最新全等三角形边边边判定的练习题

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全等三角形边角边判定的练习题.doc

（这个条件可以证得吗？）。

全等三角形边角边判定的基本练习1.如图3,巳知AD〃BC, AD = CB,要用边角边公理证明^ABC竺^CDA,需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD = CB（已知），二是；还需要一个条件2.如图4,已知AB = AC, AD=AE, Z1=Z2,要用边角边公理证明△ ABD竺ACE,需要满足的三个条件中，已具有两个条件：一是二是还需要一个条件（这个条件可以证得吗？）o3.已知：AD〃BC, AD= CB（图3）。

求证:AADC^ACBA.4.已知：AB = AC、AD = AE、Z1=Z2（图4）。

求证：Z^ABD 丝Z^ACE。

图45.已知：如图，AB = AC, F、E分别是AB、AC的中点。

求证：△ABE^AACFoC6、己知：点A、F、E、C 在同一条直线上，AF = CE, BE〃DF, BE = DF. 求证：△ABE#ACDF.D C7、已知：如图AB=AC,AD=AE,ZBAC= ZDAE,求证：AABD^AACE8、如图，ZiABC中，AB = AC, AD平分匕BAC,试说明^ABD丝MCD。

B D C9、已矢口：如图，AD〃BC, AD=CB 。

求证：AADC^ACBAo，AD±11、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB=,垂足分别是A、Do求证：△FDCWA13、如图，在中，D是AB ±一点，DF交AC于点E, FE= , CE= , AB与CF 有什么位置关系？说明你判断的理由。

12、己知：如图，AC= ， AE= ,Z1=Z2A14、己知：如图，ZDBA=Z ， BD= ° 求证ZC=ZD15、已知：如图，AC和BD相交于点0, 0C= , 0D= 。

求证：DC〃AB。

16、已知：如图，AC和BD相交于点0, DC= ， DB= 0求证：ZC=ZB17、已知：如图,D、E分别是^ABC的边AB,AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF=DE. 求证：(1)BD=FC (2)AB〃CFB C18、己知：如图,AB=AC, EB=EC, AE的延长线交BC于D.求证：BD=CD19、已知:如图,AB=AC,AD=AE,ZBAC= ZDAE.求证:BD=CE20、已知，AABC和AECD都是等边三角形，且点B, C, D在一条直线上求证：BE=AD21、如图，己知，AB〃DE, AB=DE, AF=DCo请问图中有那儿对全等三角形？请任选一对给予证明。

(完整版)全等三角形判定综合练习题

全等三角形判定练习题1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ,BD =CD 。

求证：△ABD ≌△ACD2、如图(2）：AC ∥EF ，AC =EF ，AE =BD 。

求证：△ABC ≌△EDF 。

3、如图（3）：DF =CE ，AD =BC ,∠D =∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

FE （图2）DCBAFEDC（图1）DCBA4、如图（4):AB =AC ，AD =AE ,AB ⊥AC ，AD ⊥AE .求证：（1）∠B =∠C ,（2）BD =CE5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE 。

求证：AC ⊥CE 。

E（图4）DCBAE（图5）DCBA6、如图（6）：CG =CF ，BC =DC ，AB =ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。

求证：（1）AF =EG ,（2）BF ∥DG .7、如图（7）：AC ⊥BC ,BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN =BC 。

求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2)∠A =∠CBM 。

GFE（图6）DC BANM（图7）CBA8、如图（8）:A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC =DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF 。

求证：△ABE ≌△DCF 。

9、如图（9）AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE =CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

FE（图8）DC B AMFE（图9）CBA10、如图（10）∠BAC =∠DAE ,∠ABD =∠ACE ,BD =CE . 求证:AB =AC 。

11、如图（11)在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC 上任一点。

求证：PA =PD .12、如图(12）AB ∥CD ，OA =OD ，点F 、D 、O 、A 、E 在同一直线上，AE =DF . 求证：EB ∥CF 。

八年级上册《数学》第12章利用“边边边”“边角边”判定三角形全等练习题(含答案)

八年级上册《数学》第12章利用“边边边”“边角边”判定三角形全等练习题第1课时利用“边边边”判定三角形全等一、能力提升1.如图,AC=AD,BC=BD,O是CD的中点,则全等三角形的对数是()A.1B.2C.3D.42.如图,AB=AC,BD=DC,则下列结论不正确的是()A.∠B=∠CB.∠ADB=90°∠BC.∠BAD=12D.AD平分∠BAC3.如图,AB=DE,AC=DF,BC=EF,小新根据这些条件得出了四个结论,你认为结论正确的个数是()①AB∥DE;②AC∥DF;③BF=CE;④∠1=∠2.A.1B.2C.3D.44.如图,在5×5的正方形网格中,以点D,E为两个顶点作位置不同的格点三角形,使所作的格点三角形与△ABC全等,这样的格点三角形最多可以画()A.2个B.4个C.6个D.8个5.如图,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧;再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD,CD.若∠B=65°,则∠ADC的大小为度.6.如图,在△ABC中,AD=DE,AB=BE,∠CED=70°,则∠A=.7.如图,AB=AC,BE与CF交于点O,且BO=CO,求证:∠B=∠C.二、创新应用8.如图,AD=CB,E,F是AC上的两个动点,且有DE=BF.(1)若点E,F运动到图①的位置,且有AF=CE,求证:△ADE≌△CBF;(2)若点E,F运动到图②的位置,仍有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗?为什么?答案:一、能力提升1.C△ABC≌△ABD,△AOC≌△AOD,△BOC≌△BOD.2.C3.D在△ABC与△DEF中,{AB=DE, AC=DF, BC=EF,∴△ABC≌△DEF.∴∠B=∠E,∠1=∠2,BC=EF.∵∠B=∠E,∴AB∥DE.∵∠1=∠2,∴∠ACE=∠DFB,∴AC∥DF.∵BC=EF,∴BC+CF=EF+CF,∴BF=CE.即①②③④都正确.4.B这里要考虑满足两个三角形三边相等的所有情况,如图,共有4个.5.656.110°根据“SSS”可得△ABD≌△EBD,则∠A=∠DEB.根据∠CED=70°,可得∠A=∠DEB=110°.7.证明:如图,连接AO ,在△ABO 和△ACO 中.{AB =AC ,AO =AO ,BO =CO ,所以△ABO ≌△ACO. 所以∠B=∠C. 二、创新应用8.分析:在题图①位置时,可以用“SSS ”证明;在题图②位置时,由于AF-EF=CE-EF ,这样有AE=CF ,用“SSS ”也可以证明△ADE ≌△CBF. (1)证明 ∵AF=CE ,∴AF+EF=CE+EF .即AE=CF.在△ADE 与△CBF 中,{AD =CB ,DE =BF ,AE =CF ,∴△ADE ≌△CBF (SSS).(2)解成立,理由如下:∵AF=CE , ∴AF-EF=CE-EF .即AE=CF.在△ADE 与△CBF 中,{AD =CB ,DE =BF ,AE =CF ,∴△ADE ≌△CBF (SSS).第2课时利用“边角边”判定三角形全等练习题一、能力提升1.如图,在△ABC和△DEF中,已知AB=DE,BC=EF,根据“SAS”判定△ABC≌△DEF,还需的条件是()A.∠A=∠DB.∠B=∠EC.∠C=∠FD.以上三个均可以2.已知A,B,C顺次在一条直线上,分别以AB,BC为边在直线的同侧作正三角形ABE和正三角形BCD,下列结论错误的是()A.△ABD≌△EBCB.∠DAB=∠CEBC.∠ABD=∠EBCD.△ABE≌△BCD3.如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.下列结论不正确的是()A.∠BAD=∠CAEB.△ABD≌△ACEC.AB=BCD.BD=CE4.如图,有一面三角形镜子,小明不小心将它打破成1,2两块,现需配成同样大小的一面镜子.为了方便起见,需带上,其理由是.5.如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,根据“SAS”判定△ABC≌△FDE,还需添一个条件,这个条件是.6.(2020·江苏无锡中考)如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)AF∥DE.7.如图,在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB两条边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD,AG.求证:AG⊥AD.8.如图,AD=AE,BD=CE,AF⊥BC于点F,且F是BC的中点,求证:∠D=∠E.二、创新应用9.已知△ABC和△ADE均为等腰三角形,且∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE.(1)如图①,点E在BC上,求证:BC=BD+BE;(2)如图②,点E在CB的延长线上,(1)的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,写出成立的式子并证明.①②答案: 一、能力提升 1.B 2.D3.C 因为∠BAC=∠DAE ,所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ,即∠BAD=∠CAE ,选项A 正确. 因为AB=AC ,∠BAD=∠CAE ,AD=AE ,所以根据“SAS ”可知△ABD ≌△ACE ,所以选项B 正确.由全等三角形的对应边相等,得出BD=CE ,所以选项D 正确.只有选项C 没有充分的条件可以证明,故选C .4.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等5.∠C=∠E6.证明:(1)∵AB ∥CD ,∴∠B=∠C.∵BE=CF ,∴BE-EF=CF-EF ,即BF=CE. 在△ABF 和△DCE 中,{AB =CD ,∠B =∠C ,BF =CE ,∴△ABF ≌△DCE (SAS). (2)由(1)知△ABF ≌△DCE ,∴∠AFB=∠DEC .∴180°-∠AFB=180°-∠DEC .即∠AFC=∠DEB , ∴AF ∥DE.7.证明:∵BE ,CF 分别是AC ,AB 两条边上的高,∴∠ACG+∠CAB=90°.∠DBA+∠CAB=90°. ∴∠ACG=∠DBA.在△AGC 和△DAB 中,{AC =DB ,∠ACG =∠DBA ,CG =AB ,∴△AGC ≌△DAB (SAS). ∴∠G=∠BAD.又∠G+∠GAB=90°,∴∠BAD+∠GAB=90°.即∠GAD=90°.∴AG ⊥AD.8.证明:如图,连接AB ,AC.∵F 是BC 的中点, ∴BF=CF.∵AF ⊥BC ,∴∠AFB=∠AFC=90°.在△ABF 和△ACF 中,{BF =CF ,∠AFB =∠AFC ,AF =AF ,∴△ABF ≌△ACF (SAS). ∴AB=AC.在△ABD 和△ACE 中,{AD =AE ,BD =CE ,AB =AC ,∴△ABD ≌△ACE (SSS). ∴∠D=∠E.二、创新应用9.(1)证明:∵∠BAC=∠DAE ,∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE .即∠EAC=∠DAB.在△ABD 和△ACE 中,{AB =AC ,∠DAB =∠EAC ,AD =AE ,∴△ABD ≌△ACE (SAS).∴BD=CE.又BC=CE+BE ,∴BC=BD+BE.11 (2)解:(1)的结论不成立,此时BC=BD-BE.证明如下: ∵∠BAC=∠DAE ,∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE ,即∠EAC=∠DAB.在△ABD 和△ACE 中,{AB =AC ,∠DAB =∠EAC ,AD =AE ,∴△ABD ≌△ACE (SAS).∴BD=CE.又BE+BC=CE ,∴BE+BC=BD .即BC=BD-BE.。

2022年《直角三角形全等的判定》专题练习(附答案)

1.3 直角三角形全等的判定一、选择题(本大题共8小题)1. 在以下条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )2. 如下图,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,那么图中全等的三角形有( )第2题图第5题图第6题图3.以下说法中正确的选项是〔〕A．a，b，c是三角形的三边长，那么a2+b2=c2B．在直角三角形中，两边长和的平方等于第三边长的平方C．在Rt△ABC中，假设∠C=90°，那么三角形对应的三边满足a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，假设∠A=90°，那么三角形对应的三边满足a2+b2=c24. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A，那么以下结论中正确的选项是〔〕A. AC=A′C′B.BC=B′C′C.AC=B′C′D.∠A=∠A′5. 如下图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交D点，E、F分别是DB、DC的中点，那么图中全等三角形的对数是〔〕6. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，那么△BCE的面积等于〔〕A．10 B．7 C．5 D． 47. 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,那么以下条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF8. 如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,那么有( )A.DE=DBB.DE=AEC.AE=BED.AE=BD第8题图第9题图二、填空题(本大题共4小题)9. ：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF，AB=DC，那么△ABE≌△__________.10. 如图,BD⊥AE于点B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.第10题图第11题图11. 如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，假设根据“HL〞判定，还需要加一个条件__________.12. ：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，那么∠A=__________.三、计算题(本大题共4小题)13. ：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.14. ：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE15. 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：〔1〕CF=EB．〔2〕AB=AF+2EB．16. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF=2AE;(2)假设CD=2，求AD的长.参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1.A2. D3. C4. C5. D6. B7. B8. C二、填空题(本大题共6小题)9.分析：根据直角三角形全等的条件HL判定即可。

《利用“边边边”判定三角形全等》同步练习题

1.如图,下列三角形中,与△ABC全等的是( )2.如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE,还可以添加的一个条件是( )A.AD=FBB.DE=BDC.BF=DBD.以上都不对3.满足下列条件的两个三角形不一定全等的是( )A.有一边相等的两个等边三角形B.有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形C.周长相等的两个三角形D.斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形4.如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC 和△FED全等时,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE,可利用的是( )A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④5.如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图,AB=DE,AC=DF,BC=EF,则∠D等于( )A.30°B.50°C.60°D.100°7.如图,已知AE=AD,AB=AC,EC=DB,下列结论:①∠C=∠B;②∠D=∠E;③∠EAD=∠BAC;④∠B=∠E.其中错误的是( )A.①②B.②③C.③④D.只有④8.工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,已知∠AOB是任意一个角,在边OA,OB上分别截取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点P作射线OP,则OP是∠AOB的平分线,其理由是___________________.9.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架如图所示.要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?( )A.0根B.1根C.2根D.3根10.如图,建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部是三角形结构,这是应用了三角形的哪个性质?答: .11.如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD,试说明:△ABD≌△ACE.提升训练12.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B,D,E三点共线.试说明:∠3=∠1+∠2.13.如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l 异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1)试说明:△ABC≌△DEF;(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.14.如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC.(1)试说明:∠A=∠C;(2)在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?15.如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD 于点F,若CE=BF,AE=EF+BF.试判断AC与BC的位置关系,并说明理由.参考答案1.【答案】C2.【答案】A解：根据已知条件AC=FE,BC=DE,可知要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE,只需要满足AB=FD即可.而当AD=FB时,可得到AB=FD,故选A.3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】SSS解：在△OPM和△OPN中,OM=ON,PM=PN,OP=OP,所以△OPM≌△OPN(SSS),所以∠POM=∠PON,即OP平分∠AOB.9.【答案】B10.【答案】稳定性11.错解:因为AB=AC,AD=AE,BE=CD,所以△ABD≌△ACE(SSS).诊断:对于三角形全等的判定,应严格遵守判定定理中对边和角的要求,避免出现不加考虑而直接使用题设中的条件来判定三角形全等的情形.正解:因为BE=CD,所以BE+ED=CD+DE.所以BD=CE.在△ABD和△ACE中,错误!未找到引用源。

全等三角形测试题及答案

全等三角形测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形是：A. 相似三角形B. 全等三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形答案：B2. 在全等三角形中，对应边的长度关系是：A. 不相等B. 相等C. 互为相反数D. 无法确定答案：B3. 以下哪个条件不能判定两个三角形全等？A. SSS（三边相等）B. SAS（两边及其夹角相等）C. ASA（两角及其夹边相等）D. SSA（两边及其中一边的对角相等）答案：D4. 如果两个三角形的两边和一角对应相等，且这角是两边的夹角，则这两个三角形：A. 一定全等B. 不一定全等C. 一定不全等D. 无法确定答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果两个三角形的三边对应相等，根据______判定这两个三角形全等。

答案：SSS2. 两个三角形的两角和一边对应相等，根据______判定这两个三角形全等。

答案：ASA3. 如果两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等，根据______判定这两个三角形全等。

答案：AAS4. 两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等，根据______判定这两个三角形全等。

答案：HL（直角三角形的斜边和一条直角边对应相等）三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知三角形ABC和三角形DEF，AB=DE=5cm，BC=EF=7cm，∠A=∠D=60°，求证：△ABC≌△DEF。

证明：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，∴由SAS判定，△ABC≌△DEF。

2. 若△ABC≌△DEF，且AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，求证：BC=EF。

证明：由于△ABC≌△D EF，∴AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，∴BC=EF（全等三角形的对应边相等）。

结束语：以上是全等三角形的测试题及答案，希望同学们通过这些题目能够更好地理解和掌握全等三角形的判定方法和性质。

全等三角形的判定ASA、AAS-练习题

14.4（2）全等三角形的判定ASA、AAS一、探究现在，我们讨论：如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形能全等吗？这时同样应有两种不同的情况：如图所示，一种情况是两个角及这两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边．ASA AAS二、检测反馈，学以致用1.如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件______________=_______________，就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“AAS”，说明△AOB≌△DOC。

（若把“AO=DO”去掉，答案又会有怎样的变化呢？）2. 如图，OP是∠MON的角平分线，C是OP上一点，CA⊥OM，CB⊥ON，垂足分别为A、B，△AOC≌△BOC吗？为什么？3、如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．三、巩固练习1、如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为______cm．第1题2、已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4求证：AC=AB．3．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAC=∠CAD.试说明：AB=AD .4、已知：如图 , FB=CE , AB∥ED , AC∥FD.F、C在直线 BE上．求证：AB=DE , AC=DF．5、如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B,试说明：AB=AC+AD6、已知：如图，AB=DC，∠A=∠D．试说明：∠1=∠2．7.如图，ΔABC中，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G．⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论．⑵若连结DE，则DE与AB有什么关系？并说明理由．。

全等三角形的性质与判定大题专练

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.7全等三角形的性质与判定大题专练（重难点培优）【名师点睛】1.全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．2.作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．【典例剖析】【例1】（2019秋•东海县期中）如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG ⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由．【分析】结论：AF＝AG．先证明△ABD≌△ACE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE，再证明△ABF≌△ACG （AAS）即可解决问题．【解析】结论：AF＝AG．理由：∵AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，∴AD＝AC＝AB＝AE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF⊥BD，AG⊥CE，∴∠AFB＝∠AGC＝90°．在△ABF和△ACG中，，∴△ABF≌△ACG（AAS），∴AF＝AG．【变式1】（2021秋•锡山区校级期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长．【分析】（1）先用（HL）证明Rt△EBD≌Rt△EBD，推DE＝DF，再用（HL）证明Rt△AED≌Rt△AFD；（2）由全等推AE＝AF，把AC长转化为AC＝AB+BE+FC，代入数值求解即可．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝∠DFA＝90°，在Rt△EBD与Rt△EBD中，∴Rt△EBD≌Rt△EBD（HL）；∴DE＝DF，在Rt△AED与Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）；（2）解：∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE＝AF，∴AF＝12+BE，∵AC＝AF+FC∴AC＝AB+BE+FC，∴18＝12+BE+CF，∵BE＝CF．∴18＝12+2BE，∴BE＝3．【例2】（2020春•江阴市期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．【分析】（1）利用已知得出∠1＝∠EAC，进而借助SAS得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出∠ABD＝∠2＝30°，再利用三角形的外角得出得出即可．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．【变式2】（2021秋•盐都区期中）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC ＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD．（2）若AC＝AE，∠ACD＝80°，求∠DEC的度数．【分析】（1）根据同角的余角相等可得到∠3＝∠5，结合条件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可证得结论；（2）根据∠ACD＝80°，AC＝CD，得到∠2＝∠D＝50°，根据等腰三角形的性质得到∠4＝∠6＝65°，由平角的定义得到∠DEC＝180°﹣∠6＝115°．【解析】（1）∵∠BCE＝∠ACD，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD；（2）∵∠ACD＝80°，AC＝CD，∴∠2＝∠D＝50°，∵AE＝AC，∴∠4＝∠6＝65°，∴∠DEC＝180°﹣∠6＝115°．【满分训练】一．解答题（共20小题）1．（2022•丰县二模）如图，点F是△ABC的边AC的中点，点D在AB上，连接DF并延长至点E，DF＝EF，连接CE．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的长．【分析】（1）根据线段中点求出AF＝CF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACE，根据平行线的判定得出AB∥CE，根据平行四边形的判定定理得出四边形BCED是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出即可．【解答】（1）证明：∵F为AC的中点，∴AF＝CF，在△ADF和△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（SAS）；（2）解：∵△ADF≌△CEF，∴∠A＝∠ACE，∴AB∥CE，∵DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形，∴BC＝DE，∵DE＝4，∴BC＝4．2．（2022•姑苏区一模）如图，点D在射线AE上，BD＝CD，DE平分∠BDC．求证：AB＝AC．【分析】由“SAS”判定△ADC≌△ADB，得出AB＝AC即可．【解答】证明：∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（SAS），∴AB＝AC．3．（2022•工业园区模拟）已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD．求证：∠D＝∠E．【分析】先证∠BAD＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE（SAS），即可得出结论．【解答】证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠D＝∠E．4．（2022•江阴市模拟）如图，在△ABC中，O为BC中点，BD∥AC，直线OD交AC于点E．（1）求证：△BDO≌△CEO；（2）若AC＝6，BD＝4，求AE的长．【分析】（1）根据已知条件，可证△BDO≌△CEO（AAS）；（2）根据全等三角形的性质可得BD＝CE，进一步可得AE的长．【解答】（1）证明：∵O为BC的中点，∴BO＝CO，∵BD ∥AC ，∴∠C ＝∠OBD ，∠CEO ＝∠BDO ，在△BDO 和△CEO 中，，∴△BDO ≌△CEO （AAS ）；（2）解：∵△BDO ≌△CEO ，∴BD ＝CE ，∵BD ＝4，∴CE ＝4，∵AC ＝6，∴AE ＝6﹣4＝2．5．（2022•宜兴市校级二模）已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边中点，CE ⊥AD 于点E ，BF ⊥AD 于点F ．（1）求证：△BDF ≌△CDE ；（2）若AD ＝5，CE ＝2，求△ABC 的面积．【分析】（1）易证BD ＝CD ，∠BFD ＝∠CED ＝90°，再由AAS 即可证得△BDF ≌△CDE ；（2）由S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵D 是BC 边中点，∴BD ＝CD ，∵CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠BFD ＝∠CED ＝90°，在△BDF 和△CDE 中，，∴△BDF ≌△CDE （AAS ）；（2）解：由（1）得：△BDF ≌△CDE ，∴CE ＝BF ，∴S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ＝AD •BF +AD •CE ＝AD •CE ＝5×2＝10．6．（2022•太仓市模拟）如图，AB ＝AC ，BE ⊥AC ，CD ⊥AB 垂足分别为点E ，点D ．（1）求证：△ABE ≌△ACD ；（2）若AB ＝13，AE ＝5，求CD 的长度．【分析】（1）利用AAS 即可证明结论；（2）根据勾股定理可得BE ＝12，再根据全等三角形对应边相等即可解决问题．【解答】（1）证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠AEB ＝90°，在△ABE 和△ACD 中，，∴△ABE ≌△ACD （AAS ）；（2）在Rt △ABE 中，AB ＝13，AE ＝5，∴BE＝＝12，∵△ABE≌△ACD，∴CD＝BE＝12．7．（2022•金坛区一模）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．（1）求证：AE＝EC；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．【分析】（1）证明△ADE≌△CFE（AAS），即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AD＝CF＝4，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE＝EC；（2）解：由（1）可知，△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1，即BD的长为1．8．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：∠ABD＝∠ACE．【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得结论．【解答】证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．9．（2021秋•淮安区期末）如图，已知AB＝CB，AD＝CD．求证：∠A＝∠C．【分析】连接BD，利用边边边证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可求解．【解答】证明：连接BD，在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠A＝∠C．10．（2021秋•沭阳县校级期末）如图，已知AD＝AE，AB＝AC．求证：BE＝CD．【分析】已知两边和它们的夹角对应相等，由SAS即可判定两三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答．【解答】证明：在△AEB与△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD．11．（2020秋•常州期末）已知：如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB+∠D＝180°．求证：△ABC≌△EAD．【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E，∵∠ECB+∠D＝180°，∠ECB+∠ACB＝180°，∴∠D＝∠ACB，在△ABC与△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（AAS）．12．（2020秋•苏州期末）如图，点E、F在AB上，且AE＝BF，∠C＝∠D，AC∥BD．求证：CF∥DE．【分析】根据已知条件证明△ACF≌△BDE可得∠AFC＝∠BED，进而可得CF∥DE．【解答】证明：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，即AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，在△ACF和△BDE中，，∴△ACF≌△BDE（AAS），∴∠AFC＝∠BED，∴CF∥DE．13．（2020秋•建邺区期末）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，点A、E、B、D在同一直线上，BC、EF交于点M，AC＝DF，AB＝DE．求证：（1）∠CBA＝∠FED；（2）AM＝DM．【分析】（1）利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF可证明结论；（2）利用SAS证明△AEM≌△DBM可证明结论．【解答】证明：（1）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠CBA＝∠FED；（2）∵∠CBA＝∠FED，∴ME＝MB，且∠AEM＝∠DBM，∵AB＝DE，∴AB﹣EB＝DE﹣EB，即AE＝DB，在△AEM和△DBM中，，∴△AEM≌△DBM（SAS），∴AM＝DM．14．（2021•苏州模拟）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：CG＝FG．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得∠ACB＝∠DFE，可得结论．【解答】证明：∵BF＝CE∴BF+CF＝CE+CF∴BC＝EF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）∴∠ACB＝∠DFE∴CG＝FG15．（2021•苏州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．试说明：（1）△AEH≌△BEC．（2）AH＝2BD．【分析】（1）由“ASA”可证△AEH≌△BEC；（2）由全等三角形的性质可得AH＝BC，由等腰三角形的性质可得结论．【解析】（1）∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC，在△AEH与△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA）；（2）∵△AEH≌△BEC，∴AH＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD．16．（2021•洪泽区二模）如图，线段AC交BD于O，点E，F在线段AC上，△DFO≌△BEO，且AF＝CE，连接AB、CD，求证：AB＝CD．【分析】先由△BEO≌△DFO，即可得出OF＝OE，DO＝BO，进而得到AO＝CO，再证明△ABO≌△CDO，即可得到AB＝CD．【解答】证明：∵△BEO≌△DFO，∴OF＝OE，DO＝BO，又∵AF＝CE，∴AO＝CO，在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD．17．（2020秋•盐池县期末）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）证明：∠1＝∠3．【分析】（1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；（2）利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可得证．【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CBE＝∠2+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠A＝∠C，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠1＝∠3．18．（2020秋•泰兴市期末）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，图中AE、BD有怎样的大小和位置关系？试证明你的结论．【分析】根据SAS即可求得△DCB≌△ECA，求得∠B＝∠A．因为∠AND＝∠BNC，根据三角形的内角和定理就可求得∠A+∠AND＝90°，从而证得BD⊥AE．【解析】AE＝BD，AE⊥BD，如图，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ACD＝∠ACD，∴∠DCB＝∠ECA，在△DCB和△ECA中，，∴△DCB≌△ECA（SAS），∴∠A＝∠B，BD＝AE∵∠AND＝∠BNC，∠B+∠BNC＝90°∴∠A+∠AND＝90°，∴BD⊥AE．19．（2021秋•台安县期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．（1）求证：△ABD≌△EDC；（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．【分析】（1）由“AAS”即可证△ABD≌△EDC；（2）结合（1）可得AB＝DE，BD＝CD，可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC．在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），（2）∵△ABD≌△EDC，∴AB＝DE＝2，BD＝CD，∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．20．（2021•姑苏区一模）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接BC，若∠CFD＝100°，∠BCE＝30°，求∠CBE的度数．【分析】（1）根据SAS证明即可．（2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠DCF，∵AF＝CE，∴AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD＝100°，∴∠BEC＝180°﹣100°＝80°，∴∠CBE＝180°﹣80°﹣30°＝70°．。

全等三角形的判定方法50道经典题

全等三角形的判定方法50道经典题摘要：1.全等三角形的判定方法概述2.边边边（SSS）判定法3.边角边（SAS）判定法4.角边角（ASA）判定法5.角角边（AAS）判定法6.斜边，直角边（HL）判定法7.经典题型一：已知三边长度，判断全等8.经典题型二：已知两边和夹角，判断全等9.经典题型三：已知两角和夹边，判断全等10.经典题型四：已知两边和等角对边相等，判断全等11.经典题型五：已知斜边和直角边，判断全等12.经典题型六：综合运用判定法，判断全等13.解题技巧与注意事项14.巩固练习：50道经典题解答与解析正文：全等三角形的判定方法是数学中非常重要的内容，掌握判定方法有助于解决许多实际问题。

本文将详细介绍全等三角形的判定方法，并通过50道经典题进行巩固练习。

1.全等三角形的判定方法概述全等三角形判定方法有六种，分别为：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、斜边，直角边（HL）。

2.边边边（SSS）判定法当两个三角形的三条边分别对应相等时，这两个三角形全等。

例如，若给出三条线段长度ABc，BCa，ACb，我们可以通过以下步骤确定全等三角形：步骤一：确定一边AB。

步骤二：分别以AB为圆心，做半径为b，a长的圆，交于点C。

步骤三：连接AC，BC。

这样，三角形的大小和形状就都被确定出来。

3.边角边（SAS）判定法当两个三角形的两边和它们的夹角分别相等时，这两个三角形全等。

例如，已知ABc，CAB，我们可以通过以下步骤确定全等三角形：步骤一：画射线AE，并在射线AE上截取ACc。

步骤二：在射线AD上截取ABc。

步骤三：连接BC。

这样，三角形的大小和形状就都被确定出来。

4.角边角（ASA）判定法当两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等时，这两个三角形全等。

例如，已知ABc，CAB，我们可以通过以下步骤确定全等三角形：步骤一：先确定一边ABc。

步骤二：在AB同旁画DAB，EBA，AD，BE交于点C。

全等三角形的判定常考典型例题及练习

全等三角形的判定常考典型例题及练习三角形是我们初中数学中最基础的概念之一。

在学习三角形的过程中，我们经常会遇到一个重要的概念，即全等三角形。

全等三角形即指两个三角形的对应边长相等，对应角度相等。

在考试中，我们经常会被要求判定两个三角形是否全等。

下面，我将列出一些常见的全等三角形判定例题，并提供一些练习题供大家巩固。

一、例题例题1：已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，判断△ABC≌△DEF。

解析：根据题目给出的信息，∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，我们可以得出两个对应角相等，一个对应边相等。

根据全等三角形的定义，可以得出△ABC≌△DEF。

例题2：已知△ABC，边AB=5cm，边AC=3cm，边BC=4cm。

△DEF为△ABC的内接三角形，判断△ABC≌△DEF。

解析：由题意可知，△DEF是△ABC的内接三角形，即DEF的三条边分别平行且等于ABC的三条边。

根据题意，我们可以得出DE=5cm，DF=3cm，EF=4cm。

而三个边长相等，因此根据全等三角形的定义，可以得出△ABC≌△DEF。

二、练习题1. 已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE+2，判断△ABC≌△DEF。

2. 已知△ABC，边AB=6cm，边AC=8cm，边BC=10cm。

△DEF 为△ABC的外接三角形，判断△ABC≌△DEF。

3. 已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，AC=DF，判断△ABC≌△DEF。

4. 已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，判断△ABC≌△DEF。

5. 已知△ABC，边AB=5cm，边AC=7cm，边BC=9cm。

△DEF为△ABC的内切三角形，判断△ABC≌△DEF。

以上是一些常见的全等三角形判定例题及练习题。

在解答这些题目时，我们需要熟练掌握全等三角形的定义和判定条件，根据题目给出的信息进行推理和判断。

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。

边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。

需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。

例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。

但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。

在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。

角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。

例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。

在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。

除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。

在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。

在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。

在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。

总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。

1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。

根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。

又因为AB=DC，所以BC=AC。

因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。

同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。

2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。

根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。

又因为AD=CE，所以BD=BE。

因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。

同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。

2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。

2.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。

3.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

大于它不相邻的任意一个内角。

4.全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。

5.全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。

在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。

专项练习题（含答案解析）1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵△ABC∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形的面积．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS 可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC＝AB•BC＝6，即可得四边形ABCD的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB•BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四边形ABCD的面积是12．5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC ＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【分析】（1）根据SSS ABC≌△DEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED ＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC ＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面积为10．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt △ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD ＝1，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B ＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝123，则BC＝，BF＝．【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S△ABC＝12，∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有P A+PB ＝PC（或P A+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．【解答】解：（2）PB＝P A+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠P AF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝P A，∴PB＝BF+PF＝PC+P A；（3）PC＝P A+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠P AM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝P A，∴PC＝PM+CM＝P A+PB．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O 顺时针旋转一个锐角到图②位置．按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC 交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明△BHE≌△AGF （SAS），得BH＝AG；【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；【拓展延伸】设AB交OH于T，OG交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，可得OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，又OH＝GO，可得＝＝，故△BTH∽△AKG，即得＝＝，BH＝AG．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG19。

探索三角形全等的条件1(边边边)经典基础练习题

类型2
5、已知：如图，D为线段BC的中点，AB=AC，求证：∠B=∠C

类型2
类型3
6、已知：如图，线段AB上有两个点C、D，且AC=BD，证明：AD=BC。
A
C
D
B
7、已知：如图，线段AB上有两个点C、D，且AD=BC，证明：AD=BC。
A
C
D
B
类型3
8、已知：如图，B、E、C、F在一条直线上，且AC=DF，AB=DE，BE=CF。求证：（1）△ACE ≌ △BDF （2）AB ∥ DE
作业
1、已知：如图，AB=AD，AF=AE，BF =DE，求证：∠E=∠F
2、已知：如图，A 1I=GH，A 1H=GI，求证： △A 1IH ≌ △GHI
3、已知：如图，I、B、H、C在一条直线上，且GI=AC，GH=AB， IB=HC。求证： ∠G =∠A
∴ △ABC ≌ △DEF （SSS）
类型1
1、已知：如图，AB=DE，AC=DF，BC=EF，求证：∠A=∠D
在△ABC和△DEF中
AB=DE BC=EF AC=DF ∴ △ABC ≌ △DEF （SSS） ∴ ∠A=∠D
（全等三角形的对应角相等）
类型1
2、已知：如图，E为线段BF的中点，AB=DE，AE=DF 求证：（1）∠B=∠DEF；（2）AB∥DE ∵ E为线段BF的中点 ∴AB=DE 在△ABE和△DEF中 AB=DE AE=DF BE=EF ∴ △ABE ≌ △DEF （SSS） ∴ ∠B=∠DEF （全等三角形的对应角相等） ∴ AB∥DE （同位角相等，两直线平行）
“边边边”判定练习
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ∵ △ABC ≌ △DEF

三角形全等的判定“边角边”(7种题型)-2023年新八年级数学常见题型(人教版)(解析版)

三角形全等的判定“边角边”（7种题型）【知识梳理】全等三角形判定——“边角边”1. 全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【考点剖析】题型一：用“边角边”直接证明三角形全等例1．已知：如图，点C 为AB 中点，CD=BE ，CD ∥BE.求证:△ACD ≌△CBE.【解析】证明：∵CD ∥BE ，∴∠ACD=∠B..∵点C 为AB 中点，∴AC=CB.又∵CD=BE ，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）【变式1】如图，AC DF =，12∠=∠，如果根据“SAS ”判定ABC DEF △≌△，那么需要补充的条件是（）A ．A D ∠=∠B ．AB DE =C ．B E ∠=∠D ．BF CE =【答案】D 【详解】解：需要补充的条件是BF=CE ，∴BF+FC=CE+CF ，即BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，12AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．故选：D ．【变式1】如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝DE ，BE ＝CF ，∠B ＝∠DEF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【解答】证明：∵BE ＝CF ，∴BE+CE ＝CF+EC ．∴BC ＝EF ．在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE∠B =∠DEF BC =EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【变式3】如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．求证：△ABC≌△DEC．【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，{AC=DC∠ACB=∠DCE BC=EC，∴△ABC≌△DEC（SAS）．【变式4】如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．【解答】解：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠ACB＝∠EFD＝90°，∵BF＝CD，∴BF+CF＝CD+CF，即BC＝DF，在△ABC和△EDF中，{BC=DF∠ACB=∠EFD AC=EF，∴△ABC≌△EDF（SAS）．【变式5】如图，△ABC 中，AB=AC ，点E ，F 在边BC 上，BE=CF ，点D 在AF 的延长线上，AD=AC ，（1）求证：△ABE ≌△ACF ；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．【答案】（1）证明见解析；（2）75．【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠ACF ，在△ABE 和△ACF 中，AB AC B ACFBE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACF （SAS ）；（2）∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，∵AD=AC ，∴∠ADC=∠ACD ，∴∠ADC=280013︒−︒=75°，故答案为75．【变式6】（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，在ABC 和ADE V 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接BD CE 、．(1)求证：ABD ACE ≌△△． (2)图中BD 和CE 有怎样的关系？试证明你的结论．【详解】（1）解：90BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠∴BAD EAC ∠=∠AB AC =，AD AE =∴ABD ACE ≌△△．（2）解：如图，设BD 和CE 交点为FABD ACE ≌△△∴ACE ABD ∠=∠90BAC ∠=︒∴90ABD DBC ACB ∠+∠+∠=︒∴90ACE DBC ACB ∠+∠+∠=︒即90ECB DBC ∠+∠=︒∴()18090BFC ECB DBC ∠=︒−∠+∠=︒∴BD CE ⊥．题型二：用“边角边”间接证明三角形全等例2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【变式1】如图所示，点O 为AC 的中点，也是BD 的中点，那么AB 与CD 的关系是________．【答案】平行且相等【详解】解：∵点O 为AC 的中点，也是BD 的中点，∴AO=OC ，BO=OD ，又∵∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ≌△COD （SAS ）∴AB=CD ，∠A=∠C ，∴AB//CD,即AB 与CD 的关系是平行且相等，故答案为：平行且相等．【变式2】如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠D ．求证：AF ＝DE ．【详解】证明：∵AB//CD ，∴∠B ＝∠C ，在△ABF 和△DCE 中，A D AB CDB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF ≌△DCE （ASA ），∴AF ＝DE ．【变式3】如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、CD 上的一点，且DF ＝BE .求证：AF=CE .【分析】由SAS 证明△ADF ≌△CBE ，即可得出AF ＝CE ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ，在△ADF 和△CBE 中，AD BC D B DF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CBE （SAS ），∴AF ＝CE ．【变式4】已知ABN 和ACM △位置如图所示，AB AC =，AD AE =，12∠=∠．（1）试说明：BD CE =；（2）试说明：M N ∠=∠．【详解】解：（1）在△ADB 和△AEC 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∴BD=CE ；（2）∵12∠=∠，∴BAN CAM ∠=∠，∵△ADB ≌△AEC ，∴B C ∠=∠，∴180180B BAN C CAM ︒−∠−∠=︒−∠−∠，即M N ∠=∠．【变式5】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD题型三：边角边与倍长中线例3、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，∴△ABD ≌△ECD （SAS ）．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．14．如图所示，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB =2，AC =6，则AD 的取值范围是__________AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝．【答案】2＜AD ＜4【分析】此题要倍长中线，再连接，构造全等三角形．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ADC 与△EDB 中，BD CD ADC BDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴EB =AC ，根据三角形的三边关系定理：6-2＜6+2，∴2＜AD ＜4，故AD 的取值范围为2＜AD ＜4．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出6-2＜AE ＜6+2是解此题的关键．题型四：边角边与截长补短例4、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【答案与解析】证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中，∴△ABD ≌△AED （SAS ）． ∴AB ＝AE ，∠B＝∠AED ．又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ．∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°.【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，BD DE ADB=ADE AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠∠＝12A EDC B∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.题型五：边边角不能判定两个三角形全等例5．如图，已知AC ＝BD ，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△BAD 的是（）A ．∠ABC ＝∠BADB ．∠C ＝∠D ＝90° C ．∠CAB ＝∠DBA D ．CB ＝DA【答案】A CEB CEFEC =EC EB EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩12(AF ADFAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断；【详解】在△ABC 与△BAD 中，AC ＝BD ，AB ＝BA ，A 、SSA 无法判断三角形全等，故本选项符合题意；B 、根据HL 即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；C 、根据SAS 即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；D 、根据SSS 即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；故选：A ．题型六：尺规作图——利用边角边做三角形例6．（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）已知：线段a ，c ，α∠．求作：ABC ．使BC a =，AB c =，ABC α∠=∠．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【详解】解：如图所示：【变式1】（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）尺规作图：已知：线段m ，n ，∠β．求作：ABC ，使AB m =，BC n =，ABC β∠=∠（保留作图痕迹，不写作法）．【详解】解：如图所示：ABC ∴即为所作．题型七：边边边与边角边综合八年级假期作业）如图，在ABC 中，(1)图中有___________对全等三角形；(2)请选一对加以证明．【详解】（1）图中有3对全等三角形：ABD ACD ≌△△，ABE ACE ≌△△，BDE CDE ≌V V ．故答案为3；（2）∵D 是BC 的中点，∴BD CD =．在ABD △和ACD 中，AB AC BD CDAD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()SSS ABD ACD ≌V V ；∴BAE CAE ∠=∠．在ABE 和ACE △中，AB AC BAE CAEAE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABE ACE △△≌； ∴BE CE =．在BDE △和CDE 中，BE CE BD CDDE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()SSS BDE CDE ≌V V ．【过关检测】一、单选题A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】B 【分析】由题意可知根据“边角边”可证OAB OCD VV ≌即可选择．【详解】解：∵在OAB 和OCD 中，OC OA COD AOB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()OAB OCD SAS ≌△△．故判定这两个三角形全等的依据是“SAS ”．故选B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定．熟练掌握判定三角形全等的条件是解题关键． 2．（2023春·江西景德镇·七年级统考期末）如图，AB AC =，点D 、E 分别在AC 和AB 边上，且AD AE =，则可得到ABD ACE △△≌，判定依据是（）A ．ASAB ．AASC ．SASD ．SSS【答案】C 【分析】根据SAS 证明ABD ACE △△≌，即可求解．【详解】解：在ABD △与ACE △中，AB AC BAD CAEAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ACE △△≌()SAS ，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在ABF △和DCE △中，点E 、F 在BC 上，AF DE =，AFB DEC ∠=∠，添加下列一个条件后能用“SAS ”判定ABF DCE ≌△△的是（）A ．BE CF =B ．BC ∠=∠ C ．AD ∠=∠ D ．AB DC =【答案】A 【分析】先根据BE CF =得到BF CE =，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：∵BE CF =，∴BE EF CF EF +=+，即BF CE =，A 选项，因为BE CF =，AFB DEC ∠=∠，BF CE =，满足“SAS ”判定ABF DCE ≌△△，符合题意； B 选项，因为B C ∠=∠，AFB DEC ∠=∠，BF CE =，是用“AAS ”判定ABF DCE ≌△△，不符合题意； C 选项，因为A D ∠=∠，AF DE =，AFB DEC ∠=∠，是用“ASA ”判定ABF DCE ≌△△，不符合题意； D 选项，因为AB DC =，AF DE =，AFB DEC ∠=∠，不能判定ABF DCE ≌△△，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．4．（2023春·四川达州·七年级统考期末）如图，在2×3的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1，则1∠和2∠的关系是（）A ．221∠=∠B ．2190∠−∠=︒C ．1290∠+∠=︒D ．12180∠+∠=︒【答案】C 【分析】先证明ABC CDE △△≌，再利用全等三角形的性质和等量代换求解即可．【详解】解：如图，在ABC 和CDE 中，2901AC CE ACB CED BC DE ==⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴ABC CDE △△≌()SAS ，∴1DCE ∠=∠， ∵290DCE ∠+∠=︒，∴1290∠+∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用网格证明三角形全等是解题的关键．A ．20cmB ．45cmC ．25cmD ．65cm【答案】D 【分析】根据题意可得：OF OG =，OC OD =，利用已知条件判断出OFC OGD ≌，得到CF DG =，即可求出答案．【详解】解：如图：∵O 是FG 和CD 的中点，∴OF OG =，OC OD =，在OFC △和OGD 中，OF OG FOC GODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS OFC OGD ≌，∴CF DG =，又20cm DG =，∴20cm CF DG ==，∴小明离地面的高度=支点到地面的高度452065cm CF +=+=，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法．七年级统考期末）如图，已知在ABC 和BAD 中，直接判定ABC BAD ≌的依据是（ A ．SSSB ．AASC ．ASAD ．SAS【答案】D 【分析】找出两个三角形中已知相等的对应边和对应角，然后根据判定方法即可判断．【详解】解：在ABC 和ABD △中，BC AD ABC BAD AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABC BAD SAS ≌．故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7．（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）如图，AD 平分BAC ∠，AB AC =，连接BD 、CD ，并延长交AC 、AB 于F 、E 点，则图中全等的三角形有( )对．A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【答案】B 【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，仔细寻找．【详解】解：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，在ABD 与ACD 中，AB AC BAD CADAD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，()SAS ABD ACD ∴≌，BD CD ∴=，B C ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，又EDB FDC ∠=∠，ADE ADF ∴∠=∠，AED AFD ∴≌，BDE CDF ≌，ABF ACE ≌．AED AFD ∴≌，ABD ACD ≌，BDE CDF ≌，ABF ACE ≌，共4对．故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =，AOB COD ∠=∠，AC ，BD 交于点M ，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：AC BD =；结论Ⅱ：CMD COD ∠>∠A ．Ⅰ对，Ⅱ错B ．Ⅰ错，Ⅱ对C ．Ⅰ，Ⅱ都对D ．Ⅰ，Ⅱ都错【答案】A 【分析】根据已知条件可知三角形的全等，根据全等三角形的性质可知边相等，再根据三角形的内角和即可求出角的大小．【详解】AOB COD ∠=∠，AOB AOD COD AOD ∴∠+∠=∠+∠，AOC BOD ∴∠=∠，∴在AOC 和BOD 中，∴OA OB AOC BODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOC BOD SAS ∴≌， AC BD ∴=，故Ⅰ正确；AOC BOD ≌，OCA BDO ∴∠=∠，MDC MDO ODC ∴∠=∠+∠，OCD OCA MCD ∴∠=∠+∠，180()COD OCD ODC ∠=︒−∠+∠，180()CMD MDC MCD ∠=︒−∠+∠，180()CMD MDO ODC MCD ∴∠=︒−∠+∠+∠，180()COD OCA MCD ODC ∠=︒−∠+∠+∠，CMD COD ∴∠=∠，故Ⅱ错误；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记对应性质和判定定理是解题的关键． 9．（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，AD AB >，下列结论正确的是（）A ．AD AB CD BC −=−B ．AD AB CD BC −>− C ．AD AB CD BC −<−D ．AD AB −与CD BC −的大小关系无法确定【答案】B 【分析】在AD 上截取AE AB =，BAC EAC ≌，由DE CD CE >−即可求解．【详解】解：如图，在AD 上截取AE AB =，AC 平分BAD ∠，BAC EAC ∴∠=∠，在BAC 和EAC 中AB AE BAC EACAC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BAC EAC ≌(SAS )，BC EC ∴=，在CDE 中：DE CD CE >−，AD AB AD AE CD BC −=−>−．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中三边的关系，三角形全等的判定及性质，掌握性质，并根据题意作出辅助线是解题的关键． 10．（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且CE BF ，连接BF CE ，，下列说法： ①DE DF =；②ABD 和ACD 面积相等；③CE BF =；④BDF CDE ≌；⑤CEF F ∠∠=．其中正确的有（）【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得BD CD =，然后利用“边角边”证明BDF 和CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE BF =，全等三角形对应角相等可得F CED ∠∠=，再根据内错角相等，两直线平行可得BF CE ，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．【详解】解：∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在BDF 和CDE 中，BD CD BDF CDEDF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDF CDE ≌，故④正确∴CE BF F CED ∠∠==，，故①正确，∵CEF CED ∠∠=，∴CEF F ∠∠=，故⑤正确，∴BF CE ，故③正确，∵BD CD =，点A 到BD CD 、的距离相等，∴ABD 和ACD 面积相等，故②正确，综上所述，正确的有5个，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键．二、填空题【答案】120°【分析】先证明,DAG BAC ≌得到GDA CBA ∠=∠，再利用60BAD ∠=︒以及三角形的内角和定理、邻补角的性质可得答案．【详解】解：60,DAE GAC ∠=∠=︒,DAG BAC ∴∠=∠,,AD AB AC AG ==在DAG 与BAC 中，,AD AB DAG BACAG AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,DAG BAC ∴≌,GDA CBA ∴∠=∠,BEO AED ∠=∠,BOE BAD ∴∠=∠60,BAD ∴∠=︒60,BOE ∴∠=︒120.DOC ∴∠=︒故答案为：120.︒【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，邻补角的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．七年级统考期末）如图，在锐角ABC 中，24ABC S = 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得ME MN =，再根据两点之间线段最短可得BM MN +的最小值为BE ，然后根据垂线段最短可得当BE AC ⊥时，BE 取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】如图，在AC 上取一点E ，使AE AN =，连接ME ，AD 是BAC ∠的平分线，EAM NAM ∴∠=∠，在AEM △和ANM 中，AE AN EAM NAMAM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEM ANM ∴≌， ME MN ∴=，BM MN BM ME ∴+=+，由两点之间线段最短得：当点,,B M E 共线时，BM ME +取最小值，最小值为BE ，又由垂线段最短得：当BE AC ⊥时，BE 取得最小值，248,ABC S AC ==，1182422AC BE BE ∴⋅=⨯⋅=，解得6BE =，即BM MN +的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出BM MN +取得最小值时BE 的位置是解题关键． 13．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，已知跷跷板的支点O （即跷跷板的中点）至地面的距离是48cm ，当小红从水平位置CD 下降28cm 时，这时小明离地面的高度是___________cm ．【答案】76【分析】根据题意可得：OF OG =，OC OD =，利用已知条件判断出OFC OGD ≌V V ，得到CF DG =，即可【详解】解：如图：∵O 是FG 和CD 的中点，∴OF OG =，OC OD =，在OFC △和OGD 中，OF OG FOC GODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)OFC OGD ≌V V ，∴CF DG =，又28cm DG =，∴28cm CF DG ==，∴小明离地面的高度=支点到地面的高度482876cm CF +=+=，故答案为：76．【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法． 14．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚(厚度均匀)时，小明用“X 型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA OD =，OB OC =，测得3cm AB =，5cm EF =，圆形容器的壁厚是______cm ．【分析】由题证明AOB DOC ≌，由全等三角形的性质可得，AB CD =，即可解决问题．【详解】在AOB 和DOC △中，OA OD AOB DOCBO OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)AOB DOC ∴≌，3cm AB CD ∴==，cm 5EF =Q ，∴圆柱形容器的壁厚是1(53)1(cm)2⨯−=，故答案为：1．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．【答案】25米/25m【分析】根据SAS 可证明ACB DCE ≌△△，再根据全等三角形的性质可得AB DE =，进而得到答案．【详解】解：∵点C 是AD 的中点，也是BE 的中点，∴AC DC =，BC EC =，∵在ACB △和DCE △中，AC DC ACB DCEBC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ACB DCE ≌，∵25DE =米，∴25AB =米，故答案为：25米．【点睛】此题考查了全等三角形的应用，关键掌握全等三角形的判定定理和性质定理． 16．（2022秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，E 是ABC ∆外一点，D 是AE 上一点，AC BC BE ==，DA DB =，EBD CBD ∠=∠，70C ∠=︒，则BED ∠的度数为___________．【答案】35︒/35度【分析】连接DC ，则DC 垂直平分AB ，可得35ADC DCB ∠=∠=︒，再证明BED BCD ∆≅∆，即可得到35BED DCB ∠=∠=︒．【详解】连接DC ，DA DB =，CA CB =，DC ∴是AB 的垂直平分线，1352DCB ACB ∴∠=∠=︒，在BED 和BCD △中BD BD EBD CBDBE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)BED BCD ∴≌，35BED DCB ∴∠=∠=︒，故答案为：35︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得到DC 是AB 的垂直平分线再想到证明BED BCD △≌△是解题的关键． 17．（2023·全国·八年级假期作业）如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB CD ，的中点，则AOC 与BOD 全等的理由是________．【答案】SAS /边角边【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【详解】解：∵O 是AB CD ，的中点，∴,,OA OB OC OD ==在AOC 和DOB 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴()SAS AOC DOB ≌，故答案为：SAS ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．18．（2022秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，在ABC ∆中，已知 AB AC =，BD CF = ，BE CD =．若40A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__________．【答案】70°【分析】（1）证△BED ≌△CDF ；（2）利用AB=AC 得到∠B 与∠C（3）利用整体法求得∠EDF【详解】∵AB=AC ，∴∠B=∠C∵BD=CF ，BE=CD∴△BED ≌△CDF ，∴∠FDC=∠BED∵∠A=40°∴∠B=∠C=70°∴在△BED 中，∠BED+∠BDE=110°∴∠EDB+∠FDC=110°∴∠EDF=70°【点睛】求角度，常见的方法有：（1）方程思想；（2）整体思想；（3）转化思想本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度三、解答题 19．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）已知：如图，12BC DC =∠=∠，，求证：ABC ≌ADC △．【答案】见解析【分析】先证明ACB ACD ∠=∠，再结合AC AC =，BC DC =，即可得到结论．【详解】．证明：12∠=∠，ACB ACD ∴∠=∠，AC AC BC DC ==，，ABC ∴≌ADC △．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用SAS 证明两个三角形全等”是解本题的关键． 20．（2021秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，点E 、F 在BC 上，BF EC =，AB DC =，B C ∠=∠．求证：A D ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】证明()SAS ABF DCE ≌△△，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：在ABF △和DCE △中，AB DC B CBF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABF DCE ≌△△， ∵A D ∠=∠．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定是解题的关键．21．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知：如右图ABCD ，AB CD =．求证：ADC CBA ≌．【答案】见解析【分析】由AB CD ，得ACD CAB ∠=∠，再利用SAS 即可证得结论．【详解】证明：∵ABCD ，∴ACD CAB ∠=∠，在ADC △与CBA △中：AB CD ACD CAB AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ADC CBA ≌．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ． 22．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，点D 在线段BE 上，AB CD ，AB DE =，BD CD =．ABD △和EDC △全等吗？为什么？【答案】ADB ECD △≌△，理由见解析【分析】先根据平行线的性质得到ABD EDC =∠∠，再利用SAS 证明ADB ECD △≌△即可得到结论．【详解】解：ADB ECD △≌△，理由如下：∵AB CD ，∴ABD EDC =∠∠，∵AB ED =，BD DC =，∴()SAS ADB ECD △≌△．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知边角边证明三角形全等是解题的关键．(1)求证：AEC DFB △△≌； (2)若6AEC S ∆=，求三角形BEC 的面积．【答案】(1)见解析(2)92BEC S =△【分析】（1）根据AE DF ∥得A D ∠=∠，根据AB CD =得AB BC CD BC +=+，即AC DB =，根据ASA 即可证明AEC DFB △△≌；（2）在AEC △中，以AC 为底作EH 为高，则12AEC S EH AC ∆=⋅，12BCE S EH BC ∆=⋅，根据13AB CD BC ==得43AC BC =，6AEC S ∆=，即可得．【详解】（1）证明：∵AE DF ∥，A D ∴∠=∠， ∵AB CD =，AB BC CD BC ∴+=+AC DB ∴=，在AEC △和DFB △中，AE DF A DAC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS AEC DFB ∴≌（）△△；（2）解：如图所示，在AEC △中，以AC 为底作EH 为高，12AEC S EH AC ∆∴=⋅，12BCE S EH BC ∆=⋅，∵13AB CD BC ==，43AC BC ∴=，6AEC S ∆=， ΔΔ3 4.54BEC AEC S S ∴==．【点睛】本题考查了三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 24．（2023春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）已知：如图，点,F C 在线段BE 上，AB DE =，B E ∠=∠，BF EC =．求证：A D ∠=∠．【答案】见解析【分析】先根据线段的和差得出BC EF =，进而证明ABC DEF ≌△△，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵BF EC =，∴BF FC FC CE +=+，即BC EF =，在,ABC DEF 中，AB DE B EBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC DEF ≌△△， ∴A D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．25．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC 中，已知AB AC =，2BAC DAE ∠=∠，且DAE FAE ∆≅∆．求证：ABD ACF ∆≅∆．【答案】见解析【分析】先根据全等三角形的性质以及已知2BAC DAE ∠=∠得出BAD CAF ∠=∠，再利用SAS 即可证出ABD ACF ∆≅∆．【详解】证明：∵DAE FAE ∆≅∆，∴,AD AF DAE FAE =∠=∠．∵2BAC DAE ∠=∠，∴BAD EAC DAE FAE ∠+∠=∠=∠，∵FAC EAC FAE ∠+∠=∠∴BAD CAF ∠=∠．在ABD ∆和ACF ∆中，AB AC BAD CAFAD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ACF ∆≅∆．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．八年级假期作业）如图，在ABC 和V(1)求证：ABD ACE △△≌(2)若35BDA ∠=︒，则【答案】(1)见解析(2)70【分析】（1）根据等式的性质，可得=BAD CAE ∠∠，根据SAS 可得两个三角形全等；（2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得ADC AEC ∠∠=，根据等量代换，可得证明结论．【详解】（1）证明：=BAC DAE ∠∠，BAC DAC DAE DAC ∴∠−∠=∠−∠，即=BAD CAE ∠∠．在ABD △和ACE △中，AB AC BAD EACAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS ABD ACE ∴≌（）；（2）证明：ABD ACE ≌△△， ADB AEC ∴∠=∠，AD AE =ADC AEC ∴∠=∠35BDA ADC ∴∠=∠=︒∴223570BDC BDA ∠∠==⨯︒=︒．故答案为：70．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS 证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论． 27．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB DE =，BF CE =，B E ∠=∠．求证：ABC DEF ≌△△【答案】见解析【分析】用边角边定理进行证明即可.【详解】解：∵BF CE =∴BF FC CE FC +=+即：BC EF =在ABC 和DEF 中AB DE B EBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABC DEF ≌. 【点睛】本题考查边角边定理证明三角形全等，根据题意找到相应的条件是解题关键. 求证：DE BF =．证明：AD BC （已知）∴∠_______=∠_______（两直线平行，内错角相等）AF CE =∴ADE CBF ∴≌（【答案】A ；C ；AF EF CE EF −=−；AD BC =；A C ∠=∠；AE CF =；SAS ；全等三角形对应边相等．【分析】根据平行线的性质得到∠A =∠C ，根据等式的性质得到AE CF =，然后证明ADE CBF V V ≌即可得到结论．【详解】证明：AD BC （已知）∴∠A =∠C （两直线平行，内错角相等）AF CE =（已知）∴AF EF CE EF −=−(等式的基本性质)即AE CF =在ADE V 和CBF V 中AD BC A CAE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADE CBF ∴≌(SAS )DE BF ∴=(全等三角形对应边相等)故答案为：A ；C ；AF EF CE EF −=−；AD BC =；A C ∠=∠；AE CF =；SAS ；全等三角形对应边相等．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【答案】见解析【分析】根据BE CF =可得BC EF =，根据AC DF ∥可得ACB DFE ∠=∠，即可根据SAS 进行求证．【详解】证明：∵BE CF =，∴BE CE CF CE −=−，即BC EF =，∵AC DF ∥，∴ACB DFE ∠=∠，在ABC 和DEF 中，AC DF ACB DFEBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DEF △△≌．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是根据题目所给条件，得出相应的边和角度相等，熟练掌握三角形全等的判定定理．求证：(1)AE CF =；(2)AE CF ∥；(3)∠=∠AFE CEF ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据“边角边”证明ABE CDF △≌△，即可证得结论；（2）根据全等三角形的性质可得AEB CFD ∠=∠，进而可得结论；（3）由全等三角形的性质可得AE CF =，根据“边角边”证明AEF CFE △≌△，即可证得结论．【详解】（1）证明：在ABE 和CDF 中，∵AB CD =， B D ∠=∠，BE DF =，∴ABE CDF△≌△()SAS ，∴AE CF =；（2）证明：∵ABE CDF △≌△，∴AEB CFD ∠=∠，∴AE CF ∥；（3）证明：∵ABE CDF △≌△，∴AE CF =，又∵AEB CFD ∠=∠，EF FE =，∴AEF CFE △≌△，∴∠=∠AFE CEF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．求作：ABC ，使【答案】见解析【分析】先作CAB α∠=∠，再在角的两边上分别截取AC b =，AB c =，从而可得答案．【详解】解：ABC 即为所求．【点睛】本题考查的是作三角形，掌握作一个角等于已知角是解本题的关键． 32．（2023·全国·八年级假期作业）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，AD 是ABC 的中线，延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，构造出BED 和CAD ．求证：BED CAD △≌△．【答案】见解析【分析】由AD 是ABC 的中线，可得DE AD =，再由EDB ADC ∠=∠，DB DC =，即可证明BED CAD △≌△．【详解】证明：如图所示：，AD 是ABC 的中线，DB DC ∴=，在BED 和CAD 中，ED AD EDB ADCDB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BED CAD ∴≌．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键． 33．（2023春·全国·七年级期末）如图，在ABC 中，D 是BC 延长线上一点，满足CD BA =，过点C 作CE AB ∥，且CE BC =，连接DE 并延长，分别交AC ，AB 于点F ，G ．(1)求证：ABC DCE ≅；(2)若12BD =，2AB CE =，求BC 的长度．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据SAS 证明≌ABC DCE 即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【详解】（1）∵CE AB ∥，∴B ECD ∠=∠，在ABC 与DCE △中，AB CD B ECDBC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DCE ≌；（2）∵≌ABC DCE ，∴,AB CD BC CE ==，∵2AB CE =，∴2CD BC =，∵12BD =，∴312BD CD BC BC =+==∴4BC =．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．。

全等三角形的判定方法50道经典题

全等三角形的判定方法50道经典题全等三角形的判定方法是初中数学中重要的一部分，主要包括以下50道经典题目。

1. 如何通过边长判断两个三角形是否全等？答：如果两个三角形的三条边对应相等，则它们全等。

2. 如果通过角度判断两个三角形是否全等？答：如果两个三角形的三个角度对应相等，则它们全等。

3. 如何通过边角判断两个三角形是否全等？答：如果两个三角形中有一个角相等，并且两边对应相等，则它们全等。

4. 如果两个三角形的底边相等，底边上的高相等，判断它们是否全等。

答：根据边角对应的原理，如果底边和高都相等，则这两个三角形全等。

5. 给定两个相等的边和它们之间的夹角，判断它们所在的两个三角形是否全等。

答：根据边角对应的原理，如果两个相等的边和它们之间的夹角都相等，则这两个三角形全等。

6. 如果两个三角形的一个角相等，并且这个角的两边分别等于另一个三角形的两个角的两边，判断它们是否全等。

答：根据边角边的原理，如果两个三角形的一个角相等，并且这个角的两边分别等于另一个三角形的两个角的两边，则这两个三角形全等。

7. 如何通过勾股定理判断两个三角形是否全等？答：如果两个三角形的两条边的平方和相等，则它们全等。

8. 如果两个三角形的一个角相等，并且两边的比例相等，判断它们是否全等。

答：根据角边角的原理，如果两个三角形的一个角相等，并且两边的比例相等，则这两个三角形全等。

9. 如果两个三角形的两个角相等，并且两边的比例相等，判断它们是否全等。

答：根据角角边的原理，如果两个三角形的两个角相等，并且两边的比例相等，则这两个三角形全等。

10. 给定两个相等的边和它们夹角的正弦值，判断它们所在的两个三角形是否全等。

答：根据正弦定理，如果两个相等的边和它们夹角的正弦值都相等，则这两个三角形全等。

11. 给定两个相等的边和它们夹角的余弦值，判断它们所在的两个三角形是否全等。

答：根据余弦定理，如果两个相等的边和它们夹角的余弦值都相等，则这两个三角形全等。

全等三角形的判定(SSS与SAS)(精选精练)(专项练习)(教师版)24-2025学年八年级数学上册

专题12.4全等三角形的判定（SSS 与SAS）（精选精练）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，AB AC =，BD CD =，35BAD ∠=︒，120ADB ∠=︒，则C ∠的度数为（）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．55︒2．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，O 为AC 的中点，若要利用“SAS ”来判定△≌△AOB COD ，则应补充的一个条件是（）A ．A C ∠=∠B ．AB CD =C ．B C ∠=∠D ．OB OD=3．（22-23九年级上·重庆大渡口·期末）如图，在正方形ABCD 中，点E F ，分别在边CD BC ，上，且DE CF =，连接AE DF ，，DG 平分ADF ∠交AB 于点G ．若70AED ∠=︒，则AGD ∠的度数为（）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒4．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在ABC 中，D 为边BC 的中点，1AB =，2AD =，延长AD 至点E ，使得DE AD =，则AC 长度可以是（）A ．4B ．5C ．6D ．75．（17-18八年级上·辽宁营口·阶段练习）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF CE ，．则下列说法：①CE BF =；②ABD △和ACD 面积相等；③BF CE ∥；④BDF CDE △△≌．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则1∠与2∠的和为（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒7．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知48AOB ∠=︒，点C 为射线OB 上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA 于点D ，交OB 于点E ；②以点C 为圆心，以OD 长为半径作弧，交OC 于点F ；③以点F 为圆心，以DE 长为半径作弧，交前面的弧于点G ；④连接CG 并延长交OA 于点H ．则AHC ∠的度数为（）A ．24︒B ．42︒C ．48︒D ．96︒8．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，平面上有ACD 与BCE ，其中AD 与BE 相交于P 点，如图，若AC BC AD BECD CE ===，，，55ACE ∠=︒，155BCD ∠=︒，则BPD ∠的度数为（）A ．110︒B ．125︒C ．130︒D ．155︒9．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知AB AC =，AE AD =，90CAB DAE ∠=∠=︒，且点B ，C ，E 在同一条直线上，10cm BC =，4cm CE =，连接DC ．现有一只壁虎以2cm/s 的速度沿B C D --的路线爬行，则壁虎爬到点D 所用的时间为（）A ．10sB ．11sC ．12sD ．13s10．（21-22八年级上·云南昭通·期末）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且CE BF ，连接BF CE ，，下列说法：①DE DF =；②ABD 和ACD 面积相等；③CE BF =；④BDF CDE ≌；⑤CEF F ∠∠=．其中正确的有（）A ．1个B ．5个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，已知12∠=∠，要用“SAS ”判定ABD ACD △≌△，则需要补充的一个条件为．12．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在ABC 与ADE V 中，E 在BC 边上，AD AB =，AE AC =，DE BC =，若125∠=︒，则DAB ∠=．13．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，为了测量A 、B 两点之间的距离，在地面上找到一点C ，使90ACB ∠=︒，然后在BC 的延长线上确定点D ，使BC CD =，那么只要测量出AD 的长度就得到A 、B 两点之间的距离，其中ABC ADC △△≌的依据是．14．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，BE BA =，DE AB ∥，DE BC =，若3825BAC E ∠=︒∠=︒，，则BDE ∠=．15．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AC 、BC 上，AD DE =，AB BE =，80A ∠=︒，则DEC ∠=︒．16．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，在长方形ABCD 中，20cm AB =，点E 在边AD 上，且12cm AE =．动点P 在边AB 上，从点A 出发以4cm/s 的速度向点B 运动，同时，点Q 在边BC 上，以cm/s v 的速度由点B 向点C 运动，若在运动过程中存在EAP 与PBQ 全等的时刻，则v 的值为．17．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知，如图，在ABC 中，点D 是AB 上一点，CD 平分ACB ∠，2A ADC ∠=∠，6BD =，4AC =，则BC 的长为．18．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，AC 平分DCB ∠，CB CD =，DA 的延长线交BC 于点E ，若BAE x ∠=︒，则EAC ∠的度数为．（用含x 的代数式表示）．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在ABF △和DCE △中，,,AB DC AF DE BE CF ===，且点,,,B E F C 在同一条直线上．求证：B C ∠=∠．20．（8分）（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，点B F C E 、、、在一条直线上，AB DE =，,,AC DF BF CE AD ==交BE 于点O ．（1）求证：B E ∠=∠；（2）求证：,AD BE 互相平分．21．（10分）（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，已知AD AB AC AE DAB CAE ==∠=∠，，，连接DC BE ，．（1）求证：BAE DAC ≌；（2）若13520CAD D ∠=︒∠=︒，，求E ∠的度数．22．（10分）（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在ABC 中，D 为AB 上一点，E 为AC 中点，连接DE 并延长至点F 使得EF ED =，连CF ．（1）求证：CF AB ∥；（2）若50ABC ∠=︒，连接BE ，CA 平分BCF ∠，求A ∠的度数．23．（10分）（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知等腰三角形ABC ，AB AC =，D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为边在直线AD 的右侧作等腰三角形ADE ，DAE BAC ∠=∠，AD AE =，连接CE ．（1）如图1，当点D 在边BC 上时，请探究BC ，CD ，CE 之间的数量关系．（2）如图2，当点D 在BC 的延长线上时，（1）中BC ，CD ，CE 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由．24．（12分）（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边作直角ABE 和ACF △，其中AB AE =，90BAE ∠=︒，AC AF =，90CAF =︒∠，连接EF ，延长AD 至点G ，使DG AD =，连接BG ．【初步探索】（1）试说明：AC BG ∥；【衍生拓展】（2）探究EF 和AD 之间的数量关系，并说明理由．参考答案：1．A【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，正确判断对应角，对应边是解决本题的关键．在ABD △中，根据三角形内角和定理求得B ∠，根据全等三角形的对应角相等即可解决．【详解】解：在ABD △中，18025B BAD ADB ∠=︒-∠-∠=︒，∵AB AC =，BD CD =，AD AD =，∴()SSS ABD ACD ≌，∴25C B ∠=∠=︒．故选：A ．2．D【分析】本题主要考查了添加一个条件，使得用“SAS ”来判定△≌△AOB COD ，根据已知条件得出OA OC =，AOB COD ∠=∠，故只需要OB OD =即可使用SAS 证明△≌△AOB COD ．【详解】解：∵O 为AC 的中点，∴OA OC =，∵AOB COD ∠=∠，∴当添加OB OD =时，()SAS AOB COD ≌△△．故选：D ．3．B【分析】可以先证明ADE DCF ≌，则70ADF ∠=︒，利用角平分线可得35ADG ∠=︒，再利用直角三角形的两锐角互余解题即可．【详解】解：∵正方形ABCD∴90AD DC ADC C DAG AD BC ∠∠∠====︒ ，，，在ADE 和DCF 中，AD DC ADE C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE DCF≌∴70AED DFC ADF ∠∠∠===︒∵DG 平分ADF∠∴1352ADG ADF ∠∠==︒∴9055ADG ADG ∠∠=︒-=︒故选B ．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．4．A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系；证明ABD ECD ≌，得1CE AB ==，在AEC △中由三边不等关系确定AC 的取值范围，根据范围即可完成求解．【详解】解：D 为边BC 的中点，BD CD ∴=；在ABD △与BCD △中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ECD ∴ ≌，1CE AB ∴==；AE CE AC AE CE -<<+ ，4AE AD DE =+=，35AC ∴<<，故AC 可以为4,故选：A ．5．D【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等底等高的三角形的面积相等、平行线的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．根据三角形中线的定义可得BD CD =，然后利用“SAS ”证明BDF V 和CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE BF =，全等三角形对应角相等可得F CED ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行可得BF CE ∥，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．【详解】解：∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在BDF V 和CDE 中，BD CD BDF CDE DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDF CDE ≌ ，故④正确；∴CE BF F CED =∠=∠，，故①正确，∴BF CE ∥，故③正确；∵BD CD =，点A 到BD CD 、的距离相等，∴ABD △和ACD 面积相等，故②正确，综上所述，正确的是①②③④，共4个．故选：D ．6．B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，互余．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．如图，证明()SAS ABC DFE ≌，则1BAC ∠=∠，由290BAC ∠+∠=︒，可得1290∠+∠=︒，然后作答即可．【详解】解：如图，∵BC ED =，90BCA DEF ∠=∠=︒，AC FE =，∴()SAS ABC DFE ≌，∴1BAC ∠=∠，∵290BAC ∠+∠=︒，∴1290∠+∠=︒，故选：B ．7．D【分析】本题考查尺规基本作图-作一角等于已知角，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，根据作图，由全等三角形的判定定理SSS 可以推知DOE GCF ≌，得到GCF DOE ∠=∠，即48ACO AOB ∠=∠=︒，再利用三角形外角性质求解即可．【详解】解：由作图可知，在DOE 与GCF 中，OD CG DE GF OE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则()SSS DOE GCF ≌．∴GCF DOE ∠=∠，即48ACO AOB ∠=∠=︒，∴484896AHC AOB ACO ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：D ．8．C【分析】易证≌ACD BCE V V ，由全等三角形的性质可知：A B ∠=∠，再根据已知条件和四边形的内角和为360︒，即可求出BPD ∠的度数．【详解】解：在ACD 和BCE 中，AC BC CD CE AD BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ACD BCE ≌，∴BCE ACD ∠=∠，∴BCA ECD ∠=∠，∵55ACE ∠=︒，155BCD ∠=︒，∴100BCA ECD ︒∠+∠=，∴50BCA ECD ︒∠=∠=，∵55ACE ∠=︒，∴105ACD ∠=︒∴75A D ︒∠+∠=，∴75B D ∠+∠=︒，∵155BCD ∠=︒，∴36075155130BPD ︒︒︒︒∠=--=，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出75B D ∠+∠=︒．9．C【分析】先根据等腰直角三角形的性质可以得出ABE ACD ≌，属于手拉手型全等，所以()10414cm CD BE ==+=，最后根据时间=路程÷速度即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【详解】解：BAC EAD ∠=∠ ，BAC CAE EAD CAE ∴∠+∠=∠+∠，BAE CAD ∴∠=∠，在ABE 与ACD 中，AB AC BAE CAD AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABE ACD ∴ ≌，10414(cm)CD BE BC CE ∴==+=+=，则()101424cm BC CD +=+= 壁虎以2cm/s 的速度B 处往D 处爬，24212()t s ∴=÷=．故选：C ．10．B【分析】根据三角形中线的定义可得BD CD =，然后利用“边角边”证明BDF 和CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE BF =，全等三角形对应角相等可得F CED ∠∠=，再根据内错角相等，两直线平行可得BF CE ，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．【详解】解：∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在BDF 和CDE 中，BD CD BDF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDF CDE ≌，故④正确∴CE BF F CED ∠∠==，，故①正确，∵CEF CED ∠∠=，∴CEF F ∠∠=，故⑤正确，∴BF CE ，故③正确，∵BD CD =，点A 到BD CD 、的距离相等，∴ABD 和ACD 面积相等，故②正确，综上所述，正确的有5个，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键．11．BD CD=【分析】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，根据用“SAS ”判定ABD ACD △≌△，已知12∠=∠及公共边AD ，添加的条件是BD CD =．【详解】解：添加的条件是BD CD =，理由是：在ABD △与ACD 中，11AD AD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABD ACD ≌，故答案为：BD CD =．12．25︒/25度【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明()SSS ABC ADE ≌得到AED C ∠=∠，再根据三角形内角和定理和平角的定义可得2125∠=∠=︒．【详解】解：∵AD AB =，AE AC =，DE BC =，∴()SSS ABC ADE ≌，∴AED C ∠=∠，∵11802C AEC AEC AED ∠++=︒=++∠∠∠∠∠，∴2125∠=∠=︒，故答案为：25︒．13．SAS /边角边【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据SAS 即可证明ACB ACD ≌ 是解题的关键．【详解】解：AC BD ^ ，90ACB ACD ∴∠=∠=︒，在ACB △和ACD 中，AC AC ACB ACD BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACB ACD \≌ ，故答案为：SAS ．14．117︒/117度【分析】本题考查了全等三角形的判定及其性质等知识，根据平行线的性质得出∠=∠ABC BED ，进而利用SAS 证明ABC 和EBD △全等，利用全等三角形的性质解答即可．【详解】解：∵DE AB ∥，ABC BED ∴∠=∠，在ABC 和EBD △中，BA BE ABC BED BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABC EBD ∴ ≌，38BAC EBD ∴∠=∠=︒，1801803825117BDE EBD E ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：117︒．15．100【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出EBD ABD △≌△，再根据全等三角形的性质可得80BED A ∠=∠=︒，由此即可得．【详解】解：在EBD △和ABD △中，ED AD BE BA BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS EBD ABD ∴ ≌，80BED A ∴∠=∠=︒，180100DEC BED ∴∠=︒-∠=︒，故答案为：100．16．4或245【分析】本题主要考查三角形全等的判定．设运动s t ，则4 cm AP t =，()204cm BP AB AP t =-=-， cm BQ vt =，由于在长方形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，因此①当AE BP =，AP BQ =时，()SAS AEP BPQ ≌，②当AE BQ =，AP BP =时，()SAS AEP BQP ≌，代入即可求解v 的值．【详解】设运动s t ，则4 cm AP t =，()204cm BP AB AP t =-=-， cm BQ vt =，∵在长方形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，∴①当AE BP =，AP BQ =，即12204t =-，4t vt =时，()SAS AEP BPQ ≌，解得：2t =，4v =或当AE BQ =，AP BP =，即12vt =，4204t t =-时，()SAS AEP BQP ≌，解得：52t =，245v =．综上所述，v 的值为4或245．故答案为：4或24517．10【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明ACD ECD ≌△△，在BC 边上取点E ，使EC AC =，连接DE ，证明ACD ECD ≌△△，再根据已知条件证得6BD BE ==，即可得解．【详解】解：如图，在BC 边上取点E ，使EC AC =，连接DE ，∵CD 平分ACB ∠，∴ACD ECD ∠=∠，∵CD CD =，∴()SAS ACD ECD ≌，∴4AC CE ==，ADC EDC ∠=∠，∵22A ADC ADE ADC EDC ADC ∠=∠∠=∠+∠=∠，，∴A ADE DEC ∠=∠=∠，∴BDE BED ∠=∠，∴6BD BE ==，∴6410BC BE CE =+=+=．故答案为：10．18．1802x-【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，利用SAS 证明ABC ADC △△≌得D DCA B BCA ∠+∠=∠+∠，根据三角形的外角定理推出B BCA CAE ∠+∠=∠，进而根据三角形内角和定理即可求解，解题的关键是利用SAS 证明ABC ADC △△≌．【详解】解：∵AC 平分DCB ∠，∴BCA DCA ∠=∠，在ABC 和ADC △中,CB CD BCA DCA CA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC ADC △△≌，∴B D ∠=∠，∴B BCA D DCA ∠+∠=∠+∠，∵EAC D DCA ∠=∠+∠，∴B BCA EAC ∠+∠=∠，∵180180B BCA BAC BAE EAC ∠+∠=︒-∠=︒-∠-∠，∴180CAE BAE EAC ∠=︒-∠-∠，∵BAE x ∠=︒，∴1802x EAC -⎛⎫∠=︒ ⎪⎝⎭，故答案为：1802x -．19．见解析【分析】由BE CF =可得BF CE =，然后利用SSS 证明ABF DCE ≌即可证明结论．【详解】解：∵BE CF =，∴BE EF EF FC +=+，即BF CE =，在ABF 和DCE 中AB CD AF DE BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABF DCE ≌，∴B C ∠=∠．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用SSS 证明ABC DEF ≌△△，然后根据全等三角形的性质即可得证；（2）利用AAS 证明ABO DEO △△≌，然后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】（1）证明：∵BF CE =，∴BC EF =，在ABC 和DEF 中AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ABC DEF ≌，∴B E ∠=∠；（2）证明：在ABO 和DEO 中B E AOB DOE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABO DEO ≌，∴AO DO =，=BO EO ，即AD ，BE 互相平分．21．(1)见解析(2)25E ∠=︒【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；（1）根据题意由DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，可得DAC BAE ∠=∠，即可求证；（2）由()SAS BAE DAC ≌，可得E C ∠=∠，再由内角和为180︒即可求解．【详解】（1）证明：∵DAB CAE ∠=∠，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，又∵AD AB AC AE ==，，∴()SAS BAE DAC ≌；（2）∵()SAS BAE DAC ≌，∴E C ∠=∠，∵13520CAD D ∠=︒∠=︒，，∴1801801352025C CAD D ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴25E C ∠=∠=︒．22．(1)见详解(2)65︒【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．（1）求出AED CEF ≌，根据全等三角形的性质得出A ACF ∠=∠，根据平行线的判定得出即可；（2）根据（1）求出A ACB ∠=∠，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】（1）证明：∵E 为AC 中点，AE CE ∴=，在AED △和CEF △中AE CE AED CEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AED CEF SAS ∴ ≌，A ACF ∴∠=∠，∴CF AB ∥；（2）解：∵AC 平分BCF ∠，ACB ACF ∴∠=∠，A ACF ∠=∠ ，A ACB ∴∠=∠，180,50A ABC ACB ABC ∠+∠+∠=︒∠=︒ ，18050652A ︒-︒∴∠==︒，65A ∴∠=︒．23．(1)CE CD BC+=(2)不成立．CE CD BC-=【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．（1）证明BAD CAE ∠=∠．再证明()SAS BAD CAE ≌△△，可得CE BD =，再进一步可得结论；（2）证明BAD CAE ∠=∠．再证明()SAS BAD CAE ≌△△，可得CE BD =，再进一步可得结论；【详解】（1）解：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠．在BAD 与CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAD CAE ≌△△，∴CE BD =，∴CE CD BD CD BC +=+=．（2）不成立．CE CD BC -=．理由：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠．在BAD 与CAE V 中，,,,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAD CAE ∴△≌△，∴CE BD =，∴CE CD BD CD BC -=-=．24．（1）见解析（2）2EF AD =，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键．（1）根据AD 是边BC 的中线，得出BD CD =，利用SAS 证明GDB ADC ≌，得出DBG ACD Ð=Ð，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明AC BG ∥；（2）由（1）得AC BG ∥，GDB ADC ≌，得出180BAC ABG ∠+∠=︒，BG AC =，推出BG AF =，ABG EAF ∠=∠，利用SAS 证明ABG EAF ≌，得出AG EF =，根据DG AD =，AG DG AD =+，得出2AG AD =，即可证明2EF AD =．【详解】解：（1）∵AD 是边BC 的中线，∴BD CD =，在GDB △和ADC △中，DG AD GDB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS GDB ADC ≌，∴DBG ACD Ð=Ð，∴AC BG ∥；（2）2EF AD =，理由如下，∵由（1）得AC BG ∥，GDB ADC ≌，∴180BAC ABG ∠+∠=︒，BG AC =，∵AC AF =，∴BG AF =，∵3603609090180BAC EAF BAE CAF Ð+Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∴ABG EAF ∠=∠，在ABG 和EAF △中，AB AE ABG EAF BG AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABG EAF ≌，∴AG EF =，∵DG AD =，AG DG AD =+，∴2AG AD =，∴2EF AD =．。