人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖)(最新整理)

开式中的项
数、项的次
数、项的系
数等角度进
行归纳，并
根据归纳所
得猜想一般
的展开式的
结果．
学生体会由
特殊到一般
的归纳猜想
的过程．
[问题 4] 猜想一： 教师 6：提出问题 3．
探
(a b)n 0an k ankbk
1an1b nbn
学生 教师
6：引起思考，并提出想法． 7：提出问题：
号选择“ a ”，相乘而成．可这样设计计数模型，
要做这件事，可分成两步来完成：
第一、从 n 个括号中选择 k 个括号选“ b ”，有
Cnk 种选择；
第二、剩余括号选择“
a
”就
Cnk nk
1种选法，
根据分步计数原理有 Cnk 1 Cnk 种选法．
所以，项 ankbk 的同类项有 Cnk ，故 ankbk 的 系数为 Cnk （ k {0,1,, n} ）． 所以， (a b)n 展开式每一项满足 Cnk ankbk （ k {0,1,, n} ）．
baa 后合并同类项得到．从三个括号中的一个
括号选择“ b ”剩余两个括号选择“ a ”构成的，
因为从三个括号中的一个括号选择“ b ”，一旦
确定哪个括号选“ b ”，剩余两个括号选择也就 确定了，因为“ b ”有三种选择，所以对应同
个数就为 3 ，即“ a2b ”的系数为 3 ．
师生共同完成。
教师 18：布置课堂练习 1、2．
[课堂练习
学生 15：完成课堂练习。
2]让学生体
会用通项公
式表示展开
式的简洁
性．
[问 题 8] 你 从 二 项 式定理的发现、证明与 应用的过程中体会到 一些什么？
教师 18：提出问题 6． 学生 16：本节课获取二项式定理的过程：先由 特殊察 (a b)3 、 (a b)4 、 (a b)5 的展开式
明晰概念． 教师 13：上述公式叫二项式定理，展开式共有
n 1 项，其中各项的系数 Cnk （ k {0,1, , n} ）
[问题 6] 从数列的角 叫做二项式系数．
度看二项式展开式，你 能获得什么认识？
教师 14：提出问题 4． 学生 14： 二项展开式可以看成是一个数列的 和，数列的通项公式是 Cnk ankbk ，表示数列第 k 1 项．
[问 题 2]若 今 天 是 星 学生 3：利用多项式乘法得出 (a b)3 的展开
期 五 ,再 过 8100 天 后 式．
提出问题．
的那一天是星期几? 教师 4：引导学生分析 (a b)1 、 (a b)2 、
(a b)3 的展开式特点
回 顾
[问 题 3]为 了 解 决 问 学生 4：探究 (a b)4 的展开式。
寻 规
中的 k ？
律
获 得 结 论
在 (a b)3 0a3 1a2b 2ab2 3b3 中 ， 为 什 么 “ 0 1， 1 3 ， 2 3 ，
一般问题回 到特殊情形 进行研究．
3 1 ”？
学生 7：学生根据所得的计算结果，观察得到 展开式的项的特点：展开式中的每一项是由每 把问题回到 个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的． 已知的结构 (a b)3 展开式中的项 3a2b 是由 aab ， aba ， 进行处理．
得到展开式 系数的猜 想． 由归纳猜想
证 [问题 5] 你能证明
明 (a b)n
定 理
Cn0an Cn1an1b
Cnk ankbk Cnnbn
明 (n N ) 吗？ 晰 概 念
学生 10：提出想法． 教师 11：你认为证明问题 3，关键是几步？
到理论证 明． 引导提炼学
学生 11：（1）项的结构；（2）项的系数． 生提炼证明 要点．
七、教学过程与设计
教 问题或任务
学
师生活动
设计意图
环
节
[问题 1] 今天是星期 教师 1： 提出问题 1．
学生 1：学生思考．
五,
教师 2：提出问题 2．
7 天后的这一天是星期 学生 2：学生思考．
问题引入．
几呢？
教师 3：写出并观察 (a b)1 、 (a b)2 、
15 天后的这一天呢？ 的展开式，你能得到哪些规律？
（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机 会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开 式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利 用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．
x 展开式． [课堂练习 2] 求 (x 1)9 展开式中 x3
x 的系数．
∴ 81 00被7除的余数是1，因此8100 天后的这 [课 堂 练 习
一天是星期六.
1]
教师 17：例 1:求 (1+2x) 5 的展开式.
熟悉二项式
求(1-2x) 5 展开式第三项以及其二项式系 定理模型．
数，求 x3 项的系数
二项式定理（第 1 课时）
一、内容和内容解析
内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教 A 版选修 2－3 第一章第 3 节的内容．二项式定理是多 项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合数模型之后，随机变量 及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．另外，由于二 项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式，这对深化组合 数的认识有好处。 由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可 以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽 略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、学情分析 这一堂课是面对高二学生。学生已经初步具备了多项式乘法，同类项合并，排列计数原 理，组合数计数原理以及归纳推理等知识储备。能够在教师的引导下理解并掌握本节课中的 推理演绎过程。但是，学生的自我探究，归纳，分析的能力还有待提高。
[课后思考] 1． (a b c)3 的 展 开
式为
．
课后练习是 对定理巩 固，思考练 习是对本节 知识的一个 深化认识， 同时也为下 节内容做好 铺垫．
2．请同学们观察下表
（我国宋朝时期数学
家杨辉所做的一个
表），你有什么发现？
让学生体会 利用二项式 定理模型进
行计算，
[课堂练习 1]
8100
（7 1）100
C0 100
7100
C1 100
799
Cr 100
7100
r
+…+c
99 100
7+c
100 100
7
0
感受数学模 型的在数学 应用中的价 值．
(1)求 (1 x)n 的 展 开
式； (2)求 (2 x 1 )6 的
猜想一般 (a b)n 的展开式项的结构，再通过对
特殊形式 (a b)3 展开式项的研究得到 (a b)n
师生共同回 顾总结．引 领学生感悟 数学认知的 过程，体会 数学核心素 养．
课
的展开式项的规律，最后进行理论证明；课堂
堂
展示了获取一个一般性结论的过程：首先要通
小
过特殊到一般进行猜想结论，体现了数学抽象
四、设计思想： 本课采用合作探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理 的形成、证明的探究及定理基本应用上，在知识的形成、发展过程中展开思维， 逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二 项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基
结
过程；其次，得到猜想后，要进行理论论证，
体现了数学逻辑推理；最后，得到结论后，要
以此为模型进行应用，体现了数学模型的应
升 [课后练习]
用．
华 1．写出 (x 1)6 的展开
认 式．
知
学生 17：学生课后进行思考，并完成课后练
2．写出 ( 3 x 1 )n 的 习．
23 x
展开式的第 r 1 项．
本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证 明二项式定理提供方法．
（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列 的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立 二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．
的值？ 学生 9： (a b)n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn
通过特殊与 一般的项的 关系对比， 得到对系数 意义的理 解．
根据展开式 系数即同类 项的个数这 一结论，引 导同学们通 过一般到特 殊，用组合 计数模型对 各项系数进 行研究．
教师 10：提出问题 3．
三、课程学习目标
（1）知识目标：使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式展开式、通项公式的特点， 并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。
（2）能力目标：在学生对二项式定理形成的参与讨论过程中，培养学生观察、猜想、 归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁移能力。
（3）情感目标：通过二项式定理的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学 生感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美。
学生从数列 的角度获得 对二项式展 开式的再认 识．
教师 15：二项式展开式的通项是展开式中第
[问题 7]你能根据
k 1 项： Tk1 Cnk ankbk ．
(a b)n 的展开式得出 教师 16：引例：今天是星期五，若 8 100