动态最优化第10讲 具有约束的最优控制问题
最优控制问题介绍
最优控制问题介绍最优控制问题是现代控制理论的核心内容之一，它研究的主要问题是如何在满足一定约束条件下，使得某一性能指标达到最优。
这类问题广泛存在于各个领域，如航天工程、经济管理、生态系统等。
通过对最优控制问题的研究，我们可以更加科学、合理地进行决策，实现资源的优化配置，提高系统的运行效率。
一、最优控制问题的基本概念最优控制问题通常可以描述为一个动态系统的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个控制策略，使得系统从初始状态出发，在给定的时间内，通过控制输入，使得系统的某一性能指标达到最优。
这个性能指标可以是时间最短、能量消耗最小、误差最小等。
为了解决这个问题，我们首先需要建立系统的数学模型。
这个模型应该能够准确地描述系统的动态行为，包括状态方程、输出方程以及约束条件等。
然后，我们需要定义一个性能指标函数，这个函数描述了我们希望优化的目标。
最后，我们通过求解一个优化问题，找到使得性能指标函数达到最优的控制策略。
二、最优控制问题的分类根据系统的动态特性和性能指标函数的不同，最优控制问题可以分为多种类型。
其中，最常见的包括线性二次型最优控制问题、最小时间控制问题、最小能量控制问题等。
1. 线性二次型最优控制问题：这类问题中，系统的动态特性是线性的，性能指标函数是状态变量和控制输入的二次型函数。
这类问题在实际应用中非常广泛，因为许多实际系统都可以近似为线性系统，而二次型性能指标函数可以方便地描述许多实际优化目标。
2. 最小时间控制问题：在这类问题中，我们的目标是使得系统从初始状态到达目标状态的时间最短。
这类问题通常出现在对时间要求非常严格的场合，如火箭发射、紧急制动等。
3. 最小能量控制问题：这类问题的目标是使得系统在完成指定任务的过程中消耗的能量最小。
这类问题在能源有限的系统中尤为重要，如无人机、电动汽车等。
三、最优控制问题的求解方法求解最优控制问题的方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：解析法是通过求解系统的动态方程和性能指标函数的极值条件，得到最优控制策略的解析表达式。
经济学中的数学分析方法——12 最优控制与动态最优化
动态最优化的问题， 在自然科学和社会科学的很多领域中有着十分广泛的应用。 在经济 学中， 尤其在博弈论和宏观经济学中有着大量的应用。 研究动态最优化的数学工具有好几种， 如变分法、动态规划和最优控制理论等。我们在第十章中简要地介绍过动态规划，但是没有 介绍它的最优化原理。在本章我们来介绍变分法、动态规划的最优化原理和最优控制，重点 是最优控制理论。最优控制理论是数学上一个独立的学科，包含的内容很丰富。在本章我们 只 能 简要 地最 优控 制理 论的 框架 和主 要 的 结论 ： Bellman 最 优 化原 理， 庞 得 里亚 金 (Pontryagin) 极大值原理及其在宏观经济学中的应用。
故整个时段的总成本为：
J (u) = ∫ L( t , x ( t ), u( t ))dt
t0
T
（12.9）
于是问题就归结为：求生产速率 u(t)，使其满足约束条件（12.6） ， （12.7） ，且库存量 x(t)满 足（ 12.8） ，并使作为“性能指标”的总成本 J( u)为最小。 最优控制问题的一般提法 通过以上两个实例，可以看出最优控制问题有许多共同点。归纳起来，它们都具有如下 四个要素： （1） 受控对象的数学模型。 受控对象，即状态变量，都是由所谓状态方程描述的动态系统。一般可表为一个微分方 程：
t0 T
最优控制问题是要求一个容许控制 u( t ) ∈ U, t ∈ [ t0 , T ] ，使系统由初始状态 x0 出 发，在某一时刻 T > t 0，达到目标集 S，并使性能 J(u) 达到最小（或最大）值。
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x∈[ x1 , x2 ]
最优控制问题的动态规划法
最优控制问题的动态规划法动态规划法是一种常用的最优控制问题求解方法。
它通过将问题分解为子问题，并保存子问题的最优解，最终得到整体问题的最优解。
本文将介绍最优控制问题的动态规划法及其应用。
一、概述最优控制问题是指在给定控制目标和约束条件下，通过选择一组最优控制策略来实现最优控制目标。
动态规划法通过将问题分解为若干个阶段，并定义状态和决策变量，来描述问题的动态过程。
并且，动态规划法在求解过程中通过存储子问题的最优解，避免了重复计算，提高了计算效率。
二、最优控制问题的数学模型最优控制问题通常可以表示为一个关于状态和控制的动态系统。
假设系统的状态为$x(t)$，控制输入为$u(t)$，动态系统可以表示为：$$\dot{x}(t) = f(x(t), u(t))$$其中，$\dot{x}(t)$表示状态$x(t)$的变化率，$f$为状态方程。
此外，系统还有一个终止时间$T$，以及初始状态$x(0)$。
最优控制问题的目标是找到一个控制策略$u(t)$，使得系统在给定时间$T$内，从初始状态$x(0)$演化到最终状态$x(T)$，同时使得性能指标$J(x,u)$最小化。
性能指标通常表示为一个积分的形式：$$J(x,u) = \int_0^T L(x(t), u(t)) dt + \Phi(x(T))$$其中，$L$表示运动代价函数，$\Phi$表示终端代价函数。
三、最优控制问题的动态规划求解最优控制问题的动态规划求解包括两个主要步骤：状态方程的离散化和动态规划递推。
1. 状态方程的离散化将状态方程离散化可以得到状态转移方程。
一般来说，可以使用数值方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法）对状态方程进行离散化。
通过选择适当的时间步长，可以平衡计算精度和计算效率。
2. 动态规划递推动态规划递推是最优控制问题的关键步骤。
假设状态函数$V(t,x)$表示从时刻$t$起，状态为$x$时的最优性能指标。
动态规划递推过程通常可以描述为以下几个步骤：（1）递推起点：确定最终时刻$T$时的值函数$V(T,x)$，通常可以根据终端代价函数$\Phi$直接得到。
第十章_具有约束的最优控制问题
G ( t , y , u ) [ 的运动方程
T
]
(t )
在计划时期内的初始值和终结值是：
0 0
( 0 ) G ( , y , u ) d 0
(T ) G ( , y , u ) d k
0
上页的最优控制问题变为：T 最优控制问题： 最大化 0 F ( t , y , u ) dt
T
例2 解以下最优控制问题：
最大化 0 1 dt y yu 满足
y (0) 5 y ( T ) 11 T 自由
T
和
u ( t ) [ 1,1]
它具有一个受约束的控制变量，该控制集合可视为 两个不等式约束：
1 u (t ) 和 u (t ) 1
汉密尔顿函数： H 拉格朗日函数：
u
对于所有 t [ 0 , T ]
]
H y [ 的运动方程 ]
y
H
[ y 的运动方程
(t ) 常数
( T ) 0 [ 横截条件 ]
四、不等式积分约束 T 最优控制问题： 最大化 0 F ( t , y , u ) dt y f (t, y , u ) 满足
y H H
u
F (t, y , u ) f (t, y , u ) G (t, y , u )
[ y 的运动方程
[ 的运动方程
]
[ 的运动方程
]
[ 的运动方程
]
( T ) 0 [ 横截条件 ]
上页的最大值原理可简化为：
Max H
]
]
( T ) 0 , ( T ) k 0 , ( T )[ ( T ) k ] 0 [ 的横截条件
第十章_具有约束的最优控制问题
对于给定的 ，或者 关于( y , u ) 对所有t [ 0 , T ] 是凹 的，或者 H 0 关于 y 对于所有t [ 0 , T ] 是凹的。
如果是无限水平问题，充分性定理仍然适用，但是要 加上一个补充性条件：
T
lim ( t )[ y ( t ) y ( t )] 0
G ( t , y , u ) [ 的运动方程
T
]
(t )
在计划时期内的初始值和终结值是：
0 0
( 0 ) G ( , y , u ) d 0
(T ) G ( , y , u ) d k
0
上页的最优控制问题变为：T 最优控制问题： 最大化 0 F ( t , y , u ) dt
]
H y [ 的运动方程 ]
y
H
[ y 的运动方程
( T ) 0 [ y 的横截条件
( t ) 常数 0
和
]
k
G ( t , y , u ) dt
0
T
0
k
G ( t , y , u ) dt 0 0
T
]
(t )
在计划时期内的初始值和终结值是：
0 0
( 0 ) G ( , y , u ) d 0
(T ) G ( , y , u ) d k
0
上页的最优控制问题变为： 最优控制问题： 最大化 F ( t , y , u ) dt 0 y f (t, y , u ) 满足
(10 . 43 ) (10 . 44 ) (10 . 45 ) (10 . 47 )
动态规划在最优控制中的应用
动态规划在最优控制中的应用在控制工程领域，如何实现系统的最优控制一直是一个关键且具有挑战性的问题。
动态规划作为一种有效的数学工具，为解决这类问题提供了强大的支持。
要理解动态规划在最优控制中的应用，首先得明白什么是最优控制。
简单来说，最优控制就是在满足一定约束条件的情况下，找到一种控制策略，使得某个性能指标达到最优值。
比如说，在一个生产过程中，我们希望在保证质量的前提下，以最小的成本、最短的时间生产出最多的产品，这就需要找到最优的控制策略来调整生产线上的各种参数。
那么动态规划又是如何发挥作用的呢？动态规划的核心思想是将一个复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过逐步求解这些子问题来得到原问题的最优解。
举个简单的例子，假设我们要从 A 地前往 B 地，途中经过多个中间地点。
我们有多种交通方式可以选择，比如步行、骑车、坐公交或者打车。
每种交通方式都有不同的花费和所需时间。
我们的目标是在给定的预算和时间限制内，找到最快到达 B 地的路径。
这就可以看作一个最优控制问题。
使用动态规划来解决这个问题时，我们会从最后的目的地 B 开始倒推。
对于每个中间地点，我们会计算从该地点到 B 地的最优路径和成本。
然后逐步向前推进，直到起点 A。
通过这种方式，我们可以在每一步都做出最优的决策，最终得到从 A 地到 B 地的最优路径。
在实际的工程应用中，动态规划常用于解决诸如资源分配、生产调度、库存管理等问题。
以资源分配为例，假设有一定数量的资源需要分配给多个项目，每个项目对资源的需求不同，产生的效益也不同。
通过动态规划，我们可以确定如何分配资源，以使总效益达到最大。
在动态规划的求解过程中，一个重要的概念是贝尔曼最优性原理。
它指出，一个最优策略具有这样的性质：无论初始状态和初始决策如何，对于第一个决策所产生的新状态，后续的决策必须构成针对新状态的最优策略。
这就像我们前面提到的旅行例子，无论我们在哪个中间地点，后续的决策都应该是基于当前位置到达目的地的最优选择。
最优控制问题的最大原理
最优控制问题的最大原理在控制论中，最优控制问题是一个重要的研究领域。
最优控制是指在给定系统和控制目标的情况下，找到使系统达到最佳性能的控制策略。
最大原理是解决最优控制问题的核心思想之一。
本文将介绍最优控制问题以及最大原理的概念、应用和实现过程。
一、最优控制问题的概述最优控制问题是在数学优化领域中的一个重要问题。
其目标是通过选择合适的控制输入，使系统的性能指标达到最优。
最优控制问题可以分为静态最优控制和动态最优控制两类。
静态最优控制是在给定时间段内，找到一个控制策略使得系统性能指标最优。
动态最优控制则是在一段时间内，找到一个最佳控制策略使得系统在整个过程中的性能指标最优。
二、最大原理的概念最大原理是最优控制问题中的一个基本概念。
它认为在最优控制问题中，系统的状态和控制变量满足一定的最大原理方程。
最大原理方程是通过构建系统状态的Hamilton-Jacobi-Bellman方程得到的。
最大原理方程可以用来确定最佳控制策略，将最优控制问题转化为一个求解偏微分方程的问题。
三、最大原理的应用最大原理在最优控制问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，最大原理可以用来确定最优的资源分配策略，以最大化经济效益。
在工程控制中，最大原理可以用来设计最优的控制系统，以最大限度地提高系统的性能。
在交通流量控制中，最大原理可以应用于交通信号灯的优化控制，以最大程度地减少交通拥堵。
四、最大原理的实现过程最大原理的实现过程是一个复杂的数学优化问题。
通常需要使用数学工具和算法进行求解。
其中一个常用的方法是动态规划法。
动态规划法将最优控制问题分解为一系列子问题，并通过递归的方式求解每个子问题，最终得到最优的控制策略。
另一个常用的方法是最优化算法，如最速下降法、牛顿法、共轭梯度法等。
这些算法可以通过迭代的方式求解最优控制问题。
总结：最优控制问题是控制论中的一个重要研究领域，最大原理是解决最优控制问题的核心思想之一。
最大原理通过构建系统状态的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，可以用来确定最佳控制策略。
最优控制问题
最优控制问题最优控制问题综述报告一、最优控制简介最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。
最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
最优控制是最优化方法的一个应用。
从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。
所谓最优控制问题，就是指在给定条件下，对给定系统确定一种控制规律，使该系统能在规定的性能指标下具有最优值。
也就是说最优控制就是要寻找容许的控制作用（规律）使动态系统（受控系统）从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）达到最大（小）值。
其本质是变分学问题。
二、产生背景及发展最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。
这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计理论。
它以20世纪60年代空间飞行器的制导为背景。
它最初的研究对象是由导弹、航天、航海中的制导、导航等自动控制技术、自动控制理论、数字计算技术等领域所总结出来的一类按某个性能指标达到最大或最小的控制问题。
1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。
钱学森1954年所着的《工程控制论》，直接促进了最优控制理论的发展和形成。
1960年，最大值原理、动态规划方法和最优线性调节器的理论被公认为最优控制理论的三大里程碑，标志着最优控制理论的诞生。
动态最优化第10讲 具有约束的最优控制问题
最大值原理条件：
0 对于所有的t 0,T
u
c g 0, 0, 0
dy dt
d
dt y
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（5）现值哈密尔顿函数和拉格朗日函数
引入新的乘子： m et （隐含 met）
n et （隐含 net）
汉密尔顿函数和拉格朗日函数：
Gt,
y, u dt
0
Γ
T
T
0
Gt,
y,
u
dt
k
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（4）不等式积分约束
问题重新表述为：
（2个状态变量的无约束问题，新变量具有截断终结线）
Max
T
0
F
t,
y,
u
dt
S.T. dy f t, y,u
dt
dΓ Gt, y,u
dt
y0 y0 yT 自由 （y0 ,T给定）
dt
又由于：汉密尔顿函数H独立于Γ ,
所以有：d H 0 t 常数
dt Γ 最大值原理条件重新表述为：
Max H u
dy H
dt
对于所有的t 0,T
d H t 常数
dt y
T 0
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（3）等周问题
等周问题简便解法：
构造拉格朗日函数（增广汉密尔顿函数）：
u1
0
u1
3
0
0 0 0
u2
u2
0 i
0,i
0,i
0 i
0
i
0,i
0,i
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（2）变分和变分法
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t
tx t dt
试求：
（1）δJ 的表达式；
（2）当 x（t）＝t2，δx＝0.1t 和 δx＝0.2t 时的变分 δJ 的值。
解：（1）由泛函变分规则可知：
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（2）由（1）可知，δx＝0.1t 时：
δx＝0.2t 时：
10-6 试求下列性能指标的变分 δJ。
J tf t2 x2 x&2 dt t0
解：由泛函变分规则，求得：
10-7 已知性能指标为： 求 J 在约束条件 t2＋x12＝R2 和边界条件 x1（0）＝－R，x2（0）＝0，x1（R）＝0，x2 （R）＝π 下的极值。 解：构造广义泛函为：
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第 10 章 动态系统的最优控制方法
10.1 复习笔记
考研初试一般不考查本章内容，下文为最优控制问题的基础理论部分。
一、最优控制的基本概念 （1）最优控制 概念：在系统状态方程和约束条件给定的情况下，寻找最优控制律，使衡量系统的某一 性能指标达到最优（最小或最大）。 （2）最优控制问题 任何一个最优控制问题均应包含四方面内容：①系统数学模型；②边界条件与目标集； ③容许控制；④性能指标。 （3）最优控制的研究方法 包括：解析法；数值计算法；梯度型法。
最优控制总结
/系统的数学模型,物理约束条件及性能指标。
数学描述:设被控对象的状态方程及初始条件为()[(),(),],(0)0x t f x t u t t x t x ==；其中,()x t X Rn ∈⊂为状态向量，X 为状态向量的可容许集；()u t Rm ∈Ω⊂为控制向量，Ω为控制向量的可容许集。
试确定容许的最优控制*()u t 和最优状态轨迹*()x t ，使得系统实现从初始状态(0)x t 到目标集[(),]0x tf tf ψ=的转移,同时使得性能指标0[(),][(),(),]tft J x tf tf L x t u t t dt ϕ=+⎰达到极值。
系统状态方程形式(连续,离散)(2)最优控制形式(开环,闭环) (3)实际应用(时间,燃料,能量,终端) (4)终端条件(固定,自由) (5)被控对象形目标函数及约束条件组成的静态优化问题可以描述为：在满足一系列约束条件的可行域中，确定一组优化变量，(极大值或极小值)。
数学描述：min (),,:n nf x x R f R R ∈→，..()0,:;()0,:n m n l s tg x g R R h x h R R =→≥→静态最优化问题，也称为参数最优化问题，它的三个基本要素是优化变量、目标函数和约束条件，其本质是解决函数，也称为最优控制问题，它的三个基本要素是被控对象数学模型、物理约束条件和性能指标，其本质是解 多变量目标函数沿着初始搜索点的负梯度方向搜索,函数值下降最快,又称最速下降法;(2)多变量无约束。
根据具体的最优换问题构造合适的惩罚函数,将多变量有约束最优化问题转换为一系列多变量无约束最优化问题,从而采用合适;(2)多变量有约束(外点法:等式约,不等式约束;内点法:不等式约束)。
通过构造拉格朗日函数,将原多变量有约束最优化问题转化为一个多变量无约束最优化问题,从而采用合适的无约束方法继(等式约束,不等式约束)。
梯度定义12()()()()f x x f x f x f x xx ∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥=∇=⎢⎥∂∂⎢⎥∂⎣⎦，Hessian 矩阵22221212222212()()f f x x x f x H x x f f x x x ⎡⎤∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥==⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦,最优梯度法(无约束)：迭代(1)()()()()k k k k x x f x α+=-∇，()()()()()()()()()()()k T k k k T k k f x f x f x H x f x α∇∇=∇∇，终止误差()()()k p k f x ε=-∇≤ 例：(),(0),()f x f x H x ∇∇；(0)[(0)(0)]f x T f x α=∇•∇/[(0)(0)]T f x H f x ∇••∇；(1)(0)(0)(0)x x f x α=-•∇；()f xk ε∇<，()x k 是极()0,()0x x =≥g h (1) 等式约束：(,)()()T H x f x x λ=+λg ，利用1210,0,0,0,0n mH H H H Hx x xλλ∂∂∂∂∂=====∂∂∂∂∂解出极大值点或极小值点。
最优控制与最优化问题中的动态规划方法
最优控制与最优化问题中的动态规划方法动态规划方法是一种在最优控制和最优化问题中常用的方法。
它通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
本文将介绍动态规划方法的基本原理和应用，以及其在最优控制和最优化问题中的具体应用案例。
一、动态规划方法的基本原理动态规划方法的基本原理是将原问题分解为若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
具体来说，动态规划方法有以下几个基本步骤：1. 定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。
2. 确定状态转移方程：根据问题的特点和约束条件，确定状态之间的转移关系。
3. 确定边界条件：确定问题的边界条件，即最简单的情况下的解。
4. 递推求解：利用状态转移方程和边界条件，递推求解问题的最优解。
二、动态规划方法在最优控制中的应用动态规划方法在最优控制中有广泛的应用。
最优控制问题的目标是找到一种控制策略，使得系统在给定的约束条件下达到最优性能。
动态规划方法可以用来求解最优控制问题的控制策略。
以倒立摆控制为例，倒立摆是一种常见的控制系统，其目标是使摆杆保持竖直位置。
动态规划方法可以将倒立摆控制问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的控制动作。
通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个控制过程的最优策略。
三、动态规划方法在最优化问题中的应用动态规划方法在最优化问题中也有广泛的应用。
最优化问题的目标是找到一组变量的最优取值，使得目标函数达到最小或最大值。
动态规划方法可以用来求解最优化问题的最优解。
以旅行商问题为例，旅行商问题是一个经典的最优化问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商能够经过所有城市并且总路程最短。
动态规划方法可以将旅行商问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的下一个城市。
通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个旅行路径的最优解。
四、动态规划方法的优缺点动态规划方法有以下几个优点：1. 可以求解复杂的最优控制和最优化问题，具有较高的求解效率。
最优控制(动态求解)
t
tt0 f F xx F xxo (x)2,(x)2 d t
上式中 o[(x)2,(x)2是] 高阶项。
精品
根据定义，泛函的变分 J 是 J的线性
主部，即
J
tf t0
F xx F x x d
t
对上式第二项作分部积分，按公式
可得
tf t0
udvuvtt0f
tf vdu t0
定理 设有如下泛函极值问题：
minJ tf g(x(t),x(t),t)dt
x(t)
t0
s.t. f (x(t),x(t),t) 0
（6）
已知x(t0)=x0， x(tf)=xf ,则极值曲线x * ( t ) 应满足如下欧 拉方程和横截条件
Fx ddt(Fx)0
F
( x)t tf
x(tf) ( F x)t t0
( x)t tf
x(tf) ( F x)t t0
x(t0)0
（2） （3）
精品
证明：x (t ) 与 x (t ) 之间有如下关系
x(t)x*(t)x(t)
x (t)x *(t)x (t)
于是泛函J 的增量J可计算如下（以下将*号省去）
Jtf t0
F xx ,x x ,t F x ,x ,t d
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精品
在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个 泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极 值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列出变 分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但读者 可对照微分学中的结果来理解。
精品
4.1.1 泛函与变分
先来给出下面的一些定义。
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
数X (t)，有一个实数值J与之相对应，则称J为依赖于
最优控制(动态求解)
06
最优控制在现实生活中的应 用
经济问题
投资组合优化
通过最优控制理论，投资者可以 确定最佳的投资组合策略，以最 大化收益或最小化风险。
生产调度
在生产过程中，企业可以使用最 优控制理论来优化生产调度，以 提高生产效率并降低成本。
商业决策
商业决策者可以使用最优控制理 论来制定最佳的商业策略，例如 定价、库存管理和营销策略。
内点法
内点法是一种基于梯度下降的求解方法，通过迭代逼近最优解，适用 于大规模的优化问题。
最优控制的线性规划问题
最优控制问题可以转化为线性规划问 题，通过建立状态方程、目标函数和 约束条件，利用线性规划求解方法找 到最优控制策略。
在实际应用中，最优控制的线性规划 问题广泛应用于生产调度、物流优化、 金融投资等领域。
03
其中，V(x)表示状态x的价值函数，R(x,a)表示在状态x采取 行动a的即时奖励，p(x′∣x,a)表示从状态x采取行动a转移到 状态x′的概率。
递归求解方法
01
02
03
递归求解方法是动态规划的常用求解 方法，通过递归地求解子问题来得到 原问题的最优解。
递归求解方法的基本步骤是：将原问 题分解为若干个子问题，分别求解每 个子问题的最优解，然后利用子问题 的最优解来求解原问题的最优解。
03
状态方程的解可以给出系统在 任意时刻的状态，是进行最优 控制的基础。
性能指标函数
01
性能指标函数用于衡量控制策略的效果，通常表示为系统状态 和控制输入的函数。
02
性能指标函数的目标是最小化或最大化，例如控制能量、时间、
误差等。
性能指标函数的选取应根据具体问题的需求来确定，不同的性
03
最优控制例题讲解
最优控制例题讲解
最优控制是指在给定动态系统的控制框架下，通过选择合适的控制策略，使得系统在给定性能指标下达到最优状态。
最优控制问题可以形式化为一个数学优化问题，其中包括一个目标函数和一组约束条件。
下面我们来讲解一个最优控制的例题。
假设有一个无人机需要完成一次空中任务，该任务包括从起点飞行到终点，并在途中避开障碍物。
我们的目标是使得无人机在完成任务的同时，最小化能量消耗，即最小化无人机的飞行时间。
为了解决这个问题，我们可以建立一个动力学模型来描述无人机的运动，例如使用牛顿第二定律和运动学方程。
然后，我们可以引入一个控制变量，如推力或俯仰角，来改变无人机的运动。
在建立动力学模型后，我们可以定义一个目标函数，如飞行时间的积分。
然后，我们可以引入一些约束条件，如无人机的运动范围、速度限制、避障约束等。
接下来，我们可以使用优化算法来求解这个最优控制问题，如动态规划、最优控制理论中的泛函最优化方法（如Pontryagin最大值原理）或者数值优化方法（如非线性规划、强化学习等）。
通过求解最优控制问题，我们可以得到一个最优控制策略，即在每个时间步选择最优的控制输入，以使得无人机在完成任务的同时最小化能量消耗。
然后，我们可以将该控制策略应用于实际的无人机系统中，从而实现最优控制。
需要注意的是，最优控制问题的求解通常需要考虑多个因素，如系统动力学、性能指标、约束条件等，并且可能涉及到复杂的数学推导和计算。
因此，在实际应用中，通常需要结合具体问题的特点，选择合适的建模方法和优化算法来求解最优控制问题。
控制工程中的最优控制问题
控制工程中的最优控制问题在众多控制工程中，最优控制问题是一个极为重要的领域。
该领域研究如何设计，实现和维护最优的控制系统。
其目的是减少物理系统的机械和电气损耗、提高其效率、降低生产成本、提高产品质量等。
最优控制问题可以使用各种不同的优化算法来解决，如贪心算法、动态规划、线性规划和非线性规划等。
这些算法都是基于数学和计算机科学的考虑来维护和改进控制操作的，以此实现最优控制。
最优控制问题的解决需要控制系统中的许多不同组件和参数的协作。
控制系统由传感器、执行器、控制算法和反馈环路等组成。
优化其参数和组件，以实现最优控制，是一项艰巨而重要的工作。
最优控制问题最初从工业控制领域发展起来，现已波及包括微观控制(SMEM),机器人控制和气候控制在内的各个领域。
处理最优控制问题的每个应用领域都有其特定的控制要求和限制，需要经过仔细的分析和评估，以确保最优化控制是实现目标的最佳方法。
在当今的工业化环境中，最优控制问题显得尤为重要。
它可以减少能源和原材料使用，降低环境污染，提高生产效率和产品质量。
自动化控制系统(IACS)正不断发展，在实现最优控制方面具有很大的潜力。
它们可以处理各种连续和离散过程，从化学生产到交通系统，从电力系统到智能家居系统等等。
尽管最优控制问题存在困难和挑战，但其优点和应用价值是显而易见的。
通过在控制系统的各个方面中实现最优化设计和操作，我们可以提供更高效、更可靠、更安全、更环保的系统。
这对促进社会和经济发展具有积极的作用。
最优控制问题对学术和工业界都有影响。
它对控制理论和计算机科学领域提出了新的挑战，要求研究人员创造新的算法和工具，以应对不断增长的需求。
同时，工业界也需要质量更高、功能更强大和成本更低的最优控制系统，以保持其竞争力。
结论在控制工程领域中，最优控制问题是一个必不可少的领域。
它对实现系统优化和提高效率有重要的影响。
通过最优控制方法，我们可以在各种领域中提供更高效、更可靠、更环保的控制系统。
最优控制问题的主要方法
最优控制问题的主要方法最优控制问题是控制理论中的一个重要分支，其目标是在给定系统动力学和性能指标的情况下，寻找最优的控制策略，使系统达到最优性能或目标。
以下是最优控制问题的一些主要方法：1.变分法（ Calculus（of（Variations）：（变分法是一种数学工具，用于寻找泛函的极值。
在最优控制中，系统的性能指标通常可以表示为一个泛函。
变分法可以通过最小化或最大化泛函来导出最优控制问题的欧拉-拉格朗日方程。
2.动态规划 Dynamic（Programming）：（动态规划是一种用于解决具有递归结构且满足最优子结构性质的问题的优化方法。
在最优控制中，动态规划可以用于处理具有离散或连续时间的动态系统，并通过构建状态转移方程来找到最优策略。
3.最优控制理论（Optimal（Control（Theory）：（最优控制理论是处理连续时间动态系统最优化问题的数学工具。
它利用微分方程和变分法来分析系统，并确定最优控制策略，以使系统性能指标达到最优。
4.Pontryagin最大值原理（ Pontryagin's（Maximum（Principle）：（Pontryagin最大值原理是最优控制中的一个重要概念，它提供了寻找连续时间系统最优控制策略的方法。
该原理基于最优控制问题的哈密顿函数和共轭动态系统，通过最大化哈密顿函数来确定最优控制。
5.线性二次型调节器 LQR）：（线性二次型调节器是一种针对线性动态系统设计最优控制器的方法。
它通过最小化系统状态和控制输入的二次型代价函数来设计最优控制器。
6.模型预测控制 Model（Predictive（Control，MPC）：（模型预测控制是一种基于离散时间模型的最优控制方法。
它使用系统的预测模型来预测未来状态，并通过优化控制序列来实现性能指标的最优化。
这些方法可以根据系统的特性、动力学模型、性能指标和实际应用场景选择和应用。
最优控制问题在工程、经济学、生物学等领域有着广泛的应用，能够优化系统的性能并提高控制效果。
动态最优化第9讲 最优控制理论无限水平问题
无限计划水平最优控制问题：V
0
F t,
y, u dt
收敛性的充分条件（一）：
给定广义积分
0
F t,
y, u dt
，如果被积函数F在整个积
分区间上是有限的，而且如果F在某个有限时刻（t0
）处达到0，且对于所有t>t0保留为0，那么此积分将
收敛。
收敛性的充分条件（二）：
对于积分
0
F t,
y, u dt
最优终结时间T *和终结状态yT*的扰动为：
T T * T yT yT* yT
泛函V转化为了的函数：Fra bibliotekT*T
V 0 H
t, y*t qt,u*t Pt,
y*t qt dt
T yT* yT 0y0
第九讲 最优控制理论无限水平问题
（二）横截条件的推导
最大化V的一阶条件：
具有漩涡轨道，漩涡轨道循环性流向焦点（稳定焦点）
或者漩涡轨道循环性的背离焦点（非稳定焦点）
y
dy 0
-
dt
+
y
dy 0
+ -dt
E
+
-dx 0
dt
0
x
0
稳定焦点
E
- +dx 0
dt x
非稳定焦点
第九讲 最优控制理论无限水平问题
（三）复习：双变量相图分析
（4）均衡的类型
d）漩涡（中心）均衡（非稳定均衡）
（1） dy 0 dt
（4）
x
第九讲 最优控制理论无限水平问题
（三）复习：双变量相图分析
假设：fx 0, f y 0, gx 0, g y 0
根据导数确定分界曲线左右边的符号 y
动态最优化 徐高的笔记
[
]
(2.1.3)
又由分部积分法可得
∫
T
0
Fy′ p ′(t )dt = Fy′ p (t ) 0 − ∫ p (t )
T 0
[
]
T
T d d Fy′ dt = − ∫ p (t ) Fy′ dt 0 dt dt
]
(2.2.13)
此式可以通过画一个图看出。详见蒋中一《动态最优化基础》76 页图 3.1 4
XG’s 动态最优化笔记
由于 ∆T 是任意的，可得横截条件为
[F + (φ ′ − y ′)F ]
y ′ t =T
=0
(2.2.14)
再加上 yT = φ (T ) 可确定曲线。 情形 IV：截断垂直（水平）终结线： 。做法是，先按照垂直终结线（水平终结线）方法 有终结约束 yT ≥ y min （或 T ≤ Tmax ） 求出最优曲线。检查是否符合约束，若是，则结束。否则按照固定终点问题 (T , y min ) （或
(2.1.4)
T dV (ε ) d = ∫ p (t ) Fy − Fy′ dt = 0 0 dε dt
(2.1.5)
由于 p (t ) 是任意函数，要上式成立，则必须有
Fy −
d Fy′ = 0 ，对于所有 t ∈ [0, T ] dt
y′
[欧拉方程]
(2.1.6)
欧拉方程的其它形式
s.t.
m
g (t , y1 ,L, y n ) ≤ c m
F = F + ∑ λi (t ) ci − g i
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最大值原理的其它条件（运动方程）：
dy H （状态变量的运动方程） dt d H g 1 g 2 1 2 （共态变量的运动方程） dt y y y y
加适当横截条件
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
0 0
Γ T G t , y, u dt k
T 0
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（3）等周问题
问题重新表述为：（两个状态变量的一个无约束问题）
Max S .T .
F t , y, u dt
T 0
dy f t , y, u dt dΓ G t , y, u dt y 0 y0 Γ 0 0 y T 自由 （y0 , T给定） Γ T k （k给定）
0 u1 0 u 2 0 i 0 3
0 3u1 0 3
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（2）不等式约束
如果构造拉格朗日函数为：
F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2 即： 0 3u1
dy f t , y, u1 , u 2 dt g t , y, u1 , u 2 c1
1
S .T .
dy f t , y, u1 , u 2 dt g 1 t , y, u1 , u 2 c1 g 2 t , y, u1 , u 2 c2 u1 0
加适当横截条件
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（2）不等式约束
Max S .T .
0
如果模型存在控制变量的非负性约束： ui t 0 最优控制问题如： T T Max F t , y, u1 , u 2 dt F t , y, u , u dt
1 2 0
（一）涉及控制变量的约束
（3）等周问题
引入1个新的状态变量，使得积分约束可以用这个 状态变量表示的1个条件代替： 有：
Γ t Gt , y, u dt
t 0
dΓ G t , y, u （Γ的运动方程） dt Γ 0 G t , y, u dt 0
dy H （状态变量的运动方程） dt d H g （共态变量的运动方程） dt y y y
加适当的横截条件
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（2）不等式约束
2个控制变量和2个不等式约束：
Max S .T .
F t , y, u , u dt
汉密尔顿函数：
H F t , y, u1 , u2 t f t , y, u1 , u2
构造拉格朗日函数：
H 1 t c1 g 1 t , y, u1 , u2 2 t c2 g 2 t , y, u1 , u2
F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2
并把最大化拉格朗日一阶条件的：
0 ui
直接替换为： 0, ui 0, ui 0 ui ui
其它条件跟没有变量非负性约束形式的条件一致
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（2）不等式约束
拉格朗日函数： F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2
动态最优化方法
——第10讲 具有约束的最优控制问题
第十讲 具有约束的最优控制问题
最优控制两种类型额约束
1. 涉及控制变量的约束 控制变量出现在约束中，有或者没有状态变量 （等式约束、不等式约束、等式积分约束、不 等式积分约束） 2. 涉及状态变量的约束（状态空间约束） 没有控制变量，约束仅影响状态变量
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（2）不等式约束
对于 F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2 的最大化一阶条件：
u 3 0 1 0 , u 0 , u 0 1 1 u1 u1 简化为： 0 u 2 0 u 2 0, i 0, i 0 i i 0, i 0, i 0 u 0, 0, u 0 i 3 3 1 1 i
F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2 3u1
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（2）不等式约束 0 F f 1 c1 g1 2 c2 g 2 3u1
最大化拉格朗日函数 0 的一阶条件：
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（2）不等式约束
F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2
最大值原理的其它条件（运动方程）：
dy H （状态变量的运动方程） dt d H g 1 g 2 1 2 （共态变量的运动方程） dt y y y y
由于： 3 , 3 0, u1 0 u1
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
所以，对于控制变量的非负性约束： ui 0 可直接把拉格朗日函数设为不包含此非负性约束的形式：
（2）不等式约束
F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2
g t , y, u1 , u 2 c2
2
u1 0
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（2）不等式约束
汉密尔顿函数：
H F t , y, u1 , u2 t f t , y, u1 , u2
构造拉格朗日函数：
0 H 1 c1 g 1 2 c2 g 2 3 0 u1
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（1）等式约束
F t , y, u1 , u2 t f t , y, u1 , u2 t c g t , y, u1 , u2
最大化拉格朗日函数的一阶条件：
f g F j 1,2） 0 对于所有的t 0, T（ u j u j u j u j c g t , y, u , u 0 对于所有的t 0, T 1 2
最大化拉格朗日函数 0 的一阶条件等价为：
0 0 3 0 u1 u1 0 0 0 u2 u2
0 0 0, i 0, i 0 0, i 0, i 0 （i 1,2） i i i i 0 0 u1 0, 3 0, 3 3u1 0 3 3
（3）等周问题
1个状态变量，1个控制变量，1个积分约束问题：
Max S .T .
F t , y, u dt
T 0
dy f t , y, u dt
Gt , y, u dt k
T 0
y 0 y0
y T 自由 （y0 , T给定）
第十讲 具有约束的最优控制问题
F f g 1 g 2 1 2 3 0 u1 u1 u1 u1 F f g 1 g 2 1 2 0 u 2 u 2 u 2 u 2 ci g i 0, i 0, i u1 0, 3 0, 3 0 0 （i 1,2） i
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（3）等周问题
汉密尔顿函数： H F t , y, u f t , y, u Gt , y, u 最大值原理条件：
Max
u
H
对于所有的t 0, T d H （的运动方程） dt y d H （的运动方程） dt Γ
dy H （y的运动方程） dt dΓ H （Γ的运动方程） dt
T 0
（横截条件）
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（3）等周问题
由于Γ变量是人为引入，它的时间路径没有直接意义 dΓ H 所以可省略Γ的运动方程： dt 又由于：汉密尔顿函数H独立于Γ , d H 所以有： 0 t 常数 dt Γ 最大值原理条件重新表述为： Max
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（1）等式约束
2个控制变量u1和u2满足1个约束条件：
g t , y, u1 , u2 c
T 0
最优控制问题： Max
F t , y, u , u dt
1 2
S .T .
dy f t , y, u1 , u 2 dt g t , y, u1 , u 2 c 边界条件
T 0 1 2
dy f t , y, u1 , u 2 dt g 1 t , y, u1 , u 2 c1 g 2 t , y, u1 , u 2 c2 边界条件
不需要求约束条件个数小于控制变量个数
第十讲 具有约束的最优控制问题
（一）涉及控制变量的约束
（2）不等式约束
源自第十讲 具有约束的最优控制问题