运筹学第十一章 二人有限零和对策

1 -1 2 0
1 d1 d3 -1 d1 d4 2 0
0 4 s3 s1 2 2 s3 s2 0 4
2 d1 d2 4
2 s3 s4 （2） 0
j i i
S={s1,s2,……,sm}—局中人甲的策略集 D={d1,d2,……,dn}—局中人乙的策略集 3.局势：在一局对策中，每个局中人都选定一个策略 后的各策略的组合。表示为（Si,Dj). 4.得失值（赢得函数）：局中人选定某策略后相应的 收益值。表示为 R甲（si,dj)—甲的收益 R乙（si,dj)—乙的收益
s1 1 s2 -1 A s3 2 s4 0
d1 d2 d3 d4 s1 s2 s3 s4
1 -1 2 0 0 3 4 4 0 1 d1 d3 2 2 3 d d 4 1 4 1 1
d1 d2 d3 d4
0 3 4 4 0 1 2 2 3 4 1 1
证明 : 记 min ai* j min max aij max min aij max aij*
j j i i j i
min ai* j ai* j* , max aij* ai* j*
j i
故
aij* ai* j* , ai* j* ai* j
i 1, , m
j 1, , n
３.对策问题举例 ①下棋、打牌、体育比赛等。
② 齐王赛马：齐王与大将田忌赛马，各自的 马都分为三 等，但齐王的同等马均强于 田忌。孙膑给田忌出主意， 用下----上 ，上----中，中----下， 赢 B 石头 剪子 布 A 结果田忌胜出。 石头 0 1 -1 ③猜手:小孩A与B猜手, 剪子 -1 1 0 若规定赢 得1分， 布 0 1 -1 平得0分，输得 -1分， 则 A的赢得可用右表来 表示。
－甲的期望收益 －乙的期望损失
二、混合策略对策的解 １、定义：如果混合策略对策
x y
G*={S*,D*;E}满足：
E (x* , y* ) max E (x, y ) min E (x, y) 则称x , y 分别为局中人甲、乙的最优混合策略.
* *
(x* , y* )为对策G *的最优解。 VG * =E（x* ,y* )为对策G *的最优值。
4.对策的分类
动态：是连续时间的动态对策，因此从上一状态到
另一状态的转移用微分描述
对策 零和：得＋失＝０ 二人： 静态： 非零和：得＋失≠０ 零和
结盟：多人在一起交换策略
多人 不结盟：多人在一起交换策略 和
非零和
零和 非零
二.对策问题的组成（几个基本要素） 1.局中人：一局对策的参加者。
2.策略：局中人在一局对策中对付对手的一个行动方 案。策略全体称为策论集。
d1 d2 s1 s2 s3 s4 d1
1 -1 2 0 0 d1 d2 s s 4 3 1 s3 2 2 d d 1 2 2 s3 s2 0 4 s4 4
'
d1 s3 2 s3 s4
s4 0
s3 2） （
故鞍点为（s3,d1) 对策值为ＶＧ＊＝２
A
练习
先用优超原理简化矩阵，再求解。
A
2 2 5 6
3 4 5 6 1 3 4 0 9 1 0 3 8 3 6 4
11.3二人有限零和对策的混合策略对策模型
一、基本概念 例：已知对策Ｇ＝｛Ｓ，Ｄ；Ａ｝
A= 7
3
4
64*Biblioteka A'j对于A' min max aij max min aij 2, 即对策解是（s3 , d1）VG 2。 根据性质3，则X* (0,0,1,0), Y * (1,0,0,0),VG* 2
例７：求解矩阵
S1 A= S2 S3
y(1)= y(2)= y(3)= x(1)= x(2)= x(3)= VG*= 0 0.50000 0.50000 0 0.75000 0.25000 6.50000
aij* ai* j* ai* j 即( si* , d j* )是G的解
aij* ai* j* ai* j i 1, , m max aij* ai* j* min ai* j
i j
j 1, , n
min max aij max aij* ai* j* min ai* j max min aij
7 -2 5 3 -1 -6
VG 3 ( si* , d j* ) ( s2 , d 2 )
8
例３
3
8
7
只有一个鞍点
0 2 2 -3 5 4 3 2 3 4 -4 -2
min max aij 2
j i
max min aij 2
２、定理：设G*=(S*,D*;E)为混合对策，则
E ( x, y ) E ( x , y ) E ( x , y )
* * * *
例６： 求解下列对策
1 -1 A 2 0 0 3 4 4 0 1 2 2 3 4 1 1 0 3 4 4 0 1 2 2 3 4 1 1
对策论：把各式各样的冲突现象抽象成一种 数学模型，然后给出分析这些问题的方法 和解。
对策论－数学角度
博弈论－经济角度
２.对策论的历史
春秋战国时期－孙子兵法
殷代－围棋 19世纪－西方人把对策论应用于经济领 域
40年代中期－对策论作为一种数学理论 1944年，美籍匈牙利数学家－纽曼 （Neuman) 经济学家－曼格斯特 （Morgenstern) 《对策论及其在经济管理中的应用》
j i i j i j
但对于任意A, 有 max min aij min max aij
i j j i
只有ai* j* min max aij max min aij
j i i j
即( si* , d j* )是鞍点 证毕
例２ -2 4 8
2 3 -6
-2 8 2
i j
鞍点不存在, 即在纯策略意义下无解
5
4
2
例４
6 1 8 0
5 5 -1 4 2 -1 5 7 5 5 2 6 2 0 5 6
VG 5 ( si* , d j* ) ( s1 , d 2 ), ( s1 , d 4 ), ( s3 , d 2 ), ( s3 , d 4 ) 鞍点不唯一,但值唯一。
第11章 二人有限零和对策
第11章 二人有限零和对策
11.1基本概念
11.2二人有限零和对策
的纯策略对策模型
11.3二人有限零和对策
的混合策略对策模型
11.1 基本概念
一、对策现象与对策论
1. 对策和对策论
对策：就是竞争或斗争中的决策．
如：政治方面的阶级斗争，经济方面的劳资纠纷， 市场竞争，原料竞争，投标竞争，外贸谈判，军 备竞赛，各种体育比赛等．
d1 d2 10 -1 12 10 6 8
d3 3 -5 5
请你分析，理智情况下，甲、乙两 厂最可能出现什么策略，最大收益 是多少？
分析 :甲 : 当然想出s2
d1 d2 d 3 S1 10 -1 3 -1 乙:当然想出d3 A= S2 12 10 -5 -5 S3 6 8 5* 5* 12 10 5* 对甲而言，先想最坏，再想最好． 则s*=s3,V甲＝５=max min aij 对乙而言，先想最坏，再想最好． 则d*=d3,V乙＝５=min max aij (s3,d3)即为双方的最优策略，此时甲得5，乙失5。有 唯一最优策略。
甲选 max min aij si* j i 即理智局中人的选择 乙选 min max aij d j* j i
２、纯策略对策的解
(1) 对策G的解和值：使得aij* ai* j* ai* j 的(si* , d j* )称为 G的解，si* 与d j* 分别是 甲,乙的最优纯策略，ai* j* 称为G的值，记为VG 。
3
7
6*
易知，Ｇ在纯策略意义下无解。
记 xi p ( si ) 0 xi 1(i 1, 2) yi p (di ) 0 yi 1(i 1, 2)
x
i 1 2 i 1
2
i
1 1
y
i
d1 s1 7 s2 3 yj y1
d2 4 6 y2
xi x1 x2
E ( X , Y ) aij p ( si , d j )
i j
aij p ( si ) p (d j )
i j
aij xi y j
i j
当甲取s1时，最少收益为:min{7x1y1,4x1y2}
当乙取d1时，最大损失为:max{7x1y1,3x2y1}
甲选 max min E ( X , Y ) xi* j i 即理智局中人的选择 乙选 min max E(X,Y) y j* j i
则(x*,y*)－混合策略下的最优解
E(x*,y*)－混合策略下的最优值
二人有限零和对策的混合策略对策模型：
G*={S*,D*;E}
其中:S*={X=(x1,x2,…,xm)T ∑xi=1,xi≥0}
－甲的混合策略集
D*={y=(y1,y2,…,yn)T ∑yj=1,yj≥0}
－乙的混合策略集
E=E(X,Y)= ∑ ∑aijxiyj
M
故称G S ,D,A）为纯策略对策模型(矩阵对策) （
二、纯策略对策的解 1、纯策略分析
例１：今有甲、乙两厂生产同一种产品，它们 都想通过内部改革挖掘，获得更多得市场份额。 已知两厂分别都有三个策略措施。据预测，当 双方采取不同的策略措施后两厂的市场占有份 额变动情况如下所示。