正弦量的微分

2Icos(wt Ψ ) j 2Isin(wt Ψ )
对 F(t) 取实部 Re[F(t)] 2Icos(w t Ψ ) i(t)
结论 任意一个正弦时间函数都
是一个正弦量 有物理意义
有唯一与其对应的复数函数。
i 2Icos(w t Ψ ) F (t) 2Ie j(wtΨ )
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F(t) 还可以写成 复常数
F (t) 2Ie j e jwt 2Ie jwt
F(t) 包含了三要素：I、 、w， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量

i(t) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ
相量的模表示正弦量的有效值
注意
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注意 ① 正弦量
相量
时域 正弦波形图
频域 相量图
②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变
线性电路。
不
适
线
w1 线
w非
用
性 w2 性
线性
③相量法用来分析正弦稳态电路。
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+j
U

q
I

+1
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4. 相量法的应用
①同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos(w t Ψ 1) Re(
2

U
1
e
jw
t
)
u2 (t)
2 U2 cos(w t Ψ 2) Re(
2

U
2
e
jw
t
)
u(t)
u1(t) u2 (t) Re(
2

U
1
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借助相量图计算
U1 630o V U2 460o V
Hale Waihona Puke Baidu
+j
U 2
60
U1
U
+j
30 41.9
+1
U
U 2
U1 60
30 41.9
+1
首尾相接
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②正弦量的微分、积分运算
i 2 I cos(w t i ) I I i
u2 (t) 4 2cos(314t 60o ) V
U U1 U2 630 460
U1 630o V U2 460o V
5.19 j3 2 j3.46 7.19 j6.46
9.6441.9o V
u(t) u1(t) u2(t) 9.64 2cos(314t 41.9o ) V
例 i(t)
+R
u(t)
L
-C
i(t) 2 I cos(w t i )
u(t)

Ri

L
di dt

1 C
idt
用相量运算：
U RI jwLI
I
jwC
相量法的优点
①把时域问题变为复数问题；
②把微积分方程的运算变为复数方程运算； ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
相量的幅角表示正弦量的初相位
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：

u(t) 2U cos(w t θ ) U Uθ
例1 已知 i 141.4cos(314t 30o )A
u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .


解 I 10030o A, U 220 60o V
微分运算 积分运算
di d Re 2 Iejw t Re 2I jw ejw t
dt dt
idt Re
2Iejw t
dt

Re

2
I
jw
e jw t

di dt

jw
I
w
I
i

π 2
idt

I
jw

I
w
i
π2
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例2 已知 I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解 i 50 2cos(314t 15 ) A
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相量图
在复平面上用向量表示相量的图
i(t) 2Icos(ω t Ψ ) I IΨ
u(t) 2Ucos(w t θ) U Uθ
e
jwt
)

Re(
2

U
2
e
jwt
)
Re(

2U1
e jwt

2

U
2
e
jwt
)

Re(
2

(U
1


U
2
)e
jwt
)
相量关系为： U U1 U2
U
结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量
的加减运算。
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i1 i2 = i3
I1 I2 I3
例 u1(t) 6 2cos(314t 30 ) V
iu1, i
i2
i1
角频率 w
iw2
有效值 I1 o
I2
初相位 1
2
i1+i2 i3
i3
w
w It3 3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。因此采用
正弦量
复数
变换的思想
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3. 正弦量的相量表示
无物理意义
造一个复函数 F (t) 2Ie j(w tΨ )