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2019-2020年中考数学专题突破训练相似三角形含考点分类汇编详解

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相似三角形的性质及应用(知识点串讲)(解析版)

相似三角形的性质及应用(知识点串讲)(解析版)

专题12 相似三角形的性质及应用知识网络重难突破知识点一相似三角形的性质①对应角相等，对应边成比例．②周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．③对应高线长之比、对应角平分线长之比、对应中线长之比都等于相似比．【典例1】（2020•衢州模拟）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．平行四边形ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为．【点拨】由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，易证得△BCP∽△BER，△ABP∽△CQP∽△DQR，又由点R为DE的中点，可求得各相似三角形的相似比，继而求得答案．【解析】解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AD＝BC＝CE，AB∥CD，AC∥DE，∴平行四边形ACED的面积＝平行四边形ABCD的面积＝6，△BCP∽△BER，△ABP∽△CQP∽△DQR，∴△ABC的面积＝△CDE的面积＝3，CP：ER＝BC：BE＝1：2，∵点R为DE的中点，∴CP：DR＝1：2，∴CP：AC＝CP：DE＝1：4，∵S△ABC＝3，∴S△ABP＝S△ABC＝，∵CP：AP＝1：3，∴S△PCQ＝S△ABP＝，∵CP：DR＝1：2，∴S△DQR＝4S△PCQ＝1，∴S阴影＝S△PCQ+S△DQR＝．故答案为：．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【典例2】（2019秋•河北区期末）如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）如AF＝3，AG＝5，求△ADE与△ABC的周长之比．【点拨】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE＝∠AGC＝90°，从而可证明∠AED＝∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）依据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的周长之比等于对应高之比，即可得到结论．【解析】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）由（1）可得△ADE∽△ABC，又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∴△ADE与△ABC的周长之比＝＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．【变式训练】1．（2020春•甘州区校级月考）两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（）cm．A．16 B．16或28 C．36 D．16或36【点拨】根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意列出比例式，解答即可．【解析】解：∵两个相似三角形面积比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴两个相似三角形周长比是2：3，∵一个三角形的周长为24cm，∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2019秋•慈溪市期末）如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°【点拨】先求出∠B，根据相似三角形对应角相等就可以得到．【解析】解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，∴∠B＝42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E．∴∠E＝42°．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的性质的运用，全等三角形的对应角相等，是基础知识要熟练掌握．3．（2019秋•奉化区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB＝3BD，则S△ADE：S△EFC的值为（）A．4：1 B．3：2 C．2：1 D．3：1【点拨】由题意可证四边形BDEF是平行四边形，可得BD＝EF，AD＝2EF，通过证明△ADE∽△EFC，可求解．【解析】解：∵AB＝3BD，∴AD＝2BD，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，∴AD＝2EF，∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠FEC＝∠A，∴△ADE∽△EFC，∴S△ADE：S△EFC的＝（）2＝4：1，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4.（2020•下城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝9，那么BC的长是（）A．4 B．6 C．2D．3【点拨】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝，＝，∴＝，即＝，解得，CD＝6，∴＝，解得，BD＝4，∴BC＝＝＝2，故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5.（2019•纳溪区模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝10，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．9【点拨】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，得出＝1，△AEI∽△QDE，因此CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝1：16，根据三角形的面积公式即可得出结果．【解析】解：延长AF交DC于Q点，如图所示：∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝AB＝3，BF＝CF＝BC＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，∴＝1，△AEI∽△QDE，∴CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝（）2＝，∵AD＝10，∴△AEI中AE边上的高＝2，∴△AEI的面积＝×3×2＝3，∵△ABF的面积＝×5×6＝15，∵AD∥BC，∴△BFH∽△DAH，∴＝＝，∴△BFH的面积＝×2×5＝5，∴四边形BEIH的面积＝△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积＝15﹣3﹣5＝7．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．6.（2020•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【点拨】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【解析】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．知识点二相似三角形的应用【典例3】（2019秋•解放区校级期中）一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为1.5m，怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用所学的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗不计，计算结果中的分数可保留）【点拨】结合相似三角形的判定与性质进而得出两个正方形的边长，进而求出面积比较得出答案．【解析】解：由AB＝1.5m，S△ABC＝1.5m2，可得BC＝2m，由图甲，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高，BH交DE于P，交AC于H．由AB＝1.5m，BC＝2m，得AC＝＝2.5（m），由AC•BH＝AB•BC可得：BH＝＝1.2（m），设甲设计的桌面的边长为xm，∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC，∴＝，即＝，解得x＝（m），由图乙，若设乙设计的正方形桌面边长为ym，由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，∴＝，即＝，解得y＝（m），∵x＝，y＝，∴x＜y，即x2＜y2，∴S正方形甲＜S正方形乙，∴第二个正方形面积大【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出正方形的边长是解题关键．【变式训练】1．（2019秋•嘉兴期末）如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（）A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm【点拨】证明△CAB∽△CDE，然后利用相似比得到DE的长．【解析】解：∵AB∥DE，∴△CAB∽△CDE，∴＝，而BC＝BE，∴DE＝2AB＝2×15＝30（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．2．（2019秋•鹿城区月考）如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（）A．4 m B．m C．5m D．m【点拨】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解析】解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∴＝＝＝，（相似三角形对应高的比等于相似比），∵MH∥AB，∴△MCH∽△ACB，∴＝＝，∴＝，解得MH＝．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．3．（2019秋•滨江区期末）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝120cm，CD＝600cm，则树AB的高度为420cm．【点拨】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长，再加上AC的长即可求得树高AB．【解析】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BC：EF＝DC：DE，∵DE＝30cm，EF＝15cm，AC＝120cm，CD＝600cm，∴，∴BC＝300cm，∴AB＝AC+BC＝120+300＝420cm，故答案为：420．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．4.（2020•秦皇岛一模）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC 高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．【点拨】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．【解析】解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EP A＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴∴∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴＝∴∴DA＝12．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物AB的高与小亮在路灯D下的影长，体现了方程的思想．巩固训练1．（2019秋•连州市期末）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm【点拨】根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．【解析】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm．故选：C．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．2．（2018秋•临安区期末）如图，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，点E，F分别在AB，AC上，点G，H 在BC上，当四边形EFGH是矩形，且EF＝2EH时，则矩形EFGH的周长为（）A．B．C．D．【点拨】通过证明△AEF∽△ABC，可得，可求EH的长，即可求解．【解析】解：如图，记AD与EF的交点为M，∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AM和AD分别是△AEF和△ABC的高，∴∴∴EH＝，∴EF＝，∴矩形EFGH的周长＝2×（+）＝故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．3．（2019秋•庐阳区校级期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．【点拨】由已知条件易求BE：BC＝1：5；证明△DOE∽△AOC，得到DE：AC的值，由相似三角形的性质即可解决问题．【解析】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，∴BE：EC＝1：4，∴BE：BC＝1：5，∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，∴S△DOE：S△AOC＝（）2＝，故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证出BE：BC＝1：5是解决问题的关键．4．（2020•上城区一模）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，BC上，若AD：DB＝CE：EB＝3：4，记△DBE的面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1：S2＝16：21．【点拨】过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【解析】解：过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，∴EF∥CG，∴△BEF∽△BCG，∴，∵CE：EB＝3：4，∴，∴，∴＝＝，∴S1：S2＝16：21，故答案为：16：21．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．5．（2019秋•江干区期末）如图，已知▱ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝1：3：9：11．【点拨】由E是BC的三等分点，得到＝，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质得到＝＝设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，求得S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，得到S四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，于是得到结论．【解析】解：∵E是BC的三等分点，∴＝，在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝＝，∴S△BEF：S△ABF：S△ADF＝1：3：9，设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，∴S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，∴四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，∴S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝1：3：9：11，故答案为：1：3：9：11．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算方法；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．6．（2020•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为8.8m．【点拨】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解析】解：根据题意得：△ABM∽△CDM，∴AB：CD＝BM：DM，∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，∴1.6：CD＝2：11，解得：CD＝8.8m，故答案为：8.8．【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是根据实际问题抽象出相似三角形，难度不大．7．（2019秋•竞秀区期末）如图，路灯距地面的高度PO＝8米，身高1.6米的小明在点A处测量发现，他的影长AM＝2.4米，则AO＝9.6米；小明由A处沿AO所在的直线行走8米到点B时，他的影子BN 的长度为0.4米．【点拨】如图，设OA＝x，BN＝y．利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．【解析】解：如图，设OA＝x，BN＝y．∵EB∥OP∥F A，∴△MAF∽△MOP，△NBE∽△NOP，∴＝，＝，∴＝，＝，解得x＝9.6，y＝0.4，故答案为9.6，0.4．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．8．（2019秋•开江县期末）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．【点拨】根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，∴DP＝OP＝灯高．在△CEA与△COP中，∵AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP．∴△CEA∽△COP，∴．设AP＝xm，OP＝hm，则，①，DP＝OP＝2+4+x＝h，②联立①②两式，解得x＝4，h＝10．∴路灯有10m高．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．9．（2019秋•余杭区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连结DE，BD．（1）求证：△ADE∽△ABC．（2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．【点拨】（1）由已知得出AE：AC＝AD：AB，由∠A＝∠A，即可得出：△ADE∽△ABC．（2）设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，由已知求出AC＝＝x，得出CD＝AC﹣AD＝x，得出＝，由三角形面积关系即可得出答案．【解析】（1）证明：∵AE•AB＝AD•AC，∴AE：AC＝AD：AB，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC．（2）解：∵点E为AB中点，∴AE＝BE，∵AD：AE＝6：5，∴设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，∵AE•AB＝AD•AC，∴AC＝＝＝x，∴CD＝AC﹣AD＝x，∴＝，∵△ABC的面积为50，∴△BCD的面积＝×50＝14．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积关系等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2018秋•江干区期末）如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD 交于点G．（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；（3）求的最大值．【点拨】（1）证明△BAG∽△BDA，利用相似比可计算出BG＝，从而得到DG的长；（2）先证明△ADG∽△EBG，利用相似三角形的性质得＝（）2＝k2，＝＝k，所以S1＝k2S，根据三角形面积公式得到S△ABG＝，再利用菱形的性质得到S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；（3）由于＝＝1+﹣，然后根据二次函数的性质解决问题．【解析】解：（1）∵AG＝BG，∴∠BAG＝∠ABG，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠BAG＝∠ADB，∴△BAG∽△BDA，∴＝，即＝，∴BG＝，∴DG＝BD﹣BG＝6﹣＝；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，∵AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG∴△ADG∽△EBG，∴＝（）2＝k2，＝＝k，∴S1＝k2S，∵＝＝k，∴S△ABG＝，∵△ABD的面积＝△BDC的面积，∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；（3）∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，∴的最大值为．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了菱形的性质．。

中考数学相似三角形分类专练 证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练(解析版)

中考数学相似三角形分类专练 证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练(解析版)
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴ 或 ，B不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是 ，也可能是 ，C不一定成立；
∵∠A=∠D，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为 ，∴D一定成立，
故选D．
【考点知悉】
本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．
17．如图，点D、E分别在 的边AB、AC上，且 ，若DE=3，BC=6，AC=8，则 _______．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
19．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__．
∴这个三角形的边长扩大到原来的4倍,
故选B.
【考点知悉】
本题考查了相似三角形的相似比和周长比之间的关系,属于简单题,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
10．D
【思路点拨】
根据①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,进行判断即可.
30．如图， ， ， ， ，则 ________．
31．如图，△ABC中，DE∥BC, ,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______
三、解答题
32．已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝ .设OP＝x，△CPF的面积为y.
∴ ，

中考数学一轮复习专题突破训练—相似三角形

中考数学一轮复习专题突破训练—相似三角形

中考数学一轮复习专题突破训练—相似三角形一、单选题1．（2022·北京市第十三中学九年级期中）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE△BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（）A．3：2B．2：5C．2：3D．3：5【答案】C【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得出结果．【详解】解：△DE∥BC，△△ADE△△ABC，△DE：BC＝AD：AB＝2：3；故选：C．2．（2022·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB 的中点，CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，则四边形AEOD的面积为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B根据平行四边形的性质和相似的判定和性质，可以得到△BOC和△COD的面积，从而可以得到△BCD的面积，再根据△ABD和△BCD的面积一样，即可得到四边形AEOD的面积．【详解】解：△在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，△CD△AB，CD=AB=2BE△△DOC△△BOE，△OC CDOE BE=2，△S△EOB=1，△S△BOC=2，S△DOC=4，△S△BCD=6，△S△DAB=6，△四边形AEOD的面积为：S△DAB-S△EOB=6-1=5，故选：B．3．（2022·全国九年级专题练习）如图，已知AB△CD△EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（）A．2B．4C．245D．365【分析】根据平行线分线段成比例得到3125BC =，然后利用比例性质计算出BC ，从而求出CE 即可． 【详解】解：△AB △CD △EF ， △BC AD BE AF =，即3125BC =， △BC =365， △CE =BE -BC =12-365=245， 故选C ．4．（2022·全国九年级专题练习）下列四条线段中，不能成比例的是（ ） A．a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝6 B ．a ，b c ＝1，d C ．a＝6，b ＝4，c ＝10，d ＝5 D ．a b ＝c d ＝2【答案】C 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A 、2×6=3×4，能成比例； B1 C 、4×10≠5×6，不能成比例；D 、523152⨯=⨯，能成比例． 故选：C ．5．（2022·四川省成都市石室联合中学）如图，在ABC 中，点E 和点F 分别在边AB ，AC 上，且//EF BC ，若3AE =，6EB =，9BC =，则EF 的长为（ ）A ．1B ．92C ．12D ．3【答案】D 【分析】证明△AEF △△ABC ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】 △//EF BC ， △AEF ABC ∽， △EF AEBCAB， △3AE =，6EB =， 9BC =， △399EF =， △3EF =． 故选D ．6．（2022·全国九年级课时练习）将三角形纸片（ABC ）按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为EF ．已知3,4AB AC BC ===，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC 相似，那么CF 的长度是（ ）A ．2B ．127或2 C ．127D ．125或2 【答案】B 【分析】分两种情况：若BFD C ∠=∠或若BFD A ∠=∠，再根据相似三角形的性质解题 【详解】△ABC 沿EF 折叠后点C 和点D 重合， △FD CF =，设CF x =，则,4FD CF x BF x ===-，以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况： △若BFD C ∠=∠，则BF FDBC AC =，即443x x -=，解得127x =； △若BFD A ∠=∠，则BF FD AB AC =，即433x x -=，解得2x =． 综上，CF 的长为127或2， 故选：B ．7．（2022·全国九年级课时练习）已知线段a 、b 、c 、d 满足ab cd =，把它改写成比例式，错误的是（ ） A ．::a d c b = B ．::a b c d =C ．::d a b c =D ．::a c d b =【答案】B【分析】根据比例的基本性质：外项之积等于内项之积，对选项一一分析，选出正确答案即可．【详解】解：A、a：d＝c：b△ab＝cd，故正确；B、a：b＝c：d△ad＝bc，故错误；C、d：a＝b：c△dc＝ab，故正确；D、a：c＝d：b△ab＝cd，故正确．故选：B．8．（2022·全国九年级课时练习）下列结论不正确的是（）A．所有的矩形都相似B．所有的正三角形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似【答案】A【分析】根据相似图形的判定判断即可；【详解】所有的矩形不一定都相似，故A错误，符合题意；因为正三角形的每个角都等于60︒，满足两个角对应相等，所有的正三角形都相似，故B正确；︒︒︒，满足两个角对应相等，因为等腰直角三角形的三个角分别为,45,45,90所有的等腰直角三角形都相似，故C正确；因为正八边形的每个角都相等，每条边都相等，所有的正八边形都相似，故D 正确； 故选A ．9．（2022·全国）如果23a b =，那么2a bb-的结果是（ ） A ．12- B ．43-C ．43D ．12【答案】B 【分析】根据比例的性质即可得到结论． 【详解】 △a b＝23，△可设a ＝2k ，b ＝3k ， △2a bb -＝2k-6k 3k ＝－43． 故选B ．10．（2022·沙坪坝·重庆一中）下列命题正确的是（ ） A ．位似图形一定是相似图形 B ．任意两个菱形一定相似CD ．23、24、25能作为直角三角形的三边长 【答案】A 【分析】根据位似图形，相似图形的定义可判断A 、B ，根据平方根的定义和勾股定理的逆定理，可判断C 、D ． 【详解】解：A. 位似图形一定是相似图形，故原命题正确，符合题意； B. 任意两个菱形不一定相似，故原命题错误，不符合题意；C.±D. 23、24、25不能作为直角三角形的三边长，故原命题错误，不符合题意， 故选A ． 二、填空题11．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）如果2x ＝3y ，那么x yy +=___． 【答案】52【分析】直接利用已知得出x =32y ，进而代入得出答案． 【详解】 解：△2x =3y ， △x =32y ，△3522y yx y y y ++==．故答案为：52．12．（2022·全国九年级专题练习）ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE △BC ，ADE 是ABC 缩小后的图形，若DE 把ABC 的面积分成相等的两部分，则AD ：AB =_____【分析】如图根据BC △DE ，可以得到△ADE △△ABC ，则21=2AED ABC S AD S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ ，由此即可求解． 【详解】 解：△BC △DE ， △△ADE △△ABC ，△DE 把△ABC 的面积分成相等的两部分，△21()2AED ABCS AD SAB ∆∆==， △22AD AB =， 故答案为：22．13．（2022·全国）如图，AC 与BD 相交于点O ，在△AOB 和△DOC 中，已知OA OBOD OC=，又因为________，可证明△AOB △△DOC ．【答案】△AOB＝△DOC【分析】根据相似三角形的判定，两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似解答．【详解】解：△OA OBOD OC=，△AOB＝△DOC，△△AOB△△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．故答案为：△AOB＝△DOC．14．（2022·全国九年级专题练习）如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则AEBE=__．3【分析】根据相似的性质，列出比例式，根据已知条件即可求得．【详解】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以AD EFEF BC=，即EF＝23所以323AE ADBE EF===315．（2022·合肥市第四十五中学九年级）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．（1）HE：AH＝______；（2）S△AFE：S正方形ABCD＝______．【答案】1：4 5：12【分析】（1）根据翻折的性质得到△GHE＝△BHE＝90°，再根据△HEB＝△BEA，从而证明△HEB△△BEA，得出HE BEBE AE=，设正方形边长为2x，则BE＝x，AB＝2x，由勾股定理求出AE，从而求出HE和AH，得出结论；（2）由S△AFE＝12（S正方形ABCD﹣S△FCE），正方形ABCD的边长为2x，FG＝DF＝m，则EF ＝x + m，CF＝2 x﹣m，，由勾股定理求出m即可．【详解】解：（1）△AE为对称轴，△△AEG△△AEB，BG△AE，△△GHE＝△BHE＝90°，又△△HEB＝△BEA，△△HEB△△BEA，△HE BEBE AE=，在正方形ABCD 中，设边长为2x ，△点E 是BC 的中点，则BE ＝x ，AB ＝2x ，△AE=，△HE ＝225BE x AE ==，△AH ＝AE ﹣HE=，△HE ：AH x ＝1：4． 故答案为：1：4；（2）设正方形ABCD 的边长为2x ，则S 正方形ABCD ＝4x 2，△S △AFE ＝12（S 正方形ABCD ﹣S △FCE ），CE ＝BE ＝GE ＝x ，设FG ＝DF ＝m ，则EF ＝x + m ，CF ＝2 x ﹣m ，在△EFC 中，△EF 2＝CE 2+CF 2，△（m +x ）2＝（2 x ﹣m ）2+ x 2，解得：m ＝23x ，△CE ＝2 x ﹣m ＝43x ，△S △CFE ＝12×CE ×CF ＝12×24233x x x ⨯=， △S △AFE ＝12×（4 x 2﹣223x ）＝253x ， △S △AFE ：S 正方形ABCD ＝225:43x x ＝5：12．故答案为：5：12．三、解答题16．（2022·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．求证：△ADB△△AEC．【答案】见解析．【分析】由题知，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，可得到AC＝AE，AB＝AD，△CAE＝△BAD，即可证明．【详解】△将△ABC绕点A旋转得到△ADE，△AC＝AE，AB＝AD，△CAE＝△BAD，△AE AC，AD AB△△ADB△△AEC．17．（2022·广西贺州市·九年级期中）如图，已知在△ABC中，DE△BC，EF△AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：（1）求BD的长度；（2）求DE的长度．【答案】（1）2；（2）6【分析】（1）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果；（2）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果．【详解】解：（1）△AE =2CE ， △12CE AE =， △DE △BC ， △13BD CE AB AC ==， △AB =6，△BD =2；（2）△EF △AB ， △23AE BF AC BC ==， △BC =9，△BF =6，又△DE △BC ，△四边形BDEF 是平行四边形，△DE =BF =6．18．（2022·全国九年级专题练习）已知：如图，△ABC ＝△CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案】2b BD a =或22b a b BD -=【分析】由AB △BC ，BD △CD 得到△ABC =△BDC =90°，再利用勾股定理计算出22AB a b -根据直角三角形相似的判定方法，当AB BD AC BC =，Rt △ABC △Rt △BDC ；当=BC AC BD BC时然后分别利用比例性质可表示出BD 与a 和b 的关系． 【详解】解：△AC ＝a ，BC ＝b ，△ABC ＝△CDB ＝90°，△AB 22a b -△当BD BC AB AC=时， 即22b a b BD -=Rt △ABC △Rt △BDC ； △当BD BC CB AC=时， 即2b BD a=时，Rt △ABC △Rt △CDB ，． 19．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，D 是AB 上一点，E 是BC 上一点，AC ＝6，BC ＝8，BD ＝4，BE ＝5．求证：DE △AB ．【答案】见解析【分析】利用勾股定理可求得AB ＝10，则有12BE AB =，12BD BC =，结合△B ＝△B ，可证得△BDE △△BCA ，从而有△BDE ＝△C ＝90°，即可得证．【详解】证明：△△C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，△AB 2210AC BC +=，△BD ＝4，BE ＝5， △12BE AB =，12BD BC =， △△B ＝△B ，△△BDE △△BCA ，△△BDE ＝△C ＝90°，即DE △AB ．20．（2022·全国九年级专题练习）如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ，已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m ．（1）图中△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？（2）求古塔的高度．【答案】（1）相似，见解析；（2）16m【分析】（1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．【详解】解：（1）△ABC△△ADE．△BC△AE，DE△AE，△△ACB=△AED=90°.△△A=△A，△△ABC△△ADE；（2）由(1)得△ABC△△ADE,△AC BC=AE DE△AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，△2 1.6=，20DE△DE=16m，即古塔的高度为16m．21．（2022·全国九年级专题练习）在锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE ＝2，求AC 边上的高．【答案】6【分析】由已知条件得到△CEB ＝△ADB ＝90°，推出△ADB △△CEB ，根据相似三角形的性质得到BD ：AB ＝BE ：BC ，证得△BDE △△BAC ，得到S △BDE ：S △ABC ＝（DE ：AC ）2，于是求得AC ＝6，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．【详解】过点B 做BF △AC ,垂足为点F ，△AD ,CE 分别为BC ,AB 边上的高，△△ADB =△CEB =90°，又△△B =△B ，△Rt △ADB △Rt △CEB , △BD AB BE CB =，即BD BE AB CB=， 且△B =△B ，△△EBD △△CBA , △221189BED BCA S DE S AC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, △13DE AC =, 又△DE =2，△AC =6，△1182ABCS AC BF =⋅=， 6BF ∴=．22．（2022·湖南师大附中博才实验中学）如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线上一点，CG 的延长线交AB 于点E ，交DA 的延长线于点F ，连接AG ．（1）求证：AG CG =；（2）若9GE GF ⋅=，求CG 的长．【答案】（1）见解析；（2）CG =3【分析】（1）根据正方形的性质得到△ADB =△CDB =45°，AD =CD ，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG △△CDG （SAS ），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；（2）根据正方形的性质得到AD △CB ，推出△FCB =△F ，由（1）可知△ADG △△CDG ，利用全等三角形的性质得到△DAG =△DCG ，结合图形根据角之间的和差关系△DAB -△DAG =△DCB -△DCG ，推出△BCF =△BAG ，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG △△F AG ，进而根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）证明：△BD 是正方形ABCD 的对角线，△△ADB =△CDB =45°，又AD =CD ，在△ADG 和△CDG 中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ADG △△CDG （SAS ），△AG =CG ；（2）解：△四边形ABCD 是正方形，△AD △CB ，△△FCB =△F ，由（1）可知△ADG △△CDG ，△△DAG =△DCG ，△△DAB -△DAG =△DCB -△DCG ，即△BCF =△BAG ，△△EAG =△F ，又△EGA =△AGF ，△△AEG △△F AG ，△GE GA GA GF =，即GA 2=GE •GF ，△GA =3或GA =-3（舍去），根据（1）中的结论AG =CG ，△CG =3．23．（2022·浙江杭州·翠苑中学九年级）如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 上一点，AE AB =，作BF AE ⊥．（1）求证：ADE BFA ≅△△；（2）连结BE ，若BCE 与ADE 相似，求AD AB ． 【答案】（1）见解析；（23【分析】（1）根据矩形的性质得出90D DAB ∠=∠=︒，求出90DAE FAB ∠+∠=︒，90FBA FAB ∠+∠=︒，求出D AFB ∠=∠，DAE FBA ∠=∠，再根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据矩形的性质得出90C D ∠=∠=︒，//DC AB ，根据平行线的性质得出CEB ABE ∠=∠，设CEB ABE x ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质求出AEB EBA x ∠=∠=︒，根据相似三角形的性质得出两种情况：△DEA CEB x ∠=∠=︒，根据180DEA AEB CEB ∠+∠+∠=︒得出180x x x ++=，求出x ，再解直角三角形求出AE 和AD ，再求出答案即可；△DEA EBC ∠=∠，设DEA EBC y ∠=∠=︒，求出(2)180DEA AEB CEB y x ∠+∠+∠=+︒=︒，()90EBC CEB y x ∠+∠=+︒=︒，求出x ，再得出答案即可．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是矩形，90D DAB ∴∠=∠=︒，90DAE FAB ∴∠+∠=︒，BF AE ⊥，90AFB ∴∠=︒，D AFB ∴∠=∠，90FBA FAB ∠+∠=︒，DAE FBA ∴∠=∠，在ADE ∆和BFA ∆中DAE FBA D AFB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE BFA AAS ∴∆≅∆；（2）四边形ABCD 是矩形，90C D ∴∠=∠=︒，//DC AB ，CEB ABE ∴∠=∠，设CEB ABE x ∠=∠=︒，AE AB =，AEB EBA x ∴∠=∠=︒，当BCE ∆与ADE ∆相似时，有两种情况：△DEA CEB x ∠=∠=︒，180DEA AEB CEB ∠+∠+∠=︒，180x x x ∴++=，解得：60x =，即60DEA ∠=︒，906030DAE ∴∠=︒-︒=︒，2AE DE ∴=，由勾股定理得：AD ， AE AB =，∴AD AD AB AE = △DEA EBC ∠=∠，设DEA EBC y ∠=∠=︒，CEB EBA AEB x ∠=∠=∠=︒，则(2)180DEA AEB CEB y x x y x ∠+∠+∠=︒+︒+︒=+︒=︒， 在Rt BCE ∆中，()90EBC CEB y x y x ∠+∠=︒+︒=+︒=︒， 即218090y x y x +=⎧⎨+=⎩， 解得：90x =︒，即90CEB ∠=︒，此时点E 和点C 重合，BEC ∆不存在，舍去；△AD AB =。

2019-2020中考数学试题分类汇编 考点36 相似三角形(含解析)

2019-2020中考数学试题分类汇编 考点36 相似三角形(含解析)

2019中考数学试题分类汇编：考点36 相似三角形一．选择题（共28小题）1．（2019•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解答】解：3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，故选：C．2．（2019•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3 C．4：9 D．8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选：C．3．（2019•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得： =，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．4．（2019•内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：D．5．（2019•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．16【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×=4．故选：C．6．（2017•重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：A．7．（2019•临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B．8．（2019•广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．【解答】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=．故选：C．9．（2019•自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∵=，∴=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．10．（2019•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．11．（2019•随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C． 1 D．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2=．∵S△ADE=S四边形BCED，∴=，∴===﹣1．故选：C．12．（2019•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A． = B． = C． = D． =【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=， =，∴==．故选：D．13．（2019•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，则AD=x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，故选：D．14．（2019•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．15．（2019•贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（）A．16 B．18 C．20 D．24【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x，∵S四边形BCFE=16，∴=，解得：x=2，∴S△ABC=18，故选：B．16．（2019•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP 和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠B AC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；故选：B．17．（2019•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，故选：C．18．（2019•临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．B．C．D．【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===．故选：A．19．（2019•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．20．（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2，∴若2AD＞AB，即＞时，＞，此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小，故选项A不符合题意，选项B不符合题意．若2AD＜AB，即＜时，＜，此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2，故选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．21．（2019•永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得=，即AC2=AD•AB，由此即可解决问题；【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC＞0，∴AC=4，故选：B．22．（2019•香坊区）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（）A． = B． = C． = D． =【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵EF∥AB，∴，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF，EF=BD，∴，，，，∴正确，故选：C．23．（2019•荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S：S△ABG=（）△EFGA．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∴△EFG∽△BAG，∴=（）2=，故选：C．24．（2019•达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）A．B．C．D．1【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得==（）2=（）2=， =，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△CBA，∴S△ADC=S△ABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴==（）2=（）2=，∵=，∴=×=，故选：C．25．（2019•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（）A．CE=B．EF=C．cos∠CEP=D．HF2=EF•CF【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2，∴x=，∴EF=，故B错误，∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C错误．∵HF=，EF=，FC=∴HF2=EF•FC，故D正确，故选：D．26．（2019•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故选：B．27．（2019•长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选：B．28．（2019•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得=，将已知数据代入即可得．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则=，∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴=，解得：CD=0.4，故选：C．二．填空题（共7小题）29．（2019•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：△ADF∽△ECF ．【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．故答案为△ADF∽△ECF．30．（2019•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．31．（2019•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为．【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）2=，结合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．【解答】解：∵3AE=2EB，∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，∵S△AEF=1，∴S△ABC=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC=S△ABC=，∵EF∥BC，∴===，∴==，∴S△ADF=S△ADC=×=，故答案为：．32．（2019•资阳）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为9 ．【分析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=BC，从而得=（）2，据此建立关于x的方程，解之可得．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．33．（2019•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出CK的长．【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，∵AH∥DK，∴∠CDK=∠A，而∠CKD=∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴=，即=，∴CK=．答：KC的长为步．故答案为．34．（2019•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，x=，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED=x，S△ABC=AC•BC=AB•CP，12×5=13CP，CP=，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x=，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：．35．（2019•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= 100 m．【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴，，解得：AB=（米）．故答案为：100．三．解答题（共15小题）36．（2019•张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求岀这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．【分析】（1）当M在弧AB中点时，三角形MAB面积最大，此时OM与AB垂直，求出此时三角形面积最大值即可；（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证．【解答】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，∵OM=AB=×4=2，∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4；（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．37．（2019•株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．【分析】（1）利用HL证明即可；（2）想办法证明△DNT∽△AMT，可得由AT=，推出，在Rt△ABM中，tan∠ABM=．【解答】解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=，∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=．38．（2019•大庆）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得=解决问题；（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，即AC平分∠FAB．（2）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴=，∴BC2=CE•CP；（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴的长==π．39．（2019•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE 的长．【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．40．（2019•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．41．（2019•东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．【分析】（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；（2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴=．∵BD=AD，∴=，∴=，又∵AC=3，∴CD=2．42．（2019•南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．【分析】（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF=180°，∵∠FGA+∠D GF=180°，∴∠FGA=∠FCD，∴△AFG∽△DFC．（2）解：如图，连接CG．∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF，∴=，即=，∵△AFG∽△DFC，∴=，∴=，在正方形ABCD中，DA=DC，∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3，∴CG==5，∵∠CDG=90°，∴CG是⊙O的直径，∴⊙O的半径为．43．（2019•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．【分析】（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC即可得证；（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴AB=2AO，∠ACB=90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴=，即AC2=AB•AD，∵AB=2AO，∴AC2=2AD•AO．44．（2019•十堰）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tanC==2，BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴BG：GA=1：4．45．（2019•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD=•AB•DE求解即可；【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD===12，∵•AD•BD=•AB•DE，∴DE=．46．（2019•烟台）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F 为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）设∠MBE=x，同理得：∠EMB=∠MBE=x，根据切线的性质知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；根据（1）的结论计算∠MBE=30°，证明△CDE是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化简可得结论．【解答】解：（1）连接CD、DE，⊙E中，∵ED=EB，∴∠EDB=∠EBD=α，∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，⊙D中，∵DC=DE=AD，∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴∠CAD==；（2）设∠MBE=x，∵EM=MB，∴∠EMB=∠MBE=x，当EF为⊙D的切线时，∠DEF=90°，∴∠CED+∠MEB=90°，∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，∴∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；由（1）得：∠CAD=；∴∠MBE=30°，∴∠CED=2∠MBE=60°，∵CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE=EF=AD=，Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，∴∠CNE=75°，∴∠CNE=∠NCB=75°，∴EN=CE=，∴===2+．47．（2019•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．【分析】由BC∥DE，可得=，构建方程即可解决问题．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴=，∴=，∴AB=17（m），经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．48．（2019•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．49．（2019•聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE=BF．（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BH⊥AE，∴∠AEB+∠EBH=90°，∴∠BAE=∠EBH，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：∵AB=BC=5，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∴DF=5﹣2=3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=5，∠ADF=90°，由勾股定理得：AF====．50．（2019•乌鲁木齐）如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH 的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；（2）在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明△ACD∽△ADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（4分）（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由（1）知：OD∥AC，∴，即，∵a=，解得BD=r．（10分）。

冲刺2019届中考2019年全国各地中考模拟卷《相似三角形》压轴题集锦(含答案与解析)

冲刺2019届中考2019年全国各地中考模拟卷《相似三角形》压轴题集锦(含答案与解析)

（△S ABD ＝（ ） （（冲刺 2019 届中考：2019 年全国各地中考模拟卷《相似三角形》压轴题集锦（含答案与解析）一．选择题1． 2019△?萧山区模拟）如图，已知在 ABC 中，点 D 为 BC 边上一点（不与点 B ，点 C 重合），连结 AD ，点 E 、点 F 分别为 AB 、AC 上的点，且 EF ∥BC ，交 AD 于点 G ，连结 BG ，并延长BG 交 AC 于点 H ．已知＝2，①若 AD 为 BC 边上的中线， 的值为 ；②若 BH ⊥AC ，当 BC ＞2CD 时，＜2sin ∠DAC ．则（ ）A ．①正确；②不正确C ．①不正确；②正确B ．①正确；②正确D ．①不正确；②正确2． 2019 春△?北碚区校级月考）如图， ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，点 E 、F 分别是边 AB 、AC 上两点，且 EF ∥BC ，若 AE ：EB ＝2：1，则： △S AEFA ．2：1B ．4：9C ．2：3D ．8：9 3． 2019•云南模拟）如图，点 D 、E 分别在△ABC 的边 AB 、AC 上，且 AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，若使△ADE 与△ABC 相似，则 AE 的长为（）A ．2B ．C ．2 或D ．3 或（△S BDF ；4．（2019•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知两点 A （7，5），B （4，3），先将线段 AB向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，然后以原点 O 为位似中心，将其缩小为原来的 ，得到线段 CD ，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A ．（4，3）C ．（﹣4，﹣3）B ．（4，3）或（﹣4，﹣3）D ．（3，2）或（﹣3，﹣2）5．（2019•平房区一模）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，射线 BF 交 AC 于点 G ，交 CD的延长线于点 E ，则下列等式正确的为（）A ．B ．C ． ＝D ． ＝6． 2019•成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （4，2），过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 △B ，将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD ，则 OC 的长度是（ ）A ．1B ．2C ．D ．7．（2019•铁西区三模）如图，在 △R tABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD ．过点 B 作 BG ⊥CD ，分别交 CD 、CA 于点 E 、F ，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G ，连结 DF ，给出以下四个结论：①②若 AF ＝；AB ，则点 D 是 AB 的中点；③若△S ABC＝1，则 ＝9④当 B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；其中正确的结论序号是（）FA．①②B．①②④C．①②③D．①②③④8．（2019•杭州模拟）如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为（）A．6B．8C．10D．12 9．（2019•宣州区一模）如图示，用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是（）A．B．C．D．10．（2019△?中原区校级模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（）A．CD2＝AD•DBC．AD•BC＝AC•CDB．AC•DB＝BC•ADD．BC2＝BD•AB11．（2019△?香坊区一模）如图，ABC中，G、E分别为AB、AC边上的点，GE∥BC，BD∥（CE交EG延长线于D，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二．填空题12．（2019△?沈阳模拟）如图，在ABC中，AB：AC＝5：4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在线段AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，AG＝8，则线段DF的长是．13．2019•拱墅区校级模拟）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，且AB＝5，BC＝3，则的值为．14．（2019△?福田区校级模拟）如图，分别以ABC中BC和AC为腰向外作等腰直角△EBC和等腰直角△DAC，连结DE，且DE∥BC，EB＝BC＝6，四边形EBCD的面积为24，则AB的长为．15．（2019•昆明模拟）如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝7：2，连接AE交BD于点△F，则DEF的面积与△BAF的面积之比为．16．（2019•道外区一模）如图，AD为△ABC的角平分线，AC＝BC，E在AC延长线上，且AD ＝DE，若AB＝6，CE＝2，则BD的长为．17．（2019春•和平区校级月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰△R t ABC和等腰△R t ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是18．（2019•邗江区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒个单位．19．（2019•咸宁模拟）如图，▱ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE＝2，EC＝△3，BEF的面积是1，则▱ABCD的面积为．20．（2019•简阳市模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A，作正方形A B C C；延长C B111111交x轴于点A，作正方形A B C C…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为；22221第4个正方形的面积为．三．解答题21．（2019•徐汇区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．（△1）求证：ABE∽△DAF；（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．22．（2019青山区模拟）（1）如图1，AH⊥CG，EG⊥CG，点D在CG上，AD⊥CE于点F，求证：；（△2）在ABC中，记tan B＝m，点D在直线BC上，点E在边AB上①如图2，m＝3，点D在线段BC上，且AD⊥CE于点F，若AD＝3CE，则＝；②如图3，m＝＝2AC，CD＝，点D在线段BC的延长线上，连接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE ，求BE的长．23．2019闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，（垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．24．（2019•合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE 并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（△1）求证：ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．25．（2019•安徽一模）如图，四边形ABCD内一点E满足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，AC交DE于点F，交BD于点G．（1）∠AGB的度数为．（2）若四边形AECD是平行四边形．①求证：AC＝AB；②若AE＝2，求AF•CG的值．26．（2019宣州区一模）将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．（1）如图1，若∠BAC＝α＝60°．①证明：AB∥EC；②证明：△DAF∽△DEC；（2）如图2，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．11/5727．（2019郊区一模）（1）问题发现如图（△1），在OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD 交于点M．①的值为；②∠AMB的度数为；（2）类比探究如图（△2），在OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸在（△2）的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．12/5728．（2019都江堰市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan A＝，AC＝6，以BC 为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．（1）求证：PC：CD＝CE：BC；（2）若PE＝n（0＜n≤△4），求BDP的面积；（用含n的代数式表示）（△3）当BDF为等腰三角形时，请直接写出线段PE的长度．13/5729．（2019曹县一模）如图1，ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（△1）求证：ADE≌△BFE；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG，交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．①求证：HC＝2AK；②当点G是边BC中点时，求的值．14/5730．（2019春江岸区校级月考）如图（1），AB⊥BC，CD⊥BC，点E在线段BC上，AE⊥ED，求证：＝．（△2）在ABC中，记tan B＝m，点E在边AB上，点D在直线BC上．①如图（2），m＝2，点D在线段BC上且AD⊥EC，垂足为F，若AD＝2EC，求；②如图（3），m＝＝2AC，若CD＝3，点D在线段BC的延长线上，ED交AC于点H，∠CHD＝60°，ED，BC＝4△，直接写出BED的面积．15/5731．（2019春包河区校级月考）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD．（1）①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系；（3）正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，求正方形CEGF和正方形ABCD的边长．16/57（答案与解析一．选择题1．2019萧山区模拟）如图，已知在△ABC中，点D为BC边上一点（不与点B，点C重合），连结AD，点E、点F分别为AB、AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG，并延长BG交AC于点H．已知＝2，①若AD为BC边上的中线，的值为；②若BH⊥AC，当BC＞2CD时，＜2sin∠DAC．则（）A．①正确；②不正确C．①不正确；②正确B．①正确；②正确D．①不正确；②正确解：①过点B作BM∥AC，与AD的延长线相交于点M，∴∠C＝∠MBD，在△ACD和△MBD中，，∴△ACD≌△MBD（ASA），∴AD＝MD，∵EF∥BC，，∴∴，，∵BM∥AC，∴△MBG∽△AHG，∴∴，，17/57△S ABD ＝（ ） （故①正确；（2）过点 D 作 DN ⊥AC 于点 N ，则 DN ＝AD sin ∠DAC ，∵BH ⊥AC ，DN ⊥AC ，∴BH ∥DN ，∴，即 ，∵BC ＞2CD ，∴∴，．故②错误；故选：A ．2． 2019 春 北碚区校级月考）如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，点 E 、F 分别是边 AB 、AC 上两点，且 EF ∥BC ，若 AE ：EB ＝2：1，则： △S AEFA ．2：1B ．4：9C ．2：318 / 57D ．8：9△S ABC ， （解：∵AE ：EB ＝2：1，∴AE ：AB ＝2：3，∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，∵D 为 BC 的中点，∴BD ＝CD ，△S ABD∴ ＝∴＝ ，故选：D ． 3． 2019•云南模拟）如图，点 D 、E 分别在△ABC 的边 AB 、AC 上，且 AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，若使△ADE 与△ABC 相似，则 AE 的长为（）A ．2B ．C ．2 或D ．3 或解：①若∠AED 对应∠B 时，解得 AE ＝ ；＝ ，即＝ ，②当∠ADE 对应∠B 时，＝ ，即 ＝ ，解得 AE ＝2．故选：C ．4．（2019•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知两点 A （7，5），B （4，3），先将线段 AB向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，然后以原点 O 为位似中心，将其缩小为原来的 ，得到线段 CD ，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A ．（4，3）B ．（4，3）或（﹣4，﹣3）19 / 57C．（﹣4，﹣3）D．（3，2）或（﹣3，﹣2）解：∵点A（7，5），B（4，3），先将线段AB向右平移1个单位，再向上平移1个单位，∴点A，B平移后的对应点的坐标为A′（8，6），B（5，4），∵以原点O为位似中心，将其缩小为原来的，得到线段CD，∴则点A′的对应点C的坐标为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．故选：B．5．（2019平房区一模）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，射线BF交AC于点G，交CD 的延长线于点E，则下列等式正确的为（）A．B．C．＝D．＝解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△ABF∽△DEF，△AFG∽△CBG，△EFD∽△EBC，△ABG∽△CEG，∵△ABF∽△DEF，∴＝，故A错误；∵△AFG∽△CBG，△ABG∽△CEG，∴∴＝＝，＝，，故B正确；∵△AFG∽△CBG，∴＝，故C错误；∵△EFD∽△EBC，∴＝，故D错误；故选：B．20/57（△S BDF ；6． 2019•成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （4，2），过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 △B ，将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD ，则 OC 的长度是（ ）A ．1B ．2C ．D ．解：∵点 A （4，2），过点 A 作 AB ⊥x 轴于点 △B ．将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD ，∴C （2，1），则 OC 的长度＝．故选：C ．7．（2019•铁西区三模）如图，在 △R tABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD ．过点 B 作 BG ⊥CD ，分别交 CD 、CA 于点 E 、F ，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G ，连结 DF ，给出以下四个结论：①；②若 AF ＝AB ，则点 D 是 AB 的中点；③若△S ABC＝1，则 ＝9④当 B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；其中正确的结论序号是（）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．①②③④解：依题意可得 BC ∥AG ，∴△AFG ∽△BFC ，∴ ＝ ，又AB＝BC，∴＝．故结论①正确；如右图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG与△BCD中，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，又BD＝AD，∴AG＝AD，在△AFG与△AFD中，∴△AFG≌△AFD（SAS），∵△ABC为等腰直角三角形，，，∴AC＝AB；∵△AFG≌△A FD，∴AG＝AD＝AB＝BC；∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB．故结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∴∠2＝∠ACB∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∴∠2＝45°，∴∠CFD＝∠AFD＝90°，△S ABC ；△S ABF ，△S BDF ＝△S BDF ． ∴CD 是 B 、C 、F 、D 四点所在圆的直径，∵BG ⊥CD ，∴＝ ，∴DF ＝DB ，故③正确；∵∴＝ ，∵AG ＝BD ， ＝ ，＝ ，∴ ＝ ，AF ＝ AC ，△S ABF ∴ ＝△S BDF ∴ ＝△S ABC △S ABC ∴，即 ＝12故结论④错误．故选：B ．8．（2019 杭州模拟）如图，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长，分别交对角线 BD 于点 F ，交 BC 边延长线于点 E ．若 FG ＝2，则 AE 的长度为（）A ．6解：∵AB ∥DG ，∴△ABF ∽△GDF ．∴＝2．B ．8C ．10D ．1223/57F，∴AG＝6．在△ADG和△ECG中，∴△ADG≌△ECG（AAS）．∴AG＝EG．∴AE＝2AG＝12．故选：D．9．（2019•宣州区一模）如图示，用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，分别在边AB BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是（）A．B．C．D．解：设七巧板的边长为x，则AB＝x+x，BC＝x+x+x＝2x，∴＝＝．故选：C．10．（2019△?中原区校级模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（）A．CD2＝AD•DB B．AC•DB＝BC•ADC．AD•BC＝AC•CD解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴CD2＝AD•DB，BC2＝BD•AB，故A、D选项正确；∵△ACD∽△CBD，∴＝＝，∴AC•DB＝BC•CD，故B选项错误；AD•BC＝AC•CD，故C选项正确；故选：B．D．BC2＝BD•AB11．（2019△?香坊区一模）如图，ABC中，G、E分别为A B、AC边上的点，GE∥BC，BD∥CE 交EG延长线于D，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：如图，设AB交CD于点O．∵DG∥BC，∴△DOG∽△COB，∴＝，∵BD∥AC，∴△DOB∽△COA，∴＝，∵BD∥AC，DE∥BC，∴四边形DECB是平行四边形，∴BD＝EC，∵GE∥BC，∴∴＝＝，，故选：D．二．填空题（共9小题）12．（2019沈阳模拟）如图，在△ABC中，AB：AC＝5：4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在线段AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，AG＝8，则线段DF的长是6．解：∵点H是AC的中点，∴AC＝2AH∵FG＝FD，EF⊥AD，∴EF为DG的中垂线∴GE＝DE∴∠EDG＝∠EGD∴∠AGH＝∠ADB∵AD平分∠BAC（∴∠BAD＝∠CAD，且∠AGH＝∠ADB∴△AGH∽△ADB∴∴＝＝＝，且AB：AC＝5：4，∴AD＝AG＝20∴DG＝AD﹣AG＝12，∴DF＝DG＝×12＝6故答案为：613．2019•拱墅区校级模拟）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，且AB＝5，BC＝3，则的值为．解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠CAD＝∠BAC∴△ACD∽△ABC，∴．故答案为：．14．（2019△?福田区校级模拟）如图，分别以ABC中BC和AC为腰向外作等腰直角△EBC和等腰直角△DAC，连结DE，且DE∥BC，EB＝BC＝6，四边形EBCD的面积为24，则AB的长为．△S DEC＝24﹣18＝6 △S ABC ＝ ＝3解：∵ ＝ BC ×BE ＝18，四边形 EBCD 的面积为 24，△S BEC ∴∵△EBC 与△DAC 是等腰直角三角形∴BE ＝BC ＝6，AC ＝DA ，∠EBC ＝∠DAC ＝90°，∠ECB ＝45°＝∠DCA ，∴EC ＝∵BC ，DC ＝ AC ，∠BCA ＝∠DCE ，，且∠BCA ＝∠DCE ，∴△ABC ∽△DEC∴∠DEC ＝∠ABC ，∴∵DE ∥BC∴∠DEC ＝∠ECB ＝45°∴∠ABC ＝45°如图，过点 A 作 AM ⊥BC 于 M∵ ＝ ×BC ×AM ＝3△S ABC∴AM ＝1∵∠ABC ＝45°，AM ⊥BC∴BM＝AM＝1，∴AB＝故答案为：15．（2019•昆明模拟）如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝7：2，连接AE交BD于点△F，则DEF的面积与△BAF的面积之比为49：81．解：∵＝，∴＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴∠FDE＝∠FBA，∠FED＝∠FAB，＝，∴△DFE∽△BFA，∴＝（）2＝，故答案为：49：81．μ16．（2019•道外区一模）如图，AD为△ABC的角平分线，AC＝BC，E在AC延长线上，且AD ＝DE，若AB＝6，CE＝2，则BD的长为2+．解：过D点作DF∥AB，∴∠1＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠3＝∠4，∴AF＝DF，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∴∠FDE＝∠2＝∠B ∴CD＝CF，∴BD＝AF，∵AD＝AF，∴∠3＝∠E，∴∠E＝∠1，在△ABD和EFD中，，△ABD≌△EFD（AAS）∴EF＝AB＝6，∵CE＝2，∴CF＝4，∵DF∥AB，∴△ABC∽FDC∴，∴，解得，（舍去）故答案为：2+．17．（2019春•和平区校级月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰△R t ABC和等腰△R t ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是①②③解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴＝，∠BAC＝45°，同理，＝，∠EAD＝45°，∴＝，∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，又∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴＝，∴MP•MD＝MA•ME，②正确；∵∠BEA＝∠CDA，∴P、E、D、A四点共圆，∴∠APM＝∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAM＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴＝，∴AC2＝CP•CM，∵AC2＝2CB2，∴2CB2＝CP•CM，③正确，故答案为：①②③．18．（2019•邗江区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC 上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒个单位．解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，∴∠BEP+∠BPE＝90°∵E为AB的中点，∴BE＝3∵PQ⊥EP∴∠BPE+∠CPQ＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ，且∠B＝∠C＝90°∴△BEP∽△CPQ∴∴CQ＝∴CQ的最大值为＝∴点Q路程＝2×＝∴点Q运动的平均速度＝÷（8÷1）＝故答案为：19．（2019•咸宁模拟）如图，▱ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE＝2，EC＝△3，BEF的面积是1，则▱ABCD的面积为．△S DFA＝△S BAF＝△S AFD＝+＝解：▱ABCD中，BE∥AD，∴△BFE∽△DFA而△BEF的面积是1，∴又∵△BFE∽△DFA∴利用＝，即可知△S ABD△S BAF△S DFA而＝+∴∴▱ABCD的面积＝×2＝故答案为．20．（2019简阳市模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A，作正方形A B C C；延长C B111111交x轴于点A，作正方形A B C C…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为5；22221第4个正方形的面积为（）3×5．解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．在△R t AOD中，AD＝∴正方形ABCD的面积为：（＝，）2＝5；∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝∠ABA＝90°＝∠DOA，1∴∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAA＝90°，1∴∠ADO＝∠BAA，1∵∠DOA＝∠ABA，1∴△DOA∽△ABA，1∴＝，即＝，解得：A B＝1，∴A C＝A B+BC＝11，∴正方形A B C C的面积为：（111）2＝；∵第1个正方形ABCD的面积为：5；第2个正方形A B C C的面积为：＝×5；111同理可得：第3个正方形A B C C的面积为：××5＝（）2×5；2221∴第4个正方形A B C C的面积为：（）3×5．3332故答案为：5，（）3×5．三．解答题（共11小题）21．（2019•徐汇区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．（△1）求证：ABE∽△DAF；（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DAF＝∠B，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠CAD＝∠ACB，∴∠DEC＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADF，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF．（2）∵AC•FC＝AE•EC，AC＝AB，∴AB•FC＝AE•EC，∴＝，∵∠B＝∠FCE，∠BAE＝∠FEC，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∴＝，∴FC＝EF，∴∠FEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠B，∴∠B＝∠FEC，∴AB∥DE，∵AD∥BE，∴四边形ADEB是平行四边形，∴AD＝BE．22．（2019青山区模拟）（1）如图1，AH⊥CG，EG⊥CG，点D在CG上，AD⊥CE于点F，求证：；（△2）在ABC中，记tan B＝m，点D在直线BC上，点E在边AB上①如图2，m＝3，点D在线段BC上，且AD⊥CE于点F，若AD＝3CE，则＝；②如图3，m＝＝2AC，CD＝，点D在线段BC的延长线上，连接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE，求BE的长．（1）证明：∵AH⊥CG，EG⊥CG，AD⊥CE，∴∠AHD＝∠G＝∠AFC＝90°，∴∠A+∠ADC＝∠C+∠CDF＝90°，∴∠A＝∠C，∴△ADH∽△CEG，∴；（2）解：如图2，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EH⊥BC于点H，∵tan B＝m＝2＝＝，∴设EH＝2x，BH＝x，AM＝2BM∴BE＝＝x，∵AF⊥EC，AM⊥CD∴∠ADC+∠DCE＝90°，∠ADC+∠DAM＝90°，∴∠DAM＝∠DCE，且∠AMD＝∠EHC＝90°∴△EHC∽△DMA，且AD＝2EC，∴＝＝＝2，∴DM＝2EH＝4x，AM＝2HC，∵AM＝2HC，AM＝2BM∴HC＝BM∴HC﹣HM＝BM﹣HM∴BH＝MC＝x∴DC＝DM+MC＝5x∴＝＝，故答案为：；（3）解：如图3，作∠BCF＝∠B，交AB于点F，过点D作GD⊥BD交BA的延长线于点G，过点F作FH⊥BC于点H，∵tan B＝m＝，∴∠B＝30°，∵∠BCF＝∠B＝30°，∴BF＝FC，且FH⊥BC，BC＝4，∴BH＝HC＝2，且∠B＝30°，FH⊥BC∴FH＝2，BF＝FC＝4，∵CD＝3∴BD＝7，BC＝4，，又∵∠BCF＝∠B＝30°，GD⊥BD，∴∠G＝60°，∠AFC＝60°，GD＝7，BG＝2DG＝14，∵∠BCA＝∠BDE+∠CMD＝∠BDE+60°＝∠BCF+∠ACF＝30°+∠ACF，∴∠ACF＝30°+∠BDE，且∠AEM＝∠B+∠BDE＝30°+∠BDE，∴∠ACF＝∠AEM，且∠G＝∠AFC＝60°∴△GED∽△FCA（∴＝＝，且DE＝2AC，∴GD＝2AF，EG＝2FC＝8，∴AF＝，∴BE＝BG﹣EG＝14﹣8＝6．23．2019闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．（1）证明：∵PB⊥AM，PC⊥AN，∴∠PBA＝∠PCA＝90°，∵∠BAC+∠PCA+∠BPC+∠PBA＝360°，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠MAN＝∠BPD；（2）解：∵BE⊥AP，∠D＝90°，BE＝BD，∴∠BPD＝∠BPE．∴∠BPE＝∠BAC，在△R t ABP中，由∠ABP＝90°，BE⊥AP，∴∠APB＝∠ABE，∴∠BAC＝∠ABE，∴sin∠BAC＝sin∠ABE＝＝，，∵AB＝2∴AE＝6，∴BE＝＝2，∴BD＝BE＝2；（3）解：过点B作BG⊥AC，垂足为点G．过点Q作QH∥BD，设BD＝2a，PC＝2b，∵∠BPD＝∠MAN＝45°，∴DP＝BD＝2a，∴CD＝2a+2b，在△R t ABG和△R t BDP中，∠BAC＝∠BPD＝45°，∴BG＝AG，DP＝BD，∵QH∥BD，点Q为BP的中点，∴PH＝PD＝a．QH＝BD＝a，∴CH＝PH+PC＝a+2b，∵BD∥AC，CD⊥AC，BG⊥AC，∴BG＝DC＝2a+2b．∴AC＝4a+2b，∵BE∥QC，BE⊥AP，∴∠CFP＝∠BEP＝90°，又∠ACP＝90°，∴∠QCH＝∠PAC，∴△ACP∽△QCH，∴＝，即＝，解得，a＝b，∴CH＝3a．由勾股定理得，CQ＝＝a，∵∠QHC＝∠PFC＝90°，∠QCH＝∠PCF，∴△QCH∽△PFC，∴＝，即＝，解得，FC＝a，∴QF＝QC﹣FC＝a，∵BE∥QC，Q是PB的中点，∴PE＝EF，∴△PQF与△CEF面积之比等于高之比，∴＝＝．24．（2019•合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE 并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（△1）求证：ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）；（2）∵AB∥CG，∴∠ABG＝∠EGD，由（△1）得ABE≌△ADE，∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE，∴∠EGD＝∠ADE，∵∠FED＝∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴，所以ED2＝EF•EG；∴EB2＝EF•EG；（3）∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2，∵AE：EC＝1：3，∴AE＝OE＝1．．∴BE＝∵AD∥BC，∴，∴EF＝BE＝．由（2）得EB2＝EF•EG，∴EG＝，∴BG＝BE+EG＝4．25．（2019•安徽一模）如图，四边形ABCD内一点E满足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，AC交DE于点F，交BD于点G．（1）∠AGB的度数为90°．（2）若四边形AECD是平行四边形．①求证：AC＝AB；②若AE＝2，求AF•CG的值．解：（△1）在DEB和△AEC中，，∴△DEB≌△AEC（SAS）．∴∠EDB＝∠EAC．∵∠EFA+∠EAF＝90°，∠EFA＝∠DFG，∴∠DFG+∠FDG＝90°，∴∠AGB＝90°．故答案为90°；（2）①∵四边形AECD是平行四边形，∴∠AED＝∠EDC＝90°，AE＝AD．∵△ADE是等腰三角形，∴AE＝ED．∴ED＝EC，∠CED＝45°．∴∠BED＝90°+45°＝135°．∵∠AED＝∠BEC＝90°，∴∠AEB＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°．又EB＝EB，ED＝EA，∴△BAE≌△BDE（SAS），∴DB＝AB；∵∠BEC＝∠AED＝90°，∴∠BED＝∠CEA．∵EB＝EC，EA＝ED，∴△BED≌△CEA（SAS），∴BD＝CA，∴AC＝AB．②∵△BAE≌△BDE，∴△CAE≌△BAE．∴∠BAE＝∠CAE＝∠BDE．∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠BAE＝90°．∵∠GFD＝∠AFE，∠EDB＝∠EAB，∴∠EDB+∠GFD＝90°，即∠CGD＝90°．∵∠FAE＝90°，∠GCD＝∠AEF，∴△CGD∽△AEF，∴，∴AF•CG＝CD•AE＝4．故答案为90°．26．（2019△?宣州区一模）将ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．（1）如图1，若∠BAC＝α＝60°．①证明：AB∥EC；②证明：△DAF∽△DEC；（2）如图2，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．解：（△1）①∵ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∵∠EAC＝α＝60°．∴△AEC为等边三角形，∴∠ACE＝∠BAC＝60°，∴AB∥EC；②∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠ACB，又∵∠ADE＝∠FDC，∴△ADE∽△FDC，∴＝，∴＝，又∵∠ADF＝∠EDC，∴△DAF∽△DEC；（△2）①∵ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠ACB，又∵∠AGE＝∠FGC，∴△AGE∽△F G C；②∵△AGE∽△FGC，∴∴＝＝，，又∵∠AGF＝∠EGC，△AGF∽△EGC；综上所述，△AGE∽△FGC，△AGF∽△EGC；27．（2019郊区一模）（1）问题发现如图（△1），在OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD 交于点M．①的值为1；②∠AMB的度数为36°；（2）类比探究如图（△2），在OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸在（△2）的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠DOA＝∠COD+∠DOA，∴∠COA＝∠DOB，又∵OA＝OB，OC＝OD，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1，故答案为：1；②设AO与BD交于点E，由①知，△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB+∠DBO＝∠DEO，∠AMB+∠CAO＝∠DEO，∴∠AOB＝∠AMB＝36°，故答案为：36°；（△2）在OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，∴tan30°＝＝＝，∵∠AOB+∠DOA＝∠COD+∠DOA，即∠DOB＝∠COA，∴△DOB∽△COA，∴＝＝，∠DBO＝∠CAO，∵∠DBO+∠OEB＝90°，∠OEB＝∠MEA，∴∠CAO+∠MEA＝90°，∴∠AMB＝90°，∴＝，∠AMB＝90°；（3）①如图3﹣1，当点M在直线OB左侧时，在△R t OCD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，在△R t OAB中，∠OAB＝30°，OB＝∴AB＝2，，由（2）知，∠AMB＝90°，且＝，∴设BD＝x，则AC＝AM＝在△R t AMB中，AM2+MB2＝AB2，x，∴（x）2+（x+2）2＝（2）2，解得，x＝3，x＝﹣4（舍去），12∴AC＝AM＝3；②如图3﹣2，当点M在直线OB右侧时，在△R t AMB中，AM2+MB2＝AB2，∴（x）2+（x﹣2）2＝（2）2，解得，x＝4，x＝﹣3（舍去），12∴AC＝AM＝4，综上所述，AC的长为3或4．28．（2019都江堰市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan A＝，AC＝6，以BC 为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．（1）求证：PC：CD＝CE：BC；（2）若PE＝n（0＜n≤△4），求BDP的面积；（用含n的代数式表示）（△3）当BDF为等腰三角形时，请直接写出线段PE的长度．（△1）证明：∵PCD，△EBC都是等腰直角三角形，∴CD＝PC，BC＝CE，∴∴＝＝＝，＝＝，（2）解：如图1中，作PH⊥BD于H，∵△PCD，△EBC都是等腰直角三角形，∴∠PCD＝∠BCE＝45°，∠PBC＝∠PDC＝45°，∴B、C、P、D四点共圆，∴∠DBP＝∠PCD＝45°，∴∠CBD＝∠DBP+∠PBC＝45°+45°＝△90°，PBH是等腰直角三角形，∵∠BCE＝∠DCP＝45°，∴∠BCD＝∠ECP，∵∠CEP＝∠CBD＝90°，∴△CBD∽△CEP，∴＝＝，∵PE＝n，∴BD＝∵tan A＝∴BC＝4n，＝，AC＝6，，∴EC＝BE＝4，∴PB＝4+n，PH＝BH＝（4+n），。

2019--2020学年浙江省九年级上册数学(浙教版)《相似三角形》试题分类——解答题

2019--2020学年浙江省九年级上册数学(浙教版)《相似三角形》试题分类——解答题

2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《相似三角形》试题分类——解答题1．（2019秋•江干区期末）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 上的点，若CC CC=CC CC=23，AB ＝8cm ，求DE 的长．2．（2019秋•江干区期末）如图1，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ． （1）求证：BE •BC ＝AE •CD ；（2）如图2，若点P 是边AD 上一点，且PE ⊥EC ．求证：AE •AB ＝DE •AP ．3．（2019秋•德清县期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠ADE ＝∠B ． 求证：（1）△ABD ∽△ADE ； （2）AD 2＝AE •AB ．4．（2019秋•诸暨市期末）锐角△ABC 中，BC ＝6，AD 为BC 边上的高线，S △ABC ＝12，两动点M ，N 分别在边AB ，AC 上滑动，且MN ∥BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN （如图1），设其边长为x ， （1）当PQ 恰好落在边BC 上（如图2）时，求x ； （2）正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为163时，求x 的值．5．（2019秋•滨江区期末）如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 于点E ，交CD 于点F ，BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．（1）求证：∠A ＝∠D ．（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．6．（2019秋•新昌县期末）在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是线段AB上一点，且DB＝4，过点D 作DE与线段AC相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．请根据下列两位同学的交流回答问题：（1）写出正确的比例式及后续解答；（2）指出另一个错误，并给予正确解答．̂的中点，且与点C位于AB的异侧，CD 7．（2019秋•余姚市期末）如图1，△ABC内接于⊙O，点D是CC交AB于点E．（1）求证：△ADE∽△CDA．（2）如图2，若⊙O的直径AB＝4√6，CE＝2，求AD和CD的长．8．（2019秋•长兴县期末）如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．（1）求证：△AEB∽△CED；（2）若BC＝6，EC＝3，AE＝2，求AB的长．9．（2019秋•嘉兴期末）如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD 交于点E．（1）求证△DCE∽△DBC；（2）若CE=√5，CD＝2，求直径BC的长．10．（2019秋•余杭区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连结DE，BD．（1）求证：△ADE∽△ABC．（2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．11．（2019秋•下城区期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是边BC上一点，AB2＝BD•BC，E为线段AD中点，连结CE并延长交AB于点F．（1）求证：AD⊥BC．（2）若AF：BF＝1：3，求证：CD：DB＝1：2．12．（2019秋•瑞安市期末）如图Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，∠B＝40°，∠E＝20°，用一条过顶点的线段将Rt△ABC分割成两个三角形，再用另一条过顶点的线段将Rt△DEF也分割成两个三角形；所分割成的四个三角形恰好是两对相似三角形．（要求：1．用三种不同的方法；2．在图中标出相应的锐角度数．）13．（2019秋•北仑区期末）如图，下列网格由小正方形组成，点A，B，C都在正方形网格的格点上．（1）在图1中画出一个以线段BC为边，且与△ABC面积相等但不全等的格点三角形；（2）在图2和图3中分别画出一个以线段AB为边，且与△ABC相似（但不全等）的格点三角形，并写出所画三角形与△ABC的相似比．（相同的相似比算一种）14．（2019秋•临安区期末）如图，点B 、D 、E 在一条直线上，BE 交AC 于点F ，CC CC=CC CC，且∠BAD ＝∠CAE ．（1）求证：△ABC ∽△ADE ； （2）求证：△AEF ∽△BCF ．15．（2019秋•越城区期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACB ，点E ，F 分别在AB ，BC 上，且∠EFB ＝∠D ．（1）求证：△EFB ∽△CDA ；（2）若AB ＝20，AD ＝5，BF ＝4，求EB 的长．16．（2019秋•镇海区期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm 和8cm ，它们的周长之和为56cm ，面积之差为28cm 2，求较小相似多边形的周长与面积． 17．（2019秋•南浔区期末）如图，在由12个小正方形构造成的网格图（每个小正方形的边长均为1）中，点A ，B ，C（1）画出△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；（2）若点D ，E 也是网格中的格点，画出△BDE ，使得△BDE 与△ABC 相似（不包括全等），并求相似比．18．（2019秋•江干区期末）如图，在菱形ABCD 中，点E 在BC 边上（不与点B 、C 重合），连接AE 、BD交于点G ．（1）若AG ＝BG ，AB ＝4，BD ＝6，求线段DG 的长；（2）设BC ＝kBE ，△BGE 的面积为S ，△AGD 和四边形CDGE 的面积分别为S 1和S 2，把S 1和S 2分别用k 、S 的代数式表示； （3）求C 2C 1的最大值．19．（2019秋•萧山区期末）如图，⊙ABCD 中，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，CE 平分∠DCB 交AD 于点E ，BF 和CE 相交于点P ． （1）求证：AE ＝DF ． （2）已知AB ＝4，AD ＝5 ⊙求CC CC的值；⊙求四边形ABPE 的面积与△BPC 的面积之比．20．（2019秋•海曙区期末）如图是5×5的正方形网格，△ABC 的三个顶点均在格点上． （1）将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB 1C 1，在图⊙中作出△AB 1C 1； （2）在图⊙中作一个与△ABC 相似且面积最大的格点△A 2B 2C 2；（3）在图⊙中找出三个与点A 、B 、C 在同一圆上的格点，并用D 1，D 2，D 3标注．2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《相似三角形》试题分类——解答题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题） 1．【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵CC CC=CC CC=23，∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CAB ， ∴CC CC=CC CC=23，∵AB ＝8cm ，∴DE =163cm ． 2．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，AB ＝CD ．AD ＝BC ，∠BAD ＝90°， ∵AE ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠AED ＝90°，∴∠BAE +∠ABE ＝∠BAE +∠EAD ， ∴∠ABE ＝∠DAE ， ∴△ABE ∽△DAE ， ∴CC CC =CC CC ， ∴CC CC=CC CC，∴BE •BC ＝AE •CD ； （2）证明：如图⊙中， ∵AE ⊥BD ，PE ⊥EC ， ∴∠AED ＝∠PEC ＝90°， ∴∠AEP ＝∠DEC ，∵∠EAD +∠ADE ＝90°，∠ADE +∠CDE ＝90°， ∴∠EAP ＝∠EDC ， ∴△AEP ∽△DEC ， ∴CC CC=CC CC，∵AB ＝CD ，∴AE •AB ＝DE •AP ． 3．【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠DAE ， ∵∠ADE ＝∠B ． ∴△ABD ∽△ADE ；（2）∵△ABD ∽△ADE ， ∴CC CC=CC CC∴AD 2＝AE •AB ． 4．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵BC ＝6，AD 为BC 边上的高线，S △ABC ＝12， ∴12×6⋅CC =12， ∴AD ＝4，设AD 交MN 于点H ，∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ， ∴CC CC=CC CC，即4−C 4=C6，解得x =125， ∴当PQ 恰好落在边BC 上时，x =125．（2）⊙当PQ 在△ABC 的内部时，正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积即为正方形MPQN 的面积，∴C 2=163，解得C =4√33，⊙当PQ 在△ABC 的外部时，如图3，PM 交BC 于点E ，QN 交BC 于点F ，AD 交MN 于点H ，设HD ＝a ，则AH ＝4﹣a ， 由CC CC=CC CC得4−C 4=C 6，解得a =−23C +4，∴矩形MEFN 的面积为MN ⋅CC =C (−23C +4)=−23C 2+4C （2.4＜x ≤6）． 即−23C 2+4C =163，解得x 1＝4，x 2＝2（舍去），综上：正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为163时，x 为4√33或4．5．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92． ∴CC CC=CC CC，∵∠AOB ＝∠COD ， ∴△OAB ∽△ODC ， ∴∠A ＝∠D ．（2）∵∠A ＝∠D ， ∴AB ∥CD ， ∴CC CC =CC CC ，CC CC=CC CC，∴CC CC=CC CC．∵AE ＝BE ， ∴CF ＝DF ． 6．【答案】见试题解答内容 【解答】解（1）CCCC =CCCC，∴CC =CC ⋅CC CC =2×56=53．（2）另一个错在没有进行分类讨论，如图，过点D 作∠ADE ＝∠ACB ，则△ADE ∽△ACB ， ∴CC CC=CCCC，∴CC =CC ⋅CC CC =2×54=52．综合以上可得，DE =53或52．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵点D 是CCĈ的中点， ∴CĈ=CC ̂ ∴∠ACD ＝∠BAD ， ∵∠ADE ＝∠CDA ∴△ADE ∽△CDA （2）连结BD ，∵点D 是CCĈ的中点， ∴AD ＝BD∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴△ADB 为等腰直角三角形， ∴CC =2=√62=4√3， 由（1）得△ADE ∽△CDA ，∴CC CC=CC CC，即AD 2＝CD •ED，∴(4√3)2=CC (CC −2)，∴CD 2﹣2CD ﹣48＝0，解得CD ＝8或﹣6． ∴CD ＝8．8．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BC ＝CD ， ∴∠DBC ＝∠D ， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠DBC ＝∠DBA ， ∴∠D ＝∠DBA ，又∵∠AEB ＝∠CED ， ∴△AEB ∽△CED ；（2）解：∵△AEB ∽△CED ， ∴CC CC =CC CC ，又∵BC ＝CD ＝6，EC ＝3，AE ＝2， ∴CC 6=23，∴AB ＝4． 9．【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵D 是弧AC 的中点， ∴CĈ=CC ̂， ∴∠ACD ＝∠DBC ，且∠BDC ＝∠EDC ， ∴△DCE ∽△DBC ； （2）∵BC 是直径， ∴∠BDC ＝90°，∴DE =√CC 2−CC 2=√5−4=1， ∵△DCE ∽△DBC ， ∴CC CC =CCCC ，∴12=√5CC， ∴BC ＝2√5． 10．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AE •AB ＝AD •AC ， ∴AE ：AC ＝AD ：AB ， ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC ．（2）解：∵点E 为AB 中点，∴AE ＝BE ，∵AD ：AE ＝6：5，∴设AD ＝6x ，则AE ＝5x ，AB ＝10x ， ∵AE •AB ＝AD •AC ，∴AC =CC ⋅CC CC=5C ⋅10C 6C =253x ， ∴CD ＝AC ﹣AD =73x ， ∴CC CC=725，∵△ABC 的面积为50，∴△BCD 的面积=725×50＝14．11．【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AB 2＝BD •BC ， ∴CC CC=CC CC，又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBA ，∴∠BDA ＝∠BAC ＝90°，即AD ⊥BC ． （2）作EG ∥CB 交AB 于点G ， 则△AEG ∽△ADB ， ∴CC CC =CC CC =CC CC=12，∴BD ＝2EG ， ∵CC CC =13， ∴CC CC=13，∵EG ∥CB ，∴△FEG ∽△FCB ， ∴CC CC=CC CC=13，∴BC ＝3EG ，∴CB ：DB ＝3：2． ∴CD ：DB ＝1：2．12．【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法一：方法二：方法三：方法四：方法五：13．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示，△BCD即为所求．（2）如图所示，△ABE和△ABF即为所求，相似比C=√10 2；相似比C =√5．14．【答案】见试题解答内容【解答】（1）∵∠BAD ＝∠CAE∴∠BAD +∠CAD ＝∠CAE +∠CAD即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中CC CC =CC CC ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE ；（2）∵△ABC ∽△ADE ，∴∠C ＝∠E 、在△AEF 和△BFC 中，∠C ＝∠E ，∠AFE ＝∠BFC ，∴△AEF ∽△BCF ．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠DAC ，∵∠D ＝∠EFB ，∴△EFB ∽△CDA ；（2）∵△EFB ∽△CDA ，∴CC CC =CC CC ，∵AB ＝AC ＝20，AD ＝5，BF ＝4，∴BE ＝16．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：设较小相似多边形的周长为x ，面积为y ，则较大相似多边形的周长为56﹣x ，面积28+y ， 根据题意得C56−C =68，C 28+C =（68）2， 解得x ＝24，y ＝36，所以较小相似多边形的周长为24cm ，面积为36cm 2．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图2所示：△BDE ，即为所求，相似比为：√2：2．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AG ＝BG ，∴∠BAG ＝∠ABG ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴∠BAG ＝∠ADB ，∴△BAG ∽△BDA ，∴CC CC =CC CC ，即4CC =64， ∴BG =83， ∴DG ＝BD ﹣BG ＝6−83=103；（2）∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝AD ＝kBE ，AD ∥BC ，∵AD ∥BE ，∴∠DAE ＝∠BEA ，∠ADG ＝∠BEG∴△ADG ∽△EBG ，∴C 1C =（CC CC ）2＝k 2，CC CC =CC CC =k ， ∴S 1＝k 2S ， ∵C 1C △CCC =CC CC=k ， ∴S △ABG =C 1C ，∵△ABD 的面积＝△BDC 的面积，∴S 2＝S 1+C 1C −S ＝k 2S +kS ﹣S ＝（k 2+k ﹣1）S ；（3）∵C 2C 1=C 2+C −1C 2=1+1C −1C 2=−（1C −12）2+54， ∴C 2C 1的最大值为54．19．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，DC ＝AB ，AD ＝BC ，∴∠AFB ＝∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC ，则∠ABF ＝∠AFB ，∴AF ＝AB ，同理可证：DE ＝DC ，∴AF ＝DE ，∴AE ＝DF ．（2）⊙解：由（1）可知AB ＝AF ＝DE ＝4，∵AD ＝5，∴AE ＝DF ＝1，EF ＝3，∵EF ∥BC ，∴CC CC =CC CC =35．⊙解：连接P A ．设△AEP 的面积为S ．∵EF ＝3AE ，∴△EFP 的面积为3S ，∵△EFP ∽△CBP ，∴C △CCCC △CCC =（CC CC ）2=925， ∴S △BCP =253S ， ∵PB ：PF ＝5：3，∴S △APB ：S △APF ＝5：3，∴S △ABP =203S ，∴S 四边形ABPE =233S ，∴C 四边形CCCCC △CCC =233C 253C =2325． 20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）△AB 1C 1如图所示．（2）△A 2B 2C 2如图所示．（3）D 1，D 2，D 3如图所示．（答案不唯一）。

2020年中考数学专题 相似三角形综合练习(含答案)

2020年中考数学专题 相似三角形综合练习(含答案)

2020年中考数学专题 相似三角形综合（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.如图，在△ABC 中，∠ACB= 90，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD=DE=a ，则AB 的长为（ ）A ．2aB ．a 22C ．3aD ． 2.根据下列条件，△ABC 和△111C B A 不相似的是（）A.∠A=68°，∠B=40°，∠A 1=68°，∠B 1=72°B.∠B=∠B 1，BC=2，BC:A 1 B 1= A B: B 1C 1C.AB=1，BC=2， CA=1.5，A 1 B 1=4， B 1 C 1 =8，D.AB=12，BC=15，CA=24，A 1 B 1=24，A 1 B 1=20，B 1 C 1 =25，A 1 C 1=32 3.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（ ） A.只能选在原图形的外部B.只能选在原图形的内部C.只能选在原形的边上D.可以选择任意位置4.如图，AB ，CD 都是BD 的垂线，AB=4，CD=6，BD=14。

P 是BD 上一点，连接AP ，CP ，所得两个三角形相似，则BP 的长是（ ）A.2B.5.6C.12D.上述都有可能5.如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC=30°，窗户的高在教室地面上的影长MN=32m ，窗户的下沿到教室地面的距离BC=1m （点M ，N ，CC 在同一直线上），则窗户的高CAA B CD a 3346.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE:EA=3:4，EF=3，则CD 的长为（ ）A.4B.7C.3D.127.如图1，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD:DB = 3:5，那么CF ∶CB 等于（ ） A. 5:8 B. 3:8 C. 3:5 D.8.如图，如果点C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），则下列比例式正确的是（ ）A.AB ACAC BC= B.AB BC BC AC = C. AC BC BC AB = D. AC ABAB BC=9.如图，P 为平行四边形ABCD 的边AD 上的一点，E 、F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为12,,S S S ，若3S =，则12S S +的值为（）A.24B.12C.6D.3 10.如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ） A.3:2 B.3:1 C.1:1 D.1:2 二、填空题（共有8道小题）11.如图，梯形ABCD 的对角线相交于O ，G 是BD 的中点．若AD = 3，BC = 9，则GOBG=A B C DE F A B C P A BCDE F E F A B CD12.如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果， 那么 ．13.如图，正五边形ABCDE 与五边形A ’B ’C ’D ’E ’是位似图形，且相似比为21。

初三数学13 相似三角形-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

初三数学13 相似三角形-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

专题13 相似三角形一．选择题1．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，,,AB CD AC BD ∥相交于点E ，1,2,3AE EC DE ===，则BD 的长为（ ）A ．32B ．4C ．92D ．6【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE 的长，即可求得BD 的长．【详解】∵//AB CD ∴ABE CDE ∽ ∴AE BE EC DE= ∵1,2,3AE EC DE ===，∴32BE =∵BD BE ED =+ ∴92BD = 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．2．（2022·广西贺州）如图，在ABC 中，25DE BC DE BC ==∥，，，则:ADE ABC S S 的值是（ ）A ．325B ．425C ．25D ．35【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADE ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：25DE BC DE BC ==∥，，∴ADE ABC ，∴2224525ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．（2022·广西梧州）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形''''A B C D ﹐已知'13OA OA =，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形''''A B C D 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【答案】D 【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：由题意可知，四边形ABCD 与四边形''''A B C D 相似，由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：''''22'1139ABCD A B C D S OA S OA ⎛⎫⎛⎫= ⎪= ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又四边形ABCD 的面积是2，∴四边形''''A B C D 的面积为18，故选：D ．【点睛】本题考察相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．4．（2022·四川雅安）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，若AD BD ＝21，那么DE BC ＝（ ）A ．49B ．12C ．13D ．23【答案】D【分析】先求解2,3AD AB =再证明,ADE ABC ∽可得2.3DE AD BC AB ==【详解】解： AD BD ＝21，2,3AD AB ∴= DE ∥BC ，,ADE ABC ∴ ∽ 2,3DE AD BC AB ∴== 故选D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明ADE ABC △△∽是解本题的关键．5．（2022·内蒙古包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接,AB CD ，则ABE △与CDE △的周长比为（ ）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：1【答案】D 【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM 为平行四边形，接着证明ABE CDE ∽，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，3DM =，3BC =， ∴DM BC =，而DM BC ∥，∴四边形DCBM 为平行四边形，∴AB DC ∥，∴BAE DCE ∠=∠，ABE CDE ∠=∠，∴ABE CDE ∽，∴21ABE CDE C AB C CD ===△△．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．6．（2022·黑龙江绥化）如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一个动点，连接BP ，CP ，过点B 作射线，交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =，其中25x < ．则下列结论中，正确的个数为（ ）（1）y 与x 的关系式为4y x x =-；（2）当4AP =时，ABP DPC ∽；（3）当4AP =时，3tan 5EBP ∠=．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】（1）证明ABM APB ∽，得AB AM AP AB=，将2AB =，AP x =，PM y =代入，即可得y 与x 的关系式；（2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定ABP DPC ∽；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，在Rt APB △中，由勾股定理得BP 的长，证明FPM APB ∽，求出MF ，PF ，BF 的长，在Rt BMF △中，求出tan EBP ∠的值即可．【详解】解：（1）∵在矩形ABCD 中，∴AD BC ∥，90A D ∠=∠=︒，5BC AD ==，2AB DC ==，∴APB CBP ∠=∠，∵ABE CBP =∠∠，∴ABE APB ∠=∠，∴ABM APB ∽，∴AB AM AP AB=，∵2AB =，AP x =，PM y =，∴22x y x -=，解得：4y x x=-，故（1）正确；（2）当4AP =时，541DP AD AP =-=-=，∴12DC DP AP AB ==，又∵90A D ∠=∠=︒，∴ABP DPC ∽，故（2）正确；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，∴90A MFP MFB ∠=∠=∠=︒，∵当4AP =时，此时4x =，4413y x x =-=-=，∴3PM =，在Rt APB 中，由勾股定理得：222BP AP AB =+，∴BP ===，∵FPM APB ∠=∠，∴FPM APB ∽，∴MF PF PM AB AP PB ==，∴24MF PF ==∴MF =PF =∴BF BP PF =-=∴3tan 4MF EBP BF ∠===故（3）不正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．7．（2022·湖北鄂州）如图，定直线MN ∥PQ ，点B 、C 分别为MN 、PQ 上的动点，且BC =12，BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ =60°．点A 是MN 上方一定点，点D 是PQ 下方一定点，且AE ∥BC ∥DF ，AE =4，DF =8，ADBC 在平移过程中，AB +CD 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，可证明四边形CDFH 是平行四边形，得到CH =DF =8，CD =FH ，则BH =4，从而可证四边形ABHE 是平行四边形，得到AB =HE ，即可推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，证明四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，得到EG =BC =12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET 和TF 的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，∵BC DF FH CD ∥∥，，∴四边形CDFH 是平行四边形，∴CH =DF =8，CD =FH ，∴BH =4，∴BH =AE =4，又∵AE BC ∥，∴四边形ABHE 是平行四边形，∴AB =HE ，∵EH FH EF +≥，∴当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，∵MN PQ BC AE ∥∥，，∴四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，∴EG =BC =12，∴=cos =6=sin GT GE EGT ET GE EGT ⋅⋅∠，∠，同理可求得8GL AL ==，，4KF DK ==，，∴2TL =，∵AL ⊥PQ ，DK ⊥PQ ，∴AL DK ∥，∴△ALO ∽△DKO ，∴2AL AO DK DO==，∴2133AO AD DO AD ====∴24OL OK ===，，∴42TF TL OL OK KF =+++=，∴EF ==故选C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF 是解题的关键．8．（2022·广西贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，动点E 在AB 边上（与点A 、B 均不重合），点F 在对角线AC 上，CE 与BF 相交于点G ，连接,AG DF ，若AF BE =，则下列结论错误的是（ ）A ．DF CE =B ．120BGC ∠=︒C ．2AF EG EC =⋅D ．AG【答案】D【分析】先证明△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，得DF =CE ，判断A 项答案正确，由∠GCB +∠GBC =60゜，得∠BGC =120゜，判断B 项答案正确，证△BEG ∽△CEB 得BE CE GE BE= ，即可判断C 项答案正确，由120BGC ∠=︒，BC =1，得点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，易得当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，由勾股定理求得AG D 项错误．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴AB =AD =BC =CD ，∠BAC =∠DAC =12∠BAD =12(180)ABC ⨯︒-∠=60ABC ︒=∠，∴△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，∴DF =CE ，故A 项答案正确，∠ABF =∠BCE ，∵∠ABC =∠ABF +∠CBF =60゜，∴∠GCB +∠GBC =60゜，∴∠BGC =180゜-60゜=180゜-（∠GCB +∠GBC ）=120゜，故B 项答案正确，∵∠ABF =∠BCE ，∠BEG =∠CEB ，∴△BEG ∽△CEB ，∴BE CE GE BE = ，∴2BE GE CE = ，∵AF BE =，∴2AF GE CE = ，故C 项答案正确，∵120BGC ∠=︒，BC =1，点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，∴当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，如下图，∵△ABC 是等边三角形，BC =1，∴BF AC ⊥，AF =12AC =12，∠GAF =30゜，∴AG =2GF ，AG 2=GF 2+AF 2，∴2221122AG AG ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得AG D 项错误，故应选：D【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．9．（2022·贵州贵阳）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==，∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．10．（2022·广西）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为1：9，故选：C ．【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．11．（2022·山东临沂）如图，在ABC 中，∥DE BC ，23AD DB =，若6AC =，则EC =（ ）A ．65B ．125C ．185D ．245【答案】C【分析】由∥DE BC ，23AD DB =，可得2,3AD AE DB EC ==再建立方程即可．【详解】解： ∥DE BC ，23AD DB =，2,3AD AE DB EC ∴== 6AC =，62,3CE CE -∴= 解得：18.5CE =经检验符合题意故选C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“23AD AE DB EC ==”是解本题的关键．12．（2022·山东威海）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为( )A ．（43）3B ．（43）7C ．（43）6D ．（34）6【答案】C【分析】根据题意得出A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，确定与△AOB 位似的三角形为△GOH ，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=6x ，再由相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°∴∠AOG ＝180°，∠BOH ＝180°，∴A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，∴与△AOB 位似的三角形为△GOH ，设OA =x ，则OB=1cos30OA x ==︒，∴OC=24cos303OB x x ==︒，∴OD=3cos30OC x ==︒，…∴OG=6x ，∴6OG OA =，∴12643GOH AOB S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∵1AOB S = ，∴643GOH S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故选：C ．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键．二．填空题13．（2022·贵州黔东南）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ，若点M 是BC 边的中点，则FG =______cm．【答案】53【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4，EM =CM =2，连接DF ，设FE =x ，由勾股定理得BF ，DF ，从而求出x 的值，得出FB ，再证明FEG FBM ∆∆ ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG ．【详解】解：连接,DF 如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴4,90.AB BC CD DA A B C CDA ︒====∠=∠=∠=∠=∵点M 为BC 的中点，∴114222BM CM BC ===⨯=由折叠得，2,4,ME CM DE DC ====∠90,DEM C ︒=∠=∴∠90DEF ︒=，90,FEG ∠=︒设,FE x =则有222DF DE EF =+∴2224DF x =+又在Rt FMB ∆中，2,2FM x BM =+=，∵222FM FB BM =+∴FB ==∴4AF AB FB =-=在Rt DAF ∆中，222,DA AF DF +=∴2224(44,x +=+解得，124,83x x ==-（舍去）∴4,3FE =∴410233FM FE ME =+=+=∴83FB ==∵∠90DEM ︒=∴∠90FEG ︒=∴∠,FEG B =∠又∠.GFE MFB =∠∴△FEG FBM∆ ∴,FG FE FM FB=即4310833FG =∴5,3FG =故答案为：53【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．14．（2022·上海）如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC 上，AD DE AB BC=，则AE AC =_____．【答案】12或14【分析】由题意可求出12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，满足112DE BC =，进而可求此时112AE AC =，然后在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝14AC ，即可得到214AE AC =，问题得解．【详解】解：∵D 为AB中点，∴12AD DE AB BC ==，即12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，此时DE 1∥BC ，112DE BC =，∴112AE AD AC AB ==，在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，∵∠A =30°，∠B =90°，∴∠C =60°，BC ＝12AC ，∵DE 1∥BC ，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE 1＝DE 2＝E1E2＝12BC ，∴E1E2＝14AC ，∵112AE AC =，∴214AE AC =，即214AE AC =，综上，AE AC 的值为：12或14，故答案为：12或14．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据12DE BC =进行分情况求解是解题的关键．15．（2022·北京）如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，∴14AE AF BC FC ==，4BC =，∴144AE =，∴1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．16．（2022·江苏常州）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部被染色的区域面积是______．【答案】28【分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【详解】解：过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如下图：90C ∠=︒ ，9AC =，12BC =，15AB ∴==，在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．5DE ∴==，15510AE AB DE =-=-= ，//,EF AF EF AF ''= ，∴四边形AEFF '为平行四边形，10AE FF '∴==，11622DEF S DF EF DE GF =⋅=⋅= ，解得：125GF =， //DF AC ，,DFM ACM FDM CAM ∴∠=∠∠=∠，DFM ACM ∴ ∽，13DM DF AM AC ∴==，1115344DM AM AB ∴===，//BC AF ' ，同理可证：ANF DNC ' ∽，13AF AN BC DN '∴==，345344DN AN AB ∴===，451530444MN DN DM ∴=-=-=，Rt ABC 的外部被染色的区域面积为130121028245MNF F S '⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭梯形，故答案为：28．【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．17．（2022·广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．【答案】12【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．【详解】解：设旗杆为AB ，如图所示：根据题意得：ABC DEF ∆∆ ，∴DE EF AB BC= ∵2DE =米， 1.2EF =米，7.2BC =米，∴2 1.2=7.2AB 解得：AB =12米．故答案为：12．【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．18．（2022·广东深圳）已知ABC 是直角三角形，90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______．【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆，得5EH CB ==，90HED BCD ∠=∠=︒，从而得出////HE DC AB ，则ABF EHF ∆∆∽，即可解决问题．【详解】解：将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，BDH ∴∆是等腰直角三角形，又EDC ∆ 是等腰直角三角形，HD BD ∴=，EDH CDB ∠=∠，ED CD =，()EDH CDB SAS ∴∆≅∆，5EH CB ∴==，90HED BCD ∠=∠=︒，90EDC ∠=︒ ，90ABC ∠=︒，////HE DC AB ∴，,ABF EHF BAF HEF ∴∠=∠∠=∠，ABF EHF ∴∆∆∽，∴==-AB AF AF EH EF AE AF ，AE =∴35=AF ∴=，【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．19．（2022·广西河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH ＝25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝_____．【答案】58##0.625【分析】先判断出四边形ABEF 是正方形，进而判断出△ABG ≌△BEH ，得出∠BAG =∠EBH ，进而求出∠AOB =90°，再判断出△AOB ~△ABG ，求出OA OB ==△OBM ～△OAN ，求出BM =1，即可求出答案．【详解】解：∵点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴11,22AF AD BE BC ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，AD ∥BC ，AD =BC ，∴12AF BE AD ==，∴四边形ABEF 是矩形，由题意知，AD =2AB ，∴AF =AB ，∴矩形ABEF 是正方形，∴AB =BE ，∠ABE =∠BEF =90°，∵BG =EH ，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG=∠EBH，∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，∴∠AOB=90°，∵BG＝EH＝25BE＝2，∴BE=5，∴AF=5，∴AG==∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴OA OB ABAB BG AG==，即52OA OB==∴OA OB==∵OM⊥ON，∴∠MON=90°=∠AOB，∴∠BOM=∠AON，∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，∴∠OBM=∠OAN，∴△OBM～△OAN，∴OB BM OA AN=，∵点N是AF的中点，∴1522AN AF==，52BM=，解得：BM=1，∴AM=AB-BM=4，∴552tan48ANAMNAM∠===．故答案为：5 8【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM 是解本题的关键．20．（2022·内蒙古赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB 的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O 处，然后观测者沿着水平直线BO 后退到点D ，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A ，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD =1.7m ，BD =11m ，则旗杆AB 的高度约为_________m ． 1.7≈）【答案】17【分析】如图容易知道CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，即∠CDO =∠ABO =90°．由光的反射原理可知∠COD =∠AOB =60°，这样可以得到△COD ∽△AOB ，然后利用对应边成比例就可以求出AB ．【详解】解：由题意知∠COD =∠AOB =60°，∠CDE =∠ABE =90°，∵CD =1.7m ，∴OD =60CD tan =︒≈1(m)，∴OB =11-1=10(m)，∴△COD ∽△AOB ．∴CD OD AB OB =，即1.7110AB =，∴AB =17(m)，答：旗杆AB 的高度约为17m ．故答案为：17．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．21．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则△ABP 的周长为 _____．【答案】6+【分析】如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，先解直角三角形求出AF ，EF ，从而求出BF ，利用勾股定理求出BE 的长，证明△ABD ≌△BCE 得到∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，再证明△BDP ∽△ADB ，得到62BP PD==，即可求出BP ，PD ，从而求出AP ，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∠ABD =∠BAC =∠BCE =60°，∵CE =BD =2，AB =AC =6，∴AE =4，∴cos 2sin AF AE EAF EF AE EAF =⋅∠==⋅∠=，，∴BF =4，∴BE =又∵BD =CE ，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，又∵∠BDP =∠ADB ，∴△BDP ∽△ADB ，∴BD BP DP AD AB BD==，62BP PD==，∴BP PD =∴AP AD AP =-=，∴△ABP 的周长=6AB BP AP ++=故答案为：6+【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．22．（2022·山东潍坊）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:2:1A B AB =''，则四边形A B C D ''''的外接圆的周长为___________．【答案】【分析】根据正方形ABCD 的面积为4，求出2AB =，根据位似比求出4A B ''=，周长即可得出；【详解】解： 正方形ABCD 的面积为4，∴2AB =，:2:1A B AB ''=，∴4A B ''=，∴A C ''==所求周长=；故答案为：．【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD 的边长．23．（2022·内蒙古包头）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，D 为AB 边上一点，且BD BC =，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE的长为___________．【答案】3##3-+【分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据题意得出DC DE =，根据等腰三角形性质得出CF EF =，根据90ACB ∠=︒，3AC BC ==，得出AB =CF x =，则3BF x =-，证明DF AC ，得出BF BDCF AD=，列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，即可得出3BE =．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，如图所示：根据作图可知，DC DE =，∵DF ⊥BC ，∴CF EF =，∵90ACB ∠=︒，3AC BC ==，∴AB ===∵3BD BC ==，∴3AD =，设CF x =，则3BF x =-，∵90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵DF BC ⊥，∴DF AC ，∴BF BDCF AD =，即3x x -=，解得：x =，∴226CE x ===-，∴3363BE CE =-=-+=．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，作出辅助线，根据题意求出CF 的长，是解题的关键．24．（2022·江苏泰州）如图上，Δ,90,8,6,ABC C AC BC ∠=== 中O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB 相交于D 、E ，若DE=CD+BE ，则线段CD 的长为__________.【答案】2或12##12或2【分析】分析判断出符合题意的DE 的情况，并求解即可；【详解】解：①如图，作//DE BC ，OF BC OG AB ⊥⊥，，连接OB ，则OD ⊥AC ，∵//DE BC ，∴OBF BOE ∠=∠∵O 为ABC ∆的内心，∴OBF OBE ∠=∠，∴BOE OBE ∠=∠∴BE OE =，同理，CD OD =，∴DE=CD+BE ，10AB ===∵O 为ABC ∆的内心，∴OF OD OG CD ===，∴BF BG AD AG==，∴6810AB BG AG BC CD AC CD CD CD =+=-+-=-+-=∴2CD =②如图，作DE AB ⊥，由①知，4BE =，6AE =，∵ACB AED CAB EAD ∠=∠∠=∠，∴ABC ADE ∆∆ ∴AB ADAC AE=∴1061582AB AE AD AC ⋅⨯===∴151822CD AC AD =-=-=∵92DE ===∴19422DE BE CD =+=+=∴12CD =故答案为：2或12．【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．25．（2022·黑龙江绥化）如图，60AOB ∠=︒，点1P 在射线OA 上，且11OP =，过点1P 作11PK OA ⊥交射线OB 于1K ，在射线OA 上截取12PP ，使1211PPPK =；过点2P 作22P K OA ⊥交射线OB 于2K ，在射线OA 上截取23P P ，使2322P P P K =.按照此规律，线段20232023P K 的长为________．20221【分析】解直角三角形分别求得11PK ，22P K ，33P K ，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．【详解】解：11PK OA ⊥ ，11OPK ∴△是直角三角形，在11Rt OPK 中，60AOB ∠=︒，11OP =，12111tan 60PP PK OP ∴==⋅︒=11PK OA ⊥ ，22P K OA ⊥，1122PK P K ∴∥，2211OP K OPK ∴△∽△，222111P K OP PK OP ∴=，=221P K ∴，同理可得：2331P K =+，3441P K =，……，11n n n P K -∴=，2022202320231P K ∴=，20221．【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法．26．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．【答案】2【分析】先求出11A B =，可得11OA B S =112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，从而得到11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231:2:2:2::2n ，即可求解．【详解】解：当x =1时，y =，∴点(1B ，∴11A B =∴11112OA B S =⨯= ，∵根据题意得：112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ：……∶n n OA B S = OA 12∶OA 22∶OA 32∶……∶OAn 2，∵11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =，……，∴22OA =，2342OA ==，3482OA ==，……，12n n OA -=，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2::21:2:2:2::2n n --= ，∴11222n n n OA B OA B S S -= ，∴220222202222S ⨯-==故答案为：2【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．27．（2022·广西）如图，在正方形ABCD 中，AB =，对角线,AC BD 相交于点O ．点E 是对角线AC 上一点，连接BE ，过点E 作EF BE ⊥，分别交,CD BD 于点F 、G ，连接BF ，交AC 于点H ，将EFH △沿EF 翻折，点H 的对应点H '恰好落在BD 上，得到EFH '△若点F 为CD 的中点，则EGH '△的周长是_________．【答案】5+【分析】过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，得到BP =CQ ，从而证得BPE ≌EQF △，得到BE =EF ，再利用BC =F 为中点，求得BF ==BE EF ===，再求出2EO ==，再利用AB //FC ，求出ABH CFH △∽△21AH CH ==，求得216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，从而得到EH =AH -AE =1610233-=，再求得EOB GOE △∽△得到21242OG ===，求得EG OG =1， 过点F 作FM ⊥AC 于点M ，作FN ⊥OD 于点N ，求得FM =2，MH =23，FN =2，证得Rt FH N '△≌Rt FMH 得到23H N MH '==，从而得到ON =2，NG =1，25133GH '=+=，从而得到答案．【详解】解：过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，∵AD //PQ ，∴AP =DQ ，BPQ CQE ∠=∠，∴BP =CQ ，∵45ACD ∠=︒，∴BP =CQ =EQ ，∵EF ⊥BE ，∴90PEB FEQ ∠+∠=︒∵90PBE PEB ∠+∠=︒∴PBE FEQ ∠=∠，在BPE 与EQF △中BPQ FQE PB EQPBE FEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BPE ≌EQF △，∴BE =EF ，又∵BC AB ==F 为中点，∴CF =∴BF ==∴BE EF ===，又∵4BO ==，∴2EO ==，∴AE =AO -EO =4-2=2，∵AB //FC ，∴ABH CFH △∽△，∴AB AH CF CH=，21AH CH ==，∵8AC ==， ∴216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，∴EH =AH -AE =1610233-=，∵90BEO FEO ∠+∠=︒，+90BEO EBO ∠∠=︒，∴FEO EBO ∠=∠，又∵90EOB EOG ∠=∠=︒，∴EOB GOE△∽△∴EG OG OE BE OE OB==，21242OG ===，∴EG OG =1，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，∴FM=MC 2=，∴MH =CH -MC =82233-=， 作FN ⊥OD 于点N ，2,FN ==，在Rt FH N '△与Rt FMH 中FH FH FN FM'=⎧⎨=⎩∴Rt FH N '△≌Rt FHM∴23H N MH '==，∴ON =2，NG =1，∴25133GH '=+=，∴10533EGH C EH EG GH EH EG GH '''=++=++=△，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键．28．（2022·辽宁）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若6AB =，则AEF 的面积为___________．【答案】3【分析】由正方形的性质可知1113222AE AD AB BC ====，//AD BC ，则有AEF CBF ∽△△，然后可得12EF AE BF BC ==，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，6AB =，∴6AD BC AB ===，//AD BC ，∴AEF CBF ∽△△，∴EF AE BF BC=，∵E 为AD 的中点，∴1113222AE AD AB BC ====，∴12EF AE BF BC ==，192ABE S AE AB =⋅= ，∴13EF BE =，∴133AEF ABE S S == ；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．29．（2022·贵州贵阳）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，6cm AC BC ==，90ACB ADB ∠=∠=︒．若2BE AD =，则ABE △的面积是_______2cm ，AEB ∠=_______度．【答案】 36-36- 112.5【分析】通过证明ADE BCE ，利用相似三角形的性质求出23m AE =，263m CE =-，再利用勾股定理求出其长度，即可求三角形ABE 的面积，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，证明AEF 是等腰直角三角形，再求出AE CE =，继而证明()Rt BCE Rt BFE HL ≅ ，可知122.52EBF EBC ABC ∠=∠=∠=︒，利用外角的性质即可求解．【详解】90,ACB ADB AED BEC ∠=∠=︒∠=∠ ，ADE BCE ∴ ，AD AE BC BE∴=，6,2BC AC BE AD === ，设,2AD m BE m ==，62m AE m∴=，23m AE ∴=，263m CE ∴=-，在Rt BCE 中，由勾股定理得222BC CE BE +=，22226(6)(2)2m m ∴+-=，解得236m =-或236m =+ 对角线AC ，BD 相交于点E ，236m ∴=-，12AE ∴=-，6CE ∴=，∴(2111263622ABE S AE BC =⋅⋅=⨯-⨯=- ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，90,ACB AC BC ∠=︒= ，45BAC ABC AEF ∴∠=∠=︒=∠，6AE AF AE CE ∴====，BE BE = ，()Rt BCE Rt BFE HL ∴≅ ，122.52EBF EBC ABC ∴∠=∠=∠=︒，112.5AEB ACB EBC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：36-，112.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．三．解答题30．（2022·河北）如图，某水渠的横断面是以AB 为直径的半圆O ，其中水面截线MN AB ∥．嘉琪在A 处测得垂直站立于B 处的爸爸头顶C 的仰角为14°，点M 的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m ．(1)求∠C 的大小及AB 的长；(2)请在图中画出线段DH ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan 76︒取4 4.1）【答案】(1)=76C ∠︒， 6.8(m)AB =(2)见详解，约6.0米【分析】（1）由水面截线MN AB ∥可得BC AB ⊥，从而可求得76C ∠=︒，利用锐角三角形的正切值即可求解．（2）过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，水面截线MN AB ∥，即可得DH 即为所求，由圆周角定理可得14BOM ∠=︒，进而可得ABC OGM ，利用相似三角形的性质可得4OG GM =，利用勾股定理即可求得GM 的值，从而可求解．(1)解：∵水面截线MN AB∥BC AB ∴⊥，90ABC ∴∠=︒，90=76C CAB ∴∠=︒-∠︒，在t R ABC 中，90ABC ∠=︒， 1.7BC =，tan 76 1.7AB AB BC ∴︒==，解得 6.8(m)AB ≈．(2)过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，如图所示：水面截线MN AB ∥，OH AB ⊥，DH MN ∴⊥，GM OD =，DH ∴为最大水深，7BAM ∠=︒ ，214BOM BAM ∴∠=∠=︒，90ABC OGM ∠=∠=︒ ，且14BAC ∠=︒，ABC OGM ∴ ，OG MG AB CB ∴=，即6.8 1.7OG MG =，即4OG GM =，在Rt OGM △中，90OGM ∠=︒， 3.42AB OM =≈，222OG GM OM ∴+=，即2224(3.4)GM GM +=（），解得0.8GM ≈，= 6.80.86DH OH OD ∴-=-≈，∴最大水深约为6.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．31．（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅ ，12DBC S BC h =⋅△．∴ABC DBC S S = ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∵ABC S(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM =△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ．∴AE AM DF DM =．由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC S S △△的值为 ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h '=⋅=⋅ ，由此即可得证；（2）过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF ，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ~ ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM=，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE ~ ，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ==，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，由此即可得出答案．(1)证明：12ABC S BC h =⋅ ，12DBC BC h S '=⋅ ，ABC DBC S h S h ∴='．(2)证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，AE DF ∴∥．AEM DFM ~∴ ．AE AM DF DM∴=．由【探究】（1）可知ABC DBC S AE S DF= ，ABC DBC S AM S DM ∴= ．(3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，则90AME DNE ∠=∠=︒，AM DN ∴ ，AME DNE ∴~ ，AM AE DN DE∴=， 点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ∴=-=， 1.5DE =，3.571.53AM DN ∴==，又12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，73ABCDBC S AM S DN =∴= ，故答案为：73．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．32．（2022·山东青岛）如图，在Rt ABC △中，90,5cm,3cm ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE ，连接CD ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1cm/s ．PQ 交AC 于点F ，连接,CP EQ ．设运动时间为(s)(05)t t <<．解答下列问题：(1)当EQ AD ⊥时，求t 的值；(2)设四边形PCDQ 的面积为()2cm S ，求S 与t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使PQ CD ∥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16s 5(2)213714210S t t =-+(3)存在，65s 29t =【分析】（1）利用AQE AED △∽△得AQ AE AE AD =，即445t =，进而求解；（2）分别过点C ，P 作,CM AD PN BC ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，证ABC CAM △∽△得，AB BC AC CA AM CM ==，求得121655AM CM ==，再证BPN BAC △∽△得BP PN BA AC=，得出45PN t =，根据ABC ACD APQ BPC PCDQ S S S S S S ==+-- 四边形即可求出表达式；（3）当PQ CD ∥时AQP ADC ∠=∠，易证APQ MCD △∽△，得出AP AQ MC MD =，则5161355t t -=，进而求出t 值．(1)解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，4AC ===∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE。

2019年中考数学真题知识点分类汇总—相似三角形

2019年中考数学真题知识点分类汇总—相似三角形

2019年中考数学真题知识点分类汇总—相似三角形一、选择题1. （2019广西省贵港市，题号11，分值3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为( )A ．B ．C ．D ．5 【答案】C ．【思路分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADE ABC ∆∆∽，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆∽，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度．【解题过程】解：设2AD x =，BD x =，3AB x ∴=，//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴DE AD AE BC AB AC==， ∴263DE x x=， 4DE ∴=，23AE AC =， ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，ADE ACD ∴∠=∠，A A ∠=∠，ADE ACD ∴∆∆∽，∴AD AE DE AC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =， ∴23AD y y AD=，AD ∴=， ∴4CD=，CD ∴=，故选：C ．【知识点】相似三角形的判定与性质2. （2019贵州省毕节市，题号15，分值3分）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板（Rt △ACB ）上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A ．100cm 2B ．150cm 2C ．170cm 2D ．200cm 2 【答案】A ．【思路分析】设AF ＝x ，根据正方形的性质用x 表示出EF 、CF ，证明△AEF ∽△ABC ，根据相似三角形的性质求出BC ，根据勾股定理列式求出x ，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解题过程】解：设AF ＝x ，则AC ＝3x ，∵四边形CDEF 为正方形，∴EF ＝CF ＝2x ，EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF BC ＝AF AC ＝13， ∴BC ＝6x ，在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2，即302＝（3x ）2+（6x ）2，解得，x＝∴AC＝BC＝∴剩余部分的面积＝12100（cm2），故选：A．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用．3.（2019贵州黔西南州，10，4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2【答案】D【解析】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AFAC=13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB=√(3x)2+(6x)2=3√5x，∴3√5x＝30，解得x＝2√5，∴AC＝6√5，BC＝12√5，∴剩余部分的面积=12×6√5×12√5−（4√5）2＝100（cm2）．故选：D．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用4.．(2019海南,12题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为( )A.813B.1513C.2513D.3213第12题图【答案】B【思路分析】根据平行和平分线得到等腰三角形,作DE⊥BC,得到相似三角形,结合中点和相似比,得到线段关系,列出方程,进而求得AP长度.【解题过程】在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,∴AC＝3,过点D作DE⊥BC于点E,易证△ABC∽△DQE,∵BD平分∠ABC,PQ∥AB,∴BQ＝QD,设QD＝BQ＝4x,则AP＝3x,DP＝4x,∴PQ＝8x,CP＝245x,∴AC＝395x＝3,∴x＝513,AP＝3x＝1513,故选B.第12题答图【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程5.（2019黑龙江哈尔滨，10，3分）如图,在平行四边形ABCD中,点E在对角线BD上,EM∥AD,交AB于点M,EN∥AB,交AD于点N,则下列式子一定正确的是（）。

相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)

相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)

相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。

（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。

（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。

中考数学 相似三角形专题训练(含答案)

中考数学 相似三角形专题训练(含答案)

2020中考数学相似三角形专题训练（含答案）一、选择题：1. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（ ）A．B．C．D．﹣答案：D．2.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）A．=B．=C．=D．=答案：C3. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）A．①②③④ B．①④ C．②③④D．①②③答案D．4.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个答案C．二、填空题：5.已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO= ．答案：4．6. 在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．答案：或．7.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．故答案为113°或92°．8.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．答案：1．9. （2017内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE= ．答案：．10.如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为．故答案为3：4．三、解答题：11.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；（2）∵△BDE∽△CEF，∴，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC．12.如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．13. 如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE===4，在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF=2．∵△ADF∽△DEC，14. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是　MD=ME　；（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，∴MD=ME，故答案为MD=ME；（2）MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=，∴MD=ME．（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，在Rt△MDE中，=tan∠MDE=tan．15. （1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE 是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为　AD=AB+DC　；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E 是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE 上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．。

2019年中考数学试卷重难题专题【相似三角形】(含答案)

2019年中考数学试卷重难题专题【相似三角形】(含答案)

2019年中考数学试卷重难题专题【相似三角形】（含答案）知识点睛借助相似整合信息的通常思路：利用相似时，往往可以将_______________等信息组合搭配在一起进行研究，并能实现三类信息之间的转化，进而达到整合信息、解决问题的目的．为了借助相似实现_______________等条件的综合应用，往往会通过___________或作_________的方式来构造相似模型．构造相似模型是我们整合多个比例信息时常用的一种手段．一、单选题1．（2018·浙江初三期中）如图，在中， 是线段上的点，且， 是线段ABC D AB :1:2AD BD F 上的点， ， ．小亮同学随机在内部区域投针，则针扎到（阴影）BC DE BC FE BA ABC DEF 区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．1329518492．（2018·四川中考真题）如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=AC ．连接14DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则的值为（ ）S △ADGS △BGHA ．B ．C ．D ．11223343．（2019·湖北沙市中学初二期末）彼此相似的矩形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…，和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线y=kx+b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1、B 2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（ ）A ．（2n ﹣1，2n ）B ．（2n ﹣，2n ）12C ．（2n﹣1﹣，2n﹣1）D ．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）124．（2014·浙江初三期末）如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ．设△BPQ ，△DKM ，△CNH 的面积依次为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 3＝20，则S 2的值为（ ）A ．6B ．8C ．10 D ．125．（2018·全国初一单元测试）如图，是三个正方形拼成的一个长方形，则∠1+∠2+∠3=（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°6．（2018·广东中考模拟）如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则DE 的长是（ ）A ．5B ．C ．D ．32741547．（2018·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M 、N 、C 三点的坐标分别为（，1），（3，1），12（3，0），点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作交y 轴于点B ，当点A 从M 运动AB ⊥AC 到N 时，点B 随之运动，设点B 的坐标为（0，b ），则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．−14≤b ≤1−54≤b ≤1−94≤b ≤12−94≤b ≤18．（2018·江西初三期末）如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，高线AH 长8 cm ，底边BC 长10 cm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG 的一边EF 在BC 上，其余两个顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，则四边形DEFG 的最大面积为( )A ．40 cm 2B ．20 cm 2C ．25 cm 2D ．10 cm 29．（2017·江阴初级中学初三期中）如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB ＝1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 4535566710．（2017·安徽初三期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC ，DC 上，AE 、AF 分别交BD于点M 、N ，连接CN 、EN ，且CN =EN ．下列结论：①AN =EN ，AN ⊥EN ；②BE+DF=EF ；③∠DFE =2∠AMN ；④；④图中有4对相似三角EF 2=2BM 2+2DN 2形．其中正确结论个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211．（2018·全国初三期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，下列结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF=2AF ；③tan ∠CAD=．其中正确的结论有 （ ）2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．（2017·安徽中考模拟）如图，沿对角线AC 折叠正方形ABCD ，使得B 、D 重合，再折叠△ACD ，点D 恰好落在AC 上的点E 处，测得折痕AF 的长为3，则C 到AF 的距离CG 为：A ．B ．C ．D ．32235−113．（2019·全国初二单元测试）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点P 为BC 上任意一点，连接PA，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．2651255314．（2019·广东中考模拟）如图，将边长为3的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N ，那么折痕GH 的长为（ ）AB ．C ．D1037215．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABG ；④△ADF 与△EFD ，其中相似的为（ ）A．①④B．①②C．②③④D．①②③④二、填空题16．（2018·天津中考模拟）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D 的坐标为______．17．（2018·山东中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为_____．218．（2018·湖北中考真题）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，2连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为_____．19．（2017·湖北中考模拟）赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、C n在直线y=- x+ 上，顶点D1、D2、D3、…、D n在x轴上，则第n个阴影小1 27 2正方形的面积为________．20．（2017·全国初三课时练习）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)．延长CB交x轴于点A1，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第2个正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是______．21．（2018·安徽中考真题）矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数___________.22．（2018·江苏中考真题）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ =________．23．（2018·贵州中考模拟）如图，在△ABC 中，BC=8，高AD=6，矩形EFGH 的一边EF 在边BC 上，其余两个顶点G 、H 分别在边AC 、AB 上，则矩形EFGH 的面积最大值为_____．24．（2017·湖北中考真题）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE ＝∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，连接CF .若AC ＝8，AB ＝10，则CD 的长为__25．（2018·乌拉特前旗第六中学中考模拟）如图,点P 是矩形ABCD 内一点,连接PA 、PB 、PC 、PD,已知AB=3,BC=4,设△PAB, △PBC, △PCD, △PDA,的面积分别为,,, ,以下判断: ① PA+PB+PC+PD 的最小S 1S 2S 3S 4值为10;②若△PAB ≌△PCD,则△PAD ≌△PBC ;③若=,则=；④若△PAB ∽△PDA,则PA=2.4.其中正S 1S 2S 3S 4确的是_____________(把所有正确的结论的序号都填在横线上)26．（2018·广西中考真题）如图，点 C 为 Rt △ACB 与 Rt △DCE 的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连 接 AD 、BE ，过点 C 作 CF ⊥AD 于点 F ，延长 FC 交 BE 于点 G ．若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，则的值为___________．EG BG参考答案1．B【解析】解：∵， ，∴， ．DE BC 12AD BD =ADE ABC ∽13AD AE DE AB AC BC ===又∵，∴，∴， ．FE BA CFE CBA ∽23CE CF CA CB ==21CF BF =设的面积，则，∴梯形面积．ADE ADE S S = 9ABC S S = DECB 8DECB S S =梯∵，∴，∴．DE BC 1112EDBF EFC S BF S FC == 平行四边形4EFC EDBF S S S == 平行四边形在平行四边形中，，∴．故BDEF 122BOF DEF BDEF S S S === 平行四边形29DEF ABC S S = 选．B 点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．2．C【解析】分析：首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得,，由此即可解决问题．S △ADCS △BGH =S △BAC S △BGH =（BA BG ）2=（32）2=94S △ADG S △ADC =13详解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD=BC ，DC=AB ，∵AC=CA ，∴△ADC ≌△CBA ，∴S △ADC =S △ABC ，∵AE=CF=AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，14∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3，∴AG ：AB=CH ：BC=1：3，∴GH ∥AC ，∴△BGH ∽△BAC ，∴，S △ADCS △BGH=S △BAC S △BGH =（BA BG ）2=（32）2=94∵，S △ADG S △ADC =13∴.S △ADG S △BGH =94×13=34故选：C ．点睛：本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．3．A【解析】【分析】根据矩形的性质求出点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出，12A A 、k b 、从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图像上点的坐标特征求出的坐标，然后求出3A 的坐标，...，最后根据点的坐标特征的变化规律写出的坐标即可.3B n B 【详解】，()11,2B 相似矩形的长是宽的倍，∴2点的坐标分别为， 12B B 、()()1,23,4，，∴()()120,21,4A A ，点在直线上，12A A 、y kx b =+，∴24b k b =⎧⎨+=⎩解得，22k b =⎧⎨=⎩，∴22y x =+点在直线上，3A 22y x =+，∴2328y =⨯+=点的坐标为，∴3A ()3,8点的横坐标为，∴3B 13872+⨯=点，∴()37,8B …,的坐标为.n B ()21,2n n -故选：.A 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据点的系列坐标判断A 出相应矩形的长，再求出宽，然后得到点的系列坐标的变化规律是解题的关键.B 4．B【解析】试题分析：∵矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD ，AE ∥BF ∥DG ∥CH ，∴四边形BEFD ，四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN ，∴BE ∥DF ∥CG∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH ，∵△ABQ ∽△ADM ，△ABQ ∽△ACH ，∴，，AB AD =BQ MD =12BQ CH =AB AC =13∴△BPQ ∽△DKM ∽△CNH∴，BQ MD=12BQ CH =13∴S 1S 2=14，S 1S 3=19∴S 2=4S 1，S 3=9S 1，∵S 1+S 3=20，∴S 1=2，∴S 2=8．故选B ．考点：1.矩形的性质，2.三角形的面积，3.相似三角形的判定与性质．5．C【解析】【分析】容易看出∠3=45°,关键求出∠2与∠1的和是45°，根据证AI CI =IJ IA ∆AIJ~∆CIA,得∠2=∠CAI,再由∠1+∠2=∠CAI+∠CAD =45°可推出结果.【详解】如图设三个小正方形的边长为1个单位．在正方形ABCD 中∠3=45°，则∠AIC=135°，且∠1=∠CAD ．∵∠AIJ=∠CIA ，,AI CI =22,IJ IA =22即，AI CI =IJ IA 所以∆AIJ~∆CIA,所以∠2=∠CAI,又∠1=∠CAD ，则∠1+∠2=∠CAI+∠CAD =45°，∴∠1+∠2+∠3=90°．故正确选项为：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理以及正方形的性质．6．C【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC 的长，然后证明△AEO ∽△ACD ，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】∵AB=6，BC=8，∴AC=10（勾股定理）；∴AO=AC=5，12∵EO ⊥AC ，∴∠AOE=∠ADC=90°，∵∠EAO=∠CAD ，∴△AEO ∽△ACD ，∴，AE AC=AO AD 即 ，AE 10=58解得，AE=，254∴DE=8﹣=，25474故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．7．A【解析】分析：分两种情形：当A 与点N 、M 重合时来确定b 的最大与最小值即可.详解：如图1，当点A 与点N 重合时，CA ⊥AB ，∴MN 是直线AB 的一部分，∵N （3，1）∴OB=1，此时b=1；当点A 与点M 重合时，如图2，延长NM 交y 轴于点D ，易证△MCN ∽△BMD∴BD MN =DM NC ∵MN=3-=,DM=，CN=1125212∴BD=DM·MN CN =54∴OB=BD-OD=-1=,即b=-，541414∴b 的取值范围是.-14≤b ≤1故选A.点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键..8．B【解析】【分析】设矩形DEFG 的宽DE=x ，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG ，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．【详解】如图所示：设矩形DEFG 的宽DE=x ，则AM=AH-HM=8-x ，∵矩形的对边DG ∥EF ，∴△ADG ∽△ABC ，∴，AM AH =DG BC即，8−x 8=DG 10解得DG=（8-x ），54四边形DEFG 的面积=（8-x ）x=-（x 2-8x+16）+20=-（x-4）2+20，545454所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG 最大面积为20cm 2．故选：B ．【点睛】考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG 的宽表示出长是解题的关键．9．A【解析】解：由折叠的性质可得，∠EDF =∠C =60º，CE =DE ，CF =DF ．∵∠BDF +∠ADE =∠BDF +∠BFD =120º，∴∠ADE =∠BFD ，又∵∠A =∠B =60º，∴△AED ∽△BDF ，∴ ，设DE AD AE DF BF BD==AD =a ，BD =2a ，AB =BC =CA =3a ，再设CE ==DE =x ，CF ==DF =y ，则AE =3a -x ，BF =3a -y ，所以，整理可得ay =3ax -xy ，2ax =3ay -xy ，即xy =3ax -ay ①，xy =3ay -332x a a x y a y a-==-2ax ②；把①代入②可得3ax -ay =3ay -2ax ，所以5ax =4ay ，，即，4455x a y a ==45CE CF =故选A ．点睛：主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的性质分别求出CE 、CF 的长度（用含有k 的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．10．B【解析】【详解】将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°,得到△ADH ,因为四边形ABCD 是正方形,所以AB =BC =AD , ∠BAD ＝∠ABC =90°,∠ABD ＝∠CBD =45°,在△BNA 和△BNC 中,,{BN =BN∠NBA ＝∠BA =BC NBC所以△BNA ≌△BNC ,所以AN =CN ,∠NEC =∠NCE =∠BAN ,因为∠NEC +∠BEN =180°,所以∠BAN +∠BEN =180°,所以∠ABC +∠ANE =180°,所以∠ANE =90°,所以AN =NE ,AN ⊥NE ,故①正确,因为∠3=45°, ∠1=∠4,所以∠2+∠4=∠2+∠1=45°,所以∠3=∠FAH =45°,因为AF =AF ,AE =AH ,所以△AFE ≌△AFH ,所以EF =FH =DF +DH =DF +BE , ∠AFH =∠AFE ,故②正确,因为∠MAN =∠NDF =45°, ∠ANM =∠NDF ,所以∠AMN =∠AFD ,又因为∠AFE =∠AFD , ∠DFE=∠AFE +∠AFD所以∠DFE =2∠AMN ,故③正确,因为∠MAN =∠EAF , ∠AMN =∠AFE ,所以△AMN ∽△AFE ,所以,NMEF =AN AE =12所以MN ,EF =2如图2中,将△ABN 绕点A 逆时针旋转90°,得到△ADG ,易证△ANG ≌△ANM , △GDN 是直角三角形,所以MN =GN ,所以,MN 2=DN 2+DG 2=DN 2+BM 2所以,故④正确,EF 2=2DN 2+2BM 2图中相似三角形有△ANE ∽△BAD ∽△BCD , △ANM ∽△AEF , △ABN ∽△FDN ,△BEM ∽△DAM 等,故⑤错误,故选B.11．B【解析】【分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°即可；②正确．由AD ∥BC ，推出△AEF ∽△CBF ，推出，由AE=AD=BC ，推出=，即AE BC =AF CF 1212AF CF 12CF=2AF ；④错误，设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，由△BAE ∽△ADC ，有，即b=a ，可得ba =2ab 2tan ∠CAD==即可得.CD AD b 2a 【详解】如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=BC ，∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴，AE BC =AF CF ∵AE=AD=BC ，1212∴=，AF CF 12∴CF=2AF ，故②正确；设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，由△BAE ∽△ADC ，有，即b=a ，b a =2a b 2∴tan ∠CAD===，故③错误，CD AD b 2a 22所以正确的有2个，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．12．A【解析】试题分析：设正方形ABCD 的边长=a ，根据勾股定理得到AC =a ，根据折叠的性质得到2AE =AD =a ，∠AEF =∠D =90°，根据等腰直角三角形的性质得到EF =CE =a –a ，根据勾股定2理得到a =AC =，EF =（–1）×32+22322+22232+22到结论．试题解析：设正方形ABCD 的边长=a ，则AC =a ，2∵折叠△ACD ，点D 恰好落在AC 上的点E 处，∴AE =AD =a ，∠AEF =∠D =90°，∴CE =a –a ，2∵∠ECF =45°，∴EF =CE =a –a ，2∵AF 2=AE 2+EF 2，∴32=a 2+（a –a ）2，∴a =232+22∴AC =，EF =（ –1）×，322+22232+22∵∠EAF =∠CAG ∠AEF =∠G =90°，∴△AEF ∽△AGC ，∴，∴CG =．ACAF =CG EF 32故选A ．13．B【解析】【分析】记AC 与PQ 的交点为O ，由平行四边形的性质可知O 是AC 中点，PQ 最短也就是PO 最短；过O 作BC 的垂线P′O ，则PO 最短为P′O ；接下来可证明△P′OC 和△ABC 相似，进而利用相似三角形的性质即可求出PQ 的最小值．【详解】解：记AC 与PQ 的交点为O.∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴=5.∵四边形APCQ 是平行四边形，∴PO=QO ，CO=AO ，∴PQ 最短也就是PO 最短.过O 作BC 的垂线OP′.∵∠ACB=∠P′CO ，∠CP′O=∠CAB=90°，∴△CAB ∽△CP′O ，∴，'CO OP BCAB ∴OP′=，65∴则PQ 的最小值为2OP′=，125故答案为：．125【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线，构造相似三角形.14．A【解析】【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH 的长，得出△EDM ∽△MCH ，进而求出MC 的长，依据△GPH ≌△BCM ，可得GH=BM ，再利用勾股定理得出BM ，即可得到GH 的长．【详解】设CM ＝x ，设HC ＝y ，则BH ＝HM ＝3﹣y ，故y 2+x 2＝（3﹣y ）2，整理得：y ＝，21362x -+即CH ＝，21362x -+∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，由题意可得：ED ＝1.5，DM ＝3﹣x ，∠EMH ＝∠B ＝90°，故∠HMC +∠EMD ＝90°，∵∠HMC +∠MHC ＝90°，∴∠EMD ＝∠MHC ，∴△EDM ∽△MCH ，∴ ，ED DM MC CH =即，21.531362x x x -=-+解得：x 1＝1，x 2＝3（不合题意），∴CM ＝1，如图，连接BM ，过点G 作GP ⊥BC ，垂足为P ，则BM ⊥GH ，∴∠PGH ＝∠HBM ，在△GPH 和△B CM 中，HGP CBM GP BC GPH C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GPH ≌△BCM （SAS ），∴GH ＝BM ，∴GH ＝BM．=故选：A ．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合运用，作辅助线构造全等三角形，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．15．D【解析】【分析】根据判定三角形相似的条件对选项逐一进行判断.【详解】①根据题意得：，∠BAE =∠ADC =∠AFE =90°，∴∠AEF +∠EAF =90°,∠DAC +∠ACD =90°，∴∠AEF =∠ACD ①中两三角形相似；∴②，∵∠AEB =∠FEA,∠AFE =∠EAB =90°，∴△AFE ∽△BAE ，∴AE EF =EB AE 又，∵AE =ED ，∴ED EF =EB ED 而，∠BED =∠BED ，∴△FED ∽△DEB 故②正确；③，∵AB‖CD ，∴∠BAC =∠GCD ，且，∵∠ABE =∠DAF,∠EBD =∠EDF ∠ABG =∠ABE +∠EBD ，∴∠ABG =∠DAF +∠EDF =∠DFC ，∵∠ABG =∠DFC,∠BAG =∠DCF ，∴△CFD ∽△ABG 故③正确；④，∵△FED ∽△DEB ，∴∠EFD =∠EDB，∵AG =DG ，∴∠DAF =∠ADG ，∴∠DAF =∠EFD ，∴△ADF ∽△EFD 故④正确；故选：.D 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：（1）有两个对应角相等的三角形相似；（2）有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；（3）三组对应边的比相等，则两个三角形相似.16．（﹣，）45125【解析】【分析】首先过D 作DF ⊥AF 于F ，根据折叠可以证明△CDE ≌△AOE ，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE ，OA=CD=1，设OE=x ，那么CE=3﹣x ，DE=x ，利用勾股定理即可求出OE 的长度，而利用已知条件可以证明△AEO ∽△ADF ，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了D 的坐标．【详解】解：如图，过D 作DF ⊥AO 于F ，∵点B 的坐标为（1，3），∴BC=AO=1，AB=OC=3，根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，在△CDE 和△AOE 中，，{∠CDE =∠AOE∠CED =∠AEOCD =AO ∴△CDE ≌△AOE ，∴OE=DE ，OA=CD=1，AE=CE ，设OE=x ，那么CE=3﹣x ，DE=x ，∴在Rt △DCE 中，CE 2=DE 2+CD 2，∴（3﹣x ）2=x 2+12，∴x=，43∴OE=，AE=CE=OC﹣OE=3﹣=，434353又∵DF ⊥AF ，∴DF ∥EO ，∴△AEO ∽△ADF ，∴AE ：AD=EO ：DF=AO ：AF ，即：3=：DF=1：AF ，5343∴DF=，AF=，12595∴OF=﹣1= ，9545∴D 的坐标为：（﹣，）．45125故答案为：（﹣，）．45125【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．17．4103【解析】分析：取AB 的中点M ，连接ME ，在AD 上截取ND=DF ，设DF=DN=x ，则NF=x ，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME ∽△FNA ，利用相似三角形的性质：对2应边的比值相等可求出x 的值，在直角三角形ADF 中利用勾股定理即可求出AF 的长．详解：取AB 的中点M ，连接ME ，在AD 上截取ND=DF ，设DF=DN=x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=x ，AN=4﹣x ，2∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，5∴BE=1，∴ME=，BM 2+BE 2=2∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF ，∴△AME ∽△FNA ，∴，AMFN=MEAN∴，12x =24-x 解得：x=43∴AF=AD 2+DF 2=4103故答案为：4103点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，18．1632【解析】【分析】设AB=a ，AD=b ，则ab=32，构建方程组求出a 、b 值即可解决问题.2【详解】设AB=a ，AD=b ，则ab=32，2由∽可得：，△ABE △DAB BEAB=ABAD∴，b =22a 2∴，a 3=64∴，，a =4b =82设PA 交BD 于O ，在中，，Rt △ABD BD =AB 2+AD 2=12∴OP =OA =AB ⋅AD BD=823∴，AP =1632故答案为：．1632【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和应用相关的性质定理是解题的关键.19．2223n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由已知可得△ A 1B 1M ≌△DA 1N 1，∴B 1M=A 1N ，A 1M=D 1N ，又A 1D 1//B 1C 1，∴OA 1：OE=OD 1：OF ，由直线y=﹣可得E （0， ），1722x +72F （7，0）,∴OD 1=2OA 1，由矩形OA 1ND 1，得A 1N =2D 1N ，∴可设B 1（b,3b ），代入y=﹣得b=1,∴A 1N=2，A 1M=1，∴S 1=1；1722x +由b=1,可得C 1（3，2），同理可知S 2=( )2= ；212-233⨯⨯223⎛⎫ ⎪⎝⎭同理可知C 2（ ， ），S 3=( )2== ；133434241-3333⨯⨯249⎛⎫ ⎪⎝⎭423⎛⎫ ⎪⎝⎭……∴S n = .2n-223⎛⎫⎪⎝⎭点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，一次函数、图形的变化规律等，能正确地识图是解题的关键.20．5×（）4030【解析】解：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC ，∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA 1=180°﹣90°=90°，∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∴∠ADO=∠BAA 1，在△AOD 和A1BA 中11AOD ABA ADO BAA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴△AOD ∽△A 1BA ，∴，∴BC=2A 1B.121OD AB AO A B ==∴A 1C=BC ，则A 2C 1=A 1C ，A 3C 2=A 2C 1，323232即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍.32∴第2016个正方形的边长为BC.201532⎛⎫ ⎪⎝⎭∵A 的坐标为（1，0），D 点坐标为（0，2），∴.=∴第2011个正方形的面积为.22015403033522BC ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为.4030352⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭21．3或1.2【解析】【分析】由△PBE ∽△DBC ，可得∠PBE=∠DBC ，继而可确定点P 在BD 上，然后再根据△APD 是等腰三角形，分DP=DA 、AP=DP 两种情况进行讨论即可得.【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，∴BD=10，∵△PBE ∽△DBC ，∴∠PBE=∠DBC ，∴点P 在BD 上，如图1，当DP=DA=8时，BP=2，∵△PBE ∽△DBC ，∴PE ：CD=PB ：DB=2：10，∴PE ：6=2：10，∴PE=1.2；如图2，当AP=DP 时，此时P 为BD 中点，∵△PBE ∽△DBC ，∴PE ：CD=PB ：DB=1：2，∴PE ：6=1：2，∴PE=3；综上，PE 的长为1.2或3，故答案为：1.2或3.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P 在线段BD 上是解题的关键.22．或154307【解析】分析：分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ ，∠PQB=90°时；详解：①如图1中，当AQ=PQ ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x ，∵PQ ∥AC ，∴△BPQ ∽△BCA ，∴，BQBA=PQAC ∴，10−x 10=x6∴x=，154∴AQ=．154②当AQ=PQ ，∠PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y ．∵△BQP ∽△BCA ，∴，PQAC=BQBC ∴，y 6=10−y 8∴y=．307综上所述，满足条件的AQ 的值为或．154307点睛：本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．23．12【解析】【分析】设HG =x ，根据相似三角形的性质用x 表示出KD ，根据矩形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可．【详解】设HG =x ．∵四边形EFGH 是矩形，∴HG ∥BC ，∴△AHG ∽△ABC ，∴=，即=，解得：HG BC AKAD x 86-KD6KD =6﹣x ，则矩形EFGH 的面积=x （6﹣x ）=﹣x 2+6x =（x ﹣4）2+12，则矩形EFGH 的343434﹣34面积最大值为12．故答案为：12．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．238【解析】分析：由对称性可知CF ⊥DE ，可得∠CDE=∠ECF=∠B ，得出CF=BF ，同理可得CF=AF ，由此可得F 是AB 的中点，求得CF=5，再判定△CDF ∽△CFA ，得到CF 2=CD×CA ，进而得出CD 的长．详解：由对称性可知CF ⊥DE ，又∵∠DCE=90°，∴∠CDE=∠ECF=∠B ，∴CF=BF ，同理可得CF=AF ，∴F 是AB 的中点，∴CF=AB=5，12又∵∠DFC=∠ACF=∠A ，∠DCF=∠FCA ，∴△CDF ∽△CFA ，∴CF 2=CD×CA ，即52=CD×8，∴CD=.258故答案是：.258点睛：考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F 是AB 的中点．25．①②③④【解析】分析：①当点P 是矩形ABCD 两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD 的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD 的最小值，即可判断；②根据全等三角形的性质可得PA=PC ，PB=PD ，那么P 在线段AC 、BD 的垂直平分线上，即P 是矩形ABCD 两对角线的交点，易证△PAD ≌△PBC ，即可判断；③易证S 1+S 3=S 2+S 4，所以若S 1=S 2，则S 3=S 4，即可判断；④根据相似三角形的性质可得∠PAB=∠PDA ，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得出∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD ）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B 、P 、D 三点共线，根据三角形面积公式可得PA=2.4，即可判断．详解：①当点P 是矩形ABCD 两对角线的交点时，PA +PB +PC +PD 的值最小，根据勾股定理得，AC =BD =5，所以PA +PB +PC +PD 的最小值为10，故①正确；②若△PAB ≌△PCD ,则PA =PC ,PB =PD ,所以P 在线段AC 、BD 的垂直平分线上,即P 是矩形ABCD 两对角线的交点,所以△PAD ≌△PBC ，故②正确；③若=,易证+=+,则=，故③正确；S 1S 2S 1S 3S 2S 4S 3S 4④若△PAB ∼△PDA ,则∠PAB =∠PDA ,∠PAB +∠PAD =∠PDA +∠PAD =90°,∠APD =180°−(∠PDA +∠PAD )=90°,同理可得∠APB =90°,那么∠BPD =180°，B.P 、D 三点共线，P 是直角△BAD 斜边上的高，根据面积公式可得PA =2.4，故④正确.故答案为①②③④.点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的性质.26．34【解析】【分析】过 E 作 EH ⊥GF 于 H ，过 B 作 BP ⊥GF 于 P ，依据△EHG ∽△BPG ，可得=，再根据EG BG EHBP △DCF ∽△CEH ，△ACF ∽△CBP ，即可得到 EH=CF ，BP=CF ，进 而得出=．34EG BG 34【详解】如图，过 E 作 EH ⊥GF 于 H ，过 B 作 BP ⊥GF 于P ，则∠EHG=∠BPG=90°，又∵∠EGH=∠BGP ，∴△EHG ∽△BPG ，∴=，EG BG EHBP ∵CF ⊥AD ，∴∠DFC=∠AFC=90°，∴∠DFC=∠CHF ，∠AFC=∠CPB ， 又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDF=∠ECH ，∠FAC=∠PCB ，∴△DCF ∽△CEH ，△ACF ∽△CBP ，∴，EHCF =CE DC ,BPCF =BCCA =1本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

2020中考数学 几何专项突破：全等和相似三角形(含详解版)

2020中考数学 几何专项突破：全等和相似三角形(含详解版)

2020中考数学几何专项突破全等与相似三角形（含答案）典例探究例1.△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△ADE的位置，使得DC ∥AB,求∠EAB的度数。

例2. 如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

D例 3.如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点． （1）求证：； （2）当为边中点，时，如图2，求的值； （3）当为边中点，时，请直接写出的值．例4.如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。

（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

Rt ABC △90BAC ∠=°AD BC ⊥D O AC BO AD F OE OB ⊥BC E ABF COE △∽△O AC 2AC AB =OFOE O AC AC n AB =OFOEx y BBAACO E D D EC OF图1图2F巩固练习-全等三角形1.如图，给出下列四组条件：①； ②； ③； ④．其中，能使的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组2、如图，AD 是△ABC 的中线，AB AC =。

1∠与2∠相等吗？请说明理由。

3.已知：如图 , 点A 、D 、C 、F 在同一条直线上 , AB=DE , BC ∥EF,∠B=∠E. 求证：ΔABC ≌ΔDEF.4.如图,△OAB 和△COD 均为等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒, 连接AC 、BD .求证: AC BD =.AB DE BC EF AC DF ===，，AB DE B E BC EF =∠=∠=，，B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，AB DE AC DF B E ==∠=∠，，ABC DEF △≌△21DCBA5、如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，添加一个条件，使DE = DF ，并说明理由．6、如图，AB 是⊙O 的直径，AC ＝AD ，试说明△ABC 和△ABD 全等.7、已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AB ＝DE ，BF ＝CE 。

考点19 相似三角形模型-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)

考点19 相似三角形模型-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)

考点19 相似三角形基本模型相似三角形在初中数学中因为不同类型的规律比较明显，所以被总结了很多的模型，比如：A 字图、8字图、母子三角形、一线三等角、手拉手相似等。

而掌握了这类模型的套路后，可以更快的应对相似三角形类的应用。

所以考生需要对该考点完全掌握。

一、A 字图及其变型二、8字图及其变型三、一般母子型四、一线三等角五、手拉手模型考向一、A 字图及其变型“斜A 型”型在圆中的应用：如图可得：△PAB ∽△PCD1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝6，则的值为（ ）A．B．C．D．【分析】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故选：C．2．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，则S△ADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB＝（ ）A．1：2：5B．1：4：25C．1：3：25D．1：3：21【分析】由DE∥FG∥BC，可得△ADE∽△AFG∽△ABC，又由AD：AF：AB＝1：2：5，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：25，然后设△ADE的面积是a，则△AFG和△ABC的面积分别是3a，21a，即可求两个梯形的面积，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴AD：AF：AB＝1：2：5，∴S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：25，设△ADE的面积是a，则△AFG和△ABC的面积分别是4a，25a，则S四边形DFGE＝S△AFG﹣S△ADE＝3a，S四边形FBCG＝S△ABC﹣S△AFG＝21a，∴S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG＝1：3：21．故选：D．3．将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图5所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是　54或　平方厘米．【分析】分两种情况讨论，由勾股定理求出AD长，由三角形面积公式求出四边形ABCD的面积，由相似三角形的性质，即可解决问题．【解答】解：（1）分别延长CD，BA交于M，连接BD，设△MBC的面积是S（cm2），∵∠C＝∠DAB＝90°，∴DC2+BC2＝AB2+AD2＝BD2，∴22+92＝72+AD2，∴AD＝6（cm），∴△ADB的面积＝AD•AB＝×6×7＝21（cm2），△DCB的面积＝DC•BC＝×2×9＝9（cm2），∴四边形ABCD的面积＝21+9＝30（cm2），∴△DMA的面积＝（S﹣30）（cm2），∵∠M＝∠M，∠MAD＝∠MCB，∴△MDA∽△MBC，∴＝＝＝，∴＝，∴S＝54（cm2）．（2）分别延长AD，BC交于N，设△NAB的面积是S′（cm2），由（1）知四边形ABCD的面积＝30（cm2），∵∠N＝∠N，∠NCD＝∠A＝90°，∴△NCD∽△NAB，∴＝＝＝，∴＝，∴S′＝（cm2），∴原来的直角三角形纸片的面积是54cm2或cm2．故答案为：54或．4．如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．已知BC＝6cm，DE ＝3cm，EF＝2cm，那么△ABC的面积是　12　cm2．【分析】过点A作AN⊥BC，先利用相似三角形的判定说明△AGF∽△ABC，再利用相似三角形的性质求出△ABC的高，最后利用三角形的面积得结论．【解答】解：过点A作AN⊥BC，垂足为N，交GF于点M．∵四边形DEFG是矩形，∴GF∥DE，GF＝DE＝3cm，EF＝MN＝2cm．设AM＝acm，则AN＝（a+2）cm．∵GF∥DE，∴△AGF∽△ABC．∴＝．∴＝．∴a＝2．∴AN＝4cm．S△ABC＝BC•AN＝6×4＝12（cm）2．故答案为：12．5．如图▱ABCD中，点E在BA的延长线上，连接EC、BD交于点G，EC交AD于F，已知EA：AB＝1：2．（1）求EF：EC；（2）求FG：GC．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理和比例的性质求解即可；（2）利用相似三角形的判定，先说明△EAF∽△CDF，再利用相似三角形的性质和比例的性质求出BC：FD，最后通过说明△FDG∽△CBG，利用相似三角形的性质得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC．（1）∵EA：AB＝1：2，∴＝．∵AD∥BC，∴＝＝．（2）∵AB ∥CD ，∴△EAF ∽△CDF ．∴＝＝＝．∴＝＝．∵AD ∥BC ，∴△FDG ∽△CBG ．∴＝＝．考向二、8字图及其变型“蝴蝶型”变型1．如图，在△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点G ，联结DE ．下列结论成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由AD ，BE 是△ABC 的中线，得到DE 是△ABC 的中位线，推出△DEG ∽△ABG ，△CDE ∽△CBA ，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD ，BE 是△ABC 的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，＝＝，∴DG＝AG，∵BG：EG＝AB：DE＝2：1，∴GB：BE＝2：3，∴S△AGB：S△AEB＝2：3，∵AE＝EC，∴S△AEB＝S△ABC，∴S△AGB＝S△ABC，∵△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴S△CDE＝S△ABC，∴＝，结论成立的是＝，故选：C．2．如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC 于点G，则S△CFG：S△DEG等于（ ）A．9：4B．2：3C．4：9D．3：2【分析】利用平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，，再根据线段中点的定义可得CF＝BC＝AD，然后证明8字模型相似三角形△EDG∽△FCG，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵F为BC的中点，∴CF＝BC，∴CF＝AD，∵AE∥CF，∴∠E＝∠GCF，∠EDG＝∠C，∴△EDG∽△FCG，∵DE：AD＝1：3，∴DE＝AD，∴S△CFG：S△DEG＝（）2＝（）2＝（）2＝，故选：A．3．如图，在正方形ABCD中，E为AD上的点，连接CE．以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠CED内交于点P，连接EP并延长交DC于点H，交BC的延长线于点G．若AB＝16，AE：AD＝1：4，则EH的长为　6　．【分析】根据题中作图判断EP是∠DEC的角平分线，利用线段比和勾股定理求出EC，再利用角平分线的性质和平行线的性质得到CG，利用相似三角形的判定和性质求出DH，最后利用勾股定理得结论．【解答】解：∵以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠CED内交于点P，连接EP，∴EP是∠DEC的角平分线，∴∠DEG＝∠CEG．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝16，∠D＝90°，AD∥BC．∵AE：AD＝1：4，AE+ED＝16，∴AE＝4，ED＝12．在Rt△EDC中，EC＝＝＝20．∵AD∥BC，∴∠G＝∠DEG＝∠CEG．∴EC＝CG＝20．∵AD∥BC，∴△EDH∽△GCH．∴＝＝＝．∵DH+HC＝CD＝16，∴DH＝6．在Rt△EDH中，EH＝＝＝＝6．故答案为：6．4．如图，在▱ABCD中，G是CD延长线上一点，连接BG交AC，AD于E，F．（1）求证：△ABE∽△CGE；（2）若AF＝2FD，求的值．【分析】（1）根据平行四边形对边平行，得到∠ABE＝∠CGE，再利用对顶角相等，可得△ABE∽△CGE；（2）利用平行四边形对边平行，证明△AEF∽△CEB，得到，再由（1）得，，从而求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠CGE，又∵∠AEB＝∠CGE，∴△ABE∽△CGE．（2）解：设FD＝m，则AF＝2m，∴AD＝3m，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3m，∴∠EAF＝∠ECB，∠AFE＝∠CBE，∴△AEF∽△CEB∴＝＝，又∵△ABE∽△CGE，∴＝＝．即的值为．5．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．（1）在图①中，的值为　1：3　；（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3；②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．【分析】（1）如图①中，利用平行线的性质求解即可．（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．【解答】解：（1）如图①中，∵AB∥CD，∴△PCD∽△PBA．∴＝＝，故答案为：1：3；（2）①取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点．由勾股定理知：AB＝＝5．∵AP＝3，∴BP＝2．∵BE∥FA，∴△EPB∽△FPA．∵AP：BP＝AF：BE＝3：2．∴取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点；②如图③所示，作点A的对称点A′，连接A′C，交BD于点P，点P即为所要找的点，∵AB ∥CD ，∴△APB ∽△CPD ．考向三、一般母子型：联系应用：切割线定理：如图，PB 为圆O 切线，B 为切点，则：△PAB ∽△PBC得：1．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，有下列条件：①∠A ＝∠BCD ；②∠A +∠BCD ＝∠ADC ；③；④BC 2＝BD •BA ．其中能判断△ABC 是直角三角形的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】根据题目中①②③④给出的条件分别判定△BCD ∽△BAC 或△ABC ∽△ACD 即可求得∠ACB ＝90°，计算能求证△BCD ∽△BAC 或△ABC ∽△ACD 的个数即可解题．【解答】解：①∵∠A ＝∠BCD ，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠BCD +∠ACD ＝90°，故本命题成立；②条件不足，无法求证∠ACB ＝90°，故本命题错误；③∵BD ：CD ＝BC ：AC ，∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴Rt △ADC ∽Rt △CDB ，（因为都有一个直角，斜边直角边成比例）∴∠ACD ＝∠B ；∵∠B +∠BCD ＝90°，其中：∠A 是公共角AB 是公共边BD 与BC 是对应边∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∴∠ACB＝90°；故本命题正确；④∵BC2＝BD×BA，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴∠ACB＝90°，故本命题成立，故选：D．2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E为斜边AB的中点，则＝（ ）A．B．C．D．【分析】利用相似三角形的判定与性质得到∠BCD＝∠A＝22.5°，利用三角形的外角的性质得到∠CED＝45°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AE＝CE＝BE＝AB，设CD＝DE＝x，则CE＝，AD＝（+1）x，代入化简即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝22.5°．∵∠ACB＝90°，E为斜边AB的中点，∴AE＝CE＝BE＝AB．∴∠ECA＝∠A＝22.5°，∴∠CED＝∠A+∠ECA＝45°，∵CD⊥AB，∴CD＝DE．设CD＝DE＝x，则CE＝，∴AE＝x，∴AD＝AE+DE＝（+1）x，∴＝+1．故选：B．3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为　8　．【分析】首先根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，则BF＝CF，△DEF ∽△BED∽△BDF，得出＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，得出BC＝8x，DE＝x，得出CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，证明△CDF∽△CBA，得出＝，代入计算即可得出结果．【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，∵∠C+∠CDE＝45°∴2∠C+∠CDE＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，如图所示：则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，∴＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，∴BC＝8x，DE＝x，∴CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝，∴BC＝8；故答案为：8．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．（1）求证：EB2＝EG•EA；（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质可得结论；（2）由直角三角形的性质得BD＝AC＝CD，再由相似三角形的判定与性质可得EC2＝GE•EA，结合（1）的结论可得答案．【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，∴∠BGE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BGE＝∠ABE，∵∠BEG＝∠AEB，∴△ABE∽△BGE，∴＝，即EB2＝EG•EA；（2）在Rt△ABC中，点D是斜边AC的中点，∴BD＝AC＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CGE＝∠DBC，∴∠CGE＝∠DCB，∵∠GEC＝∠GEC，∴△GEC∽△CEA，∴＝，∴EC2＝GE•EA，由（1）知EB2＝EG•EA，∴EC2＝EB2，∴BE＝CE．考向四、一线三等角：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）异侧型1．如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D．AB＝2，DE＝4，BD＝6．点C为BD上一点，连接AC、CE．当BC＝（ ）时，可使AC⊥CE．A．3B．2或4C．D．2或3【分析】根据垂直定义可得∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠ACB＝90°，再利用平角定义可得∠ACB+∠ECD＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠ECD＝∠A，从而证明△ABC∽△CDE，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠ECD＝∠A，∴△ABC∽△CDE，∴＝，∴＝，解得：BC＝2或BC＝4，∴当BC＝2或4时，可使AC⊥CE，故选：B．2．如图，点A，B，C在同一直线上，∠A＝∠DBE＝∠C，则下列结论：①∠D＝∠CBE，②△ABD∽△CEB，③＝，其中正确的结论有（ ）个．A．0B．1C．2D．3【分析】根据三角形内角和和平角的定义可得①正确，进行可得△ABD∽△CEB，得出②正确；由相似三角形的性质可知，相似三角形的对应线段成比例，得出结论．【解答】解：由图可知，∠A+∠D+∠ABD＝180°，∠ABD+∠DBE+∠CBE＝180°，∵∠A＝∠DBE，∴∠D＝∠CBE，故①正确；∵∠A＝∠C，∴△ABD∽△CEB，故②正确；∴＝，故③正确；故选：D．3．如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC 于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝（ ）A．B．C．D．【分析】过点E作EN⊥BC，垂足为N，延长NE交AD于点M，根据矩形的性质可得AD＝BC＝6，∠DAB ＝∠ABC＝90°，从而可得四边形AMNB是矩形，进而可得∠AMN＝90°，AB＝MN＝8，AM＝BN，MN ∥AB，然后设ME＝x，则EN＝MN﹣EM＝8﹣x，再证明A字模型相似三角形△DME∽△DAB，并利用相似三角形的性质求出DM，从而求出AM，GN的长，最后证明一线三等角模型相似三角形△AME∽△ENG，利用相似三角形的性质列出关于x的方程，进行计算即可求出ME，AM的长，从而在Rt△AME 中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：过点E作EN⊥BC，垂足为N，延长NE交AD于点M，∴∠ENB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形AMNB是矩形，∴∠AMN＝90°，AB＝MN＝8，AM＝BN，MN∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，∠DEM＝∠DBA，∴△DME∽△DAB，∴＝，设ME＝x，则EN＝MN﹣EM＝8﹣x，∴＝，∴DM＝x，∴BN＝AM＝AD﹣DM＝6﹣x，∵BG＝2，∴GN＝BN﹣BG＝4﹣x，∵EG⊥AE，∴∠AEG＝90°，∴∠AEM+∠GEN＝90°，∵∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠GEN，∵∠AME＝∠ENG＝90°，∴△AME∽△ENG，∴＝，∴＝，∴x1＝，x2＝8，经检验：x1＝，x2＝8都是原方程的根，x2＝8（舍去），∴ME＝，AM＝6﹣x＝，∴AE＝＝＝，故选：B．4．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝34，cos∠ABC＝，射线CM∥AB，D为线段BC上的一动点且和B，C不重合，联结DA，过点D作DE⊥DA交射线CM于点E，联结AE，作EF＝EC，交BC的延长线于点F，设BD＝x．（1）如图1，当AD∥EF，求BD的长；（2）若CE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如图2，点G在线段AE上，作∠AGD＝∠F，若△DGE与△CDE相似，求BD的长．【分析】（1）可推出△ABD是等腰三角形，从而求得BD；（2）作AK⊥BC于K，EH⊥CF于H，可证得△AKD∽△DHE，可求得AK＝8，DK＝x﹣6，EH＝y，DH＝34﹣x+y，进一步求得结果；（3）推出可以是△GDE∽△CDE或△GDE∽△CED，当△GDE∽△CDE时，可推出△GDE≌△CDE及△ABD≌△AGD，进而求得此时BD的值；当△GDE∽△CED时，推出四边形ADFED是平行四边形，再根据△AKD∽△DTE，进而求得此时BD．【解答】解：（1）如图1，作AK⊥BC于K，∴BK＝AB•cos∠ABC＝10×＝6，∴AK＝＝＝8，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠F，∵CM∥AB，AD∥EF，∴∠B＝∠ECF，∠ADB＝∠F，∴∠B＝∠ADB，∴AB＝AD，∴BD＝2BK＝12；（2）如图2，作AK⊥BC于K，EH⊥CF于H，∴∠ADK＝∠CHE＝90°，∴∠ADK+∠DAK＝90°，∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，∴∠ADK+∠EDH＝90°，∴∠DAK＝∠EDH，∴△AKD∽△DHE，∴＝，∵BD＝x，BK＝6，BC＝34，∴DK＝x﹣6，DC＝34﹣x，∵∠ECF＝∠ABD，∴CH＝CE•cos∠ECF＝y•cos∠ABD＝，∴EH＝y，∴DH＝DC+CH＝34﹣x+，∴＝，化简，得，y＝，当∠HDE＝∠ECF时，DE∥CE，∴∠DAK＝∠ECH＝∠ABD，∴DK＝AK•tan∠DAK＝8•tan∠ABK＝8×＝，此时，BD＝BK+DK＝6+＝，∴6＜x＜；（3）如图3，∵∠AGD＝∠F，∠AGD+∠DGE＝180°，∴∠DGE+∠F＝180°，∵∠ECF+∠DCE＝180°，∠F＝∠ECF，∴∠DGE＝∠DCE，∴△GDE∽△CDE或△GDE∽△CED，当△GDE∽△CDE时，∠GDE＝∠CDE，∵DE＝DE，∴△CDE≌△GDE（AAS），∴DG＝DC，∵∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝∠ADG+∠GDE＝90°，∴∠ADB＝∠ADG，∵∠ABD＝∠ECF＝∠F，∴∠ABD＝∠AGD，∵AD＝AD，∴△ABD≌△AGD（AAS），\∴DB＝DG，∴BD＝CD＝BC＝17，∵6＜BD＜，∴BD＝17不符合题意，舍去；当△GDE∽△CED时，如图4，∠GDE＝∠DEC，∠GED＝∠CDE，∴DG∥CE，CD∥GE，∴四边形CDGE是平行四边形，由（1）（2）知，AK＝8，DK＝x﹣6，CD＝34﹣x，△AKD∽△DTE，∴ET＝AK＝8，CT＝BK＝6，DT＝40﹣x，∴＝，∴＝，∴x＝8，综上所述：BD＝8．考向五、手拉手相似模型：模型名称几何模型图形特点具有性质相似型手拉手△ABC ∽△ADEA 、D 、E 逆时针A 、B 、C 逆时针连结BD 、CE ①△ABD ∽△ACE ②△AOB ∽△HOC③旋转角相等④A 、B 、C 、H 四点共圆“反向”相似型手拉手△ABC ∽△ADE A 、D 、E 顺时针A 、B 、C 逆时针A 、D 、E`逆时针作△ADE 关于AD 对称的△ADE`性质同上①②③1．如图，△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，且△ABC ∽△AB 'C '，连接CC '，将CC ′沿C ′B ′方向平移至EB '，连接BE ，若CC '＝，则BE 的长为（ ）A ．1B ．C ．D ．2【分析】连接BB′，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义可得＝，再利用相似三角形的性质可得＝，∠ACB ＝∠AC ′B′＝90°，∠BAC ＝∠B ′AC ′＝30°，从而利用等式的性质可得∠BAB ′＝∠CAC ′，进而可证△BAB ′∽△CAC ′，然后利用相似三角形的性质可得∠BB ′A ＝∠CC ′A ，＝＝，再利用平移的性质可得CC ′∥B ′E ，＝＝，从而利用平行线的性质可得∠BB ′E ＝30°，最后证明△BCA ∽△BEB ′，从而可得∠BEB ′＝90°，进而在Rt △BEB ′中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：连接BB ′，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，∴cos30°＝＝，∵△ABC∽△AB'C'，∴＝，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°，∴∠BAC+∠CAB′＝∠B′AC′+∠CAB′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∴△BAB′∽△CAC′，∴∠BB′A＝∠CC′A，＝＝，由平移得：CC′＝B′E＝，CC′∥B′E，∴＝＝，∵CC′∥B′E，∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠BB′A+∠BB′E＝180°，∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠CC′A+∠BB′E＝180°，∴∠AC′B′+∠AB′C′+∠BB′E＝180°，∵∠AC′B′＝90°，∠B′AC′＝30°，∴∠AB′C′＝90°﹣∠B′AC′＝60°，∴∠BB′E＝30°，∴∠BB′E＝∠CAB＝30°，∴△BCA∽△BEB′，∴∠BEB′＝∠ACB＝90°，∴BE＝B′E•tan30°＝×＝，故选：B．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝6，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP 绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 ．【分析】以BC为边构建出和△BPD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求值．【解答】解：如图所示，以BC为底边向上作等腰△BQC，使∠BQC＝120°，连接PQ．由题意可得△BQC和△BPD均为顶角为120°的等腰三角形，可得，∠QBC＝∠PBD＝30°，∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，∴∠PBQ＝∠DBC，∴△PBQ∽△DBC，∴，∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小，如图所示，设OP′⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP'为QP的最小值，可得AK⊥BC，∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，∴BK＝3，∠QBK＝30°，∴QK＝，∵AB＝AC＝3，KC＝3，∴AK＝＝6，∴AQ＝AK﹣QK＝5，∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK，∴△AQP'∽△ACK，∴，∴，∴QP'＝，∴CD＝P′＝．3．已知在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D．（1）在图1中，写出其中两对相似三角形．（2）已知BD＝1，DC＝2，将△CBD绕着点D按顺时针方向进行旋转得到△C'BD，连接AC'，BC．①如图2，判断AC'与BC之间的位置及数量关系，并证明；②在旋转过程中，当点A，B，C'在同一直线时，求BC的长．【分析】（1）利用两个角相等可得△ABC∽△ACD，△BCD∽△BAC；（2）①利用两边成比例且夹角相等证明△DBC∽△DC'A，得，∠DC'A＝∠DBC，可得结论；②分点C'在线段AB或AB的延长线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理列方程可得答案．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD，△BCD∽△BAC；（2）①，AC'⊥BC，理由如下：由（1）知，在图1中，△ABC∽△CBD∽△ACD，∴，如图2，∵∠BDC'＝∠CDA＝90°，∴∠BDC＝∠C'DA，∴△DBC∽△DC'A，∴，∠DC'A＝∠DBC，∵∠DEB＝∠CEC'，∴∠C'FE＝∠BDC'＝90°，∴AC'⊥BC，∴，AC'⊥BC；②如图，当点A、B、C'在同一直线上时，由①知，，AC'⊥BC，设BC＝x，AC'＝2x，在Rt△ACB中，由勾股定理得，x2+（2x﹣）2＝（2）2，解得x＝（负值舍去），如图，当A、C'、B在同一直线上时，同理可得，x2+（2x+）2＝（2）2，解得x＝（负值舍去），综上：BC＝或．1．（2022秋•泗阳县期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高2m，测得AB＝3m，BC ＝6m．则建筑物CD的高是（ ）A．4m B．9m C．8m D．6m【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△AEB∽△ADC，∴＝，∴＝，∴CD＝6（m），故选：D．2．（2022秋•成华区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BDEF是平行四边形，．若△ADE的面积为1，则平行四边形BDEF的面积为（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】利用平行四边形的性质先说明△ADE∽△ABC、△CEF∽△CBA，再利用相似三角形的性质求出△ADE、△ABC、△CEF的面积，最后利用面积的和差关系得结论．【解答】解：∵四边形BDEF是平行四边形，∴DE∥BC，EF∥AB．∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CBA．∵，∴＝．∴＝．∴＝（）2＝，＝（）2＝．∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9，S△CEF＝4．∵S△ADE+S△CEF+S平行四边形BDEF＝S△ABC，∴S平行四边形BDEF＝9﹣1﹣4＝4．故选：B．3．（2022秋•海淀区校级月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD ＝∠B，则CD＝ ．【分析】根据已知易得BC＝6，从而可得CP＝4，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，从而利用三角形内角和定理可得∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，然后利用平角定义可得∠APB+∠DPC＝180°﹣∠B，从而可得∠DPC＝∠BAP，进而可得△ABP∽△PCD，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵BP＝BC＝2，∴BC＝3BP＝6，∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∴∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，∵∠APD＝∠B，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠APD＝180°﹣∠B，∴∠DPC＝∠BAP，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴＝，∴CD＝，故答案为：．4．（2022秋•万州区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E为CD的中点，F为BC上一点，BF＜FC，且AF⊥FE．对角线AC与EF交于点G，则GC的长为 ．【分析】根据矩形的性质可得∠B＝∠FCE＝90°，由∠AFB+∠EFC＝∠AFB+∠BAF可得∠EFC＝∠BAF，以此证明△ABF∽△FCE，根据相似三角形的性质得，设BF＝x，则CF＝9﹣x，以此列出方程解得BF＝3，CF＝6，过点G作GH⊥BC于点H，再证明△CHG∽△CBA，△FHG∽△FCE，得到，，联立两式子，算出CH、GH，最后根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠FCE＝90°，∵AF⊥FE，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∴∠EFC＝∠BAF，∴△ABF∽△FCE，∴，设BF＝x，则CF＝9﹣x，∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，E为CD的中点，∴CE＝3，∴，整理得：x2﹣9x+18＝0，解得：x1＝3，x2＝6，∵BF＜FC，∴BF＝3，CF＝6，过点G作GH⊥BC于点H，如图，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴GH∥AB，GH∥CD，∴△CHG∽△CBA，△FHG∽△FCE，∴，，∴①，②，联立①②得：，解得：，在Rt△CHG中，由勾股定理得GC＝．故答案为：．5．（2022•安徽模拟）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC 和CDE如图放置（其中∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC，CE＝DE）．CD、CE分别与AB边相交于M、N 两点．请完成下列探究：（1）若AC＝2，则AN•BM的值为　4　；（2）过M作MF⊥AC于F，若＝，则的值为 ．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠A＝∠B＝45°，∠MCN＝45°，可得∠ACN＝∠ACM+∠MCN＝∠ACM+45°，∠BMC＝∠ACM+∠A＝∠ACM+45°，即可证明△ACN∽△BMC，可得＝，即可求解；（2）过点C作CG⊥AB于点G，可得∠CGN＝∠CFM＝90°，由等腰直角三角形的性质可得∠NCG+∠MCG＝45°，∠ACM+∠MCG＝45°，从而可得∠NCG＝∠MCF，可证得△GCN∽△FCM，可得＝＝，设CG＝4k，则CF＝5k，AC＝4k，即可求解＝．【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∠MCN＝45°，BC＝AC＝2，∵∠ACN＝∠ACM+∠MCN＝∠ACM+45°，∠BMC＝∠ACM+∠A＝∠ACM+45°，∴∠ACN＝∠BMC，∴△ACN∽△BMC，∴＝，∵BC＝AC＝2，∴AN•BM＝AC•BC＝4，故答案为：4；（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，∵MF⊥AC，∴∠CGN＝∠CFM＝90°，∵∠NCG+∠MCG＝45°，∠ACM+∠MCG＝45°，∴∠NCG＝∠MCF，∴△GCN∽△FCM，∵＝，∴＝＝，设CG＝4k，则CF＝5k，AC＝4k，∴＝，故答案为：．6．（2022秋•驻马店期末）如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的长．【分析】根据射影定理列出算式，代入数据计算即可．【解答】解：由射影定理得，AB2＝BD•BC，则BD＝＝1.6．7．（2022秋•开化县期中）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若AC：DC＝2：3，BC＝6，求EC的长．【分析】（1）由∠BCE＝∠ACD，可得出∠BCA＝∠ECD，结合∠A＝∠D，可证出△ABC∽△DEC；（2）由△ABC∽△DEC，利用相似三角形的性质可得出AC：DC＝BC：CE，结合已知条件，可求出EC 的长．【解答】（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ECA＝∠ACD+∠ACE，即∠BCA＝∠ECD．又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC．（2）解：∵△ABC∽△DEC，AC：DC＝2：3，∴AC：DC＝BC：CE＝2：3，而BC＝6，∴EC＝9，∴EC的长为9．8．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC．E为边CB延长线上一点，联结DE 交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且＝．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AE2＝AG•AC，求证：＝．【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由AE2＝AG•AC易得△AEG∽△ACE，所以∠AEG＝∠ACE＝∠DAG，可得△ADG∽△EDA，再根据相似三角形的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB∥CD；（2）∵AE2＝AG•AC，∴＝，∵∠EAG＝∠CAE，∴△AEG∽△ACE，∴∠AEG＝∠ACE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAG，∴∠DAG＝∠AEG，∵∠ADG＝∠EDA，∴△ADG∽△EDA，∴，即＝．9．（2022秋•长安区校级月考）如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF：AB＝2：3．（1）若CE＝4，求AE的长；（2）若CD＝6，求AB的长；（3）若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积．【分析】（1）根据AB∥EF得到△CEF∽△CAB，接着利用相似三角形的性质得到EF：AB＝2：3＝CE：CA，由此求出CA＝6即可求解；（2）根据AB∥EF∥CD，得到△ABE∽△CDE，接着得到AB：CD＝AE：CE，利用比例的性质最后得到EFAE：CE＝AB：CD＝1：2即可求出AB＝3；（3）由于△CEF∽△CAB得到S△CEF：S△CAB＝＝＝，由此即可求解．【解答】解：（1）∵AB∥EF，∴△CEF∽△CAB，∴EF：AB＝2：3＝CE：CA，∵CE＝4，∴2：3＝4：CA，∴CA＝6，∴AE＝CA﹣CE＝6﹣4＝2；（2）∵AB∥EF∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴AB：CD＝AE：CE，∵EF：AB＝2：3＝CE：CA，∴CE：EA＝2：1，∴AE：CE＝AB：CD＝1：2，而CD＝6，∴AB＝3；（3）∵△CEF∽△CAB，∴S△CEF：S△CAB＝＝＝，∴＝，∴＝，∴S△CEF＝．10．（2022•文山州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作⨀O，交CD延长线于点F，AC＝3，BC＝5，AD＝1．（1）求证：△CDE∽△CBF；（2）当⨀O与CD相切于点D时，求⨀O的半径；（3）若S△CDE＝3S△BDF，求DF的值．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠BED+∠BFD＝180°，再根据同角的补角相等可得∠CED ＝∠BFD，然后根据两角相等的两个三角形相似进行证明即可解答；（2）连接OD，过点O作OM⊥BD，垂足为M，可得DM＝BM＝DB，∠OMD＝90°，从而可得∠ODM+∠MOD＝90°，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，从而求出BD，DM的长，然后在Rt△ACD 中，利用勾股定理求出CD的长，再利用切线的性质可得∠ODC＝90°，最后利用一线三等角相似模型证明△DMO∽△CAD，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答；（3）过点D作DH⊥BC，垂足为H，过点B作BG⊥CF，垂足为G，根据△BDC的面积＝BC•DH＝BD•AC＝BG•CD，可求出DH＝，BG＝，再根据已知S△CDE＝3S△BDF，可得＝，然后设DF＝x，则CE＝15x，从而利用（1）的结论，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形BEDF是⊙O的内接四边形，∴∠BED+∠BFD＝180°，∵∠BED+∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BFD，∵∠DCE＝∠BCF，∴△CDE∽△CBF；（2）连接OD，过点O作OM⊥BD，垂足为M，∴DM＝BM＝DB，∠OMD＝90°，∴∠ODM+∠MOD＝90°，∵∠A＝90°，BC＝5，AC＝3，∴AB＝＝＝4，∵AD＝1，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3，∴DM＝BD＝，在Rt△ADC中，CD＝＝＝，∵⨀O与CD相切于点D，∴∠ODC＝90°，∴∠ODM+∠ADC＝180°﹣∠ODC＝90°，∴∠MOD＝∠ADC，∵∠OMD＝∠A＝90°，∴△DMO∽△CAD，∴＝，∴＝，∴DO＝，∴⨀O的半径为；（3）过点D作DH⊥BC，垂足为H，过点B作BG⊥CF，垂足为G，∵△BDC的面积＝BC•DH＝BD•AC＝BG•CD，∴BC•DH＝BD•AC＝BG•CD，∴5DH＝3×3＝BG，∴DH＝，BG＝，∵S△CDE＝3S△BDF，∴CE•DH＝3×DF•BG，∴CE•DH＝3DF•BG，∴CE＝3DF•，∴＝＝，∴设DF＝x，则CE＝15x，由（1）得：△CDE∽△CBF，∴＝，∴＝，解得：x＝，经检验：x＝是原方程的根，∴DF＝x＝，∴DF的长为．1．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】根据CD∥OB得出，根据AC：OC＝1：2，得出，根据C、D两点纵坐标分别为1、3，得出OB＝6，即可得出答案．【解答】解：∵CD∥OB，∴，∵AC：OC＝1：2，∴，∵C、D两点纵坐标分别为1、3，∴CD＝3﹣1＝2，∴，解得：OB＝6，∴B点的纵坐标为6，故选：C．2．（2022•凉山州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【分析】根据＝，得到＝，根据DE∥BC，得到∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴＝，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝15（cm），故选：C．3．（2022•哈尔滨）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（ ）A．B．4C．D．6【分析】利用平行线证明判定三角形相似，得到线段成比例求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝，即＝，∴BE＝1.5，∴BD＝BE+DE＝4.5．故选：C．4．（2022•雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝＝．故选：D．5．（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC 边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（ ）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】由旋转的性质得出∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，进而得出∠B＝∠ADB，得出∠ADE＝∠ADB，得出DA平分∠BDE，可判断结论②符合题意；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，得出△AFE∽△DFC，可判断结论①符合题意；由∠BAC＝∠DAE，得出∠BAD＝∠FAE，由相似三角形的性质得出∠FAE＝∠CDF，进而得出∠BAD＝∠CDF，可判断结论③符合题意；即可得出答案．【解答】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，∴∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∴DA平分∠BDE，∴②符合题意；∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，∴△AFE∽△DFC，∴①符合题意；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠FAE，∵△AFE∽△DFC，∴∠FAE＝∠CDF，∴∠BAD＝∠CDF，∴③符合题意；故选：D．6．（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F 处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（ ）A．9B．12C．15D．18【分析】证明△BEF∽△CFD，求得CF，设BF＝x，用x表示DF、CD，由勾股定理列出方程即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，∵将矩形ABCD沿直线DE折叠，∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，∴△BEF∽△CFD，∴，∵CD＝3BF，∴CF＝3BE＝12，设BF＝x，则CD＝3x，DF＝BC＝x+12，∵∠C＝90°，∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，∴（3x）2+122＝（x+12）2，解得x＝3（舍去0根），∴AD＝DF＝3+12＝15，故选：C．7．（2022•云南）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：在△ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥AC ，DE ＝AC ，∴△BED ∽△BAC ，∵＝，∴＝，即＝，故选：B ．8．（2022•锦州）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若AB ＝6，则△AEF 的面积为 3　．【分析】由正方形的性质可知AE ＝3，AD //BC ，则可判断△AEF ∽△CBF ，利用相似三角形的性质得到，然后根据三角形面积公式得到S △AEF ＝S △ABE ．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝BC ＝AB ＝6，AD ∥BC ，∵E 为AD 的中点，∴AE ＝AB ＝3，∵AE ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴＝＝，∴S △AEF ：S △ABF ＝1：2，∴S△AEF＝S△ABE＝××3×6＝3．故答案为：3．9．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D 在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是　②③　．【分析】①根据等腰直角三角形可知∠B＝∠ACB＝45°，若AC＝CD，则∠ADC＝∠CAD＝67.5°，这个根据已知得不出来，所以①错误；②证明△AEF∽△ABD，列比例式可作判断；④证明△ADH∽△BAH，列比例式可作判断；③先计算AH的长，由④中得到的比列式计算可作判断．【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠BAD的度数不确定，∴∠ADC与∠CAD不一定相等，∴AC与CD不一定相等，故①错误；②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠B＝∠AED＝45°，∴△AEF∽△ABD，∴＝，∵AE＝AD，AB＝BC，∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，∴AD2＝AF•BC，故②正确；④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，∴△ADH∽△BAH，∴＝，∴AH2＝DH•BH，而BH与AC不一定相等，故④不一定正确；③∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵AH⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵AD＝3，∴AG＝DG＝，∵DH＝5，∴GH＝＝＝，∴AH＝AG+GH＝2，由④知：AH2＝DH•BH，∴（2）2＝5BH，∴BH＝8，∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，故③正确；本题正确的结论有：②③故答案为：②③．10．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．【分析】设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH∥BC，∠EFC＝90°，则△AEH∽△ABC，得＝，其中BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，可以列出方程＝，解方程求出EH 的值即可．【解答】解：设AD交EH于点R，∵矩形EFGH的边FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC于点D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°，∴AR⊥EH，∴＝，∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH，∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴＝，解得EH＝，∴EH的长为，故答案为：．11．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．【分析】（1）根据题意可得BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝α，然后在Rt△AEC 中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，进行计算即可解答；（2）根据题意得：GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，然后证明A字模型相似三角形△ABH∽△GCH，从而可得＝，再证明A字模型相似三角形△ABF∽△EDF，从而可得＝，进而可得＝，最后求出BC的长，从而求出AB的长．【解答】解：（1）如图：由题意得：BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝α，在Rt△AEC中，AE＝CE•tanα＝a tanα（米），∴AB＝AE+BE＝（b+a tanα）米，∴灯杆AB的高度为（a tanα+b）米；（2）由题意得：GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，∵∠AHB＝∠GHC，∴△ABH∽△GCH，∴＝，∴＝，∵∠F＝∠F，∴△ABF∽△EDF，∴＝，∴＝，∴＝，∴BC＝0.9米，∴＝，∴AB＝3.8米，∴灯杆AB的高度为3.8米．1．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值为，故选：B．2．（2022•南岗区三模）如图，点E在菱形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于点F，则下列式子一定正确的是（ ）A．B．C．D．。

2019—2020年沪科版九年级数学第一学期《相似形》全章高频考点专题训练.docx

2019—2020年沪科版九年级数学第一学期《相似形》全章高频考点专题训练.docx

全章高频考点专训专项训练一：巧用平行线证比例及相似相似三角形的判定是整个相似图形理论应用的核心，通过判定两个三角形相似，可以计算线段的长度，线段的比或角的大小等，相似三角形常见的判定方法有：利用角的关系判定相似，利用边的关系判定相似，利用边和角的关系判定相似等。

训练角度一：利用角的关系判定相似如图32－2－27所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F.求证：△ABF∽△CAF.训练角度二：利用边的关系判定相似如图,在中,,点D、E在BC上,且,求证:(1); (2).训练角度三：利用边和角的关系判定相似如图，△ACB 为等腰直角三角形，点D 为斜边AB 上一点，连CD ，DE ⊥CD ，DE=CD ．连AE ．,CE 过C 作CO ⊥AB 于O ，求证：ACE ∆∽OCD ∆在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒钟△PBQ 与原三角形相似?专项训练二：巧用相似三角形的性质证比例式，等积式证明等积式时一般是先化等积式为比例式，然后证明等积式中的四条线段所在的两个三角形相似，当所要证明的比例式不是由相似三角形的对应边组成的比例式时，要考虑线段代换或等比代换。

训练角度一：巧用相似三角形的性质证比例式如图,点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且.求证:已知在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，AE＝EC，延长ED交AB的延长线于F，求证：.训练角度二：巧用相似三角形的性质证等积式类型一：三点定形法已知：在平行四边形ABCD中，AM⊥BC于M，AN⊥CD于N 求证：AC.AM=MN.AB类型二：等线段代换法如图，在Rt△ABC中有正方形DEFG，且E，F在斜边BC上，D，G分别在AB，AC上，求证：=BE·FC类型三：等积（等比）过渡法如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE于D，求证：CE 2=PE•DE．专项训练三：运用相似三角形的性质进行计算运用相似三角形的性质进行有关计算，一般都是先判定与所求问题相关的三角形相似，再利用其性质解决问题，常见的类型有：求线段的长度，求比值，求周长，求面积等。

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2019-2020年中考数学专题突破训练相似三角形含考点分类汇编详解 一、选择题(每小题3分，共27分)
1．(2017·兰州)已知2x ＝3y(y>0)，则下面结论成立的是( A ) A .x y ＝32 B .x 3＝2y C .x y ＝23 D .x 2＝y 3
2．(2017·重庆B )已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为( A )
A ．1∶4
B ．4∶1
C ．1∶2
D ．2∶1 3．(2017·杭州)如图，在△ABC 中，点D ，
E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( B )
A .AD A
B ＝12 B .AE E
C ＝12 C .A
D EC ＝12 D .D
E BC ＝12
第3题图
第4题图
4．(2017·恩施州)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( C )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12 (导学号 58824155) 5．(2017·绥化)如图，△A ′B ′C ′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB′∶OB 为( A )
A ．2∶3
B ．3∶2
C ．4∶5
D ．4∶9
第5题图
第6题图
6．(2017·哈尔滨)如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是( C )
A .AD A
B ＝AE E
C B .AG GF ＝AE B
D C .BD AD ＝C
E AE D .AG A
F ＝AC EC
7．(2016·安徽)如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( B )
A ．4
B ．4 2
C ．6
D ．4 3
第7题图
第8题图
8．(2017·张家界)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是( B )
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24 9．(2017·泰安)如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，M
E ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E.若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( B )
A ．18
B .109
5
C .965
D .253
二、填空题(每小题3分，共18分)
10．(2017·长春)如图，直线a ∥b ∥c ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C
和点D ，E ，F.若AB ∶BC ＝1∶2，DE ＝3，则EF 的长为_6_.
第10题图
第11题图
11．(2017·临沂)已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝2
3，AD ＝10，则AO ＝_4_.
12．(2017·随州)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝_53或12
5
_时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．
13．(2017·六盘水)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点 F.若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝_16
9_.(导学号
58824156)
第13题图
第14题图
14．(2017·铁岭模拟)如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)，以点C 为位似中心，在x 轴下方作△ABC 的位似图形△A′B′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B′的横坐标是2，则点B 的横坐标是_－2.5_.
15．(2017·杭州)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于_78_.
三、解答题(本大题2小题，共22分)
16．(11分)(2017·杭州)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.
(1)求证：△ADE ∽△ABC ；
(2)若AD ＝3，AB ＝5，求AF
AG 的值．(导学号 58824157)
解：(1)∵AG ⊥BC ，AF ⊥DE ， ∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°， ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AED ＝∠ACB. ∵∠EAD ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC ；
(2)由(1)可知：△ADE ∽△ABC ， ∴
AD AB ＝AE AC ＝35
， 由(1)可知：∠AFE ＝∠AGC ＝90°，
∴∠EAF ＝∠CAG ，∴△EAF ∽△CAG ， ∴
AF AG ＝AE AC ，∴AF AG ＝35
17．(11分)(2017·凉山州)如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC 三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．
(1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；
(2)以原点O 为位似中心，在x 轴的上方画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2，并求出△A 2B 2C 2的面积．
解：(1)如解图所示，△A 1B 1C 1就是所求三角形；
(2)如解图所示，△A 2B 2C 2就是所求三角形，
∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2，∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10)．
∴S △A 2B 2C 2＝8×10－12×6×2－12×4×8－1
2
×6×10＝28.
B 卷
1．(3分)如图，在等边△ABC 中，D 为AC 边上的一点，连接BD ，M 为BD 上一点，
且∠AMD ＝60°，AM 交BC 于E.当M 为BD 中点时，CD
AD
的值为( B )
A .23
B .5－12
C .32
D .3
5
第1题图
第2题图
2．(3分)(2017·内江)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM ⊥AB ，M 为垂足，AM ＝13AB.若四边形ABCD 的面积为15
7，则四边形AMCD 的面积是
_1_.(导学号 58824158)
3．(12分)(2017·武汉)已知四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线交于点E. (1)如图①，若∠ABC ＝∠ADC ＝90°，求证：ED·EA ＝EC·EB ；
(2)如图②，若∠ABC ＝120°，cos ∠ADC ＝3
5，CD ＝5，AB ＝12，△CDE 的面积为6，
求四边形ABCD 的面积；
(3)如图③，另一组对边AB ，DC 的延长线相交于点F.若cos ∠ABC ＝cos ∠ADC ＝3
5，
CD ＝5，CF ＝ED ＝n ，直接写出AD 的长(用含n 的式子表示)．
图①
图②
图③
解：(1)如解图①，∵∠ADC ＝90°，∠EDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠EDC ＝90°，
图①
∵∠ABC ＝90°， ∴∠EDC ＝∠ABC ， ∵∠E ＝∠E ，
∴△EDC ∽△EBA ， ∴
ED EB ＝EC EA
， ∴ED ·EA ＝EC ·EB ； (2)S 四边形ABCD ＝75－183；
图②
(3)如解图②，作CH ⊥AD 于点H ，则CH ＝4，DH ＝3，∴tan ∠E ＝4
n ＋3，
作AG ⊥DF 于点G ，设AD ＝5a ，则DG ＝3a ，AG ＝4a ， ∴FG ＝DF －DG ＝5＋n －3a ，
∵CH ⊥AD ，AG ⊥DF ，∠E ＝∠F ，易证△AFG ∽△CEH ，∴AG FG ＝CH EH ，∴4a 5＋n －3a ＝4
n ＋3，
∴a ＝n ＋5n ＋6，∴AD ＝5a ＝5（n ＋5）
n ＋6
.。

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