2021届高三数学训练题(65):椭圆的几何性质

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高三椭圆练习题及答案

高三椭圆练习题及答案

高三椭圆练习题及答案1. 技术背景在二维几何中,椭圆是一种重要的图形,具有许多应用。

高三学生需要掌握椭圆的基本概念、性质和相关的计算方法。

为了帮助高三学生巩固椭圆的知识,以下是一些椭圆练习题及答案。

2. 填空题(1) 如果椭圆E的长半轴和短半轴分别为a和b,则椭圆的离心率为________。

(2) 椭圆的焦点和直径的关系是________。

(3) 椭圆的离心率小于1,原点(0,0)在椭圆的________。

(4) 椭圆的离心率等于1,原点(0,0)在椭圆的________。

(5) 椭圆的离心率大于1,原点(0,0)在椭圆的________。

答案:(1) 椭圆的离心率为c/a;(2) 椭圆的焦点和直径的关系是焦点到椭圆周上任意一点的距离之和等于该点到椭圆的两个直径的距离之和;(3) 原点(0,0)在椭圆的右焦点所在的象限;(4) 原点(0,0)在椭圆的焦点所在的象限;(5) 原点(0,0)在椭圆的左焦点所在的象限。

3. 选择题(1) 下列各图中,哪个是椭圆?A. ![图1](image1.png)B. ![图2](image2.png)C. ![图3](image3.png)D. ![图4](image4.png)答案:C. ![图3](image3.png)(2) 椭圆的离心率等于1,这个椭圆的形状是________。

A. 长圆B. 倍圆C. 圆D. 短圆答案:C. 圆4. 计算题已知椭圆的焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0),离心率为2/3,求椭圆的方程。

答案:椭圆的焦距为2ae = 6,离心距为2c = 2/3 * 2a,解得a = 9,所以椭圆的方程为(x^2)/81 + (y^2)/36 = 1。

5. 应用题小明要设计一个椭圆形的游泳池,他希望池子的长半轴为8米,短半轴为6米。

假设池子的边界是一个完整的椭圆,求池子的周长和面积。

答案:椭圆的周长为2π * √((a^2 + b^2)/2) = 2π * √((8^2 + 6^2)/2) ≈ 39.97米。

椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质基础卷1.设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距,则a , b , c 的大小关系是 (A )a >b >c >0 (B )a >c >b >0 (C )a >c >0, a >b >0 (D )c >a >0, c >b >02.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴之和为18,焦距为6,那么椭圆的方程为(A )221916x y += (B )2212516x y += (C )2212516x y +=或2211625x y += (D )2211625x y += 3.已知P 为椭圆221916x y +=上一点,P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 (A )54 (B )45 (C )417 (D )7474.椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为 (A )23 (B )33 (C )316 (D )6165.在椭圆12222=+by a x 上取三点,其横坐标满足x 1+x 3=2x 2,三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3,则有(A )r 1, r 2, r 3成等差数列 (B )r 1, r 2, r 3成等比数列 (C )123111,,r r r 成等差数列 (D )123111,,r r r 成等比数列 6.椭圆221925x y +=的准线方程是 (A )x =±254 (B )y =±165 (C )x =±165 (D )y =±2547.经过点P (-3, 0), Q (0, -2)的椭圆的标准方程是 .8.对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=,更接近于圆的一个是 . 9.椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10.已知定点A (-2, 3),F 是椭圆2211612x y +=的右焦点,在椭圆上求一点M ,使|AM |+2|MF |取得最小值。

(整理版)高三数学复习题椭圆的简单几何性质

(整理版)高三数学复习题椭圆的简单几何性质

高三数学复习题:椭圆的简单几何性质一、选择题1.对于椭圆,以下说法正确的选项是〔〕.A.焦点坐标是 B.长轴长是5C.准线方程是 D.离心率是2.离心率为、且经过点的椭圆的标准方程为〔〕.A. B.或C. D.或3.椭圆的左、右焦点为,,以为圆心作圆过椭圆中心并交椭圆于点,,假设直线是⊙的切线,那么椭圆的离心率为〔〕.A. B. C.D.二、填空题4.是椭圆上一点,假设到椭圆右准线的距离是,那么到左焦点的距离为_____________.5.假设椭圆的离心率为,那么它的长半轴长是______________.6.假设椭圆上存在点到两焦点的连线互相垂直,那么椭圆离心率的取值范围是_____________.三、解答题7.椭圆的中心在原点,焦点在轴上,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近端点的距离是,求椭圆方程.8.椭圆中心在原点,焦点在轴上,离心率,它与直线交于,两点,且,求椭圆方程.9.椭圆上有一点,使〔为坐标原点,为椭圆长轴右端点〕,试求椭圆离心率的取值范围.10.,为椭圆上的两点,是椭圆的右焦点.假设,的中点到椭圆左准线的距离是,试确定椭圆的方程.参考答案:一、1.D 2.D 3.A二、4. 5.1或2 6.三、7..8.设椭圆方程为,由可得.由直线和椭圆方程联立消去可得.设,得,即,化简得,由韦达定理得,解出,故所求椭圆方程为.9.由,设,那么、,由得,化简得.因为在一、四象限,所以,于是,易求出,所以.10.由椭圆方程可知、两准线间距离为.设,到右准线距离分别为,,由椭圆定义有,所以,那么,中点到右准线距离为,于是到左准线距离为,,所求椭圆方程为.。

高考数学专题《椭圆》习题含答案解析

高考数学专题《椭圆》习题含答案解析

专题9.3 椭圆1.(浙江高考真题)椭圆的离心率是( ) A B C .D .【答案】B 【解析】,选B . 2.(2019·北京高考真题)已知椭圆2222 1x y a b+=(a >b >0)的离心率为12,则( )A .a 2=2b 2B .3a 2=4b 2C .a =2bD .3a =4b【答案】B 【解析】 椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.3.(上海高考真题)设p 是椭圆2212516x y+=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=,所以225a =,由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=,故选D .4.(2020·四川资阳�高三其他(理))已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2,且C 的离心率为12,则C 的方程是( ) A .22143x y +=B .22186x y +C .22142x y +=D .22184x y +=22194x y +=235933e ==练基础【答案】A 【解析】依题意,可得2131412a ⎧+=⎪=,解得2243a b ⎧=⎨=⎩,故C 的方程是22143x y +=. 故选:A5.(2020·河北枣强中学高三月考(文))已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>,焦距为2c,直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ,B 两点,若2AB c =,则椭圆C 的离心率为( ) AB .34C .12D .14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A,则4y x =由2AB c =,可知OA c ==c =,解得3x =,所以1,33A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭把点A代入椭圆方程得到2222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,整理得4281890e e -+=,即()()2243230e e --=, 因01e <<,所以可得e =故选A 项.6.(2021·全国高三专题练习)已知1F ,2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点,在椭圆上是否存在点P ,使11PF ,121F F ,21PF 成等差数列?若存在求出1PF 和2PF 的值;若不存在,请说明理由.【答案】不存在;理由见解析. 【分析】假设存在点P 满足题设,解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值,再检验即得解.【详解】解:假设存在点P 满足题设,则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩,即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩,解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=,得4a =,1c =. 则135a c PF a c -=≤≤+=,235a c PF a c -=≤≤+=.∵45+,43-, ∴不存在满足题设要求的点P .7.(2021·全国高三专题练习)设F 是椭圆22176x y +=的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点i P (1i =,2,…),使1FP ,2FP ,3FP ,…组成公差为d 的等差数列,求a 的取值范围.【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】分情况讨论等差数列是递增,还是递减,分别列出不等式求解范围. 【详解】解:注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等,可知题中的等差数列可能是递增的,也可能是递减的,但不可能为常数列,即0d ≠.先考虑一般情形,由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-,(n *∈N ),因此11n FP FP n d-=+.对于椭圆2222x y a b +(0a b >>),其焦半径的最大值是a c +,最小值是a c -(其中c =.当等差数列递增时,有n FP a c ≤+,1FP a c ≥-. 从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=. 再由题设知1c =,且21n ≥,故2211d ≤+,因此1010d <≤. 同理,当等差数列递减时,可解得1010d -≤<, 故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.8.(2021·全国高三专题练习)已知定点()2,2A -,点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点,点M 在椭圆上移动时,求2AM MF +的最大值;【答案】10+ 【分析】由椭圆定义,转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++,即得解 【详解】如图所示,设1F 是左焦点,则()13,0F -,1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++,而1AF ==∴10AM MF +≤当点F 1在线段AM 上时,等号成立,即AM MF +的最大值为109.(2021·云南师大附中高三月考(理))椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>点A (2,1)在椭圆C 上,O 是坐标原点. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线l 过原点,且l ⊥OA ,若l 与椭圆C 交于B , D 两点,求弦BD 的长度.【答案】(1)22182x y C +=:;(2 【分析】(1)利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程;(2)先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程,联立直线和椭圆的方程,消元得到关于x 的一元二次方程,进而求出交点坐标,再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】(1)由e =得:12c b a =,, 又点(21)A ,在椭圆上, 所以224114a a +=,得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=:.(2)直线OA 的方程是12y x =, 因为l OA ⊥,且l 过点O ,所以直线l 的方程是2y x =-, 与椭圆联立,得:2178x =,即x =所以B D ⎛ ⎝,,则||BD = 10.(2021·南昌大学附属中学高二月考)已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点,且2259a b =.(1)求此椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且123F PF π∠=,求12F PF △的面积.【答案】(1)此椭圆的方程为22195x y +=;(2)12F PF △. 【分析】(1)由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程;(2)结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值,运用三角形面积公式即可求解. 【详解】(1)因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点,所以2224c a b =-=,① 又因为2259a b =,②所以由①②可得229,5a b ==,所以此椭圆的方程为22195x y +=.(2)设()12,,,0PF m PF n m n ==>, 由椭圆定义可知26m n a +==,③在12F PF △中,由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=,即2216m n mn +-=,④由③④式可得,203mn =,所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△. 即12F PF △.1.(2021·全国高二课时练习)已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与圆2222:C x y b +=,若在椭圆1C 上存在点P ,使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直,则椭圆1C 的离心率的取值范围是( ) A .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .⎣⎦C .2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D .⎫⎪⎣⎭【答案】C 【分析】练提升若长轴端点P ',由椭圆性质:过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒,结合sin baα=求椭圆离心率的范围. 【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A ',P B ',若椭圆1C 上存在点P ,使过P 的两条切线互相垂直,则只需90AP B '∠≤︒,即45AP O α'=∠≤︒,∴sin sin 452b a α=≤︒=222a c ≤, ∴212e ≥,又01e <<,1e ≤<,即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 故选:C2.(2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他(文))已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为F ,经过原点的直线与C 交于A ,B 两点,总有120AFB ∠≥︒,则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】如图,设椭圆右焦点为2F ,由对称性知2AFBF 是平行四边形,22AF F BFF ∠=∠, ∵120FB ∠≥︒,∴260FAF ∠≤︒,设AF m =,2AF n =,由椭圆定义知2m n a +=,则22()4m n mn a +≤=,当且仅当m n =时等号成立, 在2AFF 中,由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF e mnmn mn a+-+----∠===-≥-=-,又260FAF ∠≤︒,21cos 2FAF ∠≥,∴21122e -≥,解得102e <≤. 故答案为:10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.3.(2019·浙江高三月考)已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率为______;若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点,且113AF F B =,则k =___.【答案】21 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上,由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示,由于O 是坐标原点,根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形,且Q 为短轴的端点,故离心率πcos 42c a ==.不妨设,a b c t ===,则椭圆方程化为222220x y t +-=,设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭,代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ,则12222mty y m +=+①,21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B =,故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =,即11,1k k==.故填:(1)2;(2)1.4.(2019·浙江温州中学高三月考)已知点P 在圆22680x y y +-+=上,点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上,且PQ 的最大值等于5,则椭圆的离心率的最大值等于__________,当椭圆的离心率取到最大值时,记椭圆的右焦点为F ,则PQ QF +的最大值等于__________.5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=,圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ,即22(3)16x y +-≤,又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时,验证等号成立 对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤故离心率最大值为2当2a =时,离心率有最大值,此时椭圆方程为2214x y +=,设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.5+5.(2020·浙江高三月考)已知P 是椭圆2222111x y a b +=(110>>a b )和双曲线2222221x y a b -=(220,0a b >>)的一个交点,12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率,若123F PF π∠=,则12e e ⋅的最小值为________.【答案】2. 【解析】根据椭圆与双曲线的对称性,不妨设点P 在第一象限,那么12PF PF >, 因为椭圆与双曲线有公共焦点,设椭圆与双曲线的半焦距为c , 根据椭圆与双曲线的定义,有:1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a , 解得112=+PF a a ,212=-PF a a , 在12F PF ∆中,由余弦定理,可得: 2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ,即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a , 整理得2221243=+c a a , 所以22121134+=e e ,又221212113+≥e e ,所以12≥e e .6.(2020·浙江高三其他)已知当动点P 到定点F (焦点)和到定直线0x x =的距离之比为离心率时,该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ,做椭圆的右准线的垂线PH (H 为垂足),并延长PH 到Q ,使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时,点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题可知:椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y ,所以点03⎫⎪⎝⎭H y由λ=HQ PH ,所以λ=HQ PH0⎛⎫=- ⎪⎝⎭HQ x y y ,0,0⎫=⎪⎭PH x又λ=HQ PH ,所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x 所以00x y y ==由220014x y +=221=y 则点Q 221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥,所以213144λ-≥ 所以234e ≥,则e ≥,又1e < 所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e 故答案为:⎫⎪⎪⎣⎭7.(2021·全国高三专题练习)设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上,离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,求椭圆方程,并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切,结合判别式等于零,参数值可确定,符合条件的两个点的坐标也可求得. 【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=,∴2214a b =,224a b =,∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切,如图所示,由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切,∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,③ ∴1b =,则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-,把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8.(2021·全国高三专题练习)椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ,点P 为其上动点,当12F PF ∠为钝角时,求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝⎭【分析】当12F PF ∠为直角时,作以原点为圆心,2OF 为半径的圆,若该圆与已知椭圆相交,则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围. 【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F , 如图所示:A 、B 、C 、D 四点, 此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角, 所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时,12F PF ∠为钝角,由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得x x ==. 因为椭圆和圆都关于坐标轴对称,所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝⎭.9.(2021·全国)(1)已知1F ,2F 是椭圆22110064x y +=的两个焦点,P 是椭圆上一点,求12PF PF ⋅的最大值;(2)已知()1,1A ,1F 是椭圆225945x y +=的左焦点,点P 是椭圆上的动点,求1PA PF +的最大值和最小值.【答案】(1)100;(2)1||||PA PF +的最大值为66 【分析】(1)利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值;(2)求1||||PA PF +的最值时,利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值,显然当P ,A ,2F 三点共线时取得最值. 【详解】(1)∵10a =,1220||||PF PF =+≥,当且仅当12||||PF PF =时取等号, ∴12||||100PF PF ⋅≤,当且仅当12||||PF PF =时取等号, ∴12||||PF PF ⋅的最大值为100.(2)设2F 为椭圆的右焦点,225945x y +=可化为22195x y+=, 由已知,得12||||26PF PF a +==,∴12||6||PF PF =-, ∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--.①当2||||PA PF >时,有220||||||PA PF AF <-≤,等号成立时,1||||PA PF +最大,此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点,1||||PA PF +的最大值是6②当2||||PA PF <时,有220||||||PF PA AF <-≤,等号成立时,1||||PA PF +最小,此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点,1||||PA PF +的最小值是6 综上,可知1||||PA PF +的最大值为6610.(2021·贵州高三月考(文))已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>,直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点,原点O 到直线l. (1)求椭圆C 的方程;(2)斜率不为0的直线n 过点F ,与椭圆C 交于M ,N 两点,若椭圆C 上一点P 满足263MN OP =,求直线n 的斜率. 【答案】(1)2212x y +=;(2)±1.【分析】(1)由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+,可求出,a b ,从而可求得椭圆方程,(2)设直线n 的方程为1x my =+,设点()()1122,,,M x y N x y ,将直线方程与椭圆方程联立方程组,消去x ,利用根与系数的关系,结合263MN OP =表示出点P 的坐标,再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率 【详解】(1)由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b , 所以直线l 为1x yc b+=,即0bx cy bc +-=,因为椭圆C ,原点O 到直线0bx cy bc +-=所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+,解得1b c==,a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.(2)因为直线n 的斜率不为0,所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ,联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=,则12122221,22m y y y y m m +=-=-++. 因为263MN OP=,所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎝⎭, 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-, 即()()121221123my my y y +++=-,解得21m =, 故直线n 的斜率为±1.1.(2021·全国高考真题(理))设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点,若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤,则C 的离心率的取值范围是( )练真题A.⎫⎪⎪⎣⎭B .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.⎛ ⎝⎦D .10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ,由()0,B b ,根据两点间的距离公式表示出 PB ,分类讨论求出PB 的最大值,再构建齐次不等式,解出即可. 【详解】设()00,P x y ,由()0,B b ,因为 2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为0b y b -≤≤,当32b b c-≤-,即 22b c ≥时,22max 4PB b =,即 max 2PB b =,符合题意,由22b c ≥可得222a c ≥,即0e <≤当32b b c ->-,即22b c <时, 42222max b PB a b c=++,即422224b a b b c ++≤,化简得,()2220c b -≤,显然该不等式不成立. 故选:C .2.(2018·全国高考真题(理))已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>:的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A且斜率为6的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为( )A .23B .12C .13D .14【答案】D 【解析】因为12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得,222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=, 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠,故选D. 3.(2019·全国高考真题(文))已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若222AF F B =││││,1AB BF =││││,则C 的方程为( )A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在1AF B △中,由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅.在12AF F △中,由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=,解得n =.22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=,故选B .法二:由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩,又2121,AF F BF F ∠∠互补,2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=,两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,,得223611n n +=,解得2n =.22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=,故选B . 4.(2019·全国高考真题(文))设12F F ,为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=,11228MF F F c ∴===.∴24MF =.设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>,则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△,又1201442MF F S y =⨯=∴=△,解得0y =, 22013620x ∴+=,解得03x =(03x =-舍去),M 的坐标为(.5.(2021·江苏高考真题)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>. (1)证明:3ab ;(2)若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部,过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点,M 为线段PQ 的中点,且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程; ②求椭圆C 的标准方程.【答案】(1)证明见解析;(20y -=;②2213x y +=.【分析】(1)由ba=可证得结论成立; (2)①设点()11,P x y 、()22,Q x y ,利用点差法可求得直线l 的斜率,利用点斜式可得出所求直线的方程;②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,列出韦达定理,由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=,利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式,可求出2b 的值,即可得出椭圆C 的方程. 【详解】(1)c e a ===b a ∴=,因此,3a b ;(2)①由(1)知,椭圆C 的方程为222213x y b b+=,即22233x y b +=,当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时,22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝⎭,可得b > 设点()11,P x y 、()22,Q x y,则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,所以,1212y y x x +=+ 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩,两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=, 所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝ 所以,直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭,即y = 所以,直线l0y --=;②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->, 由韦达定理可得1295x x +=,2129310b x x -=,又OP OQ ⊥,而()11,OP x y =,()22,OQ x y =,))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++ ()22293271566055b b --+-===,解得21b =合乎题意,故2233a b ==,因此,椭圆C 的方程为2213x y +=.6. (2020·天津高考真题)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -,右焦点为F ,且||||OA OF =,其中O 为原点. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知点C 满足3OC OF =,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.【答案】(Ⅰ)221189x y +=;(Ⅱ)132y x =-,或3y x =-. 【解析】(Ⅰ)椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -,∴3b =,由OA OF=,得3c b ==,又由222a b c =+,得2228313a =+=,所以,椭圆的方程为221189x y +=;(Ⅱ)直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以CP AB ⊥,根据题意可知,直线AB 和直线CP 的斜率均存在, 设直线AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为3y kx ,即3y kx =-,2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,可得()2221120k x kx +-=,解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-,得222126321213k y k k k k =⋅--=++, 所以,点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 因为P 为线段AB 的中点,点A 的坐标为()0,3-,所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭, 由3OC OF =,得点C 的坐标为()1,0,所以,直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=, 又因为CP AB ⊥,所以231261k k k ⋅=--+,整理得22310k k -+=,解得12k =或1k =. 所以,直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。

2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--第1课时椭圆的简单几何性质及其应用

2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--第1课时椭圆的简单几何性质及其应用

2.2.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质及其应用基础过关练题组一 椭圆的性质及应用1.焦点在x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A.x 24+y 23=1B.x 24+y 2=1 C.y 24+x 23=1 D.x 2+y24=1 2.过椭圆x 24+y 23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,√3D.4,2√3 3.(2019陕西宝鸡高二上学期期末)把椭圆x 225+y 216=1的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P 1,P 2,…,P 7,F 是左焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|等于( ) A.21 B.28 C.35 D.424.设AB 是椭圆的长轴,点C 在椭圆上,且∠CBA=π4,若AB=4,BC=√2,则椭圆的两个焦点之间的距离为 .题组二 与椭圆离心率有关的问题5.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.√33D.√226.已知焦点在y 轴上的椭圆mx 2+y 2=1的离心率为√32,则m 的值为( )A.1B.2C.3D.4 7.已知焦点在x轴上的椭圆方程为x 2a2+y 2=1(a>0),过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B 两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为( ) A.√32B.12C.√154D.√338.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F 1,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF 1⊥x 轴,直线AB 与y 轴交于点P,其中AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆的离心率为 .题组三 与椭圆有关的范围问题 9.若点O 和点F分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 10.已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在一点P,使得∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.[√22,1) B.(0,√22)C.[12,1) D.[12,√22) 11.已知点P 为椭圆x 2+2y 2=98上的一个动点,点A 的坐标为(0,5),则|PA|的最小值为 .12.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率e=√22,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4√2. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设A,B 是直线l:x=2√2上的不同两点,若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求|AB|的最小值.能力提升练一、选择题1.(2019辽宁抚顺六校期末联考,★★☆)已知椭圆x 2+y 2b 2+1=1(b>0)的离心率为√1010,则b 等于( )A.3B.13C.910D.3√10102.(2019山西大同高三开学考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为√22,过F 1的直线l交C 于A,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么椭圆C 的方程为( )A.x 236+y 218=1B.x 216+y 210=1 C.x 24+y 22=1 D.x 216+y 28=1 3.(2020重庆沙坪坝高二期末,★★☆)已知F 是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,经过原点的直线l 与椭圆E 交于P,Q 两点,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E 的离心率为( ) A.√33 B.12C.13D.√224.(2019黑龙江大庆四中高二上学期期中,★★★)已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆x 216+y 28=1上的一个动点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,O 是坐标原点,若M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点,且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为( ) A.[0,3) B.(0,2√2) C.[2√2,3) D.[0,4]二、填空题5.(2019皖西南联盟高二期末联考,★★☆)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为35,面积为20π,则椭圆C的标准方程为.6.(2019河北石家庄二中高二月考,★★☆)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0),点P是椭圆上且在第一象限的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为A,若|OA|=2b,则椭圆的离心率为.三、解答题7.(2019河北张家口高三开学考试,★★☆)设F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上且在第一象限内的一点,且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b的值.8.(★★★)如图,F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,AF1=F1F2.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知△AF1B的面积为40√3,求a,b的值.答案全解全析 基础过关练1.A 依题意得a=2,a+c=3,故c=1,b=√22-12=√3,故所求椭圆的标准方程是x 24+y 23=1.2.B 过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为4,最短弦为垂直于长轴的弦.易知c=1,将x=1代入x 24+y 23=1,得124+y 23=1,解得y 2=94,即y=±32,所以最短弦的长为2×32=3.故选B.3.C 设椭圆的右焦点为F',则由椭圆的定义得|P 1F|+|P 1F'|=10,由椭圆的对称性,知|P 1F'|=|P 7F|,∴|P 1F|+|P 7F|=10.同理,|P 2F|+|P 6F|=10,|P 3F|+|P 5F|=10.又|P 4F|=5,∴|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=35. 4.答案4√63解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),由题意知2a=4,∴a=2. ∵∠CBA=π4,BC=√2,∴不妨设点C 的坐标为(-1,1). ∵点C 在椭圆上,∴14+1b 2=1,∴b 2=43,∴c 2=a 2-b 2=4-43=83,c=2√63,则椭圆的两个焦点之间的距离为4√63. 5.D 依题意得椭圆的焦距和短轴长相等,故b=c,∴a 2-c 2=c 2,∴e=√22. 6.D 将椭圆的方程化为标准形式为y 2+x 21m=1,由题意得a 2=1,b 2=1m ,∴c 2=a 2-b 2=1-1m ,∴离心率e=ca =√1-1m =√32,∴m=4.7.A 易知椭圆的焦点坐标为(±√a 2-1,0),∵|AB|=1,∴当x=±√a 2-1时,y=±12.不妨设A (√a 2-1,12),则a 2-1a 2+14=1,解得a=2,∴椭圆的离心率为e=√a 2-1a=√32.故选A.8.答案 12解析 如图,易知△ABF 1∽△APO, 则|AP ||AB |=|AO ||AF 1|,即23=aa+c ,所以a=2c,所以e=c a =12.9.C 由题意得F(-1,0),设点P(x 0,y 0),则y 02=3(1-x 024)(-2≤x 0≤2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02=x 02+x 0+3(1-x 024)=14(x 0+2)2+2,当x 0=2时,OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值,最大值为6. 10. C 在△PF 1F 2中,设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m+n=2a,根据余弦定理,得(2c)2=m 2+n 2-2mncos 60°,整理得(m+n)2-3mn=4c 2,所以3mn=4a 2-4c 2, 所以4a 2-4c 2=3mn≤3(m+n 2)2=3a 2(当且仅当m=n 时,等号成立),即a 2≤4c 2,故e 2=c 2a 2≥14,又0<e<1, 所以12≤e<1.11.答案 2解析 设P(x,y),则|PA|=√x 2+(y -5)2=√x 2+y 2-10y +25. 因为点P 为椭圆x 2+2y 2=98上的一点,所以x 2=98-2y 2,-7≤y≤7,则|PA|=√98-2y 2+y 2-10y +25 =√-(y +5)2+148, 因为-7≤y≤7,所以当y=7时,|PA|min =2. 12.解析 (1)由题意得{ e =c a =√22,a 2=b 2+c 2,12×2a ×2b =4√2,解得{a =2,b =√2,c =√2.所以椭圆的标准方程为x 24+y 22=1.(2)由(1)知,F 1(-√2,0),F 2(√2,0),设直线l:x=2√2上的不同两点A,B 的坐标分别为(2√2,y 1),(2√2,y 2),则AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3√2,-y 1),BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-y 2),由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得y 1y 2+6=0, 即y 2=-6y 1,不妨设y 1>0,则|AB|=|y 1-y 2|=y 1+6y 1≥2√6,当且仅当y 1=√6,y 2=-√6时等号成立,所以|AB|的最小值是2√6.能力提升练一、选择题1.B 易知b 2+1>1,由题意得(b 2+1)-1b 2+1=b 2b 2+1=110,解得b=13或b=-13(舍去),故选B.2.D 由△ABF 2的周长为16,得|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|=16,根据椭圆的性质,得4a=16,即a=4.又椭圆的离心率为√22,即c a =√22,所以c=2√2,b 2=a 2-c 2=8,则椭圆C 的方程为x 216+y 28=1.3.A 如图,设椭圆的右焦点为F',连接PF',QF',根据椭圆的对称性知,线段FF'与线段PQ 在点O 处互相平分,所以四边形PFQF'为平行四边形,∴|FQ|=|PF'|,∠FPF'=60°.根据椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a,又|PF|=2|QF|,∴|PF'|=23a,|PF|=43a,而|FF'|=2c.在△F'PF 中,由余弦定理,得(2c)2=(23a)2+(43a)2-2×23a×43a×cos 60°,即c 2a2=13,∴椭圆的离心率e=c a =√33.4.B 如图,延长PF 2,F 1M 交于点N,则△PF 1N 为等腰三角形,M 为F 1N 的中点,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12(|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=12·||PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||.由图可知,当P 在短轴端点时,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值,此时|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,当P 在长轴端点时,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值,此时|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,但点P 不能在坐标轴上,所以|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为(0,2√2).二、填空题 5.答案y 225+x 216=1解析 设椭圆C 的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),则椭圆C 的面积为S=πab=20π,又e=√1-b 2a 2=35,解得a 2=25,b 2=16.所以椭圆C 的标准方程为y 225+x 216=1.6.答案√32解析 如图,延长F 2A 交F 1P 的延长线于点M.由题意可知|PM|=|PF 2|,由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a, 则|PF 1|+|PM|=|MF 1|=2a. 易知OA 是△F 1F 2M 的中位线, ∴|OA|=12|MF 1|=a. 又|OA|=2b,∴2b=a,则a 2=4b 2=4(a 2-c 2), 即c 2=34a 2,∴e 2=34,又e∈(0,1),∴e=√32.三、解答题 7.解析 (1)根据c=√a 2-b 2及题设知M (c ,b 2a ),由k MN =k MF 1=34,得b 2a-0c -(-c )=34,即2b 2=3ac.将b 2=a 2-c 2代入,得2c 2+3ac-2a 2=0,即2e 2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意知,原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,设直线MF 1与y 轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a =4,即b 2=4a.①由|MN|=5|F 1N|,得|DF 1|=2|F 1N|, 则F 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0,则{2(-c -x 1)=c ,-2y 1=2,即{x 1=-32c ,y 1=-1, 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.② 由①②及a 2=b 2+c 2得9(a 2-4a )4a 2+14a =1,解得a=7,则b=√4a =2√7. 8.解析 (1)∵AF 1=F 1F 2, ∴a=2c,∴e=c a =12.(2)设|BF 2|=m,则|BF 1|=2a-m.∵AF 1=F 1F 2=AF 2,∴△AF 1F 2是等边三角形, ∴∠F 1F 2B=180°-∠F 1F 2A=180°-60°=120°.在△BF 1F 2中,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2-2|BF 2||F 1F 2|cos∠F 1F 2B,即(2a-m)2=m 2+a 2-2am×(-12), ∴m=35a. ∵△AF 1B 的面积S=12|BA||F 1A|sin 60° =12×(a +35a)×a×√32=40√3,∴a=10,∴c=5,b=5√3.。

高中 平面解析几何 椭圆的几何性质 练习 含答案

高中 平面解析几何 椭圆的几何性质 练习 含答案

训练目标熟练掌握椭圆的几何性质并会应用. 训练题型 (1)求离心率的值或范围;(2)应用几何性质求参数值或范围;(3)椭圆方程与几何性质综合应用.解题策略(1)利用定义PF 1+PF 2=2a 找等量关系;(2)利用a 2=b 2+c 2及离心率e =c a找等量关系;(3)利用焦点三角形的特殊性找等量关系.1.已知焦点在x 轴上的椭圆C :x 2a2+y 2=1(a >0),过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点,且AB =1,则该椭圆的离心率为________.2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ,使得△F 1F 2P 为等腰三角形,则椭圆C 的离心率的取值范围是________.3.在椭圆x 236+y 29=1上有两个动点P ,Q ,E (3,0)为定点,EP ⊥EQ ,则E P →·Q P →的最小值为________.4.已知焦点在x 轴上的椭圆的方程为x 24a +y 2a 2-1=1,随着a 的增大,该椭圆形状的变化是越________圆(填“接近于”或“远离”).5.椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值是________.6.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,椭圆C 与过原点的直线相交于A ,B 两点,连结AF ,BF ,若AB =10,AF =6,cos ∠ABF =45,则椭圆C 的离心率为________. 7.椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c .若直线y =3(x +c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于________.8.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为点B ,F 为右焦点,若AF ⊥BF ,设∠ABF =α,且α∈[π6,π4],则该椭圆离心率e 的取值范围为________.9.如图,F 1,F 2是椭圆C 1:x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是________.10.椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,直线y =-3x 与椭圆C 交于A ,B 两点,且AF ⊥BF ,则椭圆C 的离心率为________.11.已知A 为椭圆x 29+y 25=1上的动点,MN 为圆(x -1)2+y 2=1的一条直径,则AM →·A N →的最大值为________.12.已知点F 为椭圆C :x 22+y 2=1的左焦点,点P 为椭圆C 上任意一点,点Q 的坐标为(4,3),则PQ +PF 取最大值时,点P 的坐标为________.13.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0),若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2=c sin ∠PF 2F 1,则该椭圆的离心率的取值范围为____________. 14.椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A 1、A 2,点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线P A 1斜率的取值范围是________.答案解析 1.32 2.(13,12)∪(12,1) 3.6解析 设P (x 0,y 0),则有x 2036+y 209=1, 因为EP ⊥EQ ,所以E P →·Q P →=E P →·(E P →-E Q →)=(EP →)2-EP →·EQ →=(E P →)2=(x 0-3)2+y 20=(x 0-3)2+9×(1-x 2036), 即E P →·Q P →=34x 20-6x 0+18. 因为-6≤x 0≤6,所以当x 0=4时,E P →·Q P →取得最小值6.4.接近于解析 由题意知e 2=1-a 2-14a =1-(a 4-14a ), 而a 4-14a随着a 的增大而增大, 所以e 随着a 的增大而减小,即随着a 的增大,该椭圆的形状越接近于圆. 5.14解析 由题意可得21m =2×2,解得m =14. 6.57 解析 在△ABF 中,由36=100+BF 2-20BF ×45,解得BF =8. 又在△BOF 中,由OF 2=64+25-80×45=25,得c =5, 设椭圆右焦点是F ′,则由椭圆对称性可得BF =AF ′,所以2a =AF +AF ′=14,a =7,则离心率e =c a =57. 7.3-1解析 由直线方程为y =3(x +c ),知∠MF 1F 2=60°,又∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,所以∠MF 2F 1=30°,MF 1⊥MF 2,所以MF 1=c ,MF 2=3c ,所以MF 1+MF 2=c +3c =2a .即e =c a=3-1. 8.[ 22,3-1] 解析 ∵B 和A 关于原点对称,∴B 也在椭圆上,设左焦点为F ′,根据椭圆定义AF +AF ′=2a ,∵AF ′=BF ,∴AF +BF =2a .①∵O 是Rt △ABF 的斜边AB 的中点,∴AB =2c ,又AF =2c sin α②BF =2c cos α,③②③代入①,得2c sin α+2c cos α=2a ,∴c a =1sin α+cos α=12sin (α+π4), 即e =12sin (α+π4). ∵α∈[π6,π4], ∴5π12≤α+π4≤π2, 6+24≤sin(α+π4)≤1, ∴22≤e ≤3-1. 9.62解析 F 1F 2=2 3.设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1. ∵AF 2+AF 1=4,AF 2-AF 1=2a ,∴AF 2=2+a ,AF 1=2-a .在Rt △F 1AF 2中,∠F 1AF 2=90°,∴AF 21+AF 22=F 1F 22, 即(2-a )2+(2+a )2=(23)2,∴a =2,∴e =c a =32=62. 10.3-1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1,y =-3x ,得x 2=a 2b 23a 2+b 2. 设A (x ,y ),则B (-x ,-y ),A F →=(c -x ,-y ),B F →=(c +x ,y ).由AF ⊥BF ,得A F →·B F →=c 2-x 2-y 2=c 2-4x 2=0,∴c 2=4a 2b 23a 2+b 2. 化简,得c 4+4a 4-8a 2c 2=0,即e 4-8e 2+4=0,∴e 2=4-23,又∵0<e <1,∴e =3-1.11.15解析 记圆(x -1)2+y 2=1的圆心为C (1,0),设A (x ,y ),x ∈[-3,3],则AC 2=(x -1)2+y 2=(x -1)2+5-59x 2=49x 2-2x +6, 当x =-3时,(AC 2)max =16,AM →·A N →=(A C →+CM →)·(A C →-CM →)=|AC →|2-|CM →|2=|AC →|2-1≤15,故AM →·A N →的最大值为15.12.(0,-1)解析 设椭圆的右焦点为E ,PQ +PF =PQ +2a -PE =PQ -PE +2 2. 当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时,PQ +PF 取最大值,此时,直线PQ 的方程为y =x -1,QE 的延长线与椭圆交于点(0,-1),即点P 的坐标为(0,-1).13.(2-1,1)解析 由a sin ∠PF 1F 2=c sin ∠PF 2F 1, 得c a =sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2. 又由正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=PF 1PF 2, 所以PF 1PF 2=c a, 即PF 1=c aPF 2. 又由椭圆定义得PF 1+PF 2=2a ,所以PF 2=2a 2a +c ,PF 1=2ac a +c, 因为PF 2是△PF 1F 2的一边,所以有2c -2ac a +c <2a 2a +c <2c +2ac a +c, 即c 2+2ac -a 2>0,所以e 2+2e -1>0(0<e <1),解得椭圆离心率的取值范围为(2-1,1).14.[38,34] 解析 由题意可得,A 1(-2,0),A 2(2,0), 当P A 2的斜率为-2时,直线P A 2的方程为y =-2(x -2),代入椭圆方程,消去y 化简得19x 2-64x +52=0,解得x =2或x =2619. 由P A 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎫2619,2419,此时直线P A 1的斜率k =38. 同理,当直线P A 2的斜率为-1时,直线P A 2的方程为y =-(x -2),代入椭圆方程,消去y 化简得7x 2-16x +4=0,解得x =2或x =27. 由P A 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎫27,127,此时直线P A 1的斜率k =34. 数形结合可知,直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤38,34.。

高中数学 专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(1)测试(含解析)新人教A版选修2-1(2021年

高中数学 专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(1)测试(含解析)新人教A版选修2-1(2021年

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椭圆的简单的几何性质(1)(时间:25分,满分55分) 班级 姓名 得分一、选择题1.已知椭圆错误!+错误!=1与椭圆错误!+错误!=1有相同的长轴,椭圆错误!+错误!=1的短轴长与椭圆错误!+错误!=1的短轴长相等,则( )A .a 2=25,b 2=16B .a 2=9,b 2=25C .a 2=25,b 2=9或a 2=9,b 2=25D .a 2=25,b 2=9解析:选D 因为椭圆x 225+错误!=1的长轴长为10,焦点在x 轴上,椭圆错误!+错误!=1的短轴长为6,所以a 2=25,b 2=9.2.椭圆x 2+4y 2=1的离心率为( )A.错误!B.错误!C.错误! D 。

错误!答案:A3.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(-错误!,0),(错误!,0),离心率是错误!,则椭圆C 的方程为( )A 。

错误!+y 2=1B .x 2+错误!=1 C.错误!+错误!=1 D.错误!+错误!=1 解析:因为错误!=错误!,且c =错误!,所以a =错误!,b =错误!=1。

所以椭圆C 的方程为1322=+y x 。

答案:A4.已知椭圆x2a2+错误!=1(a>b>0)的左焦点为F1,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF1⊥x轴,直线AB与y轴交于点P,其中错误!=2错误!,则椭圆的离心率为() A.错误!B。

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点,离心率为,左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点.(1)求椭圆C的方程;(2)当的面积为时,求直线的方程.【答案】(1);(2)直线方程为:或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,由于椭圆过点A,将A点坐标代入得到a和b的关系式,再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式,从而求出a和b,得到椭圆的标准方程;第二问,过的直线有特殊情况,即当直线的倾斜角为时,先讨论,再讨论斜率不不为的情况,将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理得到和,代入到三角形面积公式中,解出k的值,从而得到直线方程.试题解析:(1)因为椭圆过点,所以①,又因为离心率为,所以,所以②,解①②得.所以椭圆的方程为:(4分)(2)①当直线的倾斜角为时,,,不适合题意。

(6分)②当直线的倾斜角不为时,设直线方程,代入得:(7分)设,则,,,所以直线方程为:或(12分)【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点.的最大值是,的最小值是,满足.(1) 求该椭圆的离心率;(2) 设线段的中点为,的垂直平分线与轴和轴分别交于两点,是坐标原点.记的面积为,的面积为,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,设出F点坐标,数形结合,根据椭圆的性质,得到代入已知中,得到,计算出椭圆的离心率;第二问,根据题意,设出椭圆方程和直线方程,两方程联立,消参,利用韦达定理,得到和,利用三角形相似得到所求的比例值,最后求范围.试题解析:(1) 设,则根据椭圆性质得而,所以有,即,,因此椭圆的离心率为. (4分)(2) 由(1)可知,,椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零,设直线的方程为,并设则由消去并整理得从而有,(6分)所以.因为,所以,.由与相似,所以. (10分)令,则,从而,即的取值范围是. (12分)【考点】椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.3.椭圆的离心率为,其左焦点到点的距离为.(1) 求椭圆的标准方程;(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.【答案】(1);(2)证明详见解析,.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用椭圆的离心率和左焦点到点P 的距离列出方程组,解出基本量a,b,c,从而得到椭圆的标准方程;第二问,用直线与椭圆联立,消参得到关于x的方程,利用韦达定理得到和,由于AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0) ,所以,利用向量的数量积的运算公式,将前面的式子都代入,得到或 m = -2k,经验证都符合题意,则分别求出定点坐标,再验证,最终得到结论.试题解析:(1)由题:①左焦点 (-c,0) 到点 P(2,1) 的距离为:② 2分由①②可解得c =" 1" , a =" 2" , b 2 = a 2-c 2 = 3. 3分∴所求椭圆 C 的方程为. 4分(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),将 y =" kx" + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2-12 = 0.∴,, 6分且y1 = kx1+ m,y2= kx2+ m.∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,所以. 7分所以 (x1-2,y1)·(x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2= (x1-2) (x2-2) + (kx1+ m) (kx2+ m)= (k 2 + 1) x1x2+ (km-2) (x1+ x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·-(km-2)·+ m 2 + 4 =" 0" . 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0.∴或 m = -2k 都满足△ > 0. 12分若 m = -2k 时,直线 l 为 y = kx-2k =" k" (x-2) ,恒过定点 A2(2,0),不合题意舍去; 13分若时,直线 l 为,恒过定点. 14分【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题.4.已知△ABC的周长为12,顶点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0),C为动点.(1)求动点C的轨迹E的方程;(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合),使它们分别与曲线E交于两点,求四点所对应的四边形的面积的最大值.【答案】(1)+=1(x≠±4)(2)16【解析】(1)由题意知|CA|+|CB|=12-4=8>|AB|,所以C的轨迹E为椭圆的一部分.由a=4,c=2,可得b2=12.故曲线E的方程为+=1(x≠±4).(2)设两直线的方程为y=kx与y=-kx(k>0).记y=kx与曲线E在第一象限内的交点为(x0,y),由,可得x2=.结合图形的对称性可知:四交点对应的四边形为矩形,且其面积S=2x0·2y=4kx2=.因为k>0,所以S=≤=16 (当且仅当k=时取等号).故四边形面积的最大值为16.5.椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,两焦点F1,F2之间的距离为2,椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若椭圆C的右顶点为A,直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,且满足AM⊥AN.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.【答案】(1)+y2=1 (2)见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),因为|F1F2|=2,所以c=,由S△PF1F2=1,得|PF1||PF2|=2,又由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=12,即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=12,即4a2-4=12,a2=4,b2=a2-3=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由方程组,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)>0,整理得4k2-m2+1>0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0),得(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,因为y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,所以(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0,即(1+k2)·+(km-2)·+m2+4=0,整理得:5m2+16mk+12k2=0,解得m=-2k或m=-,均满足4k2-m2+1>0.当m=-2k时,直线的l方程为y=kx-2k,过定点(2,0),与题意矛盾,舍去;当m=-时,直线l的方程为y=k(x-),过定点(,0),符合题意.故直线l过定点,且定点的坐标为(,0).6.已知P是圆M:x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一点,点N的坐标为(2,0),线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q,当点P在圆M上运动时,点Q的轨迹为C.(1)求出轨迹C的方程,并讨论曲线C的形状;(2)当m=时,在x轴上是否存在一定点E,使得对曲线C的任意一条过E的弦AB,为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)当m>2,,轨迹是以、为焦点的椭圆,其方程为;当m<2,轨迹是以、为焦点的双曲线,其方程为;(2)定点,定值为6.【解析】(1)利用线段的垂直平分线交直线于点,当时,根据椭圆的定义,即可求出轨迹的方程;当时,根据双曲线的定义,即可求出轨迹的方程;(2)当时,轨迹必为椭圆方程,设,分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD,,根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明.存在性问题,先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程,代入椭圆方程,消去,设,,利用一元二次方程的根与系数的关系,求得为定值6.(1)由题意,,所以,所以轨迹是以、为焦点,以为长轴的椭圆,当m>2,,轨迹是以、为焦点的椭圆,其方程为;当m<2,轨迹是以、为焦点的双曲线,其方程为(4分)(2)由(1)当时,曲线C为,设,分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD,,则,即解得,∴E若存在必为定值为6.(6分)下证满足题意.设过点E的直线方程为,代入C中得:,设、,则,,(8分).同理可得E也满足题意.综上得定点为E,定值为(13分)【考点】直线和圆的方程的应用,圆锥曲线的定义、性质与方程,轨迹方程的问题.7.已知椭圆的焦点为,点是椭圆上的一点,与轴的交点恰为的中点, .(1)求椭圆的方程;(2)若点为椭圆的右顶点,过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)根据已知分析可得点横坐标为1,纵坐标为,,即点。

椭圆的几何性质(含答案)

椭圆的几何性质(含答案)

椭圆的几何性质一、选择题1.已知点(3,2)在椭圆x 2a 2+y 2b2=1上,则( )A .点(-3,-2)不在椭圆上B .点(3,-2)不在椭圆上C .点(-3,2)在椭圆上D .无法判断点(-3,-2)、(3,-2)、(-3,2)是否在椭圆上 2.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1和x 2a 2+y 2b 2=k (k >0)具有( )A .相同的长轴B .相同的焦点C .相同的顶点D .相同的离心率3.椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆离心率为( ) A.22B.32 C.53D.634.椭圆x 225+y 29=1与x 29-k +y 225-k =1(0<k <9)的关系为( )A .有相等的长、短轴B .有相等的焦距C .有相同的焦点D .x ,y 有相同的取值范围5.以椭圆两焦点F 1、F 2所连线段为直径的圆,恰好过短轴两端点,则此椭圆的离心率e 等于( )A.12B.22C.32D.2556.中心在原点、焦点在x 轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( ) A.x 281+y 272=1 B.x 281+y 29=1C.x 281+y 245=1 D.x 281+y 236=17.焦点在x 轴上,长、短半轴之和为10,焦距为45,则椭圆的方程为( ) A.x 236+y 216=1 B.x 216+y 236=1C.x 26+y 24=1 D.y 26+x 24=18.若椭圆的短轴为AB ,它的一个焦点为F 1,则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( ) A.14 B.12 C.22D.329.若椭圆两焦点为F 1(-4,0)、F 2(4,0),P 在椭圆上,且△PF 1F 2的最大面积是12,则椭圆方程是( ) A.x 236+y 220=1 B.x 228+y 212=1C.x 225+y 29=1 D.x 220+y 24=1二、填空题10.如图,在椭圆中,若AB ⊥BF ,其中F 为焦点,A 、B 分别为长轴与短轴的一个端点,则椭圆的离心率e =________.11.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2,焦距为2c ,若d 1、2c 、d 2成等差数列,则椭圆的离心率为________.12.经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________.三、解答题13.已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点,过F 2作椭圆的弦AB ,若△AF 1B 的周长为16,椭圆的离心率e =32,求椭圆的方程.14.已知椭圆mx 2+5y 2=5m 的离心率为e =105,求m 的值.椭圆的几何性质(答案)1、[答案] C [解析] ∵点(3,2)在椭圆x 2a 2+y 2b2=1上,∴由椭圆的对称性知,点(-3,2)、(3,-2)、(-3,-2)都在椭圆上,故选C. 2、[答案] D [解析] 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1和x 2a 2+y 2b2=k (k >0)中,不妨设a >b ,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率e 1=a 2-b 2a,椭圆x 2a 2k +y 2b 2k =1(k >0)的离心率e 2=k a 2-b 2ka=a 2-b 2a .3、[答案] A [解析] 由题意得b =c ,∴a 2=b 2+c 2=2c 2,e =c a =22.4、[答案] B [解析] ∵0<k <9,∴0<9-k <9,16<25-k <25,∴25-k -9+k =16,故两椭圆有相等的焦距.5、[答案] B [解析] 由题意得b =c ,∴a 2=b 2+c 2=2c 2,∴e =c a =22.6、[答案] A [解析] ∵2a =18,∴a =9,由题意得2c =13×2a =13×18=6,∴c =3,∴a 2=81,b 2=a 2-c 2=81-9=72,故椭圆方程为x 281+y 272=1.7、[答案] A [解析] 由题意得c =25,a +b =10,∴b 2=(10-a )2=a 2-c 2=a 2-20, 解得a 2=36,b 2=16,故椭圆方程为x 236+y 216=1.8、[答案] D [解析] 由题意得a =2b ,a 2=4b 2=4(a 2-c 2),∴c a =32.9、[答案] C [解析] 由题意得c =4,∵P 在椭圆上,且△PF 1F 2的最大面积为12,∴12×2c ×b =12,即bc =12,∴b =3,a =5,故椭圆方程为x 225+y 29=1. 10、[答案]5-12 [解析] 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1,则有A (a,0),B (0,b ),F (c,0),由AB ⊥BF ,得k AB ·k BF =-1,而k AB =b a ,k BF =-b c 代入上式得b a ⎝⎛⎭⎫-b c =-1,利用b 2=a 2-c 2消去b 2,得a c -c a =1,即1e -e =1,解得e =-1±52,∵e >0,∴e =5-12.11、[答案] 12 [解析] 由题意得4c =d 1+d 2=2a ,∴e =c a =12.12、[答案] 2b 2a[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x =±c ,由⎩⎪⎨⎪⎧x =±c x 2a 2+y 2b 2=1,得y 2=b 4a 2,∴|y |=b 2a ,故弦长为2b 2a .13、[解析] 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧4a =16c a =32,∴a =4,c =2 3.∴b 2=a 2-c 2=4,所求椭圆方程为x 216+y 24=1.14、[解析] 由已知可得椭圆方程为x 25+y 2m=1(m >0且m ≠5). 当焦点在x 轴上,即0<m <5时,有a =5,b =m ,则c =5-m , 依题意得5-m 5=105,解得m =3.当焦点在y 轴上,即m >5时,有a =m ,b = 5. 则c =m -5,依题意有m -5m=105.解得m =253.即m 的值为3或253.。

2021版江苏高考数学复习讲义:椭圆及其性质含答案

2021版江苏高考数学复习讲义:椭圆及其性质含答案

(3,4)∪(4,5)[由已知得⎩⎨⎧5-k >0,k -3>0,5-k≠k-3.解得3<k <5且k ≠4.]4.已知椭圆的一个焦点为F (1,0)、离心率为12、则椭圆的标准方程为 .x24+y23=1 [设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a >b >0).因为椭圆的一个焦点为F (1,0)、离心率e =12、所以⎩⎪⎨⎪⎧c =1,c a =12,a2=b2+c2,解得⎩⎨⎧a =2c =2,b2=3,故椭圆的标准方程为x24+y23=1.]第1课时 椭圆及其性质考点1 椭圆的定义及应用已知F 1、F 2是椭圆C :x2a2+y2b2=1(a >b >0)的两个焦点、P 为椭圆C 上的一点、且PF 1⊥PF 2、若△PF 1F 2的面积为9、则b = .3 [设|PF 1|=r 1、|PF 2|=r 2、 则⎩⎨⎧r1+r2=2a ,r21+r22=4c2,所以2r 1r 2=(r 1+r 2)2-(r 21+r 2)=4a 2-4c 2=4b 2、所以S △PF 1F 2=12r 1r 2=b 2=9、所以b =3.]考点2 椭圆的标准方程定义法又∵|AF 1|=3|F 1B |、∴由AF1→=3F1B →得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-5c 3,-b23、 代入x 2+y2b2=1 得25c29+b49b2=1. 又c 2=1-b 2、 ∴b 2=23.故椭圆E 的方程为x 2+32y 2=1.](1)已知椭圆上两点、常设方程为mx 2+ny 2=1(m >0、n >0、m ≠n );(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b2a .考点3 椭圆的几何性质。

2020-2021学年新人教版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线》椭圆的简单几何性质

2020-2021学年新人教版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线》椭圆的简单几何性质

2020-2021学年新人教版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线》
椭圆的简单几何性质
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
3.若焦点在x 轴上的椭圆+=1的离心率为,则m等于( )
A. B. C. D.
4. 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
5.设椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在( )
A.圆x2+y2=2上
B.圆x2+y2=2内
C.圆x2+y2=2外
D.以上三种情况都有可能
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2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何第5节椭圆第1课时椭圆及简单几何性质练习

2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何第5节椭圆第1课时椭圆及简单几何性质练习

第1课时 椭圆及简单几何性质[A 级 基础巩固]1.设F 1,F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM |=3,则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A .4B .3C .2D .5解析:由题意知,在△PF 1F 2中,|OM |=12|PF 2|=3,所以|PF 2|=6,所以|PF 1|=2a -|PF 2|=10-6=4.答案:A2.(2020·南昌三中期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为33,过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ) A.x 23+y 22=1 B.x 23+y 2=1 C.x 212+y 28=1 D.x 212+y 24=1 解析:因为△AF 1B 的周长为43,且△AF 1B 的周长=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a +2a =4a , 所以4a =43,所以a =3, 因为离心率为33,所以c a =33,解得c =1, 所以b =a 2-c 2=2, 所以椭圆C 的方程为x 23+y 22=1.答案:A3.(2020·青岛十六中周考)若曲线x 21-k +y 21+k =1表示椭圆,则k 的取值范围是( )A .k >1B .k <-1C .-1<k <1D .-1<k <0或0<k <1解析:因为曲线x 21-k +y 21+k=1表示椭圆,所以⎩⎪⎨⎪⎧1-k >0,1+k >0,1-k ≠1+k ,解得-1<k <1,且k ≠0,则-1<k <0或0<k <1. 答案:D4.(2020·东营市联考)设F 1,F 2是椭圆x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左、右焦点,过F 1的直线l交椭圆于A ,B 两点,若|AF 2|+|BF 2|最大值为5,则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.5-12D.32解析:因x 24+y 2b2=1,则a =2,由0<b <2可知,焦点在x 轴上, 因为过F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点, 则|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|=2a +2a =4a =8, 所以|BF 2|+|AF 2|=8-|AB |,当AB 垂直x 轴时|AB |最小,|BF 2|+|AF 2|值最大, 此时|AB |=2b 2a=b 2,则5=8-b 2,解得b =3,则椭圆的离心率e =ca=1-b 2a 2=12. 答案:A5.(2020·聊城市调研)过点(3,2)且与椭圆3x 2+8y 2=24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25+y 210=1 B.x 210+y 215=1 C.x 215+y 210=1 D.x 225+y 210=1 解析:椭圆3x 2+8y 2=24化为x 28+y 23=1,它的焦点为(±5,0),可得c =5,设椭圆的方程为:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),可得:9a 2+4b2=1,a 2-b 2=5,解得a =15,b =10,故所求的椭圆方程为x 215+y 210=1.答案:C6.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为55,且过点P (-5,4),则椭圆的标准方程为________.解析:由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0).由离心率e =55可得a 2=5c 2,所以b 2=4c 2,故椭圆的方程为x 25c 2+y 24c 2=1,将P (-5,4)代入可得c 2=9,故椭圆的方程为x 245+y 236=1.答案:x 245+y 236=17.如图所示,椭圆x 2a 2+y 22=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|=4,∠F 1PF 2=120°,则a 的值为________.解析:由题意知|F 1F 2|=2a 2-2,因为|PF 1|=4,|PF 1|+|PF 2|=2a ,所以|PF 2|=2a -4, 在△F 1PF 2中,由余弦定理得cos 120°=42+(2a -4)2-(2a 2-2)22×4×(2a -4)=-12,化简得8a =24,即a =3. 答案:38.(2020·雅礼中学质检)已知点P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,已知∠F 1PF 2=120°,且|PF 1|=3|PF 2|,则椭圆的离心率为________.解析:点P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,因为∠F 1PF 2=120°,且|PF 1|=3|PF 2|,如图所示,设|PF 2|=m ,则|PF 1|=3m ,则⎩⎪⎨⎪⎧4m =2a ,4c 2=m 2+9m 2-2·m ·3m cos 120°, 可得4c 2=13×a 24,解得e =c a =134.答案:1349.已知椭圆的长轴长为10,两焦点F 1,F 2的坐标分别为(3,0)和(-3,0). (1)求椭圆的标准方程;(2)若P 为短轴的一个端点,求△F 1PF 2的面积.解:(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a =10,c =3,a 2=b 2+c 2,因此a =5,b =4,所以椭圆的标准方程为x 225+y 216=1.(2)易知|y P |=4,又c =3,所以S △F 1PF 2=12|y P |×2c =12×4×6=12.10.(2020·青岛二中月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2,左顶点为A ,若|F 1F 2|=2,椭圆的离心率为e =12.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P 是椭圆上的任意一点,求PF 1→·PA →的取值范围. 解:(1)由题意,因为|F 1F 2|=2,椭圆的离心率为e =12,所以c =1,a =2, 所以b =3,所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)设P (x 0,y 0),A (-2,0),F 1(-1,0),所以PF 1→·PA →=(-1-x 0)(-2-x 0)+y 20=x 20+3x 0+2+y 20, 因为P 点在椭圆上,所以x 204+y 203=1,y 20=3-34x 20,所以PF 1→·PA →=14x 20+3x 0+5,由椭圆方程得-2≤x 0≤2,二次函数14x 20+3x 0+5的开口向上,对称轴x 0=-6<-2,当x 0=-2时,取最小值0, 当x 0=2时,取最大值12.所以PF 1→·PA →的取值范围是[0,12].[B 级 能力提升]11.(2020·菏泽市期末)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点,|AF 1|=3|BF 1|,若cos ∠AF 2B =35,则椭圆E 的离心率为( )A.12 B.23 C.32D.22解析:设|BF 1|=k (k >0), 则|AF 1|=3k ,|AB |=4k ,所以|AF 2|=2a -3k ,|BF 2|=2a -k ,因为cos ∠AF 2B =35,在△ABF 2中,由余弦定理得:|AB |2=|AF 2|2+|BF 2|2-2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B , 所以(4k )2=(2a -3k )2+(2a -k )2-65(2a -3k )(2a -k ),化简可得(a +k )(a -3k )=0,而a +k >0,故a =3k , 所以|AF 2|=|AF 1|=3k ,|BF 2|=5k ,|AB |=4k , 所以|BF 2|2=|AF 2|2+|AB |2, 所以AF 1⊥AF 2,且AF 1=AF 2=3k ,所以△AF 1F 2是等腰直角三角形,(2c )2=2a 2, 所以c =22a ,所以椭圆的离心率e =c a =22. 答案:D12.(2020·青岛实验高中测试)方程x 22m -y 2m -1=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是______________________________.解析:因为方程x 22m -y 2m -1=1表示焦点在y 轴上的椭圆,所以该椭圆的标准方程为y 21-m +x 22m =1,满足1-m >2m >0,解之得0<m <13.答案:0<m <1313.如图所示,椭圆长轴端点为A ,B ,O 为椭圆中心,F 为椭圆的右焦点,且AF →·FB →=1,|OF →|=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ,直线l 交椭圆于P ,Q 两点,问:是否存在直线l ,使得点F 恰为△PQM 的垂心?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则c =1.因为AF →·FB →=1,即(a +c )(a -c )=1=a 2-c 2, 所以a 2=2,故椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ,Q 两点,且F 恰为△PQM 的垂心,则设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),因为M (0,1),F (1,0),故k PQ =1,于是可设直线l 的方程为y =x +m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m ,x 2+2y 2=2,得3x 2+4mx +2m 2-2=0, 则x 1+x 2=-4m 3,x 1x 2=2m 2-23.因为MP →·FQ →=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1), 又y i =x i +m (i =1,2),得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m -1)=0, 即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m -1)+m 2-m =0, 所以2·2m 2-23-4m 3(m -1)+m 2-m =0,解得m =-43或m =1(舍去).经检验m =-43符合条件,所以直线l 的方程为y =x -43.故存在直线l ,使得点F 恰为△PQM 的垂心,此时l 的方程为y =x -43.[C 级 素养升华]14.(多选题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x -y +6=0相切,则椭圆C 的方程为( )A.x 28+y 26=1B.x 212+y 29=1 C.x 24+y 23=1 D .3x 2+4y 2=12解析:由题意知e =c a =12,所以e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=14,即a 2=43b 2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x 2+y 2=b 2.由题意可知b =62=3,所以a 2=4,b 2=3.故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1,即3x 2+4y 2=12. 答案:CD素养培育数学运算——离心率求解面面观(自主阅读)离心率是圆锥曲线中的一个重要元素,它的变化会直接导致曲线形状甚至是类型的变化.近年来,涉及离心率的问题频频出现在高考试题和各省市高考模拟试题中,且题型不断翻新,显示出旺盛的生命力!解决有关离心率的问题,除了要求深刻领会离心率的概念、几何意义之外,还要常常综合运用其他有关知识,因而,涉及离心率的问题不仅具有很强的综合性,而且其解法极富灵活性.1.巧求离心率的值[典例1] 我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F 1,F 2是一对相关曲线的焦点,P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F 1PF 2=60°时,这一对相关曲线中椭圆的离心率为( )A.33B.32C.22 D.12解析:设|F 1P |=m ,|F 2P |=n ,|F 1F 2|=2c ,由余弦定理得(2c )2=m 2+n 2-2mn cos 60°,即4c 2=m 2+n 2-mn ,设a 1是椭圆的长半轴,a 2是双曲线的实半轴,由椭圆及双曲线定义,得m +n =2a 1,m -n =2a 2,所以m =a 1+a 2,n =a 1-a 2,代入上式得4c 2=3a 22+a 21,又它们的离心率互为倒数,c a 1·ca 2=1,即c 2=a 1a 2,代入4c 2=3a 22+a 21得3a 22-4a 1a 2+a 21=0,a 1=3a 2,e 1·e 2=c a 1·c a 2=c a 1·3c a 1=1,即3e 21=1,所以e 1=33. 答案:A2.求离心率的取值范围[典例2] 设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称,且满足FA →·FB →=0,|FB |≤|FA |≤2|FB |,则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22,53 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53,1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22,3-1 D .[3-1,1)解析:设椭圆左焦点为F ′,连接AF ′、BF ′.由椭圆的对称性可知,四边形AFBF ′为平行四边形,又FA →·FB →=0,即FA ⊥FB ,故平行四边形AFBF ′为矩形,所以|AB |=|FF ′|=2c .设|AF ′|=n ,|AF |=m ,则在直角三角形AF ′F 中m +n =2a ,m 2+n 2=4c 2,①得mn =2b 2,②①÷②得m n +n m =2c 2b 2,令m n =t ,得t +1t =2c2b2.又由|FB |≤|FA |≤2|FB |得1≤|FA ||FB |≤2,则m n =t ∈[1,2],所以t +1t =2c 2b 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2,52, 又2c2b 2=2c 2a 2-c 2=2e 21-e 2,则可得22≤e ≤53,即离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22,53. 答案:A3.探寻离心率的最值[典例3] 已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C .3D .2 解析:设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,r 1>r 2,|F 1F 2|=2c ,椭圆长半轴长为a 1,双曲线实半轴长为a 2,椭圆、双曲线的离心率分别为e 1,e 2,由(2c )2=r 21+r 22-2r 1r 2cos π3,得4c 2=r 21+r 22-r 1r 2.由r 1+r 2=2a 1,r 1-r 2=2a 2,得r 1=a 1+a 2,r 2=a 1-a 2,所以1e 1+1e 2=a 1+a 2c =r 1c.令m =r 21c 2=4r 21r 21+r 22-r 1r 2=41+⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 12-r 2r 1=4⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 1-122+34,当r 2r 1=12时,m max =163,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1c max =433,即1e 1+1e 2的最大值为433. 答案:A。

高中数学椭圆几何性质练习题

高中数学椭圆几何性质练习题

2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质双基达标 (限时20分钟)1.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( ). A .(±13,0) B .(0,±10) C .(0,±13) D .(0,±69)解析 由题意知,椭圆焦点在y 轴上,且a =13,b =10,则c =a 2-b 2=69,故焦点坐标为(0,±69). 答案 D2.椭圆x 2+4y 2=1的离心率为( ).A.32B.34C.22D.23解析 将椭圆方程x 2+4y 2=1化为标准方程x 2+y 214=1,则a 2=1,b 2=14,c=a 2-b 2=32,故离心率e =c a =32.答案 A3.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),离心率是63,则椭圆C 的方程为( ). A.x 23+y 2=1 B .x 2+y 23=1 C.x 23+y 22=1 D.x 22+y 23=1解析 因为c a =63,且c =2,所以a =3,b =a 2-c 2=1.所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1. 答案 A4.已知椭圆的短轴长等于2,长轴端点与短轴端点间的距离等于5,则此椭圆的标准方程是________.解析 设椭圆的长半轴长为a ,短半轴长为b ,焦距为2c ,则b =1,a 2+b 2=(5)2,即a 2=4.所以椭圆的标准方程是x 24+y 2=1或y 24+x 2=1.答案 x 24+y 2=1或y 24+x 2=15.已知椭圆x 2k +8+y 29=1的离心率为12,则k 的值为________.解析 当k +8>9时,e 2=c 2a 2=k +8-9k +8=14,k =4;当k +8<9时,e 2=c 2a 2=9-k -89=14,k =-54.答案 4或-546.求椭圆x 24+y 2=1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解 已知方程为x 24+y 21=1,所以,a =2,b =1,c =4-1=3,因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a =4,2b =2,离心率e =c a =32,两个焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0),椭圆的四个顶点是A 1(-2,0),A 2(2,0),B 1(0,-1),B 2(0,1).综合提高 (限时25分钟)7.已知椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m =( ). A.14 B.12 C .2 D .4解析将椭圆方程化为标准方程为x2+y21m=1,∵焦点在y轴上,∴1m>1,∴0<m<1.由方程得a=1m,b=1.∵a=2b,∴m=14.答案 A8.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为().A.52 B.33 C.12 D.13解析记|F1F2|=2c,则由题设条件,知|PF1|=2c3,|PF2|=4c3,则椭圆的离心率e=2c2a =|F1F2||PF1|+|PF2|=2c2c3+4c3=33,故选B.答案 B9.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为________.解析依题意,设椭圆G的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.∴2a=12,即a=6.∵椭圆的离心率为32,∴e=ca =a2-b2a=32,∴36-b26=32,∴b2=9.∴椭圆G的方程为x236+y29=1.答案x236+y29=110.已知中心在原点,对称轴为坐标轴,长半轴长与短半轴长的和为92,离心率为35的椭圆的标准方程为________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a +b =92,c a =35,a 2=b 2+c 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =52,b =42.但焦点位置不确定.答案 x 250+y 232=1或x 232+y 250=111.已知椭圆长轴长是短轴长的2倍,且过点A (2,-6).求椭圆的标准方程. 解 法一 依题意a =2b .(1)当椭圆焦点在x 轴上时,设椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1. 代入点A (2,-6)坐标,得44b 2+36b 2=1,解得b 2=37, ∴a 2=4b 2=4×37=148, ∴椭圆的标准方程为x 2148+y 237=1.(2)当焦点在y 轴上时,设椭圆方程为y 24b 2+x 2b 2=1. 代入点A (2,-6)坐标得364b 2+4b 2=1, ∴b 2=13,∴a 2=52.∴椭圆的标准方程为y 252+x 213=1.综上所述, 所求椭圆的标准方程为x 2148+y 237=1或y 252+x 213=1. 法二 设椭圆方程为x 2m +y 2n =1(m >0,n >0,m ≠n ), 由已知椭圆过点A (2,-6),所以有4m +36n =1.① 由题设知a =2b ,∴m =2n ,② 或n =2m ,③由①②可解得n =37,∴m =148.由①③可解得 m =13,∴n =52.所以所求椭圆的标准方程为 x 2148+y 237=1或x 213+y 252=1.12.(创新拓展)已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,两个焦点分别为A (-1,0),B (1,0),一个顶点为H (2,0). (1)求椭圆E 的标准方程;(2)对于x 轴上的点P (t ,0),椭圆E 上存在点M ,使得MP ⊥MH ,求实数t 的取值范围.解 (1)由题意可得,c =1,a =2,∴b = 3. ∴所求椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)设M (x 0,y 0)(x 0≠±2),则x 204+y 203=1.①MP →=(t -x 0,-y 0),MH →=(2-x 0,-y 0), 由MP ⊥MH 可得MP→·MH →=0, 即(t -x 0)(2-x 0)+y 20=0.②由①②消去y 0,整理得t (2-x 0)=-14x 20+2x 0-3. ∵x 0≠2,∴t =14x 0-32.∵-2<x 0<2,∴-2<t <-1. ∴实数t 的取值范围为(-2,-1).。

高中数学-椭圆的几何性质及针对性练习

高中数学-椭圆的几何性质及针对性练习

高中数学-椭圆的几何性质与标准方程及针对性练习第一部分:椭圆知识点 一、椭圆的定义:(1)第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.(2)第二定义:平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ,当10<<e 时,点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离. 椭圆定义的表达式:()0222121>>=+F F a a PF PF ;(){}.02,22121>>=+=F F a a PF PF P M 二、椭圆方程 1. 椭圆的标准方程:焦点在x 轴:()012222>>=+b a b y a x ; 焦点在y 轴:()012222>>=+b a bx a y .a 是长半轴长,b 是短半轴长,即焦点在长轴所在的数轴上,且满足.222c b a +=2. ()B AC B A C By Ax ≠=+均不为零,且、、22表示椭圆的条件为:122=+CBy C Ax ,122=+BC y A C x . 所以只有C B A 、、同号,且B A ≠时,方程表示椭圆;当B CA C >时,椭圆的焦点在x 轴上; 当BCA C <时,椭圆的焦点在y 轴上. 三、椭圆的几何性质(以()012222>>=+b a by a x 为例)1. 有限性:b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称。

3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个:()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴、焦距:21A A 叫椭圆的长轴,a a A A ,221=是长半轴长;21B B 叫椭圆的短轴,b b B B ,221=是短半轴长. 21F F 叫椭圆的焦距;为()c 2.5. 离心率(1)椭圆焦距与长轴的比ac e = (2)22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=,即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形,并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.(3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时,c 越接近于a ,从而22c a b -=越小,椭圆越扁;当e 接近于0时,c 越接近于0,从而22c a b -=越大,椭圆越接近圆。

椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

(一)椭圆的定义:1、椭圆的定义:平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长(大于 IRF 2I )的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点,两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。

对椭圆定义的几点说明:(1) “在平面”是前提,否则得不到平面图形(去掉这个条件,我们将得到一个椭球面); (2) “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ,学习时注意区分;(3) 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”,必须满足大于| F i F 2|这个条件。

若不然, 当这个“常数”等于| F i F 2|时,我们得到的是线段 F 1F 2;当这个“常数”小于| F i F 2|时,无 轨迹。

这两种特殊情况,同学们必须注意。

(4) 下面我们对椭圆进行进一步观察,发现它本身具备对称性,有两条对称轴和一个 对称中心,我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2,于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”,且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。

同学们想一想 其中的道理。

(5)中心在原点、焦点分别在 x 轴上,y 轴上的椭圆标准方程分别为:2 2 2 2i (a b 0),77i (a b 0),a ba b2 2 2相同点是:形状相同、大小相同;都有 a > b > 0, a c b 。

不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同, 它们的焦点坐标也不同(第一个椭圆的 焦点坐标为(一c , 0)和(c , 0),第二个椭圆的焦点坐标为(0,— c )和(0, c )。

椭圆的 焦点在x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大;椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。

(二)椭圆的几何性质:椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标; 一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只2 2要X 2 每 i (a b 0)的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换,就可以得出 a b2 2^2 —2 i (a b 0)的有关性质。

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2018届高三数学训练题(65):椭圆的几何性质学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( ) A .2214x = B .22145x y -= C .22125x y -= D .2212x -= 2.已知0<θ<π4,则双曲线C 1:22sin x θ22cos y θ-=1与C 2:22cos y θ-22sin x θ=1的( ) A .实轴长相等B .虚轴长相等C .离心率相等D .焦距相等3.已知l 是双曲线C :22124x y -=的一条渐近线,P 是l 上的一点,F 1,F 2分别是C 的左,右焦点,若120PF PF ⋅=,则点P 到x 轴的距离为( )A .3 BC .2D4.已知点()1F ,)2F ,动点P 满足|PF 2|-|PF 1|=2,当点P 的纵坐标为12时,点P 到坐标原点的距离是( )A .2B .32C D .25.已知双曲线22221y x a b-=(a >0,b >0)的两个焦点分别为F 1,F 2,以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3),则此双曲线的方程为( )A .221916y x -= B .22143y x -=C .221169y x -= D .22134y x -= 6.设双曲线22143x y -=的左,右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交双曲线左支于A ,B 两点,则|BF 2|+|AF 2|的最小值为( )A .192B .11C .12D .167.设1F ,2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且1234PF PF =,则12PFF △的面积等于 A.B.C .24 D .488.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ,若,,A B C 三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为( )ABCD二、填空题9.已知双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的离心率e 是2,则此时b 2+13a 的最小值是_____.10.以椭圆22195x y +=的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线C ,其左右焦点分别是1F ,2F ,已知点M 的坐标为()21,,双曲线C 上的点()()000000P x y x y >>,,满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=,则12PMF PMF S S -=______.11.圆x 2+y 2=4与y 轴交于点A ,B ,以A ,B 为焦点,坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左边的交点分别为C ,D ,当梯形ABCD 的周长最大时,此双曲线的方程为________________. 12.称离心率为e =√5+12的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)为黄金双曲线.如图是双曲线x2 a2−y2b2=1(a>0,b>0,c=√a2+b2)的图象,给出以下几个说法:①双曲线x22√5+1=1是黄金双曲线;②若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;③若F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,B1(0,b),B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为参考答案1.B【解析】依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B . 【考点定位】考查双曲线方程.2.D【详解】∵0<θ<4π,∴sinθ<cosθ.由双曲线C 1:22sin x θ-22cos y θ=1知实轴长为2sinθ,虚轴长为2cosθ,焦距为2,离心率为1sin θ.由双曲线C 2:22cos y θ-22sin x θ=1知实轴长为2cosθ,虚轴长为2sinθ,焦距为2,离心率为1cos θ.可得焦距相等,故选D.3.C【解析】由题意知()1F ,)2F ,不妨设l 的方程为y =,点()00P x ,由())21200000,,360PF PF x x x ⋅=-⋅=-=,得0x =故点P 到x 02=,故选C.4.A【解析】由已知可得动点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线的左支,且c =1a =,∴1b =,∴双曲线方程为()2211x y x -=≤-,将12y =代入上式,可得点P 的横坐标为x =,∴点P =,故选A. 5.A【解析】由题意可知5c =,∴22225a b c +==,①,又点()4,3在a y x b=上,故34a b =,②,由①②解得3a =,4b =,∴双曲线的方程为221916y x -=,故选A. 点睛:本题考查双曲线的及圆的有关知识,求解的关键是借助圆与双曲线的渐近线的交点得出a ,b ,c 的等量关系,是比较基础的题;由已知条件推导出以12F F 为直径的圆的半径为5c =,将点代入到渐近线方程中构造出方程组,由此能求出双曲线的方程.6.B 【解析】由24x -23y =1知a 2=4,b 2=3,∴c 2,∴F 12(,0),又点A 、B 在双曲线左支上,∴|AF 2|-|AF 1|=4,|BF 2|-|BF 1|=4,∴|AF 2|=4+|AF 1|,|BF 2|=4+|BF 1|,∴|AF 2|+|BF 2|=8+|AF 1|+|BF 1|.要求|AF 2|+|BF 2|的最小值,只要求|AF 1|+|BF 1|的最小值,而|AF 1|+|BF 1|最小为2×32=3. ∴(|AF 2|+|BF 2|)min =8+3=11.故选B.7.C【分析】先由双曲线的离心率求出a 与c ,可得1210F F =,再由1234PF PF =,结合双曲线的定义求出128,6PF PF ==,由此能求出12PF F ∆的面积. 【详解】∵1F ,2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点,∴ 5c e a ===, 解得21a =,5c ∴=,∴ 12210F F c ==,1234PF PF =, 且由双曲线的性质知1222241233PF PF PF PF PF -=-==, ∴ 128,6PF PF ==,1290F PF ︒∴∠=,∴ 12PF F 的面积168242=⨯⨯=.故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义与双曲线的离心率,属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.8.C【解析】试题分析:过A 斜率为一1的直线方程,渐近线方程为,交点 横坐标分别为,点的横坐标为,A ,B ,C 三点的横坐标成等比数列, 所以,所以,所以,故. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质.点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.要求学生有较高地转化数学思想的运用能力,能将已知条件转化到基本知识的运用.9.2√33【解析】试题分析:由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是2,可得c a =2,所以a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=4,所以b 2=3a 2,则3a 2+13a =a +13a ≥2√a ⋅13a =2√33,当且仅当a =13a ,即a =√33时等号成立.考点:双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质,其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质、基本不等式求最值、双曲线的离心率等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中根据双曲线的离心率,得到b 2=3a 2,代入利用基本不等式求最值是解答的关键,试题比较基础,属于基础题. 10.2【解析】 双曲线方程22145x y -=,124PF PF -=,由12211112PF PF F F MF PF F F ⋅⋅=可得1112111112F P F MF F F MMF F P MF F F ⋅⋅=⋅⋅,得1F M 平分12PF F ∠,而111tan 5MA MF A F A ∠==,∴112122tan 55tan 11tan 12125MF A PF A MF A ∠∠===-∠-,∴直线1F P 的方程为()5312y x =+,即512150x y -+=,联立22512150 145x y x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得53,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴2PF x ⊥轴,又2tan 1MF O ∠=,∴245MF O ∠=︒,即M 为12PF F △内切圆的圆心.故121211()141222PMF PMF S S PF PF -=⨯=⨯⨯=-,故答案为2. 点睛:本题考查椭圆的简单性质,考查了向量在向量方向上的投影,考查计算能力,是中档题;由题意求出双曲线方程,再由向量等式可得1F M 平分12PF F ∠,求出PF 1所在直线的斜率,得到PF 1所在直线的方程,联立直线方程和双曲线方程,求出P 的坐标,进一步说明M 为12PF F △内切圆的圆心,然后由三角形面积差结合双曲线定义求得答案.11221= 【解析】设双曲线的方程为()222210,0x y a ba b-=>>,(,)(0,0)C x y x y '''',||(0BC t t =<<,如图,连接AC ,∵AB 为直径,∴90ACB ∠=︒,作CE AB ⊥于E ,则2·BC BE BA =,∴()242t y =-',即2124y t =-',∴梯形的周长422l t y =++'21282t t =-++()212102t =--+,∴当2t =时,l 最大,此时,2BC =,AC =C 在双曲线的上支上,且A ,B 为焦点,∴2AC BC a -=,即22A =,∴31a,∴2b =221=221=. 12.①②③④【解析】试题分析:对于①,双曲线的标准方程为x 22√5+12=1,则a 2=1,b 2=√5+12,c 2=√5+32, ∴e =c a =√√5+32=√5+12,满足 对于②,b 2=ac ⇒c 2−ac −a 2=0⇒e 2−e −1=0,所以e =1+√52或e =1−√52(舍去)故满足对于③ ∵,|B 1F 1|2+|A 2B 1|2=|F 1A 2|2 ∴(c 2+b 2)+(a 2+b 2)=(a +c)2⇒b 2=ac ,由②可得,满足对于④,由双曲线的对称性,可得|OF 2|=|NF 2|,∴c =b 2a ⇒b 2=ac ,由②可得,满足, 综上,正确的有①②③④考点:本题考查双曲线的几何性质点评:解决本题的关键是掌握双曲线的几何性质,求离心率必须建立a,b,c 的关系。

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