弹性力学理论基础

2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 2）应力 物体受外力作用后，在其内部将要产生 应力。 六面体称为微元体：从物体中取出一 个无限小的平行六面体，它的棱边平行于 坐标轴。 将微元体每一个面上的应力分解成为一 个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴 平行，并称为该面的三个应力分量
2.1 基本假设和基本概念
1）分析各点的位移
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 2）求正应变
根据弹性力学的基本假设，限定位移是微小 的。
正应变的定义有：
u dx
x
dx
u dx x
dx
u x
同理：
y
PB2 PB
PB
v y
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 3）求剪应变
在弹性力学里假想把物体分成无限多个微小六面体(在物 体边界处可能是微小四面体)，称为微元体。
考虑任一微元体的平衡(或运动)，可写出一组平衡(或运 动)微分方程及边界条件。
2.1 基本假设和基本概念
（3）弹性力学问题求解的基本方法 弹性力学问题都是超静定的，必须同时再考虑微元体
的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相 应地称为几何方程和物理方程。平衡(或运动)方程、几何方 程和物理方程以及边界条件称为弹性力学的基本方程。
2 x
x 2
dx 2
略去二阶及二阶以上的微量后：
x
x
x
dx
同样设左面的剪应力是 xy
右面的剪应力将是
xy
xy x
dx
2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程
各个面上所受的应力可以假设为均匀分
布，并作用在对应面的中心。六面体所受的 体力，也可假设为均匀分布，并作用在它的 体积的中心。
1) 各力在x轴方向上的投影代数和应等于零
根据上述基本假设而建立的弹性力学，称为线性弹性力学。
2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 1）外力 作用于物体上的外力，按其作用方式的不同，可以分为体积 力和表面力两类，两者也分别简称为体力和面力。 体力：是指分布在物体体积内部的力，如物体的自重、惯性 力、温度和磁吸力等。 一般在物体内部各点的体力是不相同的，若将任一点P处单 位体积内所作用的体力，沿着直角坐标轴x、y、z三个方向的投影， 分别记为X、Y、Z，则这三个量被称为物体在该点的体力分量。 面力：是指作用在物体表面上的力，如作用在墙梁上的均 布荷载、水坝上游表面的静水压力、挡土墙的土压力和温度的 对流等。作用在物体表面上各点力的大小和方向一般也是不相 同的。
从取微元体入手，综合考虑静力(或运动)、几何、物理 三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用 边界(表面)条件确定解中的常数
将其中的一部份未知函数选为“基本未知函数”，先 将它们求出，然后再由此求出其他的未知函数，而得到问题 的全部解答。
以应力为“基本未知函数”的应力解法和以位移作为 “基本未知函数”的位移解法。
这六个应变，称为该点的形变分量，可以完全确定该点 的形变状态。
已知这六个应变，就可以求得经过该点的任一线段的正 应变，也可以求得经过该点的任意两个线段之间的角度改变。
2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 4）位移 物体在受力之后或其它原因(如温度改变)，其内部各点将 发生位移。
弹性体内任一点的体力分量、面力分量、应力分量，应 变分量以及位移分量，都是随点的位置不同而不同，因而它们 都是点的位置坐标的连续函数。 （3）弹性力学问题求解的基本方法
在一定边界条件下，按选取的解题方法(应力法或位移法)， 求出其相应微分方程组的解。
2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程 思路是：从弹性体中任一点处取出一个微元体，考虑其
平衡，应用静力学的三个平衡条件，找出应力与体力的关系。
微小单元体上作用有内部的体积力和四个 侧面上的应力。
xdx
x
x
x
dx
1 2
《有限元基本理论及应用》
弹性力学理论基础
2.1 基本假设和基本概念
（1）弹性力学的基本假设 基本假设： 1) 连续性假设，即物体内部都被组成该物体的介质所填满，没
有任何空隙。这样，物体中的应力、应变、位移等量都是连续的 ，可以用坐标的连续函数表示。
2) 均匀性和各向同性假设，即物体内所有各点和所有方向上有 相同的物理性质，因而物体的弹性常数不随位置坐标和方向而变 化。
Mo 0
xy
xy
x
dxtdy
dx 2
xytdy
dx 2
yx
yx
y
dy tdx
dy 2
yxtdx
dy 2
0
除以 tdxdy ，并略去微量项，合并相同的项后得出
xy yx
x
x
yx
y
X
0
xy
y
Y
0
x y
超静定问题
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 平面内的变形状态的两类物理量：
（2）弹性力学的基本概念 2）应力
由材料力学的剪应力互等定理，六个剪应力是 两两相等的，即有
xy yx,
yz zy ,
zx xz
3）应变 单元体受力之后，要发生形状的改变。
为了描述物体内某点的变形，就在该点取一 个平行于坐标轴的微元体。
2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 3）应变 物体变形以后，这三个棱边(线段)的长度 及它们之间的角度改变，就作为该点的变形。 正应变(相对变形或线应变)：线段每单位长度的伸缩。 剪应变：线段之间直角的改变。
3) 线弹性假设，即物体在产生变形的外加因素(外力、温度变 化等)被除去以后，能完全恢复到原状而没有任何剩余变形。
满足上述条件的物体，则称为理想弹性体。 4) 无初应力假设，即物体在未受载荷或温度变化等作用之前， 其内部无应力，即物体处于自然状态。 5) 小变形假设，即在外加因素作用下，物体的变形或位移，与 物体原有尺寸相比是很微小的。
Fx 0
x
x
x
dx tdy
xtdy
yx
yx
y
dy tdx
yxtdx
Xtdxdy
0
化简后，两边除以 tdxdy x yx X 0
x y
2) 各力在y轴方向上的投影代数和应等于零
Fy 0
xy y Y 0
x y
2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程
3) 各力对单元体中心的力距代数和应等于零
xy
右图线段PA的转角:
tg