初等数论试卷

2010年4月高等教育自学考试

一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________.

2.自然数225，226，…，240中的素数是_________.

3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________.

4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________.

5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________.

6.不定方程3x+4y=5的通解是_________.

7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________.

8.满足ϕ(n) =20的n 有多个，其中两个是_________.

9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.⎪⎭

⎫ ⎝⎛17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分)

1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解：

⎪⎩

⎪⎨⎧≡≡≡9).5(mod x 20),7(mod x 15),2(mod x

2.试求不定方程y 2+x=x 2

+y-22的所有正整数解.

3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解.

三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37

分)

1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。

2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系.

3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1.

4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a

2009年7月高等教育自学考试

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1.对于不同的整数n,最大公因数(4n-2,3n+1)将有不同的值,其可能得到的值共有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.以下各组数中,恰有一个素数和一个合数的数组是（ ）

A.101,103

B.117,119

C.131,133

D.141,143

3.设a 是整数,下面同余式必不成立的是（ ）

A.a 2≡-1(mod 4)

B.a 2≡2(mod 7)

C.a 2≡3(mod 11)

D.a 2≡-1(mod 13)

4.以下同余方程或同余方程组中,无解的是（ ）

A.6x ≡10(mod 22)

B.6x ≡10(mod 18)

C.⎩⎨⎧≡≡20) 11(mod x 8) 3(mod x

D. ⎩

⎨⎧≡≡9) 7(mod x 12) 1(mod x 5.在数201,202,203,204中不能表为两整数平方和的数共有（ ）

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1.d(2000)=____;π(200)-π(180)=____.

2.为了编制1至2000之间的素数表,只需从中删去素数2,3,…,p 的倍数,留下的数(包括2,3,…,p 自身)就全是素数.为此,最小的p 是____.

3.设n 是合数,且ϕ(n)=6,则其中一个n 是____.

4.同余方程12x ≡8(mod 44)的解是____.

5.不定方程7x+5y=22的通解是____.

6.22004被31除所得余数是____.

7.华林(Waring)问题是指____.

8.依据勒让德 (Legendre)符号的值,同余方程x 2≡69(mod 199)的解的个数是____.(注:661是素数)

三、计算题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

1.解同余方程组⎪⎩

⎪⎨⎧≡≡≡11) (mod 34x 7) (mod 13x 9) (mod 6x

2.试用高斯(Gauss)逐步淘汰法解同余方程x 2≡33 (mod 97).

3.试求方程41

-3x -⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+734x =0的实数解.

四、证明题(本大题共3小题，第1小题8分,第2小题10分,第3小题11分,共29分)

1.试证x 6+5=y 2无整数解.

2.试证形如4m-1的素数有无限多个.

3.设(a,m)=1,正整数n 使a n ≡1 (mod m)成立.这样的n 有多个,其中最小的记为δ.试论δ|n.

2009年4月高等教育自学考试

一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.ϕ(5600)=_____.

2.同余方程20x ≡14(mod 72)关于模72的解是_____.

3.不定方程7x+19y=213的整数解是_____.

4.模19的平方非剩余是_____.

5.同余方程x 2≡74(mod 101)有_____个解.

6.199!末尾连续地有_____个零.

7.547是_____.（填“素数”或“合数”）.

8.写出模10的一个最小的非负完全剩余系，并要求每项都是3的倍数，则此完全剩余系为_____.

9.最大公因数(n+1,3n+2)=_____.

10.欧拉定理表述为_____.

二、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)

1.求10

1010被7除所得的余数.

2.解同余方程组⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡15) 11(mod x 9). 5(mod x 7) 2(mod x

3.甲物每千克5元，乙物每千克3元，丙物每3千克1元，现在用100元买这三样东西共100千克，问各买几千克？

4.用高斯逐步淘汰法解同余方程x 2≡73(mod 137).

三、证明题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1.若n=9k+t,t=3,4,5或6，k ∈Z ，证明方程x 3+y 3=n 无整数解.

2.设3|(a 2+b 2)，证明3|a 且3|b.

3.若(a,m)=1，x 通过模m 的简化剩余系，则ax 也通过模m 的简化剩余系.