高级宏观经济学(四)

X2
张延著 版权所有 8
设 y~ = Y L
k~ = K L
y~˙ y~ = aK(t)(k~˙ k~ ) + R(t) (1.30) 因此 (1.30)把每工人平均产量的增长分 解为 —— 每工人平均资本增长的贡献和一个 余项即索洛剩余 再次验证P24页图c
高宏 讲义 张延著 版权所有 9
y~˙ y~ P24 图1.5 储蓄率增加的影响图(c)
张延著
版权所有
20
这样 若以资本差异为基础解释每工人平 均产量的10倍的差别 则要求每工人平均资本 间存在10 1
aK 倍的差别
倍的差别 如果 aK = 1/3 这个
倍数就是1000 即使 aK = 1/2 所需倍数也为 100 而 aK = 1/2 远远高于资本收入份额数据 所反映的情况
高宏 讲义 张延著 版权所有 21
高宏 讲义 张延著 版权所有 31
资本报酬率的这种差别应该压倒如下因 素 无资本市场不完美性 政府税收政策 对被没收的担心等等 从而我们应观察到从 富国向穷国的巨额资本流动 但我们却没有 看到这种流动 因此 每工人平均实物资本存量的差别 不能解释我们所观察到的每工人平均产量的 差别 至少当资本对产量的贡献大致由其私 人收益反映时如此
高宏 讲义 张延著 版权所有 34
具体而言 索洛模型的中心结论是 如 果资本取得的市场收益大致体现了其对产量 的贡献 那么实物资本积累的变动既不能很 好地解释世界经济增长( 纵向差别 —— 如美 国100年前后的差别 ) 也不能很好地解释国 家间的收入差别( 横向差别 —— 如现在美国 和印度的差别 )
率的差别远远小于此 从以上分析可以看出 —— 资本在收入中的份额 或者单位产出的资本弹性 aK 的重要性
高宏 讲义 张延著 版权所有 33
要避免这一结论 可以考虑这样的生产函数 随着k 上升 与这一函数对应的资本边际产品的下降 小于柯布—道格拉斯生产函数的情形 这一方法将 遇到两个主要困难 第一 由于穷国和富国的资本 边际产品相当 所以资本收入所占份额在富国应该 大得多 第二 与上边同理 富国的真实工资应仅 比穷国略大一点 这些含义与实际情况很不一致
高宏 讲义 张延著 版权所有 32
就决定每工人平均资本的储蓄率 人口增长率等 因素 我们也可得到同样结论 例如 y* 对s 的弹性 为aK /(1- aK )(见1.22) 这样 若以储蓄率为依据解释 每工人平均产量10倍的差别 所需s 的差别为 如果 aK=1/3 则为100 如果aK=1/2 则为10 实际储蓄
高级宏观经济学
教师 张 延
北京大学经济学院博士生课程2003年10月7日
高宏
讲义
张延著
版权所有
1
1.5 索洛模型与增长理论的中心问题
—— 经济增长的源泉
一 增长因素分析的基本框架 —— 索洛剩余
高宏 讲义 张延著 版权所有 2
在索洛模型中 每工人平均产量的长期增 长仅仅取决于技术进步 但短期增长则可能或 取决于技术进步 或取决于资本积累 因此 索洛模型表明 确定短期增长的来源是一经验 问题 由阿布拉莫维茨(1956年)和索洛(1957年) 首开先河的增长因素分析 为解决这一问题提 供了一条途径 为了解增长因素分析 再次考虑生产函数 Y(t) = F [ K(t) A(t)L(t) ]
高宏 讲义 张延著 版权所有 15
1 首先 所需要的资本差别实在太大
比如 考虑每工人平均产量相差10倍的 情形 例如美国现在的每工人平均产量是 100年前的10倍 也是现在的印度的10倍 假定生产函数为柯布—道格拉斯函数(CobbDouglas)(见方程(1.5)) 且其密集形式为
y = f(k) = k a
(1.29)
5
这里 aK(t) = (∂Y ∂K)(K Y) —— 单位产出的资本弹性 aL(t) = (∂Y ∂L)(L Y) —— 单位产出的劳动弹性 R(t) = ( ∂Y ∂A)(A Y)(A˙ 根据欧拉定理 Y = ( ∂Y ∂K)K + (∂Y ∂L)L ( 分配耗尽定理 )
高宏 讲义 张延著 版权所有 6
g
0
k*新 k*旧
0
t0
wk.baidu.com
t1
t
t
高宏 讲义 张延著 版权所有 10
1
若k不变 则 y~ 以速率 g 增长 在t0 之前 k˙= dk dt = 0
─
Y˙ y ~˙
Y =(n+g) y~ = Y˙ Y - L˙ L
= ( n + g )- n = g
高宏 讲义 张延著 版权所有 11
(2)如果k达到新的k* 值 又只有A的增长对 Y L的增长有贡献 则y~ 的增长率又是g了 在t1 之后 k˙= dk dt = 0
(1.28)
则 Y˙= (∂Y ∂K)K˙+ (∂Y ∂AL)A L˙
两边同除以Y 得到 Y˙ Y = (∂Y ∂K)(K Y)(K˙ K) + (∂Y ∂L)(L Y)(L˙ L) + (∂Y ∂A)(A Y)(A˙ A) = aK(t)(K˙ K ) + aL(t)(L˙ L) + R(t)
高宏 讲义 张延著 版权所有
高宏 讲义 张延著 版权所有 7
一个变量的增长率指的是其变动率 X˙ X 易于证实
两变量之积的增长率等于其增长率之和 (X1˙ X2 ) (X1 X2 ) = X1˙ X1 + X2˙ X2 两变量之比的增长率等于其增长率之差 (X1˙ X2 ) (X1 X2 ) = X1˙ X1 - X2 ˙
高宏 讲义
没有证据表明资本存量有如此大的差别 1.3节提到的关于增长的特征事实之一是 资 本 — 产量比随时间大体保持不变 因此 美国的每工人平均资本存量大约也是100年 前的10倍 而非100倍或1000倍
高宏 讲义 张延著 版权所有 22
K k1 k1 y1
Y = (K L) (Y L) = k y y1 = k2 k 2 = y1 y2 = 常数 —— 纵向比较 y2 = 常数 k1 k2 = 10
高宏 讲义 张延著 版权所有 16
易测得 aK —— 单位产出的资本 存量弹性 或者资本在收入中的份额 aK(k) = f (k) k = a ka-1 k f(k) ka = a
高宏
讲义
张延著
版权所有
17
k1 —— 美国现在的每工人平均资本 y1 —— 美国现在的平均产量 k2 —— 美国100年前每工人平均资本 y2 —— 美国100年前的平均产量 可用于纵 向比较 k3 —— 印度现在的每工人平均资本 y3 —— 印度现在的平均产量 可用于横向 比较
高宏 讲义 张延著 版权所有 18
长期经济增长国际比较
国 别 日 本 巴 西 联德 邦国 美 国 中 国 墨哥 西 英 国 阿廷 根 印尼亚 度西 巴斯 基坦 印 度 孟拉 加国 时 期 期 人 GDP 美 期 人 GDP 美 年 增 率 % 初均 元 末均 元 均长 1890-1990 842 16144 3.00 1900-1987 436 3417 2.39 1870-1990 1330 17070 2.15 1870-1990 1223 14288 2.07 1900-1987 401 1478 1.17 1900-1987 649 2667 1.64 1870-1990 2693 13589 1.36 1900-1987 1284 3302 1.09 1900-1987 499 1200 1.01 1900-1987 413 885 0.88 1900-1987 378 662 0.65 1900-1987 349 375 0.08
高宏 讲义 张延著 版权所有 19
y1 = k1 a 若 y1 k1
y2 = k2a
y3 = k3a k2 ) a
y2 = 10 =( k1
k2 = 10 1/a = 10 1/aK
若 aK = 1 3 若 aK = 1 2 实际情况 )
高宏 讲义
则10 1/aK = 1000 则10 1/aK = 100 (远远高于
100 f (k1 ) = f (k3 )
高宏 讲义 张延著 版权所有 28
如果a = 1 3
那么 要由每工人平
均资本的差别导致每工人平均产量10倍的 差别 就意味着资本的边际产品应有100倍 的差别 而且 由于资本报酬率为 f (k) 至应更大
高宏 讲义 张延著 版权所有 29
资本报酬率的这种差别甚
y2 = 10 ─
与100倍相差甚远 更不用说1000倍了
高宏 讲义 张延著 版权所有 23
同样 尽管资本 — 产量比在国家间有所 不同 但差别不十分大 美国的资本 — 产量 比大约为印度的2 3倍 因此 美国的每工人 平均资本大约“仅”为印度的20 30倍 总之 每工人平均资本的差别远远不足以解释每工人 平均产量的差别
╭───╯╰───╮ y = ka ─ k = y 1/a
高宏 讲义 张延著 版权所有 27
如果 y1 f (k1 )
y3 = 10
则
f (k3 ) = ( y1 y3 )(a-1)/a = 10(a-1)/a
若a=1 3
则 (a – 1) a = - 2
10(a-1)/a = 10 -2 = 1 100 f (k1 ) f (k3 ) = 10(a-1)/a = 1 100
─
y ~˙ y~ = Y˙
Y˙
Y =(n+g) L
Y - L˙
=(n+g)-n =g
高宏 讲义 张延著 版权所有 12
(3) 若k递增 则 y~ 同时由于A和k的增长而 增长 这时其增长率超过 g 在t0至t1之间 k˙= dk dt 0 g
─
y~˙
y~ = a K(t)(k~˙
k~ ) + R(t)
高宏 讲义 张延著 版权所有 25
2 第二个困难是 如果不考虑劳 动有效性的差别 而将产量差别仅仅归 因于资本差别 那就意味着资本报酬率 应有巨大的差别(卢卡斯 1990年a)
高宏 讲义 张延著 版权所有 26
如果市场是竞争性的 资本的报酬率就 等于其边际产品 f (k) 减去折旧率 假定
生产函数为柯布—道格拉斯函数 资本的边 际产品为 f (k)= a ka-1 = ay(a-1)/a (1.27)
高宏 讲义 张延著 版权所有 3
采用链式法 由于Y是K L和A的一个 函数 其中每一个又是t的函数 那么存在 Y˙= ( ∂Y ∂K)K˙+ (∂Y ∂L)L˙ + (∂Y ∂A)A˙ + (∂Y ∂AL)L A˙ Y˙= (∂Y ∂K)K˙+ (∂Y ∂L)L˙ + (∂Y ∂A)A˙
高宏 讲义 张延著 版权所有 4
高宏 讲义 张延著 版权所有 24
K Y = (K L) ( Y L ) = k y ( k1 y1 ) ( k3 y3 ) = 2 3倍
—— 横向比较 ( k1 y1 k3 ) y3 = 10 ( y1 k1 y3 ) = 2 k3 = 20 3倍 30 倍
与100倍相差甚远 更不用说1000倍了
同样 也没有证据表明资本报酬率有如 此大的差别 比如 关于金融资产报酬率的直 接测量表明 资本报酬率在不同时间和不同国 家间差别不太大 更有说服力的是 通过考察 资本持有者希望在哪里投资 我们就可以较好 地了解资本报酬率的跨国差别
高宏 讲义 张延著 版权所有 30
100 f (k1 ) = f (k3 ) 意味着穷国的资本报酬率是富国的10 倍或100倍 那么人们往穷国投资的激励就 应十分强 索洛模型意味着 在每工人平 均资本更高的国家 资本报酬率也更低 这样就有了资本从富国向穷国流动的激励
高宏
讲义
张延著
版权所有
13
索洛模型确定了每工人平均产量发 生变动的两个可能来源 —— 每工人平均 资本(K L)的变动和劳动的有效性(A)的 变动 无论是每工人平均产量随时间变动 还是随地域变动 上述两个变动之源都应 该是适用的
高宏 讲义 张延著 版权所有 14
二 资本积累对经济增长的贡献
假定资本积累影响产量的渠道是传 统渠道 资本对生产有直接的贡献 它 由此得到的报酬是其边际产品 是否可 以通过高投入 导致高产出 在以资本的差异为基础解释收入的 较大差别时 会遇到两个问题
A)
两边同除以Y 得到 1 = ( ∂Y ∂K)(K Y) + (∂Y ∂L)(L Y) 1 = aK(t) + aL(t) aL(t) = 1 - aK(t) Y˙ Y = aK(t)( K˙ K ) + aL(t)( L˙ L) + R(t) = aK(t)(K˙ K) + [1 - aK(t)](L˙ L)+ R(t) Y˙ Y - L˙ L = aK(t)( K˙ K - L˙ L ) + R(t)