最新2020届中考数学专题复习-新概念型问题

2020年中考数学专题讲座二：新概念型问题

一、中考专题诠释

所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力

二、解题策略和解法精讲

“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．

考点二：运算题型中的新概念

整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-8=0，即4x=8，

解得：x=2．

故答案为：2

点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．

对应训练

2．（2012•株洲）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=．考点三：探索题型中的新概念

例3 （2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B 重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．

（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，

①若AB是⊙O的直径，则∠APB=°；

②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；

（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．

思路分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；

②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；

（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．

解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90．

②如图，连接AB、OA、OB．

在△AOB中，

∵OA=OB=1．AB=，

∴OA2+OB2=AB2．

∴∠AOB=90°．

当点P在优弧上时，∠AP1B=∠AOB=45°；

当点P在劣弧上时，∠AP2B=（360°﹣∠AOB）=135°…6分

（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．

第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①

∵∠MAN=∠APB+∠ANB，

∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；

第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），

∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；

第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．

∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，

∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB，

第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，

∠APB=∠MAN+∠ANB．

点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．

对应训练

3．（2012•陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是三角形；

（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

考点四：开放题型中的新概念

例4 （2012•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下概念：

若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|；

若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|．

例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．

（1）已知点A（-1

2

，0），B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；

（2）已知C是直线y=3

4

x+3上的一个动点，

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．

思路分析：（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的概念可以确定|0-y|=2，据此可以求得y的值；

②设点B的坐标为（0，y）．因为|- 1

2

-0|≥|0-y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|-

1

2

-0|=

1

2

；