求极限的方法及例题总结

1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5

)13(lim 2=-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限

这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则

定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim

（3）

)0(,)()(lim

成立此时需≠=B B A

x g x f

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条

件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限

这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1

1213lim

1

--+→x x x

解：原式=4

3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。

注：本题也可以用洛比达法则。 例2

)

12(lim --+∞

→n n n n

解：原式=

2

3

11213lim

1

2)]1()2[(lim

=

-++

=

-++--+∞

→∞

→n

n n n n n n n n

n 分子分母同除以

。

例3 n

n n n n 323)1(lim

++-∞→

解：原式11)32

(1)31

(lim 3

=++-=

∞→n n n n

上下同除以 。

3．两个重要极限

（1） 1sin lim 0=→x x

x

（2）

e

x x

x =+→1

)1(lim ； e

x x x =+∞→)11(lim

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

例如：133sin lim

0=→x x

x ，e

x x

x =--→210

)

21(lim ，e

x x

x =+∞

→3

)31(lim ；等等。

利用两个重要极限求极限

例5 2

03cos 1lim

x x

x -→

解：原式=

61

)2(122sin 2lim 32sin 2lim

2

2

02

20

=⋅=→→x x

x x x x 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6

x

x x 2

)

sin 31(lim -→

解：原式=6

sin 6sin 31

sin 6sin 310]

)

sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅

-→=-=-e x x x

x x

x x

x

x x 。

例7

n

n n n )12(

lim +-∞

→

解：原式= 。

31

331

1

331])131[(lim )1

31(lim -+--+∞→+-⋅

-+∞→=+-+=+-+e n n n n

n n n n

n n

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x

e 。

说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时，

13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。

定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0

x x →时的无穷小，且)(x f ～

)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当

)

()

(lim

110

x g x f x x →存在时，

)()

(lim

x g x f x x →也存在且等于

)

(x f )()(lim

110

x g x f x x →，即)()

(lim

0x g x f x x →=)()(lim 110x g x f x x →。

利用等价无穷小代换（定理4）求极限

例9

)arctan()31ln(lim

20

x x x x +→

解：)31ln(0x x +→时， ～x 3，

)arctan(2

x ～2x ， 原式=33lim

20

=⋅→x x

x x 。

例10 x x e e x

x x sin lim

sin 0--→

解：原式=1sin )sin (lim sin )1(lim sin 0sin sin 0=--=--→-→x x x x e x x e e x x x x x x 。

注：下面的解法是错误的：

原式=1sin sin lim sin )1()1(lim 0sin 0=--=----→→x x x x x x e e x x x x 。 正如下面例题解法错误一样：

0lim sin tan lim

3030

=-=-→→x x

x x x x x x 。

例11 x x x x sin )

1

sin tan(lim

2

0→

解：

等价与是无穷小，时，当x x x x x x x 1

sin )1sin tan(1sin

0222∴→ ，

所以， 原式=0

1sin lim 1

sin

lim

020==→→x x x x x x x 。（最后一步用到定理2）

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替

换求极限常常行之有效。