最优控制全部
最优控制
四、最优控制在控制领域中的应用
模拟退火算法 1983年,Kirkpatrick与其合作者提出了模拟退火(SA)的方法,它是求解单目标 多变量最优化问题的一项Monte-Caula技术。该法是一种物理过程的人工模 拟,它基于液体结晶或金属的退火过程。液体和金属物体在加热至一定温度 后,它们所有的分子、原子在状态空间D中自由运动。随着温度的下降,这些 分子、原子逐渐停留在不同的状态。当温度降到相当低时,这些分子、原子 则重新以一定的结构排列,形成了一个全部由有序排列的原子构成的晶体结 构。模拟退火法已广泛应用于生产调度、神经网络训练、图像处理等方面。
三、最优控制的研究方法
古典变分法:古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常 三、最优控制的研究方法
古典变分法:
古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取 值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在2个极限值范围内转动,电动 机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此,古典变分法的应用范 围十分有限。
二、最优控制问题的一般性描述
实际上，终端约束规定了状态空间的一个时变或非时变的集合，此满足终 端约束的状态集合称为目标集M，并可表示为：
M {x(t f ) | x(t f ) Rn , N1[ x(t f ), t f ] 0, N2[ x(t f ), t f ] 0}
为简单起见，有时将上式称为目标集。
三、最优控制的研究方法
极小值原理:
极小值原理是对分析力学中古典变分法的推广,能用于处理由于外力源的 限制而使系统的输入（即控制）作用有约束的问题。极小值原理的突出 优点是可用于控制变量受限制的情况,能给出问题中最优控制所必须满足 的条件。如高夯、汪更生、楼红卫等人论述了多种类型的抛物型方程和 退化拟线性、半线性椭圆方程的极小值原理。
最优控制全部PPT课件
J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
为最小。
这就是最优控制问题。
如果问题有解，记为u*(t), t∈ [t0,tf],则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨 线X*(t)称为最优轨线（极值轨线），而性能指标J*=J（u*(·)）则称为最优性能指标。
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目标质心的位置矢量和速度矢量为： xM xM
F(t)为拦截器的推力
x xL xM v xL xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
x v v a(t) F (t)
m(t)
m F (t) c
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。
初始条件为： x(t0 ) x0 v(t0 ) v0 m(t0 ) m0 终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意 m(t f ) me
至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。 有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。
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3：容许控制 在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取 值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 u(t) umax 或ui i 1,2p
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt
最优控制
J =
能观,
1 1 x ( t f ) T C T Q 0 Cx ( t f ) + 2 2
tf
[ x T C T Q 1 Cx + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
二次型指标最优控制问题
线性系统
二次型性能指标
x = Ax + Bu y = Cx
tf
J =
1 T x (t f )Q 0 x (t f ) + 2
1 二次型性能泛函
1 1 T J = x (t f ) Q 0 x (t f ) + 2 2
半正定
tf
[ x T Q 1 x + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
半正定
正定
误差大小的代价函数, qij大表示对应误差要求小 对控制的约束或要求. 表示在区间内消耗的能量, qij大表示对应付出的能量小. 最优控制目标是使性能指标J取得极小值, 其实质是用不大的控制来 保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的.
0 x = 1
1 x a + 2
1
y=x1
1 w( s ) = C ( sI A) B = 2 s + s a + 2 +1
281
6.4 线性二次型最优控制问题
6.4 线性二次型最优控制问题
输出调节问题
x (t ) = A (t ) x (t ) + B (t )u (t ) y ( t ) = C ( t ) x ( t ), x ( t 0 ) = x 0
q1 , q 2 > 0 , q 0 ≥ 0
u * ( t ) = Q 2 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t ) = q 2 1 p ( t ) x ( t )
最优控制课后习题答案
最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。
在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。
求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。
答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。
通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。
2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。
自动控制原理最优控制知识点总结
自动控制原理最优控制知识点总结自动控制原理是现代工程领域中一个非常重要的学科，广泛应用于工业生产、交通运输、航空航天等各个领域。
在自动控制原理中，最优控制是一个关键的概念和方法，它旨在通过优化系统的性能指标，实现系统的最佳控制效果。
本文将对自动控制原理中的最优控制知识点进行总结。
一、最优控制的基本概念最优控制是在给定约束条件下，通过设计最优控制器使系统的性能指标达到最佳的控制方法。
其中，性能指标主要包括系统的稳定性、响应速度、误差稳态和鲁棒性等方面。
最优控制的目标是通过优化控制器参数和系统的状态变量，使系统的性能指标最小化或最大化。
二、最优控制的数学模型最优控制的数学模型主要包括动态模型和性能指标两个方面。
动态模型描述了系统的演化过程，可以是线性模型或非线性模型；性能指标则是对系统性能的衡量，可以是能量消耗、误差平方和、状态变量变化率等。
最常用的数学工具是拉格朗日乘子法、泛函分析、动态规划等。
三、最优控制的方法最优控制的方法包括最优化理论、动态规划、变分法等。
其中，最优化理论是最常用的方法之一，主要通过求解极值问题来设计最优控制器。
动态规划则是一种递推算法，通过将大问题分解成小问题，并利用最优性原理逐步求解最优控制器。
变分法则是通过对系统状态和控制器函数进行变分，并通过求解欧拉-拉格朗日方程来得到最优系统。
四、最优控制的应用最优控制在各个领域都有广泛的应用。
在工业生产中，最优控制可以提高生产过程的效率和质量；在交通运输中，最优控制可以优化交通流量和减少交通拥堵；在航空航天中，最优控制可以提高飞行器的性能和安全性。
此外，最优控制还应用于经济学、生物学、环境科学等其他领域。
五、最优控制的发展趋势随着科技的发展和应用领域的不断扩展，最优控制领域也在不断发展和创新。
未来的研究方向主要包括多目标最优控制、非线性最优控制、鲁棒最优控制等。
同时，随着计算机技术的进步，最优控制算法也将得到进一步改进和优化。
总结：自动控制原理中的最优控制是一个重要的概念和方法，通过优化系统的性能指标，实现系统的最佳控制效果。
最优控制总结
最优控制理论总结宫庆义2010.6.301. 最优控制问题可用下列泛函表示:[][]0()00min (),(),(),..(1)()(),(),,()(2)(),0ft f f t u t f f J x t t L x t u t t dt s t xt f x t u t t x t x x t t ϕψ∈Ω⎡⎤=+⎣⎦==⎡⎤=⎣⎦⎰2. 最优控制的应用类型:(一) 积分型性能指标: []0(),(),ft t J L x t u t t dt =⎰(1) 最小时间控制: 00ft f t J dt t t ==-⎰(2) 最少燃耗控制: 01()fmt jt j J u t dt ==∑⎰(3) 最少能量控制: 0()()ft T t J u t u t dt =⎰(二) 末值型性能指标: (),f f J x t t ϕ⎡⎤=⎣⎦ (三) 复合性能指标:(1) 状态调节器:011()()()()()()22f t T T Tf f t J x t Fx t x t Qx t u t Ru t dt ⎡⎤=++⎣⎦⎰ (2) 输出跟踪系统:011()()()()()()()()()22f t T T Tf f t J e t Fe t e t Qe t u t Ru t dt e t z t y t ⎡⎤=++=-⎣⎦⎰3. 欧拉-拉格朗日方程:0L d L x d t x ∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭注: 若()min (,,)..(,,)0ft x t J g x xt dt s t f x xt ==⎰ (,,,)(,,)()(,,)TL x xt g x x t t f x x t λλ=+例题:(1)求通过点(0,0)及(1,1)且使120()J x xdt =+⎰取极值的轨迹*()x t 解: 欧拉-拉格朗日方程: 2(2)0dx x dt-= 即 0x x -= ()c o s h s i n hx t a t b t =+ 由初始条件:(0)00x a =⇒= 末端条件: 1(1)1sinh1x b =⇒= 因而极值轨迹为:*1()sinh sinh1x t t = (2)求使指标1230()J xx dt =+⎰取极值的轨迹*()x t , *(0)0x = 解:这是终端自由的情况, 欧拉-拉格朗日方程为:()2230dx x dt+= 即 223x x C += 令()xt at b =+ 由(0)00x b =⇒= 又末端自由, 横截条件为:2310ft t Lx x x=∂⎡⎤=+=⎣⎦∂ 即 2230a a +=得:0a =或23a =-, *()0,0x t J ==对应局部极小, *24(),327x t t J =-=对应局部极大(3)设系统状态方程: x u = 边界条件为: (0)1,()0,f f x x t t ==自由性能指标为: 2012f t f J t u dt =+⎰ 要求确定最优控制*u , 使J 最小解: 这是f t 自由问题, 末端状态固定, ()0f x t =是满足约束集的特殊情况, 即 (),()0f f f x t t x t ψ⎡⎤==⎣⎦(),f f f x t t t ϕ⎡⎤=⎣⎦哈密顿函数: 212H u u λ=+ 正则方程: 0HHxu xλλ∂∂===-=∂∂ 控制方程: 0Hu u uλλ∂=+=⇒=-∂()1f fH t t ϕ∂=-=-∂ 即 : 221()()10()2f f f t t t λλλ-+=⇒=由正则方程: ()0t λ= 所以 ()t λ=于是 *()u t =再由正则方程: xu λ==- 可得()x t c =+ 由初始条件 (0)1x = 得 1c =故最优轨迹为: *()1x t =+ *()02f f x t t =⇒=(4) 设系统的状态方程为: ()()()xt x t u t =-+ 边界条件为: (0)1,()0f x x t ==, 求()u t , 使221()2f t J x u dt =+⎰为最小解: 221()()2H x u x u λ=++-+协态方程和控制方程为: H x x λλ∂=-=-+∂ Hu uλ∂=+=0∂ 即 u λ=- 故可得正则方程: ()()()xt x t t λ=-- ()()()t x t t λλ=-+ 拉氏变换: ()(0)()()sX s x X s s λ-=-- ()(0)())s s X s s λλλ-=-+( 解代数方程得:()(0)(0)()(0)(0)s x X s x λ==拉氏反变换:()()()()()(0)1)1)(0)()(0)1)1)(0)t e x e x t ee x λλλ⎤=-++⎦⎡⎤=-++⎣⎦由: (0)1,()0f x x t ==得:(0)f fλ=*()()1)1)u t t eeλ⎧⎫⎪⎤=-=-+⎬⎦⎪⎭注: 拉氏变换表(5)设系统状态方程为: 122()()()()x t x t xt u t == 初始条件为: 12(0)(0)1x x ==, 末端条件为: 12(1)0(1)x x =自由要求确定最优控制*()u t , 使泛函1201()2J u t dt =⎰取极小值 解: 边界条件222()(1)0(1)f t x ϕλλ∂===∂ 哈密顿函数: (,,)(,,)T H L x u t f x u t λ=+ 212212u x u λλ=++ 正则方程: 12112()0()()H Ht t t x x λλλ∂∂=-==-=-∂∂ 状态方程: 1222()()()()xt x t xt t λ==- 极值条件:0Hu∂=∂ ⇒ 20u λ+= 即 : *2()()u t t λ=- 边界条件: 12(0)1(0)1x x ==1222(1)0()(1)0(1)f x t x ϕλλ∂====∂ 对正则方程和状态方程进行拉氏变换:11222211221()(0)()()(0)()()(0)0()(0)()sX s x X s sX s x s s s s s s λλλλλλ-=-=--=-=-解以上代数方程得:11221222112123234111()(0)()(0)(0)1111111()(0)(0)()(0)(0)s s ss s X s X s s s ss s s sλλλλλλλλλ==-=--=+-+拉氏反变换:2312122111()1(0)(0)26()(0)(0)x t t t t t tλλλλλ=+-+=- 利用末端条件: 1212(1)0,(1)0(0)(0)6x λλλ==⇒== 最优状态轨迹:*231()13x t t t t =+-+ 最优协态:*2()6(1)t t λ=- 最优控制: **2()()6(1)u t t t λ=-=-(6) 设系统的状态方程为:10()()()001xt x t u t ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦指标泛函: 2201()2J u t dt =⎰ 边界条件: 10(0)(2)10x x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求使指标泛函取极值的极值轨线*()x t 和极值控制*()u t 解: []121212221,,2T f x x g u f f u xλλλ-⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 拉格朗日标量函数: 2121221()()2TL g f u x xu x λλλ=+=+-+- 欧拉方程:1111122222000L d L a x dt x L d L at b x dt xL d L u u at bu dt uλλλλλλ∂∂-===∂∂∂∂-=+==-+∂∂∂∂-=+==-∂∂由于状态约束方程:22223212112111262xu at b x at bt c xx at bt c x at bt ct d==-=-+==-+=-++代入边界条件: 10(0)(2)10x x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得: 73,,12a b c d ====于是极值轨线: *321**22()0.5 1.751()3 3.5() 1.5 3.51x t t t t u t t x t t t ⎡⎤⎡⎤-++==-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦*x =(7)设性能指标泛函: 0ft J =⎰(0)1,()()2f f f x x t c t t ===-求使泛函为极值的最优轨线*()x t 及相应的**,ft J 解: L = 欧拉-拉格朗日方程:22220,()1L d L d C C x a x t at b x dt x dt C⎡⎤∂∂-=-=⇒===⇒=+∂∂- 由(0)1x =得: 1b =由横截条件:()(10()11ffTf t t L L cx x xt a x ⎤∂⎡⎤+-=--=⇒=⇒=⎢⎥∂⎣⎦最优轨线为: *()1x t t =+当f t t =时, ()()f f x t c t = 即: 12f f t t +=-, 求得末端时刻 *12f t = 将**(),f x t t 代入指标泛函,可得最优性能指标*J =(8) 设系统方程为: 122()()()()x t x t xt u t == 初态:12(0)(0)0x x == 末端时刻: 1f t = 末端约束: 12(1)(1)1x x += 性能指标: 121()2J u t dt =⎰ 求使J 最小的最优控制*()u t 和相应的最优轨线*()t x 解: 2121()0,()()(1)(1)12f f t L u t x x ϕψ⎡⎤⎡⎤===+-⎣⎦⎣⎦ x x212212H u x u λλ=++ 由协态方程: 1110()H t a x λλ∂=-==∂2122()H t at b x λλλ∂=-=-=-+∂由极值条件:220Hu u at b uλλ∂=+=⇒=-=-∂由状态方程:2222321211()2111()262xu at b x t at bt c xx at bt c x t at bt ct d==-=-+==-+=-++由初态: 12(0)(0)00x x c d ==⇒== 由目标集: 12(1)(1)10496x x a b +-=⇒-=根据横截条件:1212(1)(1)(1)(1)x x ψψλγγλγγ∂∂====∂∂即: 121(1)(1)2a b λλ=⇒=于是解得: 36,77a b =-=-最优解为: *3()(2)7u t t =-- 最优轨线: *211()(6)14x t t t =-- *23()(4)14x t t t =--例题:(1) 最短时间控制问题:状态方程: 122,x x xu == 初始条件: 101220(0)(0)(0)x x x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x = 末端条件: 12()()0f f x t x t ==约束控制: ()10f u t t t ≤≤≤求使性能指标0ft f J dt t ==⎰取极小的最优控制.解: 1221T H L f x u λλ=+=++λ协态方程: 110H x λ∂=-=∂ 212H x λλ∂=-=-∂12()()t at at b λλ==-+选择u 使H 取极小 []2221()0()sgn ()1()0t u t t t λλλ<⎧==⎨->⎩2()t λ为t 的线性函数, u 最多改变一次符号当()1u t =时, 状态方程的解为:220212010()1()2x t t x x t t x t x =+=++ 消去t 得相轨迹方程: 2121()()2x t x t C =+ 当()1u t =-时, 状态方程的解为:220212010()1()2x t t x x t t x t x =-+=-++ 消去t 得相轨迹方程: 2121()()2x t x t C '=-+ 相轨迹的方向总是逆时针两簇曲线中, 每一簇中有一条曲线的半支进入末端状态点(原点) ()1u t =的曲线簇中, 通过原点的曲线方程为: 21221()()()02x t x t x t =≤ 记: γ+()1u t =-的曲线簇中, 通过原点的曲线方程为:21221()()()02x t x t x t =-≥ 记: γ-,γγ+-称为开关线, 其方程为: 1221()()()2x t x t x t =-开关线左侧区域用R +表示, 开关线右侧区域用R -表示 于是最优控制律, 可以表示为状态[]12,Tx x x =的函数, 即*121,(,)1,x R u x x x R γγ++--∈⎧=⎨-∈⎩(2)最少燃料控制问题状态方程: 122,xx x u == 初始条件: 101002020()()()x t x t x t x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x = 末端条件: 12()()0f f x t x t == 约束控制: 0()1f u t t t t ≤≤≤ 求使性能指标0()ft t J u t dt =⎰取极小的最优控制. 解: 122()T H L f u t x u λλ=+=++λ协态方程: 110H x λ∂=-=∂ 212H x λλ∂=-=-∂ 12()()t a t at b λλ==-+使H 取得极小值, 等价于求下式的极小值2()min ()()()u t u t t u t λ∈⎡+⎤⎣⎦Ω 使H 取得极小值的最优控制律为:[]222220()1()sgn ()()10()1()11()0()1t u t t t u t t u t t λλλλλ⎧<⎪=⎨->⎪⎩≤≤=--≤≤= 当()1u t =时, 2121()()2x t x t C =+ (开口向右--抛物线) 当()1u t =-时, 2121()()2x t x t C =-+ (开口向左--抛物线) 当()0u t =时, 220110200(),()()x t x x t x x t t ==+- (水平线)由状态方程得: 21120211120110222112112121222121222221:()1()20:()()()()()()1:0()()10()()()()2f f u x t t x x t t x t x u x t x t Cx t x t x t t t u x t t t x t x t t t t t =-=-+=-++====+-==+-=+-+-由以上6个方程, 来解6个未知数:(3)设系统状态方程为: 122()(),()()xt x t x t u t == 边界条件: 12121(0)(0)0,()()4f f x x x t x t ==== 控制约束: ()1u t ≤, 末端时刻f t 自由求: 最优控制*()u t 使性能指标20()f t J u t dt =⎰最小 解: 22212221221124H u x u u x λλλλλ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭ 由极小值条件知:2*2221()21()()()221()2t u t t t t λλλλ<-⎧⎪⎪=-≤⎨⎪->⎪⎩ 由协态方程: 1112122()0()()()()H t t a x H t t t at b x λλλλλ∂=-==∂∂=-=-=-+∂ *211()()()22u t t at b λ=-=- 代入状态方程: 22232121111()()()24211()()()124x t u at b x t at bt c x t x t x t at bt ct d ⎧==-⇒=-+⎪⎪⎨⎪=⇒=-++⎪⎩ 由初始条件: 12(0)(0)00x x c d ==⇒==根据末端条件: 321221()12441()424f f f f f f a b x t t t a b x t t t =-==-= 根据H 沿最优轨线变化律: 2122()()()()()()0f f f f f f H t u t t x t t u t λλ=++=解得: 323(2)31,0,39f f f ff t t a b t t t --===== 最优控制: *1()()218t u t at b =-= 验证: 在0,f t ⎡⎤⎣⎦区间上, 2()1,()2u t t λ≤≤满足要求 最优轨线: *3*21211(),()10836x t t x t t == 最优性能指标: 23*01()36J u t dt ⎡⎤==⎣⎦⎰7. 对于线性连续系统, 提出二次型目标函数:00011()()()()()()()22()()()()(),(),(),(),()f t T T T f f J x t Px t x t Qx t u t R t u t dt x t A t x t B t u t x t x R t P t Q t ⎡⎤=++⎣⎦=+=⎰ 正定半正定 0,f t t 固定求: 最优反馈控制, 并论述如何选择二次型目标函数中的加权矩阵.解: []1()()()()()()()()()()2T T T H x t Qx t u t R t u t t A t x t B t u t λ⎡⎤=+++⎣⎦ 协态方程: ()()()()T H Q t x t A t t xλλ∂⎡⎤=-=-+⎣⎦∂ 控制方程: 1()()()()0()()()()T T H R t u t B t t u t R t B t t u λλ-∂=+=⇒=-∂ 横截条件: 1()()()()()()2T f f f f f f t x t Px t Px t x t x t ϕλ∂∂⎡⎤===⎢⎥∂∂⎣⎦由此可见, 协态()t λ状态()x t 在末端时刻f t 成线性关系.设: ()()()t K t x t λ= 代入状态方程:1()()()()()()()()T x t A t x t B t R t B t K t x t -=- 由协态方程: ()()()()()()()()()()T t K t x t K t x t Q t x t A t K t x t λ⎡⎤=+=-+⎣⎦ 将()xt 代入: 1()()()()()()()()()()()()0T T K t K t A t K t B t R t B t K t A t K t Q t x t -⎡⎤+-++=⎣⎦ ()K t 由下面的黎卡提矩阵微分方程确定:1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+- 边界条件: ()f K t P =由此可得最优反馈控制: 1()()()()()()()T u t R t B t K t X t G t x t -=-=- 加权阵的选择: 若已知各加权变量允许的最大值为:1max 2max max ,,,n x x x 和1max 2max max ,,,n u u u1m a x 2m a x m a x 111,,,,n Q d i a gx x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ , 1max 2max max 111,,,,n R diag u u u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦8. 最优性原理: 一个多级决策问题的最优决策具有这样的性质: 当把其中任何一级及其及其状态作为初始级和初始状态时, 则不管初始状态是什么, 达到这个初始状态的决策是什么, 余下的决策对此初始状态必定构成最优策略.例题:(1) 系统方程为: (1)()()x k x k u k +=+, (0)x 给定 (1)122011(2)()22k J cx u k ==+∑ (2) 要求: 用动态规划寻找最优控制序列(0),(1)u u 使J 最小解: 先考虑最后一步, 即从(1)(2)x x → 这时由(1),(2)得:(2)(1)(1)x x u =+[]222211111(2)(1)(1)(1)(1)2222J cx u c x u u =+=++ 求(1)u 使1J 最小, 得:[]1(1)(1)(1)(1)0(1)(1)1J cx c x u u u u c∂=++=⇒=-∂+ 将(1)u 代入1J 和(2)x 得: 2*1(1)(1)(2)211c x x J x c c==++ 再考虑倒数第二步, 即从(0)(1)x x → 这时: (1)(0)(0)x x u =+[]22*22011(1)1(0)(0)(0)(0)22122(1)c x c J J J u u x u c c =+=+=++++ 求(0)u 使J 最小得:[](0)(0)(0)0(0)1J c u x u u c∂=++=∂+ (0)(0)12cx u c=-+ 于是最优性能指标与最优状态转移为: 2*(0)2(12)cx J c =+ 1(1)(0)(0)(0)12c x x u x c +=+=+ 9. (1)直接法: 在每一步迭代中, ()u t 不一定要满足H 取极小值的必要条件, 而是逐步改善它, 在迭代终了使它满足这个必要条件, 而且, 积分状态方程是从0f t t →, 积分协态方程是从0f t t →, 这样就避免了去寻找缺少的协态初值0()t λ的困难. 常用的有: 梯度法, 二阶梯度法, 共轭梯度法(2)间接法: 在每一步迭代中, ()u t 都要满足H 取极小值的必要条件, 而且要同时积分状态方程和协态方程,两种方程的积分都是从0f t t →或从0f t t →. 常用的有边界迭代法, 拟线性化法.10. 分离定理: 按照此定理, 可以把最优控制问题和状态变量的最优估计问题分开讨论.在研究最优控制问题时, 假定所有状态变量都可以直接得到, 而在研究状态变量的最优估计时, 则假定控制信号是已知的确定性函数.最后把控制器中的状态变量用其估计值代替, 就得到了随机线性系统的最优控制.11. 分离定理应用: 在随机线性系统最优控制中, 目前理论上和应用上比较成熟的是所谓LQG 问题, 即线性系统, 二次型指标, 高斯分布噪声情况下的最优调节器问题. 这时分离定理可以成立.根据分离定理: 可将LQG 分成两部分, 即根据确定性系统来求出最优反馈控制律, 再由卡尔曼滤波器来测定最优状态估计值, 将这个状态估计值代替状态变量本身, 就得到了最优反馈控制.。
第4章 最优控制
X (0) = X 0
比较可得
J = ∫ F ( X , U , t ) dt
t0
tf
F = α 2 x 2 + β 2u 2 f =u
求哈密顿函数
H = α 2 x 2 + β 2 u 2 + ΛT (t ) u
有必要条件可得
H ( X (t ), U (t ), Λ (t ), t ) H U = = 2β 2u + Λ = 0 U (t )
u(t)
u (t ) < K
M x(t)
x(t 0 )
问题是： 问题
什么样的 u(t)，使M 能最快地到达地面，并使到达地面时的速度等于零？
设物体M的质量为1 , x(t)表示物体离地面的高度. x
M 的运动微分方程式
u(t)
M x(t)
d2x = u (t ) g 2 dt
选择
x1 (t ) = x(t ), x2 (t ) = x(t ) = x1 (t )
Q 和 R 是正定实对称矩阵，又称为加权矩阵。 取Q和R为对角矩阵，设Q和R的元素为 q1 , q 2 ,..., q n 和 r1 , r2 ,..., rn 。 则二次型性能指标可写为
2 2 J = ∫ (q1 x12 + q 2 x 2 + + r1u12 + r2 u 2 + )dt t0 tf
瞬时推力
f(t) 应满足
0 ≤ f (t ) ≤ f max
要求控制拦截器从相对目标的初始状态出发，于某终点时刻 tf 与目标相遇（拦截） 即 且应满足
x (t f ) = 0
m(t f ) ≥ me
me 燃料耗尽后火箭的质量
最优控制总结
/系统的数学模型,物理约束条件及性能指标。
数学描述:设被控对象的状态方程及初始条件为()[(),(),],(0)0x t f x t u t t x t x ==；其中,()x t X Rn ∈⊂为状态向量，X 为状态向量的可容许集；()u t Rm ∈Ω⊂为控制向量，Ω为控制向量的可容许集。
试确定容许的最优控制*()u t 和最优状态轨迹*()x t ，使得系统实现从初始状态(0)x t 到目标集[(),]0x tf tf ψ=的转移,同时使得性能指标0[(),][(),(),]tft J x tf tf L x t u t t dt ϕ=+⎰达到极值。
系统状态方程形式(连续,离散)(2)最优控制形式(开环,闭环) (3)实际应用(时间,燃料,能量,终端) (4)终端条件(固定,自由) (5)被控对象形目标函数及约束条件组成的静态优化问题可以描述为：在满足一系列约束条件的可行域中，确定一组优化变量，(极大值或极小值)。
数学描述：min (),,:n nf x x R f R R ∈→，..()0,:;()0,:n m n l s tg x g R R h x h R R =→≥→静态最优化问题，也称为参数最优化问题，它的三个基本要素是优化变量、目标函数和约束条件，其本质是解决函数，也称为最优控制问题，它的三个基本要素是被控对象数学模型、物理约束条件和性能指标，其本质是解 多变量目标函数沿着初始搜索点的负梯度方向搜索,函数值下降最快,又称最速下降法;(2)多变量无约束。
根据具体的最优换问题构造合适的惩罚函数,将多变量有约束最优化问题转换为一系列多变量无约束最优化问题,从而采用合适;(2)多变量有约束(外点法:等式约,不等式约束;内点法:不等式约束)。
通过构造拉格朗日函数,将原多变量有约束最优化问题转化为一个多变量无约束最优化问题,从而采用合适的无约束方法继(等式约束,不等式约束)。
梯度定义12()()()()f x x f x f x f x xx ∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥=∇=⎢⎥∂∂⎢⎥∂⎣⎦，Hessian 矩阵22221212222212()()f f x x x f x H x x f f x x x ⎡⎤∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥==⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦,最优梯度法(无约束)：迭代(1)()()()()k k k k x x f x α+=-∇，()()()()()()()()()()()k T k k k T k k f x f x f x H x f x α∇∇=∇∇，终止误差()()()k p k f x ε=-∇≤ 例：(),(0),()f x f x H x ∇∇；(0)[(0)(0)]f x T f x α=∇•∇/[(0)(0)]T f x H f x ∇••∇；(1)(0)(0)(0)x x f x α=-•∇；()f xk ε∇<，()x k 是极()0,()0x x =≥g h (1) 等式约束：(,)()()T H x f x x λ=+λg ，利用1210,0,0,0,0n mH H H H Hx x xλλ∂∂∂∂∂=====∂∂∂∂∂解出极大值点或极小值点。
最优控制介绍课件
状态方程可以表 示为微分方程或 差分方程的形式
03
02
04
状态方程通常包 括系统的状态变 量、输入变量和 输出变量
状态方程在最优 控制问题中用于 描述系统的动态 特性，为控制器 的设计提供依据
控制方程
状态方程： 描述系统 状态的变 化规律
控制方程： 描述控制 输入与系 统状态的 关系
性能指标 方程：描 述系统的 性能指标
02
状态转移方程： 描述状态之间的
递推关系
03
边界条件：定义 初始状态和终止
状态
04
求解过程：从初 始状态开始，逐 步求解子问题， 直至得到最优解
最优控制理论
01
最优控制理论是研究如何找到最优控制策
略，使得系统在特定条件下达到最优性能。
02
最优控制理论包括动态规划、极大值原
理、变分法等方法。
03
最优控制理论广泛应用于工程、经济、
04
间接法：通过求解最优控制问 题的辅助问题来获得最优控制 策略
06
数值解法优缺点：优点是计算 简单、易于实现；缺点是计算 精度较低、收敛速度较慢
机器人控制
1
机器人运动控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确运动控制
2
机器人路径规 划：通过最优 控制算法，规 划机器人的最 优路径
3
机器人抓取控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确抓取控制
交通控制
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
交通信号灯控制： 根据实时交通状况， 自动调整信号灯时 间，提高道路通行 效率
公共交通调度：根 据客流量、车辆位 置等信息，优化公 交线路和发车频率， 降低乘客等待时间
最优控制
已知x(t0)=x0， 拉方程和横截条件
* x x(tf)=xf ,则极值曲线 (t ) 应满足如下欧
F d F ( )0 x dt x F F ( )t t f x(t f ) ( )t t0 x(t0 ) 0 x x
其中，
T (t ), t ) L(( x(t ), x(t ), , t )) g ( x(t ), x(t ), t ) f ( x(t ), x
如果t0也自由、x(t0)受约束，即沿着曲线g(t) 则应满足以下横截条件
x(t0 ) g (t0 ) x(t f ) c(t f ) * * T L L ( x , x , t ) ( g x ) 0 t 0 x * * T L L ( x , x , t ) ( c x ) 0 t f x
vdu
t0
tf
J ( )xdt x t t x x dt x
F
d F
F
tf
（4）
0
J取极值的必要条件是 J 等于零。因 x 是 任意的，要使（3-2）中第一项（积分项）为 零，必有
F d F ( )0 x dt x
4.1.1
标是一个 泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极 值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列出变 分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但读者 可对照微分学中的结果来理解。
4.1.1 泛函与变分
先来给出下面的一些定义。 1、泛函： 如果对某一类函数X (t )中的每一个函 数 X (t )，有一个实数值J 与之相对应，则称J 为依赖于 函数 X (t ) 的泛函，记为
(完整word版)最优控制讲义
第一章 绪论§1。
1最优控制问题静态最优化问题：输入—输出—代数方程 动态最优化问题：输入—输出-微分方程 确定性最优控制：系统参数确定,无随机输入 随机性最优控制：系统参数确定，有随机输入⎩⎨⎧=+=)()()()()(t Cx t Y t Bu t Ax t x⎩⎨⎧+=++=)()()()()()()(t v t Cx t Y t w t Bu t Ax t x例:飞船的月球软着陆问题推力 dtdmkf -= 运动方程 mg dt dmk mg f dtx d m --=-=22 )()(][00f t t t m t m dt dtdmJ f-=-=⎰ 初始条件 ⎩⎨⎧======0)(,)(,00f f t x x t t ht x x t t约束条件为 0≤≤-dtdmα求min J§1.2最优控制的数学模型一 控制系统的数学模型(集中参数系统）直接法建立：动力学、运动学的基本定律,即解析法.间接法建立：通过“辩识"的途径确定系统的结构与参数.)),(),(()(t t u t x f t x= 其中 T n t x t x t x t x )](,)(),([)(21 =，T r t u t u t u t u )](,)(),([)(21 =,],,[21n f f f f = )(t x 为n 维状态向量，)(t u 为r 维控制向量,f 为n 维函数向量。
二 目标集通过)(t u 使)(t x 由)(0t x 到)(f t x ，其中)(0t x 为初始状态，并且通常为已知；)(f t x 为终端状态，即控制所要求达到的目标。
一般来说对终端状态的要求可用如下的约束条件表示：0)),((,0)),((21≤=f f f f t t x g t t x g 。
三 容许控制i u 具有不同的物理属性，一般有r 1,2i u i ,,=≤α，即在控制域U 内。
第6章 最优控制
J (u ) [ x(t f ), t f ]
(0 6)
J (u) [ x(t f ), t f ] L[ x(t ), u(t ), t ]dt
t0
tf
(0 7)
第6章 线性二次型的最优控制
2. 最优控制问题的数学模型 用以下4个方程来描述 (1)给定系统的状态方程 (2)状态方程的边界条件
1956~1958年，庞特里亚金创立“最大值原理”。 它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对 于“最大值原理”，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法和动态 规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是解决最优控制问 题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特里亚金在《最优过程的数学 理论》著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。
6.3 输出调节器
6.4 跟踪器
1 tf T J (u ) ( x Qx u T Ru)dt 2 t0
线性二次型问题的特点
(0 14)
（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化 （2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）
第6章 线性二次型的最优控制
线性二次型问题的本质：
用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。 线性二次型问题的三种重要情形：
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) y(t ) C (t ) x(t )
e(t ) yr (t ) y(t ) 1) 2) 3) C (t ) I yr (t ) 0 yr (t ) 0 yr (t ) 0 y(t ) e(t ) (5 2)
性能指标的物理含义：
现代控制工程最优控制课件
03
优化目标
最小化损失函数，即达到最优控制效果。
线性调节器问题的解法
01
极点配置法
通过选择控制器的极点位置， 使得系统的传递函数在频率域
上具有理想的性能指标。
02
最优反馈增益
通过求解 Riccati 方程，得到 最优反馈增益，使得系统的性
能达到最优。
03
LQR 设计步骤
确定系统的状态空间模型、选 择适当的参考信号、设计控制
定义
非线性最优控制问题可以定 义为在给定初始状态和初始 时刻，寻找一个控制输入， 使得系统在结束时刻的状态
和性能指标达到最优。
特点
非线性最优控制问题具有复 杂性，其解决方案通常需要
借助数学工具和算法。
应用
非线性最优控制问题在许多 领域都有广泛的应用，如航 空航天、机器人、车辆控制 等。
利用梯度下降法求解非线性最优控制问题
移方程。
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
3. 定义性能指标函数
根据问题的要求，定义性能 指标函数。
4. 求解最优子问题
利用动态规划法，依次求解 每个子问题，得到每个时刻 的最优控制输入。
5. 得到最优解
通过逆向递推，得到初始时 刻的最优控制输入和最优状 态。
04
动态规划基础上的最优控 制
多阶段决策过程的动态规划
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
• 基本思想：动态规划法是一种通过将原问题分解为一 系列子问题，并逐个求解子问题，最终得到原问题最 优解的方法。
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
01
步骤
02
1. 初始化：选择一个初始状 态和初始时刻。
03
2. 定义状态转移方程：根据 系统动态方程，定义状态转
最优控制
1 最优控制问题 2 求解最优控制的变分方法
3 最大值原理 4 动态规划
5 线性二次型性能指标的最优控制 6 快速控制系统
2014年1月12日
1
最优控制
概述
最优控制理论
现代控制理论的重要组成部分
20世纪50年代
研究的对象 中心问题 数学方法
发展形成系统的理论
控制系统
给定一个控制系统，选择控制规律，
2014年1月12日
13
例如： 飞机控制 近地点和高空的空气密度不同，飞机控制特性随高度、 飞行速度的不同而有很大的变化 导弹控制 导弹的质量和重心随燃料的消耗迅速变化 过程控制 连续生产化工设备参数随着环境温度和输入输出流量而改 变；锅炉机组过热蒸气温度的动态参数随着负荷变化而变 化 电力拖动 造纸：卷纸筒惯性变化，为保持纸张力不变，马达的转矩 需改变 船舶的航线控制 传递函数的动态参数随着船载、速度、吃水深度和环境 （即波浪、风速、海潮等）的变化而变化
③线性伺服器问题 如果要求给定的系统状态x跟踪或者尽可能地接近目标轨 迹xd，则J可以取为 t
J 1 f T ( x x ) ( x xd )dt d t 2 0
1 tf T J ( x Qx u T Ru )dt 2 t0
除了特殊情况外，最优控制问题的解析解是比较复杂的， 以至必须求其数值解。当指标为二次性能指标时，可以给出 整齐的解析解。
4．明确终端条件 类似于始端条件，固定终端是指终端时刻 定的。 自由端则是在给定 则是指 情况下，
2014年1月12日 14
最优控制
最优控制
自适应系统的原理框图
干扰v(t)
参考输入r(t)
控制器
控制量u(t)
最优控制
(3)
j [ x ( t 0 )] 0
j 1, 2, ..., m m ≤ r
相应的始端集为 Ω 0 { x ( t 0 ) | j [ x ( t 0 )] 0} 此时，
x (t0 ) Ω 0
称之为可变始端。
四、明确终端条件 固定终端： 终端时刻 tf 给定，终端状态 自由终端： 终端时刻 tf 给定，终端状态
最优控制 26
§6-3 静态最优化问题的解 (10)
⑵ 拉格朗日乘子法（增元法） 约束条件 × 新的可调整函数 乘子λ ＋ 目标函数
H J g r , l
没有约束条件的三元函数 取得极值的条件：
H l 0 H r 0 H 0
最优控制 27
§6-4 离散时间系统的最优控制 (1)
2
...
2
fu
u
2 2
... ... ...
... f
2
u nu 2
u1 u n 2 f u 2 u n 2 f 2 u n f
2
最优控制 21
§6-3 静态最优化问题的解 (5)
例题6-1 设：
f ( x ) 2 x1 5 x 2 x 3 2 x 2 x 3 2 x 3 x1 6 x 2 3
最优控制 9
§6-1 概述
五、静态优化和动态优化
(6)
1. 静态优化：若变量 x 与时间无关，为静态优化。
2. 动态优化：在最优控制系统中，受控对象是一个动态 系统，所有的变量都是时间的函数，为动 态优化。
3. 静态优化和动态优化的关系 在动态优化中，将时域 [t0，tf] 分成许多有限区段，在 每一个区段中将变量近似看作常量，则动态优化问题 可近似按分段静态优化问题来处理； —— 离散时间优化问题！
最优控制总结
最优控制总结最优控制是指在满足系统约束条件的前提下，设计一个最优控制策略来使系统达到最优性能水平的一种方法。
它在制造工业、金融等领域都有广泛的应用，在未来的智能制造、智能交通等领域也将发挥重要作用。
下面将对最优控制的基本概念、方法和应用进行总结。
一、最优控制的基本概念最优控制的目标是使系统达到最优性能水平，所以它需要满足一些基本要求。
最优控制要求系统有确定的数学模型，可以用数学方程式描述系统的状态和演变过程。
而且，最优控制需要考虑系统所受到的各种限制条件，比如控制输入、系统状态变量等等。
最优控制还需要一定的优化目标，比如可以最小化系统的能量消耗、最大化系统的性能表现等等。
二、最优控制的方法最优控制的方法有很多种，常用的方法有经典控制理论和现代控制理论。
1. 经典控制理论经典控制理论采用状态空间模型，通过设计合适的控制器来实现系统的最优控制。
经典控制理论包括PID控制、根轨迹设计和频域法等方法。
现代控制理论采用优化理论和控制理论相结合的方法，通过数学建模和计算机数值计算，实现系统最优控制。
现代控制理论包括线性二次型控制、最优控制和自适应控制等方法。
最优控制可以应用于各种领域，包括工业制造、金融、交通等。
下面介绍几个典型的应用场景。
1. 工业制造工业制造领域是最优控制的一个重要应用场景。
最优控制可以用于工艺控制、机器人控制等方面。
比如，在化学工业生产过程中，最优控制可以帮助控制流量、温度等参数，保证产品的质量和生产效率。
2. 金融3. 交通交通领域是最优控制的另一个重要应用场景。
最优控制可以用于交通路网的控制、交通信号灯的控制等方面。
比如，在城市交通中，最优控制可以实现交通信号灯的智能控制，缓解拥堵情况。
四、最优控制的发展趋势最优控制是一个重要的控制领域，它在未来的智能制造、智能交通等领域都将有广泛的应用。
最优控制的发展趋势主要有以下几点：1. 智能化随着计算机技术和人工智能技术的不断发展，最优控制也在向智能化方向发展。
最优控制理论PPT课件
生产计划与调度
在企业生产管理中，利用 最优控制理论对生产计划 和调度进行优化，提高生 产效率和降低成本。
08
总结与展望
最优控制理论的重要性和应用前景
总结
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，它在解决复杂系统的优化和控制问题方面 具有显著的优势。该理论通过数学模型和算法，寻求在给定条件下实现系统性能最优化的 控制策略。
非线性最优控制理论
20世纪70年代，基于微分几何、非 线性分析和最优控制问题的研究。
智能优化算法与最优控制
20世纪80年代，考虑系统不确定性 ，引入概率论和随机过程理论。
03
最优控制问题的数学模型
状态方程与性能指标
状态方程
描述系统动态行为的数学方程，通常表示为状态变量对时间 的导数等于其函数。
性能指标
态。这种控制策略的关键在于如何根据当前状态信息快速、准确地计算出最优控制输入。
离散系统的最优输出反馈控制
总结词
离散系统的最优输出反馈控制是一种基 于系统输出的反馈控制策略，通过最优 控制算法计算出在当前输出下的最优控 制输入，使得系统状态在有限时间内达 到预期目标。
VS
详细描述
离散系统的最优输出反馈控制是一种有效 的最优控制策略，它根据系统的输出信息 ，通过最优控制算法计算出在当前输出下 的最优控制输入，使得系统状态在有限的 时间步内以最优的方式达到目标状态。这 种控制策略的关键在于如何根据输出信息 快速、准确地计算出最优控制输入。
控制问题分类
确定性和不确定性控制、线性与 非线性控制、连续和离散控制等 。
重要性及应用领域
重要性
在实际工程和科学问题中，许多问题 都需要通过最优控制理论来解决，如 航天器轨道控制、机器人运动控制、 电力系统优化等。
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极大值原理是庞特里雅金等人在1956至 1958年间逐步创立的，先是推测出极大 值原理的结论，随后又提供了一种证明 方法。
动态规划是贝尔曼在1953年至 1958年间逐步创立的，他依据最优 性原理发展了变分学中的哈密顿-雅 可比理论，构成了动态规划。
tf t0
[c1
F (t )]dt
为最小
综上所述，所谓最优防天拦截问题，即选择满足约束条件的控制F(t),驱使系统从初始 状态出发的解，在某个时刻满足终端条件，且使性能指标为极值（极小值）。
1-3最优控制问题的提法
在叙述最优控制问题的提法之前，先讨论一些基本概念。 1：受控系统的数学模型
一个集中参数的受控系统总可以用一组一阶微分方程来描述，即状态方程，其一 般形式为：
X(t) f ( X (t), u(t), t)
X [x1, x2 , , xn ]T 是n维状态向量 f (X (t),u(t),t) 为n维函数向量
u [u1,u2 , ,up ]T 为p维控制向量
f1( X (t),u(t),t) f1(x1(t), x2 (t) xn (t),u1(t),u2 (t) up (t),t)
最优控制理论所要解决的问题是：按照控制对象的动态特性，选择一个容许控制， 使得被控对象按照技术要求运转，同时使性能指标达到最优值。
二：研究最优控制的方法 从数学方面看，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，因此 这是一个变分学的问题：然而变分理论只是解决容许控制属于开集的一类最优控 制问题，而在工程实践中还常遇到容许控制属于闭集的一类最优控制问题，这就 要求人们研究新方法。
X (t0 ) X (0)
而所达到的状态（末态）可以是状态空间中的一个点，或事先规定的范围内， 对末态的要求可以用末态约束条件来表示：
g1(x(t f ),t f ) 0 g1(x(t f ),t f ) 0
满足末态约束的状态集合称为目标集，记为t),u(t),t)
f
2
(
X
(t
),
u(t
),t
)
f
2
(
x1
(t
),
x2
(t
)
xn (t),u1(t),u2 (t)
up (t),t)
f
n
(
X
(t
),
u
(t
),
t
)
f
n
(
x1
(t
),
x2
(t
)
xn (t),u1(t),u2 (t)
up (t),t)
2：目标集
如果把状态视为n维欧氏空间中的一个点，在最优控制问题中，起始状态（初 态）通常是已知的，即
最优控制理论在一些大型的或复杂的控制系统设计中， 已经取得了富有成效的 实际应用。目前很多大学在自动控制理论课程中已经开始适当增加这方面的内容， 而对于自动控制方面的研究生则普遍作为必修课程。
1-2 最优控制问题的实例
例1．1月球上的软着陆问题
飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力 u(t)，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发动 机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。
初始条件
h(0) h0 v(0) v0
m(0) M F
终端条件 h(t f ) 0 v(t f ) 0
约束条件 0 u(t)
性能指标是使燃料消耗为最小，即 J m(t f ) 达到最大值
我们的任务是寻求发动机推力的最优控制规律u(t),它应满足约束条件，使飞船由 初始状态转移到终端状态，并且使性能指标为极值(极大值)。
一：最优控制的发展 第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输入单输出的线 性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对控制精度提出了很高的 耍求，并且被控制的对象是多输入多输出的，参数是时变的。面临这些新的情 况．建立在传递函数基础上的自动调节原理就日益显出它的局限性来。这种局限 性首先表现在对于时变系统，传递函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传 递函数概念得出的工程结论往往难于应用。由于工程技术的需要，以状态空间概 念为基础的最优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是现代控制理论的核心， 20世纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。
最优控制理论
第一章 绪 论 第二章 数 学 准 备 第三章 用变分法求解最优控制问题 第四章 极小值原理及其应用 第五章 线性二次型问题的最优控制 第六章 动态规划法
第一章 绪 论
最优控制是系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何选择控制信号才 能保证控制系统的性能在某种意义下最优。
1-1最优控制发展简史
求解最优控制问题，可以采用解析法或数值计算法
由于电子计算机技术的发展，使得设计计算和实时控制有了实际可用的计算工具， 为实际应用—些更完善的数学方法提供了工程实现的物质条件，高速度、大容量 计算机的应用，一方面使控制理论的工程实现有了可能，另一方面又提出了许多 需要解决的理论课题，因此这门学科目前是正在发展的，极其活跃的科学领域之 一。
初始条件为： x(t0 ) x0 v(t0 ) v0 m(t0 ) m0 终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意 m(t f ) me
从工程实际考虑，约束条件为 0 F(t) max F(t)
如果我们既要求拦截过程的时间尽量短，又要求燃料消耗尽量少，则可取性能指标：
J
设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发 动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数g。设 不带燃料的飞船质量为M， 初始燃料的总质量为 F．初始高度为h0，初始的垂直速度为v0，那么飞船的 运动方程式可以表示为：
h(t) v(t)
v(t)
g
u(t) m(t)
m(t) ku(t)
例1—2拦截问题
在某一惯性坐标系内，设拦截器质心的位置矢量和速度矢量为： xL xL
目标质心的位置矢量和速度矢量为： xM xM
F(t)为拦截器的推力
x xL xM v xL xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
x v v a(t) F (t)
m(t)
m F (t) c
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。