中考数学专题复习分类练习 相似综合解答题及答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．

（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P 是MN上一点，求△PDC周长的最小值．

【答案】（1）解：结论：CF=2DG．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，

∵DE=AE，

∴AD=CD=2DE，

∵EG⊥DF，

∴∠DHG=90°，

∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，

∴∠CDF=∠DEG，

∴△DEG∽△CDF，

∴ = = ，

∴CF=2DG

（2）解：作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，

此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．

由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，EG= ，DH= = ，

∴EH=2DH=2 ，

∴HM= =2，

∴DM=CN=NK= =1，

在Rt△DCK中，DK= = =2 ，

∴△PCD的周长的最小值为10+2 ．

【解析】【分析】（1）结论：CF=2DG．理由如下：根据正方形的性质得出AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，根据中点的定义得出AD=CD=2DE，根据同角的余角相等得出∠CDF=∠DEG，从而判断出△DEG∽△CDF，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论；

（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最

短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK，由题意得CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，

EG=，根据面积法求出DH的长，然后可以判断出△DEH相似于△GDH，根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=，再根据面积法求出HM的长，根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=NK= 1，在Rt△DCK中，利用勾股定理算出DK的长，从而得出答案。

2．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a，b的值；

（2）如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.

①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

【答案】（1）解：由题意得：，解得：a= ，b=

（2）解：①由（1）知二次函数为 .∵A（4，0），∴B（﹣1，0），C

（0，﹣2），

∴OA=4，OB=1，OC=2，∴AB=5，AC= ，BC= ，∴AC2+BC2=25=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°．

∵AE=2t，AF= t，∴ .

又∵∠EAF=∠CAB，

∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，

∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；

由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF= AE=t．

假设△DCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：

ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2，

∴AE= AB= t= ÷2= ；

ⅱ）若D为直角顶点，如图3．

∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．

∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，

∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．

∵OC⊥BD，

∴OD=OB=1，

∴AD=3，

∴AE= ，

∴t= ；

当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形．

综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t= 或t= ．

②ⅰ）当0＜t≤ 时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，∴S= ×2t×t=t2；

ⅱ）当＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，过点G作GH⊥BE于H，

设GH=m，则BH= ，DH=2m，∴DB= ．

∵DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴ =4t﹣5，∴m= （4t﹣5），

∴S=S△DEF﹣S△DBG= ×2t×t﹣（4t﹣5）× （4t﹣5）= ；

ⅲ）当2＜t≤ 时，重叠部分为△BEG，如图5．

∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），

∴S= ×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．

综上所述：．

【解析】【分析】（1）根据已知抛物线的图像经过点A，以及当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等两个条件，列出方程组求出待定系数的值即可。

（2）①由x=0及y=0时，求出点A、B、C三点的坐标，以及线段OA、OB、OC的长，利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，用含t的代数式表示出线段AD、AE、AF （即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，可证得△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角三角形，可分成三种情况讨论：

i）点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；

ii）点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；

iii）、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．

②此题需要分三种情况讨论：

i）当点E在点A与线段AB中点之间时，即当0＜t≤，两个三角形的重叠部分是整个△DEF；

ii）当点E在线段AB中点与点O之间时，即＜t≤2时，重叠部分是个不规则四边形，根据S=S△DEF﹣S△DBG可求解。