点A 作AE BD ^于点E ，交BC 于点M ，AG BC ^于点G ，交BD 于点N ，求证：BM CM =；(3)如图3，将ABD △沿BD 翻折至BDE V 处，在AC 上取点F ，连接BF ，过点E 作EH BF ^交AC 于点G ，GE 交BF 于点H ，连接AH ，若:2GE BF =，AB =AH 的最小值．12．如图1和图2，平面上，四边形ABCD 中1582AB BC ==，，252CD =，6DA ＝，90A Ð=°，点M 在AD边上，且2DM =．点P 从点A 沿折线AB BC -上运动到点C ，将APM △沿MP 翻折，点A 的对应点为点A ¢，设点P 的运动路径长为x (0)x >．(1)如图1，连接BD ，①求CBD Ð的度数；②求证：AB CD ∥．(2)如图2，当点A ¢落到四边形ABCD 内部时，求x 的取值范围．(3)①当点A ¢落在AD 的延长线上时，请直接写出x 的值．②设点A ¢到边BC 所在直线的距离为h ，请直接写出h 的最小值．13．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 在直线AB 上，点E 在直线AC 上，连接BE ，DE ，且BE DE =，直线DE 交BC 于点F ．(1)如图①，当点D 在线段AB 上时，AD 4AC =，求BE 的长；(2)如图②，当D 是AB 的中点时，求证：CE CF BF +=；(3)如图③，连接CD ，将ADC △沿着CD 翻折，得到A CD ¢△，M 是AB 上一点，且37BM AB =，当A M ¢最短时，请直接写出DF BE 的值．题型6：比值问题14．如图1，在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DC ，点F 、P 、G分别为DE 、DC 、BC 的中点，连接FP ，PG ．(1)图1中，求证：PF PG =；(2)当ADE V 绕点A 旋转到如图2所示的位置时，①PF PG =是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；②若:1:(1)AD AB n n =>，PDF △和PGC V 的面积分别是1S ，2S ，ABC V 的面积为3S ，求123S S S +的值．15．【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD 中，点P 在边AB 的延长线上，连接PD ，过点D 作DM PD ^，交BC 的延长线于点M ．求证：DP DM =．【变式求异】（2）如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，点D 在边AB 上，过点D 作DQ AB ^，交AC 于点Q ，点P 在边AB 的延长线上，连接PQ ，过点Q 作QM PQ ^，交射线BC 于点M ．已知8BC =，10AC =，AD =2DB ，求PQ QM的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，点P 在边AB 的延长线上，点Q 在边AC 上（不与点A ，C 重合），连接PQ ，以Q 为顶点作PQM PBC Ð=Ð，PQM Ð的边QM 交射线BC 于点M ．若AC mAB =，CQ nAC =（m ，n 是常数），直接写出PQ QM的值（用含m ，n 的代数式表示）．题型7：“手拉手”模型16．在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 是BC 边上一动点，过点C 作CE AD ^交AB 于点E ．(1)如图1，若AC AE =，求ADB Ð的度数；(2)如图2，点F 是BD 上一点，连接EF 并延长交AD 的延长线于点G ．若点P 为AD 的中点，CP DG =，2G CAD Ð=Ð，求证：2CE EF FG +=；(3)点F 是BC 边上一点，射线EF 与射线AD 交于点G ，BFE ADC Ð=Ð，点H 是AC 上一点，且14CH AC =，连接HF ，H G ，点M 是射线AD 上一动点，连接MH ，MF ．在点D 的运动过程中，当GH 取得最小值m 时，在平面内将HFM △沿直线HM 翻折得到HNM V ，连接EN ．在点M 的运动过程中，若EN 的最大值为n ，直接写出n m的值．17．如图所示，在ABC V 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE BC ∥，如图1，然后将ADE V 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝12BD ，EN ＝12CE ，得到图3，请解答下列问题：(1)若AB AC =，请探究下列数量关系：①在图2中，BD 与CE 的数量关系是 ；②在图3中，猜想AM 与AN 的数量关系、MAN Ð与BAC Ð的数量关系，并证明你的猜想；(2)若·1AB k AC k =（＞），按上述操作方法，得到图4，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、MAN Ð与BAC Ð的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．题型8：定值问题18．如图1，在ABCD Y 中，60A Ð=°，4=AD ，8AB =．Y的面积；(1)请计算ABCD△沿着AC翻折，D点的对应点为D¢，线段CD¢交AB于点M，请计算AM的长度；(2)如图2，将ADC^交AD¢的延(3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段CM上一动点，过点P作PN AC^于点N，PG AD¢长线于点G．在点P PG+的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由．题型9：情景探究题19．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在ABC V 中，AB AC =，P 为边BC 上的任一点，过点P 作,PD AB PE AC ^^，垂足分别为D ，E ，过点C 作CF AB ^，垂足为F ．求证：PD PE CF +=．小明的证明思路是：如图①，连接AP ，由ABP V 与APC △面积之和等于ABC V 的面积可以证得：PD PE CF +=．小颖的证明思路是：如图②，过点P 作PG CF ^，垂足为G ，可以证得：,PD GF PE CG ==，则PD PE CF +=．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．[变式探究]（2）如图③，当点Р在BC 延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则PD PE CF 、、之间的数量关系是______．[结论运用]（3）如图④，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C ¢处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点Р作,PG BE PH BF ^^，垂足分别为G ，H ，若18,5AD CF ==，求PG PH +的值．[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，,ED AD EC CB ^^，垂足分别为D ，C ，且,3cm,AD CE DE BC AB AD BD ====××，M 、N 分别为AE BE ，的中点，连接DM CN ，，请直接写出DEM △与CEN V 的周长之和___________．题型10：相似三角形在平面直角坐标系的应用20．如图，在平面直角坐标系中；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B (0,3)，与直线OC 交于点8,13C æöç÷èø．(1)求直线AB 的函数表达式；(2)过点C 作CD x ^轴于点D ，将ACD V 沿射线CB 平移得到的三角形记为A C D ¢¢¢△，点A ，C ，D 的对应点分别为A ¢，C ¢，D ¢，若A C D ¢¢¢△与BOC V 重叠部分的面积为S ，平移的距离CC m ¢=，当点A ¢与点B 重合时停止运动，当925S =时，求m 的值．21．综合运用如图1，在平面直角坐标系中，AOB V 是等腰直角三角形，AO BO =，点A 的坐标为()0,6．点C 是边OB 上一点，连接AC ，将线段AC 绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)当AB 平分CAD Ð时，OAC Ð＝________°；(2)若13CO BO =，求BD 的长；(3)如图2，作点C 关于AD 的对称点E ，连接BE ，CE ，DE ．设BDE V 的面积S =，CO m =，求S 关于m 的函数表达式．。

中考数学《图形的相似》专项练习题及答案

中考数学《图形的相似》专项练习题及答案

中考数学《图形的相似》专项练习题及答案一、单选题1．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A．5cm B．6cm C．（6-√3）cm D．（3+√3）cm2．如图，DE△BC，EF△AB，现得到下列结论：AEEC=BFFC，ADBF=ABBC，EFAB=DEBC，CECF=EABF其中正确的比例式的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（）A．1:2B．1:3C．1:9D．1:164．如图，△ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将△ABC切出一个小三角形与△ABC相似，这样的直线一共有（）A．5条B．4条C．3条D．2条5．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为2，则△EDC的面积是（）A．2B．8C．16D．326．如图，△ADE△△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：27．如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若s1表示△ADE的面积，s2表示四边形DBCE的面积，则s1：s2=（）A．1︰2B．1︰3C．1︰4D．2︰38．如图，按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的12，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F得△DEF，则下列说法正确的是（）①△ABC与△DEF是相似图形；②△ABC与△DEF的周长比为2：1；③△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．①、②B．②、③C．①、③D．①、②、③9．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，CB相交于点P，若∠DPB=45°，则S△CDP：S△ABP 的值（）A．25B．23C．13D．1210．如图，AD△BE△CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．811．一个三角形的三边长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形中有一条边长为6.则这个三角形的周长不可能是()A．725B．18C．48D．2412．如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与△ABC相似的三角形是（）A．B．C．D．二、填空题13．勾股定理是一个基本的几何定理，有数百种证明方法．“青朱出入图”是我国古代数学家证明勾股定理的几何证明法．刘徽描述此图“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，加就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也”．若图中BF=4，DF=2，则AE=．14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，BE=1，AE与BD交于点F．则DF的长为．15．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为．16．如图，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为17．在某一时刻，测得一根高为1m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋高楼的影长为40m，这栋高楼的高度是m．18．如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．三、综合题19．如图，已知△BAC=90°，AD△BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：（1）△DFB△△AFD；（2）AB：AC=DF：AF．20．一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上）.（1）发现BE与DG数量关系是，BE与DG的位置关系是.（2）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图2），（1）中的结论还成立吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由.（3）把图1中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=2，AB=4，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请直接写出这个定值.21．如图，已知点D在△ABC的外部，AD△BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．（1）求证：△BAC＝△AED；（2）在边AC取一点F，如果△AFE＝△D，求证：ADBC=AFAC．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作BD的垂线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE交AC于点K，连接DF。

初三数学中考复习 图形的相似 专题练习题 含答案

初三数学中考复习 图形的相似 专题练习题 含答案

2021 初三数学中考复习 图形的相似 专题练习题1. 以下说法正确的选项是( )A ．所有的等腰三角形都相似B ．四个角都是直角的两个四边形一定相似C ．所有的正方形都相似D ．四条边对应成比例的两个四边形相似2. 以下各组条件中，不能断定△ABC 与△A′B′C′相似的是( )A ．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′B ．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝12°，∠B′＝78°C ．∠A＝∠B ，∠B′＝∠A′D ．∠A＋∠B ＝∠A′＋∠B′，∠A－∠B ＝∠A′－∠B′3. 如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，那么EF∶EC 等于( )A ．3∶2B ．3∶1C ．1∶1D ．1∶34．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，四边形DEFC 是正方形，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，那么正方形的面积为( )A.127 cm 2 B ．3 cm 2 C ．4 cm 2 D.14449cm 2 5．如图，身高为1.6 m 的吴格婷想测量学校旗杆的高度，当她站在C 处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC ＝2.0 m ，BC ＝8.0 m ，那么旗杆的高度是( )A ．6.4 mB ．7.0 mC ．8.0 mD ．9.0 m6．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么点E 的坐标不可能是( )A ．(6，0)B ．(6，3)C ．(6，5)D ．(4，2)7．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF.假设AD ＝OA ，那么△ABC 与△DEF 的面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶68．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD ＝90°，CO ＝CD.假设B(1，0)，那么点C 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(1，1)C ．(2，2)D ．(2，1)9．将边长分别为2，3，5的三个正方形按如图方式排列，那么图中阴影局部的面积为( )A.214B.154C.72D ．3 10．如图，矩形ABCD 的边长AD ＝3，AB ＝2，E 为AB 的中点，点F 在边BC 上，且BF ＝2FC ，AF 分别与DE ，DB 相交于点M ，N ，那么MN 的长为( ) A.225 B.9220 C.324 D.42511. 如图，△ABC 中，∠A＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )12. 小强身高1.7 m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m ，紧接着他把手臂竖直举起，此时影子长为1.1 m ，那么小强举起的手臂超过头顶( )A ．0.4 mB ．0.5 mC ．0.8 mD ．1 m13．假如x 2＝y 3＝z 4≠0，那么x ＋2y ＋3z 3x ＋2y －2z的值是______． 14．两个相似三角形的面积比为9∶25，其中一个三角形的周长为36，那么另一个三角形的周长为________．15．如图，D ，E 是AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，那么图中三局部面积S 1∶S 2∶S 3＝________．16．如图，一束光线从点A(3，3)出发，经过y 轴上的C 点反射后经过点B(1，0)，那么光线从A 点到B 点经过的道路长是_________．17．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，那么两个正方形的位似中心的坐标是________．18．如图，在△ABC 中，BC ＝6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，动点P 在射线EF上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ ＝13CE 时，EP ＋BP ＝________．19．如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，点A ，B ，A ′，B ′，O 共线，点O 为位似中心．(1)AC 与A′C′平行吗？为什么？(2)假设AB ＝2A′B′，OC ′＝5，求CC′的长．20．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝23，CF ⊥BD 分别交BD ，AD 于点E ，F ，连接BF.(1)求证：△DEC∽△FDC；(2)当F 为AD 的中点时，求BC 的长度．21．如图，M ，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M ，N 两点之间的直线间隔 ，选择测量点A ，B ，C ，点B ，C 分别在AM ，AN 上，现测得AM ＝1千米，AN ＝1.8千米，AB ＝54米，BC ＝45米，AC ＝30米，求M ，N 两点之间的直线间隔 ．22．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12 cm ，BC ＝8 cm ，点E ，F ，G 分别从A ，B ，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向挪动，点E ，G 的速度为2 cm/s ，点F 的速度为4 cm/s ，当点F 追上点G(即点F 与点G 重合)时，三个点随之停顿挪动．设挪动开场后第t s 时，△EFG 的面积为S(cm 2)．(1)当t ＝1 s 时，S 的值是多少？(2)假设点F 在矩形的边BC 上挪动，当t 为何值时，以点E ，B ，F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似？请说明理由．23. 如图，为了测量山的高度，在山前的平地上先竖一根长度的木棒O′B′，比拟木棒的影长A′B′与山的影长AB ，即可近似求出山的高度OB.假如O′B′＝1 m ，A′B′＝2 m ，AB ＝270 m ，求山的高度．参考答案1---12 CCDDC BBBBB CB13. 514. 1085或60 15. 1∶3∶516. 517. (1，0)或(－5，－2)18. 1219.(1)AC∥A′C′，理由如下：∵△ABC 与△A′B′C′是位似图形，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.∴∠A ＝∠C′A′B′.∴AC ∥A ′C ′.(2)∵△ABC∽△A ′B ′C ′，∴AB A′B′＝AC A′C′.∵AB＝2A′B′，∴AC A′C′＝21.又∵△ABC 与△A′B′C′是位似图形，∴OC O′C′＝AC A′C′＝21.∵OC′＝5，∴OC ＝10，CC ′＝OC －OC′＝10－5＝5.20．(1)∵∠DEC＝∠FDC＝90°，∠DCE ＝∠FCD，∴△DEC ∽△FDC.(2)∵F 为AD 的中点，AD∥BC，∴FE ∶EC ＝FD ∶BC ＝1∶2，∴FE ∶FC ＝1∶3，设EF ＝x ，那么FC ＝3x ，∵△DEC ∽△FDC ，∴CE CD ＝CD FC，可得6x 2＝12，解得x ＝2，那么CF ＝32，在Rt △CFD 中，DF ＝FC 2－CD 2＝6，∴BC ＝2DF ＝2 6.21. 连接MN ，图略．在△ABC 与△ANM 中，∠A ＝∠A，AC AB ＝3054＝59，AM AN ＝11.8＝59，∴△ABC ∽△ANM ，∴AC BC ＝AM MN ，即3045＝1MN，，N 两点之间的直线间隔 是1.5千米． 22. (1)当t ＝1 s 时，S ＝S 梯形EBCG －S △EBF －S △FCG ＝12×(10＋2)×8－12×10×4－12×4×2＝24(cm 2)．(2)当点F 在边BC 上挪动时，F 与B ，E 能构成三角形且F 与C ，G 能构成三角形，那么0<t<2，有AE ＝CG ＝2t ，EB ＝12－2t ，BF ＝4t ，FC ＝8－4t.在△EBF 和△FCG中，∠B ＝∠C ＝90°，①假设EB FC ＝BF CG ，即12－2t 8－4t ＝4t 2t ，解得t ＝23，又t ＝23满足0<t<2，所以当t ＝23时，△EBF ∽△FCG ；②假设EB GC ＝BF CF ，即12－2t 2t ＝4t 8－4t，解得t ＝32，又t ＝32满足0<t<2，所以当t ＝32时，△EBF ∽△GCF.综上所述，当t ＝23或t ＝32时，以点E ，B ，F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似．23. 解： ∵太阳光线是平行线，∴∠OAB ＝∠O′A′B′，∵OB⊥AB ，O′B′⊥A′B′，∴∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，∴△OAB∽△O′A′B′，∴OBO′B′＝ABA′B′，当O′B′＝1 m，A′B′＝2 m，AB＝270 m时，OB1＝2702，OB＝135 m，∴山的高度为135 m．。

初中数学专题复习图形的相似（含答案）

初中数学专题复习图形的相似（含答案）

初中数学专题复习图形的相似（含答案）第19课时图形的相似一、知识导航图应用:解决实际问题3.面积的比等于相似比的平方2.对应边、对应中线、对应角平分线、对应高线、周长的比等于相似比1.对应角相等4.三边对应成比例3.两边对应成比例且夹角相等2.两角对应相等1.定义图形的运动与坐标用坐标来确定位置位似性质识别方法相似多边形的特征概念图形与坐标相似三角形相似的图形图形的相似二、中考课标要求三、中考知识梳理1.比例线段由于比例线段的实质就是四个正数组成的比例式,所以要学好本部分内容,首先要复习小学所学的有关比例的相关知识.2.相似形具有相同形状的图(大小不一定相同). 3.相似多边形的特征“对应边成比例,对应角相等”既是相似多边形的识别方法又是性质. 4.相似比相似比是把一个图形放大或缩小的倍数,其具有顺序性,全等是相似比为 1 时的特殊情况.5.相似三角形的性质(1)对应边成比例,对应角相等;(2)对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;(3)周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方. 6.相似图形的画法是新课标中新增添的内容,要求掌握用多种方法将一个图形放大或缩小. 7.图形与坐标是新课程中新增添的内容,应注意把“形”与“数”紧密地联系在一起. 四、中考题型例析1.列比例式例1 (2002·北京怀柔)已知三个数请你再添上一个(只填一个)数, 使它们能构成一个比例式,则这个数是_________.分析:这是一道开放型试题,由于题中没有告知构成比例的各数顺序, 故应考虑各种可能位置.答案2.相似三角形的识别例2 (2004·昆明)如图,在△ABC 中,AC>AB,点D 在AC 边上(点D 不与A 、C 重合),若再增加上条件就能使△ABD ∽△ACB,则这个条件可以是_______.解析:由于所识别的两三角形隐含着一个公共角∠A,因此依照识别方法,只要再附加条件∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,或AD ABAB AC =即可. 答案:∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,AD ABAB AC=。

《图形的相似》中考常考考点专题(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学

《图形的相似》中考常考考点专题(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学

专题4.52 《图形的相似》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】相似图形相关概念及性质【考点一】比例的性质✮✮线段的比（2018·甘肃陇南·中考真题）1. 已知23a b =（a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（ ）A. 23a b = B. 2a =3b C. 32b a = D. 3a =2b （2020·安徽阜阳·二模）2. 某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（ ）A. 1：2000B. 1：200C. 200：1D. 2000：1【考点二】成比例线段✮✮黄金分割（2018·河北·模拟预测）3. 如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC OA =，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是（ ）A. 2B.C.D. 2（2022·福建莆田·一模）4. P 是线段AB 上一点（AP BP >），则满足=AP BP AB AP，则称点P 是线段AB 的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB 长度为10cm ，P 为AB 的黄金分割点（AP BP >），求叶柄BP 的长度．设cm BP x =，则符合题意的方程是（ ）A. ()21010x x -=B. ()21010x x =-C. ()21010x x -=D.()210110x x -=-【考点三】相似图形✮✮相似多边形（2021·四川成都·一模）5. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）A. B. C. D.（2020·河北衡水·一模）6. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对【考点四】相似多边形的性质（2022·山东淄博·二模）7. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. （2022·湖北省直辖县级单位·一模）8. 如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）A. 2：3B. 4：9C.D. 16：81【考点五】平行线分线段成比例（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）9. 如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB 的OA 边上一点，:1:2AC OC ，过C 作CD OB ∥交AB 于点D ，C 、D 两点纵坐标分别为1、3，则B 点的纵坐标为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7（2020·新疆·中考真题）10. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB ＝CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（ ）A. 10B. 5C.D. 【知识点二】相似三角形【考点一】相似三角形的判定（2022·浙江绍兴·二模）11. 如图，如果∠BAD ＝∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE 与△ABC 相似的是（ ）A. B ＝∠DB. ∠C ＝∠AEDC. AB AD ＝DE BCD. AB AD ＝AC AE （2022·山东东营·中考真题）12. 如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（ ）A. AD AE DB EC =B. DE DF BC FC =C. DE AE BC EC =D. EF AE BF AC=【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明（2021·山东济宁·中考真题）13. 如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（ ）A. 510 B. 1 C. 94 D. 4（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）14. 如图，点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点，射线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（ ）A. ED DF EA AB =B. DE EF BC FB =C. BC BF DE BE =D. BF BC BE AE=【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格（2016·江苏南京·一模）15. 如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 在y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与x 轴的交点D0），则点A 的坐标为（ ）A. （1，B. （2，C. （1）D. （，2）（2012·湖北荆门·中考真题）16. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A. B. C. D.【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题（2020·山东菏泽·一模）17. 如图，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延长线上的动点．若△DCE 和△ABC 相似，则线段CE 的长为（ ）A. 43 B. 23 C. 43或3 D. 23或4（2021·河北石家庄·九年级期中）18. 如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与 相似时的运动时间为（）ABCA. 3s或4.8sB. 3sC. 4.5sD. 4.5s或4.8s【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例（2022·湖北十堰·中考真题）19. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）A. 0.3cmB. 0.5cmC. 0.7cmD. 1cm（2020·山西·中考真题）20. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。

中考数学复习 图形的相似 专项复习练习题 含答案与部分解析

中考数学复习 图形的相似 专项复习练习题 含答案与部分解析

中考数学复习 图形的相似 专项复习练习1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 的反向延长线上，下面的比例式中，不能判断ED∥BC 的是( )A ．BA BD ＝CA CEB ．EA EC ＝DA DB C ．ED BC ＝EA AC D ．EA AD ＝AC AB 2. 矩形的两边长分别为a ，b ，下列数据能构成黄金矩形的是( ) A ．a ＝4，b ＝5＋2 B ．a ＝4，b ＝5－1 C ．a ＝2，b ＝5＋2 D ．a ＝2，b ＝5－1 3. 已知2x ＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( ) A.x y ＝32 B.x 3＝2y C.x y ＝23 D.x 2＝y 34. 如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ，AD ＝1，AC ＝2，△ADC 的面积为1，则△BCD 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．45. 已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1∶3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为( )A ．1∶1B ．1∶3C ．1∶6D ．1∶96. 如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为( )A ．4∶9B ．2∶5C ．2∶3 D.2∶ 37. 如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m ，则建筑物CD 的高是( )A ．9.3 mB ．10.5 mC ．12.4 mD ．14 m 8. 若a b ＝23，则a ＋b b＝ ．9．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝ ．10. 如图，已知△ABC 和△DEC 的面积相等，点E 在BC 边上，DE ∥AB 交AC 于点F ，AB ＝12，EF ＝9，则DF 的长是 ．11. 如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连结BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF ＝4，则下列结论：①AF FD ＝12；②S △BCE ＝36；③S △ABE ＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是12. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ；直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F.若AB BC ＝12，则DEEF＝13. 如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为_______．14. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于点D，AB＝8，AD＝5，AC＝6，则⊙O的半径长是__________．15. 如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A ′B ′O ，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是____________．16. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，∠AED ＝∠B，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DFCG.(1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若AD AC ＝12，求AFFG 的值．17. 如图，△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 上的点，AE ，CD 相交于点O.AD DB ＝23，BE EC ＝54，求AO OE 和DOOC的值．18. 如图，在Rt△ABC与Rt△ADC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝6，AD ＝2，问：当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？19. 如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1 km，AN＝1.8 km，AB＝54 m，BC＝45 m，AC＝ 30 m，求M，N两点之间的直线距离．20. 如图，▱ABCD的对角线相交于点O，点E在BC边的延长线上，且OE＝OB，连结DE.(1)求证：DE⊥BE;(2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE.答案与解析： 1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. A 7. B 8. 539. 210. 7 解析: ∵DE∥AB，∴△CFE ∽△CAB ，∴S △CFE S △CAB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EF AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9122＝916.∵△ABC 和△DEC 的面积相等，∴S △CFE S △CDE ＝916. 又△CFE，△CDE 在DE 边上的高相同，结合三角形的面积公式，得EF DE ＝916.∵EF＝9，∴DE ＝16，从而DF ＝DE －EF ＝16－9＝7. 11. ①②③ 12. 1213. 6 14. 4.8 15. (1，2)16. (1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE ＝∠CAB ，∴∠ADF ＝∠C ． 又∵AD AC ＝DFCG，∴△ADF ∽△ACG.(2)解：∵△ADF∽△ACG，∴AD AC ＝AF AG ＝12，∴AFFG＝1解析：(1)先利用∠AED＝∠B 和公共角相等，由内角和可得∠ADF＝∠C，再利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得△ADF∽△ACG； (2)利用上面证明的△ADF∽△ACG，得到对应边成比例，于是AD AC ＝AF AG ＝12，从而有AFFG＝1. 17. 解：过点E 作EG ∥CD 交AB 于点G ，则△BEG ∽△BCD ，∴BG GD ＝BE EC ＝54，∴BG ＋GD GD ＝5＋44，即BD GD ＝94.∴AD GD ＝23DBGD ＝23×94＝32.又∵△ADO ∽△AGE ，∴AO OE＝ADDG＝32.∴DOGE＝ADAG＝35，GEDC＝BEBC＝59，∴DOGE×GEDC＝35×59＝13，即DODC＝13.∴DOOC＝12.18. 解：在Rt△ADC中，∵AC＝6，AD＝2，∴CD＝AC2－AD2＝ 2.要使这两个三角形相似，有ACAD＝ABAC或ACCD＝ABAC.∴AB＝AC2AD＝（6）22＝3，或AB＝AC2CD＝（6）22＝3 2.故当AB的长为3或32时，这两个直角三角形相似．19. 解：连结MN，1 km＝1 000 m，1.8 km＝1 800 m，∵ACAM＝301 000＝3100，ABAN＝541 800＝3100，∴ACAM＝ABAN.又∠BAC＝∠NAM，∴△BAC∽△NAM，∴BCMN＝3100，即45MN＝3100.∴MN＝1 500，∴M ，N 两点之间的直线距离为1 500 m.解析：先根据相似三角形的判定得出△ABC 与△ANM 相似，再利用相似三角形的性质解答即可．20. (1) 证明：∵OB＝OE ，∴∠OEB ＝∠OBE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ．∴OD＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE.在△BED 中，∠OEB ＋∠OBE＋∠ODE＋∠OED＝180°，∴2(∠OEB＋∠OED)＝180°，∴∠OEB ＋∠OED＝90°，即∠BED＝90°，∴DE ⊥BE.(2) 证明：如图，设OE 交CD 于点H. ∵OE⊥CD，∴∠CHE ＝90°，∴∠CEH ＋∠HCE ＝90°.∵∠CED ＝90°，∴∠CDE ＋∠DCE＝90°，∴∠CDE ＝∠CEH.∵∠OEB＝∠OBE，∴∠OBE ＝∠CDE.在△CED 与△DEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠CED＝∠DEB，∠CDE ＝∠DBE，∴△CED ∽△DEB ．∴CE DE ＝CD DB，∴BD ·CE ＝CD·DE.。

中考数学专题复习卷：图形的相似(含解析)

中考数学专题复习卷：图形的相似(含解析)

图形的相像一、选择题1.已知，以下变形错误的选项）是（A. B. C. D.【答案】 B【分析】由得，3a=2b，A. 由得，所以变形正确，故不切合题意；B. 由得3a=2b，所以变形错误，故切合题意；C. 由可得，所以变形正确，故不切合题意；D.3a=2b 变形正确，故不切合题意.故答案为： B.【剖析】依据已知比率式可得出3a=2b，再依据比率的基天性质对各选项逐个判断即可。

2.如图，已知直线a∥ b∥ c，直线m 分别交直线a、b、c 于点A,B,C ，直线n 分别交直线a、b、c 于点D,E,F,若,,则的值应当（）A. 等于B. 大于C. 小于D. 不可以确立【答案】 B【分析】：如图，过点 A 作 AN ∥DF，交 BE 于点 M，交 CF 于点 N∵a∥ b∥ c∴ AD=ME=NF=4 （平行线中的平行线段相等）∵AC=AB+BC=2+4=6∴设 MB=x ，CN=3x∴BE=x+4 ， CF=3x+4∵∵ x＞ 0∴故答案为：B【剖析】过点 A 作AN ∥DF ，交BE于点M，交CF 于点N，依据已知及平行线中的平行线段相等，可得出AD=ME=NF=4，再依据平行线分线段成比率得出BM和CN的关系，设MB=x， CN=3x ，分别表示出BE 、CF ，再求出它们的比，利用求差法比较大小，即可求解。

3.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为 A （ 6， 8）， B（ 10，2），若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为本来的后获得线段CD ，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A. （5，1）B. （ 4，3）C. （3， 4）D. （1，5）【答案】C【分析】：∵以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB减小为本来的后获得线段CD，∴端点 C 的横坐标和纵坐标都变成 A 点的横坐标和纵坐标的一半，又∵ A （6， 8），∴端点 C 的坐标为（ 3， 4）．故答案为： C．【剖析】依据位似图形的性质，位似图形上一个点的坐标等于原图形上对应点的横纵坐标分别乘以位似比，或位似比的相反数。

中考数学《图形的相似》专题练习含真题分类汇编解析

中考数学《图形的相似》专题练习含真题分类汇编解析

中考数学专题练习《图形的相似》(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)A.2 000 cmB.2 000 mC.320 cmD.320 m2.若△ABC ∆的每条边长增加各自的2 0 得到'''A B C ∆，则'B ∠的度数与其对应角B ∠的度数相比( ) A.增加了20 B.减少了20 C.增加了(1 +20 ) D.没有改变3.已知如图1所示的两个四边形相似.则α∠的度数是( )A.60ºB.75ºC.87 ºD.120º4.如图2，已知ABCDEF ∆∆，:1:2AB DE =，则下列等式一定成立的是( )A.12ABC DEF ∆=∆的周长的周长 B. 12ABC DEF ∆=∆的面积的面积C.12A D ∠=∠的度数的度数 D. 12BC DF =5如图3，在钝角ABC ∆中，6AB =cm ，12AC =cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从点C 出发到A 点止，点D 的运动速度为1 cm/s ，点E 的运动速度为2 cm/s.如果,D E 两点同时出发，那么当以点,,A D E 为顶点的三角形与ABC ∆相似时，运动的时间是( )A.3 sB.4.5 sC.3 s 或4.8 sD.4.5 s 或4.8 s6.如图4，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点,G E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD .若90BFA ∠=︒，则下列四对三角形:①BEA ∆与ACD ∆;②FED ∆与DEB ∆;③CFD ∆与ABC ∆;④ADF ∆与CFB ∆.其中相似的有( )A.1对B.2对C.3对D.4对二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)7.已知两个相似多边形的面积之比是1:9，其周长之差为12，则面积较大的多边形的周长为 .8.如图5，路灯距离地面8米，身高为1.6米的小明(AB )站在距离灯的底部(点O )20米的A 处，则小明的影子AM 的长为 米.9.如图6，在ABC ∆中，已知艺40A ∠=︒，75B ∠=︒，则图中所示的各个三角形与ABC ∆不相似的是 .10.如图7，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心是点O ，32OE EA =，则FGBC= .11.在ABC ∆中，6AB =，8AC =，在DEF ∆中，4DE =，3DF =，要使ABC ∆与DEF ∆相似，需添加的一个条件是 (写出一种情况即可).12.如图8，小明为了测量一个凉亭的高度AB (顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE (0.5DE BC ==米，A ，B ，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得15CG =米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得3EG =米，小明的身高为1.6米，则凉亭的高度AB 为 米.图813.如图9，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F .若5CD =，8BC =，2AE =，则DF = .14.在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为(2,3)C ，(1,0)D ，现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且3OB =，则点C 的对应点A 的坐标为 .15.如图10，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，在Rt MPN ∆中，90MPN ∠=︒，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当2PE PF =时，:AP PC = .三、解答题(本大题共9小题，共75分)16. ( 8分)(1)如图111，连接三角形三边的中点把任意三角形分成四个小三角形，它们的形状、大小完全相同，并且与原三角形相似.请把图11中的②，③，④同样分成四块，使它们形状、大小相同，且都和原图形相似.(注:图11②为正方形，图11③为矩形，图11④为菱形)(2)如图12，ABC ∆与'''A B C ∆是位似图形，请在图中画出位似中心口.若它们的位似比是1:2，且''4A B =cm ，则'''A B C ∆与ABC ∆的位似比是多少?AB 的长度是多少?17.(8分)如图13，已知////a b c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .(1)若3AB =，5BC =，4DE =，求EF 的长. (2)若:2:5AB BC =，10DF =，求EF 的长.18.(8分)如图14，在正方形网格中，TAB ∆的顶点坐标分别为(1,1)T ，(2,3)A ，(4,2)B .(1)以点(1,1)T 为位似中心，按3:1的比例在位似中心的同侧将TAB ∆放大为''TA B ∆，放大后点A ，B 的对应点分别为'A ，'B ，画出''TA B ∆，并写出点'A ，'B 的坐标.(2)在(1)中，若'(,)C a b 为线段''A B 上任一点，请写出点'C 变化前的对应点C 的坐标.19.(8分)如图15，已知弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P (P 与O 不重合)，连接AC ，BD ，过A 作AE CP ⊥于E ，过D 作DF PB ⊥于F .(1)请找出图中两对相似三角形: ， .(2)请你从图中选择一对相似三角形来探索PA PB 与PC PD 之间的关系.20. ( 8分)如图16，在ABC ∆中，AC BC >，D 是AC 边上一点，连接BD .(1)要使CBD CAB ∆∆，还需要补充一个条件，请分别从角和边两个方面各写出一个可以添加的条件.(2)若CBDCAB ∆∆，且2AD =，BC =，求CD 的长.21. (8分)如图17，有一块三角形铁片ABC ，12BC =cm ，高8AD =cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的长边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，且要求矩形的长QN 是宽QP 的2倍.(1)求加工成的矩形铁片的长与宽.(2)求ANQ ∆的面积.22. ( 8分)如图18，在矩形ABCD 中，2AB =，5AD =，直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时(点P 与A ，D 不重合)，一条直角边经过点C ，另一条直角边与AB 交于点E . (1)当30CPD ∠=︒时，求AP 和AE 的长.(2)是否存在这样的点P ，使DPC ∆的面积等于AEP ∆面积的4倍?若存在，求出DP 的长，并说明点E 的位置;若不存在.请说明理由.23.(9分)如图19，在四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，90ADC ACB ∠=∠=︒，E 为AB 的中点.(1)求证:2AC AB AD =.(2)求证://CE AD . (3)若4AD =，6AB =，求ACAF的值.24.(10分)已知在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线的顶点为(1,4)A --，且经过点(2,3)B --，与x 轴分别交于C ，D 两点.(1)求直线OB 和该抛物线相应的函数表达式.(2)如图20，点M 是抛物线上的一个动点，且在直线OB 的下方，过点M 作x 轴的平行线与直线OB 交于点N ，求MN 的最大值.(3)如图21，过点A 的直线交x 轴于点E ，且//AE y 轴，点P 是抛物线上A ，D 之间的一个动点，直线PC ，PD 与AE 分别交于F ，G ，当点P 运动时EF EG +是否为定值?若是，试求出该定值;若不是，请说明理由。

2023年中考数学二轮复习之图形的相似(含解析)

2023年中考数学二轮复习之图形的相似(含解析)

2023年中考数学二轮复习之图形的相似一．选择题（共10小题）1．（2022秋•镇海区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为（ ）A．2B．4C．9D．102．（2022秋•余姚市期末）已知线段a＝3，b＝12，则a，b的比例中项线段等于（ ）A．2B．4C．6D．93．（2022秋•紫金县期末）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，相似比是2：3，则△ABC 与△A1B1C1的面积比是（ ）A．2：3B．3：2C．4：9D．9：44．（2022秋•永春县期末）若，则的值为（ ）A．B．﹣C．D．5．（2022秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）A．B．C．D．6．（2022秋•万州区期末）如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为△A′B′C′，边A′B′刚好经过边BC的中点D，已知△ABC的面积为16，则阴影部分△A′DC的面积为（ ）A．8B．6C．5D．47．（2022秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F，则下列结论中错误的是（ ）A．△AFE∽△DFC B．AD＝AF C．DA平分∠BDE D．∠CDF＝∠BAD 8．（2022秋•龙华区校级期末）如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列条件后不能判定△ADB与△ABC相似的是（ ）A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．D．9．（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1＝∠B．当EA＝ED时，则BD的长为（ ）A ．2B ．C ．3D ．10．（2022秋•叙州区期末）数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长BA 为20米（如图），然后在A 处树立一根高3米的标杆，测得标杆的影长AC 为4米，则楼高为（ ）A ．10米B ．12米C ．15米D ．25米二．填空题（共8小题）11．（2022秋•榕城区期末）如图，l 1∥l 2∥l 3，BC ＝2cm ，＝3，则AB 的长为 ．12．（2022秋•扶风县期末）如图，点P 把线段AB 的黄金分割点，且AP ＜BP ．如果AB ＝2，那么BP ＝ （结果保留小数）．13．（2022秋•扶风县期末）已知线段a ＝2，b ＝8，则线段a 和b 的比例中项为 ．14．（2022秋•东湖区校级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ：EB ＝1：3，若S △AEF ＝1，则△ADF 的面积为 ．15．（2022秋•永春县期末）如图，AB ∥CD ∥EF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，C ，E 和点B ，D ，F ．已知AC ＝3，AE ＝7，DF ＝5，则BF 的长为 ．16．（2022秋•叙州区期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G在线段AC上，DE∥FG ∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，如果EG＝3，那么AC的长为 ．17．（2022秋•镇海区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过E作EF⊥DE，交AB边于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．（1）当CE＝4时，则EF的长＝ ．（2）点H在DC上，且HD＝1，连接HG，则HG长的最小值是 ．18．（2022秋•西湖区校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则AF：FD＝ ，S△BFD：S△ABC＝ ．三．解答题（共2小题）19．（2022秋•余姚市期末）计算：（1）cos45°+3tan30°﹣2sin60°；（2）已知，求的值．20．（2022秋•未央区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点都在正方形网格顶点上．以原点O为位似中心，相似比为1：2，在y轴的右侧，画出将△ABO放大后得到的△A1B1O．2023年中考数学二轮复习之图形的相似参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2022秋•镇海区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为（ ）A．2B．4C．9D．10【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式可得出答案．【解答】解：∵AD：AF＝3：5，∴，∵AB∥CD∥EF，∴，∴，故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例，准确找到对应线段是解题的关键．2．（2022秋•余姚市期末）已知线段a＝3，b＝12，则a，b的比例中项线段等于（ ）A．2B．4C．6D．9【考点】比例线段．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】利用比例中项的平方等于两外项的乘积，进行计算即可．【解答】解：设a，b的比例中项线段为c，则：c2＝ab＝3×12＝36，∵c＞0，∴c＝6．故选：C．【点评】本题考查的是比例线段．熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积是解题的关键．3．（2022秋•紫金县期末）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，相似比是2：3，则△ABC 与△A1B1C1的面积比是（ ）A．2：3B．3：2C．4：9D．9：4【考点】位似变换．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是2：3，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为4：9．故选：C．【点评】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．4．（2022秋•永春县期末）若，则的值为（ ）A．B．﹣C．D．【考点】比例的性质．【专题】分式；运算能力．【分析】根据比例的性质进行解答．【解答】解：由，设a＝3x，b＝5x，把a＝3x，b＝5x代入故选：B．【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．5．（2022秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；运算能力．【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵DE∥BC，，∴△ADE∽△ABC，，∴，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方这一知识点，熟知这条知识点是解题的关键．6．（2022秋•万州区期末）如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为△A′B′C′，边A′B′刚好经过边BC的中点D，已知△ABC的面积为16，则阴影部分△A′DC的面积为（ ）A．8B．6C．5D．4【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平移的性质．【专题】图形的相似；运算能力．【分析】根据线段的中点定义可得CD＝BC，再根据平移的性质可得：AB∥A′B′，从而可得∠B＝∠A′DC，∠A＝∠DA′C，进而可得△ABC∽△A′DC，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵点D是BC的中点，∴CD＝BC，由平移得：AB∥A′B′，∴∠B＝∠A′DC，∠A＝∠DA′C，∴△ABC∽△A′DC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ABC的面积为16，∴△A′DC的面积＝△ABC的面积＝4，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平移的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2022秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F，则下列结论中错误的是（ ）A．△AFE∽△DFC B．AD＝AF C．DA平分∠BDE D．∠CDF＝∠BAD 【考点】相似三角形的判定；旋转的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据旋转得到∠B＝∠ADE，AB＝AD，推出∠B＝∠ADB，即可判断C；利用两个角对应相等的两个三角形相似判断A；利用相似三角形的性质判断D；没有条件证得B正确，即可得到答案．【解答】解：∵将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，∴∠B＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE，∴DA平分∠BDE，故C正确；∵∠AFE＝∠CFD，∠E＝∠C，∴△AFE∽△DFC，故A正确；∴∠CDF＝∠CAE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠CDF＝∠BAD，故D正确；没有条件证明∠ADF＝∠AFD，即不能判断AD＝AF．故选：B．【点评】此题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟记各定理是解题的关键．8．（2022秋•龙华区校级期末）如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列条件后不能判定△ADB与△ABC相似的是（ ）A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得C正确，继而求得答案．【解答】解：∵∠A是公共角，∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意；当时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C正确，不符合题意；当时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．9．（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1＝∠B．当EA＝ED时，则BD的长为（ ）A．2B．C．3D．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】图形的相似；运算能力．【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠1，再利用等量代换可得∠EAD＝∠B，然后利用两角相等的两个三角形的相似证明△CAD∽△CBA，从而利用相似三角形的性质可求出CD的长，进而求出BD的长．【解答】解：∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠1，∵∠1＝∠B，∴∠EAD＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2022秋•叙州区期末）数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长BA为20米（如图），然后在A处树立一根高3米的标杆，测得标杆的影长AC为4米，则楼高为（ ）A．10米B．12米C．15米D．25米【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：∵＝，即＝，∴楼高＝15米．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•榕城区期末）如图，l1∥l2∥l3，BC＝2cm，＝3，则AB的长为　4cm　．【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【分析】由平行线分线段成比例，可得比例式：，代入值，利用线段间的关系，直接求解．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵BC＝2cm，，∴，∴AB＝4cm，故答案为：4cm．【点评】本题主要是考查了平行线分线段成比例，正确找到对应边长的比例式，是求解这类问题的关键．12．（2022秋•扶风县期末）如图，点P把线段AB的黄金分割点，且AP＜BP．如果AB＝2，那么BP＝　1.2　（结果保留小数）．【考点】黄金分割．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【分析】由黄金分割的定义得，即可得出答案．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），∴，∴，故答案为：1.2．【点评】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．13．（2022秋•扶风县期末）已知线段a＝2，b＝8，则线段a和b的比例中项为　4　．【考点】比例线段．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【分析】根据比例中项的定义得到c2＝ab，然后利用算术平方根的定义求c的值．【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c＝4（负值舍去）．故答案为：4．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．14．（2022秋•东湖区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：3，若S△AEF ＝1，则△ADF的面积为　4　．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据题意可得：△AFE∽△CFD，根据相似的性质可得：S△AFE：S△CFD＝1：16，且S△AEF＝1，而S△ADF：S△CFD＝1：4，即可求得△ADF的面积为4．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：3，∴AE：CD＝1：4，∵∠FAE＝∠FCD，∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴AF：CF＝AE：CD＝1：4，∴S△AFE：S△CFD＝1：16，且S△AEF＝1，∴S△CFD＝16，∵AF：CF＝1：4，∴S△ADF：S△CFD＝1：4，∴S△ADF＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了利用相似比求面积，理解相似比的特征是解决本题的关键．15．（2022秋•永春县期末）如图，AB∥CD∥EF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，C，E和点B，D，F．已知AC＝3，AE＝7，DF＝5，则BF的长为 ．【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【分析】求出CE＝4，再由平行线分线段成比例定理得＝，即可得出结论．【解答】解：∵AC＝3，AE＝7，∴CE＝AE﹣AC＝7﹣3＝4，∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，解得：BF＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．16．（2022秋•叙州区期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G在线段AC上，DE∥FG ∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，如果EG＝3，那么AC的长为　9　．【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【分析】由平行线分线段成比例定理得＝＝，＝＝，得出AE、CG的长，即可得出结论．【解答】解：∵DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，EG＝3，∴＝＝，＝＝，∴AE＝EG＝2，CG＝EG＝4，∴AC＝AE+EG+CG＝2+3+4＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．17．（2022秋•镇海区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过E作EF⊥DE，交AB边于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．（1）当CE＝4时，则EF的长＝ ．（2）点H在DC上，且HD＝1，连接HG，则HG长的最小值是　4.4　．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．【分析】（1）过E作EM⊥DC于M，延长ME交AB于N，证明△CEM～△CAD和△DME～△ENF，根据相似三角形的性质可求解；（2）连结AG并延长交CD的延长线与L，分别证明△ANE～△ABC和△CDE～△ADG，根据相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）过E作EM⊥DC于M，延长ME交AB于N，则△CEM∽△CAD，∴＝＝，∴ME＝，CM＝，∴DM＝，EN＝，在Rt△DME中，DE＝，∵∠DME+∠EDM＝90°，∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，又∠DEM＝∠FNE，∴△DME∽△ENF，∴＝，∴EF＝，故答案为：；（2）连结AG并延长交CD的延长线与L，∵△DME∽△ENF，∴，∵△ANE∽△ABC，∴，∴，∴，∵∠CDE＝∠ADG，∴△CDE∽△ADG，∴∠DCA＝∠DAL，∴tan∠DCA＝tan∠DAL＝，∴当HG⊥AL时，HG最小，S△ALH＝AD•HL＝GH•AL，∵AD＝6，DL＝，LH＝，AL＝，∴HG＝＝，故答案为：4.4．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三形的判定和性质等知识是解题的关键．18．（2022秋•西湖区校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则AF：FD＝　3：2　，S△BFD：S△ABC＝　2：15　．【考点】平行线分线段成比例；三角形的面积．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；推理能力．【分析】连接ED．先根据已知条件证明△CDE∽△CBA，推出，DE∥BA，再证明△EDF∽△BAF，利用相似三角形的性质得出，最后通过等高三角形的面积比等于底长之比即可求解．【解答】解：如图所示，连接ED，∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴，，∵∠DCE＝∠BCA，∴△CDE∽△CBA，∴，∠EDC＝∠ABC，∴DE∥BA，∴∠EDF＝∠BAF，∠FED＝∠FBA，∴△EDF∽△BAF，∴，∴，∴，∵CD＝2BD，∴，∴，故答案为：3：2，2：15．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的性质，相似三角形的判定与性质，等高三角形的面积比等于底长之比是解题的关键．三．解答题（共2小题）19．（2022秋•余姚市期末）计算：（1）cos45°+3tan30°﹣2sin60°；（2）已知，求的值．【考点】比例的性质；特殊角的三角函数值．【专题】三角形；解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值代入计算即可．（2）变形得y＝2x，代入化简计算即可．【解答】解：（1）cos45°+3tan30°﹣2sin60°＝＝＝．（2）根据题意得y＝2x，故．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，条件求值，熟记三角函数值，掌握消元变形代入计算的技能是解题的关键．20．（2022秋•未央区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点都在正方形网格顶点上．以原点O为位似中心，相似比为1：2，在y轴的右侧，画出将△ABO放大后得到的△A1B1O．【考点】作图﹣位似变换．【专题】图形的相似；几何直观．【分析】根据位似图变换的定义和性质作出点A和点B的对应点，再与点O顺次连接即可得到答案．【解答】解：如图，△OA1B1即为所求．．【点评】本题考查了作图—位似变换，熟练掌握位似变换的定义和性质是解题关键．考点卡片1．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．2．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．3．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．4．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．5．平移的性质（1）平移的条件平移的方向、平移的距离（2）平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．6．旋转的性质（1）旋转的性质： ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．7．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．②合比性质．若＝，则＝．③分比性质．若＝，则＝．④合分比性质．若＝，则＝．⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．8．比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．9．黄金分割（1）黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．10．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．11．相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．12．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．13．相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．14．位似变换（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．15．作图-位似变换（1）画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．16．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》检测(含答案解析)(2)

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》检测(含答案解析)(2)

一、选择题1．如图，A B C '''是ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若A B C '''与ABC 的周长比是2:3，则它们的面积比为（ ）A ．2:3B ．4:5C ．2:3D ．4:92．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP PB >，则:AP PB 的值为（ ） A ．512- B ．512+ C ．0.618 D ．51- 3．如图，ABC 的两个顶点B 、C 均在第一象限，以点()0,1A 为位似中心，在y 轴左侧作ABC 的位似图形ADE ，ABC 与ADE 的位似比为1：2若点C 的纵坐标是m ，则其对应点E 的纵坐标是（ ）A ．32m -+B ．23m +C ．()23m -+D ．23m -+ 4．如图，已知,//,//ABC DF BC DE AC △，四边形DECF 的面积为12,若DE 经过ABC 的重心，则ABC 的面积为（ ）A ．25B ．26C ．27D ．285．如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，:4:25DEF ABF S S =，则:DE AB 的值是（ ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：26．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG 、GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足512MG GN MN MG -==，后人把512-这个数称为“黄金分割数”，把点G 称为线段MN 的“黄金分割点”．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若点D 是边BC 边上的一个“黄金分割点”，则△ADC 的面积为（ ）A ．55-B ．355-C ．2085-D ．1045- 7．如图，菱形ABCD ∽菱形AEFG ，菱形AEFG 的顶点G 在菱形ABCD 的BC 边上运动，GF 与AB 相交于点H ，∠E ＝60°，若CG ＝3，AH ＝7，则菱形ABCD 的边长为（ ）A ．8B ．9C ．83D ．938．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为13，∠OCD=120°，CO=CD ，若B （2，0），则点C 的坐标为（ ）A ．（2，33） B ．（33） C ．（3，32） D ．（233）9．下列各组图形中，一定相似的是（ ）A ．两个等腰三角形B ．两个等边三角形C ．两个平行四边形D ．两个菱形10．如图，在ABC 中，点D 在AC 边上，连接,BD 点E 在BD 边上，过点E 作//,EF AC 交AB 于点F ，过点F 作//FG BC ，交AC 于点,G 则下列式子一定正确的是（ ）A ．BF EF AF AD =B ．EF FG AD BC = C ．CG DE AC BD = D ．AG DE CG BE = 11．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ．下列比例式中，正确的是（ ）A ．AD DE BD BC =B ．DF DE AC BC = C ．AD DE AB BC = D ．AE BF EC FC = 12．如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（ ）A ．DAC ABC ∠=∠B ．CA 是BCD ∠的平分线C ．AD DC AB AC= D ．2AC BC CD =⋅ 二、填空题13．如图，在ABC ∆中，点111,,A B C 分别是,,AC BC AB 的中点，连接1111,AC A B ，四边形111A B BC 的面积记作1S ；点222,,A B C 分别是1111,,A C B C A B 的中点，连接2222,A C A B ，四边形2212A B B C 的面积记作2S …，按此规律进行下去，若ABC S a ∆=，则3S =__________；n S =__________．（n 为正整数）14．若ABC DEF ∽△△，且相似比为2:1，ABC 的面积为20，则DEF 的面积为______．15．已知2a c e b d f===，且0b d f ++≠，若12a c e ++=，则b d f ++=__________．16．如图所示，在ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，已知FC 长是6，则线段OC 的长为______．17．如图，在ABC 与AEF 中，AB AE =，BC EF =，B E ∠=∠，AB 交EF 于点D ，给出下列结论．①AFC C ∠=∠；②DF CF =；③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．18．在平面直角坐标系中，ABC 与DEF 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，相似比为1:2；若B 点的坐标为(2,1)，则B 的对应点E 的坐标为________．19．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ．（1）FD AF=__________； （2）若AEF 的面积为4，则平行四边形ABCD 的面积为__________．20．如图，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 到墙距离BC 是1.6米梯上的点D 到墙距离DE 是1.4米，BD 的长是0.55米，则梯子的长为__________米．三、解答题21．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数+6y x =-的图象1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点(),5C m（1）求m 的值及2l 的解析式；（2）求AOC S 的值；（3）垂直于x 轴的直线x a =与直线12,l l 分别交于点,P Q ，若线段2PQ =，求a 的值； （4）一次函数64y kx k =-+的图象与线段AB （含端点）有公共点，且满足y 随x 的增大而减小，设直线与x 轴的交点横坐标为,x 直接写出x 的取值范围．22．如图，已知ADB A C ∠=∠+∠．（1）求证：CBD CAB ；（2）若1,2CD AD ==，求CB 的长．23．如图，在△ABC 中，∠C =∠ADE ，AB =3，AD =2，CE =5，求证：（1）△ADE ∽△ACB ；（2）求AE 的长．24．已知，AD 为ABC 的中线，AE 是ABD △的中线，AB BD =．（1）判断ABE △与CBA △是否相似，并说明理由；（2）求证：2AC AE =．25．如图，在△ABC 中，DE//AC ，EF//AB ．（1）求证：△BDE ∽△EFC ．（2）若23BD AD =，且△BDE 的面积是5，求△EFC 的面积． 26．如图，点D 在ABC 的边AB 上，2AC AD AB =⋅，求证：ACD ABC △∽△．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用位似是相似的特殊形式，利用相似的性质可知对应边A′B′与AB 之比等于△A′B′C′的周长与△ABC 的周长之比为2：3，再根据面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：∵△A'B'C'是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，△A'B'C'的周长与△ABC的周长比是2：3，∴A B C '''∽ABC ，23A B AB ''=， ∴222439A B C ABC A S B S B A '''⎛''⎛⎫== ⎪⎝⎫= ⎪⎝⎭⎭． 故选：D ．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据黄金分割比求出AP ，PB 计算即可；【详解】∵点P 是线段AB 的黄金分割点，AP PB >， ∴AP AB =令AB x =， ∴12AP x -=，35PB x x x -=-=， ∴112AP PB +==； 故答案选B ．【点睛】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键．3．D解析：D【分析】设点C 的纵坐标为m ，然后表示出AC 、EA 的纵坐标的距离，再根据位似比列式计算即可；【详解】设点C 的纵坐标为m ，则A 、C 间的纵坐标的长度为()1m -，∵△ABC 放大到原来的2倍得到△ADE ，∴E 、A 间的纵坐标的长度为()21m -,∴点E 的纵坐标为()()2112323m m m ⎡⎤---=--=-+⎣⎦；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了位似变换，坐标与图形的性质，准确分析计算是解题的关键． 4．C解析：C【分析】设重心为G ，则2BG GH =，根据三角形相似的判定与性质可得49BDE ABC S S =，19ADF ABC S S =，列出方程组并求解即可． 【详解】 解：∵DE 经过ABC 的重心，设重心为G ，则2BG GH=，∵//,//DF BC DE AC ， ∴△BDE ∽△BAC ，△ADF ∽△ABC ， ∴23DE BG BD AC BH AB ===， ∴13AD AB =， ∴49BDE ABC S S =，19ADF ABC S S =， ∴45BDE ADF DECF S S S =+，18ADF BDE DECF S S S =+， ∴41251128BDE ADF ADF BEDS S S S ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩， 解得12BDE S =，3ADF S =，∴27△ABC S =，故选：C ．【点睛】本题考查重心的性质、相似三角形的判定与性质，得到面积的比例关系是解题的关键． 5．A解析：A【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，∴2:(:)DEF ABF S S DE AB =△△,∵:4:25DEF ABF S S =∴:DE AB =2：5,故选A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，三角形相似的判定方法和性质是解题的关键．6．A解析：A【分析】作AF ⊥BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出CD 的长度，利用三角形面积公式即可解题．【详解】解：过点A 作AF ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BF=12BC=2， 在Rt ABF ，2222325AB BF -=-=∵D 是边BC 的两个“黄金分割”点， ∴51CD BC -=即514CD -=， 解得CD=252， ∴12ADC C AF S D ⨯⨯==()125252⨯55， 故选：A ．【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DC 和AF 的长是解题的关键．7．B解析：B【分析】连接AC ，首先证明△ABC 是等边三角形，再证明△BGH ∽△CAG ，推出BG BH AC CG=，由此构建方程即可解决问题．【详解】解：连接AC ．∵菱形ABCD ∽菱形AEFG ，∴∠B ＝∠E ＝∠AGF ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，设AB ＝BC ＝AC ＝a ，则BH ＝a ﹣7，BG ＝a ﹣3，∵∠AGB ＝∠AGH +∠BGH ＝∠ACG +∠CAG ，∠AGH ＝∠ACG ＝60°，∴∠BGH ＝∠CAG ，∵∠B ＝∠ACG ，∴△BGH ∽△CAG ，∴BG BH AC CG =， ∴373a a a --=， ∴a 2﹣10a +9＝0，∴a＝9或1（舍去），∴AB＝9，故选：B．【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，连接AC证明△ABC是等边三角形是解题的关键．8．B解析：B【分析】作AE⊥OB于E，根据等腰三角形的性质求出∠COD＝∠CDO＝30°，利用直角三角形的性质与等腰三角形的性质可求出点A的坐标，最后利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k即可求出点C的坐标．【详解】解：作AE⊥OB于E，∵∠OCD＝120°，CO＝CD，B（2，0），∴∠COD＝∠CDO＝30°，OB＝2，∴AE＝12OA，∵△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，∴AO＝AB，∴OE＝12AB＝1，∴OA2－AE2＝OE2，即3AE2＝1，解得AE＝33，∴点A的坐标为：（1，33），∵△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3，∴点C的坐标为（33故选：B．【点睛】本题考查了位似变换、直角三角形的性质等知识，掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的性质是解题的关键．9．B【分析】根据相似图形的概念进行判断即可；【详解】任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故A 错误；任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，故B 正确；任意两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，故C 错误；任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故D 错误； 故答案选B ．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义判断，准确理解是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据平行线分线段成比例的性质对选项逐一判断即可.【详解】A ．∵//EF AC ，∴根据平行线分线段成比例的性质得EF BF AD AB =，∵AF AB ≠，∴A 选项错误；B ．∵//EF AC ，∴根据平行线分线段成比例的性质得EF BF AD AB =，同理//BC FG ，∴根据平行线分线段成比例的性质得FG AF BC AB=，∵AF BF AB AB ≠，∴B 选项错误； C ．∵//EF AC ，∴根据平行线分线段成比例的性质得DE AF BD AB=，同理//BC FG ，∴根据平行线分线段成比例的性质得CG BF AC AB =，∵AF BF AB AB≠，∴C 选项错误； D ．∵//EF AC ，∴根据平行线分线段成比例的性质得DE AF BE BF=，同理//BC FG ，∴根据平行线分线段成比例的性质得AG AF CG BF =，∴DE AG AF BE CG BF==，∴D 选项正确； 故选D.【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的比例性质，解题的关键是通过平行线找到对应的线段比例关系.11．C解析：C利用平行线分线段成比例以及相似三角形的性质一一判断即可．【详解】解： ∵DE ∥BC ，∴ADE ABC △△∽， ∴AD DE AB BC=，故选项A 错误，选项C 正确， ∵DF ∥AC ， ∴BDF BAC △∽△， ∴BD DF AB AC =， ∴DF DE AC BC≠，故选项B 错误， ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴AD AE BD EC =，AD FC BD BF =， ∴AE FC EC BF=，故选项D 错误， ∴故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握相关知识点并能准确判断对应的比例线段．12．D解析：D【分析】已知∠ADC ＝∠BAC ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC 和△BAC 中，∠ADC ＝∠BAC ，如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：①∠DAC ＝∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线； ②AD DC AB AC=； 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．二、填空题13．【分析】根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质可求出S1的值进而可得出S2的值找出规律即可求值【详解】解：∵是的中位线∴∴∴同理∴；同理可得∴故答案为：；【点睛】本题考查的是相似三角形的性质 解析：a 32 212n a - 【分析】 根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质可求出S 1的值，进而可得出S 2的值，找出规律即可求值．【详解】解：∵1111,AC A B 是ABC ∆的中位线， ∴11111,//2AC BC AC BC =， ∴11AC A ABC ∆∆， ∴111144AC A ABC S S a ∆∆==，同理111144A CB ABC S S a ∆∆==， ∴1111442S a a a a =--=； 同理可得，2335,,2232a a a S S ===， ∴212n n aS -=． 故答案为：a 32；212n a - 【点睛】 本题考查的是相似三角形的性质及三角形中位线定理，正确得出面积变化规律是解答此题的关键．14．5【分析】根据相似三角形的性质计算即可；【详解】∵相似比为2:1∴∵的面积为20∴故答案是5【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质准确分析计算是解题的关键解析：5【分析】根据相似三角形的性质计算即可；【详解】∵ABC DEF ∽△△，相似比为2:1，∴△ABC △:4:1DEF S S =，∵ABC 的面积为20，∴△2045DEF S =÷=，故答案是5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，准确分析计算是解题的关键．15．6【分析】根据题意可以得到a=2bc=2de=2f 又因为a+c+e=12即可求得b+d+f 的值；【详解】∵∴a=2bc=2de=2f ∵a+c+e=12∴b+d+f==6故答案为：6【点睛】本题考查了解析：6【分析】根据题意可以得到a=2b ，c=2d ，e=2f ，又因为a+c+e=12，即可求得b+d+f 的值；【详解】∵ 2a c e b d f=== ， ∴ a=2b ，c=2d ，e=2f ，∵a+c+e=12，∴ b+d+f=()12a c e ++ =6， 故答案为：6．【点睛】 本题考查了比例的性质的问题，正确掌握知识点是解题的关键．16．4【分析】根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFO ∽△BCO 根据相似比可求得CO 的长即可【详解】解：∵点EF 分别是△ABC 中ACAB 边的中点∴EF 是△ABC 的中位线∴EF=BCEF ∥BC ∴△EFO解析：4【分析】根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFO ∽△BCO ，根据相似比可求得CO 的长即可．【详解】解：∵点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点．∴EF 是△ABC 的中位线．∴EF=12BC ，EF ∥BC ． ∴△EFO ∽△BCO ，且相似比为1：2．∴CO=2FO ．∵FC =6．∴OC=2FO=4．故答案为4．【点睛】此题主要考查三角形的中位线的定理和相似三角形的判定方法的掌握．17．①③④【分析】根据SAS 推出△AEF ≌△ABC 推出AF ＝AC 根据等边对等角推出即可①正确；不正确采用反证法假设可以证明△ACF ≌△AFD 即可证明∠DAF=∠CAF 由题意无法得出此结论判断②错误；根据解析：①③④【分析】根据SAS 推出△AEF ≌△ABC ，推出AF ＝AC ，根据等边对等角推出即可①正确；DF CF =不正确，采用反证法，假设DF CF =，可以证明△ACF ≌△AFD ，即可证明∠DAF=∠CAF ，由题意无法得出此结论，判断②错误；根据∠E ＝∠B ，∠EDA ＝∠BDF ，推出△ADE ∽△FDB 即可判断③正确；根据△AEF ≌△ABC ，得出∠EAF ＝∠BAC ，求出∠EAD ＝∠CAF ，根据相似三角形性质得出∠BFD ＝∠EAD ＝∠CAF ，即可判断④正确【详解】解：在△AEF 和△ABC 中∵==BC AE AB E B EF =⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△AEF ≌△ABC （SAS ），∴AF ＝AC ，∴∠AFC ＝∠C ，∴①正确；DF CF =不正确，理由是：假设DF CF =，∵△AEF ≌△ABC∴∠AFD=∠C ，AF=AC ，∴△ACF ≌△AFD ，∴∠DAF=∠FAC ，原题中无AF 为∠BAC 平分线这一条件，∴②错误；∵∠E ＝∠B ，∠EDA ＝∠BDF ，∴△ADE ∽△FDB ，∴③正确；∵△AEF ≌△ABC ，∴∠EAF ＝∠BAC ，∴∠EAF ﹣∠DAF ＝∠BAC ﹣∠DAF ，∴∠EAD ＝∠CAF ，∵△ADE ∽△FBD ，∴∠BFD ＝∠EAD ＝∠CAF ，∴④正确；故答案为：①③④【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，根据条件判定△AEF ≌△ABC 是解题关键．18．或【分析】根据位似图形的有两个在原点同侧或异侧分类讨论根据坐标变化规律求解即可【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形分两种情况当与在原点同侧时E 点坐标为：当与在原点异侧时E 点坐标为：故答案为 解析：(4,2)或(4,2)--【分析】根据位似图形的有两个，在原点同侧或异侧分类讨论，根据坐标变化规律求解即可．【详解】解：ABC 与DEF 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，分两种情况， 当ABC 与DEF 在原点同侧时，E 点坐标为：(4,2)，当ABC 与DEF 在原点异侧时，E 点坐标为：(4,2)--，故答案为：(4,2)或(4,2)--．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中位似图形的坐标变化规律，解题关键是注意分类讨论，熟记位似坐标变化规律．19．296【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=CE 根据相似三角形的性质得到比例式等量代换得到AF=AD 于是得到2；（2）先得出再利用E 为AO 的中点AO=CO 得出进而得出结果【详解】解：（1）∵在解析：2， 96【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=13CE ，根据相似三角形的性质得到比例式，等量代换得到AF=13AD ，于是得到FD AF=2； （2）先得出936CEB AEF SS ==，再利用E 为AO 的中点，AO=CO ，得出48ABC S =△，进而得出结果．【详解】 解：（1）∵在▱ABCD 中，AO=12AC ， ∵点E 是OA 的中点， ∴AE=13CE ， ∵AD ∥BC ， ∴△AFE ∽△CBE ， ∴13AF AE BC CE ==， ∵AD=BC ，∴AF=13AD ， ∴FD AF=2； （2）由（1）得△AFE ∽△CBE ，且13AE CE =，AEF 的面积为4， ∴936CEB AEF S S == ，∵E 为AO 的中点，AO=CO ， ∴1123BAE CEB S S ==，∴48ABC S =△， ∴296ABC ABCD S S==四边形 ， 故答案为：2，96．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20．4【分析】由DE//BC 可得到进而利用相似三角形的对应边成比例可得到梯子AB 的长；【详解】∵∴DE ∥BC ∴∴解得：；故答案是44【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用准确计算是解题的关键解析：4【分析】由DE//BC 可得到ADEABC ，进而利用相似三角形的对应边成比例可得到梯子AB 的长；【详解】∵DE AC ⊥，AC CB ⊥， ∴DE ∥BC ，∴ADE ABC ， ∴AD DE AB BC=， 0.55 1.41.6AB AB -=， 解得： 4.4AB =；故答案是4.4．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确计算是解题的关键．三、解答题21．（1）1m =， 5y x =；（2）15AOC S =；（3）43a =或23a =；（4）18x ≥． 【分析】 （1）由一次函数+6y x =-的图象1l 过点(),5C m ，可得+65m -=求出m ，设2l 的解析式为y kx =过点C(1,5)，求出k 即可；（2） 由y=0时，+60,6x x -==，OA=6，12AOC C S OA y =⋅； （3）当x a =时，与直线1l 交于点P （,6a a -），与直线2l 交于点Q （,5a a ），PQ=()562a a --=解之即可；（4）由一次函数64=-+y kx k 的图象横过定点(6,4) ，一次函数64=-+y kx k 的图象过B （0,6），13k =-，一次函数为163y x =-+ ，与x 轴交点，当18x ≥时即可． 【详解】解：（1）∵一次函数+6y x =-的图象1l 过点(),5C m ，∴+65m -=，∴1m =，设2l 的解析式为y kx =过点C ，∴k=5，∴2l 的解析式为5y x =；（2）一次函数+6y x =-与x 轴交点为A ，当y=0时，+60,6x x -==，∴OA=6， 11651522AOC C S OA y =⋅=⨯⨯=； （3）当x a =时，与直线1l 交于点P （,6a a -），与直线2l 交于点Q （,5a a ）， PQ=()56612a a a --=-=，113a -=， 113a -=±， 43a =或23a =； （4）一次函数整理得()64y k x =-+，由64x y =⎧⎨=⎩，∴一次函数64=-+y kx k 的图象横过定点(6,4) ，A （6,0），B （0,6），一次函数64=-+y kx k 的图象过B （0,6），∴646k -+=， ∴13k =-，∴一次函数163y x =-+， ∴y=0，x=18，当18x ≥时一次函数64=-+y kx k 的图象与线段AB （含端点）有公共点且满足y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查直线解析式，三角形面积，两直线l 1，l 2与x=a 交点距离，一次函数64=-+y kx k 的图象与线段AB （含端点）有公共点范围问题，掌握待定系数法求直线解析式，三角形面积求法，会求两直线l 1，l 2与x=a 交点距离，一次函数64=-+y kx k 的图象与线段AB （含端点）有公共点范围方法是解题关键．22．（1）证明见解析；（2）3CB =【分析】（1）根据三角形外角的性质易证A DBC ∠=∠，再根据∠C 为公共角，即可证明相似； （2）根据相似三角形对应边成比例，即可求得CB 的值．【详解】解：（1）∵ADB A C ∠=∠+∠，ADB DBC C ∠=∠+∠，∴A DBC ∠=∠，∵∠C=∠C ，∴△CBD ∽△CAB ；（2）∵1,2CD AD ==，∴3AC AD DC =+=，∵△CBD ∽△CAB ， ∴CD CB CB AC =， ∴13CB CB =，即CB =． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质．在证明三角形相似时，不要忽略公共角相等这一条件．23．（1）见解析；（2）1【分析】（1）利用“两角法”进行证明；（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例来求AE 的长度．【详解】解：（1）证明：∵∠C =∠ADE ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB（2）解：由（1）知，△ADE ∽△ACB ， 则AD AE AC AB= ∵AB =3，AD =2，CE =5， ∴253AE AE =+， 得：121,6AE AE ==-（舍去）∴AE 的长是1【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（1）相似，见解析；（2）见解析【分析】（1）根据“两边及其夹角法（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）推知△ABE 与△CBA 相似；（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例证明该结论．【详解】（1）解：相似，理由如下：∵AD 为ABC 的中线，AE 是ABD △的中线，∴BD CD =，BE DE =， ∴12BE BD =，12BD BC =，又∵AB BD =， ∴12BE AB =，12AB BC =， ∴12BE AB AB BC ==， 又∵B B ∠=∠，∴ABE △∽CBA △．（2）证明：由（1）知，ABE △∽CBA △， ∴12AE BE AC AB ==， ∴2AC AE =．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答的关键是根据中点的定义和题目已知得出12BE AB AB BC ==，从而证明ABE △∽CBA △． 25．（1）见解析；（2）454【分析】（1）由平行线的性质可得∠BED=∠ECF ，∠B=∠FEC ，从而可证得△BDE ∽△EFC ；（2）先根据DE ∥AC ，得出23BE BD CE AD ==，进而根据△BDE ∽△EFC ，得出相似三角形的面积比等于相似比的平方得出等式，然后结合△BDE 的面积是5，可求得△ABC 的面积．【详解】（1）证明：∵ DE ∥AC ，∴ ∠BED=∠C ．∵ EF ∥AB ，∴ ∠B=∠FEC ．∴ △BDE ∽△EFC ． （2）解：∵23BD AD =，∴23BD AD =． ∵ DE ∥AC ∴23BE BD CE AD ==． 由（1）知△BDE ∽△EFC ，且5BDE S ∆=， ∴2224()()39BDE EFC S BE S CE ∆∆===． ∴99455444EFC BDE S S ∆∆==⨯=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 26．见解析．【分析】根据2AC AD AB =⋅，得到::AC AB AD AC =，根据∠A 为公共角即可证明结论．【详解】证明：∵2AC AD AB =⋅，∴::AC AB AD AC =.又∵A A ∠=∠，∴ACD ABC △∽△.【点睛】本题考查了相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．。

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微专题：中考复习数学分类专题提分训练：图形相似之填空题专项（二）1．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为．2．如图，在四边形ABCD中，∠DBC＝90°，∠ABD＝30°，∠ADB＝75°，AC与BD 交于点E，若CE＝2AE＝4，则DC的长为．3．如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为．4．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB＝15，则EF＝．5．如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝4，连接AD，BE⊥AB，AE 是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为．6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，S△AOD：S△BOC＝1：9，AD＝2，则BC的长是．7．如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．8．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为．9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．其中正确的是．（把所有正确结论的序号都选上）10．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．11．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则＝．12．如图，点G是△ABC的重心，GE∥BC，如果BC＝12，那么线段GE的长为．13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC＝BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE＝4，则BE的长为．14．在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），以OA为直径在第二象限内作半圆C，点B 是该半圆周上一动点，连接OB、AB，作点A关于点B的对称点D，过点D作x轴垂线，分别交直线OB、x轴于点E、F，点F为垂足，当DF＝4时，线段EF＝．15．在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是．16．已知直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣6，0）．连结AB，作直线y＝1，交AB于点P1，过P1作P1Q1⊥x轴于Q1；连结AQ1，交直线y＝1于点P2，P2Q2⊥x轴于Q2；…以此类推．则点Q3的坐标为；△P n Q n A的面积为＝（用含n的代数式表示）．17．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y ＝上，且OA⊥OB，cos A＝，则k的值为．18．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么m与n满足的关系式是：m＝（用含n的代数式表示m）．20．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，正方形EFDQ、正方形MNPQ公共顶点记为点Q，其余的各个顶点都在Rt△ABC的边上，若AC＝5，BC＝3，则EP＝．21．如图，一条4m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为m2．22．如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，点E在AB上，且AE：EB ＝2：3，过点E作EF∥BC交CD于F，则EF的长是．23．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，且DE将△ABC分成面积相等的两部分．把△ADE沿直线DE翻折，点A落在点F的位置上，DF交BC于点G ，EF 交BC 于点H ，那么＝ ．24．如图，点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ﹣1在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n ﹣1B n ﹣1，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3∥…∥A n B n ﹣1，△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n ﹣1A n B n ﹣1为阴影三角形，若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1、4，则△A 1A 2B 1的面积为 ；面积小于2011的阴影三角形共有 个．25．将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为 ，那么第n （n 为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为 （用含n 的代数式表示）．参考答案1．解：过C点作CP∥AB，交DE于P，如图，∵PC∥AE，∴＝，而AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即BC：CD为2：1，故答案为：2：1．2．解：过A点作A⊥BD于F，∵∠DBC＝90°，∴AF∥BC，∵CE＝2AE，∴AF＝BC，∵∠ABD＝30°，∴AF＝AB，∴BC＝AB，∵∠ABD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠BAD＝75°，∠ACB＝30°，∴∠ADB＝∠BAD，∴BD＝AB，∴BC＝BD，∵CE＝4，在Rt△CBE中，BC＝CE＝6，在Rt△CBD中，CD＝BC＝6．故答案为：6．3．解：如图，∵GF∥HC，∴△AGF∽△AHC，∴＝＝，∴GF＝HC＝，∴OF＝OG﹣GF＝2﹣＝．同理MN＝，则有OM＝．∴S△OFM＝××＝，∴S阴影＝1﹣＝．故答案为：．4．解：∵DE∥BC，∴＝，∵＝，∴＝，即＝，∵AB＝15，∴AE＝10，∵DF∥CE，∴＝，即＝，解得：AF＝，则EF＝AE﹣AF＝10﹣＝，故答案为：5．解：∵AB＝CD＝4，C为线段AB的中点，∴BC＝AC＝2，∴AD＝2，∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形，∴∠HEA＝∠EAB，BC＝GE＝2，又∵AE是∠DAB的平分线，∴∠EAB＝∠DAE，∴∠DAE＝∠HEA，∴HA＝HE，设GH＝x，则HA＝HE＝HG+GE＝2+x，∵EH∥AC，∴△DHG∽△DAC，∴＝，即＝，解得：x＝3﹣，即HG＝3﹣，故答案为：3﹣．6．解：∵AD∥BC，∴△AOD～△COB，∵S△AOD：S△BOC＝1：9，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝2，∴BC＝6．故答案为：6．7．解：已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件∠B＝∠AED（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似，故答案为：∠B＝∠AED．8．解：∵直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝﹣2，∴点A和点B的坐标分别为（﹣2，0）；（0，1），∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，∴＝＝，∴O′B′＝3，AO′＝6，∴B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．故答案为：（﹣8，﹣3）或（4，3）．9．解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10，∴AF＝＝8，∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，∴ED＝，∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，∴∠2+∠3＝∠ABC＝45°，所以①正确；HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，设AG＝y，则GH＝y，GF＝8﹣y，在Rt△HGF中，∵GH2+HF2＝GF2，∴y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3，∴AG＝GH＝3，GF＝5，∵∠A＝∠D，＝＝，＝，∴≠，∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；∵S△ABG＝•6•3＝9，S△FGH＝•GH•HF＝×3×4＝6，∴S△ABG＝S△FGH，所以③正确；∵AG+DF＝3+2＝5，而GF＝5，∴AG+DF＝GF，所以④正确．故答案为①③④．10．解：∵AG＝2，GD＝1，∴AD＝3，∵AB∥CD∥EF，∴＝，故答案为：．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，又AB＝，BC＝，∴BD＝＝3，∵BE＝1.8，∴DE＝3﹣1.8＝1.2，∵AB∥CD，∴＝，即＝，解得，DF＝，则CF＝CD﹣DF＝，∴＝＝，故答案为：．12．解：∵点G是△ABC的重心，∴AD为中线，AG＝2GD，∴AD＝CD＝BC＝6，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，∴＝，即＝，∴GE＝4．故答案为4．13．解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，。

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