2020高考数学第三次联考试卷

合集下载

2020届陕西省高三第三次联考数学(理)试卷及解析

2020届陕西省高三第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,集合(){}ln 1A x y x ==-,{B y y ==,则()U A B =（）A. ()1,2B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A【解析】首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合A 、B ,再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】{{}2B y y y y ====≥, {}2U B y y =<,(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>, ()()1,2U A B ⋂=．故选：A ．2.已知复数51i z i +=-（i 为虚数单位）,则在复平面内z 所对应的点在（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】根据复数的除法运算,求得复数23z i =+,再结合复数的几何意义,即可求解. 【详解】由题意,根据复数除法运算,可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i i z i i i i ++++====+--+, 则在复平面内z 所对应的点为()2,3,在第一象限.故选：A .3.已知向量()2,1a =-,()6,b x =,且//a b ,则a b -=（）A. 5B. 25C. 5D. 4【答案】B【解析】利用向量平行的条件列方程,解方程求得x 的值,求得a b -的坐标后,求得a b -.【详解】由题得260x +=.3x ∴=-,()4,2a b ∴-=-,()224225a b ∴-=-+=.故选：B4.已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+,且16a =,则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A. 128B. 127C. 64D. 63【答案】C【解析】结合二项式展开式的通项公式以及1a ,求得n 的值,利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】由题意,二项式()1n x +展开式的通项为1r n r r n T C x -+=,令1=-r n ,可得1n n n T C x -=,即16n n C -=.解得6n =.令1x =,则6012264n a a a a +++⋅⋅⋅+==.故选:C5.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕,在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文,收到的稿件经分类统计,得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份,则高三年级的交稿数为（）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400 【答案】D。

山东省2020年高三3月全省第3次联合考试数学试题(附答案+全解全析)

山东省2020年高三3月全省第3次联合考试数学（满分：150分考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =I A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-2．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x =B ．1y =C ．0x =D ．0y =3．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cmB ．172.75cmC ．173.75cmD ．175cm4．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a bA B ． C ．D 5．函数52sin ()([,0)(0,])33xxx xf x x -+=∈-ππ-U 的大致图象为6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足1[]22(1)n n a n -=-，则数列{}n a 的前60项的和为A ．1830B ．1830-C ．3660D ．3660-7．长方体ABCD A'B'C'D'-中，,AB a AD b ==，AA'a b =+，则三个角,,AA'B BA'D DA'A ∠∠∠的和为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为A ．1B ．2CD 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 是实数，则下列结论正确的是 A ．“22a b >”是“a b >”的充分条件 B ．“22a b >”是“a b >”的必要条件C ．“22ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“||||a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件10．若函数21()ln ||+1f x x x =-，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在定义域上是单调增函数C ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．不等式(1)(2)f x f x ->的解集为1(1,0)(0,)3-U11．将函数2()cos f x x x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．则下列说法正确的是A ．函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称B ．函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点C．函数()g x 在区间ππ[,]24--D ．函数()g x 在区间π(0,)12上单调递增12．在如图所示的平面多边形中，四边形ABCD 4个三角形均为正三角形．若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则AB ．此四棱锥的外接球的表面积为3πC ．此四棱锥的外接球的体积为43πD ．此四棱锥的高为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为___________.14．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为___________. 15．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．16．某中学某天有6节课，其中上午4节，下午2节，若要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理这6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同的排法种数是_________，数学排第一节课的概率是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足112(2)n n n n a a n a a +-+=≥，且12a a ≠，315a =，125,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和为n S ，+1n n n nb a a S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若cos ABD ∠BD ，BC ；（2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠. 19．（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ；（2）求二面角C MN D --的余弦值. 20．（本小题满分12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望()E X .附参考公式及临界值表：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积. 22．（本小题满分12分）已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<；（2）讨论()f x 的单调性.答案与全解全析（满分：150分考试时间：120分钟）1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．C 【解析】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =，则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．4．B 【解析】2222112(1)33111y t t t t =-+=++-≥=-++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时取等号，y 取得最小值为1-.此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则cos ,||||⋅===⋅a b a b a b 故选B ． 5．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ，又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．6．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．7．D 【解析】如图，连接BD ，因为,AB a AD b==，AA'a b =+，所以222()A'B a a b =++，222()A'D b a b =++，222BD a b =+，结合余弦定理得222222222cos 2A'B A'D BD BA'D A'B A'D +-∠===⋅=cos cos BA'A DA'A ∠⋅∠．又因为tan tan 1a b BA'A DA'A a b a b∠+∠=+==++sin sin cos cos BA'A DA'ABA'A DA'A∠∠+∠∠，所以sin()cos cos cos BA'A DA'A BA'A DA'A BA'D ∠+∠=∠⋅∠=∠，所以BA'D ∠+90DA'A BA'A ∠+∠=︒，故选D ．8．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +故选C ．9．CD 【解析】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．10．AD 【解析】首先，函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，因为21()ln ||()()1f x x f x x -=--=-+，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；当0x >时，21()ln +1f x x x =-，由复合函数的单调性可知，函数()f x 单调递增，由偶函数的图象关于y 轴对称，可知当0x <时，函数()f x 单调递减，故B 错误，C错误；由函数()f x 是偶函数及其单调性，得(1)(2)f x f x ->等价于|1||2|x x ->，即22(1)(2)x x ->，结合定义域解得110,03x x -<<<<或，故D 正确．故选AD ．11．BCD 【解析】21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数π())6g x x +的图象．对于选项A ，π4ππ())336g =+=()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，A 错误；对于选项B ，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点，B 正确；对于选项C ，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤所以函数()g x 的最大值为，最小值为，C 正确；对于选项D ，由242262k x k k πππ-+π≤+≤+π,∈Z ，解得,62122k k x k ππππ-+≤≤+∈Z ，取0k =，得612x ππ-≤≤，故函数()g x 在π(0,)12上单调递增，D 正确．故选BCD ．12．CD 【解析】如图所示，连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD ．设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上．连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==．因为正方形ABCD1CH =，SC 1SH =，所以,H O 重合，即四棱锥的高1SH =，四棱锥的外接球的半径1R =，直径为2，所以四棱锥的外接球的表面积24π4πS R ==，体积34433V R =π=π．故选CD ．13．11- 【解析】35(2)()x y x y +-的展开式中含35x y 的项为303232223233535C (2)C ()C (2)C ()x y x y x y x y -+-+1244030505353535C (2)C ()C (2)C ()11x y x y x y x y x y -+-=-，所以35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为11-． 14．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 22θ≤≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2． 15．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+，令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 16．408，517【解析】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可任意排在其余5节课，故有55A种排法；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理中的任何一门，有14C 种排法，数学应该排在上午第二节、第三节或第四节，有13C 种排法，余下的四门课程可任意排列，有44A 种排法，故上午第一节课不排数学共有114434C C A ⋅⋅种排法，综上，有51145434A 4C C A 08⋅+=⋅种不同的排法．数学排第一节课的概率55A 540817P ==．故答案为408，517．17．（本小题满分10分）【解析】（1）因为112(2)n n n n a an a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n n a a a +-+=，所以数列1{}n a 是等差数列，设数列1{}na 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠，（2分）因为125,,a a a 成等比数列，所以2152a a a =，所以2152111a a a ⋅=，所以2333111(2)(2)()d d d a a a -+=-，因为315a =，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-，（4分）解得0d =（舍去）或2d =，所以311(3)21n n d n a a =+-=-，所以121n a n =-．（5分）（2）由（1）知121n a n =-，2(121)2n n n S n +-==，所以2+1111111()(21)(21)44(21)(21)482121n n n n n b a a S n n n n n n ===+=+--+-+-+，所以21111111111(1)(1)483352121482142n n nT n n n n n n +=+⨯-+-++-=+⨯-=-+++L ．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠，所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得222222cos 3423425BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-，所以BC =.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-，在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠∠，即45πsin sin()6BD x x =-，所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分）由sin 0x >得sin x =sin CBD ∠=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ，因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,BC CN ==，得BN =2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分）在直角梯形ABMN 中,可得MN =由4BM =，BN MN ==222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥，因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩，取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||3θ⋅===n m n m ，由图可知二面角C MN D --的余弦值为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）补充完整的22⨯列联表如下：（3分）则2K 的观测值22()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯．因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（6分）（2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.（7分）根据题意得2~(3,)5X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.（10分）所以X 的分布列为（11分）所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l l π2sin 3c =1c =，（2分）由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分）因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=，所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分）综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分）设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分）因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立，所以1()g x x<.（6分）（2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---，当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=，即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数，综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分）。

2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学(理)试卷及解析

2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20M x x x =+>,(){}ln 10N x x =->,则（）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D. ()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】解出集合M 、N ,利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误.【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞,(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以,M N ⊇,()2,M N =+∞,()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.2. 已知复数2(2)z i =+,则z 的虚部为（） A. 3 B. 3iC. 4D. 4i【答案】C 【解析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解；【详解】解：2(2)34z i i =+=+,所以z 的虚部为4. 故选：C .3. 以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.国内1583 55.8％94 3.8％290 19.9％1967 29.0％出国（境）699 24.6％137 5.5％199 13.7％1035 15.3％就业490 17.3％2224 89.2％943 64.8％3657 53.9％签三方就154 5.4％1656 66.4％864 59.4％2674 39.4％业灵活就业336 11.8％568 22.8％79 5.4％983 14.5％未就业64 2.3％39 1.6％23 1.6％126 1.9％合计2836 100.0％2494 100.0％1455 100.0％6785 100.0％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（）.A. 清华大学2019年毕业生中,大多数本科生选择继续深造,大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中,硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中,本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业毕业生中,留北京人数超过一半【答案】D【解析】选项A在表中找出本科生选择继续深造达80.4％,硕士生选择就业达89.2％,则判断选项A正确；选项B在表中找出硕士生的就业率达89.2％,本科生的就业率达17.3％,则判断选项B正确；。

河北省衡水中学2020届高三下学期全国第三次联考数学(理)试题 Word版含解析

河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试（Ⅰ）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则（）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D.()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】【分析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（） A. 3 B. 3i C. 4D. 4i【答案】C 【解析】【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解；【详解】解：2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C .【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题. 3. 以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.本科生硕士生博士生总体毕业去向人数比例人数比例人数比例人数比例深造2282 80.4％231 9.3％489 33.6％3002 44.2％国内1583 55.8％94 3.8％290 19.9％1967 29.0％出国（境）699 24.6％137 5.5％199 13.7％1035 15.3％就业490 17.3％2224 89.2％943 64.8％3657 53.9％签三方就业154 5.4％1656 66.4％864 59.4％2674 39.4％灵活就业336 11.8％568 22.8％79 5.4％983 14.5％未就业64 2.3％39 1.6％23 1.6％126 1.9％合计2836 100.0％2494 100.0％1455 100.0％6785 100.0％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（）.A. 清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业毕业生中，留北京人数超过一半【答案】D【解析】【分析】选项A 在表中找出本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，则判断选项A 正确；选项B 在表中找出硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，则判断选项B 正确；选项C 在表中分析出本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，则判断选项C 正确；选项D 在表中分析出留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，判断选项D 错误即可.【详解】选项A ：清华大学2019年毕业生中，本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，故选项A 正确；选项B ：清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，故选项B 正确；选项C ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，故选项C 正确；选项D ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，故选项D 错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计表与分布图，是基础题.4. 若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值为（）A. 4B.C. 9D.【答案】C 【解析】【分析】由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解.【详解】由题意知圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=.又因为0,0a b >>，所以212122(2)59b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时，即13a b ==时取等号，此时，min219a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题.5. 要使得满足约束条件42y x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（） A. 4x y +≤ B. 4x y +C. 6x y +D. 6x y +【答案】C 【解析】【分析】设新增加的约束条件为x y c +，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可；【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故2222d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C .【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题.6. 若{}n a 是公比为(0)q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（）A. 若{}n a 是递增数列，则10,0a q <<B. 若{}n a 是递减数列，则10,01a q ><< C 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列【答案】D 【解析】【分析】选项A ，B ，C 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项A ，B ，C 都是错误的，选项D 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确. 【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误； B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误； C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，111(0)n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题.7. 为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（） A. 向左平移6π个单位长度B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移56π个单位长度 D. 向右平移56π个单位长度【答案】D 【解析】【分析】先将函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭用诱导公式变形为5()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案. 【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数()sin g x x =的图象，向右56π个单位长度即可. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“x ”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”.8. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫=⎪⎝⎭大小关系为（） A. a b c << B. b c a <<C. b a c <<D. c b a <<【答案】B 【解析】【分析】根据题意当0x 时2()1cos 203f x x '=->，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tantan 154ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π<，由函数的单调性可得出答案.【详解】由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f =又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tantan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<，由()f x 在定义域上单调递增，则3222tan cos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以b c a <<. 故选：B .【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题9. 如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（）A.12B.23C.34D. 1【答案】B 【解析】【分析】以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23，得出点,,A C J 的坐标，由向量的运算可求得,m n 的值，可得答案.【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为3()()222333-=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，则2323OA =⨯=,233OJ =所以())230,23,1，，A J C⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()0,2OA =,()3,1OC =,23OJ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭)23233,13,33n OA mOC nOJ mn m m ⎛⎫⎫=+=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以23302nm m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩所以23 mn=故选：B.【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.10. 区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A，B，C，D四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】先求出A，B，C，D四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数.【详解】如图，A，B，C，D四点最可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有36416C-=(个).故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11. 地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（）A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论.【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率222210c a b b e a a a -⎛⎫===-≈ ⎪⎝⎭，命题②错误；根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A.【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.12. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（）A.13B.24C.23D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连EO 接，可得EO ⊥平面11A B F ，然后，分别求出EO 与11A B F S △ 即可求出M 的体积1113A B F V EO S =⋅⋅△ 【详解】如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 1112112A B F S =⨯⨯=△，可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为1111111333A B F V EO S =⋅⋅=⨯⨯=△故选：A【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题.二、填空题：13. 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答)【答案】60 【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项6216(2)rr rr T C x -+=-，再令622r -=即得解.【详解】由题得()6162166(2)(2)r r rr r r rr T C x x C x ---+=⋅-⋅=-.令622r -=，解得2r，所以2x 的系数为226(2)60C ⋅-=.故答案为：60【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14. 记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =⋅=，则n S =_________. 【答案】23122n n - 【解析】【分析】设等差数列的公差为d ，根据已知求出3d =，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为d ，由题得173474772a a a a S a +⋅==⨯=，所以37,a =所以1+27,3d d =∴=.所以2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-. 故答案为：23122n n -.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 若抛物线()220y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=则p 的值为_________.【答案】2 【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值.【详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线的方程可化为222212y x p p -=，所以223c p =，所以其一个焦点化为()1F ，所以1FF p ===2p =.故答案为：2.【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 16. 已知函数()()21xf x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为______. 【答案】3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】把()0f x <转化为()12xx k x e ++<，设1()x x g x e +=，()()2h x k x =+，则若()0f x <的解集中恰有三个整数解等价于()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，利用数形结合找到满足题意的不等式，解不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】解：()0f x <等价于()210xkx k e x +--<，即()12xx k x e ++<，设1()x x g x e+=，()()2h x k x =+，则上面不等式转化为()()h x g x <，直线()()2h x k x =+横过定点()2,0-，要使()0f x <的解集中恰有三个整数，只需()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解. 因为()()2(1)1x xx x e x e g x e e -+⋅-'==,所以(),0x ∈-∞时，0g x ，()g x 单调递增；()0,x ∈+∞时，0g x ，()g x 单调递减；所以1x =时，()()max 01g x g ==，且()10g -=，x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →，根据根据上述画出()g x 的图像图下图所示：当0k ≤时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图中可以看出，[)1,x ∈-+∞时，()g x 的图像横在()h x 的图像上方，所以()()h x g x <所以的x 的取值范围中，整数解有无穷多个，不符合题意；当0k >时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图像可得：要使()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，只需满足：()()()()22{33g h g h >≤，所以233445k e ke ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：324354k e e ≤<. 综上，324354k e e ≤<. 故答案为：3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查不等式的解的问题，考查数形结合，利用导数求函数单调性和最值，属于难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=. （1）求BC的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠. 【答案】（1）12BC =（2）sin 5ACE ∠= 【解析】【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到B C =，根据等腰三角形的性质，得2BAC BAD ∠=∠，利用二倍角公式求出BAD ∠的正弦、余弦，进而求出BAD ∠的正切值，即可出BC 的长(2)利用43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠= ⎪⎝⎭，求出AC AB ===【详解】解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C = 即sin()0B C -=. 因为,22B C ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以.B C =因为ABC 为锐角三角形，且4sin 5BAC ∠=，所以3cos 5BAC ∠=. 又因为根据等腰三角形的性质，可得，2BAC BAD ∠=∠，所以232cos 15BAD ∠-=则25cos 5BAD ∠=所以51sin ,tan 2BAD BAD ∠=∠= 所以6BD =，所以12BC = （2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠=⎪⎝⎭2265AC AB AD BD ==+=在ACE △，因为222cos 2AE AC CE CAE AE AC+-∠=⋅所以9CE =. 由sin sin CE AECAE ACE=∠∠得5sin 5ACE ∠=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18. 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，E 为棱AC 上的一点，且BE ⊥平面ACD .（1）证明：BC CD ⊥；（2）设1BC CD ==.BC 与平面ACD 所成的角为45︒.求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）60︒. 【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到CD ⊥平面.ABE ，进而可得BC CD ⊥；（2）先由题意，得到45BCE BCA ︒∠=∠=，求得1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，求出两平面ACD 和ABD 的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：因为BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，所以BE CD ⊥.因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥. 因为ABBE B =，所以CD ⊥平面.ABE因为BC ⊂平面ABE ，所以BC CD ⊥.（2）解：因为BE ⊥平面ACD ，BCE ∠即为BC 与平面ACD 所成的角，所以45BCE BCA ︒∠=∠=，所以1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)C D B A(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)CD CA BD BA ===-=设平面ACD的一个法向量为()111,,n x y z=，平面ABD的一个法向量为()222,,m x y z=则CD nCA n⎧⋅=⎨⋅=⎩，BD mBA m⎧⋅=⎨⋅=⎩即111xy z=⎧⎨+=⎩，222x yz-=⎧⎨=⎩，令121,1y x==可得(0,1,1),(1,1,0)n m=-=所以1cos,2n mn mn m⋅<>==由图知，二面角B AD C--的平面角为锐角，所以二面角B AD C--的大小为60︒.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19. 2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞【解析】【分析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据~(4,0.2)X B ，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞. 【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+⨯=，设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B 故44()0.20.8,0,1,2,3,4kkkP X k C k -===3314(3)0.20.80.0256P X C ===， 4404(4)0.20.80.0016P X C ==⋅=，(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元，则()1460000.24800E Y =⨯⨯=若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元，则()25000410000.24200E Y =-⨯⨯=(元) 则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】【分析】（1）易知c =设2PF x =，17PF x =，根据勾股定理计算得到2a =，得到椭圆方程.（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据0∆=得到,m n 和k 的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由12F F =c =，设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =，所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边所在直线方程为y kx m =-，另一边所在的直线方程为1y xn k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--，联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k∆=--+=，整理得2241km +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k+=，矩形的另一边长为2d =， 122|4|1mnk S d d k =⋅==+44==44==因为0k ≠，所以20k >，所以2212k k+≥(当且仅当21k =时等号成立)，所以22990,142k k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21. 已知函数()2,()ln x f x e x g x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点.（1）比较1x 与2x 的大小；（2）证明：()()210f x g x +<.【答案】（1）12x x <，见解析（2）见解析【解析】【分析】方法一：利用()20=+-=xf x e x ，利用2=-x e x 对不等式进行放缩，可得()111111ln 2ln 12ln 10x x e x x x x -+-++=-+≤，进而利用()g x 单调递增，且()10g x <和()20g x =，即可比较1x 与2x 的大小方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>，从而判断出函数()g x 的单调性，即可利用函数的单调性即可比较1x 与2x 的大小 (2) 令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=，要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-，只要证：()()21h x h x <，最后通过证明函数()h x 在区间[]12,x x 上的单调性进行证明即可. 【详解】（1）解:()11120xf x e x =+-=()11111ln ln 2x g x x x x e =+=-+方法一：()111111ln 2ln 12ln 10xx e x x x x -+-++=-+≤因为11x ≠，所以11ln 10x x -+<，所以()10g x <. 因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < 方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>则1()tH t e t'=-，则()00010t H t e t '=-= 则函数()H t 在区间()00,t 上单调递增，()H t 在区间()0,t +∞上单调递减，所以()0max 00001()ln 220tH t H t t e t t ==-+=--+< 所以()10g x '<因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < （2）证明：令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=.要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <- 只要证：()()21h x h x <，只要证：函数()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 由题意得()()()ln 2xh x f x g x e x =-=--()22211(),x x h x e h x e x x ''=-=-因为()222ln 0g x x x =+= 所以2221ln lnx x x =-= 所以()2222211,0x x eh x e x x '==-=因为()h x '单调递增，所以在区间[]12,x x 上，()0h x '所以()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 所以原命题得证.【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求导判断函数的单调性进行判断大小，属于难题.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x t y t t=-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为12,t t .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2sin a ρθ=.（1）当121,3t t ==时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；（2）当1a =时，若122t t +=MN 被曲线D，求直线MN 的方程.【答案】（1）1a =（2）y =或2y =+【解析】【分析】（1）求出直线MN 的方程和曲线D 的直角坐标方程，然后利用直线MN 过点()0,a 求出答案；（2）由122t t +=MN k =MN的方程为y m =+，然后根据直线MN 被曲线D. 【详解】（1）因为121,3t t ==，所以(1,1),(1,3)M N --. 所以直线MN 的方程为21y x =+. 曲线D 的方程可化为222()x y a a +-=因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点()0,a ，所以1a =.（2）由题意可知()()()()()()22112212121212121222222MNt t t t t t t t y y k x x t t t t ----+--====-----曲线D 的方程为22(1)1y x +-= 设直线MN的方程为y m =+，圆心D 到直线MN 的距离为.d因为22212d ⎛+= ⎝⎭，所以221122m ⎛-⎛⎫+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 所以0m =或2m =，所以直线MN的方程为y =或2y =+【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.23. 已知函数()|1|2|3|,()|1|f x x x g x a x =++-=-. （1）求()8f x 的解集；（2）当[1,3]x ∈-时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣（2）(,2]-∞ 【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解；（2）对x 分三种情况1x =、[1,1)x 、(1,3]x ∈讨论，分别求出每一种情况下的实数a 的取值范围，最后综合即得解. 【详解】解：（1）由题意得35,1()|1|2|3|7,1335,3x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，()8f x 得1x ≥-，所以此时无解；当13x -时，由()8f x ，即78x -+≤，解得13x -；当3x >时，由()8f x ，即358x -≤，解得1333x< 综上，解集1313x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣.（2）①当1x =时，()()f x g x 显然恒成立. ②当[1,1)x时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-因为()()f x g x 恒成立，所以7(1)x a x --，即76111x ax x-=+--恒成立. 令6()1,[1,1)1F x x x=+∈--则min ()a F x 显然()F x 在区间[1,1)-上为增函数，所以min ()(1)4F x F =-=，所以4a .③当(1,3]x ∈时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-. 因为()()f x g x 恒成立，所以7(1)x a x --，即76111x a x x -=-+--恒成立. 令6()1,(1,3]1G x x x =-+∈-，则min ()a G x 显然()G x 在区间(1,3]上为减函数，所以min ()(3)2G x G ==，所以2a .综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

皖南八校2020高三数学第三次联考试题理含解析

所以 , ，球的表面积为。
故选:A.
【点睛】本题考查了椎体的体积，考查了面面垂直的性质，考查了球的表面积的求解。求球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，通常设半径，结合勾股定理列方程求解。本题的关键是面面垂直这一条件的应用.
11.已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为( ）
A学第三次联考试题理(含解析）
―、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。已知集合 , ，则（ )
A。 B. C. D。
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式，结合，用列举法表示集合，从而可求交集.
【详解】， .
A。是增函数B。是减函数
C. 可以取得最大值2D。可以取得最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
由辅助角公式可求得，，由题意可知,不妨取，令，结合的图像,可选出正确选项。
【详解】解：，
，
因为在区间上是增函数，且 , ，
则 ,即，不妨取，设，则，则图像为
所以，在先增后减，可取到最大值为2。
3.已知等差数列的前n项和为，若，则公差等于（ )
A。 B. C. 1D。 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由，可求出，进而可知，结合，可求出公差。
【详解】解： , ，，。
又由，得。
故选：D。
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的求和公式，考查了等差中项。对于等差、等比数列问题,一般都可用基本量法，列方程组求解，但是计算量略大.有时结合数列的性质，可简化运算，减少运算量。

衡水中学2020届全国第三次联考(文科数学)

，
9. 在矩形ABCD 中，AB = l,AD = J§ ，点M在对角线 AC上，点 N在边 CD上，且AM =
-14';-AC,DN= —13 DC，则MN•AC =
A.
—1 2
B. 4
C.
—
3
D.
3 16
10.巳知
xl
穴
＝五＇m
穴
＝飞分别是函数f(x)
=
穴
2 cos(wx飞）（w>O,Jq;I<了）相邻的极大值点与
勹
二
A. 45 C. 25
B. 30 D. 22
4.某儿何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A. 18+6迈
B. 24迈 C. 13 D. 18
气｀三侧视图
文科数学试题第1页（共4页）
5. ＂挛生素数猜想 ”是数学史上著名的未解难题，早在1900年国际数学家大会上，由德国数学家希尔伯特提出．所谓＂挛生素数”是指相差为2的“素数对“，例如 3和 5．从不超过20的素数中，找到这样的“ 李生素数“，将每对素数作和．从得到的结果中选择恰当的数，构成一个等差
零点若将函数f(x)的图象向左平移0 个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于原点对称，则0的值可以为
A. -六 6
B. —穴
4
亢
C.一 3
D.
王
2
一一 11.已知双曲线:—� = Ha>O,b>O)的左、右焦点公别为F11.凡，双曲线的左支上有A,B 两点使得AF 1 =2 F 1 B．若6AF ]凡的周长与＾BF]凡的周长之比是 — 45 ，则双曲线的离心率是
校范围内随机抽取了部分学生进行调查．学生选择的书籍大致分为以下四类：A历史类、B 文

2020届海南省全国大联考高三第三次联考数学试题(附带详细解析)

11．已知数列的前项和为，且，则等于（）
A． B．0C．2D．4
12．已知函数图象与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，则（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．不等式的解集为________.
14．曲线在点处的切线方程为________.
C． D．
2．在等差数列中，，则数列的公差为（）
A． B． C．1D．2
3．设，则的大小关系是（）
A． B． C． D．
4．数列满足，且对任意的，有，则（）
A．2021B．2035C．2037D．2041
5．若，则一定有（）
A． B． C． D．
6．已知数列为等比数列，，数列的前项和为，则等于（）
①求数列的通项公式；
②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.
22．已知函数 .
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）设，是否存在实数，对任意，，，有恒成立？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
直接根据集合的交集定义，即可得到本题答案.
【分析】
必要性显然成立；由，，得 ①，同理可得 ②，综合①，②，得，充分性得证，即可得到本题答案.
【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性，
若，所以当时，，
所以，化简得 ①，
所以当时， ②，
① ②得，所以，即数列是等差数列，充分性得证，所以“ ”是“数列是等差数列”的充要条件.

2020届全国示范性名校高三第三次联考数学(理)试卷及参考答案

绝密★启用前（在此卷上答题无效）姓名：________________准考证号：________________2020届全国示范性名校高三三联数学（理科）试题（150分，120分钟）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足S A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数为( ) A ． 57 B ． 56 C ． 49 D ． 82.一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63.在球O 内任取一点P ，使得点P 在球O 的内接正方体中的概率是( ) A ．π B ．π C ．π D ．π4.在某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩ξ～N(95，σ2)，p(ξ＞120)＝a ，P(70＜ξ＜95)＝b ，则直线ax ＋by ＋＝0与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相离或相切 D ．相交或相切5.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足＝ (a ＋b ).曲线C ＝{P|＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ＜2π}，区域Ω＝{P|0＜r ≤| |≤R ，r ＜R}.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ． 1＜r ＜R ＜3B ． 1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ． 1＜r ＜3＜R6.已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ． (－∞，－1)∪(0，＋∞)B ． (－∞，0)∪(1，＋∞)C ． (－1,0)D ． (0,1)7.如图所示，有三根柱子和套在一根柱子上的n 个盘子，按下列规则，把盘子从一根柱子上全部移到另一根柱子上.(1)每次只能移动一个盘子；(2)在每次移动过程中，每根柱子上较大的盘子不能放在较小的盘子上面.若将n 个盘子从1号柱子移到3号柱子最少需要移动的次数记为f(n)，则f(5)等于( )A ． 33B ． 31C ． 17D ． 15 8.已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2等于( )A ． 2＋iB ． 1＋3iC ． 2＋i 或1＋3iD ．条件不够，无法求出9.已知函数f(x)＝ x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R ) 在区间[－1,3]上是减函数，则b 的最小值是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 410.由9个互不相等的正数组成的数阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有（） ①第2列必成等比数列 ②第1列不一定成等比数列-1-（20-GSSL-QGYB ） -24-52GH-③④若9个数之和等于9，则A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个11.tan(π－θ)＋tan(π＋θ)＋tan(π－θ)tan(π＋θ)的值是( )A． B． C． 2 D．12.已知偶函数f(x)：Z Z，且f(x)满足：f(1)＝1，f(2 015)≠1，对任意整数a，b都有f(a＋b)≤max{f(a)，f(b)}，其中max(x，y)＝则f(2 016)的值为( )A． 0 B． 1 C． 2 015 D． 2 016二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则的最大值为________．14.已知平面区域C1：x2＋y2≤4(＋|y|)，则平面区域C1的面积是________．15.已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个子数列中，由1开始的第29个数是________；（2分）第2 014个数是________.（3分）三、解答题(共70分)（一）必考题（60分）17.（本小题满分12分）设f(x)＝cos2x＋asinx－－(0≤x≤π).(1)用a表示f(x)的最大值M(a)；(2)当M(a)＝2时，求a的值.18.（本小题满分12分）一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈Z，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为P n.(1)当n∈Z，n≥2时，用P n－1表示P n；(2)求P n关于n的表达式．19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求函数f(x)在[1,2]上的最值．(2)若对任意x1，x2∈[0,2]且x1>x2，都有>－1，求m的取值范围．(3)当m≤2时，证明f(x)>0.-2-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成△MF1F2的面积为，又椭圆C的离心率为.(1)若直线l与椭圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝2，又直线l1：y＝k1x＋m是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；(2)椭圆C的下顶点为N，过点T(t,2)(t≠0)的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．21.（本小题满分12分）已知Q2＝称为x，y的二维平方平均数，A2＝称为x，y的二维算术平均数，G2＝称为x，y的二维几何平均数，H2＝称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数.(1)试判断G2与H2的大小，并证明你的猜想；(2)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，试判断M与N的大小，并证明你的猜想；(3)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，P＝Q2－A2，试判断M，N，P三者之间的大小关系，并证明你的猜想. （二）选考题（10分）（请从22，23题中任选一题作答，如果多做，按22题记分）-3-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-23.（选修4-5：不等式选讲）伯努利不等式，又称贝努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利提出。

2020高三第三次联考数学试卷

xx 届高三第三次联考数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150,考试时间120分钟,答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卷的密封线内.所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔答在答题卷上,否则答案无效.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1、设集合{}1,2,3P =，集合{}23Q x R x =∈≤≤，那么下列结论正确的是： ( ) A ．P Q P ⋂= B. Q P Q ⊆⋂ C. P Q P ⋂⊆ D. P Q Q ⋂= 2、设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的（）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 3、方程2sin 2sin 0x x a ++=一定有解，则a 的取值范围是（）A ．[3,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．4、如果执行下面的程序框图，那么输出的S = （）．Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．26525、将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（）． A ．cos y x =- B ．sin 4y x = C ．sin y x =D ．sin()6y x π=-6、等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且3457-+=n n T S n n ，则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是（） A ．3 B ．4C ．5D ．67、右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（）A ．B ．C ．D ．8、如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， AQ uuu r ＝23AB u u u r ＋14AC u u ur ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( ) A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．13第8题第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．9、化简：2(1)i i+= ．10、一物体在力F （x ）=4x+2（力的单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =5处（单位：m ），则力F （x ）所作的功___________11、已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于_______,最小值等于____________.12、从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1mn C +种取法。

河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学试卷

河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的。

1．设集合{}22A x x =-<<，{}20B x x x m =-+<，若{}23A B x x =-<<，则实数m =A ．6-B ．6C ．5D ．22．已知()()2i i 55i a ++=+，则实数a =A ．0B ．1C ．2D ．33．已知双曲线2212x y a a -=-与椭圆2215x y +=的焦点相同，则该双曲线的离心率为A B ．43C.D ．34．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(],0-∞上单调递增，则 A ．2321(log 3)(log 2)(log )3f f f <<B ．2231(log )(log 3)(log 2)3f f f <<C ．2321(log )(log 2)(log 3)3f f f <<D ．3221(log 2)(log )(log 3)3f f f <<5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字.光影激滟间，以《红旗项》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃，在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为A ．2048B ．10242C ．21024D ．102410246．已知等差数列{}n a 中，前5项的和n S 满足51525S <<，则公差d 的取值范围为A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,4)C ．(1,3)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年.如图，在矩形ABCD 中，ABC △满足“勾3股4弦5”，且AB= 3，E 为AD 上的一点，BE AC ⊥，若BA BE AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．925- B ．725C ．1625D ．18．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 A ．0 BC．1D．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，E F G 、、分别为棱111AA C D DD 、、的中点，1=2AB AA AD =，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为A ．30B ．60C ．90D ．12010．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，然后再将所得图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为A ．cos 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．7cos 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 12y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11．已知5123456012345671(2)(1)x x a x a a x a x a x a x a x a x x-+--=+++++++，则4a =A ．21B ．42C ．35-D ．210-12．已知函数22,0()=ln(1),0x x x f x x x ⎧--≤⎨+>⎩，若方程1()2f x mx m =+-恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是A ．121,e 2-⎡⎫⎢⎪⎢⎭⎣B ．121,e 2-⎛⎫⎪⎝⎭C ．121,e 2⎛⎫⎪⎝⎭D ．121e ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年安徽省江淮十校高考数学第三次联考试卷(理科)(5月份)

2020年安徽省江淮十校高考数学第三次联考试卷（理科）（5月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=ln(x−1)}，B={x|2x>1}，则A∩B=()A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. (0,1)2.复数z满足(−12+√32i)z=1，则z的共轭复数为()A. 12+√32i B. 12−√32i C. −12+√32i D. −12−√32i3.已知双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2.则其渐近线的方程为()A. x±√3y=0B. √3x±y=0C. √2x±y=0D. x±y=04.如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4).函数f(x)=x2，若在矩形ABCD内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为()A. 13B. 12C. 23D. 5125.等差数列{a n}的首项为5.公差不等于零．若a2，a4，a5成等比数列，则a2020=()A. 12B. √32C. −√32D. −20146.(x+1)4(1−2x)3展开式中x6的系数为()A. 20B. −20C. 44D. 407.某多面体的三视图如图所示，该多面体的各个面中有若干个是三角形，这些三角形的面积之和为()A. 16B. 12C. 8+4√2D. 8+4√68.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1+13+15+⋯+12019，则判断框内应填人的条件是()A. i>1008？B. i≤1008？C. i≤1010？D. i>1009？9.已知函数f(x)=cos2(x+π6)−2sin2(x+π6)+2.则关于它该函数性质的说法中，正确的是()A. 最小正周期为2πB. 将其图象向右平移π6个单位，所得图象关于y轴对称C. 对称中心为(π12+kπ2,0)(k∈Z)D. [0,π2]上单调递减10.为推进长三角一体化战略，长三角区域内5个大型企业举办了一次协作论坛．在这5个企业董事长A，B，C，D，E集体会晤之前，除B与E，D与E不单独会晤外，其他企业董事长两两之间都要单独会晤．现安排他们在正式会晤的前两天的上午、下午单独会晤(每人每个半天最多只进行一次会晤)，那么安排他们单独会晤的不同方法共有()A. 48种B. 36种C. 24种D. 8种11.已知函数f(x)的定义域为R.其图象关于原点成中心对称，且当x>0时f(x)=e x−x−1，则不等式|f(x−1)|≤ln e2的解集为()A. [−ln2+1,ln2+1]B. [−ln2−1,ln2−1]C. (−∞,−ln2)∪(ln2,+∞)D. (−∞,0)∪(e,+∞)12.侧棱长为2√3的正四棱锥V−ABCD内，有一半球，其大圆面落在正四棱锥底面上，且与正四棱锥的四个侧面相切，当正四棱锥的体积最大时，该半球的半径为()A. 1B. √2C. √22D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量|a⃗|=3，|b⃗ |=2，|2a⃗+b⃗ |=2√13，则a⃗，b⃗ 的夹角为______．14.设x，y满足约束条件{2x−y−1≥0x+y−3≤0x−3y−3≤0，则z=3x−2y的最大值为______．15.如图所示，点F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=4x及圆x2+y2−2x−8=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是______．16.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C、D，使得AC=DB=14AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图二中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依式类推，我们就得到了以下一系列图形；记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n，若对任意的正整数n，都有S n<9.则正数a的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图．在△ABC中，点P在边BC上，C=π3，AP=2，AC⋅PC=4．(1)求∠APB；(2)若△ABC的面积为5√32.求sin∠PAB．18.平面凸六边形MBB1NC1C的边长相等，其中BB1C1C为矩形，∠BMC=∠B1NC1=90°.将△BCM，△B1C1N分别沿BC，B1C1折至ABC，A1B1C1，且均在同侧与平面BB1C1C垂直，连接AA1，如图所示，E，G分别是BC，CC1的中点．(1)求证：多面体ABC−A1B1C1为直三棱柱；(2)求二面角A−EG−A1平面角的余弦值．19.2019新型冠状病毒感染的肺炎的传播有飞沫、气溶胶、接触等途径，为了有效抗击疫情，隔离性防护是一项具体有效措施．某市为有效防护疫情，宣传居民尽可能不外出，鼓励居民的生活必需品可在网上下单，商品由快递业务公司统一配送(配送费由政府补贴).快递业务主要由甲公司与乙公司两家快递公司承接：“快递员”的工资是“底薪+送件提成”.这两家公司对“快递员”的日工资方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送件一次提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成5元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司往年忙季各随机抽取一名快递员并调取其100天的送件数，得到如下条形图：(1)求乙公司的快递员一日工资y(单位：元)与送件数n的函数关系；(2)若将频率视为概率，回答下列问题：①记甲公司的“快递员”日工资为X(单位：元).求X的分布列和数学期望；②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0).若A(0,−√3)，B(√3,√32)，P(−√3,−√32)，Q(−√3,1)四点中有且仅有三点在椭面C上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 的直线l 分别与椭圆C 交于M ，N 两点，D(4,0)，求证：直线DM ，DN 关于x 轴对称．21. 已知函数f(x)=ax 2−2x+2e x ．(1)当a >0时，试讨论f(x)的单调性；(2)对任意a ∈(−∞,−2)时，都有ax 2−2x +2<ke x 成立，试求k 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+3cosαy =3sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√2．(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2交于M ，N 两点，求C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−1|，a∈R．(1)当a=2时，求不等式f(x)≤4；+2总有解，求实数a的取值范围．(2)对任意m∈(0,3).关于x的不等式f(x)<m+1m答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|y=ln(x−1)}={x|x>1}，B={x|2x>1}={x|x>0}，∴A∩B={x|x>1}．故选：B．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵(−12+√32i)z=1，∴z=−12+√32i=−12−√32i(−12+√32i)(−12−√32i)=−12−√32i，则z的共轭复数为−12+√32i．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2．可得：ca =2，即1+b2a=4，可得ba=√3，则双曲线C的渐近线方程为：x±√3y=0．故选：A．通过双曲线的离心率求出b与a的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．【解析】解：由已知，矩形的面积为4×(2−1)=4，阴影部分的面积为∫(214−x2)dx=(4x−13x3)|12=53，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于512；故选：D．分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．5.【答案】D【解析】解：等差数列{a n}的首项为5，公差d不等于零，若a2，a4，a5成等比数列，则a42=a2a5，即为(5+3d)2=(5+d)(5+4d)，解得d=−1，则a2020=5+2019×(−1)=−2014．故选：D．设公差为d，结合等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程求得d，再由等差数列的通项公式可得所求值．本题考查等差数列的通项公式，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵(x+1)4中x的4次方，3次方的系数分别为：C44=1和C43=4；而(1−2x)3展开式中x的3次方，2次方的系数分别为：C33⋅(−2)3=−8和C32⋅(−2)2=12；∴(x+1)4(1−2x)3展开式中x6的系数为：4×(−8)+1×12=−20；故选：B．根据二项展开式的特点分别求出(x+1)4中x的4次方，3次方的系数以及(1−2x)3展开式中x的3次方，2次方的系数；进而求解结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．【解析】【分析】本题考查了根据几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题．由几何体的三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，截去一个三棱锥；由图中数据计算两个三角形的面积和即可．【解答】解：由几何体的三视图知，该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，截去一个三棱锥，如图所示：由图中数据，计算S△ABC=12×42=8，EF=EG=√42+22=2√5，GF=4√2，S△EFG=12×4√2×√(2√5)2−(2√2)2=4√6；所以两个三角形的面积之和为8+4√6．故选：D．8.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1判断框内的条件满足，执行循环体，S=0+1=1，i=1+1=2判断框内的条件满足，执行循环体，S=0+1+13，i=2+1=3判断框内的条件满足，执行循环体，S=0+1+13+15，i=3+1=4…以此类推，令2019=2i−1，可得i=1010，当i=2010，判断框内的条件满足，执行循环体，S=0+1+13+15+⋯+12019，i=1011此时，不满足条件，退出循环，则判断框内应填入的条件是i≤1010？．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】B【解析】解：函数f(x)=cos2(x+π6)−2sin2(x+π6)+2=1+cos(2x+π3 )2−2×1−cos(2x+π3)2+2=32cos(2x+π3)+32，周期为：T=2π2=π，所以A不正确；将其图象向右平移π6个单位，所得函数y=f(x−π6)=32cos2x+32，则图象关于y轴对称，所以B正确；令2x+π3=π2+kπ，k∈Z，解得x=π12+kπ2(k∈Z)，对称中心为(π12+kπ2,32)(k∈Z)，所以C不正确；当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，函数先减后增，所以D不正确；故选：B．化简函数的解析式，求出函数的周期怕啥A；利用函数的平移变换求解函数的解析式判断B；利用函数的对称中心判断C，函数的单调性判断D；本题考查三角函数的图象变换，三角函数的化简求值，函数的单调性对称轴以及函数的周期的求法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，5个企业董事长A，B，C，D，E集体会晤之前，除B与E，D与E不单独会晤外，则单独会晤，共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，CD，CE共8种情况，现在将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行，每个半天安排两场会晤同时进行．因为能同时会晤的共有(AB,CD)，(AC,BD)，(AD,CE)，(AE,BC)和(AB,CE)、(AC,BD)，(AD,BC)，(AE、CD)两种情况，故不同的安排方法共有2×A44=48种；故选：A．根据题意，分析5人可以进行单独会晤的情况，进而分步进行分析，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：函数f(x)的定义域为R，其图象关于原点成中心对称，故f(x)为奇函数，且当x>0时f(x)=e x−x−1，f′(x)=e x−1>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，故f(x)在R上单调递增，且f(ln2)=ln e2．则不等式|f(x−1)|≤ln e2，即|f(x−1)|≤f(ln2)，即−f(ln2)≤f(x−1)≤f(ln2)，即f(−ln2)≤f(x−1)≤f(ln2)，∴−ln2≤x−1≤ln2，1−ln2≤x≤1+ln2，故选：A．先由f(x)在R上单调递增，且f(ln2)=ln e2，不等式即|f(x−1)|≤f(ln2)，可得−ln2≤x−1≤ln2，由此求得x的范围．本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，绝对值不等式的解法，属于加中档题．12.【答案】B【解析】解：设棱锥底面中心为O，E为AB的中点，作OF⊥VE于F，则半球的半径为OF．设AB=a，则OA=√22a，∴VO=√VA2−OA2=√12−a22，∴正四棱锥的体积V=13⋅a2⋅√12−a22，令√12−a22=t(t≥0)，则a2=24−2t2，∴V=8t−2t33，故V′(t)=8−2t2，令V′(t)=0可得t=2，∴当0<t<2时，V′(t)>0，当t>2时，V′(t)<0，∴当t=2时，V(t)取得最大值，即正四棱锥的体积最大，此时，a 2=16，a =4，VO =2，OE =AE =a2=2，VE =√VA 2−AE 2=2√2， ∴OF =OE⋅VO VE=2√2=√2．故选：B ．设底面边长为a ，得出棱锥体积关于a 的函数，求出函数最大值对应的a 即可得出半球的半径．本题考查了棱锥与球的位置关系，考查棱锥的体积计算，函数最值的求法，属于中档题．13.【答案】π3【解析】解：设a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为θ，∵|2a ⃗ +b ⃗ |=2√13，∴4a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=52，即4×9+4×3×2×cosθ+4=52，解得cosθ=12， ∵θ∈[0,π]， ∴θ=π3．故答案为：π3．设a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为θ∈[0,π]，将|2a ⃗ +b ⃗ |=2√13两边平方后，代入数据进行运算即可得解．本题考查平面向量的数量积运算、模长问题，解决模长问题常见的方法是平方处理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．14.【答案】9【解析】解：x ，y 满足约束条件{2x −y −1≥0x +y −3≤0x −3y −3≤0，的可行域如图：z =3x −2y 经过可行域A 时，目标函数的纵截距最小，此时z 取得最大值，{x −3y −3=0x +y −3=0解得A(3,0)，则z =3x −2y 的最大值为9．故答案为：9．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15.【答案】(6,8)【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x=−1；由抛物线的定义可得|AF|=x A+1；又圆x2+y2−2x−8=0可化为(x−1)2+y2=9，其圆心为F(1,0)，半径为r=3；所以△FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=(x A+1)+(x B−x A)+3=4+x B；由抛物线y2=4x及圆x2+y2−2x−8=0，可得交点的横坐标为2，所以x B∈(2,4)；所以△FAB的周长取值范围是(6,8)．故答案为：(6,8)．根据抛物线的定义与圆的方程，结合三角形的周长公式，即可求出△FAB的周长取值范围．本题考查了抛物线的定义与圆的方程应用问题，也考查了三角形周长的计算问题，是中档题．16.【答案】95【解析】解：由题意，得图1中的线段为a，S1=a，图2中的正六边形边长为12a，S2=S1+12a×4=S1+2a=3a；图3中的最小正六边形的边长为14a，S3=S2+14a×4=S2+a=4a；图4中的最小正六边形的边长为18a，S4=S3+18a×4=S3+12a，由此类推，S n−S n−1=12n−3a，n≥2，故当n≥2时，S n=S1+(S2−S1)+(S3−S2)+⋯+(S n−S n−1)=a+2a+a+12a+⋯+12n−3a=a+4a(1−12n−1)，而n=1满足上式，从而S n<5a，即存在最大的正数a=95满足题意．故答案为：95．猜想归纳出其递推规律，再由数列恒等式和等比数列的求和公式，得到S n，再由不等式的性质求出范围．本题考查数列的通项公式，不等式恒成立，考查运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)在△APC中，因为C=π3，AP=2，AC⋅PC=4，设AC=x，则PC=4x ，由余弦定理可得：22=x2+(4x)2−2⋅x⋅4x⋅cosπ3，可得x=2，则AC=PC=AP，此时△APC为等边三角形，从而∠APB=2π3．(2)由S△ABC=12AC⋅BC⋅sinπ3=5√32，可得BC=5，则BP=3，作AD⊥BC交BC于D，由(1)可知，在等边△APC中，AD=√3，PD=1，在Tt△ABD中，AB=√AD2+BD2=√3+16=√19，在△ABP中，由正弦定理可得ABsin∠APB =PBsin∠PAB，所以sin∠PAB=3×√32√19=3√5738．【解析】(1)设AC=x，则PC=4x，由余弦定理可解得x=2，可求AC=PC=AP，此时△APC为等边三角形，从而可求∠APB=2π3．(2)由已知利用三角形的面积公式可求BC，BP的值，作AD⊥BC交BC于D，利用勾股定理求得AB的值，进而在△ABP中，由正弦定理可求sin∠PAB的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，勾股定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】(1)证明：取B1C1的中点F，连接A1F，EF，∵F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1，又平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，且平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1，∴A1F⊥平面BB1C1C.同理可证AE⊥平面BB1C1C，则A1F//AE，而AE=A1F，∴四边形A1FEA为平行四边形，则A1A//EF，A1A=EF．又B1B//EF，C1C//EF，B1B=EF，故B 1B//C1C//A1A，且B1B=A1A，因此四边形B1BAA1为平行四边形，则BA//B1A1，而BA⊂平面ABC，B1A1⊄平面ABC，故B 1A1//平面ABC．由题设，显然有B1C1//平面ABC，而B1A1∩B1C1=B1，故平面A1B1C1//平面ABC．又四边形B 1BAA 1，B 1BCC 1均为平行四边形，则AA 1//CC 1，从而四边形AA 1C 1C 为平行四边形，而BB 1⊥平面ABC ，因此多面体ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱； (2)解：过F 作FD ⊥EG 交EG 于D ，连接A 1D ，由(1)知A 1F ⊥平面BB 1C 1C ，则A 1F ⊥EG ，而FD ⊥EG ，且A 1F ∩FD =F ， ∴EG ⊥平面A 1FD ，得EG ⊥A 1D .故∠A 1DF 为二面角A −EG −B 1的平面角．而AE ⊥平面BB 1C 1C ，AE ⊂平面AEG ，则平面AEG ⊥平面BB 1C 1C . 因此二面角A −EG −A 1的平面角为α=π2−∠A 1DF ．设A 1B 1=t ，则EF =t ，A 1F =√22t ，CB =C 1B 1=√2t ．从而FD =EF ⋅sin∠GEF =EF ⋅sin∠EGC =t √22t (√22t)+(12t)=√63t ．故A 1D =(√22(√63=√426t ．则cosα=cos(π2−∠A 1DF)=sin∠A 1DF =A 1FA1D=√22t √426=√217．故二面角A −EG −A 1平面角的余弦值为√217．【解析】(1)由已知证明多面体ABC −A 1B 1C 1的侧棱互相平行，再证明两个底面A 1B 1C 1//平面ABC ，且侧棱BB 1⊥平面ABC ，可得多面体ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱；(2)过F 作FD ⊥EG 交EG 于D ，连接A 1D ，证明∠A 1DF 为二面角A −EG −B 1的平面角，可得二面角A −EG −A 1的平面角为α=π2−∠A 1DF.设A 1B 1=t ，然后求解三角形得答案．本题考查棱柱的结构特征，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题可知，当0≤n ≤83时，y =120元；当n >83时，y =120+(n −83)×5=5n −295，∴乙公司的快递员一日工资y(单位：元)与送件数n 的函数关系为：y ={120,0≤n ≤835n −295,n >83．(2)①X 的所有可能取值为152，154，156，158，160，将频率视为概率，由条形图可知，P(X =152)=0.1，P(X =154)=0.2，P(X =156)=0.1，P(X =158)=0.4，P(X =160)=0.2． ∴X 的分布列为数学期望E(X)=152×0.1+154×0.2+156×0.1+158×0.4+160×0.2=156.8(元)． ②设乙公司的日工资为Y 元，则E(Y)=120+0×0.1+5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.3=141.5(元)．由于E(X)>E(Y)，所以小王应该到甲公司应聘“快递员”的工作．【解析】(1)根据题意，用含有n 的式子分段表示出y 即可；(2)①X 的所有可能取值为152，154，156，158，160，由条形图可知，每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；②设乙公司的日工资为Y 元，则E(Y)=120+0×0.1+5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.3=141.5元，然后比较E(X)和E(Y)的大小，取较大者即可．本题考查条形图、离散型随机变量的分布列与数学期望及期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)因为B(√3,√32)，P(−√3,−√32)两点关于原点对称，故B ，P 均在椭圆上，而点Q(−√3,1)与点P(−√3,−√32)不关于x 轴对称，故Q 不在椭圆上，因此b =√3，且(√3)2a2(√32)2(3)2=1，解得a =2，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；证明：(2)由(1)知c =1，则F(1,0)，当直线l 为x 轴时，显然直线DM ，DN 关于x 轴对称；当直线l 不与x 轴重合时，设l 的方程为：x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{x =my +1x 24+y 23=1，消去x 整理得(4+3m 2)y 2+6my −9=0，因此y 1+y 2=−6m4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，由于k DM⋅k DN=y1x1−4+y2x2−4=y1my1−3+y2my2−3=2my1y2−3(y1+y2)(my1−3)(my2−3)=−18m4+3m2−(−18m4+3m2)(my1−3)(my2−3)=0，则k DM=−k DN，即∠FDM=∠FDN，故直线DM，DN关于x轴对称，综上可知，直线DM，DN关于x轴对称．【解析】(1)由题意可得B，P，点Q不在椭圆上，所以b=√3，再把点B的坐标代入椭圆方程，求出a，c 的值，从而得到椭圆C的方程；(2)当直线l为x轴时，显然直线DM，DN关于x轴对称；当直线l不与x轴重合时，设l的方程为：x=my+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到k DM⋅k DN=0，所以直线DM，DN关于x轴对称．本题主要考查了椭圆的坐标方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了两直线的位置关系，是中档题．21.【答案】解：f′(x)=−ax2+(2a+2)x−4e x =−a(x−2a)(x−2)e x．(1)由f′(x)=0，得x=2a或x=2，当0<a<1时，2a >2，若x∈(−∞,2)∪(2a,+∞)时，f′(x)<0；若x∈(2,2a)时，f′(x)>0；当a=1时，f′(x)=−(x−2)2e x≤0(当且仅当x=2时，f′(x)=0)；当a>1时，2a <2，若x∈(−∞,2a)∪(2,+∞)时，f′(x)<0；若x∈(2a,2)时，f′(x)>0；综上可得，当0<a<1时，函数f(x)在(−∞,2)和(2a ,+∞)上分别单调递减，在(2,2a)上单调递增；当a=1时，函数f(x)在R上单调递减；当a>1时，函数f(x)在(−∞,2a )，(2,+∞)上分别单调递减，在(2a,2)上单调递增．(2)由当a∈(−∞,−2)时，2a <0，可知，f(x)在(−∞,2a)，(2,+∞)上分别单调递增，在(2a,2)上单调递减，故f(x)极大值=f(2a)=2e−2a>0，f(x)极小值=f(2)=4a−2e2<0，且x>2时，f(x)=ax2−2x+2e x<0，因此f(x)max=f(x)极大值=2e−2a，不等式ax2−2x−2<ke x恒成立⇔ax2−2x+2e x<k恒成立⇔f(x)min<k，而对任意a∈(−∞,−2)，f(x)max=2e−2a<2e，故k 的取值范围为k ≥2e ．【解析】(1)对f(x)求导后，分0<a <1，a =1，a >1三种情况讨论f(x)的正负，进而得出f(x)的单调性； (2)不等式ax 2−2x −2<ke x 恒成立⇔ax 2−2x+2e x<k 恒成立⇔f(x)min <k ，因此利用f(x)研究出a ∈(−∞,−2)时f(x)的单调性，进而求出其最大值即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题．22.【答案】解：(1)由{x =1+3cosαy =3sinα(α为参数)，可得{x −1=3cosαy =3sinα，消去参数α，可得C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=9；展开ρcos(θ−π4)=√2，可得√22ρcosθ+√22ρsinθ=√2，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得C 2的直角坐标方程x +y −2=0． (2)由(1)可得C 1(1,0)，则C 1到直线C 2的距离为d =√12+12=√22，进而|MN|=2√9−12=√34，故C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2×|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−17．【解析】(1)由同角的平方关系，化简可得C 1的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系式，以及两角的差角余弦公式，化简可得C 2直角坐标方程；(2)求得C 1的直角坐标，以及C 1到直线C 2的距离，可得|MN|，再由向量的数量积的定义，计算可得所求值．本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，以及圆内的弦长公式和向量的数量积的计算，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)由已知，不等式f(x)≤4即为|x +2|+|x −1|≤4，则{x ≤−2,−(x +2)−(x −1)≤4,或{−2≤x ≤1,x +2−(x −1)≤4,或{x >1,x +2+x −1≤4, 解得−52≤x ≤−2或−2<x ≤1或1<x ≤32，故不等式的解集为[−52,32].(2)对任意m ∈(0,3).关于x 的不等式f(x)<m +1m +2总有解⇔f(x)min <(m +1m +2)min ，而y =m +1m+2≥2√m ⋅1m +2=4，当且仅当m =1m ，即m =1时取得最小值．又f(x)≥)=|(x +a)−(x −1)|=|a −1|(当且仅当(x +a)(x −1)≤0时取等号)，故只需|a+1|<4，解得−5<a<3，即实数a的取值范围为(−5,3)．【解析】(1)去掉绝对值，原不等式即化为一次不等式组，分别解得它们，再求并集即可；(2)对任意m∈(0,3).关于x的不等式f(x)<m+1m +2总有解⇔f(x)min<(m+1m+2)min，分别求出最小值，解不等式可得a的取值范围．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．。

2020年河北省衡水中学高考数学第三次联考数学试卷2 (含答案解析)

2020年河北省衡水中学高考数学第三次联考数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2−x−2<0}，N={x|−1<x<1}，则()A. M是N的真子集B. N是M的真子集C. M=ND. M∩N=⌀2.复数z=2+i1−2i的虚部为()A. −53B. −53i C. 1 D. i3.如图是2010—2019年这10年我国普通高校毕业生人数统计图(单位：万人)，则下列说法错误的是A. 2010年以来，普通高校毕业生的人数逐年增多B. 这10年中，普通高校毕业生人数的极差超过200万C. 这10年中从2011年起，每一年与上一年相比，2017年普通高校毕业生人数增长最多D. 这10年中从2011年起，每一年与上一年相比，2016年普通高校毕业生人数增长最少4.圆x2+y2+4x−2y−1=0上存在两点关于直线对称，则1a +4b的最小值为()A. 8B. 9C. 16D. 185.若变量x，y满足约束条件{x+2y≥0,x−y≤0,x−2y+2≥0,则z=2x−y的最小值等于()A. −52B. −2 C. −32D. 26.在递增的等比数列{a n}中，已知a1+a n=34，a3⋅a n−2=64，且前n项和为S n=62，则n=()A. 6B. 5C. 4D. 37.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到g(x)图象，则函数的解析式是()A. g(x)=sin(2x+π3) B. g(x)=sin(2x+π6)C. g(x)=sin(2x−π3) D. g(x)=sin(2x−π6)8.已知函数f(x)=axsinx+xcosx(a∈R)为奇函数，则f(−π3)=()A. −π6B. −√3π6C. π6D. √3π69. 如图，已知在△ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点．若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n =( ) A. −13B. −12C. −14D. 1210. 一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为( )A. C 43⋅C 44B. C 83−C 43C. 2C 41⋅C 42+C 43 D. C 83−C 43+1 11. 如图，两个椭圆x 225+y 29=1，y 225+x 29=1内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上任意一点，给出下列三个判断：①P 到F 1(−4,0)、F 2(4,0)、E 1(0,−4)、E 2(0,4)四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y =x 、y =−x 均对称； ③曲线C 所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12. 已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，CC 1=2√2，P ，E 分别为AC 1，CC 1的中点，则三棱锥P −BDE 的体积为( )A. 2√23B. √2C. 2√2D. √23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(x 2−1x +2)5的展开式中x 3项的系数为______ ．14. 已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10=40，则a 3⋅a 8的最大值为______． 15. 抛物线x 2=2py(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23−y 23=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p =_________．16.已知函数f(x)=e|x−1|+|x−1|，若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知S△ABC=√3accosB，2．点D在BC上，CD=2,且cos∠ADB=−17(Ⅰ)求B的值；(Ⅱ)若c=8，求b的值．18.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，DE=3AF．(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)若BE与平面ABCD所成角为60°，求二面角F−BE−D的正弦值．19.某学院为了调查本校学生2018年9月“阅读相伴”(“阅读相伴”是指一天中课外阅读超过1个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内“阅读相伴”的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，⋯，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中“阅读相伴”天数超过20的人数;(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中“阅读相伴”天数超过20的人数，求Y的分布列及数学期望EY．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，直线l经过F2与椭圆交于P，Q两点，当PF1与y轴的交点是线段PF1的中点时，|PQ|=3．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l不垂直于x轴，若T(t,0)满足|TP|=|TQ|，求t的取值范围．21. 已知函数f(x)=2(a −1)x +b ．(1)讨论函数g(x)=e x −f(x)在区间[0,1]上的单调性．(2)已知函数ℎ(x)=e x −xf(x2)−1，若ℎ(1)=0，且函数ℎ(x)在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k(m 为参数)，当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(I)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；(II)设曲线C 上的点A 的极角为π6，射线OA 与直线l 3：ρsin(θ+φ)−2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值．23. 已知函数f(x)=|2x −1|−|x +3|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)当a ≥0时，关于x 的不等式f(x)≥−ax 2+ax −4恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查集合间关系的判断，属于基础题目．求出集合M，得出关系即可．【解答】解：M={x|x2−x−2<0}={x|−1<x<2}，∴N是M的真子集．故选B．2.答案：C解析：【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解得到a+bi即可．本题考查复数的代数形式混合运算，复数的基本概念，是基础题．【解答】解：复数z=2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2+5i−25=i．复数z的虚部为：1．故选：C．3.答案：D解析：【分析】本题考查条形图的性质等基础知识，是基础题.由统计图可得A、B、C正确，每一年与上一年相比，2019年普通高校毕业生人数增长最少，故D错误．【解答】解：从图表中看出2010年以来，普通高校毕业生的人数逐年增多，故A正确;这10年中，普通高校毕业生人数的极差为834−631=203>200万，故B正确;这10年中从2011年起，每一年与上一年相比，2017年普通高校毕业生人数增长最多，故C正确;这10年中从2011年起，每一年与上一年相比，2019年普通高校毕业生人数增长最少，故D错误．故选D ．4.答案：B解析：【分析】本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．由圆的对称性可得，直线ax −2by +2=0必过圆心(−2,1)，所以a +b =1，再用乘“1”法，结合基本不等式，即可求出1a +4b 的最小值．【解答】解：由圆的对称性可得，直线ax −2by +2=0必过圆心(−2,1)，所以a +b =1．所以1a +4b =(1a +4b )(a +b)=5+ba +4a b≥5+4=9，当且仅当ba =4a b，即2a =b 时取等号，故选B ．5.答案：A解析：解：由变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立{x +2y =0x −2y +2=0，解得A(−1,12). ∴z =2x −y 的最小值为2×(−1)−12=−52．故选：A ．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.答案：B解析：【分析】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及等比数列的性质．根据等比数列的性质得a 1a n =a 3⋅a n−2=64，结合数列递增可解得a 1=2，a n =32，再由S n =62求出公比q ，可得n 值．【解答】解：设等比数列公比为q，可得a1a n=a3⋅a n−2=64，又a1+a n=34，解得a1=2，a n=32，或a1=32，a n=2，∵等比数列{a n}递增，∴a1=2，a n=32，∵S n=62，∴a1−a n q1−q =2−32q1−q=62，解得q=2，∴32=2×2n−1=2n，解得n=5故选：B7.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由题意，将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度，可得g(x)=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)的图象，故选C．8.答案：A解析：【分析】本题考查三角函数的奇偶性及计算，先通过函数为奇函数f(x)=−f(−x)，求出a的值，再求出答案即可，属于简单题．【解答】解：∵f(x)=axsinx+xcosx(a∈R)为奇函数，∴f(x)=−f(−x)，即axsinx+xcosx=−a(−x)sin(−x)+xcos(−x)，解得a=0，∴f(x)=xcosx，f(−π3)=−π6．故选A．9.答案：B解析：【分析】本题考查了平面向量的线性运算性质的应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题目．结合图形，利用平面向量的线性运算性质，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出m 、n 的值即可．【解答】解：△ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，E 为线段AD 的中点， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；又CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =13，n =−56； ∴m +n =−12．故选：B ．10.答案：D解析：【分析】本题考查排列组合的运用，本题运用排除法分析较为简单，注意共圆的4个点依然确定一个圆，容易误选B .根据题意，用排除法分析，先在8个点中任选3个点，再排除其中由于4点共圆重复的情况，即可得答案．【解答】解：根据题意，先在8个点中任选3个点，有C 83种取法，其中有4个点共圆，即其中重复的圆有C 43种情况，则这8个点最多确定的圆的个数为C 83−C 43+1．故选D ．11.答案：C解析：【分析】本题考查了椭圆的定义及对称性，属于基础题．根据椭圆的定义可知①错误；根据椭圆的对称性可知②正确；根据椭圆的短轴长确定曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，故③正确．【解答】解：对于①，若点P在椭圆x225+y29=1上，P到F1(−4,0)、F2(4,0)两点的距离之和为定值、到E1(0,−4)、E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故错；对于②，根据椭圆的对称性，曲线C关于直线y=x、y=−x均对称，故正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确．故选C．12.答案：A解析：【分析】由题意画出图形，证得PE⊥面PBD，由三角形中位线知识求得PE、PO的长，然后利用等积法求得三棱锥P−BDE的体积．本题考查棱锥体积的求法和线面垂直的判定与性质，考查了空间想象能力和思维能力，考查了等积法求三棱锥的体积，是中档题．【解答】解：如图连接AC、BD交于O，连接PO，P，O分别为AC1，AC的中点，则PO//CC1，∵CC1⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，则PO⊥AC，又AC⊥BD，PO∩BD=O，PO，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵P，E分别为AC1，CC1的中点，∴PE//AC，则PE⊥平面PBD．∵AB=2，CC1=2√2，∴BD=2√2，PO=12CC1=√2，则S△PBD=12×2√2×√2=2，PE=12AC=12×2√2=√2，∴V P−BDE=V E−PBD=13×2×√2=2√23．故选：A．13.答案：−120解析：解：二项式(x2−1x +2)5=[(x2−1x)+2]5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(x2−1x)5−r⋅2r．对于(x2−1x )5−r，它的通项公式为T r′+1=(−1)r′⋅C5−rr′⋅x10−2r−3r′，其中，r′≤5−r，0≤r≤5，r、r′都是自然数．令10−2r−3r′=3，可得{r=2 r′=1．∴展开式中x3项的系数为C52⋅22⋅(−1)⋅C31=−120，故答案为：−120．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r′的值，即可求得x3项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.答案：16解析：解：∵正项等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=40，∴{a3>0a8>0a3+a8=40×210=8，∴a3a8≤(a3+a82)2=16．∴当且仅当a3=a8时，a3⋅a8的最大值为64．故答案为：16．利用等差数列的前n项和公式求出a3+a8=8，由此利用基本不等式的性质能求出a3⋅a8的最大值．本题考查等差数列中两项积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质及基本等式的合理运用．15.答案：6解析：【分析】本题考查了抛物线、双曲线的综合问题，属于中档题．由x 2=2py(p >0)得焦点坐标、准线l 方程，即可得抛物线的准线与双曲线的交点A 、B ，从而可得|AF|=|AB|=√12+p 2，根据p|AF|=sin π3即可求得p 的值．【解答】解：由x 2=2py(p >0)得焦点F(0,p 2)，准线l 为y =−p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23−y 23=1的交点A(−√12+p 22,−p2)， B(√12+p 22,−p2)，所以|AB|=√12+p 2，则|AF|=|AB|=√12+p 2，所以p|AF|=sin π3，即√12+p 2=√32，解得p =6．故答案为6．16.答案：(1,+∞)解析：【分析】由题意得f(x)={e x−1+x −1,x ≥1e 1−x +1−x,x <1，且函数y =f(x)与y =k 的图象有两个不同交点，画出图象得出k 的取值范围．【解答】解：f(x)={e x−1+x −1,x ≥1e 1−x +1−x,x <1，由题意方程f(x)=k 有两个不同实根，则函数y =f(x)与y =k 的图象有两个不同交点，所以k >1，故实数k的取值范围是(1,+∞)．17.答案：解：(Ⅰ)由已知得12acsinB=√32cacosB，∴tanB=√3，∵0<B<π，∴B=π3．(Ⅱ)∵cos∠ADB=−17，∠ADB∈(0,π)，∴sin∠ADB=√1−cos2∠ADB=4√37，∴在△ABD中，由正弦定理可得：AD=ABsin∠ABDsin∠ADB =8×√324√37=7，在△ADC中，由余弦定理得b2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cos∠ADC，∵cos∠ADC=−cos∠ADB=17，∴b=√72+22−2×7×2×17=7．解析：本题主要考查了三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理和余弦定理的应用．注重了对学生基础知识的考查，属于基础题．(Ⅰ)利用面积公式和已知等式求得tan B的值，进而求得B．(Ⅱ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由正弦定理可得AD的值，在△ADC中，由余弦定理可求b的值．18.答案：证明：(1)因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又因为BD∩DE=D，BD⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，所以AC⊥平面BDE．解：(2)据题设知，DA，DC，DE两两互相垂直，以DA，DC，DE分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D−xyz如图所示，因为BE 与平面ABCD 所成角为60°，即∠DBE =60°，所以EDDB =√3，又AD =3，DE =3AF ，可知DE =3√6，AF =√6，则A(3,0，0)，F(3,0，√6)，E(0,0，3√6)，B(3,3，0)，C(0,3，0)，所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,√6)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0，−2√6)，设平面BEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3y +√6z =03x −2√6z =0，令z =√6，则m ⃗⃗⃗ =(4,2，√6)，因为AC ⊥平面BDE ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BDE 的法向量，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−3,0)，所以，所以．因为二面角为锐角，所以二面角F −BE −D 的正弦值为2√3913．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的平面角的求法，涉及线面角的概念，考查计算能力，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属中档题．(1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ，因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面BDE ； (2)建立空间直角坐标系D −xyz ，分别求出平面BEF 的法向量和平面BDE 的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值，再求正弦值．19.答案：解：(1)由图可知“阅读相伴”天数超过20的频率为(0.04+0.01)×5=0.25，所以“阅读相伴”天数超过20的学生人数是40×0.25=10．(2)随机变量Y 的所有可能取值为0，1，2，因为Y 服从超几何分布H(2,10，40)，所以P(Y =0)=C 302C 402=2952，P(Y =1)=C 101C 301C 402=513，P(Y =2)=C 102C 402=352．所以Y 的分布列为：所以Y的数学期望为EY=0×2952+1×513+2×352=12(或EY=10×240=12).解析：(1)根据频率分布直方图计算出频率，然后利用求出的频率进行求解即可；(2)发现随机变量的取值可能是0，1，2，然后满足超几何分布，接着求解出对应的概率，列出分布列从而利用期望公式求解即可．20.答案：解：(1)直线l经过F2与椭圆交于P，Q两点，当PF1与y轴的交点是线段PF1的中点时，可得直线l垂直于x轴，可令x=c，可得y=±√1−c2a2=±b2a，可得|PQ|=2b2a=3，又e=ca =√1−b2a2=12，解得a=2，b=√3，可得椭圆的方程为x24+y23=1；(2)设直线l的方程为x=my+1，联立椭圆方程3x2+4y2−12=0，可得(4+3m2)y2+6my−9= 0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，△=36m2+36(4+3m2)>0恒成立，y1+y2=−6m4+3m2，即有PQ的中点的纵坐标为−3m4+3m2，将中点纵坐标代入x=my+1中，则PQ的中点H(44+3m2,−3m4+3m2)，由|TP|=|TQ|，可得TH⊥PQ，即有3m4+3m2t−44+3m2=−m，可得t=14+3m2∈(0,14).解析：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查两直线垂直的条件，以及化简运算能力，属于中档题．(1)由题意可得当PF1与y轴的交点是线段PF1的中点时，可得直线l垂直于x轴，求得|PQ|，结合离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，可得椭圆方程；(2)设直线l的方程为x=my+1，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得PQ的中点坐标，由|TP|=|TQ|，可得TH⊥PQ，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合不等式的性质可得t的范围．21.答案：解：(1)由题得g(x)=e x−2(a−1)x−b，所以g′(x)=e x−2(a−1)．当a ⩽32时，g′(x )≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增；当a ⩾e2+1时，g′(x )≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减；当32<a <e 2+1时，令g′(x )=0，得x =ln(2a −2)∈(0,1)，所以函数g(x)在[0,ln(2a −2)]上单调递减，在(ln(2a −2),1]上单调递增．综上所述，当a ⩽32时，函数g(x)在[0,1]上单调递增；当32<a <e 2+1时，函数g(x)在[0,ln(2a −2)]上单调递减，在(ln(2a −2),1]上单调递增；当a ⩾e 2+1时，函数g(x)在[0,1]上单调递减． (2)ℎ(x)=e x −xf(x2)−1=e x −(a −1)x 2−bx −1，ℎ′(x )=e x −2(a −1)x −b =g(x)，设x 0为ℎ(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由ℎ(0)=ℎ(x 0)=0，可知ℎ(x)在区间(0,x 0)上不单调，则g(x)在区间(0,x 0)内存在零点x 1，同理，g(x)在区间(x 0,1)内存在零点x 2，所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ⩽32时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点，不合题意；当a ⩾e2+1时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点，不合题意．当32<a <e 2+1时，g(x)在[0,ln(2a −2)]上单调递减，在(ln(2a −2),1]上单调递增．因此 x 1∈[0,ln(2a −2))，x 2∈(ln(2a −2),1]，必有g(0)=1−b >0，g(1)=e −2a +2−b >0，由ℎ(1)=0，得a +b =e ，g(12)=√e +1−e <0.又g(0)=a −e +1>0，g(1)=2−a >0，解得e −1<a <2．所以a 的取值范围是(e −1,2)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)由题得g(x)=e x −2(a −1)x −b ，所以g′(x )=e x −2(a −1).对a 分类讨论即可得出单调性． (2)ℎ(x)=e x −xf(x2)−1=ex −(a −1)x2−bx −1，ℎ′(x )=e x −2(a −1)x −b =g(x)，由(1)知，当a ≤32时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点，不合题意．当a ≥e2+1时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点，不合题意，所以32<a <e2+1，再利用单调性即可得出．22.答案：解：(Ⅰ)直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt (t 为参数)，转换为：直线l 1的普通方程为−4y =k(x −2)．直线l 2的普通方程为y =x+2k，联立两方程消去k ，得：−4y 2=x 2−4，即曲线C 的普通方程为：x 2+4y 2=4．由{x =ρcosθy =ρsinθ得曲线C 的极坐标方程为：ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=4；化简得：ρ2(1+3sin 2θ)=4． (Ⅱ)把θ=π6代入ρ2(1+3sin 2θ)=4，得ρ2(34+4⋅14)=4， ∴ρ2=167，得ρA =√7由已知得：ρB =√7ρA =4，把θ=π6，ρ=4代入方程l 3得sin(π6+φ)=√22，又0<φ<π2， ∴π6<π6+φ<2π3，∴π6+φ=π4，解得：φ=π12．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (Ⅱ)利用极坐标方程和三角函数的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用．23.答案：解：(Ⅰ)当x <−3时，不等式f(x)≤2可化为−x +4≤2，无解；当−3≤x ≤12时，不等式f(x)≤2可化为−3x −2≤2，解得−43≤x ≤12；当x >12时，不等f(x)≤2可化为x −4≤2，解得12<x ≤6；综上，不等式f(x)≤2的解集为[−43,6]； (Ⅱ)由(Ⅰ)易得f(x)min =f(12)=−72．当a =0时，f(x)≥−4显然成立，当a >0时，不等式f(x)≥−ax 2+ax −4恒成立⇔不等式−ax 2+ax −4≤−72，恒成立． ⇒ax 2−ax +12≥0恒成立．∴Δ=a 2−2a ≤0，(a >0)． ∴0<a ≤2．综上，实数a 的取值范围为[0,2]．解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．(Ⅰ)对x分类去掉绝对值，分别解一次不等式，再求并集即可；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质，求得f(x)的最小值，即可得到a的范围．。

衡水中学2020届全国第三次联考(理科数学)

A.清华大学 2019 年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业
B. 清华大学 2019 年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高
C.清华大学 2019 年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散
D.清华大学 2019 年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半
4. 若圆(x-2) 2+(y— 1) 2= 5 关于直线 ax+by-1= O(a>O,b>O) 对称，则 — a2 .十一 b1 的最小值为
A. 3
B. 3i
C. 4
D. 4i
3. 以下统计表和分布图取自《清华大学 2019 年毕业生就业质量报告》．
本科生
硕士生
博士生
总体
毕业去向
人数比例人数比例人数比例人数比例
深造
国内
2 282 80.4% 231 9.3% 489 33.6% 3 002 44.2%
1 583 55.8% 94 3.8% 290 19.9% I 967 29.0%
出国（境） 699 24.6% 137 5.5% 199 13.7% I 035 15.3%
就业
490 17.3% 2 224 89.2% 943 64.8% 3 657 53.9%
签三方就业154 5.4% 1 656 66.4% 864 59.4% 2 674 39.4%
灵活就业 336 I1.8% 568 22.8% 79 5.4% 983 14.5%
绝密＊启用前
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试(I)
理科数学
本试卷 4 页。总分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 0.5 mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。2Βιβλιοθήκη 4 0.%

全国大联考2020届高三第三次联考数学试卷-(海南新高考卷)及解析word版

全国大联考2020届高三第三次联考·数学试卷考生注意：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上.3.本试卷主要考试内容：前两次联考内容（30%），数列（35%），不等式（35%）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合{|60},{|27}M x x N x x =-<=-<<，则M N ⋂=（） A.{|76}x x -<< B.{|72}x x -<< C.{|26}x x -<< D.{|27}x x -<<2.在等差数列{}na 中，28310,7aa a +==，则数列{}n a 的公差为（）A.1-B.2-C.1D.23.设0.40.831.2, 1.2,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A.b c a >>B.b a c >>C.c b a >>D.a b c >>4.数列{}n a 满足12019a =，且对任意的*n N ∈，有32n n n a a +-=，则7a =（）A.2021B.2035C.2037D.20415.若0,0a b d c >><<，则一定有（）A.ac bcB.11a b b>- C.a c b d ->- D.ad bc <6.已知数列{}n a 为等比数列，21416,64a a a ==，数列的前n 项和为nS ，则6S 等于（）A.634B.6316C.638D.63327.若3log (2)1a b +=+，则42a b +的最小值为（）A.6B.83 C.163D.1738.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即()*(1)(2)1,()(1)(2)3,F F F n F n F n n n N ===-+-∈，此数列在物理、化学等领域都有广泛的应用，若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（） A.1347B.1348C.1349D.13469.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF 在向量BC 方向上的投影为（）A.2B.32C.1D.311.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*125n n S S n n n N++=-+∈，则1213aa +等于（）A.2-B.0C.2D.412.已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象与直线y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为123,,,M M M ，则114M M =（）A.193πB.376πC.7πD.316π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.不等式40x x-≥的解集为________. 14.曲线(1ln )y x x =⋅+在点(1,1)处的切线方程为________.15.若下实数,,a b c ，满足1a b c ++=，则411a b c+++的最小值为_________. 16.已知数列{}n a 满足()()*115,(1)n n n a n a a a n n n N +=--=++∈，若对于任意的*n N ∈，不等式2217n a t -恒成立，则实数t 的取值范围为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知关于x 的不等式()2(3)40ax x a --<的解集为M . （1）当1a =时，求集合；（2）当1N ∈且12M ∉时，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2533,413nnn n n na S ab n +=⨯-=-. （1）证明：数列{}23n n a -⨯为常数列. （2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 2sin cos()0A B C π+-=. （1）判断ABC ∆的形状；（2若7cos 9A =，ABC ∆的周长为16，求ABC ∆外接圆的面积. 20.（本小题满分12分）已知,,a b c 都是正数，求证：（1）222a b c a b c b c a++++；（2）111111222a b c a c c a a b+++++++. 21.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*111,21n n a S S n N +=-=∈. （1）令1n n c S =+，求数列{}n c 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11111,2n n n b b b a ++==+. ①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数n ，使得()1123252n n b b b b n -++++⋅=+成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由. 22.（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-. （1）若1a >，讨论函数()f x 的单调性；（2）()()(1)ln g x f x a x x =+--，是否存在实数a ，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立，若存在，求出a 的范围；若不存在，请说明理由.2020届高三第三次联考·数学试卷参考答案1.C 本题考查集合的交集运算.由题知，{|6},{|27}M x x N x x =<=-<<，所以{|26}M N x x ⋂=-<<.2.A 本题考查等差数列的公差.由题知，因为2810a a +=，所以5210a =，即55a =，所以数列{}n a 的公差为57153-=--. 3.B 本题考查比较数的大小.由 1.2xy =在区间(0,)+∞是单调增函数可知，0.80.401.2 1.2 1.21>>=，又因为33log 2log 31c =<=，所以b a c >>.4.C 本题考查数列指定项.∵32n n n a a +-=，∴4774411122a a a a a a a =-+-+=++，∵12019a =，∴72037a =.5.D 本题考查不等关系.由不等式的性质知，A 选项错误；令5,1,1,8a b c d ===-=-，有11,a c b d a b b<-<--，所以B ，C 选项错误；因为0,0a b d c >><<，所以,ad bd bd bc <<，所以ad bc <.6.A 本题考查等比数列的性质.设数列{}n a 的公比为q ，由题知，3164q =，解得2111,42a q a q =====，所以数列是以8为首项，12为公比的等比数列，所以661812631412S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 7.C 本题考查基本不等式.因为3log (2)1a b +=+23a b ab +=，且0a >，0b >，所以222(2)232a b a b ab +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为20a b +>，所以823a b +，当且仅当2a b =，即24,33a b ==时取等号，故42a b +的最小值为163. 8.A 本题考查数列的周期性.由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前三项和为1102++=，又因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+=.9.C 本题考查等差数列及充分必要条件.必要性显然成立，若()12n n n a a S +=，所以当2n 时，()111(1)2n n n a a S ---+=，所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-，①，所以当3n 时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-，②，由①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，故“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 10.A 本题考查向量的综合应用.因为点E 为BC 的中点，所以1()2AF AE EF AB AC EF =+=++，又因为EF BC ⊥，所以()22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=，所以向量AF 在向量BC 方向上的投影为2||AF BCBC ⋅=.11.C 本题考查数列的最值.因为()2*125n n S S n n n N ++=-+∈，所以当2n 时，21(1)25(1)n n S S n n -+=--+-，两式相减得1262(2)n n a a n n ++=-，∴12132a a +=.12.B 本题考查三角函数的性质.由题意可知，()2sin cos sin 266f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象与直线y =相交，所以sin 22x =，解得1237,,636M M M πππ⎛⎛⎛ ⎝⎝⎝，…，由此可知114113131437666M M M M M M πππ=+=+=.13.{|04}x x x <≥或本题考查分式不等式.40x x -等价于(4)00x x x -⎧⎨≠⎩，解得0x <或4x ≥，所以不等式的解集为{|04}x x x <或.14.210x y --= 本题考查导数的几何意义.1(1ln )y x x x'=++⋅，∴1|2x y ='=，∴所求的切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=.15.92本题考查基本不等式的应用.由题知(1)2a b c +++=，∴4114114()119[1)()]41(54)1212122b c a ca b c a b c a b c a b c ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++++= ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦. 16.[2,2]- 本题考查数列的综合应用.因为()()*1(1)n n n n a a a n n n N +-=++∈，整理得111n na a n n+-=+，因为15a =-，所以6n a n n=-，所以2(6)(3)99n a n n n =-=---，所以29217t --，解得22t -，故实数t 的取值范围[2,2]-.17.解：本题考查解不等式.（1）当1a =时，()2(3)40(3)(2)(2)0x x x x x --<⇔-+-<，所以{|223}M x x x =<-<<或.（2）因为1M ∈，所以(3)(14)0a a --<，所以14a <或3a >，又因为12M ∉，所以1134024a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭不成立，即1134024a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得1616a ，综上可得，实数a 的取值范围11,(3,6]164⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 18.解：本题考查数列的通项公式及裂项求和.（1）当1n =时，11153312a a +=⨯-=，所以16a =.当2n 时，111533n n n S a ---+=⨯-，所以112103n n n a a ---=⨯.所以()11123232nn n n a a ---⨯=-⨯，因为16a =，所以11230a -⨯=，所以230n n a -⨯=，故数列{}23n na-⨯为常数列.（2）由（1）知，23nn a =⨯，所以()2223211412121413n n nb n n n n ⨯===---+-，所以12311111111335572121n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121n n n =-=++.19.解：本题考查解三角形.（1）因为sin 2sin cos()0A B C π+-=，所以sin()2sin cos 0B C B C +-=，所以sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C +-=，所以cos sin sin cos 0B C B C -=，即sin()0C B -=，又因为,B C 为ABC ∆的内角，所以B C =，所以ABC ∆为等腰三角形.（2）由（1）知，22222227,cos 229b c a b a b c A bc b +--====，解得32a b =，又因为16a b c ++=，解得4,6a b c ===，因为7cos ,(0,)9A A π=∈，所以sin 9A = 设ABC ∆外接圆的半径为R，所以29R =R =，故ABC ∆外接圆的面积为818π. 20.解：本题考查基本不等式的应用.（1）∵0,0,0a b c >>>，∴2222a a b b a b b+⋅=，当且仅当a b =时等号成立，同理可得222,2b c c b a c c a++， ∴222222a b c b c a a b c b c a +++++++，即222a b c a b c b c a++++.（2）因为0,0,0a b c >>>，所以11112222a b a bab⎛⎫+⎪+⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，同理可得1111222b c b c ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，1111222c a c a⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， ∴111111111111222222222a b b c c a a b b c c a⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111111222a b c b c c a a b+++++++. 21.解：本题考查数列的综合应用.（1）因为121n n S S +-=，所以()1121n n S S ++=+，即12n n c c +=，又因为11a =，所以11S =，即12c =，所以数列{}n c 是以2为公比和首项的等比数列，所以2n n c =.（2）①由（1）知，21n n S =-，当2n 时，112n n n n a S S --=-=，又因为11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为12n -，因为1112n n n b b a ++=+，所以1122n n n b b +=+，所以11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=，因为11b =，所以数列{}12n n b -是以1为首项和公差的等差数列，所以12n n b n -=，故12n n nb -=. ②设123n n T b b b b =+++⋯+，则01211232222n n nT -=+++⋯+，所以123112322222n n nT =+++⋯+，两式相减得， 0121111111122212222222212n n n n n n n n n T --+=+++⋯+-=-=--，所以12424422n n n n n T -++=-=-，∵()1123252n n b b b b n -++++⋅=+，∴12(2)52n n n +-+=+，即：2270n n --=.令()227(1)x f x x x =--，()2ln 212ln 210x f x '=⋅-->，∴()227xf x x =--在[1,)+∞上单调递增，且(5)0f =，所以存在唯一正整数5n =，使得()1123252n n b b b b n -++++⋅=+成立.22.解：本题考查函数与导数的综合应用.（1）211(1)[(1)]()(1)x ax a x x a f x x a a x x x -+----'=-+-==，①若11a -=，则2(1)2,()0,()x a f x f x x-'==>在(0,)+∞上单调递增； ②若11a -<，则2a <，而1a >，∴12a <<，当(1,1)x a ∈-时()0f x '<；当(0,1)x a ∈-及(1,)+∞时()0f x '<，所以()f x 在(1,1)a -上单调递减，在(0,1)a -及(1,)+∞上单调递增；③若11a ->，则2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -上单调递减，在(0,1)及(1,)a -+∞上单调递增.（2）21()(2)ln 2g x x x a x =-+-，假设存在a ，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立，不妨设120x x <<，只要()()12120g x g x a x x -+>-，即()()2211g x ax g x ax +>+，令()()h x g x ax =+，只要()h x 在(0,)+∞上为增函数，21()(1)(2)ln 2h x x a x a x =+-+-， 22(1)2(1)(2)()(1)a x a x a x x a h x x a x x x-+-+-++-'=+-+==，只要()0h x '在(0,)+∞恒成立，只要20,2x a a +-，故存在[2,)a ∈+∞时，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立.。

2020届全国大联考数学理科第3次联考(易)

!!"!!#""" !"#$

#$!$%&'(#%(
)*+,"#-.#
/01$#2$#&"#'()!#*!%#'
"# "#%*#!#
!
#34+,"#*%)!#15+,! %6+,%#-.# /0&#!
"#!$%&'(#"(" )*+#$,-./0%12#$#%%#&"$#! " !#"3$%#%4*+#$,5.67&
&1+2
3456 $% &% '(
)*+
>*+ 3**+
,-

.-/012

345

67,-

%678

9:;<

-=

?@ABCDE#F2GH2I

JKLJ#M , - !N * O - , - P Q - , - A M , - "#R
S#TUV#W@,-A.-XSY8Z!!"#)$"A.-#;
)$#$"*
+$#$",
-$#$".
/$#$"0
,$7&'&#"'4C" DEF%"#B(%"%"!##!'#"")G(&'&#"'G-H&')4

2020届全国大联考高三第三次联考数学试题(解析版)

【详解】
（1）当时，，所以；
当时，由 ①，得 ②，
①-②得，，
所以，因为，所以，所以，故数列为常数列；
（2）由（1）知，，所以，
所以 .
【点睛】
本题主要考查的应用及用裂项相消法求和，考查计算能力，属于中等题.
19．在中，角所对的边分别为，且 .
（1）判断的形状；
（2）若，的周长为16，求外接圆的面积.
综上可得，实数的取值范围 .
【点睛】
本题主要考查高次不等式的求法，以及根据元素与集合的关系确定参数的取值范围.
18．已知数列的前项和为，且 .
（1）证明：数列为常数列.
（2）求数列的前项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由，得，即，又由，即可得到本题答案；
（2）由（1）得，，即可得到本题答案.
②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）① ；②存在，
【解析】（1）由题，得，即可得到本题答案；
（2）①由，得，所以，恒等变形得，，由此即可得到本题答案；
②由错位相减求和公式，得的前n项和，然后通过求的解，即可得到本题答案.
由此可知 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象与性质的应用，考查学生的分析能力及运算能力.
12．数列满足，且对任意的，有，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据递推关系式运用累和的方法，结合等比数列前项和公式进行求解即可.
【详解】
因为，
所以
.
故选：C