中学代数研究---一元三次方程通解求法

关于一元三次方程通解的解法
章君、何敏捷
（福建师范大学数学系福建福州350108）
【摘要】本文主要讲解了针对于一元三次方程通解的解法，并由此推出一元三次方程根的判别式方法；
【关键词】一元三次方程、通解、判别式
我们在中学已经学过对于一般的一元二次方程20
a≠）的通
ax bx c
++=（0
解的解法，并且我们知道，针对于这样的一般性的一元二次方程，我们可以用多种解法来求得其解，比如，我们可以用求根公式法、因式分解法、配方法等等各种不同的做法来求得其解；这不禁让我们联想到，针对于一般的一元三次方程320
a≠）我们是否也可以通过像求解一元二次方程的+++=（0
ax bx cx d
那些做法来求得其解呢？显然，事实证明，对于一般性的一元三次方程是不能用因式分解法、配方法来求解的，除非是比较明显的易于观察的一些方程，我们一眼就能发现它存在某一个特根，然后用多项式相除的办法进行将它分解，然而对于一般性的一元三次方程是不能这样做的，也不能直接给它配方，这就要求我们用其它的方法来求得其解集；由一元二次方程的求根公式法中用到的韦达定理，我们联想到，是否可以先把一元三次方程化成一元二次方程，然后也用韦达定理来求解，事实证明这种猜想是行得通的，以下，我将介绍这种做法的具体演算过程。

设有一般一元三次方程320
a≠），我们对它先进行化简，
+++=（0
ax bx cx d
目标是将它的二次项系数化为0，这种想法的由来是因为我们通过实践发现无二次项的一元三次方程比较容易求解，因此，我们想到先除去二次项，然后再
求解；具体做法是： 令x y k =+其中k 是一个待定的常数，将其代入原一般一元三次方程320ax bx cx d +++=（0a ≠）中，得到：
32()()()0a y k b y k c y k d ++++++= 展开并整理得到：
32232(3)(32)()0ay ka b y k a bk c y ak bk ck d +++++++++= ---------○
1 取3b k a =-
，即 3b x y a =- -------○2 ， 将其代入方程○1并整理得： 23322()()03273b b bc ay c y d a a a
+-+-+= ， 两边同时除以a 得到： 3
0y py q ++= --------○3 其中 21()3b p c a a =- ， 3212()273b bc q d a a a =-+ 事实上，以上过程也证明了对于任意一个一元三次方程，我们都可以将它
化为上述○
3的这种形式，这样我们就可以直接求不含二次项的一元三次方程的解了；接下来，我们只要将方程○
3的解求出来，就可以自然的求得最原始的一般的一元三次方程的通解了；
我们再次将○3式作变换，令y u v =+（其中u 和v 是未知数），并将其代入
方程○
3得到：3()()0u v p u v q ++++=，化简后得到： 33(3)()0u v q uv p u v +++++= --------○
4 因为我们用两个未知数u 和v 代替了y ，因此为了减少○
4中未知数的个数，我们不妨再要求(3)uv p +=0 -----○5，这样我们就可以得出3
p uv =-------○6，将其代入方程○4我们可以得到：330u v q ++=，从而我们就得到以下方程组：
333p uv u v q
⎧=-⎪⎨
⎪+=-⎩，即 3333327p u v u v q ⎧=-⎪⎨⎪+=-⎩ 这样我们就可以利用韦达定理知道： 3u 和3v 可以看成是一元二次方程3
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p z qz +-=的两个根； 从而我们利用一元二次方程的求根公式可以得到：
3
2q u =-+ ， 32q v =-
从而1u =，21u u ω= ， 231u u ω= ；
1v = ，21v v ω= ， 231v v ω= ；
（其中ω= ， 2ω=） 由于y u v =+，所以将上式进行组合得到以下三个解：
111y u v =+ ，2211y u v ωω=+ ，2311y u v ωω=+ 容易发现2y 和3y 是一对共轭的
虚根，这与我们已学到的代数基本定理是一致的。

而这三个解即为一元三次方程的通解；
通过以上过程我们知道，对于一般的一元三次方程，我们也可以利用韦达定理进行求其通解；关键点在于如何将一元三次方程化为我们熟悉的一元二次方程，这是解题的关键所在，因此我们要想办法去除一些项，然后再进行转化；
类似于一元二次方程的判别式做法，我们也引入一元三次方程的判别式D=23427
q p +；由上述的三次方程根的推导过程，我们知道D 决定了根的性质。

1、 当D>0时，3u 和3v 是两不等的实根，方程○3有一个实根和两个共
轭的虚根 111
y u v =+
2211y u v ωω=+11111())22
u v i u v =-++-
311111())22
y u v i u v =-+-- 2、 当D=0时，这时332
q u v ==-，方程○3有三个实根，并且其中两个
实根相等
1y =-
，23y y ==3、 当D<0时，这时u 和v
都是复数，并且是共轭复数，实际上由
=
u ==
=
= 现在我们证明u 和v 是共轭的：由方程○
5我们知道3p v u =- 23333()3
p pu pu pu v u p u uu u =-=-=-=-=-∴ 从而u 和v 是共轭的； 设1u s it =+为u 的任意一个值，从而1v s it =-，因此
111y u v =+2s =
2211y u v ωω=
+11111())2u v u v =-++
-s =-
311111())22
y u v i u v =-+-
-s =- 为三个互异的实根。

以上就是根据一元三次方程根的判别式来判断根的性质的，从上述整个过程我们不难发现，对于一般的一元三次方程，其判别式也是根据二次根号里面的数只能为正这条性质来进行判定的，先判断其根（u 和v ）是否为实根或是虚根的情况，然后进一步判定1y 、2y 、3y 的虚实情况；这样我们就得出了一元三次方程根的判别式方法。