运筹学--对策论

max min aij= min max aij = a33 = -2000
I j j i
该最优策略为（3， 3），即秋季购煤20 吨。
练习：“二指莫拉问题”，甲乙两人游戏，每人出一个或 两 个手指头，同时又把猜测对方所出的手指数叫出来，若只 有一个人猜测正确，则他所赢得数为二人所出手指之和，
当盟军获悉此情报后，盟军统帅麦克阿 梭命令太平洋战区空军司令肯尼将军组织空 中打击。 日本统帅山本五十六大将心里很明白：
在日本舰队穿过俾斯麦海的三天航行中，不 可能躲开盟军的空中打击，他要策划的是尽 可能减少损失。
日美双方的指挥官及参谋人员都进行了 冷静的思考与全面的谋划。
自然条件对于双方 都是已知的。基本情况如下： 从蜡包尔出发开往莱城的海上航线有南北两条。通过时 间均为3天。
定理14-1：矩阵对策
G = S1，S2；A
在纯策略意义下有解的充分必要条 件是： 存在一个局势（ *i*， *j *），使 得对一切 i=1，2，… m， j=1， 2…n 均有
aij*<=ai*j*<= ai*j
定理14-1表明矩阵对策
G = S1，S2；A
有解的充分必要条件是在A中存在元
同样，局中人II有n个策略：1、 2。。。 n ；用S2表示这些策略的集合：
S2= 1、 2… n 局中人I的赢得矩阵是：
a11
a21
a12 …… a1n
a22 …… a2n
A= …… …… ……
a m1 a m2 … a mn
局中人II的赢得矩阵是 -A 把一个对策记为G： G= S1，S2；A
气象预报表明：未来3天中，北线阴雨，能见度差； 而南线天气晴好，能见度好。 肯尼将军的轰炸机布置在南线的机场，侦察机全天 候进行侦察，但有一定的搜索半径。 日军 盟军 北线 南线 北线 2天 1天 南线 2天 3天
（阴，能见度差） （晴，能见度好）
经测算，双方均可得到如下估计：
局势1： 盟军的侦察机重点搜索北线，日本舰队也恰好走 北线。由于气候恶劣，能见度差，盟军只能实施两天的 轰炸。 局势2：盟军的侦察机重点搜索北线，日本舰队走南线。 由于发现晚，尽管盟军的轰炸机群在南线，但有效轰炸 也只有两天。 日军 盟军 北线 南线 北线 2天 1天 南线 2天 3天
证明：必要性：因为纯策略是混合策略的特例，故成立
充分性：当局中人取纯策略 i 时，
E ( i , y ) E ( i , y ) ( 0 , ,1, 0 , 0 )( a ij )( y1 , , y n )
否则，重新开始。写出该对策各局中人的策略集合及甲的
赢得矩阵，并回答局中人是否存在某种出法比其他出法更 为有利。
解：( i , j ) 表示自己出 i 个手指，猜测对方出 j 个手指。
乙的策略 甲的赢得 甲的策略
（1，1） （1，2） （2，1） （2，2） （1，1） （1，2） （2，1） （2，2）
北线 1 南线2 （盟军）北线 1 南线2 2 1 2 3 =A
在矩阵中，盟军的最大赢得是3，而要得到3， 必须选择策略 2，而日军的目的是使盟军的赢得尽 量的小，必须选择策略1 ，使盟军的赢得只有1。 在局中人I设法使自己的赢得尽可能大的同时， 局中人II也设法使局中人I的赢得尽可能小。 日军 盟军 北线1 南线2 北线1 2天 1天 南线2 2天 3天
max min aij= min max aij
i j j i
上式蕴涵的思想是朴素自然的，可以概 括为：“从最坏处着想，去争取最好的 结果”
定义14-1：对给定的矩阵对策
G =
i j
S1，S2；A
j i
若等式
max min aij= min max aij 成立，则称这个公共值为对策G的值， 记为VG，而达到的局势（ i， j ） 称为对策G在纯策略意义下的解，记 为（ I*， j *）而I*和 j *分别称 为局中人I和局中人II的最优纯策略。
2 0 0 -3
-3 0 0 4
0 3 -4 0
0 2 赢得矩阵为 A 3 0
2 0 0 3
3 0 0 4
0 3 4 0
14.2
矩阵对策的混合策略
G = Ⅰ，Ⅱ；S1,S2;A
定义:对给定的矩阵对策
其中 S1= 1, 2…m S2= 1 , 2… n A=(aij)mn 把纯策略集合对应的概率向量 X=(x1, x2 … xm) 其中 xi 0 xi=1 和 Y=(y1 , y2 … yn ) 其中 yj 0 yj=1
第十四章 对策论
对策论概论
对策论（The Game Theory)也称竞赛论或博
弈论，是研究具有竞争、对抗、利益分配等方面
的数量化方法，并提供寻求最优策略的途径。
20世纪40年代形成并发展。1944年以来，对策
论在投资分析、价格制定、费用分摊、财政转移 支付、投标与拍卖、对抗与追踪、国际冲突、双 边贸易谈判、劳资关系以及动物行为进化等领域 得到广泛应用。
练习：“二指莫拉问 题”，甲乙两人游戏， 每人出一个或两个手 指头，同时又把猜测 对方所出的手指数叫 出来，若只有一个人 猜测正确，则他所赢 得数为二人所出手指 之和，否则，重新开 始。写出该对策各局 中人的策略集合及甲 的赢得矩阵，并回答 局中人是否存在某种 出法比其他出法更为 有利。
0 -2 3 0
日军 盟军 北线 南线
北线 2天 1天
南线 2天 3天
（阴，能见度差） （晴，能见度好）
这场海空遭遇与对抗一定会发生， 双方的统帅如何决策呢？历史的实际 情况是：局势1成为现实。肯尼将军命 令盟军的侦察机重点搜索北线；而山 本五十六大将命令日本舰队取道北线 航行。由于气候恶劣，能见度差，盟 军飞机在一天后发现了日本舰队，基 地在南线的盟军轰炸机群远程航行， 实施了两天的有效轰炸，重创了日本 舰队，但未能全歼。
鞍点是z=f(x,0)
的极小值点
例14-3：对给定的矩阵对策 G = S1,S2;A
S1= 1,2 ,3 , 4
S2= 1 , 2 , 3 ,4
min
6 A= 1 8 0 max 8
Fra Baidu bibliotek
5 4 5 2 5*
6 2 7 6 7
5 -1 5 2 5*
5* -1 5* 0
max
max
min
显然 ai2 a12 a1j
min
ai2 a32 a3j
对 i=1,2,3,4 j=1,2,3,4 都成立： a12 = a32 =5由定理5-1，对策 值=5，对策的解( 1 , 2 ）,（ 3 , 2 ）,（ 1 , 4 ）,（ 3 , 4 ）
例14-4：某单位采购员在秋天时要决定
冬天取暖用煤的采购量。已知在正常气 温条件下需要用煤15吨，在较暖和较冷 气温条件下需要用煤10吨和20吨。假定 冬季的煤价随着天气寒冷的程度而变化， 在较暖、正常、较冷气温条件下每吨煤 价为100元、150元、200元。又秋季每吨 煤价为100元。在没有关于当年冬季气温 情况下，秋季应购多少吨煤，能使总支 出最少？
定义14-4:设G*= S1*,S2*;E 是对策G 混合扩充，如果有 max min E(X,Y)= min max E(X,Y)
X S1* Y S2* Y S2* X S1*
则称这个公共值为对策G在混合意义 下的值，记为V*G，而达到V*G 的混 合局势（X*，Y*）称为对策G在混合 策略意义下的解，而X*和Y*分别称 为局中人I，II的最优混合策略。
素 ai*j*是其所在行中最小的同时又 是其所在列中最大的。这时ai*j*即 是对策值，因此ai*j*也称为“鞍 点”，而（ *i*， *j *），为对策 的解。
Z
鞍点
Y
X
马鞍面z=f(x,y)
Z
Y
在X=0的平面上
z=f(0,y)
鞍点是z=f(0,y)
的极大值点
Z
z=f(x,0)
X
在Y=0的平面上
定义14-3:对给定的矩阵对策
G = S1,S2;A
则对策G*= S1*,S2*;E
称为对策G混合扩充。
纯策略是混合策略的一个特例。例如：局中人Ⅰ的纯策 略 k 等价于混合策略
x ( x1 , x 2 , , x m ) S 1 ,
T *
其中，
1, i k xi 0, i k
解： 局中人I（采购员）有三个策略：
策略1: 10吨,策略2: 15吨,策略3 :20吨。
局中人II（环境）： 策略1 较暖 ,策略2 正常，策略3较冷 现把该单位冬天取暖用煤全部费 用（秋季购煤费用与冬天不够时再补购 煤费用）作为采购员的赢得矩阵。
1较暖
1(10) -1000
2正常
对策的三要素：
局中人：有权决定自己行为方案的对 局参加者称为局中人。案例中，美日 双方的决策者为局中人。当对局中局 中人只有两人时，称为二人对策。
策略：对局中一个实际可行的方案称 为一个策略。案例中，美日双方各有 二个策略。
赢得矩阵（支付）：当每个局中人 在确定了所采取的策略后，他们就 会获得相应的收益或损失，此收益 或损失的值称为赢得（支付）。赢 得与策略之间的对应关系称为赢得 （支付）函数。 案例中，肯尼将军与山本五十六大 将的赢得（支付）函数都可以用矩 阵A、B表示。
定理14-2：矩阵对策 G = S1，S2；A
在混合策略意义下有解的充分必要条件是： 存在混合局势（ X*，Y*），使得对一切 X S1* Y S2*均有
E（X，Y*） E（X*，Y*） E（X*，Y）
定理14-3：对给定的矩阵对策 G = S1，S2；A 设X* S1* Y* S2*则混合局势（ X*，Y*）是G的解且 V=VG*的充分必要条件是： 对一切 i,j均有 E（ i， Y*） V E（X*， j ）
（日军）
北线 南线
（盟军）北线
南线
2
1
2
3
=A
（盟军）
北线 南线
（日军）北线
南线
-2
-1
-2
-3
=B
在本例中的每一个对局，双方的 赢得的代数之和为零，这样的对 策称为“有限零和二人对策” 设两个局中人为I，II，局中人I有 m 个策略：1、 2… m ；用S1表 示这些策略的集合： S1= 1、 2…… m
14-1矩阵对策的基本概念
案例：俾斯麦海的海空对抗 1943年2月，第二次世界大战中的日本， 在太平洋战区已经处于劣势。为扭转局势，
日本统帅山本五十六大将统率下的一支舰队
策划了一次军事行动：由集结地——南太平 洋的新不列颠群岛的蜡包尔出发，穿过俾斯 麦海，开往新几内亚的莱城，支援困守在那 里的日军。
（阴，能见度差） （晴，能见度好）
局势3：盟军的侦察机重点搜索南线，而日本舰队走北 线。由于发现晚、盟军的轰炸机群在南线，以及北线气 候恶劣，故有效轰炸只有一天。
局势4：盟军的侦察机重点搜索南线，日本舰队也恰好 走南线。此时日本舰队迅速被发现，盟军的轰炸机群所 需航程很短，加上天气晴好，有效轰炸时间三天。
3较冷
-1750 -3000
2 (15)
3 (20)
-1500
-2000
-1500 -2500
-2000 -2000
已知在正常气温条件下需要 用煤15吨，在较暖和较冷气 温条件下需要用煤10吨和20 吨。在较暖、正常、较冷气 温条件下每吨煤价为100元、 150元、200元。又秋季每吨 煤价为100元。
（阴，能见度差） （晴，能见度好）
所以局中人I应首先考虑用 所能赢 得的最小，然后在这些最小赢得中 选择最大。局中人I可以保证赢得
max min aij
i j
同样，局中人II可以保证局中人I的 赢得不超过 min max aij
j i
案例中局中人I（盟军）应当选择 （北线）策略1，这样能保证赢得2。局 中人II（日军）应当选择（北线）策略1 使盟军赢得不超过2。实际上，在（ 1， 1）局势下，有
分别称为局中人I和局中人II的混合策略。
如果局中人I选取的策略为
X=(x1, x2 … xm)
局中人II选取的策略为
Y=(y1 , y2 … yn )，则期望值 E（X，Y）= xi aij yj=XAYT 称为局中人I期望赢得，而局势（X，Y） 称为“混合局势”，局中人I，II的混合 策略集合记为S1*， S2*。