高中数学北师大版选修4-4-5 (1)

学业分层测评(一)

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、选择题

1．设a，b，c，d∈R且a＞b，c＞d，则下列结论正确的是( )

A．a＋c＞b＋d B．a－c＞b－d

C．ac＞bd D．＞

【解析】　∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d.

【答案】　A

2．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

【解析】　当a＞0且b＞0时，一定有a＋b＞0且ab＞0.反之，当a

＋b＞0，ab＞0时，一定有a＞0，b＞0.

【答案】　C

3．设角±，²满足－<±<²<，则±－²的范围是( )

A．－π<±－²<0 B．－π<±－²< À

C．－<±－²<0 D．－<±－²<

【解析】　∵±<²，∴±－²<0.①

又－<±<，－<²<，∴－<－²<，

∴－π<±－²< À，结合①得－π<±－²<0，故选A.

【答案】　A

4．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系是( )

A．M＞N B．M＜N

C．M＝N D．不能确定

【解析】　M－N＝x2＋y2－4x＋2y－(－5)

＝(x－2)2＋(y＋1)2.

∵x≠2或y≠－1，∴x－2≠0或y＋1≠0，

∴(x－2)2或(y＋1)2均非负且至少一个大于零，

∴M＞N.

【答案】　A

5．设a，b为非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是( )

【导学号：94910002】A．a2＜b2B．a2b＜ab2

C.＜ D．＜

【解析】　取a＝－2，b＝1时，有a＜b，显然A，B，D错误．对于C，∵－＝＜0.

∴＜总成立，C正确．

【答案】　C

二、填空题

6．若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的取值范围是________．

【解析】　∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4，

∴－4＜－|b|≤0.

又1＜a＜3，∴－3＜a－|b|＜3.

【答案】　(－3,3)

7．给出四个条件：

①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.

能得出＜成立的有________．

【解析】　＜⇔－＜0⇔＜0，

∴①②④可推出＜成立．

【答案】　①②④

8．若a＞1，b＜1，则ab＋1与a＋b大小关系为ab＋1______a＋b.

【解析】　ab＋1－a－b＝a(b－1)－(b－1)

＝(a－1)(b－1)，

∵a＞1，b＜1，∴(a－1)(b－1)＜0，

∴ab＋1－a－b＜0，

ab＋1＜a＋b.

【答案】　＜

三、解答题

9．若a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，试比较a，b，c的大小．

【解】　b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0.

∴b≥c.

由题意可得方程组

解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1.

∴c－a＝a2＋1－a＝2＋＞0，

∴c＞a，∴b≥c＞a.

10．已知a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y，求证：＞.

【证明】　因为a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y，

所以＞，所以＜.

故＋1＜＋1，

即0<＜，

所以＞.

能力提升]

1．设a，b为实数，则“0

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】　∵0

∴当a>0，b>0时，b<；当a<0，b<0时，b>.

∴“0

而取b＝－1，a＝1，显然有b<，但不能推出0

∴“0

【答案】　D

2．若a>b>0，则下列各式中恒成立的是( )

A.> B．>

C．a＋>b＋ D．a a>b b

【解析】　选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知＝，＝2，由此可知选项A不成立．利用不等式的性质可知，当a>b>0时，<，由此可知，选项C不恒成立．取a＝，b＝，则a>b>0，则a a＝b b，故选项D不恒成立．故选B.

【答案】　B

3．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________.

【导学号：94910003】【解析】　由4≤≤9，得16≤≤81.

又3≤xy2≤8，

∴≤≤，

∴2≤≤27.又x＝3，y＝1满足条件，这时＝27.

∴的最大值是27.

【答案】　27

4．已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．

【解】　f(a)－f(b)＝－

＝.

∵a＞b＞1，

∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0.

当m＞0时，f(a)－f(b)＜0，f(a)＜f(b)．

当m＝0时，f(a)＝f(b)．

当m＜0时，f(a)－f(b)＞0，f(a)＞f(b)．