导数中的函数构造问题

2021年新高考数学总复习第三章《导数及其应用》
导数中的函数构造问题
一、利用f (x )进行抽象函数构造
(一)利用f (x )与x 构造
1．常用构造形式有xf (x )，f (x )x
，这类形式是对u ·v ，u v 型函数导数计算的推广及应用．我们对u ·v ，u v 的导函数观察可得知，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，u v 型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，
当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造u v .
例1 设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．
思路点拨 出现“＋”形式，优先构造F (x )＝xf (x )，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．
答案 (－∞，－4)∪(0,4)
解析 构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递减．根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．
例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________．
思路点拨 出现“－”形式，优先构造F (x )＝f (x )x
，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2
，当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增．根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
2．xf (x )，f (x )x
是比较简单常见的f (x )与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我
们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．
F (x )＝x n f (x )，
F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －
1[nf (x )＋xf ′(x )]；
F (x )＝f (x )x n ， F ′(x )＝f ′(x )·x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1
； 结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；
(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )x n . 我们根据得出的结论去解决例3.
例3 已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x >0时，2f (x )>xf ′(x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．
思路点拨 满足“xf ′(x )－nf (x )”形式，优先构造F (x )＝
f (x )x n ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．
答案 (－1,0)∪(0,1)
解析 构造F (x )＝f (x )x 2，则F ′(x )＝f ′(x )·x －2f (x )x 3
，当x >0时，xf ′(x )－2f (x )<0，可以推出当x >0时，F ′(x )<0，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 2为偶函数，所以F (x )为偶函数，∴F (x )在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
(二)利用f (x )与e x 构造
1．f (x )与e x 构造，一方面是对u ·v ，u v 函数形式的考察，另外一方面是对(e x )′＝e x 的考察．所
以对于f (x )±f ′(x )类型，我们可以等同xf (x )，f (x )x
的类型处理，“＋”法优先考虑构造F (x )＝f (x )·e x ，“－”法优先考虑构造F (x )＝f (x )e x . 例4 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )
A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)
B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)
C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)
D ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)
思路点拨 满足“f ′(x )－f (x )<0”形式，优先构造F (x )＝f (x )e x ，然后利用函数的单调性和数。