中考数学专题复习：新定义旧运算

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中考数学八大题型集训：专题复习(2)新定义运算

专题复习(二) 新定义运算、新概念问题新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．观察下表：式”为4x＋y.回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为__________，第n格的“特征多项式”为________________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16.①求x，y的值；②在此条件下，第n个特征多项式是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n值．若没有，请说明理由．【思路点拨】(1)抓住x、y的排列规律；x在第n格是按(n＋1)排，每排是(n＋1)个x来排列的；y在第n格是按n排，每排是n个y来排列的，根据这个规律即可得解；(2)①按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值，联立成二元一次方程组来解，可求出x、y的值；②求最小值可以通过建立一个二次函数来解决；前面我们写出了第n格的“特征多项式”，求出了x、y的值，所以可以建立最小值关于n的二次函数，根据二次函数的最小值性质便可求得．【解答】 (1)16x ＋9y 25x ＋16y (n ＋1)2x ＋n 2y(n 为正整数)(2)①依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝－10，9x ＋4y ＝－16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－247，y ＝267.②设最小值为W ，依题意得： W ＝(n ＋1)2x ＋n 2y ＝－247(n ＋1)2＋267n 2＝27n 2－487n －247＝27(n －12)2－3127. 即有最小值为－3127，相应的n 的值为12.这类题首先要读懂题目中的新概念或定义，然后将新概念的问题与原有的知识结合，利用原有的知识解决问题，其实就是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原来的知识点．1．已知m ＝x ＋1，n ＝－x ＋2，若规定y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋m －n （m≥n），1－m ＋n （m ＜n ），则y 的最小值为()A ．0B ．1C ．－1D ．22．在平面直角坐标系中，任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)规定运算：①A ○+B ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；②A ○⨯B ＝x 1x 2＋y 1y 2；③当x 1＝x 2且y 1＝y 2时，A ＝B. 有下列四个命题：(1)若A(1，2)，B(2，－1)，则A ○+B ＝(3，1)，A ○⨯B ＝0； (2)若A ○+B ＝B ○⨯C ，则A ＝C ； (3)若A ○⨯B ＝B ○⨯C ，则A ＝C ； (4)对任意点A 、B 、C ，均有(A ○+B)○+C ＝A ○+(B ○+C)成立．其中正确命题的个数为()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．对于实数a 、b ，定义一种运算“○⨯”为：a ○⨯b ＝a 2＋ab －2，有下列命题： ①1○⨯3＝2； ②方程x ○⨯1＝0的根为x 1＝－2，x 2＝1； ③不等式组⎩⎨⎧<-⊗<-⊗-031,04)2(x x 的解集为－1＜x ＜4；④点(12，52)在函数y ＝x ○⨯(－1)的图象上．其中正确的是()A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④4．对于任意实数m 、n ，定义一种运算m※n＝mn －m －n ＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是________．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x ，y)和Q(x ，y ′)，给出如下定义：若y′＝⎩⎪⎨⎪⎧y （x≥0），－y （x ＜0），则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(－1，3)的“可控变点”为点(－1，－3)．(1)若点(－1，－2)是一次函数y ＝x ＋3图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为________；(2)若点P 在函数y ＝－x 2＋16(－5≤x≤a)的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是－16≤y ′≤16，则实数a 的取值范围是________．6．规定：sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx ，sin(x ＋y)＝sinx ·cosy ＋cosx ·siny.据此判断下列等式成立的是________(写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24； ③sin2x ＝2sinx ·cosx ；④sin(x －y)＝sinx ·cosy －cosx ·siny.7．对于平面直角坐标系中任意两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，称|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为P 1、P 2两点的直角距离，记作：d(P 1，P 2)．若P 0(x 0，y 0)是一定点，Q(x ，y)是直线y ＝kx ＋b 上的一动点，称d(P 0，Q)的最小值为P 0到直线y ＝kx ＋b 的直角距离．令P 0(2，－3)．O 为坐标原点．则：(1)d(O ，P 0)＝________；(2)若P(a ，－3)到直线y ＝x ＋1的直角距离为6，则a ＝________．8．已知抛物线p ：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，点C 关于x 轴的对称点为C′，我们称以A 为顶点且过点C′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为____________．9．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n 为非负整数时，若n －12≤x<n ＋12，则<x>＝n ，如<0.46>＝0，<3.67>＝4，给出下列关于<x>的结论：①<1.493>＝1；②<2x>＝2<x>；③若<12x －1>＝4，则实数x 的取值范围是9≤x<11；④当x≥0，m 为非负整数时，有<m ＋2 013x>＝m ＋<2 013x>；⑤<x＋y>＝<x>＋<y>.其中，正确的结论有________(填写所有正确的序号)．10．若正整数n 使得在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n 为“本位数”．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”．现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为________．11．如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①方程x 2－x －2＝0是倍根方程；②若(x －2)(mx ＋n)＝0是倍根方程，则4m 2＋5mn ＋n 2＝0；③若点(p ，q)在反比例函数y ＝2x 的图象上，则关于x 的方程px 2＋3x ＋q ＝0是倍根方程；④若方程ax 2＋bx ＋c ＝0是倍根方程，且相异两点M(1＋t ，s)，N(4－t ，s)都在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根为54.参考答案1．B 2.C 3.C 4.4≤a＜5 5.(1)(－1，2) (2)0≤a≤4 2 6.②③④7．(1)5 (2)2或－10 8.y ＝x 2－2x －3 9.①③④ 10.711 11.②③。

中考数学专题复习新定义问题(一)

中考数学专题复习新定义问题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形ABCD ，其中2222,0,0,,,0,0,2222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，M ，N 为该正方形外两点，1MN =．给出如下定义：记线段MN 的中点为P ，平移线段MN 得到线段M N ''，使点,M N ''分别落在正方形ABCD 的相邻两边上，或线段M N ''与正方形的边重合（,,M N P '''分别为点M ，N ，P 的对应点），线段PP '长度的最小值称为线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”．（1）如下图，平移线段MN ，得到正方形ABCD 内两条长度为1的线段1122,M N M N ，则这两条线段的位置关系是_______；若12,P P 分别为1122,M N M N 的中点，在点12,P P 中，连接点P 与点_______的线段的长度等于线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”；（2）如图，已知点21,02E ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，若M ，N 都在直线BE 上，记线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若线段MN 的中点P 的坐标为(2)2，，记线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．2．对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ ，给出如下定义：若存在PQR 使得2PQRSPQ =，则称PQR 为线段PQ 的“等幂三角形”，点R 称为线段PQ 的“等幂点”．（1）已知(3,0)A ．①在点1234(1,3),(2,6),(5,1),(3,6)P P P P --中，是线段OA 的“等幂点”的是_____________； ①若存在等腰OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，求点B 的坐标；（2）已知点C 的坐标为(2,1)C -，点D 在直线3y x =-上，记图形M 为以点(1,0)T 为圆心，2为半径的T 位于x 轴上方的部分，若图形M 上存在点E ，使得线段CD 的“等幂三角形”CDE △为锐角三角形，直接写出点D 的横坐标D x 的取值范围．3．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和点P ，给出如下定义：将图形M 绕点P 顺时针旋转90︒得到图形N ，图形N 称为图形M 关于点P 的“垂直图形”．例如，图1中点D 为点C 关于点P 的“垂直图形”．（1）点A 关于原点O 的“垂直图形”为点B ． ①若点A 的坐标为(0,2)，则点B 的坐标为_______； ①若点B 的坐标为(2,1)，则点A 的坐标为_______．（2）(3,3),(2,3),(,0)E F G a --．线段EF 关于点G 的“垂直图形”记为E F ''，点E 的对应点为E '，点F 的对应点为F '． ①求点E '的坐标（用含a 的式子表示）；①若O 的半径为2，E F ''上任意一点都在O 内部或圆上，直接写出满足条件的EE '的长度的最大值．4．如图，直线l和直线l外一点P，过点P作PH l⊥于点H任取直线l上点Q，点H 关于直线PQ的对称点为点H'，标点H'为点P关于直线l的垂对点．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知点(0,2)P，则点(0,0),(2,2),(0,4)O A B中是点P关于x轴的垂对点的是_______；（2）已知点(0,)M m，且0m>，直线443y x=-+上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；（3）已知点(,2)N n，若直线y x n=+上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n 的取值范围，5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段ST ，我们定义点P 关于线段ST 的线段比()()PS PS PT ST k PT PS PT ST⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（1）已知点(0,1),(1,0)A B ．①点(2,0)Q 关于线段AB 的线段比k =__________； ①点(0,)C c 关于线段AB 的线段比2k =，求c 的值．（2）已知点(,0)M m ，点(2,0)N m +，直线2y x =+与坐标轴分别交于,E F 两点，若线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比14k <，直接写出m 的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和线段MN ，如果点A ，O ，M ，N 按逆时针方向排列构成菱形AOMN ，且AOM α∠=，则称线段MN 是点A 的“α-相关线段”．例如，图1中线段MN 是点A 的“30-相关线段”．（1）已知点A 的坐标是(0,2)．①在图2中画出点A 的“30-相关线段”MN ，并直接写出点M 和点N 的坐标； ①若点A 的“α-相关线段”经过点(3,1)，求α的值；（2）若存在,()αβαβ≠使得点P 的“α-相关线段”和“β-相关线段”都经过点(0,4)，记PO t =，直接写出t 的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，点A 是平面内一点，过点A 的直线交O 于点 B 和点C （ABAC ），01BC ，我们把点 B 称为点A 关于O 的“斜射点”．（1）如图，在点12331(1,1),(0,),(,0)22A A A -中，存在关于 O 的“斜射点”的是_____________．（2）已知若(0,2)A ，点关于O 的“斜射点”为点B ，则点 B 的坐标可以是__________．（写出两个即可）（3）若点A 直线y kx k =+上，点A 关于O 的“斜射点”为(1,0)B -，画出示意图，直接写出 k 的取值范围．8．对于平面内的点P 和图形M ，给出如下定义：以点P 为圆心，r 为半径作圆，若P 与图形M 有交点，且半径r 存在最大值与最小值，则将半径r 的最大值与最小值的差称为点P 视角下图形M 的“宽度M d ”．（1）如图1.点(4,3)A ，(0,3)B ．①在点O 视角下，则线段AB 的“宽度AB d ”为_________； ①若B 半径为1.5，在点A 视角下，B 的“宽度Bd”为_________；（2）如图2，O 半径为2，点P 为直线1y x =-+上一点．求点P 视角下O “宽度Od”的取值范围；（3）已知点(,0),1C m CK =，直线333y x =+与x 轴，y 轴分别交于点D ，E ．若随着点C 位置的变化，使得在所有点K 的视角下，线段DE 的“宽度”均满足06DE d <<，直接写出m 的取值范围．9．在平面直角坐标系O x y 中，任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义线段PQ 的“直角长度”为2121PQ d x x y y =-+-．（1）已知点(3,2)A ． ① OA d =________；① 已知点(,0)B m ，若6AB d =，求m 的值；（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点(3,3)M ．① 点(0,)(0)D d d ≠．如果OMD 为“和距三角形”，求d 的取值范围；① 在平面直角坐标系xOy 中，点C 为直线4y x =--上一点，点K 是坐标系中的一点，且满足1CK =，当点C 在直线上运动时，点K 均满足使OMK △为“和距三角形”，请你直接写出点C 的横坐标C x 的取值范围．10．对于平面直角坐标系xOy 中的O 和图形N ，给出如下定义：如果O 平移m 个单位后，图形N 上的所有点在O 内或O 上，则称m 的最小值为O 对图形N 的“覆盖近距”．（1）当O 的半径为1时，①若点()3,0A ，则O 对点A 的“覆盖近距”为_________；①若O 对点B 的“覆盖近距”为1，写出一个满足条件的点B 的坐标_________； ①若直线2y x b =+上存在点C ，使O 对点C 的“覆盖近距”为1，求b 的取值范围；（2）当O 的半径为2时，(3,),(4,1)D t E t +，且12t -≤≤．记O 对以DE 为对角线的正方形的“覆盖近距”为d ，直接写出d 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()()1122,,,M x y N x y ，若1212x x y y k -+-=（k 为常数且0k ≠），则称点M 为点N 的k 倍直角点．根据以上定义，解决下列问题：（1）已知点(1,1)A①若点(2,3)B -是点A 的k 倍直角点，则k 的值是___________；①在点(2,3),(1,1),(0,2),(0,0)C D E O --中是点A 的2倍直角点的是_______； ①若直线2y x b =-+上存在点A 的2倍直角点，求b 的取值范围；（2）T 的圆心T 的坐标为(1,0)，半径为r ，若T 上存在点O 的2倍直角点，直接写出r 的取值范围．12．已知点P 、Q 分别为图形M 和图形N 上的任意点，若存在点P 、Q 使得PQ =1,我们就称图形M 、N 为友好图形，P 、Q 为关于图形M 、N 的一对友好点．（1）已知点 (1,0)A ,1(0,)2B ,C (-1,1)中, 与点O 为一对友好点，（2）已知O 半径r =1，若直线y x b =+与O 有且只有一对友好点，求b 的值；（3）已知点,D(m,2), D 半径r =1，若直线y=x+m 与D 是友好图形，求m 的取值范围．13．规定如下：图形M 与图形N 恰有两个公共点（这两个公共点不重合），则称图形M 与图形N 是和谐图形．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为2，若直线x k =与O 是和谐图形，请你写出一个满足条件的k 值，即k =______；（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),0A t ，直线3:33l y x =+与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点（其中点A 不与点B 重合），则线段AB 与直线l 组成的图形我们称为图形V ；①3t =时，以A 为圆心，r 为半径的A 与图形V 是和谐图形，求r 的取值范围；①以点A 为圆心，23为半径的A 与图形V 均组成和谐图形，求t 的取值范围．参考答案：1．（1）平行，P 1；（2）1d 的最小值为24；（3）21332222d -≤≤．【解析】【分析】（1）根据图形，比较PP 1，PP 2的长度即可求解；（2）根据已知条件求得①P 1BE =45︒，过P 1作P 1Q ①BE 于Q ，则△P 1QB 为等腰直角三角形，利用特殊角三角函数值即可求解；（3）先找到最值点，再利用两点之间的距离公式即可求解．【详解】（1）解：由图可得MN ①M 1N 1，MN ①M 2N 2， ①M 1N 1①M 2N 2，而PP 1<PP 2，故线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为PP 1；故答案为：平行，P 1；（2）①B (0，22)，C (22，0)，四边形ABCD 为正方形， ①BC =2222122⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①BCA =45︒， ①E (212+，0)， ①CE =221122+-==BC ， ①①1=①2，则①1+①2=①BCA =45︒， ①①1=①2=22.5︒，在Rt △BMN 中，BP 1为斜边上的中线，则BP 1=12MN =12=NP 1，①①P 1BN =①P 1NB ，又MN ①BE ， ①①2=①P 1NB ，①①2=①P 1NB =45︒，①P 1BE =①2+①P 1BN =45︒，过P 1作P 1Q ①BE 于Q ，则△P 1QB 为等腰直角三角形，在Rt△P1QB中，P1Q=P1B sin45︒=122224⨯=，①1d的最小值为24；（3）解：根据题意，P1、P2分别是AB、BC的中点，则线段MN到正方形ABCD的“平移距离”最大为PP1，最小为PP2，此时，P1 (24-，24)，P2 (24，24)，①PP1=22223322442⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，PP2=22222112222224422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①2d的取值范围是21332222d-≤≤．【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．2．（1）①24,P P：①362⎛⎫⎪⎝⎭，或362⎛⎫⎪⎝⎭，-；（2）3212Dx-<<或5232Dx+<<【解析】【分析】（1）①根据定义求出三角形面积与OA 2进行比较即可确定线段OA 的“等幂点”；①如图，由OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，可得2OAB S OA =．由点A 的坐标为()3,0A ，若记OAB 中OA 边上的高为h ，可得392OAB S h ==，求出6h =．由OAB 是等腰三角形，点B 在线段OA 的垂直平分线上即可求点B 的坐标为（32，6）或（32，-6）；（2）设半圆与x 轴交于G ，H 两点，过T 作CH 的平行线与半圆交于R ，作CH 的垂线交半圆于Q ，直线y =x -3与y 轴交于N ，设D （x ，x -3），过D 作y 轴平行线，与过C 作x 轴平行线交于F ，求出N (0，-3), H (3，0)，可证△ONH 为等腰直角三角形，①OHN =①ONH =45°，点D 运动分两种情况，第一种情况点D 在射线CH ，去掉线段CH 部分运动，在Rt △TCH 中TH =2，TC =CH =TH ×sin45°=22=22⨯，QC=2+2，又因为△ECD 为锐角三角形，点E 在QR 上运动，点E 到CD 的距离h 的范围是222h ≤≤+，可求h =2CD =22(x-2)，5232D x +<<；第二种情况点D 在射线CU 上，去掉线段CU 部分运动，点E 在QG 上运动，求出GU =GH ×cos45°=22，可得2222h ≤≤+，可求()2222222x ≤-≤+，解不等式即可得3212D x -<<．【详解】（1）①1OP A S=1211933222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<，P 1不是线段OA 的“等幂点”． 2OP A S=2211369=22P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=， P 2是线段OA 的“等幂点”． 3OP A S=3211331222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<，P 3不是线段OA 的“等幂点”． 4OP AS =421136922P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯==， P 4是线段OA 的“等幂点”．是线段OA 的“等幂点”的是24,P P ，故答案为：24,P P ：①如图，①OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，①2OAB S OA =．①点A 的坐标为()3,0A ，若记OAB 中OA 边上的高为h ，则有13922OAB S OA h h =⨯⨯==．解得6h =．①点B 在直线6y =或6y =-上．①OAB 是等腰三角形，①点B 在线段OA 的垂直平分线上．OA 的垂直平分线为x =32,与直线6y =或6y =-的交点为B 1（32，6），B 2（32，-6），综上所述，点B 的坐标为（32，6）或（32，-6），（2）设半圆与x 轴交于G ，H 两点，过T 作CH 的平行线与半圆交于R ，作CH 的垂线交半圆于Q ，直线y =x -3与y 轴交于N ，设D （x ，x -3），过D 作y 轴平行线，与过C 作x 轴平行线交于F ，当x =0时，y =-3,N (0，-3),当y =0时，x -3=0，x =3，H (3，0)，①ON =3=OH ，①ONH 为等腰直角三角形，①OHN =①ONH =45°，点D 运动分两种情况，第一种情况点D 在射线CH ，去掉线段CH 部分运动，①TC ①NH ，①OHN =45°，①①TCH 为等腰直角三角形，在Rt ①TCH 中TH =2，TC =CH =TH ×sin45°=22=22⨯，QC=2+2，又因为①ECD 为锐角三角形，点E 在QR 上运动，点E 到CD 的距离h 的范围是222h ≤≤+，CD=CF÷cos45°=2CF=2(x-2)，①线段CD 的“等幂三角形”， S △CDE =12h CD ⋅=CD 2， ①h =2CD =22(x -2)，①()222222x <-<+，解得55222x+<<，点D在H右侧，x>3，①5232Dx+<<；第二种情况点D在射线CU上，去掉线段CU部分运动，点E在QG上运动，又因为①ECD为锐角三角形，GU=GH×cos45°=22，①2222h≤≤+，①线段CD的“等幂三角形”，S△CDE=12h CD⋅=CD2，①h=2CD=22(2-x)，则()2222222x≤-≤+，解得3212Dx-<<，D 的横坐标D x 的取值范围为3212D x -<<或5232D x +<<．【点睛】本题考查新定义问题，仔细阅读新定义，抓住三角形的高为底的二倍，涉及三角形面积，等腰三角形，等腰直角三角形，线段垂直平分线，一次函数的性质，圆的性质，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，锐角三角形，列双边不等式，解不等式等知识，难度较大，综合较强，熟练掌握多方面知识才是解题关键．3．（1）①()2,0；①()1,2-；（2）①(3,3)+'+E a a ；①22【解析】【分析】（1）①点A 在y 轴上，则点B 在x 轴上，且OB =OA =2，从而易得点B 的坐标；①由OA =OB ，过A 、B 分别作x 轴的垂线于N 、 M ，则可得①ANO ①①OMB ，故有AN =OM =2，ON =BM =1，再由点在第二象限，从而可得点A 的坐标；（2）①分别过点E 、E E '作x 轴的垂线，垂足分别为H 、Q ，则由OE OE '=，可得EHG GQE '△≌△,由此可得E '点的坐标；①由①知，点E '的两个坐标相等，表明E '点在第一、三象限的角平分线上，当E '点位于第一象限的圆上时，EE '最大,此时2OE '=，从而可得E '点坐标为(2,2)，这样可求得EE '的最大值．【详解】解：（1）①因点A 在y 轴上，故点B 必在x 轴正半轴上，又OB =OA =2，所以点A 坐标为()2,0；故答案为：()2,0．①如图，过A 、B 分别作x 轴的垂线于N 、 M ．则①ANO =①OMB =90，①①AON +①A =90°①①AOB =90°，①①AON +①BOM =90°，①①A =①BOM ，①OA =OB ，①①ANO ①①OMB ，①AN =OM =2，ON =BM =1，根据题意，点A 必在第二象限，①A ()1,2-．故答案为：()1,2-．（2）①如图，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，过点E '作'⊥E Q x 轴于点Q ．由题意可知，,'90EG E G EGE '=∠=︒．①EHG GQE '△≌△．①,'==EH GQ HG QE ．①(3,3),(,0)-E G a ，①()3,0-H ．①．|3|3,3HG QE a a EH GQ ==+=+=='①|3|3OQ a a =+=+．①(3,3)+'+E a a ．①①EF ①x 轴①E F x ''⊥轴连接OE '，延长E F ''交x 轴于点H ，则E H x '⊥轴；过点E '作x 轴的平行线，过点E 作y 轴的平行线，两线交于点D ，则ED E D '⊥，如图所示；由①知，点E '的两个坐标相等，①|3|OH E H a '==+，表明E '点在第一、三象限的角平分线上，且位于与圆相交的圆内的一条线段上运动，当点E '位于第一象限上的圆上时，即2OE '=时，EE '最大，①①E HO '是等腰直角三角形，①22OH OE '==，①2OH E H '==，①(2,2)E '，①32DE '=+，32DE =-，在Rt EDE '中，由勾股定理得：2222(32)(32)22EE DE DE =+=-++=''，即EE '的最大值为：22．【点睛】本题考查了新定义，对于新定义这类问题，关键是弄清楚新定义的含义，抓住问题的实质，本题新定义的实质是旋转，通过作x 轴的垂线，构造两个全等的直角三角形，问题便容易解决．4．（1）O 和A ；（2）3m 2≥；（3）-2n 1+21＜＜且n≠2 【解析】【分析】（1）根据垂对点的定义即可得出答案；（2）先得出点M 关于x 轴的垂对点在以M 为圆心MO 即m 为半径的圆上，点(0,2)m 除外，再根据当直线443y x =-+与①M 相切时，m 的值最小，利用相似三角形的判定和性质得出m 的值即可；（3）先得出点N 关于x 轴的垂对点在以N 为圆心2为半径的圆上，点(n,4)除外，再分n =0、n ＜0 、n ＞0三种情况进行分类讨论即可．【详解】解：（1）①点(0,2)P ，①根据垂对点的定义可得点P 关于x 轴的垂对点为(0,0),(2,2)O A ；（2）①点(0,)M m ，且0m >，①由垂对点的定义可知，点M 关于x 轴的垂对点在以M 为圆心MO 即m 为半径的圆上，点(0,2)m 除外，则OM =m ；设直线443y x =-+与x 轴和y 轴的交点分别为G 、H ，①G（3，0），H（0，4），①22345GH=+=，①直线443y x=-+上存在点M关于x轴的垂对点，①当直线443y x=-+与①M相切时，m的值最小，此时切点为N,连接MN，则①HOG=①MNH=90°，①①OHG=①NHM①①OHG①①NHM①=MN MHOG GH①m4-m35=①3m=2①m的取值范围是：3m2≥；（3）①(,2)N n，点N关于x轴的垂对点在以N为圆心2为半径的圆上，点(n,4)除外，当n=0时，①N与y=x有两个交点，则直线y x n=+上存在两个点N关于x轴的垂对点，当n＞0时，相当于①N向右平移，y=x向上平移，当y=x+n与①N相切于①N左侧时是临界点，设切点为E，连接NE，①DEN=90°，过点E作EF①x轴于F，直线y=x+n与x轴y轴的交点分别为W、K，则W（-n，0），K （0，n），①OK=OW，①①OWK为等腰直角三角形，设过点(,2)N n且平行于x轴的直线与直线y=x+n相交于点D，则①DEN为等腰直角三角形，22DE=，设EF交DN于点I，在直角三角形ENI中，NE=2，①END=45°，①NI=EI=2，①E（n-2，2+2），①点E在y=x+n上，①2+2=n-2+n①n=1+2当n=2时，直线与圆交于点（0，2）、（2，4），此时只有一个垂对点，故n≠2．当n＜0时，相当于①N向左平移，y=x向下平移，同理得出n=1-2，①-2n1+21＜＜且n≠2 ．【点睛】本题属于新定义题型，涉及到了三角形的判定和性质、切线的性质，解题的关键在于读懂题目信息，并注意数形结合思想的应用．5．（1）①22；①C点为(0,3)或(0,3)-；（2）92422m-<<-+或52222m-<<-+．【解析】【分析】（1）①利用两点之间的距离公式和线段比k的定义即可得；①分若AC BC<时和AC BC≥时，两种情况讨论，根据线段比k的定义计算即可；（2）分①当点N 在E 点或在其左侧时，①当点N 在E 点右侧,M 点在E 点左侧时，①当M 点在E 点或在E 点右侧时三种情况讨论，结合图形和线段比k 的定义分析即可．【详解】解：（1）①22112AB =+=，22215AQ =+=，1BQ =， ①BQ AQ <， ①1222BQ k AB ===，故答案为：22； ①①(0,)C c ，①|1|AC c =-，21BC c =+，若AC BC <时， |1|22c k -==，解得3c =或1c =-（不满足2|1|1c c -<+舍去）；若AC BC ≥时，2122c k +==，解得3c =（不满足2|1|1c c -≥+舍去）或3c =-；综上所述，C 点为(0,3)或(0,3)-；（2）①直线2y x =+与坐标轴分别交于,E F 两点， ①(2,0)E -,(0,2)F ，①点(,0)M m ，点(2,0)N m +， ①MN =2，①如下图，当点N 在E 点或在其左侧时，22m +≤-，即4m ≤-， M 、N 到线段EF 的最短距离为ME 、NE ，此时ME >NE ，即2(2)124m --+<，解得92m >-，即942m -<≤-；①如下图，当点N在E点右侧,M点在E点左侧时，42m-<<-，M、N到线段EF的最短距离为ME、NG（N到EF的垂线段），()222,422ME m NG EN m=--==+，若2(4)22m m+<--，即22m<-，2(414)22m+<，解得242m<-+，此时2442m-<<-+，若2(4)22m m+>--，即22m>-，4212m--<，解得52m>-，此时522m-<<-；①如下图，当M点在E点，或在E点右侧时，2m≥-M 到线段EF 的距离近，为MG （M 到EF 的垂线段），2(2)1224m +<，解得222m <-+，即2222m -≤<-+ 综上所述，92422m -<<-+或52222m -<<-+．【点睛】本题是新定义的题目．注意考查一次函数与坐标轴交点问题，两点之间的距离公式．理解题中线段比的定义，能分类讨论结合图形分析是解题关键．6．（1）① 作图见解析；点M 的坐标是(1,3)，点N 的坐标是(1,32)+；①α的值为60︒或120︒ ；（2） 224t <≤．【解析】【分析】（1）①根据“ α− 相关线段”的定义求解；①由题意点M 必在直线x =3上，记MH ①x 轴于H ，则可得MH =1，①MOH =30°，然后分点M 在x 轴上方和点M 在x 轴下方两种情况分别求出α的值即可；（2）根据题意分0<t ≤22、22<t ≤4、t >4三种情况讨论．【详解】（1）①如图，MN 即为所求．过点M 作BM ①x 轴于点B ， ①四边形AOMN 为菱形， ①AO ①MN ，AO =MO =MN ， ①点A 在y 轴上， ①AO ①x 轴，①MN ①x 轴，即N 、M 、B 三点共线， ①①AOM =30°， ①①MOB =90°-30°=60°，在RT ①MOB 中，BO =12MO =1，MB =332MO =， ①点M 的坐标是(1,3)，点N 的坐标是(1,32)+． ①解：①点A 的“α-相关线段”MN 经过点(3,1)， ①点M 必在直线3x =上．记直线3x =与x 轴交于点(3,0)H ， ①2,3OM OA OH ===，①221MH OM OH =-=，30MOH ∠=︒．分两种情况：a ）如图，当点M 在x 轴上方时，点M 恰为(3,1)，符合题意，此时60,60AOMα︒∠==︒；b）如图，当点M在x轴下方时，点M为(3,1)-，由2MN=知点N为(3,1)，也符合题意，此时120,120AOMα︒∠==︒．综上，α的值为60︒或120︒．（2）当0<t≤22时，任意菱形的边MN都不经过点(0，4)；当22<t≤4且N为（0，4）时，点P的“α-相关线段”过(0，4)，当22<t≤4且M为（0，4）时，点P的“β-相关线段”过(0，4)；当t>4时,只有一种情况使P的“α-相关线段”或“β-相关线段”过(0，4)，此时(0，4)在线段OM上，①不符合题意综上所述，224t<≤【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质、菱形的性质是解题关键．7．（1）1A，2A；（2）（32-，12），（35，45）；（3）3k>或3k<-．【解析】【分析】（1）过点1(1,1)A -作直线交O 于点1B ，1C ，过点2()30,2A 作22B C y 轴交O 于点2B ，2C ，过点3()1,02A 作33B C x 轴交O 于点3B ，3C ，连接2OB ，3OC ，分别求出22B C ，33B C ，根据“斜射点”的判别条件ABAC ，01BC，分别进行判别即可；（2）过点A 作O 的切线AD ，交O 于点 D ，根据Rt ADO 中，1OD =， 2AO =，可求得点 D 的坐标是（32-，12），可知，满足 AB AC ，01BC，点D 是 O 的“斜射点”；在 OD 上取13=2OD ，并过 1D 作 144OD B C 交O 于点 4B ，4C ，可求得 4C 的坐标是（-1，0），设过A ，4C 两点的直线是 y kx b =+，并交 O 于点5B ，可求出点5B 的坐标是（35， 45），根据（1）中2A 的求法可知，55<1B C ，可得 5B 是O 的“斜射点”；（3）当0k >时，一次函数y kx k =+图像向上，过点B （-1，0）交O 于点5C ，并51BC ，可得5OBC 是等边三角形，根据（1）中 2A 的求法可知，点5C 的坐标是（12-， 32），可求出得： 3k =，则有当满足过点B 并且是O 的“斜射点”时，3k >，同理可得，当 0k >时，点5C 的坐标是（12-， 32-），可得满足过点 B 并且是O 的“斜射点”时，3k <-．【详解】解：（1）过点1(1,1)A -作直线交O 于点 1B ，1C , 过点2()30,2A 作 22BC y 轴交O 于点2B ，2C ，过点3()1,02A 作33BC x 轴交O 于点3B ，3C ，连接2OB ，3OC ，O 的半径为1，即231OB OC ，①22B C y 轴，2A 的坐标是 3(0,)2①y 轴垂直平分22B C ， ①由勾股定理可得：2222222231=11222B C OB OA ， ①22=1B C ，满足AB AC ，01BC ， ①点2A 是O 的“斜射点”； ①33B C x 轴，3A 的坐标是 1(,0)2①x 轴垂直平分33B C ，①由勾股定理可得：22223323132212=1B C OC OA ，①3331B C ，根据O 中，过点3A 的所有弦中，垂直半径的弦最短可知，过点3A 的所有弦都大于 3，因此点3A 不满足题意， ①点3A 不是是O 的“斜射点”；由图中图像可知1122B C B C ，即有：1122=1B C B C故满足AB AC ，01BC ， ①点1A 是O 的“斜射点”；综上所述，点1A ，2A 是O 的“斜射点”；（2）如图示，过点A 作O 的切线AD ，交O 于点 D ，在Rt ADO 中，1OD =，2AO =， ①2222=213AD AO D O ,设点D 的坐标是（D x ，D y ），则有：11··22ADOD S OD AD AO x ==， ①11··22ADOD S OD AD AO x == ①32D x （点D 在第二象限，取负值）， ①221D D x y ，①12Dy （点D 在第二象限，取正值），①点D 的坐标是（32-，12），满足AB AC ，01BC ，①点D 是O 的“斜射点”，即点B 的坐标可以是（32-，12）；在OD 上取13=2OD ，并过 1D 作144OD B C 交O 于点 4B ，4C ，根据（1）中2A 的求法可知，44=1B C ， 4C 的坐标是（-1，0），设过A ，4C 两点的直线是y kx b =+，并交O 于点5B①20b k b =⎧⎨-+=⎩，解之得 22b k ，①过A ，4C 两点的直线是22y x =+，设点5B 的坐标是（5B x ，5B y ），则有555522122B B B B x y y x ，解之得5510B Bx y或553545B B x y ，即点5B 的坐标是（35，45），根据（1）中2A 的求法可知，55<1B C ，即满足AB AC ，01BC ，①点5B 是O 的“斜射点”，即点B 的坐标可以是（35， 45）；综上所述，即点B 的坐标可以是（32-，12），（ 35，45）；（3）如图示，当0k >时，一次函数y kx k =+图像向上，过点B （-1，0）交O 于点 5C ，并51BC ，①51OB OC ，①5OBC 是等边三角形，根据（1）中2A 的求法可知，点5C 的坐标是（12-，32），①1322k k，解之得：3k =，当满足过点B 并且是O 的“斜射点”时，3k >，同理可得，当0k >时，点5C 的坐标是（12-， 32-），①满足过点B 并且是O 的“斜射点”时，3k <-，【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，弦长的性质，点与坐标的关系，方程组的解法，“斜射点”的定义的理解等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 8．（1）①2；①3；（2）24Od ≤≤；（3）332m <--或331m >-+．【解析】【分析】（1）①根据题意易得当线段AB 与以点O 为圆心的圆相切时半径最小，经过点B 时半径最大，由此问题可得解；①由题意可得当以点A 为圆心的圆与B 外切时半径最小，内切时半径最大，由此问题可得解；（2）设直线1y x =-+与O 的交点分别为M 和N ，与x 轴、y 轴交于点A 、B ，由题意易得点()()1,0,0,1A B ，即OA =1，OB =1，则可分当点P 在点M 上方、点N 下方时和当点P 在线段MN 上时，然后进行分类求解即可；（3）由直线333y x =+可得33,3OD OE ==，则6DE =，30EDO ∠=︒，由(),0,1C m CK =可知点K 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，进而可分当C 经过点D 时和当C 与直线DE 相切于点K 时，然后求解即可．【详解】解：（1）①由题意得：当以点O 为圆心的圆与线段AB 相切于点B 时，半径为最小，经过点A 时半径最大，连接OA ，如图所示：①()4,3A，()0,3B，①3OB=，()()2240305OA=-+-=，①在点O视角下，则线段AB的“宽度ABd”为532-=，故答案为2；①由题意得：以点A为圆心的圆与B外切时半径最小，内切时半径最大，如图所示：①B半径为1.5，①半径最大为1.54 5.5+=，半径最小为4 1.5 2.5-=，①在点A视角下，B的“宽度Bd”为5.5-2.5=3，故答案为3；（2）设直线1y x =-+与O 的交点分别为M 和N ，与x 轴、y 轴交于点A 、B ，如图所示：当点P 在点M 上方时，则以点P 为圆心的圆与O 内切时半径最大，外切时半径最小，如图，设P 的半径最小为r ，由圆与圆的位置关系可得半径最大时为4r +， ①在点P 视角下O “宽度Od”为44r r +-=，同理可得当点P 在点N 下方时，与点P 在点M 外时相同；当点P 在线段MN 上时，则根据点到直线垂线段最短可得当点P 在AB 的中点时，此时在点P 视角下O “宽度Od ”取最小，即：以点P 为圆心的圆与O 内切时半径最大，外切时半径最小，如图所示：①由直线1y x =-+可得点()()1,0,0,1A B ，即OA =1，OB =1， ①①AOB 是等腰直角三角形， ①2AB =， ①点P 是AB 的中点， ①22OP =， ①P 的半径最小为222-，半径最大为222+， ①在点P 视角下O “宽度O d”为2222222⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，综上所述：在点P 视角下O “宽度Od ”的取值范围为24Od ≤≤；（3）由题意可得如图所示：由直线333y x =+可得当y =0时，则3033x =+，解得33x =-，当x =0时，则有y =3， ①()()33,0,0,3D E -， ①33,3OD OE ==， ①6DE =， ①30EDO ∠=︒， ①(),0,1C m CK =，①点K 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，①由在所有点K 的视角下，线段DE 的“宽度”均满足06DE d <<，则有：当C 经过点D 时，如图所示：①DC =1， ①331OC =-， ①331m =-+，①当点K 与点D 重合时，以点K 为圆心的圆与线段DE 有交点时，半径最小为0，最大为6，所以在点K 的视角下，线段DE 的“宽度”为6DE d =，而点K 在C 的其他地方时，根据三角形三边关系可知始终满足题意， ①331m >-+；当C 与直线DE 相切于点K 时，如图所示：①CK =1，30EDO ∠=︒，①30CDK ∠=︒， ①22CD CK ==，①332OC =+，即332m =--，此时在点K 的视角下，线段DE 的“宽度”为6DE d =，故不符合题意， ①332m <--，综上所述：当随着点C 位置的变化，使得在所有点K 的视角下，线段DE 的“宽度”均满足06DE d <<，则m 的取值范围为332m <--或331m >-+．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及一次函数的综合，熟练掌握直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及一次函数的性质是解题的关键．9．（1）① 5；①1m =-或7；（2）①3d 且0d ≠；①3C x -＜222--或2212C x -+<【解析】【分析】（1）①根据题意把(0,0)O ，(3,2)A 代入2121PQ d x x y y =-+-计算即可；①把(3,2)A ，(,0)B m 代入公式，求得34m -=，去绝对值求得m 的值即可；（2）①据题意，锐角三角形不可能为 “和距三角形”，结合图像求出d 的取值范围；①结合图形画出所有可能情况即可求出C x 的取值范围．【详解】解：（1）① ①(3,2)A①212130205OA d x x y y =-+-=-+-=；故答案为：5① 知点(,0)B m ，(3,2)A 若6AB d =， ①21213206AB d x x y y m =-+-=-+-= ①34m -=，34m ∴-=或34,m -=-①1m =-或7；（2）① ()()()0,,0,0,3,3,D d O M,6,33,OD MO MDd d d d d∴===+-∴当d＞3时，不存在“和距三角形”，①当3d=时，构成直角三角形如图，符合要求，当3d<时，构成钝角三角形如图，符合要求，①3d且0d≠① 据题意，点K的轨迹是以点C为圆心，半径为1的圆，且锐角三角形不可能为“和距三角形”，如图：①综上所述：3C x -＜222--或2212C x -+<【点睛】本题考查了新定义，类比法，点与圆的位置关系，圆的切线等，解题的关键是有较强的理解能力及自学能力等．10．(1) ①2, ①(2,0)（答案不唯一）, ①2525b -≤≤ (2) 15432d -≤≤ 【解析】【分析】(1) ① 根据OA =3，可确定“覆盖近距”为3-1=2；①确定OB =2，写出坐标即可；①确定当OC ①GH 时的“覆盖近距”，以此确定b 的取值范围；(2)确定O 对以DE 为对角线的正方形的“覆盖近距”的最大值和最小值即可．【详解】解:(1) ①因为OA =3，圆的半径是1，故O 对点A 的“覆盖近距”为3-1=2；故答案为：2，①O 对点B 的“覆盖近距”为1，圆的半径是1，则OB =2，B 点坐标可以为（2，0）（答案不唯一）；故答案为：（2，0）（答案不唯一）；①设直线2y x b =+与x 轴、y 轴交于点G 、H ，当x =0时，y =b ，OH =b ；当y =0时，x =2b -，OG =2b ，tan①OHG =12，O 对点C 的“覆盖近距”为1，即OC =2,当OC ①GH 时，刚好存在“覆盖近距”为1，此时，OC =2，CH =4，222425OH =+=，同理，OI =25, 故b 的取值范围为：2525b -≤≤（2）根据题意可知以DE为对角线的正方形边长为1，如图所示，当t=-0.5时，“覆盖近距”最小，此时平移后的F经过E、G两点，EG交x轴于点H,连接FG,221520.52FH=-=，d=4-152；当t=2时，“覆盖近距”最大，如图所示，此时，EH=3,22345OE=+=,d=5-2=3；故d的取值范围为：15432d-≤≤【点睛】本题考查了新定义问题和与圆的位置关系，解题关键是准确理解题意，熟练运用圆的相关知识和解直角三角形，利用数形结合思想，正确推理计算．11．（1）①5；①D 、O ；①b 的取值范围为：17b -≤≤；（2）r 的取值范围为232r ≤≤．【解析】【分析】（1）①根据k 倍直角点的定义计算即可求解； ①根据“2倍直角点”的定义分别计算，即可判断；①根据“2倍直角点”的定义得到如图所示有正方形的边界即为点A 的2倍直角点存在的区域，列式计算，即可求解；（2）若T 上存在点O 的2倍直角点，即T 与如图的正方形有交点(正方形的边界为点O 的2倍直角点存在的区域)，根据切线的性质以及特殊角的三角函数值即可求解．【详解】（1）①根据k 倍直角点的定义得：121221315k x x y y =-+-=--+-=，故答案为：5；①点C (2，3)，121221313k x x y y =-+-=-+-=，点D (−1，1)，121211112k x x y y =-+-=--+-=，点E (0，−2)，121201214k x x y y =-+-=-+--=，点O (0，0)，121201012k x x y y =-+-=-+-=，①是点A 的2倍直角点的是D (−1，1)，O (0，0)，故答案为：D 、O ；①如图，正方形的边界即为点A 的2倍直角点存在的区域，若直线2y x b =-+与其有交点，则过点(-1，1)时，b 值最小，即()121b =-⨯-+，解得：1b =-，当过点(3，1)时，b 值最大，即123b =-⨯+，解得：7b =， ①b 的取值范围为：17b -≤≤；（2）若T 上存在点O 的2倍直角点，即T 与如图的正方形有交点(正方形的边界为点O 的2倍直角点存在的区域)，由图可知，当①T 与正方形有交点为H (0，0)时，①T 的半径最大，即3r =；当①T 与直线MN 相切时，①T 的半径最小，过T 作TQ ①MN 于Q ，即r TQ =，根据正方形的性质知①MNO =45︒， ①2sin sin 452TQ QNT TN ∠=︒==, ①1TN =，①22TQ =， ①r 的取值范围为232r ≤≤．【点睛】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，考查了正方形的性质，特殊角的三角函数值，切线的性质等知识，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“k 倍直角点”的定义是解答此题的关键．12．（1）A ；（2）22b =或b=-22；（3）22m -≤≤322．【解析】【分析】（1）根据友好点的定义去计算判断，只要满足到原点的距离为1即可；（2）根据直线与圆O 相切时，只有一个公共点，再根据友好点的定义，将直线向外平移1各单位，后确定b 的值即可；（3）确定直线y =x +m 与直线y =2的交点，分交点在点D 左边和右边两种情形求解即可．【详解】解：（1）①(1,0)A ,1(0,)2B ,C (-1,1)，①OA =22(10)(00)-+-=1，OB =221(0)(00)2-+-=12，OC =22(10)(10)--+-=2，①符合新定义的点是（1,0），故答案为：A ；（2）如图，直线y x b =+与圆O 相切是时，直线与圆有一个公共点，此时OG =OD =1，根据直线的特点，知道直线与坐标轴构成等腰直角三角形，根据友好点的定义，只需将相切的直线沿着OD 或OG 向外平移一个单位长即可，分别到达E 或H 点，此时OE =2或OH =2，根据平移的性质，OE =EF =2，或OH =HM =2，根据勾股定理，得OM =OF =22， ①b =22或b =-22；。

中考数学专题复习：新定义_旧运算

（2）∵3※4＝3×4－（3＋4）＝5， ∴12※（3※4）= 12※5 ＝12×5－（12＋5）＝43； ∵ 12※3＝12×3－（12＋3）＝21， ∴ （12※ 3）※4 =21※4 ＝21×4－（21＋4）＝59. （3）这个运算“※”有交换律，没有结合律.
x
定义运算“※”为：a※b＝a×b－（a＋b），（1）求5※7，7※5；（2）求12※（3※4）,（12※3）※4；（3）这个运算“※”有交换律、结合律吗？（4）如果3※（5※x）＝3，求x值.
●
1. 现规定:a*b=ab，如3*2＝32＝9，则1/2*3＝（ A ）. A. 1/8 B.8 C. 1/6 D.3/2 2. 若“！”是一种数学新运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2， 3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则100!/98!值为（ C ）. A.50/49 B.99！ C.9900 D.2！． 3. 规定“*”的运算为：a*b=a÷b×2+3×a－b，则 169*13= 520 . 4. 用“←”与“→”定义：对于任意实数a，b，都有a←b=a， a→b＝b，例如：3←2＝3，3→2＝2，则（2006→2005）←（2004→2003）＝ 2005 ． 5. 用“★”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a★b＝b2+1. 如7★4＝42+1＝17，那么5★3＝＿＿＿； m★(m★2)＝＿＿＿ 10 26 .
本题呈现的是复合函数的运算方式，虽说“新题”考查的却是基础数学知识，所以说掌握好双基才是制胜法宝
定义x※y=ax+by+cxy,已知：1※2=3 , 2※3=4，并且有一非零实数d,使得对任意实数x，使得 x※d=x 成立。.求d
1※2=a+2b+2c=3 ① 2※3=2a+3b+6c=4② 由x※d=ax +bd+cdx=x得：(a+cd-1)x=-bd ∴a+cd-1=0③ (函数等于常数，只能是常函数，不能出现未知数，所以系数必须为0） bd=0，d不为0，所以b=0 b=0代入①②③得： a=5 b=0 c=-1 d=4

中考数学新定义题型专题01 数与式中的新定义问题(老师版)

专题01 数与式中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型： (1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。

这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题1．定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有13a b a b =-⊗，则12x x -⊗⊗的值为 1 ．【解答】解：13a b a b =-⊗， 12131(132)x x x x ∴-=---⊗⊗131132x x =--+1=．故答案为：1．2．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕(1)b a b b =+-，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：3⊕23(21)2927=⨯+-=-=．（1）2⊕(3)-= 1- ．（2）若2-⊕x 等于5-，则x = ．【解答】解：（1）原式2(31)(3)=⨯-+-- 2(2)3=⨯-+ 43=-+1=-．故答案为：1-．（2）由题意可知：2(1)5x x -+-=-， 225x x ∴---=-， 33x ∴-=-， 1x ∴=，故答案为：1．3．对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b =+⊗．例如3523511=⨯+=⊗；4(3)24(3)5-=⨯+-=⊗．若()2x y -=⊗，且21y x =-⊗，则20202020x y +=20203．【解答】解：()2x y -=⊗，2()2x y ∴+-=①． 21y x =-⊗，41y x ∴+=-②．①+②得：331x y +=． 13x y ∴+=． 2020202020202020()3x y x y ∴+=+=．故答案为：20203． 4．对于非零的两个实数m ，n ，定义一种新运算“&”，规定2&m n m n =-，若2&(3)7-=，则(3)&(2)--的值为 11 ．【解答】解：(3)&(2)--2(3)(2)=--- 92=+11=，故答案为：11．5．有一种用“☆”定义的新运算，对于任意实数a ，b ，都有a ☆221b b a =++．例如7☆24427131=+⨯+=．（1）已知m -☆3的结果是4-，则m = 7 ．（2）将两个实数2n 和2n -用这种新定义“☆”加以运算，结果为9，则n 的值是多少？【解答】解：（1）根据题意可得：m -☆233214m =-+=-，解得：7m =；故答案为：7；（2）根据题意可得：2n ☆(2)9n -=，即2(2)419n n -++=，解得：2n =或2-，(2)n -☆2242(2)19n n n =+-+=，解得：2n =-或32，则2n =-或32或2． 6．规定：符号[]x 叫做取整符号，它表示不超过x 的最大整数，例如：[5]5=，[2.6]2=，[0.2]0=．现在有一列非负数1a ，2a ，3a ，⋯，已知110a =，当2n 时，11215([][])55n n n n a a ---=+--，则2022a 的值为 11 ．【解答】解：110a =， 21115([]0)115a a ∴=+--=，322115([][])1255a a =+--=，433215([][])1355a a =+--=，544315([][])1455a a =+--=，65415([1][])105a a =+--=，⋯1a ∴，2a ，3a ，⋯，每5个结果循环一次，202254042÷=⋯，2022211a a ∴==，故答案为：11．7．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a ，b 都有a ☆2b b a =+．例如7☆244723=+=．（1）已知m ☆2的结果是6，则m 的值是多少？（2）将两个实数n 和2n +用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n 的值是多少？【解答】解：（1）根据题中的新定义得：m ☆246m =+=，解得：2m =；（2）根据题意得：n ☆(2)4n +=，即2(2)4n n ++=，解得：0n =或5n =-； (2)n +☆224n n n =++=，解得：2n =-或1n =，则0n =或5-或2-或1．8．请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x ⊕1y =，x ⊕22y =-，分别求出x 和y 的值；（2）若x 满足x ⊕20，且3x ⊕(8)0->，求x 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得4314322x y x y -=⎧⎨-⨯=-⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩；（2）根据题意得4320433(8)0x x -⨯⎧⎨⨯-⨯->⎩，解得322x-<．故x 的取值范围是322x-<． 9．用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※23n m n mn n =--，如：1※221212326=⨯-⨯-⨯=-．则(2)-( )A ．B ．-C ．D ．【解答】解：原式2(2)(2)=--==故选：A ．10．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如(a bi a +，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(3)(53)(35)(13)82i i i i -++=++-+=+；2(1)(3)1333(13)142i i i i i i i +⨯-=⨯-+⨯-=+-++=+．根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：3i = i - ，4i = ；（2）计算：(2)(34)i i +⨯-；（3）计算：2342022i i i i i ++++⋯+．【解答】解：（1）321i i i i i =⋅=-⋅=-，4221(1)1i i i =⋅=-⋅-=，故答案为：i -，1；（2）(2)(34)i i +⨯-； 6834i i =-++105i =-；（3）2342022i i i i i ++++⋯+ 111i i i =--++⋯+-1i =-．11．阅读理解：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为(a bi a +，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：2(1)(23)13234i i i i i i +⨯-=-+-=-．（1）填空：3i = i - ，4i = ；（2）(7)(7)i i +-；（3）计算：2(2)i +；（4化简成a bi +的形式．【解答】解：（1）21i =-，32(1)i i i i i ∴=⋅=-⋅=-， 4222()(1)1i i ==-=， 3i i ∴=-，41i =，故答案为：i -，1；（2）(7)(7)i i +- 249i =- 49(1)=-- 50=；（3）2(2)i + 244i i =++ 34i =+；（4=====∴= 12．先阅读下列材料，再解答后面的问题：材料：一般地，若(0n a b a =>且1a ≠，0)b >，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log )a b n =．如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81（即3log 814)=．问题：（1）计算：2log 16= 4 ，2331(log 9)813log += ．（2）5log 5、5log 25、5log 125之间满足怎样的关系式，请说明理由．（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ log log a a M N += (0a >，且1a ≠，0M >，0)N >．根据幂的运算法则：n m n m a a a +⋅=以及对数的含义证明上述结论．【解答】解：（1）4216=， 2log 164∴=，239=，4381=， 3log 92∴=，8143log =，2331(log 9)813log ∴+21243=+⨯443=+ 163=，故答案为：4；163；（2）555log 5log 25log 125+=，理由如下：根据题意，5log 51=，5log 252=，5log 1253=， 555log 5log 25log 125∴+=；（3）log log log ()a a a M N MN +=，证明如下：设1log a M b =，2log a N b = 则1b a M =，2b a N =，∴1212b b b b MN a a a +=⋅=，又n m n m a a a +⋅=，∴1212b b b b a a a +⋅=，即log log log ()a a a M N MN +=，故答案为：log ()a MN ．13．定义：如果4(0,1)a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．例如：因为2749=，所以7log 492=；因为3125s =，所以log 1253S =．则下列说法中正确的有()个．①6log 636=；②3log 814=；③若4log (14)4a +=，则50a =；④222log 128log 16log 8=+； A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：166=， 6log 61∴=，故①不符合题意；4381=，3log 814∴=，故②符合题意；44256=， 14256a ∴+=，242a ∴=，故③不符合题意；72128=， 2log 1287∴=，4216=， 2log 164∴=，328=， 2log 83∴=，743=+，222log 128log 16log 8∴=+，故④符合题意；综上所述，符合题意的有2个，故选：C ．14．对a ，b ，c ，d 定义一种新运算：a c ad bcb d =-，如232413514=⨯-⨯=，计算2x yx x y=+ 22x xy + ．【解答】解：原式2()x x y xy =+-222x xy xy =+- 22x xy =+，故答案为：22x xy +．15．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号a b c d 的意义是：a bad bc c d=-．例如：14232=⨯-⨯=-．按照这个规定，解决下列问题：（1）请你计算3574-的值．（2）求当3x =，1y =-时，2222332x xy yx xy y+--+的值．（3）如果2157353x x -=--，求x 的值．【解答】解：（1）原式345(7)=⨯-⨯- 1235=+47=；（2）原式222(32)3(2)x xy y x xy y =-+-+-22642633x xy y x xy y =-+--+ 75xy y =-+；当3x =，1y =-时，原式73(1)5(1)=-⨯⨯-+⨯- 216=-16=；（3）(3)(21)5(35)7x x ----=， 6315257x x -+-+=， 6257153x x -+=+-， 1919x =， 1x =．16．材料1：对于一个四位自然数M ，如果M 满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M 为“满天星数”．对于一个“满天星数” M ，同时将M 的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N ，规定：()9M NF M -=．例如：2378M =，因为321-=，871-=，所以2378是“满天星数”；将M 的个位数字8交换到十位，将十位数字7交换到百位，将百位数字3交换到个位，得到2783N =，23782783(2378)459F -==-．材料2：对于任意四位自然数100010010(abcd a b c d a =+++、b 、c 、d 是整数且19a ，0b ，c ，9)d ，规定：()G abcd c d a b =⋅-⋅．根据以上材料，解决下列问题：（1）请判断2467、3489是不是“满天星数”，请说明理由；如果是，请求出对应的()F M 的值；（2）已知P 、Q 是“满天星数”，其中P 的千位数字为(m m 是整数且17)m ，个位数字为7；Q 的百位数字为5，十位数字为(s s 是整数且28)s ．若()()G P G Q +能被11整除且s m >，求()F P 的值．【解答】解：（1）2467不是“满天星数”，3489是“满天星数”，理由如下： 2467的百位数字为4，千位数字为2，4221∴-=≠，2467∴不是“满天星数”．3489的千位数字为3，百位数字为4，十位数字为8，个位数字为9，431∴-=，981-=，3489M ∴=是“满天星数”， 3894N ∴=，34893894(3489)459F -∴==-．（2）由题意可得：(1)67P m m =+，45(1)Q s s =+，则1000100(1)6071100167P m m m =++++=+，4000500101450111Q s s s =++++=+． 2()67(1)42G P m m m m ∴=⨯-+=--，2()(1)2020G Q s s s s =+-=+-，2222()()422022G P G Q m m s s s s m m ∴+=--++-=+--+．()()G P G Q +能被11整除且s m >，∴只要22()()()(1)s s m m s m s m s m s m s m +--=+-+-=-++能被11整除．28s ，17m ，s 、m 均为整数，s m >，4116s m ∴++，111s m ∴++=即10s m +=．∴876234s s s m m m ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或． 2367P ∴=或3467或4567．23672673(2367)349F -∴==-，34673674(3467)239F -==-，45674675(4567)129F -==-． 17．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数-- “好数”．定义：对于三位自然数n ，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n 为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且426+=，6能被6整除；643不是“好数”，因为6410+=，10不能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 7 个．【解答】解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：设十位数数字为a ，则百位数字为5(04a a +<的整数），525a a a ∴++=+，当1a =时，257a +=，7∴能被1，7整除，∴满足条件的三位数有611，617，当2a =时，259a +=，9∴能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有721，723，729，当3a =时，2511a +=，11∴能被1整除，∴满足条件的三位数有831，当4a =时，2513a +=，13∴能被1整除，∴满足条件的三位数有941，即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．故答案为：7．18．阅读下列材料，解决问题．【材料1】对于任意一个多位数，如果它的各位数字之和除以一个正整数n 所得的余数与它自身除以这个正整数n 所得的余数相同，我们就称这个多位数是n 的“余同数”．例如：对于多位数2714，271439042÷=⋯，且(2714)342+++÷=⋯，则2714是3的“余同数”．【材料2】对于任意两个多位数A ，B ，若A 除以正整数n 所得的余数与B 除以正整数n 所得的余数相同，则A 与B 的差一定能被n 整除．（1）判断3142是否是5的“余同数”，并说明理由；（2）若一个三位数是7的“余同数”，它的百位数字与十位数字之和小于9，个位数字比百位数字大1，求所有符合条件的三位数．【解答】解：（1）不是，理由如下：31425628......2÷=，(3142)52+++÷=，3142∴不是5的同余数；（2）设这个三位数为10010a b c ++，则9a b +<，1c a =+，这个三位数是7的“余同数”，10010()a b c a b c ∴++-++能被7整除，10010()7a b c a b c ++-++ 100107a b c a b c ++---= 9997a b += 2147a b a b +=++， ∴27a b +是整数，又18a ，09b ，9a b +<，1218a b ∴+<，27a b ∴+=或214a b +=，∴708a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或516a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或324a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或132a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或263a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，综上，这个三位数为708或516或324或132或263．19．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682．请你探究，解决下列问题：（1）请直接写出2022的“颠倒数”为 2202 ．（2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式126⨯□=□621⨯成立？请你用下列步骤探究“□”所表示的数字．①设这个数字为x ，将自然数“6□”和“□6”转化为用含x 的代数式表示分别为和；②列出关于x 的满足条件的方程，并求出x 的值；③经检验，所求x 的值符合题意吗？（填“符合”或“不符合” )【解答】解：（1）由“颠倒数”的定义可得：2022的“颠倒数”为2202，故答案为：2202，；（2）①设这个数字为x ，自然数“6□”用含x 的代数式表示为：61060x x ⨯+=+，自然数“□6”用含x 的代数式表示为：106x +，故答案为：60x +，106x +；②由题意得：12(60)21(106)x x +=+，解得：3x =，x ∴的值为3；③检验：1263756⨯=，3621756⨯=，12633621∴⨯=⨯，3x ∴=符合题意，故答案为：符合．20．我们规定用(,)a b 表示一对数对，给出如下定义：记m=0,0)n a b =>>，将(,)m n 与(,)n m 称为数对(,)a b 的一对“对称数对”．例如：(4,1)的一对“对称数对”为1(2，1)与1(1,)2．（1）数对(25,4)的一对“对称数对”是 1(,2)5 和；（2）若数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，求y 的值；（3）若数对(,2)x 的一对“对称数对”的一个数对是1)，求x 的值；（4）若数对(,)a b 的一对“对称数对”的一个数对是，求ab 的值．【解答】解：（1）由题意知：1,25m n ====， ∴数对(25,4)的一对“对称数对”是1(,2)5和1(2,)5，故答案为：1(,2)5；1(2,)5．（2）数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，∴=，∴= ∴13y =．（3）数对(,2)x的一对“对称数对”是和，∴=，∴1=，1x∴=．（4）数对(,)a b的一对“对称数对”是和，∴====或，∴11327273a ab b⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎩⎩或，∴199ab=或．21．若一个三位正整数m abc=（各个数位上的数字均不为0)满足9a b c++=，则称这个三位正整数为“长久数”．对于一个“长久数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数n，记()9m nF m+=．如：216m=满足2169++=，则216为“长久数”，那么612n=，所以216612(216)929F+==．（1）求(234)F、(522)F的值；（2）对于任意一个“长久数”m，若()F m能被5整除，求所有满足条件的“长久数”．【解答】解：（1）当234m=时，2349++=，m是长久数，432n∴=，234432(234)749F+∴==．当522m=时，5229++=，m是长久数，225n∴=，522225(522)839F+∴==．（2）由题意得：10010m a b c=++，10010n c b a=++．1001010010()9a b c c b aF m+++++∴=101101209a c b ++= 101()209a cb ++=． 9a bc ++=，101(9)20()9b b F m -+∴= 901819b -= 1019b =-．又a 、b 、c 均为不为0的正整数，1b ∴=，2，3，⋯⋯，7． ∴当1b =时，()1019192F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当2b =时，()1019283F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当3b =时，()1019374F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当4b =时，()1019465F m =-⨯=，能被5整除，此时5a c +=，∴12344321a a a a c c c c ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或． 144m ∴=或243或342或441．当5b =时，()1019556F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当6b =时，()1019647F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当7b =时，()1019738F m =-⨯=，不能被5整除，舍去．综上所述，所有满足条件的“长久数”有144或243或342或441．22．对于一个四位自然数N ，如果N 满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N 为“差同数”．对于一个“差同数” N ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：2()29s t F N +=．例如：7513N =，因为7351-=-，故：7513是一个“差同数”．所以：735122715318s t =-==-=，则：2236(7513)229F +==．（1）请判断2586、8734是否是“差同数”．如果是，请求出()F N 的值；（2）若自然数P ，Q 都是“差同数”，其中100010616P x y =++，1003042(19Q m n x =++，08y ，19m ，07n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()F P k F Q =，当3()()F P F Q -能被11整除时，求k 的最小值．【解答】解：（1）对于2586，其各数位上的数字不全相同且均不为0，2658-≠-， 2586∴不是“差同数”，对于8734，其各数位上的数字不全相同且均不为0，8473-=-，8734∴是“差同数”， 847311s ∴=-=，83749t =-=，1129(8734)129F +⨯∴==， 2586∴不是“差同数”，8734是“差同数”， (8734)1F =；（2）100010616100060010(1)6P x y x y =++=++++，P ∴的千位数字为x ，百位数字为6，十位数字为(1)y +，个位数字为6，又自然数P 是差同数，66(1)x y ∴-=-+即11x y +=，(106)(61)1055p S x y x y ∴=+-+=--，(101)661065p t x y x y =++-=+-，10552(1065)()629y x y F P x --++-∴==-， 10030423000100402Q m n m n =++=++++，Q ∴的千位数字为3，百位数字为m ，十位数字为4，个位数字为(2)n +，又自然数Q 是差同数，3(2)4n m ∴-+=-，即5m n +=，302(104)1028Q s n m n m ∴=++-+=-+，34(102)3210Q t m n m n =-++=--，10282(3210)()329n m m n F Q m -++--∴==-， 3()()3(6)(3)321F P F Q x m x m ∴-=---=+-，19x ，08y ，且11x y +=，39x ∴，19m ，07n ，且5m n +=，15m ∴，1132111x m ∴-+-，又321x m +-能被11整除，32111x m ∴+-=±或0，①当32111x m +-=-时，3x =，1m =，8y =，4n =，此时，()363()312F P k F Q -===--； ②当32111x m +-=时，9x =，5m =，2y =，0n =，此时，()963()352F P k F Q -===--； ③当3210x m +-=时，6x =，3m =，此时，()0F Q =，k ∴值不存在，综上，k 的最小值为32-．23．对于实数P ，我们规定：用的最小整数．2=，2=，现在对72进行如下操作： {}{}{}727299332===第一次第二次第三次，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 3 次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为．【解答】解：由题意得：现在对36进行如下操作： {}{}{}363666332===第一次第二次第三次，∴对36只需进行3次操作后变为2；现在对256进行如下操作： {}{}{}2562561616442===第一次第二次第三次，如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；故答案为：3，256．24．如果一个三位数满足各数位上的数字都不为0，且百位数字比十位数字大1，则称这个数为“阶梯数”．若s ，t 都是“阶梯数”，将组成s 的各数位上的数字中最大数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最小数字作为个位数字，得到一个新两位数m 叫做s ，t 的“萌数”，将组成s 的各数位上的数字中最小数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最大数字作为个位数字，得到一个新两位数n 叫做s ，t 的“曲数”，记(,)2F s t m n =+．例如：因为211-=，615-=，所以211和654都是“阶梯数”；211和654的“萌数” 24m =，“曲数” 16n =，(211,654)2241664F =⨯+=．（1）判断435 是（填“是”或“否” )为“阶梯数”；（2）若(1)6s a a =-，(1)5t b b =+（其中25a <，69b <，且a ，b 都是整数），且(,)167F s t =，求满足条件的s 、t 的值；（3）若p 、q 都是“阶梯数”，其中100103p x y =++，20010q a b =++（其中23x ，18y ，28b 且a ，b ，x ，y 都是整数），当(F p ，132)(F q +，824)157=时，求(,)F p q 的值．【解答】解：（1）435中，百位4比十位3大1，符号阶梯数定义．故答案为：是．（2）s 和t 的萌数为65，曲数为(1)(1)a b -+，(F s ∴，)265(1)(1)167t a b =⨯+-+=，解得4a =，6b =．436s ∴=，765b =．（3）p 、q 都是阶梯数，1y x ∴=-，1a =，又23x ，28b ，10010(1)3213p x x ∴=+-+=或323，212q =、213、214、215、216、217、218． (F p ∴、132)31210(1)3x =⨯+-+，(F q ，824)(102)218b =+⨯+，由(F p 、132)(F q +，824)157=，得102080x b +=，其中x 为偶数，2x ∴=，3b =，即213p =，213q =．(F p 、)2311375q =⨯+=．25．一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除．（1）判断266357 能（选填“能”或“不能” )被13整除；（2）证明：任意一个多位自然数都满足上述规律；（3）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，若让个位之前的数加上个位数的k 倍(k 为正整数），所得之和能被13整除，且原多位自然数也能被13整除，求当150k 时，所有满足条件的k 的值．【解答】（1）解：266357能被13整除；理由如下：266357的末三位数为357，末三位以前的数为266，35726691∴-=，91137÷=，266357∴能被13整除，故答案为：能；（2）证明：设这个多位数的末三位数为a ，末三位以前的数为b ，则这个多位数可表示为1000b a +，根据题意得：13(a b n n -=为整数），13a n b ∴=+，则1000100013100113b a b n b b n +=++=+，100113b n +可以被13整除，1000b a ∴+可以被13整除，∴任意一个三位以上的自然数都满足这个规律，即任意一个多位自然数都满足上述规律；（3）解：设个位之前及个位数分别为m 、n （出现的字母均为自然数），依题意不妨设13m kn t +=，则原多位数为10m n +，依题意不妨设1013m n s +=，联立可得：3110(101)101313n k s t k t kn +=--=-+，则31k +为13倍数，分别将1k =、2、3、4、550⋯代入可知，4k ∴=或17k =或30k =或43k =．26．一个三位自然数a ，满足各数位上的数字之和不超过10，并且个位数字与百位数字不同，我们称这个数为“完美数”．将a 的个位数字与百位数字交换得到一个新数a '，记G （a ）11a a '-=．例如，当125a =时，521a '=，125521(125)3611G -==-；当370a =时，73a '=，37073(370)2711G -==．（1）判断236 不是（选填“是”或“不是” )完美数，计算(321)G = ；（2）已知两个“完美数” m ，n ，满足10010m a b =++，100(09n c d b a =+<，09c ，09d ，a ，b ，c ，d 为整数），若()G m 能被7整除，且()()9(2)G m G n d +=+，求m n -的最小值．【解答】解：（1）2361110++=>，236∴不是完美数，根据题意，321123(321)1811G -==；故答案为：不是；18．（2）10010m a b =++，10010m b a '∴=++，100n c d =+，100n d c '∴=+，()()9(2)112m m n n G m G n d -'-'∴+=+=+， 22a b c d ∴-+=+，设()7G m x =，x 为整数， ∴9999711a b x -=，即9()7a b x -=， 09b a <，∴满足条件的a 只有7或8或9，当9a =时，m 不是完美数，故舍去，当8a =时，1b =，这个数是811，是完美数，此时，8122c d -+=+，即25c d =-，09c ，09d ，3d ∴=，1c =时，301n =，则510m n -=；4d =，3c =时，403n =，则811403408m n -=-=；5d =，5c =时，505n =，则811505306m n -=-=；6d =，7c =（舍去）， ∴共有三种情况，最小的为306；当7a =时，0b =，这个数是710，是完美数，此时，7022c d -+=+，即25c d =-，09c ，09d ，3d ∴=，1c =时，301n =，则710301409m n -=-=；4d =，3c =时，403n =，则710403302m n -=-=；5d =，5c =时，505n =，则710505205m n -=-=；6d =，7c =（舍去）， ∴共有三种情况，最小的为205；综上，m n -的最小值为205．27．阅读材料：我们知道，任意一个正整数k 都可以进行这样的分解：(k m n m =⨯，n 是正整数，且)m n ，在k 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n⨯是k 的最佳分解，并规定：()m f k n=．例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以31(18)62f ==．（1）计算：f （6）=23 ，f （4）= ，2()f x = ．（其中x 为正整数）（2）若21010(2)1011f x x +=，其中x 是正整数，求x 的值．（3）若2(9)1f x -=，其中x 是正整数，求x 的值．【解答】解：（1）6的最佳分解为23⨯，所以f （6）23=；4的最佳分解为22⨯，所以f （4）1=；2x 的最佳分解为x x ⋅，所以2()1f x =．故答案为：23；1；1．（2）22x x +的最佳分解为：(2)x x +， ∴2(2)2x f x x x +=+，又21010(2)1011f x x +=，所以101021011x x =+，解得2020x =，经检验，2020x =符合题意．（3）由2(9)1f x -=，可设229(x t t -=为正整数），即2(3)(3)x x t +-=，33x t x ∴-<<+，有以下几种情况：①当2t x =-时，229(2)x x -=-，解得134x =（舍去）； ②当1t x =-时，229(1)x x -=-，解得5x =；③当t x =时，229x x -=，无解；④当1t x =+时，229(1)x x -=+，解得5x =-；⑤当2t x =+时，229(2)x x -=+，解得134x =-；综上所述，5x =．28．阅读下列材料：材料一：对于一个百位数字不为0的四位自然数M ，以它的百位数字作为十位，十位数字作为个位，得到一个两位数m ，若m 等于M 的千位数字与个位数字的平方差，则称数M 为“平方差数”．例如：7136是“平方差数”，因为227613-=，所以7136是“平方差数”；又如：4251不是“平方差数”，因为22411525-=≠，所以4251不是“平方差数”．材料二：我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题，例如：若p ，q 为两个正整数()18p q pq >=，则p ，q 为18的正因数，又因为18可以分解为181⨯或92⨯或63⨯，所以方程18pq =的正整数解为181p q =⎧⎨=⎩或92p q =⎧⎨=⎩或63p q =⎧⎨=⎩．根据上述材料解决问题：（1）判断9810，6361是否是“平方差数”？并说明理由；（2）若一个四位“平方差数” M ，将它的千位数字、个位数字及m 相加，其和为30，求所有满足条件的“平方差数” M ．【解答】解：（1）9810是“平方差数”，229081-=，9810∴是“平方差数”； 6361不是“平方差数”，22613536-=≠，6361∴不是“平方差数”．（2）设M 的千位数字为a ，个位数字为b ，则22m a b =-，由题意得2230a b a b ++-=，即()(1)30a b a b +-+=．a b +>，11a b -+>且均为30的正因数，∴将30分解为215⨯或310⨯或56⨯．①()(1)215a b a b +-+=⨯，解得87a b =⎧⎨=⎩，即8157M =； ②()(1)310a b a b +-+=⨯，解得64a b =⎧⎨=⎩，即6204M =； ③()(1)56a b a b +-+=⨯，解得50a b =⎧⎨=⎩，即5250M =；解得51a b =⎧⎨=⎩，即5241M =．8157∴=或6204或5250或5241．M29．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为AB a b=-．||例如：两点A，B表示的数分别为3，1AB=--=．-，那么|3(1)|4（1）若|3|2x-=，则x的值为1或5．（2）当x=(x是整数）时，式子|1||2|3-++=成立．x x（3）在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当||1-=时，点P叫点A的1倍伴随点，p a当||2-=时，点P叫点A的2倍伴随点，p a⋯当||-=时，点P叫点A的n倍伴随点．p a n试探究下列问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）|3|2x-=，表示到表示数x的点到表示数3的点的距离为2，当表示数x的点在表示数3的点的左侧时，321x=-=；当表示数x的点在表示数3的点的右侧时，325x=+=；故答案为：1或5；（2）|1||2|3-++=表示的是表示数x的点到表示数1的点的距离和表示数2x x-的点的距离之和，分下列三种情况：①当表示数x的点在2-到1之间时，如图1，此时|1||2|3-++=成立；x x满足条件的x的整数为2-，1-，0，1；②当表示数x的点在2-左侧时，如图2，此时|1||2|3-++>，不存在这样的点；x x③表示数x的点在1右侧时，如图3，此时|1||2|3-++>，不存在这样的点；x x故答案为：2-或1-或0或1；（3）存在，理由如下：设点M 所表示的数位m ，点A 所表示的数为a ，点B 所表示的数为b ，点M 和N 重合，∴点N 所表示的数为n ，点M 是点A 的1倍伴随点，点N 是点B 的2倍伴随点，||1m a ∴-=，||2m b -=，12m a b ∴=±=±，当12a b +=+时，1a b -=，此时1AB =；当12a b +=-时，3a b -=-，此时3AB =；当12a b -=+时，3a b -=，此时3AB =；当12a b -=-时，1a b -=-，此时1AB =；综上，存在，此时AB 的长为1或3．30．如果一个自然数M 能分解成A B ⨯，其中A 和B 都是两位数，且A 与B 的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M 为“十全九美数”，把M 分解成A B ⨯的过程称为“全美分解”，例如：28384366=⨯，4610+=，369+=，2838∴是“十全九美数“；3912317=⨯，2110+≠，391∴不是“十全九美数”．（1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；（2）若自然数M 是“十全九美数“，“全美分解”为A B ⨯，将A 的十位数字与个位数字的差，与B 的十位数字与个位数字的和求和记为()S M ；将A 的十位数字与个位数字的和，与B 的十位数字与个位数字的差求差记为()T M ．当()()S M T M 能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M ．【解答】解：（1）2100是“十全九美数”，168不是“十全九美数”，理由如下： 21002584=⨯，2810+=，549+=，2100∴是“十全九美数”；1681412=⨯，10l l +≠，168∴不是“十全九美数“；（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n ，则10A m n =+， M 是“十全九美数”， M A B =⨯， B ∴的十位数字为10m -，个位数字为9n -，则10(10)910910B m n m n =-+-=--，由题知：()109192S M m n m n n =-+-+-=-，()[10(9)]21T M m n m n m =+----=-，根据题意，令()1925(()21S M n k k T M m -==-为整数），由题意知：19m ，09n ，且都为整数，119219n ∴-，12117m -，当k l =时，192521n m -=-， ∴1925211n m -=⎧⎨-=⎩或19210212n m -=⎧⎨-=⎩或19215213n m -=⎧⎨-=⎩，解得17m n =⎧⎨=⎩或3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）或22m n =⎧⎨=⎩； 17921564M A B ∴=⨯=⨯=或22871914M A B =⨯=⨯=；当2k =时，1921021n m -=-， ∴19210211n m -=⎧⎨-=⎩，解得192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）；当3k =时，1921521n m -=-， ∴19215211n m -=⎧⎨-=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩； 12971164M A B ∴=⨯=⨯=，综上，满足“十全九美数”条件的M 有：1564或1914或1164．31．一个自然数能分解成A B ⨯，其中A ，B 均为两位数，A 的十位数字比B 的十位数字大1，且A ，B 的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．例如：48197961=⨯，7比6大1，1910+=，4819∴是“分解数”；又如：14964434=⨯，4比3大1，4410+≠，1496∴不是“分解数”．（1）判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；（2）自然数M A B =⨯为“分解数”，若A 的十位数字与B 的个位数字的和为()P M ，A 的个位数字与B 的十位数字的和()F M ，令()()()P M G M F M =，当()G M 为整数时，则称M 为“整分解数”．若B 的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数” M ．【解答】解：（1）3252513=⨯，2比1大1，5310+≠，325∴不是“分解数”； 68513723=⨯，3比2大l ，7310+=，851∴是“分解数”．（2）令10B x y =+，10(1)10A x y =++-，(8l x <<，19y ，且x ，y 为整数）， ()1P M x y =++，()10F m x y =-+，1()10x y G M x y ++∴=-+，2x 为整数， 2x ∴=，4，6，8，当2x =时，315()11212y G M y y +==-+-+-+，为整数， 12y ∴-+的值为3或5，解得9y =或7，13129899M ∴=⨯=，23327891M =⨯=；当4x =或6x =时，不存在()G M 为整数，∴舍去；当8x =时，927()11818y G M y y +==-+-+-+为整数， 189y ∴-+=，解得9y =，391898099M ∴=⨯=．综上所述，M 的值为899，891，8099．32．对于任意一个四位数N ，如果N 满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N的百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，则称这个四位数N 为“双减数”．对于一个“双减数” N abcd =，将它的千位和百位构成的两位数为ab ，个位和十位构成的两位数为dc ，规定；()12ab dc F N -=．例如：7028N =．因为2(78)02⨯-=-，故7028是一个“双减数”，则7082(7028)112F -==-．（1）判断9527，6713是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出()F N 的值；（2）若自然数A 为“双减数”， F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除，求A 的值．【解答】解：（1）9527:523-=，972-=，不满足“双减数”的定义，故9527不是双减数；6713:716-=，633-=，满足623=⨯，且满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，故6713是双减数；6731(6713)312F -==． 9527∴不是双减数，6713是双减数，(6713)3F =．（2）设A abcd =，由题意可知，F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍．()312ab dc F A k -∴==． 13a b c d n +++=②(n 为正整数，能被13整除说明是13的倍数）， 2()b c a d -=-③，由③式可得知，ab dc -的结果中，个位数是十位数的两倍，而且()312ab dc F A k -==①． ∴36ab dc k -=，（说明ab dc -是36的倍数），根据“双减数“各位数不重复与0d ≠的性质，ab 最大为98，dc 最小为10，ab dc ∴-最大为88， ∴36ab dc -=或36-或72（舍去）或72-（舍去），（根据“双减数“百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍排除），3a d ∴-=，6b c -=或3a d -=-，6b c -=-，即3a d =+④，6b c =+⑤或3a d =-⑥，6b c =-⑦，将④⑤代入②可得，(3)(6)13d c c d n ++-++=，将⑥⑦代入②可得，(3)(6)13d c c d n -+-++=，同理，根据“双减数“的性质可得a b c d +++的最大值为987630+++=，最小值为01236+++=，630a b c d ∴+++，a b c d ∴+++是13的倍数，a b c d ∴+++只能取13或26．Ⅰ、当13a b c d +++=时，可得2d c +=或11d c +=；当2d c +=时，d 与c 的值可能为20d c =⎧⎨=⎩，02d c =⎧⎨=⎩（舍去），11d c =⎧⎨=⎩（舍去），（根据双减数个位数不能为0，且每位数不相等排除），即20d c =⎧⎨=⎩；当11d c +=时，2a b +=，则20a b =⎧⎨=⎩，02a b =⎧⎨=⎩（舍去），11a b =⎧⎨=⎩（舍去），即20a b =⎧⎨=⎩，此时，6c =，5d =． Ⅱ、当26a b c d +++=时，可得2()17d c +=，2()35d c +=． 172d c +=（舍去）或352d c +=（由于d ，c 不为整数，与题意不符，故舍去）， 3235a d ∴=+=+=，66b c =+=5602A ∴=或2065．33．对于一个四位自然数(R abcd a =，b ，c ，d 不全相同且均不为0)，如果a d b c -=-，那么称这个数R 为“天平数”，对于一个“天平数” R ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：()10s t f R +=；例如：8734R =，因为8473-=-，故：8734是一个“天平数”．所以：847311s =-=，83749t =-=，则：119()210f R +==．（1）请判断7513是否是“天平数”，如果是，请求出()f R 的值；如果不是，请说明理由；（2）若自然数M ，N 都是“天平数”，其中1007051M x y =++，100010512(19N m n x =++，08y ，19m ，08n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()f M k f N =，当()()4f N f M -=时，求k 的值．【解答】解：（1）是，且(7513)4f =，理由如下：7351-=-，7513∴是一个“天平数”． 735122s ∴=-=，715318t =-=，2218(7513)410f +∴==；（2）1007051700010050(1)M x y x y =++=++++，M ∴的前位数字是7，百位数字是x ，十位数字是5，个位数字是1y +， M 是“天平数”， 7(1)5y x ∴-+=-，即11x y +=，(701)(105)6610Ms y x x y ∴=++-+=-+，75(101)7410Mt x y x y =-++=--，66107410()1421010s t x y x y f M x +-++--∴===-， 100010512100050010(1)2N m n m n =++=++++，N ∴的前位数字是m ，百位数字是5，十位数字是(1)n +，个位数字是2， N 是“天平数”， 25(1)m n ∴-=+，即6m n +=，(102)(501)1049Ns m n m n ∴=+-++=--，(101)521051Nt m n m n =++-=+-，10491051()2101010s t m n m n f N m +--++-∴===-， 19x ，08y 且11x y +=，39x ∴，19m ，08n ，且6m n +=，16m ∴，()()(210)(142)22244f N f M m x x m -=---=+-=，14x m ∴+=，14x m ∴=-，56m ∴，此时，()142721()21055f M x m k f N m m m --====----，当5m =时，k 值不存在；当6m =时，1k =-，综上，k 的值为1-．34．如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M 为“团圆数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“欢乐分解”．例如：5722226=⨯，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，572∴是“团圆数”．又如：2341813=⨯，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，234∴不是“团圆数”．（1）最小的“团圆数”是 187 ；（2）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由；（3）把一个“团圆数” M 进行“欢乐分解”，即M A B =⨯，A 与B 之和记为()P M ，A 与B 差的绝对值记为()Q M ，令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被8整除时，求出所有满足条件的M 的值．【解答】解：（1）由题意可知，最小的“团圆数”十位数字是1，个位数字分别为1和7， ∴最小的“团圆数”是1117187⨯=，故答案为：187；（2）1951315=⨯，且358+=，195∴是“团圆数”， 6212327=⨯，378+≠，621∴不是“团圆数”；（3）设10A a b =+，则108B a b =+-，208A B a ∴+=+，|||28|A B b -=-，()()()||P M A B G M Q M A B +==-能被8整除， ∴2088|28|a kb +=-，k 为整数， 52(|4|)4a b k ∴+=-，52a ∴+是4的倍数，∴满足条件的a 有2，6，若2a =，则488|28|k b =-，k 为整数， ∴3|4|k b =-， |4|b ∴-是3的因数，43b ∴-=-，1-，1，3，∴满足条件的b 有1，3，5，7，21A ∴=，27B =或23A =，25B =或25A =，23B =或27A =，21B =，567A B ∴⨯=或575，若6a =，则1288|28|k b =-，k 为整数， ∴8|4|k b =-， |4|b ∴-是8的因数，48b ∴-=-，4-，2-，1-，1，2，4，8，∴满足条件的b 有2，3，5，6，62A ∴=，66B =或63A =，65B =或65A =，63B =或66A =，62B =，62664092A B ∴⨯=⨯=或4095，综上，M 的值为567或575或4092或4095．35．对于任意一个四位数m ，若m 满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数” m 的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为()F m ．例如“智慧数” 1234m =，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为234134124123615+++=，6153205÷=，所以(1234)205F =．（1）计算：(2131)F = 262 ；(5876)F = ；（2）若“智想数” 780010(15n x y x =++，19y ，x ，y 都是正整数），()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除，求满足条件的n 的值．【解答】解：（1）(2131)(213211231131)3262F =+++÷=；(5876)(587586576876)3875F =+++÷=；故答案为：262；875；（2） “智慧树” 78001071000810010n x y x y =++=⨯+⨯++， ∴数n 的千位上的数为7，百位上的数为8，十位上的数为x ，个位上的数为y ， ()(7807807001080010)310207F n x y x y x y x y ∴=+++++++++÷=++， 15x ，19y ，()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除， ∴可设()1020712F n x y k =++=，即()F n 是3的倍数，也是4的倍数， ()743403402333F n x y x y k x ++∴==+=++，且()3F n 是4的倍数，当1x =时，y 可取2，5，8，此时()3433F n =（舍)或344或345（舍)，此时()1032F n =，符合定义，7815n =；当2x =时，y 可取1，4，7，此时()3453F n =（舍)或346（舍)或347（舍)，无符合题意的n ；当3x =时，()340733F n y =++，y 可取3，6，9，此时()3483F n =或349（舍)或350（舍)，此时()7833F n =，不符合题意；当4x =时，y 可取2，5，8，此时()3503F n =（舍)或351（舍)或352，此时()1056F n =，7848n =，当5x =时，y 可取1，4，7，此时()3523F n =或353（舍)或354（舍)，此时()1056F n =，7851n =，综上，符合题意的点n 值为7815或7848或7851．。

专题71 函数中的新定义问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义

例题精讲考点1一次函数新定义问题【例1】．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1）；（2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没＝3S△ABO，求满足条件的P点坐标．有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP解：（1）联立，解得，∴一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）；（2）∵一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），∴n﹣1＝2，∴n＝3，∴“不动点”为（2，2），∴2＝2m+3，解得m＝﹣；（3）∵直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，∴直线y＝kx﹣3与直线y＝x平行，∴k＝1，∴y＝x﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），设P（t，0），∴AP＝|3﹣t|，＝×|t﹣3|×3，∴S△ABPS△ABO＝×3×3，＝3S△ABO，∵S△ABP∴|t﹣3|＝9，∴t＝12或t＝﹣6，∴P（﹣6，0）或P（12，0）．变式训练【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜9．∴，解得，∴这个函数的表达式是y＝|﹣3|﹣4；（2）∵y＝|﹣3|﹣4，∴，∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣x﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2），该函数的图象如图所示，性质：当x＞2时，y的值随x的增大而增大；（3）由函数的图象可得，不等式的解集是：1≤x≤4；（4）由|x2﹣6x|﹣a＝0得a＝|x2﹣6x|，作出y＝|x2﹣6x|的图象，由图象可知，要使方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等实数根，则0＜a＜9，故答案为：0＜a＜9．考点2反比例函数新定义问题【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝﹣2，a＝3，b＝4；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为x＜0或x＞4．．解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上，∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，解得：m＝﹣2，∴原函数的解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；当x＝1时，y＝3；当x＝4时，y＝4；∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，故答案为：﹣2，3，4；（2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，实际上求出函数y＝x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y＝﹣（x﹣2）2+8图象上方的自变量的范围，∴由图象可知，当x＜0或x＞4时，满足条件，故答案为：x＜0或x＞4．变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是2，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，∴DH＝×2＝；故答案为：；（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入y＝，得：3＝，∴k＝3，∴双曲线C1的解析式为y＝，联立，得：﹣x+4＝，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴B（3，1），∴AB＝＝2；如图，作FG∥AB，且FG与双曲线y＝只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，则﹣x+b＝，整理得：x2﹣bx+3＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，∴b＝2或b＝﹣2（不符合题意，舍去），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+2，由﹣x+2＝，解得：x1＝x2＝，∴K（，），∴OK＝＝；故答案为：2，；（3）如图，设点S（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上任意一点，且a＜b，以点S为圆心，80为半径作⊙S交l4于E，过点S作SF⊥直线l4于F，交y轴于W，SH⊥x轴于H，SG⊥y轴于G，则SG＝a，SH＝b，ab＝2400，∵直线y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOW＝45°，∵∠OFW＝∠SGW＝90°，∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，∴∠SWG＝∠OWF＝45°，∴△WOF和△SWG是等腰直角三角形，∴SW＝SG，WF＝OW，∴SF＝SW+WF＝SG+OW＝a+（b﹣a）＝（a+b），∵EF＝＝＝＝，∵OF＝OW＝（b﹣a），∴OE＝（b﹣a）+，设b﹣a＝m（m＞0），则OE＝m+≤＝40，∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度＝2OE＝2×40＝80，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．考点3二次函数新定义问题【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是﹣1＜m＜0．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围．解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜m＜0．故答案为：函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜m＜0．（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象，当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3且x≠1，变式训练【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正确的是（）A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1.5B．有且只有﹣1≤x≤1时，函数值y随x值的增大而增大C．若a＜0，则8a+c＞0D．若a＜0，则a+b≥m（am+b）（m为任意实数）解：由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线x＝＝1，故选项A错误，不符合题意；当﹣1≤x≤1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2b+c＝4a﹣2×（﹣2a）+c＝4a+4a+c＝8a+c＜0，故选项C错误，不符合题意；∵y＝ax2+bx+c开口向下，对称轴为直线x＝1，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），∴a+b≥m（am+b）+c，故选项D正确，符合题意；故选：D．【变3-2】．已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是y＝x；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是．解：（1）∵抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4；（2）过点B作BE⊥x轴交DP延长线于点E，过D作DF⊥x于点F，由y＝﹣x2+4，令y＝0，则﹣x2+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，则B（2，0），∵DF＝3，BF＝2﹣（﹣1）＝3，∴DF＝BF，∴∠DBF＝45°，∴∠DBE＝45°，又∵DB＝DB，BD平分∠ADP，∴△DAB≌△DEB（ASA），∴BA＝BE，∵B（2，0），∴E（2，4），设直线DE的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+，联立，解得或，则P（，）；（3）①∵抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，∴对于抛物线上任意一点P（a，b）关于原点旋转90°后对应点为P1（b，﹣a）在旋转后图形上，P1（b，﹣a）关于x轴对称的点P2（b，a）在旋转后图形上，∵P（a，b）与P2（b，a）关于y＝x对称，∴图形2关于y＝x对称，∴直线EF的解析式为y＝x，故答案为：y＝x；②如图，连接GH，交EF与点K，则GH＝2GK，过点G作x轴的垂线，交EF于点I，∴当GK最大时，△GFE面积最大，＝GI•（x E﹣x F），又∵S△GFE设G（m，﹣m2+4），则I（m，m），∴GI＝y G﹣y I＝﹣m2+4﹣m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，△GFE面积最大，∴G（﹣，），由①可知G（﹣，）关于y＝x的对称点H（，﹣），∴K（，），∴GK＝＝，∴GH＝2GK＝，∴GH的最大值为，故答案为：．1．对于实数a，b，定义符号max|a，b|，其意义为：当a≥b时，max|a，b|＝a，当a＜b时，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若关于x的函数y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，则该函数的最小值为（）A．B．1C．D．3解：当2x﹣1≥﹣x+5时，即x≥2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝2x﹣1，此时x＝2时，y有最小值，最小值为2×2﹣1＝3；当2x﹣1≤﹣x+5时，即x≤2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝﹣x+5，此时x＝2时，y有最小值，最小值为﹣2+5＝3；综上所述，该函数的最小值为3．故选：D．2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为（，）或（﹣，﹣）．解：设B（x，y），∵点A是点B的“关联点”，∴A（x+y，x+）∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴（x+y）（x+）＝，即：x+y＝或x+y＝﹣，当点B在直线y＝﹣x+上时，设直线y＝﹣x+与x轴、y轴相交于点M、N，则M（1，0）、N（0，），当OB⊥MN时，线段OB最短，此时OB＝＝，由∠NMO＝60°，可得点B（，）；设直线y＝﹣x﹣时，同理可得点B（﹣，﹣）；故答案为：（，）或（﹣，﹣）．3．定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a ≠0）．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1．解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，解得，∴y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1，故答案为：y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线．（1）下列说法不正确的是C．A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”B．函数的图象上没有“不动点”C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（2）求双曲线上的“不动点”；（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，①当a＞1时，求c的取值范围．②如果a＝1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于x轴的直线l，若抛物线上有四个点到l的距离为m，直接写出m的取值范围．解：（1）设坐标平面内任意一个“不动点”的坐标为（n，n），直线y＝x，当x＝n时，则y＝n，∴点（n，n）在直线y＝x上，∴直线y＝x上有无数个“不动点”，故A正确；将（n，n）代入y＝，得n＝，此方程无解，∴函数y＝的图象上没有“不动点”，故B正确；将（n，n）代入y＝x+1，得n＝n+1，此方程无解，∴直线y＝x+1上没有“不动点”，故C错误；将（n，n）代入y＝x2，得n＝n2，解得n1＝0，n2＝1，∴函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（0，0）和（1，1），故D正确，故选：C．（2）设双曲线上的“不动点”为（x，x），则x＝，解得x1＝﹣3，x2＝3，∴双曲线上的“不动点”为（﹣3，﹣3）和（3，3）．（3）①设抛物线y＝ax2﹣3x+c上的“不动点”为（x，x），则x＝ax2﹣3x+c，即ax2﹣4x+c＝0，∵该抛物线上有且只有一个“不动点”，∴关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，∴（﹣4）2﹣4ac＝0，∴a＝，∵a＞1，∴＞1，∴0＜c＜4．②∵当a＝1时，则＝1，∴c＝4，∴抛物线为y＝x2﹣3x+4，由（2）得，双曲线在第一象限的不动点为（3，3），∴直线l即直线y＝3，如图，∵y＝x2﹣3x+4＝（x﹣）2+，∴该抛物线的顶点B（，），对称轴为直线x＝，设直线r在直线l下方且到直线l的距离为m，直线x＝交直线l于点A，交直线r于点C，∴AC＝m，A（，3），∴AB＝3﹣＝，设直线t与直线r关于直线l对称，∵当点C在点B的上方时，抛物线上有四个点到l的距离为m，∴0＜m＜．5．在并联电路中，电源电压为U总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．（1）定值电阻R1的阻值为6Ω；（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I＝1+的图象与性质．总①列表：如表列出I总与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ 2.5，n＝2；R…3456…I2＝…2 1.5 1.21…I总＝1+…3m 2.2n…②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①I总随R的增大而减小；（填“增大”或“减小”）②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向上平移1个单位而得到．解：（1）∵I1＝＝1，∴R1＝6，故答案为：6；（2）①当R＝4时，m＝1+1.5＝2.5，当R＝6时，n＝1+1＝2，故答案为：2.5，2；②图象如下：随R的增大而减小，（3）①根据图象可知，I总故答案为：减小；②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向上平移1个单位得到，故答案为：上，1．6．小欣研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝1；012…x…﹣4﹣3﹣2y…﹣1﹣2﹣332m…﹣﹣②描点：根据表中的数值描点（x，y）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2AA．函数值y随x的增大而减小B．函数图象不经过第四象限C．函数图象与直线x＝﹣1没有交点D．函数图象对称中心（﹣1，0）（3）如果点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，如果x1+x2＝﹣2，则y1+y2＝0．解：（1）把x＝0代入到中可得：y＝1，即m＝1，图象如下所示：故答案为：1，图象如上所示；（2）A．当x＜﹣1或x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小，故选项A不正确；B．根据图象可得，函数图象不经过第四象限，故选项B正确；C．根据函数表示可得：x≠﹣1，所以函数图象与直线x＝﹣1没有交点，故选项C正确；D．根据图象可知，函数图象对称中心（﹣1，0），故选项D正确；故选：A；（3）∵x1+x2＝﹣2，∴y1+y2＝＝＝＝0；故答案为：0．7．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝．x…﹣3﹣2﹣1123…y…124421m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：②；（填写代号）①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝4．解：（1）将x＝3代入得y＝，故答案为：．（2）由（1）中的图象可知，在第一象限内，y随x的增大而减小；在第二象限内，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称，故②正确；故答案为：②．（3）将y＝2代入得x＝1或x＝﹣1，∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，∵AB在直线y＝2上，OC在x轴上，∴AB∥OC，又∵BC∥OA，∴四边形OABC为平行四边形，＝AB•y A＝2×2＝．∴S四边形OABC故答案为：4．8．【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．【应用】（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形ABC的视角为30°；（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值；【拓展应用】（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x ＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．解：（1）延长BA交x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，∵点，，，∴AB∥y轴，，OE＝3，∴AB⊥x轴，∴，OD＝2，∴，，∴∠BOD＝60°，∠COE＝30°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COE＝30°，即原点O对三角形ABC的视角为30°过答案为：30°（2）证明：如图，过圆O2上任一点P作圆O1的两条切线交圆O1于A，B，连接OA，OB，OP，则有OA⊥PA，OB⊥PB，在中，OA＝2，OP＝4，∴，∴∠OPA＝30°，同理可求得：∠OPB＝30°，∴∠APB＝60°，即圆O2上任意一点P对圆O1的视角是60°，∴圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值．（3）当在直线AB与直线CD之间时，视角是∠APD，此时以E（﹣4，0）为圆心，EA 半径画圆，交直线于P3，P6，∵∠DP3B＞∠DP3A＝45°，∠AP6C＞∠DP6C＝45°，不符合视角的定义，P3，P6舍去．同理，当在直线AB上方时，视角是∠BPD，此时以A（﹣2，2）为圆心，AB半径画圆，交直线于P1，P5，P5不满足；过点P1作P1M⊥AD交DA延长线于点M，则AP1＝4，P1M＝5﹣2＝3，∴，∴当在直线CD下方时，视角是∠APC，此时以D（﹣2，﹣2）为圆心，DC半径画圆，交直线于P2，P4，P4不满足；同理得：；综上所述，直线上满足条件的位置坐标或．9．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x﹣1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．（1）①列表：下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值m＝0；n＝3；x…﹣2﹣1012…y…1m00n…②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象；（2）下列关于该函数图象的性质正确的是③；（填序号）①y随x的增大而增大；②该函数图象关于y轴对称；③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；④该函数图象不经过第三象限．（3）若函数值y＝8，则x＝3或﹣9；（4）若关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c 的取值范围是c＞﹣2．解：（1）①m＝﹣（﹣1）﹣1＝0；n＝22﹣1＝3；故答案为：0，3；②描点，连线，作出函数图象如下：（2）从图象可知：下列关于该函数图象的性质正确的是③；故答案为：③；（3）若x≥0时，x2﹣1＝8，解得x＝3或x＝﹣3，∴x＝3；若x＜0时，﹣x﹣1＝8，解得x＝﹣9，故答案为：3或﹣9；（4）由图象可知：关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，则c＞﹣2，故答案为：c＞﹣2．10．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．d/米00.61 1.8 2.43 3.64h/米0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.600.88在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为0.88米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．（精确到0.1米）解：（1）d是自变量，h是这个变量的函数，故答案为：d，h；（2）如图，（3）①当x＝0时，y＝0.88，∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米，故答案为：0.88；②设y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得，，解得，∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，对称轴为直线x＝2，令y＝2，则2＝﹣0.5x2+2x+0.88，解得x≈3.3（舍去）或0.7．故答案为：0.7．11．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．（1）完成函数图象的作图，并完成填空．①列出y与x的几组对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣8﹣3010﹣3010a﹣8…表格中，a＝﹣3；②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．解：（1）①把x＝4代入y＝﹣x2+4|x|﹣3得：y＝﹣16+16﹣3＝﹣3，∴a＝﹣3，故答案为：﹣3；②画出当x＞0时函数M的图象如下：③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；故答案为：﹣2或2，1；（2）由解得或，由解得或，∴函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标为（﹣6，﹣15）、（0，﹣3）、（2，1）；（3）∵P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，且y1＜y2，∴m的取值范围m＜﹣2.5或﹣0.5＜m＜1.5．12．定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W 上，则称点M为函数图象W的“直旋点”．例如，点是函数y＝x图象的“直旋点”．（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有②③（填序号）；（2）若点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；（3）二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．解：（1）①点（3，0）绕原点顺时针旋转90°得点（0，﹣3），当x＝0时，y＝1，∴点（3，0）不是一次函数图象的“直旋点”；②点（﹣1，0）绕原点顺时针旋转90°得点（0，1），当x＝0时，y＝1，∴点（﹣1，0）是一次函数图象的“直旋点”；③点（0，3）绕原点顺时针旋转90°得（3，0），当x＝3时，y＝＝0，∴点（0，3）是一次函数图象的“直旋点”；∴是一次函数图象的“直旋点”的有②③；故答案为：②③；（2）点N（3，1）绕原点顺时针旋转90°得点（1，﹣3），∵点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，∴，∴k＝﹣3；（3）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，，解得：，∴直线AC的解析式为y＝3x+3，设点D（a，3a+3），则D（a，3a+3）绕原点顺时针旋转90°得点（3a+3，﹣a），∵点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”，∴﹣（3a+3）2+2（3a+3）+3＝﹣a，解得：a＝0或a，∴点D的坐标为（0，3）或．13．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界是1．（1）直接判断函数y＝（x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，直接写出其边界值；（2）若一次函数y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解析式；（3）将二次函数y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是n，当m在什么范围时，满足≤n≤1．解：（1）y＝（x＞0）不是有界函数；y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是有界函数，当x＝﹣4时，y＝9，当x＝2时，y＝﹣3，∴对于﹣4＜x≤2时，任意函数值都满足﹣9＜y≤9，∴边界值为9．（2）当k＞0时，由有界函数的定义得函数过（1，2），（﹣2，﹣3）两点，设y＝kx+b，将（1，2）（﹣2，﹣3）代入上式得，解得：，所以：y＝x+，当k＜0时，由有界函数的定义得函数过（﹣2，2），（1，﹣3）两点，设y＝kx+b，将（﹣2，2），（1，﹣3）代入上式得，即得，函数解析式为y＝﹣x﹣．（3）若m＞1，函数向上平移m个单位后，x＝0时，y＝m，此时边界值t≥1，与题意不符，故m≤1，函数y＝﹣x2过点（﹣1，﹣1），（0，0）；向上平移m个单位后，平移图象经过（﹣1，﹣1+m）；（0，m）．∴﹣1≤﹣1+m≤﹣或≤m≤1，即0≤m≤或≤m≤1．14．在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线C1与抛物线C2：y＝mx2+4mx﹣12m（m ＞0）的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，且点A的坐标为（0，﹣1）．（1）求M，N两点的坐标及抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2的顶点为D，当m＝时，试判断三角形MND的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，抛物线C2第三象限上是＝S△ONQ，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说否存在一点Q，使得S△APM明理由．解：（1）令y＝0，则mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或x＝﹣6，∴M（﹣6，0），N（2，0），设抛物线C1的解析式为y＝a（x+6）（x﹣2），将点A（0，﹣1）代入，得﹣12a＝﹣1，解得a＝，∴y＝（x2+4x﹣12）；（2）∵m＝，∴y＝x2+3x﹣9＝（x+2）2﹣12，∴D（﹣2，﹣12），∴MD＝4，ND＝4，MN＝8，∴MD＝ND，∴△MND是等腰三角形；＝S△ONQ，理由如下：（3）∵存在一点Q，使得S△APM∵点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，∴﹣＝（t2+4t﹣12），解得t＝﹣1或t＝﹣3，∴P（﹣1，﹣）或P（﹣3，﹣），设直线AM的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣1，过点P作PG∥y轴交AM于点G，当P（﹣1，﹣）时，G（﹣1，﹣），∴PG＝，＝6×＝，∴S△APM＝S△ONQ，∵S△APM∴××2×|y Q|＝，解得y Q＝﹣，∴Q（﹣﹣2，﹣）；当P（﹣3，﹣）时，G（﹣3，﹣），∴PG＝，＝6×＝，∴S△APM＝S△ONQ，∵S△APM∴××2×|y Q|＝，解得y Q＝﹣，∴Q（﹣﹣2，﹣）；综上所述：Q点坐标为（﹣﹣2，﹣）或（﹣﹣2，﹣）．15．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y ＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．（1）函数y＝2|x|+1是对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．解：（1）∵在实数范围内任取x＝a时，y＝2|a|+1，当x＝﹣a时，y＝2|﹣a|+1＝2|a|+1，∴y＝2|x|+1是“对称函数”．故答案为：是；y＝2|x|+1的图象如图1所示，（2）①当直线y＝﹣x+n经过点（0，1）时，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，∴n＝1；②当直线y＝﹣x+n与函数y＝x2﹣2|x|+1的图象的右半侧相切时，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，即方程组有一个解，∴方程x2﹣x+1﹣n＝0有两个相等的实数根．∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（1﹣n）＝0，解得：n＝．综上，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，则n的值为1或；（3）当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与x轴相切时，方程x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，∵b＞0，∴b＝2；当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与直线DC相切时，方程x2﹣bx+1＝﹣3有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×4，∵b＞0，∴b＝4；当x＜0时，函数y＝x2+bx+1的图象经过点（﹣3，﹣3）时，﹣3＝（﹣3）2﹣3b+1，解得：b＝．综上，当2＜b＜4或b＞时，二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点．16．定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3．（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y＝﹣x2+4x+8，自变量的取值范围是﹣2≤x≤4；（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．解：（1）∵半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3，∴A（﹣2，0），B（4，0），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则，解得，∴“蛋圆”抛物线部分的解析式y＝﹣x2+2x+8（﹣2≤x≤4）；故答案为：＝﹣x2+2x+8；﹣2≤x4．（2）如图，设过点C的切线与x轴相交于E，连接CM，∵CE与半圆相切，∴CE⊥CM，∴∠OCE+∠MCO＝90°，∵∠CEO+∠ECO＝90°，∴∠CEO＝∠MCO，又∵∠COE＝∠MOC＝90°，∴△COE∽△MOC，∴＝，由勾股定理得，OC＝＝2，∴OE＝＝＝8，∴过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标为（﹣8，0）；（3）设过点D的“蛋圆”切线解析式为y＝kx+8，联立，消掉y得，x2+（k﹣2）x＝0，∵直线与“蛋圆”抛物线相切，∴△＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴过点D的“蛋圆”切线的解析式为y＝2x+8．17．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y＝﹣互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC 点”；（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB＝，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为﹣，连接OP，AP，BP．若∠OPA＝∠OBP，求t的最小值．解：（1）设P（a，b）在y＝﹣2x﹣1上，则Q（﹣a，﹣b）在y＝﹣上，∴，解得或，∴“XC点”为（﹣2，3）与（2，﹣3）或（，﹣4）与（﹣，4）；（2）设P（s，t）在y＝x2+2x+4Q（﹣s，﹣t）在y＝4x+n﹣2022上，∴，∴n＝﹣t+4s+2022＝﹣s2+2s+2018＝﹣（s﹣1）2+2019，当s＝1时，n有最大值2019，此时“XC点”为（1，7）与（﹣1，﹣7）；（3）设P（x，y）在y＝ax2+bx+c上，则Q（﹣x，﹣y）在y＝2bx+1上，∴，整理得ax2﹣bx+c+1＝0，∵有且仅存在一组“XC点”，∴Δ＝b2﹣4a（c+1）＝0，即＝﹣1，∴顶点M的纵坐标为﹣1，∵ax2+bx+c＝0，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴AB＝＝，∵AB＝，∴＝，∴＝，∵∠OPA＝∠OBP，∠AOP＝∠POB，∴△POA∽△BOP，∴OP2＝OB•OA＝x1•x2，∵P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣1），∴t+1＝＝＝（c﹣1）2+，∴当c＝1时，t有最小值．18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；①其中有两内角分别为30°，60°的三角形×；②其中有两内角分别为50°，60°的三角形×；③其中有两内角分别为70°，100°的三角形√；（2）如图1，点A在双曲线y＝（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE ＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ＝，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．。

中考数学专题复习学案一次函数之新定义

在指导过程中,引导学生进行文字语言,符号语言,图形语言的转化。
同时强调多思少算,训练学生准确画图,从图形语言中获取信息的方法
二、解题策略
常见思路:给什么,用什么。
关键是
①深刻理解“新定义”一一明确“新定义”的条件,原理、方法、步骤和结论；
②重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；
(1)请判断下列各点中是平面直角坐标系中的平衡点的是:(填序号) ①A(1,2),②B(-4,4)
(2)若在第一象限中有一个平衡点N(4,m)恰好在一次函数y=-x+b(b为常数)的图象上.
①求m、b的值
②一次函数y=-x+b(b为常数)与y轴交于点C,问:在这函数图象上,是否存在点M使 ,若存在,请直接写出点M的坐标:若不存在,请说明理由.
②存在,设点M的坐标为(x.-x+8)
∵ 即 ,解得:x=±12,:点M的坐标为(12，-4)或(-12，20)
(3)没有,理由如下：
设平衡点的坐标为(n,-2),则2|n|=(2+|n|)×2,∴2|n|=4+2|n|,即0=4.
∵0≠4,
∴经过点P(0-2),且平行于x轴的直线上没有平衡点.
本题考查了长方形的周长、长方形的面积、解一元一次方程、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解含绝对值符号的一元一次方程,解题的关键是:(1)利用平衡点的定义逐一验证点A,B是否为平衡点:(2)①利用平衡点的定义及一次函数图象上点的坐标特征,求出m,b的为(x,-x+8),利用三角形的面积公式结合 ,可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程,解之即可得出x的值,再将其代入点M的坐标中即可求出结论;

中考数学专题复习--新定义型问题课件

中考数学专题复习 “新定义”型问题
知识概述
“新定义”型问题
定义新运算
“定义新运算”是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．解决这类问题的关键是理解新运算规定的规则，明白其中的算理算法．运算时，要严格按照新定义的运算规则，转化为已学过的运算形式，然后按正确的运算顺序进行计算．
定义新概念
例 3．在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等) 的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．（2）M，N 是一对“互换点”，若点 M 的坐标为(m，n)，求直线 MN 的表达式(用含 m，n 的代数式表示)；
定义新概念（2）M，N 是一对“互换点”，若点 M 的坐标为(m，n)，求直线 MN 的表达式(用含 m，n 的代数式表示)；【简析】（2）设直线 MN 的表达式为 y = kx + b( k≠ 0) ．把 M( m,n) ，N( n，m) 代入 y = kx + b，解得 k=-1，b=m + n，∴ 直线 MN 的表达式为 y=-x+m+n．
“定义新图形”试题呈现的一般结构为: 给出新图形定义→了解新图形结构→理解和运用新图形性质．而理解新图形性质特征是解题的关键.
定义新图形例 4．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”. 理解：（1）如图 1，已知 A、B 是⊙O 上两点，请在圆上找出满足条件的点 C，使△ABC 为“智慧三角形”（画出点 C 的位置，保留作图痕迹）；
（1）填空：①- =
；
②若x=-2，则 x 的取值范围是
．

中考专题复习——“新定义”问题(教案)

专题复习——“新定义”问题（教案）授课日期：2016.5.18教学目标：1、通过具体实例了解"新定义"型试题的概念及常见模式；2、通过生生交流、师生互动了解解决"新定义"型试题的思路，掌握分析"新定义"型试题的方法，并学会解决"新定义"型试题。

教学重点："新定义"型试题三种常见模式及其分析、解决该类问题思路和方法。

教学难点："新定义"型试题需要学生有一定的阅读理解能力，在解决过程中又往往涉及较多的知识点，综合性较强。

因此如何引导学生读题和分析问题，并且综合运用所学知识解决问题是本节课的教学难点。

教学过程：一、专题诠释所谓"新定义"型试题，是指试题在某种运算、某个基本概念或几何图形基础上或增加条件，或改编条件，或削弱条件，构造一些创意新奇、情境熟悉但又从未接触过的新概念的试题。

其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

“新定义”型试题常常以运算模式、函数模式、几何模式等形式出现。

二、解题策略解决此类问题的常见思路：给什么，用什么。

即：正确理解新定义，并将此定义作为解题的重要依据，分析并掌握其本质，用类比的方法迅速地同化到自身的认知结构中，然后解决新的问题。

三、典例精析（一）运算模式例1 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b ，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1==-5。

（1）求（-2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．分析：（1）按照定义新运算a⊕b=a（a-b）+1，即可求解；（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a-b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，最后在数轴上表示即可。

中考数学复习新定义、新运算型问题精讲(共24张PPT)

【思路导引】通过计算所给四组向量的坐标,只要符合 x1· x2+y1· y2=0的向量,即为互相垂直.
3
1
解析:选项A中,3×(-2)+2×3=0,∴两向量互相垂直;
选项 B 中,( 2-1)· ( 2+1)+1×1=2,∴两向量不垂直; 1 选项 C 中,3×(-3)+20180×(-1)=-2,∴两向量不垂直; 选项 D 中, 8×( 2) +(- )×4=2,∴两向量不垂直.
所以说法错误的是 C.
4.(2018· 聊城)若x为实数,则[x]表示不大于x的最大整数,例如 [1.6]=1,[π]=3,[-2.82]=-3等.[x]+1是大于x的最小整数,对任意的实数x都满足不等式[x]≤x<[x]+1 ①.利用这个不等式①,求出满足
[x]=2x-1的所有解,其所有解为 1 或2
解析:根据题意,得第一次:当n=13时,F①=3×13+1=40,
第二次:当 n=40 时,F②=23 =5,
2
40
第三次:当 n=5 时,F①=3×5+1=16, 16 第四次:当 n=16 时,F②= 4 =1, 第五次:当 n=1 时,F①=3×1+1=4, 4 第六次:当 n=4 时,F②=22 =1,
��
b1a2
b2 = 2
13 -2
b2 = 1 c2 = 2
-14 -7 21 -7
112
-2 =1×(-2)-1×12=-14,
13 12 =2×12-1×3=21,
�� = �� =
= =

中考数学复习考点知识与题型专题讲解88---解析“新定义”问题

中考数学复习考点知识与题型专题讲解解析“新定义”问题“新定义”问题可以考查学生的阅读能力、适应能力、探索能力、解决问题的能力以及类比、分类讨论等数学思想，它与所考查的知识点有机融合，既能发挥试题的区分功能，也能兼顾基础知识的整体考察，因此近年来在各地中考中频频亮相．现就中考试题进行分类解析，以展示“新定义”问题的独特之处．一、定义新“运算”例1 对于任意非零实数a、b，定义运算“○*”，使下列式子成立：1○*2＝－32，2○*1＝32，（－2）○*5＝2110，5○*（－2）＝－2110，…则a○*b＝_______．分析由新运算数字等式得出变化规律，即可得解．点评本题通过定义新运算，从一个新的视角考查了找规律试题，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．二、定义新“数”例2若正整数n使得在计算n＋(n＋1)＋（n＋2）的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数“．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”，现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为________．分析满足题意的“本位数”有：1、2、10、11、12、20、21、22、30、31、32，根据概率公式计算可得解．点评本题定义新数，构思新颖，同时考查了概率公式．三、定义新“函数”例3设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为(a，b)．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m ≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．(1)反比例函数y ＝2013x 是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；(2)若一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；(3)若二次函数y ＝2147555x x --是闭区间[a ，b]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值.分析 (1)根据反比例函数y ＝2013x的单调区间进行判断； (2)由一次函数的性质，分两种情况讨论：①k >0②k<0，列出关于系数k 、b 的方程组，即可求解；(3)抛物线顶点为（2，－115），所以分三种情况讨论①b ≤2②a<2<b ③a ≥2，同(2)，列出关于系数a 、b 的方程组，即可求解．点评本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数、反比例函数图象的性质解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义，解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．四、定义新“点”例4 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（12，12）E(0，－2) ，F(23，0)．(1)当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是_______；②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO ＝30°，若直线l上的点P(m，n)是⊙O的关联点，求m的取值范围；(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．分析“新定义”问题最关键的是能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过题意，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半径的点．点评本题是北京市中考压轴题，考查的知识点有一次函数、圆、特殊直角三角形等．五、定义新“线”及新“四边形”例5若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．(1)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；(2)如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A、B、C均在格点上．请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；(3)四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC 是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．分析由新定义，易得(1)(2)．(3)由AC是四边形ABCD的和谐线，可得出△ACD是等腰三角形．从图3得AC＝AD，图4得AD＝CD，图5得AC＝CD，三种情况运用等边三角形、正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．点评本题通过定义和谐线、和谐四边形，考查了等边三角形、正方形、30°的直角三角形的性质的运用，以及圆弧的概念，解答时容易忽略图5这种情况，因此，合理运用分类讨论思想是关键．六、定义新“角”例6 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°?，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．分析由特征角定义，即可得解，点评此题由新定义考查了三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．七、定义新“相似”例7 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图6，△ABC∽△A'B'C’且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相同，因此△ABC与△A'B'C'互为顺相似；如图7，△ABC∽△A'B'C'，且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相反，因此△ABC与△A'B'C'互为逆相似．(1)根据图8、图9和图10满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP 与△NMQ．其中，互为顺相似的是_______；互为逆相似的是_______（填写所有符合要求的序号）(2)在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C．点P在△ABC的边上（不与点A、B、C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．分析(1)略．(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：①如图11，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2．②如图12，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作∠CBM＝∠A，BM交AC于点M．当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，③如图13，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作∠BCD＝∠A，∠ACE＝∠B，CD、CE分别交AC于点D、E．当点P在AD（不含点D）上时，过点P只能画出1条截线P1Q；当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2；当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q'．点评本题从课本习题出发，通过新定义以及恰当的图形变化，发现图形间的内在联系，本题是创新型中考压轴题，主要考查了相似三角形的知识、分类讨论的数学思想．。

中考数学专题复习新定义问题【含解析】

新定义问题【专题点拨】新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 .【解题策略】具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决【典例解析】类型一：规律题型中的新定义例题1：（2015•永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（）A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，∴当x是整数时，[x]=x，成立；B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．变式训练1：（2015•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2）C. (—2013,—2)D. (—2013,2)类型二：运算题型中的新定义例题2：（2016·四川宜宾）规定：log a b（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：log n a n=n．log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．例如：log223=3，log25=，则log1001000= ．【解析】实数的运算．先根据log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）将所求式子化成以10为底的对数形式，再利用公式进行计算．【解答】解：log1001000===．故答案为：．变式训练2：(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y′），给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ≥⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为；（2）若点P 在函数216y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是．类型三：探索题型中的新定义例题3：(2016山西省第10题)宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解析】考点：黄金分割的识别【解答】：由作图方法可知DF=5CF ，所以CG=CF )15(-，且GH=CD=2CF ，从而得出黄金矩形CG=CF )15(-，GH=2CF ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形。

中考数学知识点专题分类复习：第42讲新概念新定义

中考数学知识点专题分类复习：第42讲新概念新定义【知识巩固】（一）专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力（二）解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：1.是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；2.是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．【典例解析】典例一、规律题型中的新定义（2016·黑龙江龙东·3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC 的顶点C的坐标为．【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．【解答】解：解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，∴点C到x轴的距离为1+2×=+1，横坐标为2，∴A（2，+1），第2016次变换后的三角形在x轴上方，点A的纵坐标为+1，横坐标为2-2016×1=-2014，所以，点A的对应点A′的坐标是(-2014，+1)故答案为：(-2014，+1)．典例二、运算题型中的新定义（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．【变式训练】（2017甘肃天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2= 2．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，故答案为：2典例三、探索题型中的新定义（2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为113°或92°．【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC==67°，∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°，故答案为113°或92°．典例四、开放题型中的新定义（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）=2．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：2【变式训练】（2017张家界）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3=﹣i，i4=1；（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；（3）计算：i+i2+i3+ (i2017)【考点】2C：实数的运算．【分析】（1）把i2=﹣1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=﹣1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．【解答】解：（1）i3=i2•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．故答案为：﹣i，1；（2）（1+i）×（3﹣4i）=3﹣4i+3i﹣4i2=3﹣i+4=7﹣i；（3）i+i2+i3+…+i2017=i﹣1﹣i+1+…+i=i．典例五、阅读材料题型中的新定义（2017湖北荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．上述结论中正确的有（）A．①② B．③④ C．②③ D．②④【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；【解答】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得（x﹣4）（x+2）=0，解得x1=4，x2=﹣2，∵x1≠2x2，或x2≠2x1，∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．故①错误；②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，∴设x2=2x1，∴x1•x2=2x12=2，∴x1=±1，当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，∴x1+x2=﹣a=±3，∴a=±3，故②正确；③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，∴x2=2x1，∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确；④∵点（m，n）在反比例函数y=的图象上，∴mn=4，解mx2+5x+n=0得x1=﹣，x2=﹣，∴x2=4x1，∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；故选C．【变式训练】（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x 2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=﹣x+，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC==，由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．【能力检测】1.（2016·山东省德州市·4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为（21008，21009）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】规律型；一次函数及其应用．【分析】写出部分A n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．【解答】解：观察，发现规律：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．∵2017=1008×2+1，∴A2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）．故答案为：（21008，21009）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化，解题的关键是找出变化规律“A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分A n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．2.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC 分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OC n B n的对角线交点的坐标为（﹣，）．【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得B n的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，∵OA=2，OC=1．∵点B的坐标为（﹣2，1），∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，∴B2（﹣2××，1××），∴B n（﹣2×，1×），∵矩形A n OC n B n的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），故答案为：（﹣，）．3.（2016·山东省菏泽市·3分）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=﹣1．【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【专题】规律型．【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．【解答】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）∵C2由C1旋转得到，∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．4.2017湖南岳阳）已知点A在函数y1=﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k 为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣）关于原点的对称点B（a，﹣）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，﹣），）在直线y2=kx+1+k上，则=﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）=0，∴a﹣1=0或ka﹣1=0，则a=1或ka﹣1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．。

中考数学新定义及探究题专题-《二次函数及新定义》-(含解析)

中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（学生版）【类型1 二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣13．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P （m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC 为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．(1)求抛物线的雅礼弦长；(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数”10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．任务：（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是．2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数与函数，定义“和函数”．(1)若，则“和函数”；(2)若“和函数”为，则，；(3)若该“和函数”的顶点在直线上，求．4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．(1)①已知点，则______．②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．(2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】(1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；(2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积；(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围．6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为(1)已知点A（-2，1）在一次函数的相关函数的图象上时，求a的值．(2)已知二次函数．当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．(1)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；(2)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝；（用含c的式子表示）②求b的值．9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．(1)直接写出有界函数的边界值；(2)已知函数是有界函数，且边界值为3，直接写出的最大值；(3)将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，直接写出的取值范围，使得．10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）．(1)①判断：函数__________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；②函数的图像上的明德点是___________；(2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；(3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值．【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（）A．4，-1B．，-1C．4，0D．，-1 2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．①当四边形为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；（2）设点在直线上运动：①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A．B两点不重合)，如果△ABP中PA 与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍，则称点P为抛物线的“好”点．（1）命题：P(0，3)是抛物线的“好”点．该命题是_____（真或假）命题．（2）如图2，已知抛物线C:与轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△AB P的Q点(异于点P)的坐标．5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．（1）直接写出点A、C的坐标；（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）初步尝试如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．（2）理解运用如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．（3）综合探究如图3，二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么①a= ，b= ．②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝a+bx+c （a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝a+bx+c沿直线y＝m 翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝．（1）图①是抛物线y＝﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标，点B 坐标，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形，|D|为．（2）如果抛物线y＝m﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（解析版）【类型1 二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，将代入得，将代入得，设，，如图，联立与，得方程，即抛物线与直线有两个交点，，解得，当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，把代入，得，把代入得，，解得，．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣1【答案】B【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为，∴，解得：，∴此函数的二次项系数为；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P （m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．【详解】解：由题意可知，当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．【答案】(1)×；√；×(2)(3)【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；（2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；（3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．【详解】（1）解：①令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；②令，解得：，，∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√；③令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；（2）解：由题意得，整理，得，∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，∴，解得；（3）解：由题意得整理，得∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，∴整理，得∴当时，a的最小值为，∵当时，a的最小值为c，∴∴，【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)当时，；当时，；当时，【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可．【详解】（1）设友好同轴二次函数为，由函数可知，对称轴为直线，与轴交点为，，，对称轴为直线，，友好同轴二次函数为；（2）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为；①当时，时，，解得：；②当时，时，，解得：；综上所述，；（3）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为，把分别代入可得，，，则，，，①当时，，即，，解得：；②当时，，即，，解得：；③当时，，即，，解得：；综上所述，当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析(2)或(3)b＝﹣4或【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，则|x1 -x2|＝4，即该抛物线是定弦抛物线；（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，设则解得：∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED为直角三角形∴由题意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，）设该定弦抛物线表达式为，把E（0，）代入求得∴该定弦抛物线表达式为，当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为，∴综上所述，该定弦抛物线表达式为或；（3）解：若≤ 2，则在2≤x ≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝+2，解得：b＝﹣4，∵≤ 2，∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若≤ 3，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴16+4b+c﹣＝+2，解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤≤3，∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若≤ 4，则在2≤x ≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c﹣＝+2，解得：b＝﹣5，∵≤4，∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5不合题意，舍去，若＞4，则在2≤x≤ 4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c-(16+4b+c)＝+2，解得：b＝-，∵＞4，∴b＜﹣8，∴b＝﹣，∴综上所述b＝﹣4或．【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC 为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【答案】(1)(2)，，、是一对共轭抛物线【分析】（1）将化作顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．【详解】（1）解：，∴，，，∵抛物线与是一对共轭抛物线，∴，且，．（2）解：如图，由题意得，，则，，，，，∵点为的中点，∴，∴，，，，，∴可设抛物线，与抛物线，∴，，解得：，，∴抛物线，抛物线，∴，，，，，，∵，，∴满足且，∴、是一对共轭抛物线．【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴。

中考数学专题复习——新定义型问题

任课教师授课年级初三授课日期教学课题中考数学专题复习——新定义型问题教学目标1.通过阅读理解掌握问题原型的特点，把文字语言转化为符号语言；2.合理进行思想方法的迁移运用所学知识去解决问题；3.培养学生阅读理解，合作交流、自主探索、敢于表达的学习精神，增强学习自信心。

教学方法讲授式启发式小组合作交流式教学重点渗透新定义问题的基本解题策略教学难点文字语言和图形语言、符号语言的相互转化教具准备学案教学过程教学内容学生活动教学意图一、活动一1、复习∣a∣的意义绝对值是指一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值2、在平面直角坐标系中已知，A（-2,0）和B（4,0）A（x1, 0）B（x2, 0）那么AB= 那么AB=3、C（0,5）和D（0，-3）C（0, y1）D（0，y2）那么CD= 那么CD=4、已知点M（1,4）和点N（3,1），思考这两个点横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值表示的意义5、已知，点M（x1 ，y1）N（x2 ，y2）∣x1－x2∣∣y1－y2∣的几何意义回答问题描点画图体会绝对值符号的几何意义为本节课做铺垫y x y=34x+3–1–2–3–41234–1–2–3–4–5123O D教学过程学生活动设计意图活动二、探究解决问题（一）阅读理解在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点 111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”, 给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -；若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y - （1）阅读理解（2）在平面直角坐标系中画图举例说明（二）解决问题1、已知点1(0)2A -，，B 为y 轴上的一个动点， ①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；2、已知C 是直线334y x =+上的一个动点， ① 如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；（3）小结，解决新定义问题关注哪些方面阅读理解分析理解 ①学生画图分析讲解②学生举例说明，并总结什么情况下非常距离最小学生思考探究讲解学生各抒己见使学生掌握审题的方法，提高学生阅读理解的能力培养学生阅读理解能力渗透把符号语言转化为图形语言锻炼学生的语言表达能力总结归纳新定义问题的解题关键教学内容学生活动教学意图活动三、牛刀小试，在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如右图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=x l ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W 为△OAB ，则=x l ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形满足1≤=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．活动四、总结 1、学生谈新定义的解题思路2、提升：符号语言，文字语言，图形语言作业：12年中考“非常距离” 最后一问学生读题画图分析理解读题理解画图分析展示读题分析理解展示自画图形学生解决问题学生总结归纳培养学生阅读理解能力渗透把文字符号语言转化为图形语言强调新定义问题中举例至关重要培养学生分析问题与解决问题的能力培养学生总结归纳能力x y O B A1234123xyO 1231234图1。

中考数学中的“新定义”题型

中考数学中的“新定义”题型作者：陈慧颖来源：《初中生世界·九年级》2018年第06期通过阅读材料渗透新概念、新运算、新符号、新规定等知识，是近年中考的又一考题类型.结合已经学过的知识、掌握的技能进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移，就能很好地处理好它.因此在复习中应该重视培养阅读理解新知识并应用新知识解决问题的能力.把握“新定义”内涵，是解决此类问题的关键.考点一：“运算型”新定义例1 对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab-2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程x⊗1=0的根为：x1=-2，x2=1；③不等式组[-2⊗x-4④点（[-12]，[52]）在函数y=x⊗（-1）的图像上.其中正确的是（）.A.①②③④B.①③C.①②③D.③④【分析】根据新定义得到：1⊗3=12+1×3-2=2；x⊗1=0可化为：x2+x-2=0；[-2⊗x-4-1y=x⊗（-1）=x2-x-2，然后把x=[-12]代入计算得到对应的函数值，则可对④进行判断.解：1⊗3=12+1×3-2=2，所以①正确；∵x⊗1=0，∴x2+x-2=0，∴x1=-2，x2=1，所以②正确；∵（-2）⊗x-4=4-2x-2-4=-2x-2，1⊗x-3=1+x-2-3=x-4，∴[-2x-2解得-1∵y=x⊗（-1）=x2-x-2，∴当x=[-12]时，y=[14]+[12]-2=[-54]，所以④错误.故选C.【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式組的解法以及如何判断一个点是否在二次函数图像上等知识.考点二：“规律型”新定义例2 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22016的值.解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①将等式两边同时乘2得：2S=2+22+23+24+25+…+22016+22017，②②-①得2S-S=22017-1，即S=22017-1.∴1+2+22+23+24+…+22016=22017-1.请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+ (210)（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）.【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，将两边同乘2后所得式子与所设式相减，即可求出所求式子的值.（2）同样的方法，设S=1+3+32+33+34+…+3n，但两边同乘3.当底数为几时，所设式子两边就要同乘几.解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，①两边同时乘2得2S=2+22+23+24+…+210+211，②②-①得：2S-S=211-1，即S=211-1，∴1+2+22+23+24+…+210=211-1；（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n，①两边同乘3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1，②②-①得：3S-S=3n+1-1，即S=[12]（3n+1-1），∴1+3+32+33+34+…+3n=[12]（3n+1-1）.【点评】各式中后一项与前一项的比值为一确定的数，这就是此类题目的特点.充分利用同底数幂的乘法法则是解本题的关键.考点三：“阅读型”新定义例3 我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）.已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是（写出1个即可）.【分析】根据等边三角形的性质：最长的“面径”是等边三角形的高线，最短的“面径”平行于三角形一边，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径.解：如图1，（1）由于等边三角形一边上的高将图形分成面积相等的两部分，所以等边三角形的高AD是它的面线，同时也是最长的面径，AD=[32]×2=[3]；1（2）当EF∥BC时，且满足S△AEF=S四边形BCFE时，EF为最短面径，此时，（[EFBC]）2=[12]，由BC=2，得EF=[2].所以它的“面径”长可以是[2]、[3]或介于[2]和[3]之间的任意实数.【点评】本题考查了等边三角形的性质.读懂题意，弄明白“面径”的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长的“面径”是解题的关键.考点四：“探索型”新定义例4 如图2，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题：（1）如图2，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由.（2）如图3，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图3中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E.拓展探究：（3）如图4，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的數量关系.【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC.（2）由于点E在AB上，所以只需满足∠DEC是直角，那么E点就是强相似点.（3）因为点E是梯形ABCM的边AB上的一个强相似点，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解.解：（1）如图2，点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°.∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°.∴∠ADE=∠BEC.又∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.（2）如图5，以CD为直径作圆交AB于两点即为所求的两个强相似点.（3）如图4，∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM.由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，CE=CD，∴BE=[12]CE=[12]CD=[12]AB，即E是AB的中点，在Rt△BCE中，tan∠BCE=[BEBC]=tan30°.∴[BEBC]=[33]，∴[ABBC]=[233].【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形、圆的性质，以及理解相似点和强相似点的新概念等.（作者单位：江苏省丰县初级中学）。

定义新运算-中考数学命题点及重难题型分类(全国通用)

类型一定义新运算“新定义”型问题，指的是命题老师用下定义的方式，给出一个新的运算、符号、概念、图形或性质等，要求同学们“化生为熟”、“现学现用”，能结合已有知识、能力进行理解，进而进行运算、推理、迁移的一种题型，这类题型往往是教材中一些数学概念的拓展、变式，是近几年中考数学命题的热点。

“新定义”型试题主要考查同学们学习新知识的能力，具体而言，就是考查大家的阅读理解能力、数学规则的选择与运用能力、综合运用数学知识分析问题解决问题的能力，有较强的数学抽象，旨在引导、培养大家在平时的数学学习中，能养成自主学习、主动探究的学习方式。

“定义新运算”是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．解决这类问题的关键是理解新运算规定的规则，明白其中的算理算法．运算时，要严格按照新定义的运算规则，转化为已学过的运算形式，然后按正确的运算顺序进行计算．“定义新符号”试题是定义了一个新的数学符号，要求同学们要读懂符号，了解新符号所代表的意义，理解试题对新符号的规定，并将新符号与已学知识联系起来，将它转化成熟悉的知识，而后利用已有的知识经验来解决问题． 1．定义运算:m ☆n =21mn mn .例如: 4☆2=4×22-4×2-1=7.则1☆x =0方程的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根【答案】A【解析】由定义新运算可得210x x ，∴△=411-14-1-2+=⨯⨯）（）（=5＞0，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选A ． 2．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（） A ．x ＝4 B ．x ＝5 C ．x ＝6 D ．x ＝7 【答案】B【解析】根据新定义运算，把方程转化为分式方程．因为211(2)(2)4x x x ⊗-==---，所以原方程可转化为12144x x =---，解得x ＝5．经检验，x ＝5是原方程的解．3.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福数"．下列数中为"幸福数"的是（）A.205B.250C.502D.520【答案】 D【解析】设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意列出方程，求出解判断即可．设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意得：（x +2）2﹣x 2＝（x +2﹣x ）（x +2+x ）＝4x +4，若4x +4＝205，即x ，不为整数，不符合题意；若4x +4＝250，即x ，不为整数，不符合题意；若4x +4＝502，即x ，不为整数，不符合题意；若4x +4＝520，即x ＝129，符合题意．故选：D ．4．在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（）． A. 1- B. 1C. 0D. 2【答案】C【解析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆，∴11x +=，∴0x =．故选：C ．5.对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下：a ⊕b a b a b +-3⊕23232+-512⊕4＝______．2【解析】依题意可知12⊕4124124+-482．6．（乐山）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[－1.5]＝－2，那么：（1）当－1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是________；（2）当－1≤x ＜2时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方，则实数a 的范围是________．【答案】（1）0≤x ≤3；（2）a ＜－1或a ≥32．【解析】（1）根据符号[x ]表示不大于x 的最大整数，得到－1＜[x ]≤2时[x ]＝0，1，2；当[x ]＝0时，0≤x ＜1；当[x ]＝1时，1≤x ＜2；当[x ]＝2时，2≤x ＜3；从而x 的取值范围是0≤x ＜3；（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．令y 1＝x 2－2a [x ]＋3，y 2＝[x ]＋3，y 3＝y 2－y 1，由题意可知：y 3＝－x 2＋(2a ＋1)[x ]＞0时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方．①当－1≤x ＜0时，[x ]＝－1，y 3＝－x 2－(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而增大，故当x ＝－1时，y 3有最小值－2a －2＞0，得a ＜－1； ②当0≤x ＜1时，[x ]＝0，y 3＝－x 2，此时y 3≤0；③1≤x ＜2时，[x ]＝1，y 3＝－x 2+(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而减小，故当x ＝2时，y 3有最小值2a －3≥0，得a ≥32；综上所述，a ＜－1或a ≥32．7.对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b=2a+b ．例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求2⊗（-5）的值；（2）若x ⊗（-y ）=2，且2y ⊗x=-1，求x+y 的值．【解析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a ⊗b=2a+b ，即可得到2⊗（﹣5）的值；（2）依据x ⊗（﹣y ）=2，且2y ⊗x=﹣1，可得方程组，即可得到x+y 的值．8.对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F (n )．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F (123)＝6．（1）计算：F (243)，F (617);（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y (1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k ＝F (s )F (t ),当F (s )＋F (t )＝18时，求k 的最大值．【解析】解：(1)F (243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；F (617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．（2）∵s ，t 都是“相异数”，s ＝100x ＋32，t ＝150＋y ，∴F (s )＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6． ∵F (t )＋F (s )＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18，∴x ＋y ＝7．∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数， ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6y ＝1． ∵s 是“相异数”， ∴x ≠2，x ≠3． ∵t 是“相异数”， ∴y ≠1，y ≠5． ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2， ∴⎩⎨⎧F (s )＝6F (t )＝12或⎩⎨⎧F (s )＝9F (t )＝9或⎩⎨⎧F (s )＝10F (t )＝8，∴k ＝F (s )F (t )＝12或k ＝F (s )F (t )＝1或k ＝F (s )F (t )＝54, ∴k 的最大值为54．9.我们规定：形如()ax ky a b k k ab x b+=≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax k y x b +=+就是反比例函数(0)ky k x=≠. （1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6ax ky x +=-的图象经过B ，E 两点.①求这个“奇特函数”的解析式； ②把反比例函数3y x=的图象向右平移6个单位，再向上平移个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16103，请直接写出点P 的坐标．【解析】（1）322x y x -+=+，是 “奇特函数”；（2）①296x y x -=-；②(7,5)或53,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或715,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(5,1)-.试题分析：（1）根据题意列式并化为322x y x -+=+，根据定义作出判断. （2）①求出点B ，D 的坐标，应用待定系数法求出直线OB 解析式和直线CD 解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B （9，3），E （3，1）代入函数6ax ky x +=-即可求得这个“奇特函数”的解析式.②根据题意可知，以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP ，据此求出点P 的坐标.试题解析：（1）根据题意，得，∵，∴.∴.根据定义，是 “奇特函数”.（2）①由题意得，.易得直线OB 解析式为，直线CD 解析式为，由解得.∴点E （3，1）.将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.②∵可化为，∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.由勾股定理得，.设点P到EB的距离为m，∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，∴.∴点P在平行于EB的直线上.∵点P在上，∴或.解得.∴点P的坐标为或或或.考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.10.定义[a，b，c]为函数y＝a x2+bx c+的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________【解析】解：根据定义可得函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），①当m＝﹣3时，函数解析式为y＝﹣6x2+4x+2，∴224144(6)248,22(6)344(6)3b ac ba a-⨯-⨯--=-===⨯-⨯-，∴顶点坐标是（18,33），正确；②函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣12mm+，0），当m＞0时，1﹣（﹣12mm+）＝313222m+>，正确；③当m＜0时，函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴111444xm=->，错误；④当m≠0时，x＝1代入解析式y＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．故选：①②④11.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝a，请用含a的代数式表示∠E.（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径.①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积.【解析】（1）根据外角的性质及角平分线的概念求解；（2）根据圆内按四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角的性质分别证明BE、CE为△ABC的内角及外角平分线即可；（3）①连结CF，根据遥望角的性质及同弧所对圆周角的性质证明∠BEC＝∠FAD，再由△FDE≌△FDA证明AD＝DE，最后由等腰直角三角形的性质求得∠AED的度数；②作AG⊥BE于点G，FM⊥CE于点M，根据相似三角形的判定证明△EGA∽△ADC，由相似三角形的性质及勾股定理求得△ACD边长，进而求得△DEF的面积．【答案】24.解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．∴∠E＝∠ECD－∠EBD＝12(∠ACD－∠ABC)＝12∠A＝12a（2）如图，延长BC到点T.∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC＋∠FBC＝180°，又∵∠FDE＋∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD＝BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）①如图，连结CF.∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC ＝∠BAC ，∴∠BFC ＝2∠BEC ，∵∠BFC ＝∠BEC ＋∠FCE ，∴∠BEC ＝∠FCE ，∵∠FCE ＝∠FAD ，∴∠BEC ＝∠FAD ，又∵∠FDE ＝∠FDA ，FD ＝FD ，∴△FDE ≌△FDA(AAS)， ∴DE ＝AD ，∵∠AED ＝∠DAE ，∵AC 是⊙O 的直径∴∠ADC ＝90°，∴∠AED ＋∠DAE ＝90°，∴∠AED ＝∠DAE ＝45°. ②如图，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠FAC ＝∠EBC ＝12∠ABC ＝45°，∵∠AED ＝45°，∴∠AED ＝∠FAC ，∵∠FED ＝∠FAD ，∴∠AED －∠FED ＝∠FAC －∠FAD ， ∴∠AEG ＝∠CAD ，∴∠EGA ＝∠ADC ＝90°，∴△EGA ∽△ADC ，∴AE ：AC ＝AG:CD ∵在Rt △ABG 中，AG ＝22AB ＝42，在Rt △ADE 中，AE ＝2AD ，∴AD:AC ＝45，在Rt △ADC 中，AD2＋DC2＝AC2，∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有(4x)2＋52＝(5x)2，∴x ＝53，∴ED ＝AD ＝203，∴CE ＝CD ＋DE ＝353，∵∠BEC ＝∠FCE ，∴FC ＝FE ，∵FM ⊥CE ，∴EM ＝12CE ＝356，∴DM ＝DE －EM ＝56，∵∠FDM ＝45° ,∴FM ＝DM ＝56，∴S △DEF ＝12DE ·FM ＝259.12.若记y =f （x ）=221x x+，其中f （1）表示当x =1时y 的值，即f （1）=22111+=12；f （12）表示当x =12时y 的值，即f （12）=22111212512f ==+（）（）（）；…；则f （1）+f （2）+f （22111212512f ==+（）（）（））+f （3）+f （13）+…+f （2011）+f （12011）=．【解析】解：∵y =f （x ）=221x x+，∴f （1x ）=22111x x+（）（）=211x +，∴f （x ）+f （1x）=1， ∴f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （12）+…+f （2011）+f （12011）=f （1）+[f （2）+f （12）]+[f （3）+f （13）]+…+[f （2011）+f （12011）]=12+1+1+…+1 =12+2010 =201012．故答案为：201012． 13.定义在区间[m ，n ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意x ∈[m ，n ]均有| f (x ) – g (x ) |≤1，则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是非接近的，现有两个函数f 1(x ) = log a (x – 3a )与f 2 (x ) = log a ax -1(a > 0，a ≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．（1）若f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a 的取值范围；（2）讨论f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？【解析】解：（1）要使f 1 (x )与f 2 (x )有意义，则有a x a a a x a x 31003>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且要使f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义，等价于真数的最小值大于0 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠><<⇒>-+>-+1010032031a a a a a a a 且（2）f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的⇔| f 1 (x ) – f 2 (x )|≤1 ⇔ax a x a a ---1log )3(log ≤1 ⇔|log a [(x – 3a )(x – a )]|≤1⇔a ≤(x – 2a )2 – a 2≤a1 对于任意x ∈[a + 2，a + 3]恒成立设h (x ) = (x – 2a )2 – a 2，x ∈[a + 2，a + 3]且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边⎪⎩⎪⎨⎧++⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇔)3( 1)2( )( 1)( max min a h a a h a x h a x h a ⎪⎩⎪⎨⎧+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧--⇔0192654 69 144 a a a a a a a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⇔12579 12579 54 a a a 或 12579 0-<⇔a 当12579 0-<a 时 f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的当12579 -< a < 1时，f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的． 14.定义：点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的自相似点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 是△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M 是曲线y ＝3 3x(x ＞0)上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P 是OM 上一点，∠ONP ＝∠M ，试说明点P 是△MON 的自相似点；当点M 的坐标是( 3,3),点N 的坐标是( 3,0)时，求点P 的坐标；（2）如图3，当点M 的坐标是(3, 3),点N 的坐标是(2，0)时，求△MON 的自相似点的坐≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤标；（3）是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）∵∠ONP ＝∠M ，∠NOP ＝∠MON ，∴△NOP ∽△MON ，∴点P 是△MON 的自相似点；过P 作PD ⊥x 轴于D ，则tan ∠POD ＝MN ON ＝3,∴∠MON ＝60°，∵当点M 的坐标是(3,3),点N 的坐标是(3,0),∴∠MNO ＝90°，∵△NOP ∽△MON ，∴∠NPO ＝∠MNO ＝90°，在Rt △OPN 中，OP ＝ON cos60°＝32, ∴OD ＝OP cos60°＝32×12＝34,PD ＝OP ﹒sin60°＝32×32＝34,{{dbc 5494c .png }} ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34,34; （2）作MH ⊥x 轴于H ，如图3所示：∵点M 的坐标是(3,3),点N 的坐标是(2，0)， ∴OM ＝32＋(3)2＝23,直线OM 的解析式为y ＝33x ,ON ＝2，∠MOH ＝30°，分两种情况：①如图3所示：∵P 是△MON 的相似点，∴△PON ∽△NOM ，作PQ ⊥x 轴于Q ，∴PO ＝PN ，OQ ＝12ON ＝1， ∵P 的横坐标为1，∴y ＝33×1＝33,{{eb 10936e .png }} ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫1,33; ②如图4所示：由勾股定理得：MN ＝(3)2＋12＝2，∵P 是△MON 的相似点，∴△PNM ∽△NOM ，∴PN ON ＝MNMO ,即PN 2＝223, 解得：PN ＝233, 即P 的纵坐标为233,代入y ＝33得：233＝33x , 解得：x ＝2，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,233; 综上所述：△MON 的自相似点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,33或⎝ ⎛⎭⎪⎫2,233; （3）存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点,M (3,3),N (23,0);理由如下： ∵M (3,3),N (23,0),∴OM ＝23＝ON ，∠MON ＝60°，∴△MON 是等边三角形，∵点P 在△MON 的内部，∴∠PON ≠∠OMN ，∠PNO ≠∠MON ，∴存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点． 15.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 32，求证：△ABC 是“好玩三角形”；（3））如图2，已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=2β，点P ，Q 从点A 同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC 和AD-DC 向终点C 运动，记点P 经过的路程为s ．①当β=45°时，若△APQ 是“好玩三角形”，试求a s的值； ②当tan β的取值在什么范围内，点P ，Q 在运动过程中，有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”．请直接写出tan β的取值范围．（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P ，Q 的运动过程中，tan β的取值范围与△APQ 是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）【解析】解：（1）如图1，①作一条线段AB ，②作线段AB 的中点O ，③作线段OC ，使OC=AB ，④连接AC 、BC ，∴△ABC 是所求作的三角形．（2）如图2，取AC 的中点D ，连接BD∵∠C=90°，tanA=32，∴BC AC =32，∴设BC=3x ，则AC=2x ，∵D 是AC 的中点，∴CD=12AC=x∴BD=22223CD BC x x +=+=2x ，∴AC=BD∴△ABC 是“好玩三角形”；（3）①如图3，当β=45°，点P 在AB 上时，∴∠ABC=2β=90°，∴△APQ 是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P 在BC 上时，连接AC 交PQ 于点E ，延长AB 交QP 的延长线于点F ，∵PC=CQ ，∴∠CAB=∠ACP ，∠AEF=∠CEP ，∴△AEF ∽△CEP ，∴2AE AF AB BP sCE PC PC a s +===-．∵PE=CE ，∴2AEsPE a s =-．Ⅰ当底边PQ 与它的中线AE 相等时，即AE=PQ 时，2AE sPE a s =-，∴as =34，Ⅱ当腰AP 与它的中线QM 相等，即AP=QM 时，作QN ⊥AP 于N ，如图4∴MN=AN=12MP ．∴QN=15MN ，∴tan ∠APQ=153QNMNPN MN ==153，∴tan ∠APE=2AEs PE a s =-=153，∴a s =1510+12。