全等三角形判定定理-边边边解析
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
人教版数学八年级上册 12.2三角形全等的判定 第一课时 “边边边”(sss)判定(共31张ppt)(智能版推荐)
学完本节课你应该知道
定理：三条边都相等的三角形全等
全等三角形 “边边边”
判定
数学语言表示和证明
尺规画定三角形 尺规作图
尺规画等角
动笔练一练
• 满足下列条件的两个三角形不一定全等的
是（ C ）
A. 有一边相等的两个等边三角形 B. 有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形 C. 周长相等的两个三角形 D. 三条边都相等的三角形
动笔练一练
• 在四边形ABCD中， 已知：AB=CD， AD=CB。试证明： ∠A=∠C。
动笔练一练
证明： 在△ABC和△FDE中：
AB=CD（已知） AD=CB（已知） BD=DB（公共边） ∴△ABD ≌△ ACD（SSS） ∴∠A=∠C（全等三角形的对 应角相等）
课后练一练
请同学们独立完成配套课后练习题。
下课！
谢谢同学们！
在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看 到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常 有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上 司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她 羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英 语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了 几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个 社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改 变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的 人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才 是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来 亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别，主要差在两耳之间的 那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定 的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度；有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生 什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行
全等三角形判定定理
全等三角形判定定理全等三角形判定定理，听起来是不是有点复杂？其实，它很简单。
全等三角形就是形状和大小完全一样的三角形。
想象一下，两个兄弟，一个高一个矮，但他们的面貌一模一样。
三角形也是如此。
我们可以通过几个方法来判断它们是否全等。
首先，看看边。
边长相等，三角形就可能全等。
你想啊，两个三角形如果边都一样长，肯定有戏。
比如，边AB等于边DE，边BC等于边EF，边CA 等于边FD。
这样，光从边上看，它们就像是换了身衣服的双胞胎。
接下来，角也是一个重要的判断依据。
三角形的角度相等，说明它们可能是“兄弟”。
如果一个三角形的角A等于另一个三角形的角D，角B等于角E，角C等于角F，那它们就是全等的。
记住，角和边是全等三角形的“秘密武器”。
然后，我们得谈谈全等三角形的判定定理。
这里有三条法则，简单易记。
第一，边边边（SSS），就是三个边都相等。
第二，边角边（SAS），两个边和夹角相等。
第三，角边角（ASA），两个角和夹角的边相等。
掌握这些，基本上就可以轻松判断全等三角形。
深入了解，我们还可以说说全等三角形的性质。
全等三角形不仅形状和大小一致，它们的周长和面积也一样。
这就像两杯水，虽然杯子不同，但水量是一样的。
这个性质在实际应用中很有帮助，尤其在设计和建筑上。
想象一下，设计师要确保两个相似的结构完全一致，这些全等三角形就能派上用场。
我们再谈谈全等三角形在生活中的应用。
你可能没注意，建筑师、工程师和设计师经常利用这些知识。
他们设计的建筑，很多地方都是由全等三角形构成的。
比如，房子的屋顶，很多都是三角形。
全等三角形的判定能确保屋顶的稳固性和美观度。
多好的一件事啊！在学校，数学老师也常常用全等三角形来解释几何问题。
课堂上，学生们画出不同的三角形，通过测量边长和角度，来判断它们是否全等。
这样做不仅锻炼了动手能力，还培养了逻辑思维。
全等三角形就像一把钥匙，打开了几何世界的大门。
全等三角形的应用，不仅限于几何和建筑。
我们在生活中，很多时候也能见到它们的身影。
全等三角形的判定边边边课件
定理应用
总结词
边边边全等判定定理在几何证明、三角形计算和实际问题中有着广泛的应用。
详细描述
在几何证明中，可以利用边边边全等判定定理来证明两个三角形全等，从而得出其他几何性质和关系。在三角形 计算中，可以利用边边边全等判定定理来找出相等的三角形并计算它们的面积、周长等。在解决实际问题时，如 测量、工程、建筑设计等领域中，也可以利用边边边全等判定定理来解决问题。
总结词
等边三角形的高、中线和角平分线三线合一。
详细描述
在等边三角形中，高、中线和角平分线是重合的。这是因 为等边三角形的每个角都是60度，所以高也是角平分线 ，同时高也是中线。
04 边边边全等判定定理的例 题解析
例题一：求证两个三角形全等
总结词
理解边边பைடு நூலகம்全等判定定理
详细描述
本例题通过展示两个三角形的三边分别相等，证明这两个三角形全等。通过此例 题，学生可以深入理解边边边全等判定定理的运用。
AAS（两角及非 HL（直角边斜边
夹边全…
公理）
如果两个三角形的三组对 应边分别相等，则这两个 三角形全等。
如果两个三角形的两组对 应边和夹角分别相等，则 这两个三角形全等。
如果两个三角形的两个角 和夹边分别相等，则这两 个三角形全等。
如果两个三角形的两个角 和非夹边分别相等，则这 两个三角形全等。
全等三角形的判定边边边课件
目录
• 全等三角形的基本概念 • 边边边全等判定定理 • 边边边全等判定定理的推论 • 边边边全等判定定理的例题解析 • 练习题及答案
01 全等三角形的基本概念
全等三角形的定义
全等三角形
两个三角形能够完全重合，则这两个 三角形称为全等三角形。
人教版2020-2021学年八年级数学上册12.2 三角形全等的判定 “边边边”定理 课件
所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
依据是什 么？
课堂检测
基础题
1. 如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE， 要
使△ABF≌△ECD ，还需要条件 BF=CD___ (填一个
条件即可）.
A
E
B
D
F
C
2.如图，AB＝CD，AD＝BC, 则下列结论：
AB=AC， BD=CD， AD=AD， AB=AC， BH=CH， AH=AH，
BH=CH， BD=CD， DH=DH，
△ABD≌△ACD(SSS)
A
△ABH≌△ACH(SSS)
D
B
HC
△BDH≌△CDH(SSS)
亲亲爱爱的的读读者者：： 1、学 盛 生而 年 活不思 重 相则 来 信罔 ， 眼， 一 泪思 日 ，而 难 眼不 再 泪学 晨 并则 。 不殆及代。时表宜软20自弱.7.勉。12，270.岁.172.月1.22不072.待1020人.92:。025。00929:0:0.575:.001392J:7u0.l51-2:00.320J09u2:l0-250090:095:059:05:03Jul-2009:05 春亲去爱春的又读回者，： 2、一 千 世年 里 上之 没计 行 有在 ， 绝于 始 望春 于 的， 足 处一 下 境日 。 ，之 只20计 有20在对年于处7月晨境1。绝2日二望星〇的期二人日〇。年二七〇月二十〇二年日七月20十20二年日7月201220日年星7月期1日2日星期日 春去春又回，新新桃桃换换旧旧符符。。在在那那桃桃花花盛盛开开的的地地方方，， 3、莫 少 成等 年 功闲 易 都， 学 永白 老 远了 难 不少 成 会年 ， 言头 一 弃， 寸空 光 放悲 阴 弃切不者。可永轻远09。不:05。会7成.12功.2。02009:057.12.202009:0509:05:037.12.202009:057.12.2020 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方， 40、9:0桃57花.1潭2.水20深20千09尺:0，57不.1及2.汪20伦20送09我:0情50。9:70.51:20.3270.21027.2.102.020092:00597:.01520.290:025009:05:0309:05:03 在在这这醉醉人人芬芬芳芳的的季季节节，，愿愿你你生生活活像像春春天天一一样样阳阳光光，，心心情情 54、少 敏 不壮 而 要不 好 为努 学 它力 ， 的， 不 结老 耻 束大 下 而徒 问 哭伤 。 ，悲 。 应。 当7.1为S2u.它2n0d的2a0y开,7J.始1u2l而y.21笑022。,020709.21:025J.2u00l9y2:0205070S.19u2:n0.2d50a:02y30,00J9u9:l:0y0551:0293, :200520097:0/152:0/230290:05:03
《三角形全等的判定——边边边》最新课件;华东师大版《三角形全等的判定——边边边》最新课件
2、限定范围（证明那两个三角形） 3、摆条件（依据选择的判定定理，按顺序摆 ） 4、下结论（对应点必须写在对应的位置） 5、写依据。
谢谢指导
基本事实：
三边分别相等的两个三角形全等。 （边边边 S.S.S ）
试一试
已知如图所示，求证：△ABC≌△A1B1C1 。
B
9cm 8cm 9cm
B1
8cm
A
6cm
C
A1
6cm
C1
例6
如图，在四边形ABCD中， AD=CB,AB=CD.求证：∠B=∠D。
A D C
B
巩固提升
如图，点B、E、C、F在同一条直线上， AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE。
1、两边一角对应相等：SSA， × SAS; 2、两角一边对应相等：ASA， AAS; 3、三角对应相等：AAA×； 4、三边对应相等：SSS。
√
√ √
？
猜测：
？？？
三边分别相等的两个三角形全等。
探究
1、做一个△ABC，使AB=8cm；AC=6cm、BC=9cm 2、将三角形剪下放到同桌的三角形上，看一看是 否完全重合？ 3、你得到了什么结论？
《三角形全等的判定——边边边》最新课件
——边边边
学习目标
1、探索并能理解记忆新定理，会进行几何证明 过程的书写； 2、能应用新定理证明两个三角形全等；提高逻 辑思维能力； 3、通过观察几何图形，提升识图能力。
为了探索三角形全等的条件，若考虑两个三 角形有三组元素对应相等，那么此时会出现四种 情况：
拓展提高
如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB， 求证：AF=DE。
专题12.2 三角形全等的判定(解析版)
专题12.2 三角形全等的判定全等三角形的判定定理（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用两个直角三角形）【例题1】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【答案】D．【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．∵AB=AC，∠A为公共角，A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B．如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C．如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D．如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．【点拨】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【例题2】如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【答案】见解析。
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点拨】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【例题3】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．【答案】见解析。
12.2 三角形全等的判定(解析版)
12.2 三角形全等的判定1.理解和掌握边边边、边角边的方法判断三角形全等；2.理解和掌握角边角和角角边的方法判断三角形全等；3.理解和掌握直角三角形的判定方法。
一、判定方法一：边边边（SSS ）1.边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边“或“SSS “)。
2.书写格式①先写出所要判定的两个三角形。
②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出。
③得出结论：两个三角形全等。
如下图，在△ABC 和 △A ′B ′C ′中，∵AB =A ′B ′,BC =B ′C ′,AC =A ′C ′,∴△ABC≅△A ′B ′C ′(SSS ).书写判定两个三角形全等的条件：在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量。
如上图，等号左边表示△ABC 的量，等号右边表示 △A ′B ′C ′的量。
3.作一个角等于已知角已知：∠AOB 。
求作： ∠A ′O ′B ′,使 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .作法：如上图所示，①以点O 为圆心、任意长为半径画弧，分别交 OA ，OB 于点 C ，D 。
②画一条射线( O ′A ′,以点 O ′为圆心、OC 长为半径画弧，交( O ′A ′于点 C ′.③以点C ′为圆心、CD 长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点 D ′.④过点。
D ′画射线 O ′B ′,则 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .题型一 利用SSS 直接证明三角形全等如图，已知AC DB =，要用“SSS ”判定ABC DCB @V V ，则只需添加一个适当的条件是_____．【答案】AB DC=【分析】根据全等三角形的判定：三边对应相等的两个三角形全等，即可．【详解】∵全等三角形的判定“SSS ”：三边对应相等的两个三角形全等，∴当ABC V 和DCB △中，AC DB BC BC AB DC =ìï=íï=î，∴()SSS ABC DCB @V V ，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定()SSS ：三边对应相等的两个三角形全等．1．如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB @V V ，根据“SSS ”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】AB DC=【分析】要使ABC DCB @V V ，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC V 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =ìï=íï=î，∴()ABC DCB SSS @△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．2．如图，AB DC =，若要用“SSS ”证明ABC DCB △△≌，需要补充一个条件，这个条件是__________．【答案】AC BD=【分析】由图形可知BC 为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．【详解】解：∵AB DC =，BC CB =，∴可补充AC DB =，在ABC V 和DCB V 中，AB DC BC CB AC DB =ìï=íï=î，∴ABC V ≌()SSS DCB V ；故答案为：AC DB =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．题型二 全等三角形的性质与SSS 综合如图，点E 、点F 在BD 上，且AB CD =，BF DE =，AE CF =，求证：AB CD ∥．【分析】根据全等三角形的判定得出ABE CDF △≌△，推出B D Ð=Ð，利用平行线的判定解答即可．【详解】证明：∵BF DE =，∴BE DF =，在ABE V 和CDF V 中，AB DC AE CF BE DF =ìï=íï=î，∴()SSS ABE CDF V V ≌，∴B D Ð=Ð，∴AB CD ∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．1．已知：如图，RPQ D 中，RP RQ =，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分PRQ Ð．【分析】先根据M 为PQ 的中点得出PM QM =，再由SSS 定理得出PRM QRM V V ≌，由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：M Q 为PQ 的中点（已知），PM QM \=，在RPM △和RQM V 中，RP RQ PM QM RM RM =ìï=íï=î，(SSS)RPM RQM \V V ≌，PRM QRM \Ð=Ð（两三角形全等，对应角相等）即RM 平分PRQ Ð．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．2．已知如图，四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，求证：A C Ð=Ð．【分析】连接BD ，已知两边对应相等，加之一个公共边BD ，则可利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD ，AB CB =Q ，BD BD =，AD CD =，SSS ABD CBD \≌（）V V ．A C \Ð=Ð．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS ，SAS ，ASA ，HL 等．题型三 作一个角等于已知角如图：(1)在A Ð的内部利用尺规作CED A Ð=Ð（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断直线DE AB 与的位置关系【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法在；A Ð的内部作CED A Ð=Ð，即可求解．（2）根据图形及平行线的判定定理可直接得到答案．【详解】（1）解：如图所示，在A Ð的内部作CED A Ð=Ð， 则CED Ð即为所求；（2）∵CED A ÐÐ＝，∴DE AB ∥．故答案为：DE AB ∥．【点睛】本题主要考查角的尺规作图及平行线的判定，熟练掌握基本作图以及平行线的判定定理是解题的关键．1．如图，已知Ðb 和线段a ，求作ABC V ，使B b Ð=Ð，2,AB a BC a==【分析】先画射线BP ，以B 为圆心，a 为半径画弧，与射线BP 交于点D ，再画DA a =，再以b 的顶点为圆心，a 为半径画弧，交b 的两边分别为E ，F ，再以D 为圆心，EF 为半径画弧，交前弧于C ，再连接AC ，从而可得答案．【详解】解：如图，ABC V 即为所求；【点睛】本题考查的是作三角形，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，熟练掌握基本作图是解本题的关键．2．已知a Ð．求作CAB a Ð=Ð．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】按照作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．【详解】解：如图，CAB Ð为所作．【点睛】本题主要考查了作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．二、判定方法二：边角边（SAS ）1.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边“或“SAS “)。
三角形全等的判定方法推理过程
三角形全等的判定方法推理过程三角形的全等是指两个三角形的形状和大小完全相同，也就是它们的三个角度和三边的长度都相等。
现在我们来看一下三角形全等的判定方法推理过程。
1. SSS法（边边边）：若两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
证明：若两个三角形ABC和DEF，它们的三边分别相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF。
要证明这两个三角形全等，我们需要证明它们的三个角度也完全相等。
由正弦定理可知：∠A=arcsin(sin∠A)，因此可以得到：sin∠A=sin∠D，因此∠A=D由此可知，两个三角形的三个角度都相等，所以它们全等。
由余弦定理可知：BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cos∠A，因此可以得到：同理，可以得到：cos∠D=(DE²+DF²-EF²)/2DE×DF因为∠A=∠D，所以cos∠A=cos∠D。
因此，(AB²+AC²-BC²)/(2AB×AC)=(DE²+DF²-EF²)/(2DE×DF)，即(AB/DE)=(AC/DF)，因此∠B=∠E。
由正弦定理可知：sin∠B=BF/AB，sin∠E=EF/DE，因此BF/AB＝EF/DE，即BF/EF=AB/DE，因此∠C=∠F。
因此，两个三角形的三个角度都相等，所以它们全等。
综上所述，全等的判定方法主要有四种：SSS法、SAS法、ASA法和AAS法。
这些方法都是基于三角形的三边和三角的关系来推导的，是数学学习中的基本知识点之一。
掌握全等的判定方法不仅有助于理解三角形的性质，还能够帮助我们解决各种数学题目。
人教版数学八上第6讲全等三角形判定一(SSS,SAS)(提高)知识讲解
全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”； 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等. 举一反三：【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题. 【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD ＝DE ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ． ∴△ABD ≌△ECD ． ∴AB ＝CE ． ∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．3、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【思路点拨】在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ，则△ABD ≌△AED ，所以AB ＝AE ，只要再证出EC ＝AE 即可． 【答案与解析】证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中， BD ＝DE ，AD ＝AD ． ∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ． 又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ． ∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB ＝CD －BD ，AED C B把CD －BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿AD 翻折，使线段BD 运动到DC 上，从而构造出CD －BD ，并且也把∠B 转化为∠AEB ，从而拉近了与∠C 的关系. 举一反三：【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°.【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° 在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE ≌△CFE （SAS ） ∴∠B ＝∠CFE ∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB ∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ， 即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ） ∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE. ∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形判定的实际应用4、如图，公园里有一条“Z 字形道路ABCD ，其中AB ∥CD ，在AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳E ，M ，F ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点.试判断三个石凳E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？为什么？【答案与解析】三个小石凳在一条直线上 证明：∵AB 平行CD （已知）∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） ∵M 在BC 的中点（已知） ∴BM ＝CM （中点定义） 在△BME 和△CMF 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BME ≌△CMF （SAS ）∴∠EMB ＝∠FMC （全等三角形的对应角相等）∴∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°（等式的性质） ∴E ，M ，F 在同一直线上【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证△BME ≌△CMF ，可得∠EMB ＝∠FMC ，再由∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°得到E ，M ，F 在同一直线上. 【巩固练习】 一、选择题1. 如图，已知AB ＝AC ，D 为BC 的中点，结论：①AD ⊥BC ；②AD 平分∠BAC ；③∠B ＝∠C ；④△ABC 是等边三角形.其中正确的是（ ）. A.①② B. ②③ C. ①②③ D. ③④2．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 、F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF 、CE ，下列说法：①CE BF =；② ABD ∆和ACD ∆的面积相等；③//BF CE ；④ BDF ∆≌CDE ∆，其中正确的有（ ）．A.1个B.2个C.3个D.4个3. AD为△ABC中BC边上的中线, 若AB＝2, AC＝4, 则AD的范围是( )A .AD＜6 B. AD＞2 C. 2＜AD＜6 D. 1＜AD＜34．如图，AB＝DC，AD＝BC，E、F是DB上两点，且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝（）．A.150°B.40°C.80°D.90°5. 根据下列条件能唯一画出△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C.AB＝5，AC＝6，∠A＝45°D. ∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°6. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，并且BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF等于（）A.50°B.60°C. 65°D. 70°二、填空题7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.8. 如图，△ABC是三边均不等的三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画个.9. 如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC≌AFB，还需要条件 .10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对.11. 如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝°.AA BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），12. 把两根钢条','如图，若测得AB＝5厘米，则槽宽为厘米．三、解答题13. 如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．14. 如图, ∠B＝∠C, BD＝CE, CD＝BF.求证: ∠EDF ＝ 90︒－12∠A15. 已知：如图，BE、CF是△ABC的高，且BP＝AC，CQ＝AB，求证：AP⊥AQ.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C【解析】由SSS证全等可得①②③是正确的.2. 【答案】Ｄ；3. 【答案】D；【解析】用倍长中线法；4. 【答案】D；【解析】证△ABE≌△CDF，△ADE≌△BCF；5. 【答案】C；【解析】A不能构成三角形，B没有SSA定理，D没有AAA定理.6. 【答案】C；【解析】证△DBE≌△ECF，∠DEF＝180°－∠DEB－∠FEC＝180°－∠DEB－∠BDE＝∠B ＝180502︒-︒＝65°.二.填空题7. 【答案】66°；【解析】可由SSS 证明△ABC ≌△DCB ，∠OBC ＝∠OCB ＝82412︒=︒，所以∠DCB ＝ ∠ABC ＝25°＋41°＝66°8. 【答案】4；【解析】在DE 的两侧可以各画2个. 9. 【答案】∠EAB ＝∠FAC ； 【解析】答案不唯一. 10.【答案】4；【解析】△AOD ≌△COB ，△AOB ≌△COD ，△ABD ≌△CDB ，△ABC ≌△CDA. 11.【答案】27；【解析】可证△ADB ≌△CDB ≌△CDE. 12.【答案】5；三.解答题13.【解析】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD 证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB ＝AC ，BD ＝BE 在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等） ∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90° ∴AE ⊥CD14.【解析】证明：在△ABC 中，∠B ＝∠C ， ∴∠B ＝90︒-12∠A 在△DBF 和△ECD 中BD CE B C BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBF ≌△ECD （SAS ） ∴∠BFD ＝∠CDE∴∠EDF ＝180°－∠BDF －∠CDE ＝180°－（∠BDF ＋∠BFD ）＝∠B ＝90︒－12∠A .15.【解析】证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB （已知）∴∠ACF ＋∠BAC ＝90°，∠ABE ＋∠BAC ＝90°，（三角形内角和定理） ∠ACF ＝∠ABE （等式性质）在△ACQ 和△PBA 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BP AC ABP ACF AB CQ ∴△ACQ ≌△PBA （SAS ）∴∠Q ＝∠BAP （全等三角形对应角相等）∵CF ⊥AB （已知） ∴∠Q ＋∠QAF ＝90°，（垂直定义） ∴∠BAP ＋∠QAF ＝90°，（等量代换）∴AP ⊥AQ.（垂直定义）。
【北师大版教材适用】七年级数学下册《4.3.1 用“边边边”判定三角形全等》课件
知2－讲
解：如图，连接AC，在△ABC和△ADC中，
因为AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，
所以△ABC≌△ADC(SSS)． 所以∠B＝∠D.
（来自《点拨》）
知2－讲
总
结
在本例中，有两组相等线段，可作辅助线构造有 公共边的两个三角形，利用“SSS”说明两个三角形全 等．
（来自《点拨》）
知2－练
要说明：△ABC≌△FDE， 已知：AC＝FE，BC＝DE (三角形全等的三个条件)， 只需说明：AB＝FD 由于BD是公共的，只需说明AD＝FB(已知条件)，
因此原结论成立．
（来自《点拨》）
知1－练
1 如图，下列三角形中，与△ABC全等的是( C )
（来自《典中点》）
知1－练
2
如图，已知AB＝AC，AE＝AD，点B，D，E，
式的性质可得AB＝FD，进而得解．
解： 因为AD＝FB，所以AD＋DB＝FB＋DB，即AB＝FD. AC＝FE， 在△ABC与△FDE中， AB＝FD， BC＝DE， 所以△ABC≌△FDE(SSS)． （来自《点拨》）
知1－讲
总
结
本例的导引采用的是分析法．下面就分析法进行
解读．分析法(执果索因法)：它是从要说明的结论出
知3－导
(3)如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的
一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，
这时木架的形状还会改变吗？
知3－导
归 纳
可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四
边形木架的形状会改变. 这 就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四 边形没有稳定性.
知3－导
在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子.
三角形全等的判定“边角边”(7种题型)-2023年新八年级数学常见题型(人教版)(解析版)
三角形全等的判定“边角边”（7种题型）【知识梳理】全等三角形判定——“边角边”1. 全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【考点剖析】题型一：用“边角边”直接证明三角形全等例1．已知：如图，点C 为AB 中点，CD=BE ，CD ∥BE.求证:△ACD ≌△CBE.【解析】证明：∵CD ∥BE ，∴∠ACD=∠B..∵点C 为AB 中点，∴AC=CB.又∵CD=BE ，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）【变式1】如图，AC DF =，12∠=∠，如果根据“SAS ”判定ABC DEF △≌△，那么需要补充的条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．AB DE =C ．B E ∠=∠D ．BF CE =【答案】D 【详解】解：需要补充的条件是BF=CE ，∴BF+FC=CE+CF ，即BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，12AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．故选：D ．【变式1】如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝DE ，BE ＝CF ，∠B ＝∠DEF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【解答】证明：∵BE ＝CF ，∴BE+CE ＝CF+EC ．∴BC ＝EF ．在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE∠B =∠DEF BC =EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【变式3】如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．求证：△ABC≌△DEC．【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，{AC=DC∠ACB=∠DCE BC=EC，∴△ABC≌△DEC（SAS）．【变式4】如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．【解答】解：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠ACB＝∠EFD＝90°，∵BF＝CD，∴BF+CF＝CD+CF，即BC＝DF，在△ABC和△EDF中，{BC=DF∠ACB=∠EFD AC=EF，∴△ABC≌△EDF（SAS）．【变式5】如图，△ABC 中，AB=AC ，点E ，F 在边BC 上，BE=CF ，点D 在AF 的延长线上，AD=AC ，（1）求证：△ABE ≌△ACF ；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．【答案】（1）证明见解析；（2）75．【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠ACF ，在△ABE 和△ACF 中，AB AC B ACFBE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACF （SAS ）；（2）∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，∵AD=AC ，∴∠ADC=∠ACD ，∴∠ADC=280013︒−︒=75°，故答案为75． 【变式6】（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，在ABC 和ADE V 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接BD CE 、．(1)求证：ABD ACE ≌△△． (2)图中BD 和CE 有怎样的关系？试证明你的结论．【详解】（1）解：90BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠∴BAD EAC ∠=∠AB AC =，AD AE =∴ABD ACE ≌△△． （2）解：如图，设BD 和CE 交点为FABD ACE ≌△△∴ACE ABD ∠=∠90BAC ∠=︒∴90ABD DBC ACB ∠+∠+∠=︒∴90ACE DBC ACB ∠+∠+∠=︒即90ECB DBC ∠+∠=︒∴()18090BFC ECB DBC ∠=︒−∠+∠=︒∴BD CE ⊥．题型二：用“边角边”间接证明三角形全等例2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【变式1】如图所示，点O 为AC 的中点，也是BD 的中点，那么AB 与CD 的关系是________．【答案】平行且相等【详解】解：∵点O 为AC 的中点，也是BD 的中点，∴AO=OC ，BO=OD ，又∵∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ≌△COD （SAS ）∴AB=CD ，∠A=∠C ，∴AB//CD,即AB 与CD 的关系是平行且相等，故答案为：平行且相等．【变式2】如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠D ．求证：AF ＝DE ．【详解】证明：∵AB//CD ，∴∠B ＝∠C ，在△ABF 和△DCE 中，A D AB CDB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF ≌△DCE （ASA ），∴AF ＝DE ．【变式3】如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、CD 上的一点，且DF ＝BE .求证：AF=CE .【分析】由SAS 证明△ADF ≌△CBE ，即可得出AF ＝CE ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ，在△ADF 和△CBE 中，AD BC D B DF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CBE （SAS ），∴AF ＝CE ．【变式4】已知ABN 和ACM △位置如图所示，AB AC =，AD AE =，12∠=∠．（1）试说明：BD CE =；（2）试说明：M N ∠=∠．【详解】解：（1）在△ADB 和△AEC 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∴BD=CE ；（2）∵12∠=∠，∴BAN CAM ∠=∠，∵△ADB ≌△AEC ，∴B C ∠=∠，∴180180B BAN C CAM ︒−∠−∠=︒−∠−∠，即M N ∠=∠．【变式5】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD题型三：边角边与倍长中线例3、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【答案与解析】 证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，∴△ABD ≌△ECD （SAS ）．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．14．如图所示，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB =2，AC =6，则AD 的取值范围是__________AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝．【答案】2＜AD ＜4【分析】此题要倍长中线，再连接，构造全等三角形．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ADC 与△EDB 中，BD CD ADC BDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴EB =AC ，根据三角形的三边关系定理：6-2＜6+2，∴2＜AD ＜4，故AD 的取值范围为2＜AD ＜4．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出6-2＜AE ＜6+2是解此题的关键．题型四：边角边与截长补短例4、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【答案与解析】 证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中，∴△ABD ≌△AED （SAS ）． ∴AB ＝AE ，∠B＝∠AED ．又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ．∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝（AB ＋AD ）， 求证：∠B ＋∠D ＝180°.【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，BD DE ADB=ADE AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠∠＝12A EDC B∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.题型五：边边角不能判定两个三角形全等例5．如图，已知AC ＝BD ，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△BAD 的是（）A ．∠ABC ＝∠BADB ．∠C ＝∠D ＝90° C ．∠CAB ＝∠DBA D ．CB ＝DA【答案】A CEB CEFEC =EC EB EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩12(AF ADFAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断；【详解】在△ABC 与△BAD 中，AC ＝BD ，AB ＝BA ，A 、SSA 无法判断三角形全等，故本选项符合题意；B 、根据HL 即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；C 、根据SAS 即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；D 、根据SSS 即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；故选：A ． 题型六：尺规作图——利用边角边做三角形例6．（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）已知：线段a ，c ，α∠．求作：ABC ．使BC a =，AB c =，ABC α∠=∠．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【详解】解：如图所示：【变式1】（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）尺规作图：已知：线段m ，n ，∠β．求作：ABC ，使AB m =，BC n =，ABC β∠=∠（保留作图痕迹，不写作法）．【详解】解：如图所示：ABC ∴即为所作．题型七：边边边与边角边综合 八年级假期作业）如图，在ABC 中，(1)图中有___________对全等三角形；(2)请选一对加以证明．【详解】（1）图中有3对全等三角形：ABD ACD ≌△△，ABE ACE ≌△△，BDE CDE ≌V V ． 故答案为3；（2）∵D 是BC 的中点，∴BD CD =．在ABD △和ACD 中，AB AC BD CDAD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()SSS ABD ACD ≌V V ；∴BAE CAE ∠=∠．在ABE 和ACE △中，AB AC BAE CAEAE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABE ACE △△≌； ∴BE CE =．在BDE △和CDE 中，BE CE BD CDDE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()SSS BDE CDE ≌V V ． 【过关检测】一、单选题A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】B 【分析】由题意可知根据“边角边”可证OAB OCD VV ≌即可选择．【详解】解：∵在OAB 和OCD 中，OC OA COD AOB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()OAB OCD SAS ≌△△．故判定这两个三角形全等的依据是“SAS ”．故选B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定．熟练掌握判定三角形全等的条件是解题关键． 2．（2023春·江西景德镇·七年级统考期末）如图，AB AC =，点D 、E 分别在AC 和AB 边上，且AD AE =，则可得到ABD ACE △△≌，判定依据是（ ）A ．ASAB ．AASC ．SASD ．SSS【答案】C 【分析】根据SAS 证明ABD ACE △△≌，即可求解． 【详解】解：在ABD △与ACE △中，AB AC BAD CAEAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ACE △△≌()SAS ，故选：C ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在ABF △和DCE △中，点E 、F 在BC 上，AF DE =，AFB DEC ∠=∠，添加下列一个条件后能用“SAS ”判定ABF DCE ≌△△的是（ ）A ．BE CF =B ．BC ∠=∠ C ．AD ∠=∠ D ．AB DC =【答案】A 【分析】先根据BE CF =得到BF CE =，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：∵BE CF =，∴BE EF CF EF +=+，即BF CE =，A 选项，因为BE CF =，AFB DEC ∠=∠，BF CE =，满足“SAS ”判定ABF DCE ≌△△，符合题意； B 选项，因为B C ∠=∠，AFB DEC ∠=∠，BF CE =，是用“AAS ”判定ABF DCE ≌△△，不符合题意； C 选项，因为A D ∠=∠，AF DE =，AFB DEC ∠=∠，是用“ASA ”判定ABF DCE ≌△△，不符合题意； D 选项，因为AB DC =，AF DE =，AFB DEC ∠=∠，不能判定ABF DCE ≌△△，不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．4．（2023春·四川达州·七年级统考期末）如图，在2×3的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1，则1∠和2∠的关系是（ ）A ．221∠=∠B ．2190∠−∠=︒C ．1290∠+∠=︒D ．12180∠+∠=︒【答案】C 【分析】先证明ABC CDE △△≌，再利用全等三角形的性质和等量代换求解即可． 【详解】解：如图，在ABC 和CDE 中，2901AC CE ACB CED BC DE ==⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴ABC CDE △△≌()SAS ，∴1DCE ∠=∠， ∵290DCE ∠+∠=︒，∴1290∠+∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用网格证明三角形全等是解题的关键．A ．20cmB ．45cmC ．25cmD ．65cm【答案】D 【分析】根据题意可得：OF OG =，OC OD =，利用已知条件判断出OFC OGD ≌，得到CF DG =，即可求出答案．【详解】解：如图：∵O 是FG 和CD 的中点，∴OF OG =，OC OD =，在OFC △和OGD 中，OF OG FOC GODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS OFC OGD ≌，∴CF DG =，又20cm DG =，∴20cm CF DG ==，∴小明离地面的高度=支点到地面的高度452065cm CF +=+=，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法． 七年级统考期末）如图，已知在ABC 和BAD 中，直接判定ABC BAD ≌的依据是（ A ．SSSB ．AASC ．ASAD ．SAS【答案】D 【分析】找出两个三角形中已知相等的对应边和对应角，然后根据判定方法即可判断．【详解】解：在ABC 和ABD △中，BC AD ABC BAD AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABC BAD SAS ≌．故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7．（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）如图，AD 平分BAC ∠，AB AC =，连接BD 、CD ，并延长交AC 、AB 于F 、E 点，则图中全等的三角形有( )对．A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【答案】B 【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，仔细寻找．【详解】解：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，在ABD 与ACD 中，AB AC BAD CADAD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，()SAS ABD ACD ∴≌，BD CD ∴=，B C ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，又EDB FDC ∠=∠，ADE ADF ∴∠=∠，AED AFD ∴≌，BDE CDF ≌，ABF ACE ≌．AED AFD ∴≌，ABD ACD ≌，BDE CDF ≌，ABF ACE ≌，共4对．故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =，AOB COD ∠=∠，AC ，BD 交于点M ，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）结论Ⅰ：AC BD =；结论Ⅱ：CMD COD ∠>∠A ．Ⅰ对，Ⅱ错B ．Ⅰ错，Ⅱ对C ．Ⅰ，Ⅱ都对D ．Ⅰ，Ⅱ都错【答案】A 【分析】根据已知条件可知三角形的全等，根据全等三角形的性质可知边相等，再根据三角形的内角和即可求出角的大小．【详解】AOB COD ∠=∠，AOB AOD COD AOD ∴∠+∠=∠+∠，AOC BOD ∴∠=∠，∴在AOC 和BOD 中，∴OA OB AOC BODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOC BOD SAS ∴≌， AC BD ∴=，故Ⅰ正确；AOC BOD ≌，OCA BDO ∴∠=∠，MDC MDO ODC ∴∠=∠+∠，OCD OCA MCD ∴∠=∠+∠，180()COD OCD ODC ∠=︒−∠+∠，180()CMD MDC MCD ∠=︒−∠+∠，180()CMD MDO ODC MCD ∴∠=︒−∠+∠+∠，180()COD OCA MCD ODC ∠=︒−∠+∠+∠，CMD COD ∴∠=∠，故Ⅱ错误；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记对应性质和判定定理是解题的关键． 9．（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，AD AB >，下列结论正确的是（ ）A ．AD AB CD BC −=−B ．AD AB CD BC −>− C ．AD AB CD BC −<−D ．AD AB −与CD BC −的大小关系无法确定【答案】B 【分析】在AD 上截取AE AB =，BAC EAC ≌，由DE CD CE >−即可求解．【详解】解：如图，在AD 上截取AE AB =，AC 平分BAD ∠，BAC EAC ∴∠=∠，在BAC 和EAC 中AB AE BAC EACAC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BAC EAC ≌(SAS )，BC EC ∴=，在CDE 中：DE CD CE >−，AD AB AD AE CD BC −=−>−．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中三边的关系，三角形全等的判定及性质，掌握性质，并根据题意作出辅助线是解题的关键． 10．（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且CE BF ，连接BF CE ，，下列说法： ①DE DF =；②ABD 和ACD 面积相等；③CE BF =；④BDF CDE ≌；⑤CEF F ∠∠=． 其中正确的有（ ）【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得BD CD =，然后利用“边角边”证明BDF 和CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE BF =，全等三角形对应角相等可得F CED ∠∠=，再根据内错角相等，两直线平行可得BF CE ，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．【详解】解：∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在BDF 和CDE 中，BD CD BDF CDEDF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDF CDE ≌，故④正确∴CE BF F CED ∠∠==，，故①正确，∵CEF CED ∠∠=，∴CEF F ∠∠=，故⑤正确，∴BF CE ，故③正确，∵BD CD =，点A 到BD CD 、的距离相等，∴ABD 和ACD 面积相等，故②正确，综上所述，正确的有5个，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键．二、填空题【答案】120°【分析】先证明,DAG BAC ≌得到GDA CBA ∠=∠，再利用60BAD ∠=︒以及三角形的内角和定理、邻补角的性质可得答案．【详解】解：60,DAE GAC ∠=∠=︒,DAG BAC ∴∠=∠,,AD AB AC AG ==在DAG 与BAC 中，,AD AB DAG BACAG AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,DAG BAC ∴≌,GDA CBA ∴∠=∠,BEO AED ∠=∠,BOE BAD ∴∠=∠60,BAD ∴∠=︒60,BOE ∴∠=︒120.DOC ∴∠=︒故答案为：120.︒【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，邻补角的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 七年级统考期末）如图，在锐角ABC 中，24ABC S = 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得ME MN =，再根据两点之间线段最短可得BM MN +的最小值为BE ，然后根据垂线段最短可得当BE AC ⊥时，BE 取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】如图，在AC 上取一点E ，使AE AN =，连接ME ，AD 是BAC ∠的平分线，EAM NAM ∴∠=∠，在AEM △和ANM 中，AE AN EAM NAMAM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEM ANM ∴≌， ME MN ∴=，BM MN BM ME ∴+=+，由两点之间线段最短得：当点,,B M E 共线时，BM ME +取最小值，最小值为BE ，又由垂线段最短得：当BE AC ⊥时，BE 取得最小值，248,ABC S AC ==，1182422AC BE BE ∴⋅=⨯⋅=，解得6BE =，即BM MN +的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出BM MN +取得最小值时BE 的位置是解题关键． 13．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，已知跷跷板的支点O （即跷跷板的中点）至地面的距离是48cm ，当小红从水平位置CD 下降28cm 时，这时小明离地面的高度是___________cm ．【答案】76【分析】根据题意可得：OF OG =，OC OD =，利用已知条件判断出OFC OGD ≌V V ，得到CF DG =，即可【详解】解：如图：∵O 是FG 和CD 的中点，∴OF OG =，OC OD =，在OFC △和OGD 中，OF OG FOC GODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)OFC OGD ≌V V ，∴CF DG =，又28cm DG =，∴28cm CF DG ==，∴小明离地面的高度=支点到地面的高度482876cm CF +=+=，故答案为：76．【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法． 14．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚(厚度均匀)时，小明用“X 型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA OD =，OB OC =，测得3cm AB =，5cm EF =，圆形容器的壁厚是______cm ．【分析】由题证明AOB DOC ≌，由全等三角形的性质可得，AB CD =，即可解决问题．【详解】在AOB 和DOC △中，OA OD AOB DOCBO OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)AOB DOC ∴≌，3cm AB CD ∴==，cm 5EF =Q ，∴圆柱形容器的壁厚是1(53)1(cm)2⨯−=，故答案为：1．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．【答案】25米/25m【分析】根据SAS 可证明ACB DCE ≌△△，再根据全等三角形的性质可得AB DE =，进而得到答案． 【详解】解：∵点C 是AD 的中点，也是BE 的中点，∴AC DC =，BC EC =，∵在ACB △和DCE △中，AC DC ACB DCEBC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ACB DCE ≌，∵25DE =米，∴25AB =米，故答案为：25米．【点睛】此题考查了全等三角形的应用，关键掌握全等三角形的判定定理和性质定理． 16．（2022秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，E 是ABC ∆外一点，D 是AE 上一点，AC BC BE ==，DA DB =，EBD CBD ∠=∠，70C ∠=︒，则BED ∠的度数为___________．【答案】35︒/35度【分析】连接DC ，则DC 垂直平分AB ，可得35ADC DCB ∠=∠=︒，再证明BED BCD ∆≅∆，即可得到35BED DCB ∠=∠=︒．【详解】连接DC ，DA DB =，CA CB =，DC ∴是AB 的垂直平分线，1352DCB ACB ∴∠=∠=︒，在BED 和BCD △中BD BD EBD CBDBE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)BED BCD ∴≌，35BED DCB ∴∠=∠=︒，故答案为：35︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得到DC 是AB 的垂直平分线再想到证明BED BCD △≌△是解题的关键． 17．（2023·全国·八年级假期作业）如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB CD ，的中点，则AOC 与BOD 全等的理由是________．【答案】SAS /边角边【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【详解】解：∵O 是AB CD ，的中点，∴,,OA OB OC OD ==在AOC 和DOB 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴()SAS AOC DOB ≌， 故答案为：SAS ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．18．（2022秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，在ABC ∆中，已知 AB AC =，BD CF = ，BE CD =．若40A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__________．【答案】70°【分析】（1）证△BED ≌△CDF ；（2）利用AB=AC 得到∠B 与∠C（3）利用整体法求得∠EDF【详解】∵AB=AC ，∴∠B=∠C∵BD=CF ，BE=CD∴△BED ≌△CDF ，∴∠FDC=∠BED∵∠A=40°∴∠B=∠C=70°∴在△BED 中，∠BED+∠BDE=110°∴∠EDB+∠FDC=110°∴∠EDF=70°【点睛】求角度，常见的方法有：（1）方程思想；（2）整体思想；（3）转化思想本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度三、解答题 19．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）已知：如图，12BC DC =∠=∠，，求证：ABC ≌ADC △．【答案】见解析【分析】先证明ACB ACD ∠=∠，再结合AC AC =，BC DC =，即可得到结论．【详解】．证明：12∠=∠，ACB ACD ∴∠=∠，AC AC BC DC ==，，ABC ∴≌ADC △．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用SAS 证明两个三角形全等”是解本题的关键． 20．（2021秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，点E 、F 在BC 上，BF EC =，AB DC =，B C ∠=∠．求证：A D ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】证明()SAS ABF DCE ≌△△，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：在ABF △和DCE △中，AB DC B CBF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABF DCE ≌△△， ∵A D ∠=∠．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定是解题的关键．21．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知：如右图ABCD ，AB CD =．求证：ADC CBA ≌．【答案】见解析【分析】由AB CD ，得ACD CAB ∠=∠，再利用SAS 即可证得结论．【详解】证明：∵ABCD ，∴ACD CAB ∠=∠，在ADC △与CBA △中：AB CD ACD CAB AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ADC CBA ≌．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ． 22．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，点D 在线段BE 上，AB CD ，AB DE =，BD CD =．ABD △和EDC △全等吗？为什么？【答案】ADB ECD △≌△，理由见解析【分析】先根据平行线的性质得到ABD EDC =∠∠，再利用SAS 证明ADB ECD △≌△即可得到结论．【详解】解：ADB ECD △≌△，理由如下：∵AB CD ，∴ABD EDC =∠∠，∵AB ED =，BD DC =，∴()SAS ADB ECD △≌△．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知边角边证明三角形全等是解题的关键．(1)求证：AEC DFB △△≌； (2)若6AEC S ∆=，求三角形BEC 的面积．【答案】(1)见解析(2)92BEC S =△【分析】（1）根据AE DF ∥得A D ∠=∠，根据AB CD =得AB BC CD BC +=+，即AC DB =，根据ASA 即可证明AEC DFB △△≌； （2）在AEC △中，以AC 为底作EH 为高，则12AEC S EH AC ∆=⋅，12BCE S EH BC ∆=⋅，根据13AB CD BC ==得43AC BC =，6AEC S ∆=，即可得．【详解】（1）证明：∵AE DF ∥，A D ∴∠=∠， ∵AB CD =，AB BC CD BC ∴+=+AC DB ∴=，在AEC △和DFB △中，AE DF A DAC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS AEC DFB ∴≌（）△△；（2）解：如图所示，在AEC △中，以AC 为底作EH 为高，12AEC S EH AC ∆∴=⋅，12BCE S EH BC ∆=⋅，∵13AB CD BC ==，43AC BC ∴=，6AEC S ∆=， ΔΔ3 4.54BEC AEC S S ∴==．【点睛】本题考查了三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 24．（2023春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）已知：如图，点,F C 在线段BE 上，AB DE =，B E ∠=∠，BF EC =．求证：A D ∠=∠．【答案】见解析【分析】先根据线段的和差得出BC EF =，进而证明ABC DEF ≌△△，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵BF EC =，∴BF FC FC CE +=+，即BC EF =，在,ABC DEF 中，AB DE B EBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC DEF ≌△△， ∴A D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．25．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC 中，已知AB AC =，2BAC DAE ∠=∠，且DAE FAE ∆≅∆．求证：ABD ACF ∆≅∆．【答案】见解析【分析】先根据全等三角形的性质以及已知2BAC DAE ∠=∠得出BAD CAF ∠=∠，再利用SAS 即可证出ABD ACF ∆≅∆．【详解】证明：∵DAE FAE ∆≅∆，∴,AD AF DAE FAE =∠=∠．∵2BAC DAE ∠=∠，∴BAD EAC DAE FAE ∠+∠=∠=∠，∵FAC EAC FAE ∠+∠=∠∴BAD CAF ∠=∠．在ABD ∆和ACF ∆中，AB AC BAD CAFAD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ACF ∆≅∆．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 八年级假期作业）如图，在ABC 和V(1)求证：ABD ACE △△≌(2)若35BDA ∠=︒，则【答案】(1)见解析(2)70【分析】（1）根据等式的性质，可得=BAD CAE ∠∠，根据SAS 可得两个三角形全等；（2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得ADC AEC ∠∠=，根据等量代换，可得证明结论．【详解】（1）证明：=BAC DAE ∠∠，BAC DAC DAE DAC ∴∠−∠=∠−∠，即=BAD CAE ∠∠．在ABD △和ACE △中，AB AC BAD EACAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS ABD ACE ∴≌（）；（2）证明：ABD ACE ≌△△， ADB AEC ∴∠=∠，AD AE =ADC AEC ∴∠=∠35BDA ADC ∴∠=∠=︒∴223570BDC BDA ∠∠==⨯︒=︒．故答案为：70．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS 证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论． 27．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB DE =，BF CE =，B E ∠=∠．求证：ABC DEF ≌△△【答案】见解析【分析】用边角边定理进行证明即可.【详解】解：∵BF CE =∴BF FC CE FC +=+即：BC EF =在ABC 和DEF 中AB DE B EBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABC DEF ≌. 【点睛】本题考查边角边定理证明三角形全等，根据题意找到相应的条件是解题关键. 求证：DE BF =．证明：AD BC （已知）∴∠_______=∠_______（两直线平行，内错角相等）AF CE =∴ADE CBF ∴≌（ 【答案】A ；C ；AF EF CE EF −=−；AD BC =；A C ∠=∠；AE CF =；SAS ；全等三角形对应边相等．【分析】根据平行线的性质得到∠A =∠C ，根据等式的性质得到AE CF =，然后证明ADE CBF V V ≌即可得到结论．【详解】证明：AD BC （已知）∴∠A =∠C （两直线平行，内错角相等）AF CE =（已知）∴AF EF CE EF −=−(等式的基本性质)即AE CF =在ADE V 和CBF V 中AD BC A CAE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADE CBF ∴≌(SAS )DE BF ∴=(全等三角形对应边相等)故答案为：A ；C ；AF EF CE EF −=−；AD BC =；A C ∠=∠；AE CF =；SAS ；全等三角形对应边相等．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【答案】见解析【分析】根据BE CF =可得BC EF =，根据AC DF ∥可得ACB DFE ∠=∠，即可根据SAS 进行求证．【详解】证明：∵BE CF =，∴BE CE CF CE −=−，即BC EF =，∵AC DF ∥，∴ACB DFE ∠=∠，在ABC 和DEF 中，AC DF ACB DFEBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DEF △△≌． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是根据题目所给条件，得出相应的边和角度相等，熟练掌握三角形全等的判定定理． 求证：(1)AE CF =；(2)AE CF ∥；(3)∠=∠AFE CEF ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据“边角边”证明ABE CDF △≌△，即可证得结论；（2）根据全等三角形的性质可得AEB CFD ∠=∠，进而可得结论；（3）由全等三角形的性质可得AE CF =，根据“边角边”证明AEF CFE △≌△，即可证得结论．【详解】（1）证明：在ABE 和CDF 中，∵AB CD =， B D ∠=∠，BE DF =，∴ABE CDF△≌△()SAS ，∴AE CF =； （2）证明：∵ABE CDF △≌△，∴AEB CFD ∠=∠，∴AE CF ∥；（3）证明：∵ABE CDF △≌△，∴AE CF =，又∵AEB CFD ∠=∠，EF FE =，∴AEF CFE △≌△，∴∠=∠AFE CEF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 求作：ABC ，使 【答案】见解析【分析】先作CAB α∠=∠，再在角的两边上分别截取AC b =，AB c =，从而可得答案．【详解】解：ABC 即为所求．【点睛】本题考查的是作三角形，掌握作一个角等于已知角是解本题的关键． 32．（2023·全国·八年级假期作业）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，AD 是ABC 的中线，延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，构造出BED 和CAD ．求证：BED CAD △≌△．【答案】见解析【分析】由AD 是ABC 的中线，可得DE AD =，再由EDB ADC ∠=∠，DB DC =，即可证明BED CAD △≌△．【详解】证明：如图所示：，AD 是ABC 的中线，DB DC ∴=，在BED 和CAD 中，ED AD EDB ADCDB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BED CAD ∴≌．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键． 33．（2023春·全国·七年级期末）如图，在ABC 中，D 是BC 延长线上一点，满足CD BA =，过点C 作CE AB ∥，且CE BC =，连接DE 并延长，分别交AC ，AB 于点F ，G ．(1)求证：ABC DCE ≅；(2)若12BD =，2AB CE =，求BC 的长度．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据SAS 证明≌ABC DCE 即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【详解】（1）∵CE AB ∥，∴B ECD ∠=∠，在ABC 与DCE △中，AB CD B ECDBC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DCE ≌；（2）∵≌ABC DCE ，∴,AB CD BC CE ==，∵2AB CE =，∴2CD BC =，∵12BD =，∴312BD CD BC BC =+==∴4BC =．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例3 如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A
与BC中点D的支架，求求证证：：△∠ABB=D∠≌C△，ACD
A
证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD
B
C
D
在△ABD与△ACD中 AB=AC（已知） BD=CD（已证） AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C
例4：已知：如图1 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE
(1)一个条件 (2)两个条件
× 一边
只有一个条件对应相等的
× 一角
两个三角形不一定全等。
× 一边一角
只有两个条件对应相
两角
× 等的两个三角形不一
两边
× 定全等。
(3)三个条件
三角 三边
两边一角 两角一边
65度
35度
80度
65度
35度
80度
满足下列条件的两个三角形是一定否全等:
× (1)一个条件 一边
∴ AD+DB=BF+DB
即 AB=DF
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的间接 条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤： 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， A 求证：△AEB ≌ △ ADC。
证明：∵BD=CE ∴ BD-ED=CE-ED， B E D C
求证：求求△证证A：B：C∠≌DEC△∥=∠FBDCEE ，
证明：∵ AD=FB ∴AB=FD（等式性质）
在△ABC和△FDE 中
AC=FE（已知） BC=DE（已知）
。 A
?c
D
=
=
。B
E?
图1
F
AB=FD（已证）
∴△ABC≌△FDE（SSS）
（2）∵ △ABC≌△FDE（已证）
∴ ∠C=∠E （全等三角形的对应角相等）
全等三角形的判定—边边边（SSS）
1、 全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
2、 全等三角形有什么性质？
A
D
B
C
E
F
如图,已知△ABC≌△DEF
问题1：其中相等的边有： AB=DE, BC=EF, AC=DF
问题2：其中相等的角有： ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
(全等三角形的对应边相等） （全等三角形的对应角相等)
一边一角 ×
两角
两边
三角
(3)三个条件
三边 两边一角
两角一边
300
500
300
500
满足下列条件的两个三角形是一定否全等:
(1)一个条件
× 一边
只有一个条件对应相等的
× 一角
两个三角形不一定全等。
(2)两个条件
一边一角 × 两角 ×
两边
三角
(3)三个条件
三边 两边一角
两角一边
8cm
8cm
满足下列条件的两个三角形是一定否全等:
两个条件 三个条件
一边一角 × 两角 × 两边 × 三角 × 三边 √
两边一角
两角一边
只有两个条件对应相 等的两个三角形不一 定全等。
结论：
• 三边对应相等的两个三角形全等。 • 可简写为边边边或SSS。
A
D
如
何 用 符
B
CE
F
在△ABC与△DEF中
号
语
AB=DE
言 来
AC=DF
表 达
BC=EF
已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在 一条直线上，AD=FB（如图），要用“边边 边”证明△ABC ≌△ FDE，除了已知中的 AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？ 怎样才能得到这个条件？
解：要证明△ABC ≌△ FDE， 还应该有AB=FD这个条件
∵ DB是AB与FD的公共部分， 且AD=BF
呢 ∴△ABC≌△DEF（SSS）
?
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形 全等。
例1 已知：如图，AB=AD，BC=CD，
求证：△ABC≌ △ADC
证明：在△ABC和△ADC中 A
AB=AD (已知 )
B
D
BC=CD (已知 )
AC= AC (公共边 )
∴ △ABC ≌ △ADC（SSS） C
即BE=CD。 在△ AEB和△ ADC中，
AB=AC
AE=AD
BE=CD
∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)
练习3、如图，在四边形ABCD中， AB=CD,AD=CB,求证：∠ A= ∠ C.
你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？
• 证明：在△ABD和△CDB中 D
C
AB=CD（已知）
AD=CB（已知） A
例2. 如下图，△ABC是一个钢架，
AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。 求证：△ ABD≌ △ ACD 分证析明：:要∵D证是明B△C中AB点D，≌ △ACD， 首先要看这两个三角形的三条边 是否对应∴B相D等=C。D.
在△ABD和△ ACD中,
AB=AC,
BD=CD,
AD=AD, ∴ △ABD ≌△ ACD（SSS）．
只有一个条件对应相等的
× 一角
两个三角形不一定全等。
(2)两个条件
一边一角 × 两角 × 两边 ×
只有两个条件对应相 等的两个三角形不一 定全等。
三角 ×
(3)三个条件 三边
两边一角
两角一边
8cm
8cm
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
一个条件
× 一边
只有一个条件对应相等的
× 一角
两个三角形不一定全等。
B
BD=DB （公共边） ∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴ ∠ A= ∠ C （全等三角形的对应角相等）
练习：1、如图，AB＝AC，BD＝CD，BH
＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等
(1)一个条件 一边 一角
一边一角 (2)两个条件 两角
两边
三角
(3)三个条件 三边 两边一角
两角一边
8cm
8cm
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
一边 (1)一个条件
×
一角
(2)两个条件
一边一角 两角
两边
三角
(3)三个条件 三边 两边一角
两角一边
400
400
满足下列条件的两个三角形是一定否全等:
(1)一个条件
× 一边
只有一个条件对应相等的
× 一角
两个三角形不一定全等。
(2)两个条件
一边一角
两角 两边
三角
(3)三个条件
三边 两边一角
两角一边
300 9cm
300 9cm
满足下列条件的两个三角形是一定否全等:
(1)一个条件
× 一边
只有一个条件对应相等的
× 一角
两个三角形不一定全等。
(2)两个条件
想一想
3.在△ABC 与△A'B'C'中,若AB=A'B',
BC=B'C',AC=A`C`,∠A=∠A', ∠B=∠B',
∠C=∠C',那么△ABC 与△A'B'C'全等吗?
具备三条边对应相等,三个角对应相等的两个三角形全等
A
A'
B
C
B'
C'
思考:
要使两个三角形全等,是否一定要六个条件呢?
满足下列条件的两个三角形是否一定全等: