同济版大一高数第十一章习题课
同济版大一高数第十一章习题课
与路径无关的四个等价命题
条 件 等
在单连通开区域 D 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有连续 的一阶偏导数 , 则以下四个命题成立 .
(1)
价
命
(2)
(3) 在D内 Pdx Qdy 与路径无关
L
P Q 在D内 , y x
C
Pdx Qdy 0,闭曲线C D
9
曲面积分
计算上的联系
f ( x, y)d [
D a
b a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x, y)dy]dx, (d面元素)
dy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z)dV dx
y2 ( x )
D
Q P P Q )dxdy 或 Qdx Pdy ( )dxdy L x y x y D A( M )为平面向量场
L
A ds (rotA n)dxdy
D
L ( A n)ds divAdxdy
D
15
一、曲线积分的计算法
1. 基本方法
曲线积分
第一类 ( 对弧长 )
第二类 ( 对坐标 ) 用参数方程 转化
定积分
(1) 统一积分变量
用直角坐标方程
用极坐标方程 第一类: 下小上大
(2) 确定积分上下限
第二类: 下始上终
16
练习题: P184 题 3 (1), (3), (6)
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及形心公式简化计算 ;
高数第十一章复习
曲线积分
习题课
高等数学
1
知识梳理 一、 两类曲线积分
定义 对弧长的曲线积分 ∫ f ( x, y)ds
L
对坐标的曲线积分
∫ P( x, y)dx = lim ∑P(ξ ,η )∆x λ
L →0
n
= lim∑ f (ξi ,ηi )∆Si
λ→0
i =1
n
∫ Q( x, y)dy = lim ∑Q(ξ ,η )∆y λ
（7）求 ）
其中
是以 点 A(1,0) , B(0,1) , C(-1,0) 为 y
B (0,1)
顶点的三角形的正向边界曲线. 顶点的三角形的正向边界曲线 解 上式积分 =
C (-1,0) o
x
A(1,0)
由格林公式，得 由格林公式，
高等数学
13
例2.螺旋形弹簧一圈的方程为 螺旋形弹簧一圈的方程为
二、四个等价命题
条件：在单连通区域 内 条件：在单连通区域G内，函数P ( x , y ) , Q ( x , y ) 具有一阶 连续偏导数 以下四个命题等价： 以下四个命题等价： 内与路径无关； 1 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在G 内与路径无关；
L
2
∫
∂Q ∂P 3 在 G 内恒成立 内恒成立; = ∂x ∂y 4 Pdx + Qdy = du( x , y ), 即Pdx + Qdy 为某一 u( x , y )的全微分 的全微分.
此时不能用格林公式
2 xy − 3 y x 2 − 5x dx + 2 dy 解 ∫ 2 2 2 x +y L x + y 1 = 2 ∫ (2 xy − 3 y )dx + (x 2 − 5 x )dy a L 1 = 2 ∫∫ [(2 x − 5 ) − (2 x − 3 )]dxdy a x 2 + y 2 ≤a 2
2011高数11章习题课
收o敛
发散 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时, R 1 ;
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、幂级数的运算
定理3. 设幂级数
及
的收敛半径分别为
R1, R2, 令 R min R1 , R2 , 则有 :
若存在N Z , 对一切 n N ,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞
机动 目录 上页 下页 返回 结束
R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发散
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别 设
机动 目录 上页 下页 返回 结束
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 显然
大一高等数学第十一章无穷级数习题 ppt课件
n1
n1
(3) 当 l 时 , 若 v n 发散 ,则 un 发散;
n1
n1
( 3 ) 极 限 审 敛 法
设un为 正 项 级 数 ,
n1
如 果 n l i m nn ul0(或 n l i m nn u),
则 级 数 un发 散 ;
n1
如果有p1, 使得n l i mnpun存在,
则级数 un收敛.
二、典型例题
例1 判断级数敛散性 :
(1)
n1
nn
n1 (n 1)n;
nnn nn (n 1 )n
n
nn (1 1 )n ,
n2
ln i (m 1n 1 2)nln i [m 1 (n 1 2)n 2]n 1e0 1;
1
limnn
1
limxx
expli{m1lnx}
n
x
x x
n1
则 称 x0为 级 数un(x)的 收 敛 点 , 否则称为发散点.
n1
函 数 项 级 数 u n ( x ) 的 所 有 收 敛 点 的 全 体 称 为 收 敛 域 , n 1
所 有 发 散 点 的 全 体 称 为 发 散 域 .
(3) 和函数
在 收 敛 域 上 ,函 数 项 级 数 的 和 是 x的 函 数 s(x),
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件: ln i mun 0.
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
同济高数第十一章
• 函数与极限 • 导数与微分 • 导数的应用 • 不定积分 概念
函数定义
函数是数学上的一个概念，它是 一种特殊的映射关系，将一个集 合的元素按照某种规则映射到另 一个集合的元素。
函数的表示方法
函数的表示方法有多种，包括解 析法、表格法和图象法等，其中 解析法是用数学表达式来表示函 数关系。
函数的单调性与极值
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某个区间内的 增减性。如果函数在某个区间内单调递 增，则该函数在该区间内的导数大于等 于零；如果函数在某个区间内单调递减 ，则该函数在该区间内的导数小于等于 零。
VS
函数的极值
函数的极值是指函数在某个点的值大于或 小于其邻近点的值。如果函数在某个点的 左侧导数大于零，右侧导数小于零，则该 点为函数的极大值；如果函数在某个点的 左侧导数小于零，右侧导数大于零，则该 点为函数的极小值。
03
导数的应用
中值定理与洛必达法则
中值定理
中值定理是导数应用中的一个重要定理，它指出如果函数在闭区间上连续，开区间上可导，则在开区 间内至少存在一点，使得该点的导数等于函数在区间端点处的函数值之差除以区间的长度。这个定理 在研究函数的性质和解决某些问题时非常有用。
洛必达法则
洛必达法则是求极限的一种重要方法，特别是处理分式函数的极限问题。如果一个分式函数的极限为 零，并且分子和分母的导数都存在且分母的导数不为零，则可以将分子和分母分别求导后再求极限， 这个法则称为洛必达法则。
导数的计算
总结词
导数的计算是理解导数概念和运用其解决问题的基础。
详细描述
通过求导公式、链式法则、乘积法则和商的求导法则等，可以计算给定函数的导数。掌握导数的计算方法对于理 解函数的性质、研究函数的极值和优化问题等具有重要意义。
高等数学下册 第十一章 综合练习题答案
第十一章自测题参考答案一、填空题： 1.()⎰Γ++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量2.()⎰⎰∑++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量3.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()⎰⎰101,dy y x f dx ， ()⎰⎰-110,dy y x f dx ， 09.()⎰-Lds x x y x P 22,二、选择题：1.C2.C3.A4.A5.D 三、计算题：1.解 由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以⎰Lds x 2=⎰Lds y 2=⎰Lds z 2，故⎰L ds x 2=()⎰++ds z y x 22231=3223223131a a a ds a L ππ=⋅=⎰. 2.解 原式=()[](){}⎰+---π20sin cos 1cos 12dt t t t()⎰+=π202sin sindt t t =π202sin 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =π 3.解 记222:y x a z S --=，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+原式=()dxdy y z x z y x a y x D222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--++⎰⎰ =()⎰⎰--⋅--++Ddxdy yx a y x a y x a2222221注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知⎰⎰--Ddxdy yx a x 222=⎰⎰--Ddxdy yx a y 222=0，所以原式=⎰⎰Ddxdy a=2aa π⋅=3a π.4.解 利用高斯公式原式=()⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 2其中Ω为S 所围成的空间区域。
由Ω关于坐标平面的对称性知⎰⎰⎰Ωxdxdydz =⎰⎰⎰Ωydxdydz =0，所以，原式=⎰⎰⎰Ωzdxdydz 2=⎰⎰⎰+1222y x D zdz dxdy xy=()⎰⎰--xyD dxdy y x 221=()⎰⎰-12201ρρρθπd d=2412ππ=⋅5.解 原式=()()[]()⎰+--π202222sin cos 1cos 1dt t a t a t a=()⎰-π20253cos 12dt t a =⎰π20253sin 8dt at=du u a⎰π53sin 16=315256a 6.解 ()()()()()x f y x Q y x f e y x P x -=+=,,,要使曲线积分与路径无关，当且仅当xQ y P ∂∂=∂∂，即()()x f x f e x '-=+ 解此微分方程可得()x xe Cex f 21-=-，又()210=f ，所以C =1,故()x x e e x f 21-=- 现在计算从()0,0A 到()1,1B 的曲线积分的值.由于积分与路径无关，故选取有向折线________CB AC +进行积分，其中()0,1C 。
高等数学 课后习题答案第十一章
习题十一1．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0L P x y x =⎰其中P (x ,y )在L 上连续． 证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d bLaP x y x P x,x=⎰⎰，其中P (x ,y )在L 上连续．证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．故()(),d ,0d bL a P x y x P x x=⎰⎰3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰Lx y x，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)d L xy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)d d L y x x y +⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧； (4)()()22d d Lx y x x y yx y +--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；(5)2d d d x x z y y z Γ+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧； (6)()322d 3d ++-⎰x x zy x y z Γ，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)d d d L x y y z -+⎰，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)()()222d 2d L x xy x y xy y-+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩ L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a )故()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t tRt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π．故 ()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π22π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()032210314127334292d 87d 1874874t t t t t tt tt ⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()122421123541222d 224d 1415x x x x x x x xxx x x x--⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰4．计算()()d d Lx y x y x y ++-⎰，其中L 是(1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； (4)曲线x =2t 2+t +1,y =t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x y y y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且L 1：1x y y =⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ 从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x y x y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ 5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t t k b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6．计算对坐标的曲线积分：(1)d Lxyz z⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；(2)()()()222222d d d Lyz x z x y x y z-+-+-⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos 2sin 22sin 2x t y t z t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π故：2π2π2202π202π0222d cos sin sin cos d 2222sin cos d 42sin 2d 1621cos 4d 1622π16xyz z t t t t t t t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x t y t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233yz x z x y x y zt t t t tt t tt tΓ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y zy z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰7．应用格林公式计算下列积分：(1)()()d d 24356+-++-⎰x y x y x y Γ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x yx y x xy x y x x y ++--⎰，其中L 为正向星形线()2223330x y a a +=>；(3)()()3222d d 2cos 12sin 3+--+⎰L x y xy y x y x x y ，其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π2,1)的一段弧；(4)()()22d d sin Lx yx y x y --+⎰，L 是圆周22y x x =-上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)()()d d e sin e cos xx Lx yy my y m +--⎰，其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax上半部分的路线（a 为正数）．图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Q x ∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ，则2cos 2sin 2e xPx x x x y y ∂=+-∂， 2cos 2sin 2e xQx x x x y x ∂=+-∂．从而P Q y x ∂∂=∂∂，由格林公式得． ()()222d d cos 2sin e sin 2e d d 0++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x x LD x yxy x xy x y x x y Q P x y x y(3)如图11-5所示，记OA ，AB ，BO 围成的区域为D ．（其中BO =-L ）图11-5P =2xy 3-y 2cos x ，Q =1-2y sin x +3x 2y 2 262cos Pxy y x y ∂=-∂，262cos Q xy y x x ∂=-∂ 由格林公式有：d d d d 0L OA AB D Q P P x Q y x y x y -++∂∂⎛⎫-+== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π21220012202d d d d d d d d ππd d 12sin 3243d 12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰LOA AB OA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x yy y y y y(4)L 、AB 、BO 及D 如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d ++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO D Q P P x Q y x y x y而P =x 2-y ，Q =-(x +sin 2y )．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x ，即，0∂∂-=∂∂Q P x y于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264L LBA OB P x Q y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x xy x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x Py m y ∂=-∂，e cos x Q y x ∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+= ⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m aP x Q y P x Q y m a xm m m a xm a8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x =a cos 3t ，y =a sin 3t ； (2)双纽线r 2=a 2cos2θ； (3)圆x 2+y 2=2ax ． 解：(1) ()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t a t t t a t t t a tt t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得 cos cos 2x a θ=sin cos 2y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y xa a a θθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为 cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y x a a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰ 9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (1)()()()()1,10,0d d x y x y --⎰；(2)()()()()3,423221,2d d 663x yxy y x y xy +--⎰；(3)()()1,221,1d d x y x x y -⎰沿在右半平面的路径；(4)()()6,81,0⎰沿不通过原点的路径；证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x ∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy y y ∂=-∂，2123Q xy yx ∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x yxyy x y xy y xy y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Q y x ∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P =，Q =P Q y x ∂∂=∂∂分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,8101,0801529x y=+⎡=+⎣=⎰⎰⎰10．验证下列P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x ,y )的全微分，并求这样的一个函数u (x ,y )：(1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ． 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ． 2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x yx y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Q x y x ∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x yx y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Q x xy y x ，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyy y y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos Px y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Q y x x yx ∂=-∂， 有P Q y x ∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰11．证明：22d d x x y yx y ++在整个xOy 平面内除y 的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G因此22d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦ 知()()221ln ,2u x y x y =+．12．设在半平面x >0中有力()3kF xi yj r =-+构成力场，其中k为常数，r =，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关． 证：场力沿路径L 所作的功为．33d d L k k W x x y y r r =--⎰ 其中3kx P r =-，3kyQ r =-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且 53(0)P kxy Q x y r x ∂∂==>∂∂因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．13．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x yx y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x yx y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号． 14．计算下列对坐标的曲面积分： (1)22d d x y z x y∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x ,y ,z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧；(4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰，其中Σ是平面x =0,y =0,z =0,x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰，其中Σ为曲面22z x y =+与平面z =h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向； (6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x yy xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：222z R x y =---，下侧，Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．()()()()()()()()()()22222222π42222002π222222222002π35422222222200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d d 81d d 1cos421612422π1635xyD RR R xy z x y x y x yR x y r r rR r R r R R r r R R R r R R r R r R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=----=---=-⋅-⎡⎤+--⎣⎦⎡⎤=----+---⎣⎦=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：21x y =-(y ,z )∈D yz，故23202d d 1d d d 1d 31d yzD x y z y y zz y yy y∑=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：21y x =-(x ,z )∈D xz， 故23202d d 1d d d 1d 31d xzD y z x x z xz x xx x∑=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：120120d d d d d d 231d 61d π643π2z x y x y z y z xx x x x∑++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-=⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为1cos 3α=，1cos 3β-=，1cos 3γ=，图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x yx y z x yx y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1，故()()123441100d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x ∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω， P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ． 由高斯公式有()()()()()22200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aaaaaaay y z x z x x yyxz x z P Q R x y z x y z x y zx y x y z x y x a yx y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15.设某流体的流速V =(k ,y ,0)，求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量. 解：设球体为Ω，球面为Σ，则流量3d d d d d d d 432d d d π2π33k y z y z xP Q x y z x y x y z ∑ΩΩΦ=+∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂⎝⎭==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（由高斯公式）16．利用高斯公式，计算下列曲面积分：(1)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中Σ为平面x =0，y =0，z =0，x =a ，y =a ，z =a 所围成的立体的表面的外侧；(2)333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中Σ为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧； (3)()()2232d d d d d d 2xz y z z x x yxy z xy y z ∑++-+⎰⎰，其中Σ为上半球体x 2+y 2≤a 2，0z ≤的表面外侧；(4)d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中Σ是界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2=9的整个表面的外侧；解：(1)由高斯公式()()22204d d d d d d d 2222d 6d 6d d d 3aaax y z y z x z x yvx y z vx y z x v x x y za ∑ΩΩΩ++=++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对称性(2)由高斯公式：()3332222ππ405d d d d d d d 3d 3d d sin d 12π5ax y z y z x z x yP Q R v x y z v x y z r ra ∑ΩΩθϕϕ++∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)由高斯公式得 ()()()2232222π2π222024π05d d d d d d 2d d d d sin d 2πsin d d 2π5aaxz y z z x x yxy z xy y z P Q R v x y z v z x y r r rr ra ∑ΩΩθϕϕϕϕ++-+∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=++=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)由高斯公式得： 2d d d d d d d 3d 3π3381πx y z y z x z x yP Q R v x y z v∑ΩΩ++∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭==⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：(1)d d d y x z y x zΓ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2，x +y +z =0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y zyz x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2=2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；(4)22d 3d d +-⎰y x x y z zΓ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2=9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d πy x z y x zR Q Q P P R s y z x y z x ss a a Γ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ的面积为（是一个边长为2的正六边形）；Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n ．由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d23292x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡+----=--⎢⎣=++===-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑18．把对坐标的曲线积分()()d d,,LP x Q yx y x y+⎰化成对弧长的曲线积分，其中L为：(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；(2)沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)；(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1)．解：(1)L的方向余弦πcos cos cos42αβ===，故()()d d,,dLP x Q yx y x yP x Qs++=⎰⎰(2)曲线y =x 2上点(x ,y )处的切向量T ={1,2x }．其方向余弦为cos α=，cos β=故()()d d ,,d 2,,LP x Q yx y x y P x xQ x y x y s++=⎰⎰(3)上半圆周上任一点处的切向量为⎧⎨⎩其方向余弦为cos α=cos 1x β=-故()()()()()d d ,,d ,,1LLP x Q yx y x y s Q x y x y x +⎤=+-⎦⎰⎰ 19．设Γ为曲线x =t ，y =t 2，z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分d d d P x Q y R z Γ++⎰化成对弧长的曲线积分．解：由x =t ，y =t 2，z =t 3得d x =d t ，d y =2t d t =2x d t ，d z =3t 2dt =3y d t ，d s t =．故d cos d d cos d d cos d x s y s z s αβγ======因而d d d P x Q x R x s ΓΓ++=⎰⎰20．把对坐标的曲面积分 ()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：(1) Σ是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧； (2) Σ是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧．解：(1)平面Σ：326x y ++=上侧的法向量为n ={3，2，，单位向量为n 0={35，25，}，即方向余弦为3cos 5α=，2cos5β=，cos γ=．因此：()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R sP Q R ∑∑∑αβγ++=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)Σ：F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2-8=0，Σ上侧的法向量n ={ F x ，F y ，F z }={ 2x ，2y ，1}其方向余弦：cos α=cos β=cos γ=故()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R s∑∑∑αβγ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
《高数》第十一章-习题课：级数的收敛、求和与展开
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
4
例1. 若级数
均收敛 , 且
证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n bn a n (n 1 , 2 , ), 则由题收敛
(1)n
n0
x2n ,
x (1,1)
arctan
x
x
01
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
25
f
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
P257 题3. 设正项级数 和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,存在
N
>
0, 当n
>N
时
又因
2( un2 vn2 )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1
2
2
28
作业
P257 6 (2); 7 (3); 9(1) ; 10 (1) ;
高数下第十一章曲线积分与曲面积分
L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0
4 1 x3dx 1. 0
整理课件
y x2
B(1,1)
A(1,0)
23
(2) 化为y的 对积. 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
解 记 L所 围 成 的 闭 区 域 为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则 当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
整理课件
37
y
(1) 当(0,0)D时,
L
xdy ydx
D
由格林公式知 L x2 y2 0 o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作 位 于 D 内 圆 周 l:x 2 y 2 r2 , y L
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
整理课件
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
20
例2 计算y2dx,其中 L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行 的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
整理课件
28
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2
同济高等数学第十一章学习指导及习题详解1
694第十一章 曲线积分与曲面积分一、预习导引第一节 对弧长的曲线积分1. 阅读第十章第一节非均匀平面薄片的质量部分，回答下列问题：（1）你能用这种方法求曲线形构件L 的质量吗？（2）如何分割曲线L ？（3）怎样确定极限过程？2. 在曲线积分s y x f L d ),( ⎰中，积分变量y x ,之间有关系吗？它们满足怎样的关系式？曲线积分⎰L s d 表示什么？仔细揣摩本节的定义、定理及证明，从中找到答案.第二节 对坐标的曲线积分1. 阅读“变力沿曲线所作的功”部分时，注意体会以下两点：（1） 怎样把“变力沿曲线段所作的功”转化为“恒力沿直线段所作的功”.（2） 讨论变力沿曲线所的作功时，为什么要注意方向？2. 如何将对坐标的曲线积分转化为定积分？积分上下限怎样确定？仔细阅读本节第二部分的定理，从中找出答案.3. 阅读本节第三部分，找出两类曲线积分之间的联系.第三节 格林公式及其应用1. 证明格林公式时，首先要考虑如何建立二重积分与曲线积分之间的联系？你会建立它们之间的关系吗？如果不会，不妨回顾一下二重积分、曲线积分的计算方法，它们都可以归结为定积分的计算，因此定积分可以作为纽带建立二重积分与曲线积分之间的联系，请你695 动手试试.2. 证明格林公式时，为什么设D 既是X 型又是Y 区域?对于一般由分段光滑的闭曲线围成的区域定理1成立吗？阅读定理1的证明，你会找到答案.3. 在复连通域上格林公式成立吗？阅读本节例4，给出结论.4. 在单连通域上，曲线积分⎰+L y Q x P d d 与路径无关的等价条件是什么？阅读本节第二部分，把这些等价条件列出来.5. 如何判断表达式()(),d ,d P x y x Q x y y +是某个二元函数()y x u ,的全微分？怎样求这个二元函数？这样的函数唯一吗？阅读本节第三部分，从中找出答案.第四节 对面积的曲面积分1. 阅读本章第一节曲线形构建的质量部分，回答下列问题：（1） 用这种方法求曲面形构件的质量.（2） 如何分割曲面∑？（3） 如何确定极限过程?2. 在曲面积分⎰⎰∑S z y x f )d ,,(中，积分变量z y x ,,之间有关系吗？它们满足怎样的关系式？曲面积分⎰⎰∑dS 表示什么？仔细揣摩本节第一部分，从中找出答案.第五节 对坐标的曲面积分1. 有向曲面是怎样定义的？在有向曲面∑上取一小块曲面S ∆，如何将S ∆投影到xOy 面上？阅读本节第一部分的前三段，从中找出答案，并写出S ∆在xOz yOz ,面上的投影.2. 阅读“流向曲面一侧的流量”部分时，注意体会以下两点：（1） 怎样把“流速为),,(z y x v 的流体从曲面一侧流向另一侧696 的流量”，转化为“流速为常向量的流体从平面的一侧流向另一侧的流量”.（2）讨论“流向曲面一侧的流量”时，为什么要注意方向？3. 仔细阅读曲面积分的定义，判断下列三种情况的结论是否正确，并说明原因.（1） 若0=∑),(:z y G ，则0=⎰⎰∑z y z y x P d )d ,,(； （2） 若0=∑),(:z x H ，则0=⎰⎰∑x z z y x Q d )d ,,(； （3）若:(,)0F x y ∑=，则0=⎰⎰∑yx z y x R d )d ,,(.4. 如何将对坐标的曲面积分转化成二重积分？积分区域怎样确定？仔细阅读本节第二部分，从中找出答案.（4）阅读本节第三部分，找出两类曲面积分之间的联系.第六节 高斯公式 *通量与散度1. 证明高斯公式时，首先要考虑如何建立三重积分与曲面积分之间的联系？不妨回顾一下三重积分、曲面积分的计算方法，它们都可以归结为二重积分的计算，因此可以通过二重积分建立三重积分与曲面积分之间的联系，你不妨动手试试.2. 证明高斯公式时，为什么要求穿过Ω内部且平行于z 轴的直线与Ω的边界曲面∑恰好有两个交点？对于一般由分段片光滑的闭曲面围成的区域，定理1成立吗？仔细阅读定理1及证明，从中找出答案.3. 你知道格林第一公式和拉普拉斯算子吗？如果不清楚，请阅读本节例3，写出格林第一公式和拉普拉斯算子.4. 在二维单连通域上，曲面积分y x z y x R x z z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,(⎰⎰∑++ 与所取曲面∑无关而只取决于∑的边界曲线的充分必要条件是什么？阅读本节定理2.。
同济大学高等数学1习题课10
x
f (t)(x t)dt.
00
0
三、计算下列不定积分
1. se c3 xtan5 xdx
2.
a2 sin2
x
1
b2 cos2
dx, x
3.
dx .
x(2 x10)
4.
x
x8
dx 1
5.
arctan x x2(1 x2
dx )
6．
23x dx
23x
7．
x3 dx 4 x2
8．求 x
xt
[ f (u)du]dt
x
f (t)(x t)dt.
00
0
证明:0x[0t
f
t
(u)du]dt t0
f
(u)du
x
x
td[
t
00
0
f
(u)du]
x
x
x0 f (u)du0 tf (t)dt
x0x f (t)dt0xtf (t)dt
x
x
0 xf (t)dt0 tf (t)dt
0x f (t)(xt)dt.
1
dt 32t
t
2
d(t 1) 22 (t 1)2
arcs
i
t n
1
C
.
arcs
i
x n
1C
.
2
2x
倒代换 x 1 适用以下各种不定积分： t
x
1 dx, x2 a2
1 dx, x2 x2 a2
x2 a2 x4
d
x,
x
1
dx,
ax2 bxc
a
2 x4
x
2
高数答案第11章
第十一章 曲线积分与曲面积分 (09级下学期用) § 1 对弧长的曲线积分 1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，()=⎰Lds y x f ,（ B ）()⎰1,L ds y x f C. ()⎰-1,2L ds y x f D.ABC 都不对2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,则⎰+Lyx ds =( C )24 D. 223、有物质沿曲线L ：()103,2,32≤≤===t t z t y t x 分布，其线密度为,2y =μ，则它的质量=m ( A )++1421dt t t t B.⎰++14221dt t t tC.⎰++1421dt t t D.⎰++1421dt t t t4．求,⎰Lxds 其中L 为由2,x y x y ==所围区域的整个边界解：,⎰Lxds =()22155121241111+-=++⎰⎰xdx dy yy 5．,ds y L⎰其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x解：原积分=()()222sin 4sin 442022'2441-==+=⎰⎰⎰a d ad r r r ds y L χππθθθθθ6．⎰+Lds y x ,22其中L 为()022>=+a axy x原积分222cos 2a adt t a ==⎰π7．,2⎰Lds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线解：将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是L 的参数方程：t a z t a y t a x sin ,sin 2,cos 2===，又adt ds =原积分=⎰=ππ203222cos 2a adt t a 8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标33,30===⎰∞-dt e M dt e ds tt，523cos 100==⎰∞-dt e t e Mx t t ，21,5100=-=z y§2 对坐标的曲线积分 一、选择题1.设L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x P ,关于y 是偶函数 时，()=⎰Ldx y x P ,( D) A.0 B. ()⎰1,2L dx y x P C.()⎰-1,2Ly x P 都不对2．设L 为1=+y x 的正向，则=++⎰Ly x ydyxdx 3．L 为222a y x =+的正向，=+--+⎰Lyx dyy x dx y x 22)()(( B ) A.2ππ C.0 D.π二、计算1．()()dy y x dx y x L⎰-++2222，其中L 由曲线()2011≤≤--=x x y 从()0,2A 到()0,0O 方向解：()1,1B 01:,:;12:,2:_______→=→-=x x y BO x x y AB=I =+⎰⎰_______BOAB ()()()()()()34122012212222-=++---+-+⎰⎰dx x xdx x x dx x x2．[]d y y x x xy y dx y x L)ln((2222+++++⎰ 其中L 是正向圆周曲线222a y x =+解： 由奇偶对称性022=+⎰Ldx y x ，L ：ππ→-==:,sin ,cos t t a y t a x=I ()()=++⎰-dt t a t t a dt t t acos 1ln cos sin cos sin 3224πππππ4cos sin 4224a dt t t a =⎰-3．()⎰Γ-+++dz y x ydy xdx 1其中为从点()1,1,1A 到()4,3,2B 的有向线段解：Γ方程：13,12,1+=+=+=t z t y t x ，=I ()136141=+⎰dt t三、过()0,0O 和()0,πA 的曲线族()0sin >=a x a y ，求曲线L 使沿该曲线从()0,0O 到()0,πA 的积分()()dy y x dx y L+++⎰213的值最小解：()()[]3033344cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +-=+++=⎰ππ()()()0811,014''2'>=⇒=⇒=-=I a a a I 。
高等数学课件--D11_习题课
y O
r
t
ax
d s x2 y2 d t
2013-8-9 同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
P244 3(3). 计算
其中L为摆线
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示:
原式 a
2
0 t sin t d t
2π 0
2π
a t cos t sin t
D
上页
O
y
结束
x
下页 返回
2 I (4 x 2 y 3z )dS 3
y
2 ( x y 6) dxd y
D
O
1 D
1x
12 dxd y
D
24
D 的形心
x y0
2013-8-9
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
二、曲面积分的计算法
2 2 2
目录 上页 下页
2
结束
同济版高等数学课件
返回
例8. 计算曲面积分
中 是球面 x 2 y 2 z 2 2 x 2 z .
解:
I
( x 2 y 2 z 2 ) 2x y 2 y z dS
(2 x 2 z ) d S 2 ( x z ) y dS
(2) 确定积分上下限
练习题: P244
2013-8-9
题 3 (1), (3), (6)
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
解答提示: P244 3 (1)
计算 提示: 利用极坐标 , 其中L为圆周
ds
原式 =
高等数学教学课件：w-11-习题课
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
高等数学
§11 习题课
(2)幂级数的运算
a.代数运算性质
b.和函数的分析运算性质
幂级数 an xn 的和函数s( x) 在收敛区间 n0
( R, R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
幂级数 an xn 的和函数s( x)在收敛区间 n0
( R, R)内可导, 并可逐项求导和求积.
高等数学
§11 习题课
6、幂级数展开式
(1) 直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
( x)cos nxdx, ( x)sin nxdx,
(n 0,1,2,) (n 1,2,)
高等数学
§11 习题课
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x) 是以2 为周期的周期函数.如果它满足 条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级 数收敛,并且
(1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2) 当x 是 f ( x)的间断点时,
收敛于
f (x
0)
f (x
0)
;
2
(3) 当 x为端点 x 时,收敛于 f ( 0) f ( 0) .
2
高等数学第六版(同济版)第十一章复习资料
第十一章曲线积分与曲面积分引入：在上一章中，我们研究了二元函数在平面有界闭区域上的二重积分和三元函数在空间有界闭区域上的三重积分，我们知道：重积分的计算都可以化成定积分来完成.这一章给大家介绍二元函数在平面曲线上的平面曲线积分、三元函数在空间曲线上的空间曲线积分以及三元函数在空间曲面上的曲面积分，这些积分的计算可由定积分或重积分来完成第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的相关概念 1.引例：曲线形构件的质量假设曲线形细长构件在空间所处的位置在平面内的一段曲线弧上，它的端点为，曲线弧上任一点的线密度为，求曲线形构件的质量 (1). 大化小：在曲线弧任取一组点将分成个小弧段，第个小弧段的质量为，则 (2). 常代变：记小弧段的长度为si，在小弧段上任取一点，则有， (3). 近似和： (4). 取极限：令为个小弧段的长度的最大值，有抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对弧长的曲线积分 2. 对弧长的曲线积分的定义：设函数在平面上的一条光滑曲线上有界，在上任意插入个点将分成个小弧段，设第个小弧段的长度为si，在其上任取一点，作乘积，有和，，当时，若极限总存在，则称此极限值为函数曲线弧对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即，其中叫做被积函数，叫做积分弧段，叫做弧长微元. 注：1°.若函数在曲线弧上连续，则曲线积分存在2°.第一类曲线积分与积分弧段的方向无关，即事实上：，， . 段的长si与曲线弧的方向无关，恒为正值3°. 定积分不是第一类曲线积分的特例，因为的方向有关4°. 若是闭曲线，则在上的第一类曲线积分为：5°. 若，且积分弧段的长为，则6°. 可推广：三元函数在空间曲线上的第一类曲线积分： 3. 物理意义：可求长的物质曲线的质量，即在引例中，二、对弧长的曲线积分的性质：假设各个曲线积分都存在 1. 线性性质：设、是常数，则2.积分弧段的可加性：若积分弧段可以分成两段光滑曲线弧和，则3.不等式性质：若在上，，则.4. 绝对值不等式性质：三、对弧长的曲线积分的计算：化曲线积分为定积分定理：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为：且，则曲线积分存在，、在且注：1°.若曲线弧的方程为，则的方程为：，有 2.若曲线弧的方程为，则的方程为：，有3°.可推广：若空间曲线弧的参数方程为，则例1.计算，其中是抛物线上点与点之间的一段弧，解：由于曲线弧的参数方程为因此例 2. 计算半径为、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量(设线密度).解：建立坐标系如图，则所求转动惯量，于是取的参数方程为. 例3.计算曲线积分，其中为螺旋线、、于从到的一段弧.解： . 第二节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的相关概念 1. 引例:变力沿曲线所作的功设一质点受变力的作用,在平面内从点沿光滑曲线弧移动到点其中和在上连续，求移动过程中变力所作的的功. (1). 大化小：在曲线弧任取一组点将分成个小弧段，变力沿第个小弧段所作的功为，则 (2). 常代变：有向小弧段可用有向线段来代替在小弧段上任取一点，则有， (3). 近似和：(4). 取极限：令为个小弧段的长度的最大值，有抽取这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对坐标的曲线积分 2.对坐标的曲线积分的定义：设函数、在平面内的从点到点的一条有向光滑曲线弧上有界，在上沿的方向任意插入个点将分成个有向小弧段()，，，在其上任取一点，作乘积与和式与，当个小弧段的直径最大值时， (1). 若极限总存在，则称此极限值为函数在有向曲线弧的曲线积分，记作(2). 若极限总存在，则称此极限值为函数在有向曲线弧的曲线积分，记作其中、叫做被积函数，叫做积分弧段. 以上两个积分也称为第二类曲线积分，有时也写成注：1°.若、在上都连续，则对坐标的曲线积分、都存在2°.若为空间曲线弧 , 则有3°.对坐标的曲线积分的物理意义：变力沿曲线所做的功二、对坐标的曲线积分的性质 1. 线性性质：设、是常数，则 2.积分曲线的可加性：若有向曲线弧段可以分成两段光滑的有向曲线弧和，则3.方向性：记表示的反向弧，则. 注：定积分是对坐标的曲线积分的特例三、对坐标的曲线积分的计算：化曲线积分为定积分定理：设函数、在有向曲线弧上有定义且连续，的参数方程为：当参数单调的由变到时，点从的起点运动到终点.、在或且，则曲线积分存在，且注：1°.与的大小不定，与积分曲线弧的方向有关2°.若曲线弧的方程为，则的参数方程为：，有其中参数对应的起点，对应的终点3°.若曲线弧的方程为，则的参数方程为：，有其中参数对应的起点，对应的终点4°.可推广：若空间有向曲线弧的参数方程为，则，其中对应的起点，对应的终点. 四、两类曲线积分之间的联系设函数、在有向曲线弧上连续，的参数方程为：，起点终点分别对应参数和，假设.、在，则对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的联系为：，其中、是曲线弧的切向量的方向余弦. 推导：由对坐标的曲线积分的计算公式，有，又曲线弧的切向量的方向余弦为，，由对弧长的曲线积分的计算公式，有，从而有注：可推广到两类空间曲线积分之间的联系：例1.计算，其中为抛物线上从点到点的一段弧解法(一)：取为参数，则，，；，, 于是 . 解法(二)：取为参数，则，,于是 . 例2.计算，其中为： (1).半径为、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；(2).从点沿轴到点的直线. 解： (1). 取的参数方程为：，，于是 . (2). 的方程为：，，于是例3.计算，其中为：注：相同的函数在同一起点沿不同路径到同一终点的第二类曲线积分值可以不同 (1).抛物线上从到的一段弧； (2).抛物线上从到的一段弧； (3).有向折线，这里、、依次是点，，. 解： (1). 的方程为：，，于是(2). 的方程为：，，于是(3). ，，；，, 于是注：相同的函数在同一起点沿不同路径到同一终点的第二类曲线积分值可以相同. 例4.计算，其中是从点到点的直线段解：直线段，化为常数方程得，，于是第三节格林公式及其应用引入：在一元函数积分学中，我们知道牛顿—莱布尼兹公式分和原函数(不定积分)联系起来，这节课我们来学习联系二元函数分的公式—格林公式，通过它可以把平面有界闭区域D上的二重积分和区域D的边界曲线上的曲线积分联系起来. 一、格林公式 1.单连通区域：若平面区域D内任一闭曲线所围成的部分都属于，则称D 区域，否则称为复连通区域注：单连通区域就是不含洞或点洞的区域，复连通区域就是含洞或点洞的区域. 2.闭曲线的正向：若观察者沿平面区域的边界曲线的某一方向行走时，区域D在他近处的那部分总在他左侧，则称这一方向为曲线的正向. 3.格林公式：定理：设闭区域D由分段光滑的曲线围成，若函数及在D 偏导数，则有，其中是的取正向的边界曲线注：1°.对于复连通区域，格林公式右端曲线积分应为沿区域的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向2°.若，则有平面闭区域D的面积公式 .这是因为3°.若取负向，则有. 例1.求椭圆所围成图形的面积. 解：由格林公式有 . 例2.设是任意一条分段光滑的闭曲线，证明证明：令，于是例3.计算，其中是以，，为顶点的三角形闭区域解：令，于是 . 例4. 计算，其中是一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，方向为逆时针方向解：记闭曲线所围成的区域为D，当时，有，， . (1).当时，由格林公式得(2).当时，以原点为心、以适当小的作位于D内的圆周.记和所围成的闭区域为对复连通区域应用格林公式，有从而有，，即 ,其中的方向为逆时针方向. 设的参数方程为，参数从到，于是 . 二、平面上曲线积分与路径无关的条件定理2.若函数、在单连通区域互等价： (1).沿区域内任意光滑或逐段光滑闭曲线，有 (2).曲线积分与路径无关，只与位于内的起点和终点有关 (3).在内存在一个函数,它的全微分为，即. (4).对内任意一点 . 注：已知，则可按如下公式求出：或推导：由于与路径无关，取，有取，有例5 在右半平面内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数. 解：令，，有，从而是某一函数的全微分，且曲线积分与路径无关.取积分路径如图，则 . 例6.验证：在整个面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数.解：令，，有，从而在整个平面内是某一函数的全微分求法(一)：由于曲线积分与路径无关.取积分路径如图，则 . 求法(二)：因为满足，从而有，其中是的待，又已知面，故，即，于是， . 第四节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的相关概念 1.引例：曲面形构件的质量假设曲面形构件在空间所处的位置是一张有界光滑曲面上，其上任一点的面密度为，求这曲面形构件的质量 (1). 大化小：将曲面片任意分成个小曲面块，第个小曲面块，则 (2). 常代变：记小曲面块的面积为，在小曲面块上任取一点，则有， (3). 近似和：(4). 取极限：令为个小曲面块的长度的最大值，有抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对面积的曲面积分 2.光滑曲面：若曲面上各点处都有切平面，且当点在曲面上连续移动时，动，则称为光滑曲面 3.对面积的曲面积分的定义：设函数在空间光滑曲面上有界，把任意分成块小曲面，也记是第块小曲面块的面积，在上任取一点，作乘积，有和式，记为限总存在，则称此极限值为函数在曲面或第一类曲面积分，记作，其中叫做积分曲面注：1°.若在光滑曲面上连续，则曲面积分存在2°.对面积的曲面积分与积分曲面的方向无关，因为总为正数. 3°.对面积的曲面积分的物理意义：物质曲面的质量二、对面积的曲面积分的性质 1.线性性质：设为常数，则 . 2.积分曲面的可加性：若分片光滑曲面分成两片光滑曲面和，则 . 三、对面积的曲面积分的计算定理：设光滑曲面：在面上的投影区域为，且函数在上具有一阶连续偏导数，若函数在上连续，则对面积的曲面积分且注：若的方程为，则若的方程为，，则例1.计算，其中是球面被平面截出的顶部.解：的方程为，在面上的投影区域Dxy为圆域：，又，于是，设，则Dxy：，故 . 例2.计算，其中是由平面及界曲面解：设，，，，则，于是，由于在、以及上被积函数，故面上的投影区域为：，在的方程为：，于是且 . 第五节对坐标的曲面积分一、有向曲面的相关概念 1.双侧曲面：在光滑曲面上任取一点，过点的法线有两个方向，选定一个方向为正向，当动点在曲面上连续变动时，法线也连续变动.若动点从出发沿着曲面上任意一条不越过曲面边界的封闭曲线又回到时，法线的正向与出发时的正向相同，则称为双侧曲面，否则称为单侧曲面注：单侧曲面的典型例子：莫比乌斯带 2.有向曲面：称曲面的法向量指向的一侧为曲面取定的侧，称取定侧的曲面为有向曲面. 3.方向不同的曲面在坐标面上的投影面积在有向曲面上任取一小块曲面，在面上的投影区域的面积为上各点处的法向量与z轴的方向余弦不变号.规定在面上的投影注：规定曲面的上侧、前侧、右侧为正侧. 二、对坐标的曲面积分的相关概念 1.引例: 稳定流体通过曲面一侧的流量设稳定流动且不可压缩的流体(假定密度为1)的流速场为，求在单位时是流速场中的一片曲面. 函数、以及在上连续，间内流向指定侧的流体的质量，即流量 (1).简单情形：是以平面区域，面积为，流体在上各点的流速为常向量设为的单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为、斜高为的斜柱体①．当时，斜柱体的体积为，从而通过流向流量为②．当时，显然通过流向所指一侧的流量为，即③．当时，有，仍称之为流体通过流向它是流体通过闭区域流向所指一侧的流量因此，无论为何值，流体通过流向所指一侧的流量均为 (2). 一般情形：流体在空间光滑曲面上各点的流速是变化的.①．大化小：将曲面片任意分成个小曲面块，也记第个小曲面块的面积为②．常代变：记小曲面块的面积为，在小曲面块上任取一点，用该点处的流速代替上其它各点处的流速，以曲面在该点处的单位法向代替上其它各点处的单位法向量，从而得到通过流向指定侧的流量为(3). 近似和： (4). 取极限：令为个小曲面块的直径的最大值，有抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对坐标的曲面积分 2. 对坐标的曲面积分的定义：设函数、以及在有向光滑曲面上有界，把任意分成个块小曲面块，也记第个小曲面块的面积为. 在面上的投影为；在面上的投影为；在面上的投影为在小曲面块上任取一点，作乘积、，有和式、、当个块小曲面块的直径最大值时， (1).若极限总存在，则称此极限值为在有向曲面标、z的曲面积分，记作 (2). 若极限总存在，则称此极限值为在有向曲面标z、的曲面积分，记作(3). 若极限总存在，则称此极限值为在有向曲面标、的曲面积分，记作其中、以及叫做被积函数，叫做积分曲面. 以上三个积分也称为第二类曲面积分，有时也写成，注：1°.若、以及在有向光滑曲面上连续，则曲面积分、、都存在2°. 对坐标的曲面积分的物理意义：流过有向曲面的流体的流量：三、对坐标的曲面积分的性质 1.对积分曲面的可加性：若有向光滑曲面可以分成两片光滑的有向曲线弧和，则2.积分曲面的方向性：记表示的反向曲面，则 . 四、对坐标的曲面积分的计算：化曲线积分为定积分定理：设有向光滑曲面：在面上投影区域为，且函数在上具有一阶连续偏导数，若函数在上连续，则对坐标的曲面积分在，且，其中由曲面的正侧外法线与z 向余弦的符号决定，时取号，时取号注：若的方程为，，则若的方程为，，则五、两类曲面积分之间的联系：设有向光滑曲面：在面上投影区域为Dxy，且函数在Dxy上具有一阶连续偏导数，若函数在上连续，则两类曲面积分之间的联系为：，同理也有，，其中、、为有向曲面上点处法向量的方向余弦，因此两类曲面积分之间的联系为： . 推导：由对坐标的曲面积分的计算公式，有曲面的法向量的方向有向为，，由第一类曲面积分的计算公式，有，从而同理可证，，于是例1.计算曲面积分，其中是长方体 . 解：把有向曲面分为如下六部分：的上侧；的下侧；的前侧；的后侧；的右侧；的左侧先计算：除了、在面上的投影为外，在面上的投影为零，因此，同理可得，，于是 . 例2.计算曲面积分，其中是球面外侧在的部分解：把分成两部分和两部分，其中的上侧；的下侧且和在面上的投影区域都是从而，设，则，于是，令，则，，当时，；时，从而例3.计算曲面积分，其中是旋转抛物面：及之间的部分的下侧解：由两类曲面积分之间的联系，有 . 在曲面上，有，，故又由于在面上的投影区域为，于是，设，则，于是 . 第六节高斯公式引入：前面我们学习了格林公式，知道通过格林公式可以将平面有界闭区域上的二重积分与其边界上的曲线积分联系起来，作为格林公式得推广，下面介绍高斯公式(也叫奥—高公式，全称奥斯特洛夫斯基—高斯公式)，通过高斯公式，可以将空间有界闭区域上的三重积分与其边界闭曲面上的曲面积分联系起来. 一、高斯公式、定理：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，若函数在上具有一阶连续偏导数，则有，或其中是的外侧曲面，是上点处的法向量的方向余弦. 注：若，则闭曲面所围成的闭区域的体积 . 例1.利用高斯公式计算曲面积分，其中为柱面面、所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧. 解：由，，，，由高斯公式得，，设，则，于是 . 例2. 利用高斯公式计算曲面积，其中为锥面介于平面、之间部分的下侧，是上点处的法向量的方向余弦解：设为平面的上侧，则和一起构成一个封闭曲面，围成区域. ，其中，，，有，. ，由高斯公式， .在面上的投影区域为，从而有，由于，再设，则. . 而，于是二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1.空间二维单连通区域 :若空间区域内任一闭曲面所围成的区域全属于，则称为空间二维单连通域空间一维单连通区域 :若空间区域内任一闭曲线总可以张成一片全属于的曲面，为空间一维单连通域注：球面所围区域既是一维也是二维单连通区域；环面所围区域是二维但不是一维单连通区域；两个同心球之间的区域是一维但不是二维单连通区域. 2.闭曲面积分为零的充要条件定理：在空间二维单连通区域由分片光滑的闭曲面所围成，设函数、在空间二位单连通区域内具有一阶连续偏导数，为积分在内恒成立. 第七节斯托克斯公式引入：斯托克斯公式是格林公式另一推广，通过斯托克斯公式，可以将曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线上的曲线积分联系起来. 一、斯托克斯公式定理：设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的正侧符合右手规则.若函数、、在连同上具有一阶连续偏导数，则有， . 或也有，. 其中是上点处的法向量的方向余弦例1.利用斯托克斯公式计算曲线积分，其中为平面标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则. 解：由，， ,,，,，，设由曲线所围成的曲面为，由斯托克斯公式得，其中、以及Dxy分别为在、以及坐标面上的投影区域例2. 利用斯托克斯公式计算曲线积分，其中用平面截立方体的表面所得的截痕，若从轴的正向看去，取逆时针方向的上侧被所围成的部分，的单位法向量为，解：取为平面即，由，由斯托克斯公式，有，其在面上的投影为Dxy，其面积为，且又的方程为，于是 . 二、空间曲线积分与路径无关的条件定理：若函数、以及在单连通区域内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题相互等价：(1).沿区域内任意光滑或逐段光滑闭曲线，有 (2).曲线积分与路径无关，只与位于内的起点和终点有关 (3).在内存在一个函数,它的全微分为，即. (4).对内任意一点，，. 例3. 验证曲线积分与路径无关，并求出函数解：，，，所以曲线积分与路径无关，因此。
同济六版高数练习册答案 第11章 级 数
第十一章 级 数§1 常数项级数1. 根据定义判断级数的敛散性，若级数收敛，求出级数的和. （1）1n ∞=∑解：11nn k S ===∑，故lim 1]n n n S →∞→∞==∞故级数发散。
（2）11(21)(21)n n n ∞=-+∑ 解：111111111111()()(1)(21)(21)2212122121221nnn n k k k S k k k k k k n =====-=-=--+-+-++∑∑∑，故111lim lim(1)2212n n n S n →∞→∞=-=+，故级数收敛。
（3）111(1)2n n n -∞-=-∑解： 11111()(1)2121()12321()2nk n n n k k S --=---⎡⎤===--⎢⎥⎣⎦--∑， 故212lim lim1()323n n n n S →∞→∞⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦，故级数收敛。
（4）111(1)5n nn -∞=+-∑ 解：11111111()1()1(1)1(1)11111155[1()][1()]55555456511()55n nk k n n nn n n k k kk k k S --===---+--==+=+=-+-----∑∑∑故11115lim lim [1()][1()]456512n n n n n S →∞→∞=-+--=，故级数收敛。
2．判断下列级数的敛散性： （1）114(1)5nn n n ∞-=-∑解：该级数为公比45-的等比级数，又415-<，故级数收敛。
（2）151()23n n n ∞=+∑ 解：因为1115151()2323n n n n n n n ∞∞∞===+=+∑∑∑，又1151,23n n n n ∞∞==∑∑是公比绝对值小于1的等比级数收敛，故151()23n n n ∞=+∑收敛。
（3）111(1)nn n∞=+∑ 解：因为11lim01(1)n n en→∞=≠+，所以级数发散。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
L
a
11
f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)] 1zx2 zy2dxdy
Dxy
(ds面元素(曲))
R (x,y,z)dxd fy [x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
(dxd面 y 元(素 投影 ))
其中 L P d Q x d L (P y co Q sco )dss
PdydQ z dzdxRdxdy
价 (2) CPd Q x d0,闭 y 曲 C D 线
命 (3) 在 D内LPdQ x d与 y 路径无
题 (4 )在 D 内U 存 (x ,y )使 d 在 u P d Q xd
6
曲面积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
定
义
n
n
f(x,y,z)d sl i0m i1f(i,i,i)si R (x,y,z)dxd l i0y im 1R (i, i, i)( Si)xy
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx x
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
14
Green公式,Guass公式,Stokes公式之间 的关系
LPdQ x d y D( Q x P y)dx或dyLQd P xd y D( P x Q y)dxdy A(M)为平面向量场
18
例1 计算
x2y2ds, 其中L为圆周 x2y2ax.
L
提示: 利用极坐标 , L:raco (s )
22
dsr2r2dad
原式 =
ax ds 2 2
a2co2sad 2a2
D
a y1(x)
f(x,y,z)d Vbdy x 2(x)dzy 2(x,y)f(x,y,z)d,(d z体 V )元
a y 1(x) z1(x,y)
f(x,y)d sbf[x,y(x)]1y2d,(d x线 s (元 曲 ))
L
a
f(x,y)d xbf[x,y(x)d ],(d x线 x (元 投 ))素 影
高等数学
第二十七讲
1
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
2
一、主要内容 （一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
3
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线 积
定联计 义系算
定联计 面 义系算 积
分
分
对坐标的
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
15
（三）场论初步
梯度
graduu iu juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
定积分
Stokes公式
曲面积分
计算
Guass公式
计算 重积分
8
积分概念的联系
n
f(M )dl i0im 1f(M ) i,f(M )点函
定积分
当R1上区[a间 ,b]时,
f(M)d bf(x)d.x
a
二重积分
当R2上区D 域时,
f(M)df(x,y)d.
D
9
曲线积分 当R2上平面L曲 时,线
16
一、曲线积分的计算法
1. 基本方法
曲线积分
第一类 第二类
( (
对弧长 对坐标
) )
转化
定积分
用参数方程
(1) 统一积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限 第二类: 下始上终
练习题: P184 题 3 (1), (3), (6) 17
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及形心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用两类曲线积分的联系公式 . (5) 利用斯托克斯公式 ;
对坐标的
曲线积分
曲面积分
4
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
P(x,y)d xQ(x,y)dy
义
Lf(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
f(M)dL f(x,y)ds.
当R3上空间曲 时,线
f(M)d f(x,y,z)ds.
三重积分
当R3上区域 时,
f(M)df(x,y,z)dV
曲面积分 当R3上曲 面时,
f(M)df(x,y,z)dS. 10
计算上的联系
f(x,y)db[y2(x)f(x,y)d]d y,(xd面元 ) 素
计 L f(x, y)ds
f[,]
2 2dt
算
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt
(与方向有关)
5
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D 上 P (x,y)Q ,(x,y)具 有 连 续 件 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
等
(1) 在D内 ,PQ y x
联 系
PdydQz dzdRxdx dy(P c oQ sco s R co)dsS
计 f(x,y,z)ds
R(x, y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdy R[xy
Dxy
与侧无关
与侧有关
7
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
Ñ LA rds r(rotA rn r)dxdy D
L(A n )d sd A id vxdy
D
推广
A(M)为空间向量场
推广
Ñ u A rd u u S r(rotA rn r)dS
(A n )d sdA id vv
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
(PcosQcos Rcos)ds
12
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
af(x )d x F (b ) F (a ) (F (x ) f(x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dxd LP yd Q x d(沿 y格L 的 林公式)正 向
13
3.三重积分与曲面积分的联系