求极限的方法及例题总结
求极限地方法及例题总结材料
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2 )12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以 。
3．两个重要极限（1） 1sin lim0=→x xx（2） e x xx =+→10)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→210)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
利用两个重要极限求极限例5 203cos 1lim x xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim 220220=⋅=→→x xx x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6xx x 2)sin 31(lim -→=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅-→=-=-e x x xx xx xxx x例7 nn n n )12(lim +-∞→=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n nn n n nn n 。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
求函数极限的方法总结及例题
求函数极限的方法总结及例题一、求函数极限的方法总结。
1. 代入法。
当函数在极限点处连续时，直接将极限点代入函数求值。
例如，对于函数f(x)=x + 1，求lim_x→2(x + 1)，直接将x = 2代入，得到lim_x→2(x+1)=2 + 1=3。
2. 因式分解法。
适用于(0)/(0)型的极限。
例如，求lim_x→1frac{x^2-1}{x 1}，将分子因式分解为(x + 1)(x 1)，则原式=lim_x→1((x + 1)(x 1))/(x 1)=lim_x→1(x + 1)=2。
3. 有理化法。
对于含有根式的函数，通过有理化来消除根式。
例如，求lim_x→0(√(x+1)-1)/(x)，分子分母同时乘以√(x + 1)+1进行有理化，得到lim_x→0((√(x + 1)-1)(√(x + 1)+1))/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(x)/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(1)/(√(x + 1)+1)=(1)/(2)。
4. 等价无穷小替换法。
当x→0时，sin xsim x，tan xsim x，ln(1 + x)sim x，e^x-1sim x等。
例如，求lim_x→0(sin2x)/(x)，因为sin2xsim2x(x→0)，所以lim_x→0(sin2x)/(x)=lim_x→0(2x)/(x)=2。
5. 洛必达法则。
对于(0)/(0)型或(∞)/(∞)型的极限，可对分子分母分别求导再求极限。
例如，求lim_x→0frac{e^x-1}{x}，这是(0)/(0)型，根据洛必达法则，lim_x→0frac{e^x-1}{x}=lim_x→0frac{(e^x-1)'}{x'}=lim_x→0frac{e^x}{1}=1。
二、例题。
1. 例1。
求lim_x→3frac{x^2-9}{x 3}解析：这是(0)/(0)型极限，可先对分子因式分解，x^2-9=(x + 3)(x 3)。
求极限的方法,(自己总结的)
求极限的常用方法1.直接代入法:对于初等函数f( )的极限, , 若f( )在0处的函数值f( 0)存在, 即。
直接代入法的本质就是只要将= 0代入函数表达式, 若有意义, 其极限就是该函数值（称为“能代则代”）。
例I: 求极限（1）（2）（3）解: （1）（2）（3）2.变型法（包括两个重要极限）通俗地说代入后无意义的极限称为不定式, （如0/0,∞/∞,∞-∞等）此时若极限存在往往要变形后才可看出。
例I: 求极限（1）（2）解: （1）（2）两个重要极限是和, 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例I: 求极限解:例II: 求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１, 再凑, 最后凑指数部分。
解:3.利用连续性定义。
例I: 求解：y= 可看作由y= 与复合而成。
因为= , 而函数y= 在点u= 连续, 所以=例II: 求解: =例III: 求解：因为 利用定理３及极限的运算法则, 便有4.利用无穷小、无穷大的关系【说明】(1)常见等价无穷小有:当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,21~cos 12-+- 例1: 求极限解 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x x x x →→+⋅==- 例2: 求极限 解x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 例3因式代替规则x x x x 3sin tan lim 0-→x x x x 30)1cos 1(sin lim -=→212lim 330==→x x x 5.利用极限的性质法（如四则运算）利用极限的4则运算法则, , ,例1: 求解：先用 除分子和分母, 然后求极限, 得52123lim 232+---∞→x x x x x 020512123lim 332==+---=∞→x x x x x x 例2: 求解, 因为分母的极限 , 不能应用商的极限的运算法则, 但因 所以∞=+--→4532lim 21x x x x6.洛必达法则（求不定式极限）定理一 设（1） 当x 时, f(x)及F （x ）都趋向于零；（2） 在点a 的某一去心领域内, f ’(x)及F ’(x)都存在且F ’(x)≠o ；（3） )(')('lim x F x f a x →存在（或为无穷大）； 那么 )(')('lim )()(lim x F x f x F x f a x a x →→=定理二 设（1） 当x 时，∞→函数f(x)及F(x)都趋向于零；（2） 当；）都存在，且与时0('F )(')('x ≠>x x F x f N （3） 或为无穷大），存在()(')('lim x F x f x ∞→ 那么 ）x F x f x F x f x (')('lim )()(lim x ∞→∞→= 例1: 求解: 原式=例2: 求 >0)解: 原式=例3: 求解: 原式=7.积分法积分求极限法:例一: 求 。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ2. （i ）数列{}n x a 的 （ii ）f x ∞→lim ( (iii)x f x x →lim)( (iv)（v （vi ）柯西条件是：ε>∀1.2.洛必达（L’ho x 趋如告诉f （x ）,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：（i ）“00”“∞∞”时候直接用 (ii)“∞∙0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后，就能变成(i)中的形式了。
即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；)()(1)(1)(1)()(x g x f x f x g x g x f -=-(iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即ex f x g x g x f )(ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞∙0”型未定式。
3.泰勒公式(含有xe 的时候，含有正余弦的加减的时候）12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ；3211253)!32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m mxm x m x x x x x θ cos=221242)!22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ4.5.6.0>>>c b a ，n x =a（2）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→222)2(1)1(11lim n n nn解：由n nn n n n n 1111)2(1)1(110222222=+++<++++< ，以及010limlim==∞→∞→nn n 可知，原式=0 (3)求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解：由nn nn n n n n n n n n n n n n +=+++++<++++++<=++222222111121111111 ,以及11111limlimlim 2=+=+=∞→∞→∞→nnn n n n n 得，原式=17.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。
极限的求法总结
a xn
=
a 0 xn
a
即 {xn} 有下界， 由此得
xn+1 −
xn
=
1 2
(
xn
+
a xn
)
−
xn
=
a − xn2 2 xn
0
既
xn 单调下降，因此
lim
x→+
xn
存在。
（2）设
lim
x→+
xn
=
，由（1）
a 0
对递推公式两端取极限，得 = 1 ( + 2 ) 2
解得 = a （舍去负值），所以 = a.
=
a0
(
lim
x→x0
x)n
+
a1
(
lim
x→x0
x) n−1
++
an
= a0 x0n + a1 x0n−1 + + an = Pn (x0 ).
２
极限的求法总结
例3. lim x2 + 5x − 6 x→−1 3x2 + 2
商的法则(代入法)
方法总结： 多项式函数与分式函数(分母不为0)用 代入法求极限;
极限的求法总结
极限的求法总结
简介：求极限方法举例，列举21种 求极限的方法和相关问题
１
1.代入法求极限
极限的求法总结
例1.lim(x2 + x − 2) x→2
例2.设有多项式Pn (x) = a0 xn + a1xn−1 + ... + an ,
求
lim
x → x0
Pn
(
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学求极限的常用方法（附例题和详解）在高等数学中，求极限是一个基础而重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的方法，以及针对这些方法的例题和详细解析。
I. 无穷小量法无穷小量法是求解极限最常见的方法之一。
它的基本思想是将待求极限转化为无穷小量之间的比较。
下面通过一个例题来说明这个方法。
例题1：求极限lim(x→0) (sin x) / x解析：考虑当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 的关系。
根据三角函数的极限性质，我们知道 sin x / x 的极限为 1。
因此，原式可以看作(sin x) / x ≈ 1，即它在 x 趋近于 0 时趋近于 1。
故lim(x→0) (sin x) / x = 1.II. 夹逼法夹逼法也是常用的求解极限的方法，它适用于求解含有不等式的极限问题。
下面通过一个例题来说明夹逼法的思想。
例题2：求极限lim(x→0) x^2sin(1/x)解析：首先，我们要注意到 x^2sin(1/x) 的取值范围在 [-x^2, x^2] 之间，因为 -1 ≤sin(θ) ≤ 1 对任意θ 成立。
然后，我们可以利用夹逼法，将 x^2sin(1/x) 夹逼在 0 和 0 之间。
也就是说，对于任何 x，都有 -x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。
根据夹逼定理，当 x 趋近于 0 时，x^2sin(1/x) 的极限为 0。
故lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0.III. 泰勒展开法泰勒展开法是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的极限问题。
下面通过一个例题来说明泰勒展开法的应用。
例题3：求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x解析：考虑函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 / 2! + f'''(0)x^3 / 3! + ...其中，f'(0)表示 f(x) 在 x = 0 处的导数，依次类推。
高等数学 求极限方法小结及举例
11
x = f ′( t ) d2y 例 12 . f ′′( t ) ≠ 0 求 . 2 dx y = t f ′( t ) − f ( t ) d y y′( t ) f ′( t ) + t f ′′( t ) − f ′( t ) 解. = = =t d x x′( t ) f ′′( t )
2
t =π − x −1 2 t ========= lim t →0 cot t
tan t = − lim = −1 . t →0 t
"∞" ∞
例 7 . lim ( x ⋅ cot x )
x →0
x = lim =1. x →0 tan x
( 有界量乘无穷小 )
"0⋅ ∞"
lim x cos 1 = 0 . x x →0
4 . "∞ ± ∞" 型 ,
1 ± 1 = f ( x ) ± g( x ) . f ( x ) g( x ) f ( x ) ⋅ g( x )
5 . " ( 1 ± 0 ) ∞ " 型 , 0 " "0 型, u( x ) v ( x ) = e v ( x )⋅ln u( x ) 6. (指数型) " ∞0 " 型 , 7. lim [v ( x )⋅ln u( x ) ] v( x )
n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 x>0 x x f ′( x ) = 0 x=0 n x n −1 x<0 ′( x ) = lim n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 lim f x x x → +0 x →+0
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设 ，
P（x）= ,
(i) （ii）若 ，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 ；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 ，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有 的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B
求极限的方法及例题总结
求极限的方法及例题总结1,定义,义明,;1,一些最义义的列或函的限;限义可以义察得到,都可以用上面数数极极的限义格定义义明～例如,～极;2,在后面求限义～;极1,中提到的义义限作义已知义果直接用～而不极运需再用限义格定义义明。
极利用义的定义求限数极义义方法要求熟义的掌握义的定义。
数2,限算法义极运定理1 已知～都存在～限义分义义极A～B～义下面限都存在～且有 ;极1, ;2,;3,义明,限下面的限义程是一致的～同义注意法义成立的件～件不极号极条当条义足义～不能用。
. 利用限的四义算法求限极运极义义方法主要义用于求一些义义函的和、乘、义、商的限。
通常情下～要使用义数极况些法义～往往需要根据具情先义函做某些恒等义形或化义。
体况数8.用初等方法义形后～再利用限算法义求限极运极例1解,原式= 。
注,本义也可以用洛比法义。
达例2解,原式= 。
例3解,原式。
3,重要限两个极;1, ;2, ～义明,不义要能义用义重要限本身～义义能义熟义用义的义形形式～运两个极运它例如,～～～等等。
利用重要限求限两个极极例5解,原式= 。
注,本义也可以用洛比法义。
达例61解,原式= 。
例7解,原式= 。
4,等价无义小定理2 无义小有界函的乘义仍然是无义小;限是与数即极0,。
定理3 当数即极义～下列函都是无义小;限是0,～且相互等价～有,即,,,,,, 。
义明,上面每函中的自义量当个数x义成义;,～仍有上面的等价义系成立～例如,义～ , ～ , 。
当定理4 如果函都是义的无义小～且,～,～义存在义～也存在且等于～数当即=。
利用等价无义小代义;定理4,求限极例9解,,～,～原式= 。
例10解,原式= 。
注,下面的解法是义义的,原式= 。
正如下面例义解法义义一义,。
例11解,～所以～原式= 。
;最后一步用到定理2,五、利用无义小的性义求限极有限无义小的和是无义小～有界函无义小乘义是无义小。
用等价无义小替义求个数与极限常常行之有效。
例 1. 2. 5,洛比法义达定理5 假义自义量当x义近于某一定义;或无义大,义～函和义足,;数1,和的极限都是0或都是无义大～;2,和都可义～且的义不义数0～;3,存在;或是无义大,～义限也一定存在～且等于～极即= 。
求极限地方法及例题总结.doc
求极限地方法及例题总结1．定义说明（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如；（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）（2）（3）说明极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 解原式。
注本题也可以用洛比达法则。
例2 解原式。
例3 解原式。
3．两个重要极限（1）（2）；说明不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如，，；等等。
利用两个重要极限求极限例5 解原式。
注本题也可以用洛比达法则。
例6 解原式。
例7 解原式。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有～～～～～～。
说明当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如当时，～；～。
定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即。
利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9 解～，～，原式。
例10 解原式。
注下面的解法是错误的原式。
正如下面例题解法错误一样。
例11 解，所以，原式。
（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例1. 2. 1/2 1 5．洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足（1）和的极限都是0或都是无穷大；（2）和都可导，且的导数不为0；（3）存在（或是无穷大）；则极限也一定存在，且等于，即。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学中求极限是一项重要的数学技巧，它在数学分析、微积分和其他数学领域中都有广泛应用。
本文将介绍一些常用的求极限的方法，并给出相应的例题和详解。
一、直接代入法直接代入法是求极限的最基本方法之一。
当函数在某一点连续时，可以直接将该点代入函数中来求极限。
例题1：求函数f(x) = x^2在x=2处的极限。
解：直接将x=2代入函数中，得到f(2) = 2^2 = 4。
因此，f(x)在x=2处的极限为4。
二、夹逼法夹逼法（也称为夹挤准则）是求解一些复杂极限的常用方法。
它基于一个简单的想法：如果函数g(x)和h(x)在某一点p附近夹住函数f(x)，并且g(x)和h(x)的极限都相等，那么f(x)的极限也等于这个相等的极限。
例题2：求极限lim(x→∞) [(x+1)/x]。
解：我们可以用夹逼法来求解这个极限。
首先，我们可以注意到1 ≤ [(x+1)/x] ≤ [x/x] = 1（其中[x]表示取整函数）。
因此，我们可以将极限表达式两侧夹逼：lim(x→∞) 1 ≤ lim(x→∞) [(x+1)/x] ≤ lim(x→∞) 1。
根据夹逼准则，当lim(x→∞) 1 = 1时，极限lim(x→∞) [(x+1)/x]存在且等于1。
三、极限的四则运算法则在求解复杂函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则。
该法则规定，如果函数f(x)和g(x)在某点p处的极限存在，则函数h(x) = f(x) ± g(x)、h'(x) = f(x) * g(x)、和h''(x) = f(x) / g(x)在点p的极限也存在，并满足相应的运算法则。
例题3：求极限lim(x→0) (sinx/x)。
解：我们可以利用极限的四则运算法则来求解这个极限。
首先，观察到当x→0时，分子sinx和分母x都趋向于0，因此这个极限是一个未定式。
根据极限的四则运算法则，我们可以将lim(x→0) (sinx/x)转化为lim(x→0) sinx / lim(x→0) x。
求极限方法总结-全
极限求解总结1、极限运算法则设，,则(1)(2)(3)2、函数极限与数列极限的关系如果极限存在，为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足：,那么相应的函数值数列必收敛，且3、定理（1）有限个无穷小的和也是无穷小;（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；（3）如果存在,而c为常数，则（4）如果存在,而n是正整数,则5、复合函数的极限运算法则设函数是由函数与函数复合而成的,在点的某去心领域内有定义，若,且存在，当时，有，则6、夹逼准则如果(1)当(或>M）时，(2)那么存在，且等于A7、两个重要极限（1）（2）8、求解极限的方法(1）提取因式法例题1、求极限解：例题2、求极限解：例题3、求极限解：(2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势)例题1、解:令例题2、解：令x=y+1=例题3、解：令y==（3）等价无穷小替换法注:若原函数与x互为等价无穷小,则反函数也与x互为等价无穷小例题1、解：例题2、解：例题3、解：例题4、解:例题5、解:令y=x-1原式=例题6、解：令型求极限例题1、解：解法一（等价无穷小）：解法二（重要极限）：(5）夹逼定理（主要适用于数列）例题1、解：所以推广：例题2、解：1)所以2)所以例题3、解:所以例题4、所以例题5、解：所以（6）单调有界定理例题1、解：单调递减极限存在,记为A由（*）求极限得：A=A所以A=0例题2、求解：单调递增所以极限存在，记为L时例题3、求极限解：当当所以极限存在时注：单调性有时依赖于的选取例题4、求极限解：（整体无单调性）所以单调递减,同理，单调递增有因为故和均存在，分别记为A,B即解得 A=B=所以（7）泰勒公式法例题1、设f有n阶连续导数证明：证明：即（8）洛必达法则例题1、求解：例题2、求解:例题3、求解:例题4、求解：（9）利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。
求极限的方法及例题总结
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法例求极限3x 12limx1例1x 1(3x1)2223x 33limlimx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4解：原式=。
注：此题也能够用洛比达法例。
limn(n 2n 1)n例2分子分母同除以nn[(n 2)(n 1)]33limlimnnn2n121211解：原式=nn。
上下同除以3n(1)n 1nnlim 31(1)3nlim(2)n 1例3n2n3n 解：原式3。
3．两个重要极限lim sinx1（1）x0x1lim(1x)xelim(11)x ex（2）x0；x说明：不单要能够运用这两个重要极限自己，还应能够娴熟运用它们的变形形式，1xlim sin3x1lim(12x)2xelim(13)3e比如：x03x，x0，xx；等等。
利用两个重要极限求极限2sin 2x2sin 2x221lim2lim 1cosx3xx 26xx 0lim 12()例5x03x 2解：原式=2。
注：此题也能够用洛比达法例。
216sinx 16sinx xlim(13sinx)xlim(13sinx)3sinxxlim[(13sinx)3sinx ]e6例6x=xx0n13nn13nlim(n 2)nlim(13)3n1lim[(13)3]n1e 3例7nn1=nn1nn1。
4．等价无量小定理2无量小与有界函数的乘积仍旧是无量小（即极限是0）。
定理3当x 0时，以下函数都是无量小（即极限是0），且互相等价，即有：x ～sinx ～tanx ～arcsinx ～arctanx ～ln(1x)～e x 1。
说明：当上边每个函数中的自变量x 换成g(x)时（g(x)0），仍有上边的等价关系建立，比如：当x 0时，e3x 1～3x；ln(1x 2)～x2。
f(x),g(x),f 1(x),g 1(x)xx 0f(x)定理4假如函数都是时的无量小，且～f 1(x)f(x)f 1(x)lim lim lim f 1(x)g(x)g 1(x)xx 0g 1(x)xx 0g(x)f(x)xx 0g 1(x)，～，则当存在时，也存在且等于，f(x)f 1(x)limlim即xx 0g(x)=xx 0g1(x)。
求极限方法总结全
极限求解总结1、极限运算法则设limn→∞a n=a,limn→∞b n=b,则(1)limn→∞(a n±b n)=limn→∞a n±limn→∞b n=a±b;(2)limn→∞a n b n=limn→∞a n limn→∞b n=ab;(3)limn→∞a nb n=limn→∞a nlimn→∞b n=ab(b≠0).2、函数极限与数列极限的关系如果极限limx→x0f(x)存在，{x n}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足:x n≠x0(n∈N+)，那么相应的函数值数列{f(x)}必收敛，且limn→∞f(x n)=limx→x0f(x)3、定理（1）有限个无穷小的和也是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；（3）如果lim f(x)存在，而c为常数，则lim[cf(x)]=c lim f(x)（4）如果lim f(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)]n= [lim f(x)]n5、复合函数的极限运算法则设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成的，y=f[g(x)]在点x0的某去心领域内有定义，若lim x→x0g(x)=u0，limu→u0f(u)=A，且存在δ0>0，当x∈U(x0,δ0)时，有g(x)≠u0，则limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A6、夹逼准则如果(1)当x∈U(x0,r)(或|x|>M)时,g(x)≤f(x)≤h(x)(2)limx→x0(x→∞)g(x)=A,limx→x0(x→∞)ℎ(x)=A那么limx→x0(x→∞)f(x)存在，且等于A 7、两个重要极限（1）limx→0sin xx=1（2）limx→∞(1+1x)x=e8、求解极限的方法（1）提取因式法例题1、求极限limx→0e x+e−x−2x2解：limx→0e x+e−x−2x2=limx→0e−x(e2x−2e x+1)x2=lim x→0e−x(e x−1x)2=1例题2、求极限limx→0a x2−b x2(a x−b x)2(a≠b,a.b>0)解：limx→0a x2−b x2(a x−b x)2=limx→0b x2[(ab)x2−1]b2x[(ab)x−1]2=limx→0b x2−2x x2ln ab(x ln ab)2=1ln ab例题3、求极限limx→+∞x p(a1x−a1x+1)(a>0,a≠1)解：limx→+∞x p a1x+1(a1x(x+1)−1)=limx→+∞x p a1x+11x(x+1)ln a=lim x→+∞x px(x+1)a1x+1ln a=limx→+∞x p−21+1xa1x+1ln a=（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）例题1、limx→πsin(mx) sin(nx)解：令x=y+πlim x→πsin(mx)sin(nx)=limy→0sin(my+mπ)sin(ny+nπ)=(−1)m−n limy→0sin mysin ny=(−1)m−nmn例题2、limx→1x1m−1 x1n−1解：令x=y+1lim x→1x1m−1x1n−1=limx→1(1+y)1m−1(1+y)1n−1=nm例题3、limx→+∞x2√x2+x−√x3+x23解：令y=1xlim x→+∞x2√x2+x−√x3+x23=limy→0+√1y2+1y−√1 y3+1y23=limy→0+√1+y−√1+y3y=16（3）等价无穷小替换法x→0sin x~x~sin−1x tan x~x~tan−1xe x−1~x~ln(1+x)a x−1~x ln a1−cos x~x 22(1+x)α−1~αx注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等价无穷小例题1、lim x→0(a x +b x2)1x(a.b >0)解：lim x→0(a x +b x2)1x=elim x→01xlna x +b x 2=elim x→01xln(1+a x +b x −22)=elimx→0(a x −1)+(b x −1)2x =√ab例题2、lim x→+∞ln (1+e ax )ln (1+bx )(a >0)解：lim x→+∞ln (1+e ax )ln (1+b x )=lim x→+∞ln (1+e ax )bx =lim x→+∞bx ln [e ax (e −ax +1)]=limx→+∞bx[ln e ax +ln (e −ax +1)]=limx→+∞bx[ax +ln (e−ax+1)]=ab +limx→+∞b ln (e −ax +1)x=ab例题3、lim x→0ln ((sin x )2+e x )−xln (x 2+e 2x )−2x解：limx→0ln ((sin x )2+e x )−xln (x 2+e 2x )−2x =limx→0ln ((sin x )2+e x )−xln (x 2+e 2x )−2x=limx→0ln((sin x )2e x +1)ln(x 2e2x +1)=limx→0(sin x )2e 2xx 2e x=1例题4、lim x→0e x −e sin xx−sin x解：limx→0e x −e sin xx−sin x =lim x→0e sin x (e x−sin x −1)x−sin x=limx→0e sin x (x−sin x )x−sin x=1例题5、lim x→1x x −1x−1解：limx→1x x −1x−1=limx→1e x ln x −1x−1=limx→1x ln xx−1令y=x-1 原式=limy→0(y+1)ln (y+1)y=1例题6、lim x→π2α+β√(1−(sin x )α)(1−(sin x )β)α.β>0)解：令y =1−sin xlim x→π21−(sin x )α+β√(()α)(()β)=lim y→0+1−(1−y )α+β√[()α][()β]=lim y→0+y (α+β)√αyβy=α+β√αβ（4）1∞型求极限例题1、lim x→π4(tan x )tan 2x 解：解法一（等价无穷小）：lim x→π4(tan x )tan 2x =e lim x→π4(tan 2x )ln (tan x )=e lim x→π4(tan 2x )ln [1+(tan x−1)]=e lim x→π4(tan 2x )(tan x−1)=elim x→π42tan x1−(tan x )2(tan x−1)=elim x→π4−2tan x 1+tan x =e −1解法二（重要极限）：lim x→π4(tan x )tan 2x =lim x→π4[1+(tan x −1)]1tan x−1tan 2x (tan x−1)=elim x→π4(tan 2x )(tan x−1)=elim x→π42tan x 1−(tan x )2(tan x−1)=elim x→π4−2tan x 1+tan x =e −1（5）夹逼定理（主要适用于数列） 例题1、lim n→∞(1n +2n +3n+4n )1n解：4n ≤1n +2n +3n +4n ≤4×4n 所以lim n→∞(1n+2n+3n+4n )1n=4推广：a i >0 i =1,2,3……mlim n→∞(a 1n +a 2n +a 3n+⋯+a mn )1n=max 1≤i≤m{a i }例题2、lim x→0x [1x ]解：1x −1≤[1x]≤1x1)x>0 1−x≤x[1x]≤1所以x→0+ limx→0x[1x]=12)x<0 1−x≥x[1x]≥1所以x→0− limx→0x[1x]=1例题3、limn→∞32×55×78×?×2n+13n−1解：2n+13n−1≤2(n+1)3n(n≥2)0≤32×55×78×?×2n+13n−1≤32×66×89×?×2(n+1)3n=n+12(23)n−2limn→∞n+12(23)n−2=0所以limn→∞32×55×78×?×2n+13n−1=0例题4、limn→∞∑√k (n+1)2k=n2lim n→∞∑1√k(n+1)2k=n2=limn→∞[1√n2+1√n2+1+1√(n+1)2] 2n+2√(n+1)2≤x n≤2n+2√n2所以limn→∞x n=2例题5、limn→∞∑(n k+1)−1k nk=1解：n k≤n k+1≤(n+1)kn≤(n k+1)1k≤n+11 n+1≤(n k+1)−1k≤1n所以nn+1≤∑(n k+1)−1knk=1≤nnlim n→∞∑(n k+1)−1knk=1=1（6）单调有界定理例题1、limn→∞32×55×78×?×2n+13n−1解：x n=x n−1×2n+13n−1≤x n−1???(∗){x n}单调递减0≤x n极限存在，记为A由（*）n→∞求极限得：A=23A所以A=0例题2、x0=1 x n+1=√2x n求limn→∞x n解：x n+1−x n=√2x n−√2x n−1=n n−1√2x n+√2x n−1x1−x0=√2−1>0 {x n}单调递增x n+1=√2x n<√2x n+1所以(x n+1)2−2x n+1<00<x n+1<2极限存在，记为Ln→∞时L =√2L L=2例题3、x1>0 x n+1=a(1+x n)a+x n(a>1)求极限limn→∞x n解：x n+1−x n=a(1+x n)a+x n −a(1+x n−1)a+x n−1=(a2−a)(x n−x n−1)(a+x n)(a+x n−1) x2−x1=a−x12a+x1当x1>√a x2−x1<0 x n↓当0<x1≤√a x n↑所以0<x n+1=a(1+x n)a+x n <a(a+x n)a+x n=a极限存在n→∞时L=a(1+L)a+LL=√a 注：x n单调性有时依赖于x1的选取例题4、x1>1 x n+1=11+x n 求极限limn→∞x n解：x n+1−x n=x n−1−x n(1+x n)(1+x n−1)（整体无单调性）x2n+1−x2n−1=11+x2n−11+x2n−2=x2n−2−x2n(1+x2n)(1+x2n−2)=x2n−1−x2n−3(1+x2n)(1+x2n−2)(1+x2n−1)(1+x2n−3) x3−x1=11+x2−x1<0所以{x2n+1}单调递减，同理，{x2n}单调递增有因为0<x n<1(n≥2)故limn→∞x2n+1和limn→∞x2n均存在，分别记为A,B x2n+1=11+x2nx2n=11+x2n−1即A=11+B B=11+A解得 A=B=√5−12所以limn→∞x n=√5−12（7）泰勒公式法例题1、设f有n阶连续导数(n≥2)f(k)(x0)=0 (k=1,2,?,n−1)f(n)(x0)≠0 ?n∈Rf (x 0+ℎ)−f (x 0)=ℎf ′(x 0+θℎ) (0<θ=θ(ℎ)<1)证明：lim ℎ→0θ(ℎ)=n11−n证明：f ′(x 0+θℎ)=f ′(x 0)+f "(x 0)(θℎ)+f 3(x 0)2!(θℎ)2+??+f (n−1)(x 0)(n−2)!(θℎ)n−2+f (n )(ε)(n−1)!(θℎ)n−1即f ′(x 0+θℎ)=f (n )(ε)(n−1)!(θℎ)n−1 x 0<ε<x 0+θℎf (x 0+ℎ)= f (x 0)+f (n )(μ)ℎnf (x 0+ℎ)−f (x 0)=ℎnf (n )(μ)n!x 0<μ<x 0+ℎf (n )(μ)n!ℎn =f (n )(ε)(n −1)!ℎn−1ℎθn−1θ=√f (n )(μ)f εn−11n1n−1 ℎ→0 lim ℎ→0θ(ℎ)=√f (n )(μ)()()n−1n 11−n = lim ℎ→0θ(ℎ)=n 11−n（8）洛必达法则 例题1、求lim x→1x 3−3x+2x −x −x+1解：lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1=lim x→13x 2−33x 2−2x−1=lim x→16x6x−2=32例题2、求lim x→+∞π2−tan −1x 1x解：limx→+∞π2−tan −1x 1x=limx→+∞−11+x 2−1x2=limx→+∞x 21+x 2=1例题3、求lim x→+∞x ne λx(n 为正整数，λ>0)解：limx→+∞x neλx=lim x→+∞nx n−1λe λx=limx→+∞n (n−1)x n−2λ2e λx=?=limx→+∞n!λn e λx=0例题4、求limx→0+x n ln x (n>0)解：limx→0+x n ln x=limx→0+ln xx=limx→0+1x−nx=limx→0+(−x nn)=0（9）利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。
高等数学求极限的17种常用方法（附例题和详解）
⾼等数学求极限的17种常⽤⽅法（附例题和详解）⾼等数学求极限的14种⽅法⼀、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限⼜分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有⼦数列均收敛于a 。
常⽤的是其推论，即“⼀个数列收敛于a 的充要条件是其奇⼦列和偶⼦列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→?=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当⼆．解决极限的⽅法如下：1.等价⽆穷⼩代换。
只能在乘除．．时候使⽤。
例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（⼤题⽬有时候会有暗⽰要你使⽤这个⽅法）它的使⽤有严格的使⽤前提。
⾸先必须是X 趋近，⽽不是N 趋近，所以⾯对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正⽆穷的，不可能是负⽆穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接⽤洛必达法则。
另外，必须是“0⽐0”或“⽆穷⼤⽐⽆穷⼤”,并且注意导数分母不能为0。
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的常用方法附例题和详解内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。
首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
求极限的方法及例题总结
1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim 2=-→x x（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim （3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B B Ax g x f说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以。
3．两个重要极限（1）1sin lim0=→x xx（2）ex xx =+→1)1(lim ；ex x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→21)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
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1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim 2=-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B B Ax g x f说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→n n n n上下同除以 。
3．两个重要极限（1） 1sin lim 0=→x xx（2）ex xx =+→1)1(lim ； ex x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，ex xx =--→210)21(lim ，ex xx =+∞→3)31(lim ；等等。
利用两个重要极限求极限例5 203cos 1limx xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim220220=⋅=→→x xx x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6xx x 2)sin 31(lim -→解：原式=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅-→=-=-e x x xx xx xxx x 。
例7nn n n )12(lim +-∞→解：原式= 。
313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n nn n n nn n4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时，13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。
定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当)()(lim110x g x f x x →存在时，)()(limx g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim110x g x f x x →，即)()(lim0x g x f x x →=)()(lim 110x g x f x x →。
利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9)arctan()31ln(lim20x x x x +→解：)31ln(0x x +→时， ～x 3，)arctan(2x ～2x ， 原式=33lim20=⋅→x xx x 。
例10 x x e e xx x sin limsin 0--→解：原式=1sin )sin (lim sin )1(lim sin 0sin sin 0=--=--→-→x x x x e x x e e x x x x x x 。
注：下面的解法是错误的：原式=1sin sin lim sin )1()1(lim 0sin 0=--=----→→x x x x x x e e x x x x 。
正如下面例题解法错误一样：0lim sin tan lim3030=-=-→→x xx x x x x x 。
例11 x x x x sin )1sin tan(lim20→解：等价与是无穷小，时，当x x x x x x x 1sin )1sin tan(1sin0222∴→ ，所以， 原式=01sin lim 1sinlim020==→→x x x x x x x 。
（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1. )11sin 1(lim 2--+→x x e x x 2. x x x ln )1sin(sin lim 0-→5．洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0；（3）)()(limx g x f ''存在（或是无穷大）；则极限)()(limx g x f 也一定存在，且等于)()(lim x g x f ''，即)()(lim x g x f =)()(limx g x f '' 。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。
特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“∞∞”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。
另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。
同时，洛比达法则还可以连续使用。
例12 203cos 1limx xx -→（例4）解：原式=616sin lim 0=→x x x 。
（最后一步用到了重要极限）例1312coslim1-→x xx π解：原式=212sin2lim1πππ-=-→xx 。
例1430sin limx x x x -→解：原式=203cos 1limx xx -→=616sin lim 0=→x x x 。
（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15 x x xx x x sin cos sin lim20-→ 解：313sin lim 3)sin (cos cos limcos sin lim202020==--=⋅-=→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 原式例18])1ln(11[lim 0x x x +-→ 解：错误解法：原式=0]11[lim 0=-→x x x 。
正确解法：。
原式21)1(2lim 2111lim )1ln(lim)1ln()1ln(lim0000=+=-+=⋅-+=+-+=→→→→x x x x x x x xx x x x x x x x x 应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
例19x x x x x cos 3sin 2lim+-∞→解：易见：该极限是“00”型，但用洛比达法则后得到：x x x sin 3cos 21lim--∞→，此极限不存在，而原来极限却是存在的。
正确做法如下：原式=x xx x x cos 3sin 21lim+-∞→ （分子、分母同时除以x ）=31（利用定理1和定理2）6．连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内的一点，则有)()(lim 00x f x f x x =→ 。
利用函数的连续性（定理6）求极限例4xx ex 122lim →解：因为20=x 是函数xe x xf 12)(=的一个连续点，所以 原式=e e 42212= 。
7．极限存在准则定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
例1. 设0>a ，),2,1(,,,1121 =+=+=+==+n x a x x a a a x a x n n求极限n n x∞→lim 。
定理8（准则2） 已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列，且满足：（1）),3,2,1(, =≤≤n z x y n n n （2） ay n n =∞→lim ，az n n =∞→lim则极限∞→n nx lim 一定存在，且极限值也是a ，即ax n n =∞→lim 。
10. 夹逼定理利用极限存在准则求极限 例20 已知),2,1(,2,211 =+==+n x x x n n ，求nn x ∞→lim解：易证：数列}{n x 单调递增，且有界（0<nx <2），由准则1极限nn x ∞→lim 存在，设 ax n n =∞→lim 。
对已知的递推公式nn x x +=+21两边求极限，得：a a +=2，解得：2=a 或1-=a （不合题意，舍去）所以2lim =∞→n n x 。
例21)12111(lim 222n n n n n ++++++∞→ 解： 易见：11211122222+<++++++<+n n nn n n n n n因为1lim2=+∞→nn n n ，11lim2=+∞→n n n所以由准则2得：1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n 。
9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法 对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。
11. 泰勒展开法12. 利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。
8. 利用复合函数求极限十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数∑∞=1nnu收敛，则lim=∞→nnu，故对某些极限)(lim nfn∞→，可将函数)(nf作为级数∑∞=1)(nnf的一般项，只须证明此技术收敛，便有)(lim=∞→nfn。