单元五互质与同余

同餘
2010年9月
日 5 12 19 26 一 6 13 20 27 二 7 14 21 28 三 1 8 15 22 29 四 2 9 16 23 30 五 3 10 17 24 六 4 11 18 25
• 甲數和乙數分別除以丙數所得之餘數相同， 稱甲數和乙數對丙數為同餘，丙數稱為模 • 同餘的兩數之差必為模的倍數 • 月曆中，位於同星期序日(例如星期二)的日 期對7為同餘，因為一週有7天。想要知道 100天後是星期幾，就是以7為模來看。 • 想要知道15年後的生肖年，便以12為模來 看 • 而天干地支便是以60為模來看
密碼
• 國際書碼（ISBN），共有10個數字(2007年起為 了與歐洲的書品條碼13個數字一致，遂於原10個 數前加"978"三個代表圖書業的前置碼)，前9個數
字有其特定涵義，最後一個為檢查碼。此檢查碼
是將前9個碼依序乘以1、2、3、…、9，再把所 得的新的9個數字相加，再以11為模計算餘數而 得。例如：網路小說家痞子蔡的「孔雀森林」這 本書的ISBN為9867440536
然後把它放在天平上，計時器就會停止
幾個類似問題
• 以5兩重及7兩重的砝碼，能否在天平上秤 得6兩重的物品？ • 有一個的杯子，裝滿是8 C.C.，現倒滿了酒， 利用另兩個較小的空杯，容量分別是5 C.C. 及3 C.C.，可以將8 C.C.的酒平分嗎？ • 利用一個7分鐘和一個4分鐘的沙漏能否測 得6分鐘？9分鐘呢？ 關鍵在於3和5、5和7及4和7，這三組數字 共同的規則
現代的網路家族GIMPS
• 一個利用電腦科技發掘形如 2n 1 的質數的 網路家族 • GIMPS的M，是Mersenne(梅森)的縮寫， n 一位十七世紀時的法國神父，形如 2 1 的 數被稱為梅森數 • 2006年的九月，該組織公布了最新的質數
2
32 , 582 , 657
1
互質
• 兩個數除了1以外，若沒有其他相同的因數， 這樣的關係稱為互質 • 兩個質數一定是互質的 • 互質的兩數一定可以找到另外兩數，分別 與其相乘後再相減（大的減小的），而結 果是1 ，例如： 3與5互質， 3×7－5×4＝1， 5×2－3×3＝1 • 所以終極警探可以量得4公升的水
因為基本上給一個很大的合數，要找出其
因數還是很困難的，只要提高m的位數，
• 現代有名的RSA加密法 1977年三位美國人，設計了一套稱為RSA （取他們的姓的第一個字母而得）的編碼 方式 第一步：產生兩個很大的質數p,q 第二步：計算m＝p×q，n＝m－(p＋q)＋1 第三步：選一個小於n且與互質的數a 第四步：找一個數k，使得k×a被n除餘1
同年的8月，有個研究小組用一個
• 類似這樣的想法，在西方被運用來將所要 傳遞的訊息加密，推廣成所謂的密碼學。 • 古老的密碼 羅馬帝國的凱撒密碼： 每個字母被其之後的第三個字母所替代 例如： 「Ｉ LOVE YOU」變為「L ORYH BRX」 也就是：以0至25代表英文字母A至Z，加 密的方式是將之加3後以26為模 中國周朝兵書《六韜‧龍韜》
129位數的m和一個4位數的a，將
一個代表某訊息的128位數編碼得 X ，並在美國的一份科學類的雜誌
上刊登，懸賞獎金給第一位破解密
碼的人。
17年後，1994年的4月，X被解出來了，但 不是由一個人獨力完成，是由一批分散在 20多個國家，六百多位對找因數有興趣的
人，透過網際網路合作破解的。
不過，這套編碼系統仍是現今最安全的，
難以想像的事
• 在電腦發明之前一百年，一位八十二歲的數學家 得到下列結果：
2 1 1844674407 3709551617
64
274177 6728042131 0721
• 1903年，一位美國數學家，在一場演講中不發一 語，只寫下以下的結果，就獲得所有聽眾起立鼓 掌喝采。
267 1 4757395258 9676412927 193707721 7618382572 87
• 一個數被11除，餘數有可能是10，此時的檢查碼 便以英文字母X來代替，以維持10個數碼 • 為何不以10為模呢？這樣不是可以把餘數都保持 為0到9嗎？就可以避免當檢查碼是10時，需以X 來代替的麻煩了。
答案：不行
關鍵在11為質數，而10的因數有2和5 。 所以第2或5個碼數若抄錯，便無法判斷正確的國 際書碼了，例如將上述的ISBN的第5個數字4改為 6，此時的正確與錯誤的檢查碼皆為2，因為182 和192對10同餘，但對11不同餘(6和5)。
質數與合數
• 一個數字如果只能寫成1和本身相乘，若要將它排 成長方形，則只能排成一列，例如：2、3、5、7 或11。這樣的數字，在數學上稱為質數。 • 若一個數字可以排成2列以上的長方形，這樣的數 字稱為合數，例如：4、6、8或15。 • 一個合數至少可以排成兩個的長方形（含一個一 列的），這些長方形中，分別代表長與寬的數字， 稱為這個合數的因數，因數若同時是質數，就稱 為質因數，例如15的質因數為3和5。
餘數
• 韓信點兵
劉邦想捉拿韓信，但不知他的兵力究竟如 何？便問韓信有多少兵卒？韓信答： 「啟奏陛下，兵不知其數，三三數之賸二， 五五數之賸三，七七數之賸二」。 陳平絞盡腦汁無法算出，連張良也說「兵 數無法算，不可數」。
• 鬼谷神算 今有物不知其數，三三數之賸二，五五數 之賸三，七七數之賸二，問物幾何？ • 最早出現於《孫子算經》中，後來被西方 數學家稱為「中國剩餘定理 」 • 「三三數之賸二」，用現代的話來說，就 是被3除餘2，也就是此數的因數沒有3，或 說此數不是3的倍數。 • 一個數若被不是它的因數來除，一定會產 生所謂的餘數
單元五 互質與同餘
電影終極警探第三集裡，有一段這樣的劇
情：歹徒設置了定時炸彈，不讓它引爆的
来自百度文库
方法是以4公升的水壓著，但主角警察與
他的臨時搭檔手邊只有兩個沒有刻度的容
器，一個裝滿水是5公升，另一個是3公升，
請問他們可以不讓炸彈引爆嗎？
噴泉那兒應該有兩個桶子，你看見它們了嗎？
一個5加侖，一個3加侖
將其中一個桶子精確注入4加侖的水