相似三角形基本知识点+经典例题-精选.

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相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案

拔高相似三角形习题集适合人群：老师备课，以及优秀同学拔高使用。

一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

相似三角形经典总复习(含知识点习题)

第23章:相似三角形第一节:比例线段知识点:1、相似多边形：从几何直观上来说，两个图形如果形状一致，而大小不同，则称这两个图形相似，具体到多边形，称之为相似多边形。

从严谨定义上来说，如果两个多边形各边成比例，各角相等，则称这两个多边形为相似多边形。

2、比例线段：一、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a mb n=，其中a 叫做比例前项，b 叫做比例后项。

二、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线段成比例线段，简称比例线段。

例如线段a 、b 、c 、d ，如果a cb d=或者（::a b c d =）a 、b 、c 、d 成比例线段，这里要注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出，不能写成b c a d =或a d b c=。

三、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项：若a cb d=，则称a 、d 为比例外项，b 、c 、为比例内项，d 为第四比例项，如果b ＝c ，则称b 为a 、c 的比例中项，可记做（2b ac =）3、比例性质： 1、基本性质：如果a cb d=，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd 得ad bc =。

2、合比性质：如果a cb d=，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得a b c d b d ±±=。

在此处键入公式。

a b c db d±±=3、等比性质：如果a c mb d n===（0b d n +++≠），则a c m a c mb d n b d n+++====+++，运用这个性质时，一定要注意0b d n +++≠的条件。

4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AP 、PB （AP ＞PB ），如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项，则线段AP 把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点。

相似三角形典型例题30道

相似三角形典型例题30道1: 在△ABC中，DE是平行于BC的线段，且AD/DB = 2/3。

求DE/BC的比值。

2: 已知△PQR与△XYZ相似，PQ = 6，XY = 9，求QR 与YZ的比值。

3: 在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE平行于BC，已知AD = 3，DB = 6，求AE与EC的比值。

4: 已知两个相似三角形的面积比为4:9，求它们对应边的比。

5: 在△XYZ中，MN是平行于XY的线段，且XM = 4，MY = 6，求MN/XY的比值。

6: 在△ABC中，AD是BC的中线，且AE是AB的延长线，若AE与BC相交于点F，求AF与FB的比值。

7: 在△DEF中，GH平行于EF，已知DE = 8，DF = 10，求GH/EF的比值。

8: 在一个相似三角形中，若大三角形的周长是36，小三角形的周长是24，求它们的面积比。

9: 在△JKL中，MN平行于JK，若JM = 3，MK = 5，求MN/JK的比值。

10: 如果两个相似三角形的对应边长分别为5和15，求它们的面积比。

11: 在△ABC中，AD是BC的中线，且DE平行于BC，已知AD = 4，BC = 8，求DE的长度。

12: 已知相似三角形的对应边长比为1:4，求它们的周长比。

13: 在△PQR中，S是PQ的中点，若ST平行于QR，求PS与PQ的比值。

14: 在相似三角形中，若小三角形的每条边长为5，大三角形的对应边长为15，求它们的面积比。

15: 在一个三角形中，若一条边的延长线与另一边的平行线相交，则形成的两小三角形与原三角形相似，求相似比。

16: 在△XYZ中，若XY = 10，XZ = 15，YZ = 12，求△XYZ的周长。

17: 已知△ABC与△DEF相似，若AB = 4，DE = 8，求AC与DF的比值。

18: 在△GHI中，JK平行于GH，若GJ = 5，GH = 20，求JK的长度。

19: 在相似三角形中，若一个三角形的面积是36，另一个三角形的面积是144，求其对应边的比。

(完整版)相似三角形经典模型总结及例题分类.doc

WORD 格式可编辑相似三角形经典模型总结经典模型平移旋转 180°∽平行型平行型翻折 180°翻折 180°一般特殊翻折 180°斜交型斜交型特殊一边平移一般平移特殊双垂直斜交型双垂直一般【精选例题】“平行型”【例 1】如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE EF FM MB ，则S AEE : S四边形EE FF : S四边形FFM M : S四边形 MM C B _________1 1 1 1 1 1AE E1FF 1MM1B CWORD 格式可编辑【例 2】如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD 9，BC 18 ， AE:EM :MB 2:3:4,则EF _____ ， MN _____A DE FMNB C【例 3】已知，P为平行四边形ABCD 对角线， AC 上一点，过点P 的直线与 AD ， BC ， CD 的延长线， AB 的延长线分别相交于点 E ， F ， G ， H求证： PE PHPF PGG D CE PFA B H【例 4】已知：在ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且AE2, BE、 CD相交于点 F ，求BF的值ECEF ADF EB C【例 5】已知：在ABC 中， AD 1AB，延长 BC到F ,使CF1BC,连接 FD交 AC于点 E 2 3求证：① DE EF ② AE 2CEADEB专业知识分享【例 6】已知：D，E为三角形ABC 中 AB 、BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ，BD: DE AB: AC求证：CEF 为等腰三角形ACDEB F【例7】如图，已知 AB / / EF / /CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ，求证：11 1 .c a bACEB F D【例 8】如图，找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系，并证明你的结论.CAEB F D【例 9】如图，四边形ABCD中，B D90M是AC上一点，ME AD于点EMF BC，，于点 F 求证：MFME 1AB CDDEMA CFB【例 10】如图，在ABC 中， D 是 AC 边的中点，过 D 作直线 EF 交 AB 于 E ,交 BC 的延长线于 F 求证： AE BF BE CFAEDBC F 【例 11】如图，在线段AB 上，取一点 C ，以 AC ， CB 为底在 AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC 和CEB， AE交 CD于点 P， BD交 CE于点Q,求证： CP CQDEP QA C B【例 12】阅读并解答问题 .在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG，使 D， E落在 BC边上， F ， G分别落在AC , AB 边上，作法如下：ABC 两边上的正方形D'E'F 'G'如图，第一步：画一个有三个顶点落在第二步：连接 BF ' 并延长交 AC 于点 F第三步：过 F 点作 FE BC ,垂足为点 E第四步：过 F 点作 FG∥BC 交 AB 于点 G第五步：过 G 点作 GD BC ，垂足为点 D四边形 DEFG 即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形⑵在 ABC 中，如果BC 6 3，ABC 45 , BAC 75 ,求上述正方形DEFG 的边长AG FG'F'E CWORD 格式可编辑“平行旋转型”图形梳理：E'F'AAAF'E'AEF'EFFFEE'FEF'BCBCBBCAEF 旋转到 AE ‘ F ’CAEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到AE ‘F ’特殊情况： B 、 E'、 F '共线AAEF' EF'E'FE'FBC B CAEF 旋转到 AE ‘ F ’ AEF 旋转到 AE ‘ F ’C ， E'， F '共线E'AE'AEFEF'FF'BCBCAEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到 AE ‘ F ’【例 13】已知梯形 ABCD ， AD ∥BC ，对角线AC 、 BD 互相垂直，则①证明： AD 2 BC 2AB 2 CD 2ADOB CWORD 格式可编辑【例 14】当AOD ，以点 O 为旋转中心，逆时针旋转度（090 ），问上面的结论是否成立，请说明理由DAOB C【例 15】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和 BEFG 均为正方形，求AG : DF : CE_________.A DGFB CE“斜交型”【例 16】如图，ABC 中， D 在 AB 上，且 DE∥BC 交 AC 于 E ， F 在 AD 上，且 AD2AF AB ，求证：AEF :ACDAFD EB C【例 17】如图，等边三角形ABC中，D，E分别在BC，AB上，且CE BE ，AD ，CE 相交于 M ，求证 : EAM : ECAAEMB DC AGF BE【例 18】如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ,求证：DAC CBDADOB C【例 19】如图，设ABBCCA，则 1 2 吗？AD DE EAA1 DE2B C【例 20】在锐角三角形ABC 中， AD ， CE 分别为 BC ， AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别等于 18和 2 ， DE 2，求 AC 边上的高AEB D C【例 21】如图，在等边ABC 的边 BC 上取点 D ，使BD 1，作CH AD，H为垂足，连结BH。

(完整版)相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)

相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题

相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。

相似知识点与例题总结

相似知识点与例题总结一、相似三角形的性质及判定定理相似三角形是指有相同形状但大小不同的三角形。

对于两个相似三角形，它们的对应角相等，对应边成比例。

下面是相似三角形的一些性质及判定定理。

1. 相似三角形的性质a) 对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。

b) 对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，则它们是相似三角形。

2. 判定相似三角形的定理a) AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似三角形。

b) SSS相似定理：如果两个三角形的三条边成比例，则它们是相似三角形。

c) SAS相似定理：如果两个三角形的两条边成比例并且夹角相等，则它们是相似三角形。

d) 直角三角形的相似定理：如果两个直角三角形的两个锐角分别相等，则它们是相似三角形。

二、相似三角形的例题1. 已知在△ABC和△A'D'E'中，∠A=∠A', ∠B=∠D, AB=DE，则△ABC ∽△A'D'E'。

(AA相似定理)证明：∠A=∠A', ∠B=∠D，所以△ABC∽△A'D'E'。

2. 已知在△ABC和△A'D'E'中，AB/DE=BC/D'E'=AC/E'F'，则△ABC∽△A'D'E' ∽△A'F'E'。

(SSS相似定理)证明：AB/DE=BC/D'E'=AC/E'F'，根据SSS相似定理可得△ABC∽△A'D'E'，△A'D'E'∽△A'F'E'。

3. 已知在△ABC和△A'D'E'中，∠A=∠A', AC/A'D'=BC/B'C'，则△ABC ∽△A'D'E'。

(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CEEF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

第27章相似三角形知识点总结及典型题目精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点总结1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。

2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方一．选择题：1、下列各组数中，成比例的是（）A ．－7，－5，14，5B ．－6，－8，3，4C ．3，5，9，12D ．2，3，6，122、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( )A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（） A 、21 B 、31 C 、32 D 、41 4、下列说法中，错误的是（）（A ）两个全等三角形一定是相似形（B ）两个等腰三角形一定相似（C ）两个等边三角形一定相似（D ）两个等腰直角三角形一定相似5、如图，RtΔABC 中，∠C＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC∽ΔBDC，则CD ＝． A ．2 B ．32 C ．43 D ．94二、填空题6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝．7、如图，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是．（只要写出一种）8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为ABCD（第7题）238332589、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ．10、如图，点P 是R tΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作条．三、解答题11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．12、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．13、如图，在正方形网格上有111C B A ∆∽222A C B ∆，这两个三角形相似吗?如果相似，求出222111A C B A C B ∆∆和的面积比．CBAP（第10题）14、已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，且四边形CDEF 是正方形，AC ＝3，BC ＝2，求△ADE、△EFB、△ACB 的周长之比和面积之比．15、如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.16、如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；(2)如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积.PAB DCABECDF。

相似三角形的性质经典知识点及练习

相似三角形的性质知识点一：相似三角形的相似比与对应边上的高线、中线、角平分线的比的关系1.如图△ABC ∽△EFH ，AD 是△ABC 的中线，EG 是△EFH 的中线（1）求证：△ABD ∽△EFG(2)如果把中线改为高线或角平分线，结论还成立吗？总结：相似三角形对应边上的中线的比等于相似三角形对应边上的高线的比等于相似三角形对应角平分线的比等于例1：如图，矩形DEFG 内接于△ABC ，点D 在AB 上，点G 在AC 上，点E ，F 在BC 上， AH ⊥BC 于H ，交DG 于M ，且DE ：EF =2：3，BC =18，AH =12，求矩形DEFG 的周长．练习1：如图，在△ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 上，点G 、F 分别在AB 、AC 上，AH 是BC 上的高，AH 与GF 相交于K ，64:9:=∆∆S S ABC AG F ，EF=10，求AH 的长练习2：如图，矩形DEFG 的一边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，AH 是BC 上的高，AH 与GF 相交于K ，已知BC=12，AH=6，21=GF EF ，求矩形DEFG 的周长知识点二：相似三角形的相似比与周长比和面积比的关系在正方形网格中△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2有什么关系，证明你的结论（1） △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的相似比是（2） △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的周长比是（3） △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比是总结：相似三角形的周长比等于；相似三角形的面积比等于例1：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB =2DE ，AC =2DF ，∠A =∠D ，△ABC 的周长是24，面积是48，求△DEF 的周长和面积．练习1：已知△ABC ∽△D EF ，43=DE AB ，△DEF 的周长为12，面积是32，求△ABC 的周长及面积练习2：如图，R t△ABC到R t△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3:2（1）DE与AB的长度之比是多少？（2）已知R t△ABC的周长是12，面积是6，求R t△DEF的周长与面积例3：填空：(1)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么它们的相似比为_____，周长的比为_____，面积的比为_____．(2)如果两个相似三角形面积的比为3∶5，那么它们的相似比为____，周长的比为____．练习1：如果两个相似三角形对应高的比为4:5，则这两个三角形的相似比是，它们的面积比是练习2：两个相似三角形的对应边的比是2:3，周长之和是20，那么这两个三角形的周长分别为例4：如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE 的面积为9，则△AQB的面积为_______，四边形BCEQ的面积为________.练习1：如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，25:10:4::=∆∆∆S S S ABF EBF D EF ，则DE:EC=练习2：如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，且DE:EC=3：5，连接AE 、BD 相交于点F ，△DEF ，△EFB ，△ABF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1：S 2：S 3=例5：已知：如图，E 、M 是AB 边的三等分点，EF ∥MN ∥BC ．△AEF 的面积∶四边形EMNF 的面积∶四边形MBCN 的面积=____.练习1：已知，如图D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，且15:1:=∆S S DBCE ADE 四边形,那么DE:BC 的值等于练习2：已知，如图△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE//BC ，AD=3DB ，若△ABC 的面积为32，则四边形BCED 的面积为例6：已知：如图，Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，DE //AB ．(1)当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时，求CD 的长；(2)当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时，求CD 的长．练习1：如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，EF ⊥AB ，BE=10，BC AC 43 ,求EF 的长练习2：已知两个相似三角形的一对应边长分别是35和14（1）已知它们的周长相差60，求这两个三角形的周长（2）已知它们的面积相差588，求这两个三角形的面积例7：如图，四边形ABCD中，AB//DC，∠B=90°，AB=3，BC=11，DC=6．在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．练习1：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE与△ABC相似，求AE的长及它们的面积比练习2：如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s，的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？此时，它们的面积比是多少？。

相似三角形的性质--对应线段、周长

27.2.2(1.1)相似三角形的性质--对应线段、周长一．【知识要点】1.常见模型：2.山字型二．【经典例题】1．如图，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )A ．BC DE DB AD = B ．ADEF BC BF = C ．FC BF EC AE = D ．BC DE AB EF =2.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝12，点F 在AD 边上，AF:FD ＝1:3，CE ⊥BF 交BF 的延长线于点E ，交AD 于点G ，求△BCE 的周长.3.已知:在ΔABC 中,BC=10,BC 边上的高h=5,点E 在边AB 上,过点EF//BC,交AC 边于点F,点D 为BC 上一点,连接DE 、DF.那么ΔDEF 的面积的最大值为 .4.如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED三．【题库】【A 】1.如图，DE ∥BC,若AD=3，BD=2，AG ⊥BC ，交DE 于 F,，则AG:AF= ：____.【B 】 1.如图所示，小明家的窗口面对大楼，相距AB ＝80m ，窗高CD ＝1.2m，小明从窗口后退2m ，眼睛从点O 处恰好能看到对面楼顶E 和楼底F ，则大楼的高度为____________.2.如图所示，AB∥GH∥CD,点H在BC上，A C与BD交于点G,AB=2,CD=3,则GH的长为。

【C】1.如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为_____________.【D】(答案:12.考查：相似三角形的判定和性质；转化线段）。

2.如图，在ΔABC中，AB=AC=a，BC=b（a>b）。

在ΔABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE。

则EF等于（）。

(答案:C.考查：相似三角形的判定和性质）。

初三相似三角形知识点以及经典例题

初三相似三角形知识点以及经典例题相似三角形是指形状相同但大小不同的三角形。

它是相似多边形中最简单的一种。

如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。

相似三角形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。

比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段就是成比例线段，简称比例线段。

需要注意的是，比例线段是有顺序的，而且有比例式的定义。

在比例式中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、c叫比例前项，b、d叫比例后项。

如果b=c，即a：b=c：d，那么b叫做a、d的比例中项，此时有b=ad。

比例有一些基本性质和定理。

比如，a:b=c:d等价于ad=bc；a:b=b:c等价于b=ac/b；同时，比例的分母不能为0.还有更比性质、反比性质、合、分比性质等。

需要注意的是，由一个比例式只能化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad=bc，除了可化为a:b=c:d等。

比例线段也有一些相关定理，如三角形中平行线分线段成比例定理和平行线分线段成比例定理。

其中，三角形中平行线分线段成比例定理指的是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；而平行线分线段成比例定理指的是三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。

例题1：已知线段a=6 cm，b=2 cm，则a、b、a+b的第四比例项是18 cm，a+b与a-b的比例中项是3 cm。

例题2：若(a+b)/(b+c)=(a-c)/(c-a)，则m=1.相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

用符号“∽”表示，读作“相似于”。

对应角和对应边可以通过对应顶点的字母来表示，这样更容易找到相似三角形的对应角和对应边。

相似三角形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

相似三角形对应角相等，对应边成比例。

相似三角形有三个等价关系：反身性、对称性和传递性。

反身性是指任何三角形都与自己相似。

相似三角形知识点整理及习题

相似三角形知识点整理及习题相似三角形知识点整理本章的两套定理：第一套（比例的有关性质）：ac/bd = ad/bc (比例基本定理)bd/ac = dc/ab 或者 bacd = a±bc±d (合比性质)bd/ac = ma+c+…+ma/(b+d+…+n) (等比性质)涉及概念：第四比例项、比例中项、比的前项、后项、内项、外项、黄金分割等。

有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：1) 与全等的判定方法的联系列表如下：类型全等三角形的判定相似三角形的判定SAS 两边对应成比例夹角相等SSS 三边对应成比例AAS（ASA）两角对应相等HL 一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出，只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”，就可得到相似三角形的判定定理。

6.直角三角形相似：1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：1)相似三角形的对应角相等。

2)相似三角形的对应边成比例。

3)相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

4)相似三角形的周长比等于相似比。

5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2.注意：相似三角形的基本定理是相似三角形的一个判定定理，也是后面研究的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“8”型。

相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)

相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)相似三角形基本知识点+经典例题一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

它们的对应角度相等，对应边长成比例。

以下是相似三角形的基本知识点和性质：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形对应角相等，且对应边成比例，则它们是相似三角形。

2. 相似三角形的性质：a. 对应角相等：两个相似三角形的对应角是相等的。

b. 对应边成比例：两个相似三角形的对应边的比值相等。

3. 相似三角形的判定条件：a. AA判定：如果两个三角形的两对对应角相等，则它们是相似三角形。

b. AAA判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。

二、相似三角形的比例关系相似三角形的对应边长之间存在一定的比例关系。

如果两个三角形是相似的，则对应边的比值相等。

以∆ABC∼∆DEF为例，A与D为对应顶角，AB与DE、BC与EF、AC与DF分别为对应边长。

则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用，下面通过一些经典例题来进一步了解相似三角形的应用。

例题一：已知∆ABC与∆DBC是相似三角形，AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm, DB = 2cm，求DC的长度。

解析：根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/DB = AC/DC3/2 = 5/DCDC = 10/5 = 2cm因此，DC的长度为2cm。

例题二：在平行四边形ABCD中，∠B的度数是∠D的度数的2倍。

若AB= 10cm，BC = 15cm，求AD的长度。

解析：由于ABCD是平行四边形，所以∠B = ∠D。

根据题目条件可得：∠B = 2∠D∠B + ∠D = 180°（平行四边形的内角和为180°）将∠B代入上式得：2∠D + ∠D = 180°3∠D = 180°∠D = 60°由相似三角形的性质可得AB/AD = BC/CD，代入已知值可得：10/AD = 15/CD将CD表示为AD的式子，并代入已知条件可得：10/AD = 15/(2AD)10AD = 30AD = 3cm因此，AD的长度为3cm。

相似三角形--判定基本定理(X字型)

27.2.1（1.3）--判定基本定理（8字型）一．【知识要点】1.基本模型：AB ∥CD二．【经典例题】1.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是（）A ．B ．C ．D ．2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F.（1）求证：DH 是圆O 的切线；（2）若A 为EH 的中点，求FDEF 的值；三．【题库】【A 】1.学校门口的栏杆如图，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B ，D ，AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为（）A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m【B 】1.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点0,点E 在边AD 上,且AE:DE=1:3,连接BE,BE【C 】1.在平行四边形ABCD 中，E 为直线CD 上一点，DE=2CE ，F 是AD 的中点，连接EF 交BD 交于点P ，则DP ：PB=____________【D 】1.（绵阳2018年第18题）如图，在△ABC 中，3=AC ，4=BC ,若AC ，BC 边上的中线BE ，垂直相交于O 点，则=AB __________。

2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝8，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且AE ＝3，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点A ′恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为B ′，则线段BF 的长为；第二步，分别在EF ，A ′B ′上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为．。

相似三角形经典练习题及答案

相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（）A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案：A解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比。

因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4，所以相似比为 1∶2，那么它们的周长之比为 1∶2。

2、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是（）A AE∶EC ＝ 1∶2B AE∶EC ＝ 1∶3 C DE∶BC ＝ 1∶2 DDE∶BC ＝ 1∶3答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。

因为 AD∶DB ＝1∶2，所以 AD∶AB ＝ 1∶3。

因为相似三角形对应边成比例，所以AE∶AC ＝ AD∶AB ＝ 1∶3，所以 AE∶EC ＝ 1∶2。

3、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3∶4，△ABC 的周长为 6，则△A'B'C'的周长为（）A 8B 7C 9D 10答案：A解析：因为相似三角形周长的比等于相似比，所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。

设△A'B'C'的周长为x，则6∶x ＝3∶4，解得 x ＝ 8。

4、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且DE∥BC，如果 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，AE ＝ 15cm，则 EC ＝（）A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 AD∶AB ＝AE∶AC。

因为 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，所以 AB ＝ 3cm。

所以 2∶3＝ 15∶（15 ＋ EC)，解得 EC ＝ 1cm。

5、下列各组图形一定相似的是（）A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案：B解析：等边三角形的三个角都相等，都是 60°，所以两个等边三角形一定相似。

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（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a是dc b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。

（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a cd cbdb a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a cb db da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abc db d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例由∥可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 B注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形．．．的三边．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. ②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,例.已知∥∥,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BCEFACDFABDEACDFDEEF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理 (1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆ (2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE //Θ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆．知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成B (3)DB(2)比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，△中，∠90°，是斜边上的高，则2·，2·，2·。

知识点8 相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：DB C（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△∽△称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称(4)如图：∠1=∠2，∠∠D ，则△∽△，称为“旋转型”的相似三角形。

BEACD12ABCD E12AABBCC DDEE12412BBC (D )B(3)B(2)D2、几种基本图形的具体应用：（1）若∥（A型和X型）则△∽△（2）射影定理若为△斜边上的高（双直角图形）则△∽△∽△且2·，2·，2·；（3）满足1、2·，2、∠∠B，3、∠∠，都可判定△∽△．（4）当AD AEAC或··时，△∽△．知识点9：全等与相似的比较：知识点10 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．知识点11 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。

方法：将等式左右两边的比表示出来。

①)(,为中间比nm n m dc n m ba==②'',,n n n md c n m b a ===③),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 (4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。