2019届中考数学试题分类汇编：图形的相似(含解析)

（2019，永州）如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD

（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD 上是否存在P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由； （2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；

（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；

（4）若AB=m ，CD=n ，BD=l ，请问,,m n l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点？两个P 点？三个P 点？

（2019•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 1.5米 ．

考点：

相似三角形的应用． 分析：

根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC 可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解． 解答：

解：∵DE∥BC， A

B

C

D

P

()

25第题图

∴△ADE∽△ACB，即=，

则

=

，

∴h=1.5m． 故答案为：1.5米．

点评：

本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

（2019，成都）如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=o ，

BD BE ⊥，AD BC =.

（1）求证：CE AD AC +=；

（2）若3AD =，5CE =，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作DP PQ ⊥，交直线BE 与点Q ；

i ）当点P 与A ，B 两点不重合时，求

DP

PQ

的值； ii ）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）

（1）证△ABD ≌△CEB →AB=CE ；

（2）如图，过Q 作QH ⊥BC 于点H ，则△ADP ∽△HPQ ，△BHQ ∽△BCE ， ∴

QH AP PH AD =， EC

QH

BC BH =；

设AP=x ，QH=y ，则有5

3y

BH = ∴BH=

53y ，PH=5

3y

+5x - ∴

y

x

x y

=

-+55

33，即0)53)(5(=--x y x 又∵P 不与A 、B 重合，∴ ,5≠x 即05≠-x ， ∴053=-x y 即x y 53=

∴

53

==y x PQ DP (3)

3

34

2 （2019•广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC ，要求剪出的半圆的直径在△ABC 的边上，且半圆的弧与△ABC 的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．

考点： 作图—应用与设计作图． 专题：

作图题． 分析：

分直径在直角边AC 、BC 上和在斜边AB 上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可．

解答： 解：根据勾股定理，斜边AB=

=4

，

①如图1、图2，直径在直角边BC 或AC 上时， ∵半圆的弧与△ABC 的其它两边相切， ∴=

，

解得r=4﹣4，

②如图3，直径在斜边AB 上时，∵半圆的弧与△ABC 的其它两边相切， ∴

=，

解得r=2，

作出图形如图所示：

点评：

本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键．

（2019•眉山）如图，△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，且2

1

==FC AF EB AE ，若△AEF 的面积为2，则四边形EBCF 的面积为

_________

（2019•眉山）在矩形ABCD 中，DC ＝32，CF ⊥BD 分别交BD 、AD 于点E 、F ，连接BF 。 ⑴求证：△DEC ∽△FDC ；

⑵当F 为AD 的中点时，求sin ∠FBD 的值及BC 的长度。

（2019•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以

F

解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题： （1）若O 是△ABC 的重心（如图1），连结AO 并延长交BC 于D ，证明：2

3

AO AD =； （2）若AD 是△ABC 的一条中线（如图2），O 是AD 上一点，且满足2

3

AO AD =，试判断O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（3）若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB 、AC 相交于G 、H （均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S 四边形BCHG ．S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究BCHG AGH

S S

四边形的最大值。

2019•内江）如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ）

A ． 2：5

B ． 2：3

C ． 3：5

D ． 3：2

考点：

相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析：

先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S △DEF ：S △ABF =4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE ：EC 的值，由AB=CD 即可得出结论．

（图3）

（图2）

（图1）

B

D B

D D B