《两点之间-线段最短》教学PPT
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初中数学人教版八年级上册第一课时《最短路径问题》教育教学课件
如图： 点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么
位置的时候，AC+BC的值最小？
A∙
l
B∙
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得 AC+BC的值最小. 依据：两点之间，线段最短.
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是直线l上任意一点，则
AC和BC的大小关系是什么？ l
C
A
B
容易得出，AC=BC. 依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.
1、利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实 际问题转化为数学问题的思想.
∙B
A∙
你能证明这个结论吗？
∙
l
C
∙ B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′， 所以AC+BC<AC′+B′C′. 由点C′的任意性可知，AC+BC的值是 最小的，故点C的位置符合要求.
思考：相传古希腊亚历 大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一 天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图1中的a地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到b地.到河边什么地方 饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这 个问题后来被称为“将军饮马问题”.
初三数学复习专题课件：两点之间线段最短的应用
结合图形和数学表达式，将抽象的数学问 题具体化，有助于理解和解答问题。
分类讨论
反证法
对于一些复杂的问题，根据不同的情况进 行分类讨论，可以更全面地考虑所有可能 的情况。
在解题过程中，有时可以通过反证法来证 明某个结论，这种方法可以有效地解决一 些难以直接证明的问题。
解题策略分享
01
02
03
04
理解题意
在开始解题之前，首先要仔细 阅读题目，理解题目的要求和
条件，明确问题的目标。
分析问题
对题目进行分析，找出关键信 息，并尝试将问题分解为更小
的部分，以便逐一解决。
寻找规律
在解题过程中，要注意寻找规 律，这有助于发现更有效的解
题方法。
归纳总结
在解决问题后，要对解题过程 进行归E的五个顶点分别为 A(1,2)、B(3,4)、C(5,6)、D(7,5)、E(9,8)，点F是 直线DE外一点，连接AF、BF、CF、DF、EF，其 中哪条线段最短？为什么？
题目1：已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(1,3)、B(3,1)、C(5,4)、D(2,6)，点E是直线CD 外一点，连接AE、BE、CE、DE，其中哪条线段 最短？为什么？
复习目标
掌握两点之间线段最 短定理的基本概念和 证明方法。
培养学生的逻辑思维 和问题解决能力。
能够运用这个定理解 决实际问题，如最短 路径问题、时间最少 问题等。
02 两点之间线段最短的定义 与性质
定义解释
两点之间线段最短
在平面上，任意两点A和B之间的 所有连线中，线段AB是最短的。
定义证明
根据欧几里得几何，任意两点之 间的线段是两点之间所有连线中 最短的。
深入理解概念
数学人教版七年级上册两点之间,线段最短
4.3 线段的长短比较（2）教学目标知识与技能：使学生理解“两点之间，线段最短”的结论。
过程与方法：组织和引导学生经历观察、实验、猜想等数学活动，发展他们的合情推理能力，发表观点能力。
情感态度价值观：初步认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造。
教学重难点重点：“两点之间，线段最短”这一结论的应用过程；难点：与“两点之间，线段最短”这一结论有关的拓展问题的探究过程。
教学过程一、引入新课（一）课件演示课件演示：地上本没有路，走的人多了，也便……这是为什么呢？（二）布置数学活动先在纸上任意点两点，然后用线联接，量一量所有线条长短，比较一下谁最短？二、探究新知（一）揭示课题揭示课题，板书课题：两点之间，线段最短（二）完成任务任务1：怎样走最近？从A地到B地有五条道路,时间紧急，张先生要从B地赶往A地乘车，问：此时张先生应该怎么走？任务2：河道长度如下图，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化？任务3：九曲桥如下图，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理。
思考：平面上有A、B、C、D四个村庄（任意三点不在同一直线上），现在计划修建一个车站P，使车站到四个村庄的距离之和最小，车站应建在何处？（三）举例拓展你还能举出一些类似的例子吗？（四）探索交流蚂蚁爬行路线最短问题如下图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？三、小结四、课外拓展如果蚂蚁在长方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上，这时问题发生怎样的变化？问题如何解？五、作业基础训练。
《两点之间线段最短》课件
Floyd算法
1
算法步骤
深入了解Floyd算法的实现步骤。
时间复杂度分析
2
分析Floyd算法的时间复杂度。
3
算法优化
介绍一些对Floyd算法进行优化的方法。
分支界定算法
1
算法步骤
详细讲解分支界定算法的实现步骤。
时间复杂度分析
2
分析分支界定算法的时间复杂度。
3
算法优化
探索如何对分支界定算法进行优化，提高 效率。
时间复杂度分析
简单算法的时间复杂度如何？我 们来一起分析。
缺点与局限性
了解简单算法的缺点和局限性， 为后续算法做铺垫。
Dijkstra算法
1
算法步骤
详细介绍Dijkstra算法的执行步骤。
2
时间复杂度分析
分析Dijkstra算法的时间复杂度。
3
算法优化
探索如何对Dijkstra算法进行优化，提高效率。
2 如何根据实际问题选择合适的算法
提供一些建议，帮助你根据实际问题选择合适的算法。
3 未来发展方向展望
展望两点之间线段最短问题的未来发展方向。
《两点之间线段最短》 PPT课件
欢迎来到《两点之间线段最短》课件！本课程将介绍如何解决两点之间线段 最短问题，并深入探讨不同算法的优缺点以及适用场景。让我们一起开始吧！
问题描述
1 两点之间线段最短问题
我们将探讨什么是两点之间线段最短问题，以及为什么需要解决这个问题。
简单算法
勾股定理求解
使用勾股定理来计算两点之间的 距离。
综合比较
算法的时间复杂度和 空间复杂度对比
比较各算法的时间复杂度和空间 复杂度，找到最适合问题的算法。
两点之间线段最短PPT
线段的计算
长度计算
线段的长度等于两点之间的水平或垂直距离。
斜率计算
线段具有固定的斜率，斜率等于线段两端点之间 的高度差除以水平距离。
角度计算
线段与水平线之间的角度等于tan-1(斜率)，或者 使用三角函数计算。
线段的作图方法
确定端点
确定线段起止的两个点，可以是坐标系中的任意位置。
连接两点
使用直线或曲线工具连接两个端点，形成线段。
微积分
在微积分中，可以利用两 点之间的线段性质来研究 函数的增减性和极值问题。
理论证明中的应用
欧几里得几何
变分法
在欧几里得几何中，两点之间的线段 是唯一最短的路径，这是欧几里得几 何的基本公理之一。
在变分法中，可以利用两点之间的线 段性质来推导和证明最小作用量原理 和Euler-Lagrange方程等重要结论。
推论
如果存在一条曲线连接A和B，使 得曲线的长度小于线段AB的长度， 那么这条曲线是不存在的。
03
证明两点之间线段最短
证明方法一：几何证明
总结词：直观明了
详细描述：通过几何图形，利用两点之间的直线段最短，可以直观地证明两点之 间线段最短。
证明方法二：代数证明
总结词：严谨推导
详细描述：利用代数方法，通过建立坐标系，设两点坐标，然后计算两点之间各种路径的距离，最终推导出两点之间线段最 短。
两点之间线段最短
目录
• 引言 • 两点之间线段最短的定义 • 证明两点之间线段最短 • 两点之间线段最短的应用 • 两点之间线段最短的扩展知识
01
引言
主题引入
01
两点之间线段最短是几何学中的 基本定理之一，也是日常生活中 经常遇到的现象。
人教版初中七年级上册数学：两点之间线段最短_英文版课件
points is the arc of a great circle.
What is a great circle?
A great circle’s centre must be the same as that of the sphere.
Not a straight
line
Shortest distances on a map
Angles in a triangle
But if the parallel axiom fails, then what about angles in a triangle?
It turns out that if you draw triangles on a sphere, the angles will always add up to more than 180 degrees.
1.两点之间线段最短 2.两点决定一条直线 3.直线可以无限延长；以线段的长为半径，线段 的一个端点为圆心可作一个圆
Mathematical Ideas that Shaped the World
Non-Euclidean geometry
Plan for this class
Who was Euclid? What did he do? Find out how your teachers lied to you Can parallel lines ever meet? Why did the answer to this question change
The axioms of geometry
The Elements starts with a set of axioms from which all other results are derived.
What is a great circle?
A great circle’s centre must be the same as that of the sphere.
Not a straight
line
Shortest distances on a map
Angles in a triangle
But if the parallel axiom fails, then what about angles in a triangle?
It turns out that if you draw triangles on a sphere, the angles will always add up to more than 180 degrees.
1.两点之间线段最短 2.两点决定一条直线 3.直线可以无限延长；以线段的长为半径，线段 的一个端点为圆心可作一个圆
Mathematical Ideas that Shaped the World
Non-Euclidean geometry
Plan for this class
Who was Euclid? What did he do? Find out how your teachers lied to you Can parallel lines ever meet? Why did the answer to this question change
The axioms of geometry
The Elements starts with a set of axioms from which all other results are derived.
提分专题十二 利用“两点之间,线段最短”求最值中考复习课件
的中点，则 + 的最小值为____．
第2题图
（2）线段差最大问题
模型
展示
续表
问题：两定点 ， 位于直线 同侧，在直 问题：两定点 ，
线 上找一点 ，使 − 的值最大.
位于直线 异侧，在Fra bibliotek解决：根据三角形任意两边之差小于第三
直线 上找一点 ，
分析 之差小于第三边
针对训练
3.如图，在矩形 中， = 3 ， = 4 ，连接
， 是 的中点， 是 上一点，且 = 1 ，
是 上一动点，则 − 的最大值为(
A. 10 −
5
2
B.
85
2
5
C.
2
)
D.
√
13
2
第3题图
4.如图，已知 △ 为等腰直角三角形，
知， + 的最小值即为线段
的长，连接 交直线 于点
点 ，使得 + 的值最
小.
解决：将同侧点转化为异侧
即可解决
模型 对于“两定一动”线段和最小问题，利用两点之间，线段最短即可解
分析 决
针对训练
1.如图， △ 的面积为12， = ， = 4 ， 的
续表
要使 △ 的周长最小，即 + + 的值最小.根据两点之
间，线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可.分别作点 关
模型
于 ， 的对称点 ′ ， ″ ，连接 ′″ ，分别交 ， 于
分析
点 ， ，点 ， 即为所求， △ 周长的最小值即为线段
是 ∠ 内一点，在 上找一点 ， 上找一点 ，
2023中考数学专题复习-利用“两点之间,线段最短”解决最值问题(课件)
三是实际背景问题，来求最优化问题．
问题2：解决以几何图形为背景的最值问题我们
将运用到哪些知识？
“两点之间，线段最短”、轴对称点、勾股定理、
三角形三边关系、垂线段最短、线段垂直平分线的
性质、矩形、菱形……
复习回顾
O
(1)两点之间线段最短。
(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
第2题答图
3．如图，在菱形 ABCD 中，若 AD＝6，∠ABC＝120°，E 是 BC 的中点，
P 为对角线 AC 上的一个动点，连接 PB，PE，则 PE＋PB 的最小值为
3 3
__________．
【解析】如答图，连接 BD，DP，DE.∵四边形 ABCD 是菱形，∴B，D
关于直线 AC 对称，∴DE 的长即为 PE＋PB 的最小值．∵∠ABC＝120°，
M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小
值是__________．
6
【解析】如答图，作点 P 关于 OB 的对称点 P′，作点 P 关于 OA 的对称
点 P″，连接 P′P″，则 P′P″的长就是△PMN 周长的最小值．在△OP′P″
中，OP′＝OP″，∠AOB＝30°，∴∠P′OP″＝60°.∵OP＝6，∴P′P″＝6.
即为所求，△PCD 周长的最小值即为线段 P′P″的长．
“两定两动”型
6．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上且 BE＝1，点
P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，则四边形 AEPQ 周
2＋2 13
长的最小值是__________．
问题2：解决以几何图形为背景的最值问题我们
将运用到哪些知识？
“两点之间，线段最短”、轴对称点、勾股定理、
三角形三边关系、垂线段最短、线段垂直平分线的
性质、矩形、菱形……
复习回顾
O
(1)两点之间线段最短。
(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
第2题答图
3．如图，在菱形 ABCD 中，若 AD＝6，∠ABC＝120°，E 是 BC 的中点，
P 为对角线 AC 上的一个动点，连接 PB，PE，则 PE＋PB 的最小值为
3 3
__________．
【解析】如答图，连接 BD，DP，DE.∵四边形 ABCD 是菱形，∴B，D
关于直线 AC 对称，∴DE 的长即为 PE＋PB 的最小值．∵∠ABC＝120°，
M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小
值是__________．
6
【解析】如答图，作点 P 关于 OB 的对称点 P′，作点 P 关于 OA 的对称
点 P″，连接 P′P″，则 P′P″的长就是△PMN 周长的最小值．在△OP′P″
中，OP′＝OP″，∠AOB＝30°，∴∠P′OP″＝60°.∵OP＝6，∴P′P″＝6.
即为所求，△PCD 周长的最小值即为线段 P′P″的长．
“两定两动”型
6．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上且 BE＝1，点
P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，则四边形 AEPQ 周
2＋2 13
长的最小值是__________．
初三数学复习专题课件：两点之间线段最短的应用
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
——两点之间线段最短的应用
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》头两句：
白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河
诗中隐含着一个有趣的数学问题：
将军在观望烽火后从山脚下的点A出发，走 到小河边的P处给马喝水后再到河岸同对侧面的点 B宿营，他常想怎么走才能使路程最短呢？
A
A
P
P
B
P
B
B’
构建“对称模型”实现转化
试一试 ห้องสมุดไป่ตู้线两定点型
C
M
D
A
N
B
两线两动点型
3.如图，在直角坐标系中，有四个点A（-8， 3），B（-4，5），C（0,n），D（m,0），求 四边形ABCD的周长最短时的值.
y
B·
A·
C
·
C
DDO
A1’
B1 x
说明：此题可转化为求何时 BC+DC+AD最小. 即当点A关于x轴对称点A1 ，
B关于y轴的对称点B1，
与D，C在 同一直线上时。
直击中考 （2015年杭州上城区模拟）
例：设抛物线y= 3 (x 1)(x 2) 与x轴交于A、 C两点（点A在点C的左2 边），与y轴交于点B
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若点P、Q位于抛物线对称轴上，且PQ= 3
求四边形ABQP周长的最小值。
3
y
O A
P B’
Q B
C
x
• 1、找到对称轴和同侧两点 • 2、把不同的问题抽象为同一类型，即构建
数学模型。
• 3、学会观察，分析…问题的转化
寄语：
• 同学们： 学海本无涯，我们不能淹死在题海里，
You made my day!
我们，还在路上……
——两点之间线段最短的应用
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》头两句：
白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河
诗中隐含着一个有趣的数学问题：
将军在观望烽火后从山脚下的点A出发，走 到小河边的P处给马喝水后再到河岸同对侧面的点 B宿营，他常想怎么走才能使路程最短呢？
A
A
P
P
B
P
B
B’
构建“对称模型”实现转化
试一试 ห้องสมุดไป่ตู้线两定点型
C
M
D
A
N
B
两线两动点型
3.如图，在直角坐标系中，有四个点A（-8， 3），B（-4，5），C（0,n），D（m,0），求 四边形ABCD的周长最短时的值.
y
B·
A·
C
·
C
DDO
A1’
B1 x
说明：此题可转化为求何时 BC+DC+AD最小. 即当点A关于x轴对称点A1 ，
B关于y轴的对称点B1，
与D，C在 同一直线上时。
直击中考 （2015年杭州上城区模拟）
例：设抛物线y= 3 (x 1)(x 2) 与x轴交于A、 C两点（点A在点C的左2 边），与y轴交于点B
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若点P、Q位于抛物线对称轴上，且PQ= 3
求四边形ABQP周长的最小值。
3
y
O A
P B’
Q B
C
x
• 1、找到对称轴和同侧两点 • 2、把不同的问题抽象为同一类型，即构建
数学模型。
• 3、学会观察，分析…问题的转化
寄语：
• 同学们： 学海本无涯，我们不能淹死在题海里，
《线段最短》课件
B
E组题增加题目灵活性， 基本思路不变
第二类变式：平面变立体
• 有一个圆柱形油罐车，底面圆的周长是12m，高 5m。如图,要是从A点起环绕油罐建梯子，梯子 的顶端正好到达A点的正上方B点，梯子最短需 要——m。
B
A
三、中考连接 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分 别为A（-2，0）、B（8，0），以为AB直径的 ⊙P与y轴交于M，以AB为一边做正方形ABCD D （1）求C、M两点坐标； C （2）在x轴上是否存在
y
C
B O
A
x
一点Q，使得的△QMC
周长最小？若存在，
A
M
O
P
B
求出点Q的坐标； 若不存在，说明理由.
1．在Rt△POQ中，OP=OQ=4， M是PQ的中点，把一三角 尺的直角顶点放在点M处， 以M为旋转中心，旋转三 角尺，三角尺的两直角边 与△POQ的两直角边分别 交于点A、B，连接AB，探 究：在旋转三角尺的过程 中，△AOB的周长是否存 在最小值？若存在，求出 最小值；若不存在，请说 明理由
A P M P B C M D A P M′ D
P
B C
找出基本图形 两点一线
对应练习：
4、已知菱形ABCD，边长为2，E、F A 分别为AB、BC中点，P为对角线AC 上任意一点，找出使PE+PF最短的P 点位置，最短值是多少？ 5、已知等腰梯形ABCD, AD∥BC, AB=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形 ABCD的对称轴，P为MN上任一点，找出 使PC+PD最短的P点位置。 6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2， ∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB 边上一动点，找出使EC+ED最短的E点位 置。
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拓展视野
蚂蚁爬行路线最短问题
蚊子
●
蚊子
●
举例一
●
壁虎 糖果 糖果
举例二
蚂蚁
12/20/2017
课堂练习
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等 于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想， 这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多 5 C A 少？
两点之间 线段最短
2011051027 2011051031
芝川初中
李萍
12/20/2017
为什么大家都喜欢走捷径呢？
看图思考
绿地里本没有路，走的人多了… …
看图思考
从A地到B地有五条道路,时间紧急，张先生要从B
地赶往A地乘车，问：此时张先生应该怎么走？
① ② A
·
③ ④
·
B
⑤
定义概念
两点之间的所有连线中，线段最短. 简单说成:两点之间,线段最短.
A
A
解：AC =
6 – 1 = 5 ，
1 2
BC = 24 ×
=
12，
由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
谢谢观赏！
THANK YOU
刘义滔 1029010034 李晓明 1029010069
12/20/2017
连接两点间的线段的长度,叫做这两 点的距离。
看图思考
把原来弯曲的河 道改直，A、B两 地间的河道长度 有什么变化？
看图思考
公园里设计了曲折迂 回的桥，这样做对游 人观赏湖面风光有什 么影响？ 与修一座笔直的桥相 比，这样做是否增加 了游人在桥上行走的 路程？ 说出其中的道理。
拓展视野
“将军饮马”的问题
有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边 喂马喝一次水，则将军怎样走最近？ 做B点与河面的对称点B＇,连接AB＇，可得 到马喝水的地方C（如下图）。再连接CB得 到这道题的解A→C→B。这就是著名的“将 军饮马”问题。不信的话你可以在河边任意 取一点C＇ 12
B ∵ AB2=AC2+BC2=169, ∴ AB=13. B
课堂练习
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底 面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少 B ？ B C
分析：由于老鼠是沿着圆 柱的表面爬行的，故需把 圆柱展开成平面图形.根据 两点之间线段最短，可以 发现A、B分别在圆柱侧面 展开图的宽1m处和长24m的 中点处，即AB长为最短路 线.