3.2两因素方差分析
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差分析（Two-way ANOVA）是一种统计方法，用于分析两个因
素对实验结果的影响。
该方法主要用来检验两个因子对因变量的交互作用。
双因素方差分析特别适用于那些同时受到两个或更多因素影响的因变量研究。
使用双因素方差分析时，需要满足以下条件：
1. 独立性：各个观测值之间必须相互独立，这意味着每个观测值都不受其他观测值的干扰。
2. 正态性：样本必须来自正态分布总体。
3. 方差齐性：各个总体的方差必须相等，即抽样的总体必须是等方差的。
4. 样本容量：每个组中的观测值数量应该足够多，这样才能保证估计的参数接近真实值。
5. 满足其他假设：例如，误差项应该是随机的，并且服从均值为0的正态分布。
双因素方差分析的步骤如下：
1. 提出假设：包括主效应和交互效应的假设。
2. 方差分析表：列出观测值的数量、各组的均值和方差以及总均值和总方差。
3. F检验：通过F检验来检验主效应和交互效应的显著性。
4. 结果解释：如果F检验的结果显著，则说明主效应或交互效应对因变量有影响；否则，说明没有影响。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。
方差分析2（双因素方差分析、多元方差分析、可视化）
⽅差分析2（双因素⽅差分析、多元⽅差分析、可视化）1 双因素⽅差分析1.1 双因素⽅差分析的实战dat<-ToothGrowthdatattach(dat)table(dat$supp,dat$dose)aggregate(len,by=list(dat$supp,dat$dose),FUN=mean)解释：根据投⽅式（橙汁OJ，维C素VC）supp和剂量dose来对⽛齿的长度len进⾏求均值dose<-factor(dose)解释：为了避免把dose变量认为是数值变量，⽽是把dose认为成分组变量，所以设置成因⼦类型factorfit<-aov(dat$len~dat$supp*dat$dose)解释：aov()做⽅差分析，把 + 换成了 * ，这两项dat$supp和dat$dosee就变成了交互项summary(fit)结果分析：可以看出P值很⼩，三个P值都⼩于0.05，说明不同的投喂⽅式supp对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的；说明不同的剂量dose对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的；说明在两种投喂⽅式下，不同的投喂⽅式supp和剂量dose的交互效应对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的1.2 可视化⽅法1interaction.plot(dat$dose,dat$supp,dat$len,type = "b",col=c("red","blue"),pch=c(16,18),main="XX")1.3 可视化⽅法2library(gplots)plotmeans(dat$len~interaction(dat$supp,dat$dose,sep=" "),connect=list(c(1,3,5),c(2,4,6)),col=c("red","blue"),main="XX",xlab="xlab")1.4 可视化⽅法3library(HH)interaction2wt(dat$len~dat$supp*dat$dose)2 重复测量⽅差分析dat<-CO2CO2$conc<-factor(CO2$conc)w1b1<-subset(CO2,Treatment=="chilled")uptake是植物光合作⽤对⼆氧化碳的吸收量，是因变量y，type是组间因⼦，是互斥的，表⽰的是两个不同地区的植物类型，要么是加拿⼤的植物，要么是美国的植物，不可能两个地⽅都是，conc是不同的⼆氧化碳的浓度，每⼀种植物都在所有的⼆氧化碳浓度下，所以conc是组内因⼦研究不同地区的植物作⽤，在某种⼆氧化碳的浓度作⽤下，对植物的光合作⽤效果有没有影响2.1 含有单个组内因⼦w和单个组间因⼦B的重复测量ANOVAfit<-aov(uptake~conc*Type+Error(Plant/(conc)),w1b1)summary(fit)结果分析：⼆氧化碳浓度和类型对植物光合作⽤都有显著影响2.2 可视化图形呈现（1）⽅式⼀par(las=2)par(mar=c(10,4,4,2))with(w1b1,interaction.plot(conc,Type,uptake,type = "b",col=c("red","blue"),pch=c(16,18)))（2）⽅式⼆boxplot(uptake~Type*conc,data=w1b1,col=c("red","blue"))3 多元⽅差分析library(MASS)attach(UScereal)dat<-UScerealshelf<-factor(shelf)y<-cbind(calories,fat,sugars)fit<-manova(y~shelf)summary(fit)结果分析：不同的货架shelf上，⾷物的热量calories，脂肪含量fat和含糖量sugars是⾮常显著不同的3.1 多元正态性center<-colMeans(y)n<-nrow(y) #⾏数p<-ncol(y) #列数cov<-cov(y) #计算⽅差d<-mahalanobis(y,center,cov)coord<-qqplot(qchisq(ppoints(n),df=p),d) #画图abline(a=0,b=1) #画参考线identify(coord$x,coord$y,labels = s(UScereal)) #给出交互式标出离群点3.2 稳健多元⽅差分析install.packages("rrcov")library(rrcov)wilks.test(y,shelf,method="mcd")结果分析：P值⼩于0.05，说明结果是显著性的，即不同货架上⾷物的热量calories，脂肪含量fat和含糖量sugars是⾮常显著不同的4 ⽤回归来做ANOVAlibrary(multcomp)dat<-cholesterollevels(dat$trt)fit.aov<-aov(response~trt,data=dat)summary(fit.aov)结果分析：aov⽅差分析，trt对response的影响⾮常显著fit.lm<-lm(response~trt,data=dat)summary(fit.lm)结果分析：lm回归分析，trt对response的影响⾮常显著，并且trt的每⼀项都显⽰出来了。
统计学中的方差分析理论研究进展
统计学中的方差分析理论研究进展引言方差分析（ANOVA）是统计学中一种常用的分析方法，用于比较多个样本之间的差异。
它可以帮助我们确定不同因素对总体均值的影响，并通过计算方差来评估这些差异是否显著。
在统计学中，方差分析一直是一个重要的研究领域，研究者们对其理论进行深入探究，以便更好地理解和应用方差分析方法。
本文将介绍统计学中方差分析理论的研究进展，包括不同类型的方差分析方法、其基本原理和应用场景等。
一、单因素方差分析单因素方差分析是最常见的一类方差分析，用于比较不同组之间的差异是否显著。
在单因素方差分析中，我们将样本分成多个组别，然后检验这些组别的均值是否相等。
1.1 单因素方差分析的基本原理单因素方差分析的基本原理是比较组内方差和组间方差的大小。
组内方差反映了组内个体之间的差异，而组间方差反映了各组之间的差异。
方差分析统计量F值通过比较组间方差和组内方差的比值，判断差异是否显著。
1.2 单因素方差分析的假设检验在单因素方差分析中，我们需要进行假设检验来判断组别之间的均值是否有显著差异。
常见的假设检验方法包括F检验和t检验。
F检验适用于多个组别的情况，而t检验适用于两个组别的情况。
假设检验的结果通常包括显著性水平和P值。
1.3 单因素方差分析的应用场景单因素方差分析广泛应用于实验设计、生物统计学、社会科学、医学研究等领域。
例如，我们可以利用单因素方差分析来研究不同教育水平对工资的影响，或者研究不同药物对病人治疗效果的影响。
二、多因素方差分析多因素方差分析是一种比较多个因素和组别之间的差异的方法。
与单因素方差分析相比，多因素方差分析考虑了多个因素对差异的影响，更加复杂和全面。
两因素方差分析是最常见的多因素方差分析方法之一，用于比较两个因素以及它们的交互作用对总体均值的影响。
通过两因素方差分析，我们可以确定不同因素对总体均值的独立和交互影响。
2.2 三因素方差分析三因素方差分析是在两因素方差分析的基础上进一步扩展的方法。
生物统计第8章两因素及多因素方差分析
目录
• 引言 • 两因素方差分析 • 多因素方差分析 • 案例研究 • 总结与展望
01 引言
主题简介
两因素及多因素方差分析
在生物统计中，两因素及多因素方差分析是用来比较不同组之间的 平均值是否存在显著差异的统计方法。
适用场景
适用于研究两个或多个因子对响应变量的影响，例如药物剂量和治 疗效果、不同品种和产量等。
详细描述
例如，比较不同饲料类型和不同饲养环境下 猪的增重效果。将猪随机分为不同的组，每 组给予一种饲料并处于一种饲养环境，然后 比较各组的平均增重。
多因素方差分析案例
总结词
多因素方差分析用于比较多个分类变量对数值型变量的影响。
详细描述
例如，比较不同饲料类型、不同饲养环境以及不同品种的猪的增重效果。将猪随机分为 不同的组，每组给予一种饲料、处于一种饲养环境并属于一个品种，然后比较各组的平
基本思想
通过比较各组间的方差与误差方差，判断不同组间是否存在显著差 异。
课程目标和意义
掌握两因素及多因素方差分析的基本原理和步骤
通过学习，学生应能够理解两因素及多因素方差分析的基本概念、原理和实施步骤，为进一步应用和拓展打下基础。
培养解决实际问题的能力
学习两因素及多因素方差分析的目的是为了解决实际问题，如探究不同处理对实验结果的影响、比较不同组间的差异 等。通过学习和实践，学生应能够运用该方法解决实际问题。
03
研究方差分析在不同领域的应用，如医学、生物学、经济学和社会科 学等。
04
开发更高效的算法和软件，以方便用户进行方差分析和相关统计计算。
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感谢您的观看
均增重。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第3章 试验的方差分析知识讲解
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA） 检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性
试验指标（experimental index） 衡量或考核试验效果的参数
因素（experimental factor） 影响试验指标的条件 可控因素（controllable factor）
④计算均方
MS A
SS A df A
SS A r 1
MSB
SSB df B
SSB s 1
MSe
SSe dfe
(r
SSe 1)(s 1)
⑤F检验
FA
MS A MSe
FB
MSB MSe
FA服从自由度为（dfA,dfe)的F分布；
FB服从自由度为（dfB,dfe)的F分布；
对于给定的显著性水平 ，查F分布表：
下的试验结果服从正态分布 在各水平下分别做了ni（i＝1，2，…，r）次试验 判断因素A对试验结果是否有显著影响
（3） 单因素试验数据表
试验次数 A1
A2
…
1
x11
x21
…
2
x12
x22
…
…
…
…
…jBiblioteka x1jx2j…
…
…
…
…
ni
x1n1
x2n2
…
Ai
…
Ar
xi1
…
xr1
xi2
…
xr2
… ……
xij
1 r s
x rs
i 1
xij
j 1
Ai水平时 ：
xi•
1 s
s
xij
j 1
双因素方差分析【最新】
双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。
在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。
同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。
双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。
无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。
有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。
二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
生物统计学之二因素方差分析
（1）平方和的分解为：
C T2 ab
STS
2
(x ij x )
x2 C
SA Sb
2
(xi.x)
Ti.2C b
SB Sa
2
(x.jx)
T.j2C a
2
S e S ( x i jx i. x .j x ) S T S S A S S BS
（2）与平方和相应的自由度的分解为
② 主效应 由于因素水平的改变而引起的平均数的改变量 称为主效应。
如表，当A因素由A1水平变到A2水平时，A因素的主效应为A2 水平的平均数减去A1水平的平均数。即
A因素的主效应=492-475=17 同理 B因素的主效应=496-471=25 主效应也就是简单效应的平均，如(32+2)÷2=17 , (40+10)÷2=25
在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况 每一观测值都是某一特定温度与光照条件共同作用的结果。
第三节 二因素方差分析
二因素方差分析
定义：是指对试验指标同时受到两个试验 因素作用的试验资料的方差分析。
固定模型 随机模型 混合模型
二因素都是固定因素
二因素均为随机因素
一个因素是固定因素， 一个因素是随机因素
③ 交互作用(互作，interaction) 在多因素试验中， 一个因素的作用要受到另一个因素的影
响，表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应 不同，或者说，某一因素的简单效应随着另一因素水平的变 化而变化时，则称该两因素存在交互作用。
显而易见，A的效应随着B因素水平的不同而不同，反之
亦然。我们说A、B两因素间存在交互作用，记为A×B。
主效和互作
主效应（main effect）：
方差分析
方差分析一．方差分析的概念及意义方差分析，又称“变异数分析”或“F检验”，用于两个及两个以上样本均数差别的显著检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。
造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究种施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析的意义，工业生产中产品质量优劣，农业生产中产量高低，由诸多因素造成。
如农业生产中，肥料，浇灌，良种，管理等；化工生产中，原料成分，催化剂，剂量，反应温度，压力，溶液，机器设备与操作人员水平。
每种因素的改变，可影响产品质量与数量，那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素，还要弄清这些显著因素在什么状态下（水平）起的作用大。
方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。
二．方差分析的基本思想根据实验设计的类型及研究目的,将全部观察值之间所表现出来的总变异,分解为两个或多个部分。
除随机误差作用外,其余每个部分的变异均可由某个因素的作用加以解释。
通过比较不同变异来源的均方(MS),借助F分布做出统计推断,从而推断研究因素对试验结果有无影响三．方差分析的假定条件及假设检验3.1方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。
（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。
（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。
（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。
3.2方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K 个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。
如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。
否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。
四．方差分析中的常用术语4.1 因素（Factor）因素是指所要研究的变量，它可能对因变量产生影响。
如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析。
方差分析
三、方差分析１、单因素方差分析例１这是某些汽车品牌的耗油量相关数据。
检验汽车品牌是否对耗油量有影响。
从表3.1可以看出，计算出的levene统计量为0.157，显著性值为0.856，远大于0.05表3.2为方差分析表，从左到右分别为平方和、自由度、均方和、F值和显著性指标。
从表3.2中的数据可以看出，组间的显著性指标值为0.008，小于0.05，即认为各组之间是有差异的。
也就是说至少有一种品牌的车耗油量与其他品牌的车的耗油量有显著差异。
表3.3所示是各类汽车品牌之间的显著性差异两两比较的结果。
从表中的数据可以看出，由于品牌B与其他两个品牌A、B比较的显著性结果都是小于0.05的，所以认为其同其他品牌在耗油量上有显著差异。
而另外两个品牌的车可认为其品牌的不同对耗油量的影响不显著。
图3.1 各组均值比较图从图3.1上可以印证标表3.3的结论。
通过观察图发现，品牌B车的平均耗油量远高于其他品牌的车。
2、多因素方差分析例2 关于不同专业不同大学的学生的收入情况。
试分析专业、大学及交互作用对收入是否有显著影响。
表3.4 主体间因子表值标签N专业 1 A1 152 A2 153 A3 154 A4 15大学 1 B1 122 B2 123 B3 124 B4 125 B5 12表3.4给出了因素在各个水平下的样本个数。
从表中的数据可以得出，专业有4个水平，每个水平下有15个样本，大学有5个水平，每个水平下有12个样本。
表3.5是两因素方差分析表。
表格左上方给出了指标变量是“收入”。
表中各列依次代表了方差的来源、III 型平方和、自由度、均方和、F值和显著性指标。
表中第一行代表对方差分析模型的检验。
其显著性指标值取为0.331，大于0.05，说明该模型是不适用的。
第二行代表的是截距，可以忽略。
第三四行代表的是专业、大学对收入的影响。
其中专业的显著性指标为0.456，大于0.05，则说明其对指标收入的影响不显著，大学的显著性指标值为0.048，小于0.05，则说明大学对指标收入有影响。
方差分析PPT课件
方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
第一节 方差分析的基本问题
▪ 一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
结果的好坏和处理效应的高低，实际中具体测 定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的 试验指标例如有：身高、体重、日增重、酶活 性、DNA含量等等。
影响因素（ experimental factor）： 观测中所
研究的影响观测指标的定性变量称之为因素。 当考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素的影响时，则 称为两因素或多因素试验。
N (3, 2)
A3
61.31 60.00
┆ 67.26 69.05
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 N (1, 2)，N (2, 2 )， N (3 , a2 ) 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是 推断 1 ,2 和 3 之间有无显著差异。 由 x1, x2, x3不相等，不能直接得出1, 2, 3不尽相等的结论， 原因是：造成 x1, x2, x3不相等可能有两个方面因素：一是 1, 2, 3 不等，二是1 2 3，但由于抽样误差，造成 x1, x2, x3 之间有差异。现在的任务是通过样本推断1, 2, 3之间有无 显著性差异。
双因素方差分析方法
(
)
dfT , df A , df B , df E ,则
SS A df A MS A = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) FA = SS E df E MS E
SS B df B MS B = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) FB = SS E df E MS E
结论:工人对产品的产量有显著影响, 结论:工人对产品的产量有显著影响, 机器对产品的产量有极显著影响. 机器对产品的产量有极显著影响.
例1的上机操作 的上机操作
原始数据,行因素水平, 原始数据,行因素水平,列因素水平
对应例1 对应例 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著. 工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著.
1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ ij = i j 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
特性: 特性:
∑ α i = 0;
i =1
a
β j = 0; ε ij ~ N ( 0, σ 2 ) ∑
SST = ∑∑ X ij X
i =1 j =1
a
b
(
)
2
可分解为: 可分解为:SST = SS A + SS B + SS E
SS A = b∑ X i. X
SS B = a ∑ X . j X
j =1 a b
a
i =1 b
(
)
2
称为因素A的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 A 对试验指标的影响. 称为因素B的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 B 对试验指标的影响.
3 方差分析
= 15368.7 − 15169.03 = 199.67
• 处理间平方和
SSt = 1 1 xi .2 − C = (155.9 2 + 131.4 2 + 123.7 2 + 139.8 2 ) − C n 5 = 15283.3 − 15169.03 = 114.27
– 将分子─总平方和，分解成处理间平方和 将分子─总平方和， 与处理内平方和两部分； 与处理内平方和两部分； – 将分母─总自由度，分解成处理间自由度 将分母─总自由度， 与处理内自由度两部分。 与处理内自由度两部分。
2.1 总平方和的分解
(1) 总变异 • 即总平方和是各观测值xij 与总平均数的离均 与总平均数的离均 平方和， 差平方和，记为SST 即：
2.3 方差的计算
• 各部分平方和除以各自的自由度便得到各自 方差或 均方. 方差或称均方 • 总变异，处理间均方、处理内均方 误差均 总变异，处理间均方、处理内均方(误差均 方)，分别记为MST、MSt和MSe。即 ，
MS T =
2 ST
= SS T / df T
MSt =
2 St
= SSt / df t
温 度 60℃ A1） 60℃（A1） 70℃（A2） 70℃ A2） 80℃ A3） 80℃（A3） 90℃ A4） 90℃（A4） 合 计 1 31.9 24.8 22.1 27.0 次 2 27.9 25.7 23.6 30.8 数（xij） 3 4 31.8 28.4 26.8 27.9 27.3 24.9 29.0 24.5 合计xi. 平均xi. 5 35.9 26.2 25.8 28.5 155.9 131.4 123.7 139.8 139.8 550.8 31.18 26.28 24.74 27.96
两因素方差分析
汇报人：XX
CONTENTS
两因素方差分 析的简介
两因素方差分 析的步骤
两因素方差分 析的注意事项
两因素方差分 析的应用实例
两因素方差分 析的优缺点
两因素方差分 析的发展趋势 和未来展望
PART ONE
两因素方差分析是一种统计方法，用于研究两个分类变量对连续因变量的影响。
确定研究因素和水平
设计实验或调查方案
实施实验或调查，记录数据
对数据进行整理和清洗
对数据进行分类整理，将不同因素的数据分别整理到不同的表格中。 对数据进行描述性统计分析，包括求平均值、标准差、方差等统计量。 绘制箱线图或散点图等图形，直观展示数据的分布情况。 对异常值进行处理，避免对分析结果产生影响。
PART FIVE
能够同时考虑两个因素的影响，更全面地分析问题 可以检验交互作用，了解两个因素之间的相互作用是否显著 相对于单因素方差分析，具有更高的统计效能，即能够更准确地检验假设 可以进行更深入的研究，例如探讨两个因素之间的交互作用类型和程度等
计算复杂度高
容易受到异常 值的影响
对数据要求较 高
随着统计学理论 的不断完善，两 因素方差分析的 方法和理论也将 得到进一步优化
和发展。
未来，两因素方 差分析将与机器 学习、深度学习 等算法相结合， 实现更高效、更
精确的分析。
汇报人：XX
适用于两个分类变量对数值型因变 量的影响分析
适用于探索不同类别之间的差异和 相似性
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
适用于研究主效应和交互效应对因 变量的影响
适用于多因素分析中筛选重要变量
《试验设计与数据处理》第3章_试验的方差分析
（4）计算均方—— 离差平方和/自由度
因素A的均方
MS A
SS A r 1
误差的均方：
因素B的均方
A×B的均方
MSB
SSB s 1
MS AB
(r
SS AB 1)(s 1)
MSe
SSe rs(c 1)
22
(5) F检验
FA
MS A MSe
xij
i 表示因素A对应的水平
j 表示因素B对应的水12 平
双因素无重复试验的方差分析的基本步骤：
（l）计算平均值 • Ai水平时所有试验值的算术平均值:
1 s
xi
s
xij
j 1
• Bj水平时所有试验值的算术平均值:
x j
1 r
r j 1
xij
• 所有试验值的总平均值:
1 r s
1r
1s
11
3.2 双因素试验的方差分析 ——讨论两个因素对试验结果有无显著性影响的问题
3.2.1 双因素无重复试验的方差分析 • 设在某试验中，有两个因素A和B在变化：
A有r 种水平A1，A2，…，Ar B有s 种水平B1，B2，…，Bs • 在每一种组合水平（Ai，Bj）上做1次试验; • 试验结果为xij（i=1，2，…，r；j = 1，2，…，s）; • 所有xij相互独立，且服从正态分布。
(4) 计算平均平方 • 用离差平方和除以自由度得平均平方，简称均方 • 组间均方：MSA SSA / dfA • 组内均方(又称为误差均方)： MSe SSe / dfe
9
(5) F检验
• 组间均方和组内均方之比F是一个统计量:
第三章 方差分析
N 报纸 广播 宣传品 体验 Total 36 36 36 36 144
Mean 73.2222 70.8889 56.5556 66.6111 66.8194
Std. Error 1.62232 2.16127 1.93647 2.24961 1.12732
Minimum 54.00 33.00 33.00 37.00 33.00
df1 3
df2 140
Sig. .515
分析：统计量值为0.765， P=0.515>0.5, 不拒绝原假设， 即可以认为方差齐的。
(因为已证明了各水平既服从正态分布又是方差齐的，所以可以进 行方差分析）
方差分析表
A N OV A 销售额 Sum of Squares 5866.083 20303.222 26169.306 df 3 140 143 Mean Square 1955.361 145.023 F 13.483 Sig. .000
√
勾选“Descriptive”、 “Homogeneity-of-variance”、 “Means plot”三项。 点击“Continue”钮返回
点击“OK”钮输出结果
结果输出和讨论：
D e sc r i p ti v e s 销售额 Std. Deviation 9.73392 12.96760 11.61881 13.49768 13.52783 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound 69.9287 76.5157 66.5013 75.2765 52.6243 60.4868 62.0442 71.1781 64.5911 69.0478
将“销售额[sale]”加入“Depedent”框；“广告形式[ad 加入“Factor List”框。 选择“Normality ….”(正态性检验）
调节效应的检验方法
调节效应的检验方法引言在社会科学研究中，调节效应是指某个变量（即调节变量）对于另外两个或多个变量之间关系的影响程度。
调节效应的检验方法的运用可以帮助研究者深入理解变量之间的关系，并揭示隐藏的因果关系。
一、实验设计实验设计是检验调节效应的首要步骤，下面将介绍一些常用的实验设计方法。
1.1 两因素设计两因素设计是指研究者同时操纵两个变量，并观察它们对依赖变量的影响。
在两因素设计中，调节变量可以被操作为中介变量或者交互效应。
1.2 三因素设计三因素设计是指研究者同时操纵三个变量，并观察它们对依赖变量的影响。
通过三因素设计可以更为全面地检验调节效应。
二、以方差分析为基础的方法方差分析是一种常用的检验调节效应的统计方法，下面介绍两种基于方差分析的方法。
2.1 双因素方差分析双因素方差分析可以用来检验两个因素是否存在调节效应。
该方法通过计算组内方差和组间方差之间的比值来确定调节效应是否显著。
2.2 三因素方差分析三因素方差分析可以用来检验三个因素是否存在调节效应。
该方法通过计算组内方差和组间方差之间的比值来确定调节效应是否显著。
三、回归分析方法回归分析是常用的检验调节效应的方法之一，可以通过线性回归或者多元回归的方法来实现。
3.1 线性回归线性回归可以用来检验一个调节变量是否对两个或多个其他变量之间的关系产生影响。
可通过添加交互项来观察调节效应。
3.2 多元回归多元回归可以用来检验多个调节变量对两个或多个其他变量之间关系的影响。
在多元回归中，可以通过添加多个交互项来观察各个调节变量的调节效应。
四、中介效应分析中介效应分析是一种常用的检验调节效应的方法，该方法可以帮助研究者理解调节变量对两个或多个其他变量之间关系的影响机制。
4.1 关联分析关联分析可以帮助研究者探索调节变量、中介变量和依赖变量之间的关系，从而揭示调节变量对中介变量和依赖变量之间关系的调节效应。
4.2 结构方程模型结构方程模型可以通过建立路径分析模型来检验调节效应，并在模型中确定中介变量和调节变量之间的关系。
统计学-方差分析
（2）水平项离差平方和：SSA xi x ni xi x
2 i 1 j 1 i 1
k
ni
k
2
（3）误差项离差平方和：
SSE xij xi
i 1 j 1
k
ni
2
离差平方和之间的关系：SST=SSA+SSE
10124
16124 10790
9789
10100 8578
6823
11427 7674
第3章 方差分析 3.4 无交互作用的双因素方差分析
Source Model 时段 星期 Error Total
Type III Sum of Squares 1426464991.000(a) 160541394.000
SSRC
SSE SST
(k-1)* MSRC (r-1) Kr(m-1) MSE
n-1
FRC
第3章 方差分析 3.5 有交互作用的双因素方差分析
例．研究人员从某省十五期间结项的自然科学基金 项目中随机抽取部分项目进行绩效评估。采用设 计的综合评价体系，获得有关项目的“相对绩效 分值”（满分为100分）。研究人员认为，学校 类型、项目类型等有可能会影响到科研项目绩效， 请你在5%的显著水平下分析这两个因素对科研项 目绩效的影响。
第3章 方差分析 3.5 有交互作用的双因素方差分析
学 校
部署重点高校
省属普通高校
省属高职学院
基 89 90 80 88 95 88 86 76 76 65 68 78 76 60 60 础 86 94 95 90 85 68 78 88 88 76 80 65 70 66 50 研 82 84 76 75 68 74 68 90 90 68 58 80 60 70 60 究
闪光融合
《闪光融合临界频率测定》实验报告1 引言1.1 实验逻辑一个间歇频率较低的光刺激作用于眼睛时，我们就会产生一亮一暗的闪烁感觉，随着光刺激间歇频率逐渐加大，闪烁现象就会逐渐消失。
由粗闪变成细闪，当闪烁频率增加一定程度时，人眼就不再感到是闪光而感到是一个完全稳定或连续的光，这种现象称为闪光的融合。
闪烁刚刚达到融合时光刺激的间歇频率称为闪光临界融合频率(CFF)。
不同人的CFF的差异相当大，但一般在30—55赫左右。
一种闪光开始时，人眼并不是立即开始接受光刺激；当闪光停止后，人眼也不是立即停止反应光刺激。
事实上无论在刺激的开始和终止时都有网膜时滞。
一般说来，在中等强度情况下，视觉刺激的后象所保留的时间约为0.1秒。
这种时滞的存在对于我们知觉物体是一优点。
关于闪光频率的实验研究，在心理学中曾有过不少成果。
早在18世纪，就有人发现了视觉图像。
之后最早测定闪光融合临界频率（CFF）的方法是通过用制成扇形的圆盘在光源前旋转来测定的，称之为转盘闪烁方法。
但是由于光源来自外部，光源即使照射到黑的部分也会有光反射出来，因此，亮度控制较差，转速的频率测量有时也不太准确。
1.2 实验假设本实验的研究假设为：闪光刺激颜色对闪光融合临界频率的影响不大，但闪光刺激强度对闪光融合临界频率的影响较显著，且随着闪光强度的增大，闪光融合临界频率的值也随着增大。
1.3 实验预期随着闪光强度的增大，闪光融合临界频率的值也随着增大。
2 方法（略）2.1 被试湖北师范学院教育科学学院09级应用心理学专业学生，一共89人，其中男生11人，女生78人。
被试中无色盲，且视力均为正常或矫正后正常。
将被试随机分成九组，每组随机接受由闪光强度（1、1/4、1/8）和闪光颜色（红、绿、黄）结合的一种水平处理。
2.2 实验材料JGW－B型实验台光点闪烁仪单元，记录用纸。
2.3 实验设计1.本实验采用3×3的两因素完全随机设计。
2.自变量：闪光刺激强度和闪光刺激颜色，各有3个水平。
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考查两个因素对试验指标的影响情况
3.1 交叉分组资料（cross－over classification） 的方差分析
设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水平，B因 素分b个水平 。 所谓交叉分组是指A因素每个水平与B因 素的每个水平都要搭配 ，两者交叉搭配形成ab个水平组 合即处理，试验因素A 、B在试验中处于平等地位 。如 果将试验单元分成 ab 个组，每组随机接受一种处理 ， 因而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资 料称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。
度均差异极显著或显著。酸度最高的是B7， 最低的是B5和B2。从牛奶质量要求看，连 续10d的牛奶酸度均在鲜奶范围内。
在进行两个因素或多个因素的试验时，除 了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往 往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标 的影响情况。
通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分 等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物 的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和 微生物活动，保持食品质量有着重要意义。
表5 两因素等重复观测值试验数据模式
两因素等重复试验数据模式（部分）
A因素
A1
x1jl
x1j. x1j.
A2
B1 x111 x112 x113 … x11n x11. x11. … … …
B因素
B2
…
x121 …
b
x i .
x ij ,
j1
x i .
1 b
b
x ij ,
j1
a
x . j
x ij ,
i1
x . j
1 a
a
x ij ,
i1
ab
x ..
x ij
i1 j1
ab
x..
xij / ab
i1 j1
A的第i水平b个观测值之和 A的第i水平b个观测值的平均数 B的第j水平a个观测值之和 B的第j水平a个观测值的平均数 ab个观测值的总和 ab个观测值的总平均数
3.1.2 交叉分组两因素等重复试验的方差分析 对两因素和多因素等重复试验结果进行
分析， 可以研究因素的简单效应、主效应 和因素间的交互作用（互作效应）。
三种效应
1．简单效应（simple effect） 是指在某一因素同一 个水平上，比较另一因素不同水平对试验指标的影响。
三种效应
2．主效应（main effect） 是指某一因素各水平间的平均 差别。它与简单效应的区别是，主效应指的是某一因素各水平 间的平均差别是综合了另一因素各水平与该因素每一水平所有 组合的情况。
3 多重比较
在两因素无重复观测值试验中，A因素每一
水平的重复数恰为B因素的水平数b，故A因素
的标准误为 标准误
Sxi. MSe /b；同理，B 因 素 的
Sx.j MSe / a
对例1分析，a=3，MSe=0.0258。故
Sx.j Me/a S0.02/3 50 8 .093
根据 dfe=18，秩次距 k=2，3 ，…，10，查 临界 q 值 ，计算最小显著极差LSR，见表3。
27.2509
S
SA
1 b
xi2.
C
1 10
(121.332
121.122
121.852
)
C
0.0283
SSB
1 a
x.2j
C
1 3
(35.102
32.262
38.272)
C
26.7591
SS e SS T SS A SS B 27 .2509 0.0283 26 .7591
j1
x..)2a 1jb1x.2j C
误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB
总自由度
dfT=ab-1
A因素自由度 dfA=a-1
B因素自由度 dfB=b-1
误差自由度 dfe= dfT - dfA – dfB
=(a-1)(b-1)
相应均方为
MS A SS A / df A , MS B SS B / df B , MS e SS e / df e
B2
10.81 10.7 10.75 32.26 10.75
表1 牛奶酸度测定结果
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
xi.
xi.
12.39 12.5 12.4 37.29 12.43
12.56 12.35 12.41 37.32 12.44
10.64 10.32 10.72 31.68 10.56
13.26 12.93 13.1 39.29 13.10
A因素的每个水平有b次重复，B因素的每个水平 有a次重复，每个观测值同时受到A、B 两因素及 随机误差的作用。因此全部 ab 个观测值的总变异 可以分解为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异 及试验误差三部分；自由度也相应分解。
离差平方和与自由度的分解如下：
SST SSASSBSSe dfT dfAdfBdfe
均值
13.58 13.10 12.76 12.68 12.44 12.43 11.70 11.44 10.75 10.56
5%显著水平
a b bc bc c c
d d e e
1%极显著水平
A AB BC BC
C C D D
E E
结果表明，除B2与B5，B1与B9，B4 与B3，B8与B3、B4，B10与B3、B4、B8 差异不显著外，其余不同测定日间牛奶酸
表3 q值与LSR值
dfe 秩次距k q0.05
2
2.97
3
3.61
4
4.00
5
4.28
18
6
4.49
7
4.67
8
4.82
9
4.96
10
5.07
q0.01
4.07 4.7 5.09 5.38 5.6 5.79 5.94 6.08 6.2
LSR0.05
0.28 0.34 0.37 0.40 0.42 0.43 0.45 0.46 0.47
【例1】某厂现有化验员3人，担任该厂牛奶酸度 （°T）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验， 连续10天的检验分析结果见表6。试分析3名化验员 的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸度有 无差异（新鲜牛奶的酸度不超过20 °T ） 。
化验 员 A1 A2 A3 x.j x.j
B1
11.71 11.78 11.61 35.10 11.70
表2 资料的方差分析表
变异来源
SS
df
MS
F值 显著性
化验员间 0.0283 2 0.0142 0.550
日期间
26.7591 9 2.9732 115.240 **
误差
0.4635 18 0.0258
合计
2760
结果表明，3个化验员的化验技术没有显著 差异，不同日期牛奶的酸度有极显著差异。
13.58 3.02** 2.83 2.14 1.88 1.15 1.14 0.90 0.82 0.48
13.10 2.54 2.35 1.66 1.40 0.67 0.66 0.42 0.34
12.76 2.20 2.01 1.32 1.06 0.33 0.32 0.08
12.68 2.12 1.93 1.24 0.98 0.25 0.24
分无重复观测值和重复观测值两种类型。
3.1.1 两因素无重复试验资料的方差分析 对于A、B两个试验因素的全部ab个水平组合， 每个水平组合只有一个观测值（无重复）， 全试验共有ab个观测值，其数据模式如下表 所示。
表 两因素无重复观测值的试验数据模式
注：A因素有a个水平，B因素有b个水平，共计有ab个水 平组合，每一组合观测一次，有ab个观测值（表5），xij 为A的第i水平与B的第j水平组合观测值。
P2=4
P2-P1
N1=0
400
450
50
N1=6
430
560
130
N2-N1
30
110
可以看出
当施氮肥和不施氮肥时，施以4公斤磷肥后的增产数量是不同的 当施磷肥和不施磷肥时，施以6公斤氮肥后的增产数量是不同的 若N, P分别起作用时增产为50, 30kg。但同时施时其效果并不是 50+30=80kg，而是增产560-400=160kg，增加的80公斤则为交互作 用的效果。
三种效应
3. 互作效应（interaction effect） 如果某一因素的 各简单效应随另一因素的水平变化而变化，而且变化的幅度 超出随机波动的程度，则称两个因素间存在互作效应。
两因素等重复试验的方差分析
设A、B两因素，A因素有a个水平，B因素 有b个水平，共有ab个水平组合，每个水平组 合有n次重复试验，则全试验共有abn个观测值。 试验结果的数据模式如表5所示。
LSR0.01
0.38 0.44 0.47 0.50 0.52 0.54 0.55 0.57 0.58
B因素各水平均值多重比较结果见表4
测定 日期
B7 B6 B10 B8 B4 B3 B1 B9 B2 B5
表4不同测定日牛奶酸度多重比较结果（q法）
x.j
x.j10.56
x.j10.7
5
11.44 11.70 12.43 12.44 12.68 12.76 13.10
两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用 的情况；
若两因素间有交互作用， 则每个水平组合中只设 一个试验 单位(观察单位)的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：