一元二次函数教案
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式.基本不等式1教案第一册
2.2基本不等式教材分析:“基本不等式" 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。
利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标 【知识与技能】1。
学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2。
掌握基本不等式2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣。
教学重难点 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b+≤的证明过程; 【教学难点】 12a b+≤等号成立条件； 22a b+≤求最大值、最小值。
教学过程 1。
课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地,∀a ,a ∈a ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a 〉0，b 〉0,我们用√a ，√a 分别代替上式中的a ，b ，可得√aa ≤a +a 2①当且仅当a =b 时，等号成立。
通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality ）。
其中，a +a 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√aa 叫做正数a ，b 的几何平均数。
基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考： 上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥,(a>0,b>0)2a bab +≤2)2a bab +≤用分析法证明:要证 2a bab +≥（1） 只要证 a +b ≥（2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0(3） 要证(3）,只要证 ( — ）2≥0 （4）显然，（4）是成立的。
用函数观点看一元二次方程 教案
教学过程一、复习预习上节课我们学习了二次函数一般式中a，b，c和图像之间的关系、二次函数解析式的确定、二次函数求最值的方法，有细心的同学发现了一个问题：抛物线b2-4ac的符号与x轴交点的个数有某种联系？他说：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0。
这就是我们这节课要讲的内容：用函数的观点看一元二次方程。
二、知识讲解1. 二次函数与x轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数。
由于二次函数与x 的交点纵坐标为0，因此02=++c bx ax 的次方程有几个解就意味着二次函数与x 轴有几个交点。
一元二次方程的解的情况是由ac b 42-来决定的，因此二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数也由ac b 42-来决定。
2.二次函数图象与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的关系： （1）如果二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根； （2）如果二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有且只有一个公共点，那么一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根；（3）如果二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有公共点，那么一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 没有实数根； ① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2AB x =.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．3.抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 4.当二次函数c bx ax y ++=2中的y 取一个具体值时（y=m ），就变成了一个一元二次方程m c bx ax =++2。
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计2.1《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。
教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、 两个实数比较大小的方法 作差法 {a −b >0⟺a >ba −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >b ab =1⟺a =b ab <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）×解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。
《一元二次函数》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《一元二次函数》教学设计1. 熟悉配方法,理解a,b,c (或a,h,k )对二次函数图象的作用.2．理解由y =ax 2到y =a(x −ℎ)2+k 的图象变换方法.3. 掌握二次函数的性质.4. 体会抽象概括的过程，加强直观想象素养的培养.重点：掌握一元二次函数的图象和性质．难点：体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中． 一、新课导入 回顾旧知：初中阶段，我们学习了一元二次函数y =ax²+bx +c （a ≠0），请回顾认识这个函数的过程.答案：认识这个函数的过程是从y =x²开始的，是由简到繁的过程.如图所示：思考：对于二次函数y =a(x −ℎ)2+k (a ≠0)的图象，可以由函数y =ax²的图象，经过怎样的变换得到？师揭示本节课题：《一元二次函数》．设计意图：通过对旧知识的回顾，激发学生对一元二次函数的探究，从而引出今天的课题，激发学生的学习兴趣，让学生在对新问题的挑战中，进一步深化数形结合思想．二、新知探究探究一：一元二次函数．分析：一元二次函数的三种形式：（1）一般式：y =ax²+bx +c （a ≠0）（2）顶点式：y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程◆（3）两根式：y =a(x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)思考：如何把一元二次函数的一般式化为顶点式？答案：配方法.一元二次函数y =ax²+bx +c （a ≠0）都可以通过配方化为y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a ，若设 ℎ=−b 2a ，k =4ac−b 24a ，则有y =a(x 一ℎ)2+k （顶点式）通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.例如：一元二次函数y =2x 2+3x +5，通过配方可化为y =2(x +34)2+318，其图象为开口向上，以x =−34为对称轴，（−34，318）为顶点的抛物线.探究二：一元二次函数的图象变换规律．分析：如图所示，一元二次函数y =2(x −2)2的图象可以由y =2x 2的图象右移2个单位长度得到；y =2(x −2)2−1的图象可以由由y =2x 2的图象右移2个单位长度，下移1个单位长度得到．知识点：一元二次函数y =a(x −ℎ)2+k 的图象可以由y =ax 2的图象经过向左（或向右）平移|ℎ|个单位长度，再向上（或向下）平移|k|个单位长度而得到．探究三：一元二次函数y =a(x 一ℎ)2+k(a ≠0)的性质．知识点：（1） 函数y =a(x −ℎ)2+k 的图象是一条抛物线，顶点坐标是（ℎ，k ），对称轴是直线x =ℎ．（2）当a >0时，抛物线开口向上；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；函数在x =ℎ处有最小值，记作y min =k ．（3）当a <0时，抛物线开口向下；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；函数在x =ℎ处有最大值，记作y max =k ．小结：二次函数y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向（a >0，图象开口向上，a 值越大，开口越小；a <0，图象开口向下，a 值越大，开口越大）﹔h 决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h 正左移，h 负右移”﹔k 决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．图象变换口诀：“上加下减，左加右减”.设计意图：从一元二次函数的三种形式进行探究，从简到繁，唤醒旧知，联系新知，从形式到图象变换，再到性质分析，循序渐进对一元二次函数的变换以及性质进行理解．三、应用举例例1： 已知一元二次函数y =12x ²+2x +5.（1）指出它的图象可以由y =12x ²的图象经过怎样的变换才能得到；（2）指出它的对称轴，试述函数的变化趋势及函数的最大值或最小值．分析：因为题中给出了一元二次函数的一般形式y =12x ²+2x +5，所以我们直接利用配方，将它变成y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a的形式，然后通过结合图形，即可得出答案. 解：（1）配方,可得，y =12x 2+2x +5y =12(x 2+4x)+5y =12(x 2+4x +4−4)+5 y =12(x +2)²+3.所以，y =12x 2+2x +5的图象可以由y =12x ²的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到.（2） 由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线x =-2；在区间(−∞,−2]上，函数值y 随自变量x 的增大而减小，在区间[−2,+∞)上,函数值y 随自变量x 的增大而增大；函数在x =−2处取得最小值3，y min =3.例2：若函数y =(a −1)x 2+2x +5的图象恒在x 轴的上方,求实数a 的取值范围. 解：当a −1=0时，函数解析式为y =2x +5，此时函数图象为一条直线，不是恒在x 轴的上方，故a ≠1；当a −1≠0时，若函数图象恒在x 轴上方，则有{a -1>0,Δ=4-20(a -1)<0,解得a >65. 综上所述，实数a 的取值范围为a >65. 四、课堂练习1. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.（1）二次函数y =3x 2的开口比y =x 2的开口要大.（2）要得到y =—(x—2)2的图象，需要将y =—x 2向左平移2个单位长度．（3）二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)一定有最小值.（4）二次函数y =x 2−2x +1的对称轴为x =—1.2.若抛物线y=x2−(m−2)x+m+3的顶点在y轴上,求m的值.3. 若函数y=x2+2(2a−1)x＋2在区间(−∞，7]上y随x的增大而减小，求实数a的取值范围.4. 求函数y=3+2x−x2（0≤x≤3）的最小值.参考答案：1. （1）×（2）×（3）×（4）×解析：由一元二次函数的图象和性质得知.2. m的值为2.解析：因为抛物线y=x2−(m−2)x+m+3的顶点在y轴上，所以顶点的横坐标为−−(m−2)2×1=m−22=0，故m=2.3. (−∞，−3]解析：由一元二次函数的性质知，抛物线y在区间(−∞，7]上y随x的增大而减小,可得−（2a−1）≥7，所以a的取值范围为(−∞，−3].4. 0解析：将一元二次函数y=3+2x−x2配方得y=−(x−1)2+4，因为（0≤x≤3），所以当x=3时，y min=3+6−9=0.故y的最小值为0.五、课堂小结1.一元二次函数的图象变换规律：h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”﹔k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．图象变换口诀：“上加下减，左加右减”.2. 一元二次函数图象的性质：（1）函数y=a(x−ℎ)2+k的图象是一条抛物线，顶点坐标是（ℎ，k），对称轴是直线x=ℎ．a决定了二次函数图象的开口大小及方向（a>0，图象开口向上，a值越大，开口越小；a<0，图象开口向下，a值越大，开口越大）﹔（2）当a>0，抛物线开口向上；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y随自变量的增大而减小；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y随自变量的增大而增大；函数在x=ℎ处有最小值，记作y min=k．（3）当a<0，抛物线开口向下；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y随自变量的增大而增大；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y随自变量的增大而减小；函数在x=ℎ处有最大值，记作y max=k．六、布置作业教材第33页练习第1、2题．。
初中数学教案模板一元二次方程(优秀7篇)
初中数学教案模板一元二次方程（优秀7篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习教学案第一册数学教学案
第2章一元二次函数、方程和不等式知识系统整合规律方法收藏1．比较数(式)的大小依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．2．利用基本不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．4．解一元二次不等式的步骤当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；(3)由图象写出不等式的解集．特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a 转变为－a 再进行求解．5．一元二次不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．学科思想培优一、常数代换法[典例1] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为( )A ．5 B.143 C.92D ．2解析 因为x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝[x ＋(1＋y )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝4x 1＋y ＋1＋yx＋5≥24x 1＋y ·1＋y x ＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋y ＝1＋y x ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝13时，等号成立，因此1x ＋41＋y 的最小值为92.故选C.答案 C 二、消元法[典例2] 设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．解析 解法一：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，故y 2xz ＝(x ＋3z )24xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋x z ＋9z x ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2x z ·9z x ＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y 2xz 的最小值为3.解法二：由x －2y ＋3z ＝0，得x ＝2y －3z ，x y＝2－3zy＞0.y 2xz ＝y 2(2y －3z )z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3z y ·3z y ≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫2－3z y ＋3z y 2＝3.当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y2xz 的最小值为3.答案 3 三、配凑法1．从和或积为定值的角度入手配凑某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．[典例3] 设x >0，y >0，x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解 ∵x >0，y >0，x 2与y 22的和为定值，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时取等号，即x 1＋y 2的最大值为324.[典例4] 已知x ，y ，z 为正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，求(x ＋y )(y ＋z )的最小值． 解 由条件得x ＋y ＋z ＝1xyz，则(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝y (x ＋y ＋z )＋xz ＝y ·1xyz ＋xz ＝1xz ＋xz ≥2，当且仅当1xz＝xz ，即xz ＝1时取等号，故(x ＋y )(y ＋z )的最小值为2.[典例5] 设a 1，a 2，a 3，…，a n 均为正实数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .证明 为了约去a 2k a k ＋1中的分母，可考虑配上一项a k ＋1，于是有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1，a 2na 1＋a 1≥2a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取等号．以上不等式相加，化简，可得原不等式成立．2．从取等号的条件入手配凑在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑． [典例6] 设a ，b ，c ＞0，a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解2·3a ＋1≤2＋3a ＋12＝3a ＋32，2·3b ＋1≤3b ＋32，2·3c ＋1≤3c ＋32.以上三式相加，并利用a ＋b ＋c ＝1，得2(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)≤6，故3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.四、判别式法在“三个二次”问题中的应用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．1．求变量的取值范围[典例7] 不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． ①若m 2－2m －3＝0，则m ＝－1或m ＝3.当m ＝－1时，不符合题意；当m ＝3时，符合题意．②若m 2－2m －3≠0，设y ＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． 则m 2－2m －3<0，Δ＝b 2－4ac ＝5m 2－14m －3<0， 解得－15<m <3.故实数m 的取值范围是－15<m <3.2．求最值[典例8] 已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＋ab ＝30，试求实数a ，b 为何值时，ab 取得最大值．解 构造关于a 的二次方程，应用“判别式法”．设ab ＝y ， ①由已知得a ＋2b ＋y ＝30. ②由①②消去b ，整理得a 2＋(y －30)a ＋2y ＝0， ③对于③，由Δ＝(y －30)2－4×2y ≥0，即y 2－68y ＋900≥0，解得y ≤18或y ≥50，又y ＝ab ＜30，故舍去y ≥50，得y ≤18.把y ＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a 2－12a ＋36＝0，即a ＝6，从而b ＝3.故当a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值18.3．证明不等式[典例9] 已知x ，y ∈R ，证明：2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．证明 不等式可变形为y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5>0，将不等式左边看作关于y 的二次函数，令z ＝y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5，则关于y 的一元二次方程y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5＝0的根的判别式Δ＝4x 2－4(2x 2－4x ＋5)＝－4(x －2)2－4<0，即Δ<0.则对于二次函数z ＝y 2＋2xy ＋2x2－4x ＋5，其图象开口向上，且在x 轴上方，所以z >0恒成立，即2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．五、含变量的不等式恒成立问题[典例10] 对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3恒成立，试求x 的取值范围．解 原不等式可化为x 2＋px －4x －p ＋3＞0， 令y ＝x 2＋px －4x －p ＋3 ＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0(p ＝0)，4(x －1)＋x 2－4x ＋3＞0(p ＝4)，解得x ＞3或x ＜－1.故x 的取值范围是x <－1或x >3.。
高中数学教案《二次函数与一元二次方程、不等式》
教学计划：《二次函数与一元二次方程、不等式》一、教学目标1、知识与技能：学生能够理解并掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的概念、性质及其相互关系;能够熟练求解一元二次方程和一元二次不等式，并能根据二次函数的图像判断不等式的解集。
2、过程与方法：通过案例分析、图形辅助、探究学习等方法，培养学生的观察、分析和解决问题的能力;通过小组合作、讨论交流，提升学生的协作学习能力和语言表达能力。
3、情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养探索数学规律的精神和严谨的科学态度;通过解决实际问题，让学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点和难点重点：一元二次方程的求解方法(公式法、因式分解法、配方法);一元二次不等式的解法及与二次函数图像的关系;二次函数的性质(开口方向、顶点、对称轴)。
难点：一元二次不等式解法中根据判别式判断解的存在性;将一元二次不等式转化为二次函数图像下的区域问题;灵活运用二次函数的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）生活实例引入：以医院中病人的病情随时间变化的例子(如体温变化、药物浓度变化)，引导学生思考这些变化可能呈现出的二次函数形态，从而引出二次函数的概念。
提出问题：当病情达到某个临界点时(如体温过高或过低)，医生需要采取相应措施。
这实际上涉及到一元二次方程和不等式的求解问题。
明确目标：介绍本节课将要学习的内容，即二次函数与一元二次方程、不等式的相互关系及其求解方法。
2. 讲解新知（20分钟）二次函数概念：回顾一次函数的概念，通过类比引出二次函数的一般形式及其图像特征(开口方向、顶点、对称轴)。
一元二次方程求解：详细介绍一元二次方程的三种求解方法(公式法、因式分解法、配方法)，并通过实例演示每种方法的应用。
一元二次不等式：结合二次函数图像，讲解一元二次不等式的解法及其与函数图像的关系。
强调根据判别式判断不等式的解集情况，并引导学生掌握将不等式转化为图像下区域问题的方法。
名师教学设计《一元二次方程》完整教学教案
（一）温故知新
什么是一元一次方程
它的一般形式是：
（二）探索新知
问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形分析：
设切去的正方形的边长为x cm，则盒
底的长为__________，
宽为__________.
得方程________________________
整理得____________________ ①
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛
分析：全部比赛的场数为___________.
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_____________场.
列方程______________________
化简整理得_______________ ②
【归纳】1.一元二次方程:______________.
2.一元二次方程的一般形式：__________________ .
其中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________，_____是一次项系数；_____是常数项.（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数是一个重要条件，不能漏掉.）
3.一元二次方程的解（根）：_____________________________.。
2023最新-一元二次方程教案(优秀7篇)
一元二次方程教案（优秀7篇）作为一名默默奉献的教育工作者，时常会需要准备好教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
优秀的教案都具备一些什么特点呢？牛牛范文为您带来了7篇一元二次方程教案，如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。
九年级数学《一元二次方程》教案篇一一、教材分析：1、本章的主要内容：（1）一元二次方程的有关概念；（2）一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系；（3）实际问题与一元二次方程。
2、本章知识结构图：3、教学目标：（1）以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念；（2）根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、直接开平法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；（3）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
4、本章的重点与难点本章学习的重点：一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。
难点：（1）分析方程的特点并根据方程的特点选择合适的解法；（2）实际背景问题的等量分析，设元列一元二次方程解应用题。
即建立一元二次方程模型解决实际问题，尽管已经有了运用一次方程（组）解应用问题的经验，但由于实际问题涉及的内容广泛，有的背景学生不熟悉，有的问题数量关系复杂，不易找出等量关系。
同时，还要根据实际问题的意义检验求得的结果是否合理。
二、教学中应注意的问题：1、重视一元二次方程与实际的联系，再次体现数学建模思想。
方程是刻画现实世界的有效数学模型，因而方程教学关注方程的建模过程。
教科书的第1节就是想通过多种实际问题的分析，经历模型化的过程，并在此基础上抽象出数学概念。
当然，在教学中除教科书第1节、第5节提供了大量的实际问题外，教师还应根据学生生活实际和认知水平，创设更为丰富、贴近学生的现实情景，并引导学生分析其中的数量关系，建立方程模型。
在经历多次这样的数学活动，使学生感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模思想，增强学生学习数学的兴趣和应用意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。
一元二次方程的相关教案【优秀3篇】
一元二次方程的相关教案【优秀3篇】元二次方程篇一[教材分析]中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。
因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。
一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。
[学生分析]进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。
再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲，基于以上思考，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。
[教学目标]在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。
能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；已知一根求另一根及系数。
理解数学思想，体会代数论证的方法，感受辩证唯物主义认识论的基本观点。
[教学重难点]发现并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程[教学过程](一)复习导入请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？由此疑问，导入新课。
(二)探求新知数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。
初探新知中，我将学生们分成两组，分别对二次项系数为1 的一元二次方程两根进行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观察与系数的联系。
我在这些方程中安排了两个无理根方程。
一元二次方程的教案(必备3篇)
一元二次方程的教案（必备3篇）1.一元二次方程的教案第1篇一、教学目标知识与技能（1）理解一元二次方程的意义。
（2）能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。
过程与方法在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
情感、态度与价值观通过探索建立一元二次方程模型的过程，使学生积极参与数学学习活动，增进对方程的认识，发展分析问题、解决问题的能力。
二、教材分析：教学重点难点重点：经历建立一元二次方程模型的过程，掌握一元二次方程的一般形式。
难点：准确理解一元二次方程的意义。
三、教学方法创设情境——主体探究——合作交流——应用提高四、学案（1）预学检测3x-5=0是什么方程？一元一次方程的定义是怎样的？其一般形式是怎样的？五、教学过程（一）创设情境、导入新（1）自学本P2—P3并完成书本（2）请学生分别回答书本内容再（二）主体探究、合作交流（1）观察下列方程：（35-2x）2=9004x2-9=03y2-5y=7它们有什么共同点？它们分别含有几个未知数？它们的左边分别是未知数的几次几项式？（2）一元二次方程的概念与一般形式？如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数a≠0），其中，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，如x2-x=56(三)应用迁移、巩固提高例1：根据一元二次方程定义，判断下列方程是否为一元二次方程？为什么？x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2例2：将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：去括号得3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.学生练习：书本P4练习（四）总结反思拓展升华总结1.一元二次方程的定义是怎样的？2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
数学教案一元二次方程的应用(6篇)
数学教案一元二次方程的应用（6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一元二次函数的教案
一元二次函数的教案【篇一：高一数学二次函数与一元二次方程教案】高一数学二次函数与一元二次方程教案知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x轴交点及一元二次方程的根。
（2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。
能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。
情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神教学过程: 一、引入等式ax2+bx+c=0(a≠0)是关于x的一元二次方程，关系式y=ax2+bx+c(a≠0)则是关于自变量x的二次函数。
今天我们将进一步研究它们之间的关系。
二、新授观察思考：1、几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如①方程x-2x-3=0与函数y=x2-2x-3；2②方程x-2x+1=0与函数y=x2-2x+1；2③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3。
研讨探究问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x轴交点坐标有什么关系？探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。
⑴以①为例（幻灯片）结论：一元二次方程x-2x-3=0的判别式?＞0 ?一元二次方程x-2x-3=0有两个不相等的实数根?对应的二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。
（2）再研究②③，能得类似的结论吗？22结论：一元二次方程x-2x+1=0判别式?=0一元二次方程x-2x+1=0?有两22等根?对应的二次函数y=x-2x+1的图象与x轴有唯一的交点为（1，0）。
22一元二次方程判别式x-2x+3=0?﹤0 ?一元二次方程x-2x+3=02方程无实数根?对应的二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点。
联想发散22、一元二次方程ax+bx+c=0（a＞0）根的个数及其判别式与二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象与x轴的位置之间有什么联系？）思考：当二次函数y=ax2+bx+c（a﹤0）时，是否也有类似的结论呢？探究点二：函数的零点一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的值为零时自变量的x的值，也就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标，因2此一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的的实数根也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点。
一元二次函数讲解教案2篇
一元二次函数讲解教案一元二次函数讲解教案精选2篇（一）教案：一元二次函数的讲解目标：1. 学生能够理解一元二次函数的基本概念。
2. 学生能够识别一元二次函数的标准形式和一般形式，并进行相互转化。
3. 学生能够画出一元二次函数的图像，并能够提取关键信息。
4. 学生能够解一元二次方程，并能够应用一元二次函数解决实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）通过简单的问题引入一元二次函数的概念：- 请举一个实际生活中的例子，可以用一元二次函数来描述的。
- 你知道一元二次函数和一次函数的区别吗？二、概念讲解（10分钟）1. 定义一元二次函数：y = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c为常数，并且a ≠ 0。
2. 一元二次函数的图像呈现抛物线的形状。
3. 标准形式和一般形式的区别：- 标准形式：y = a(x - h)^2 + k。
其中(h, k)为顶点坐标。
- 一般形式：y = ax^2 + bx + c。
4. 标准形式和一般形式的转化方法。
三、画图和提取信息（15分钟）1. 根据给定的一元二次函数，画出抛物线的图像。
2. 从图像中提取关键信息：开口方向、顶点坐标、对称轴、x轴与y轴的交点等。
四、方程求解（15分钟）1. 什么是一元二次方程？如何解一元二次方程？2. 通过图像求解一元二次方程的根。
3. 通过公式求解一元二次方程的根。
4. 实际问题的应用案例。
五、练习与巩固（15分钟）1. 练习解一元二次方程：给定一元二次函数的图像，求解相应的方程。
2. 练习画图和提取信息：给定一元二次函数的一般形式，画出抛物线的图像，并提取关键信息。
3. 练习应用问题：通过一元二次函数解决实际问题。
六、总结与反思（5分钟）请学生总结今天学习的重点内容，并提出自己的疑问或观点。
七、课堂延伸可以引导学生进一步探究一元二次函数的性质，如开口方向、对称性等。
可以让学生自主寻找相关的性质与规律，并进行讨论和总结。
也可以通过拓展问题拓宽学生的思维，如给定一元二次函数的一般形式，求解其与坐标轴的交点等。
一元二次函数讲解教案
一元二次函数讲解教案一、教学目标1.理解一元二次函数的定义、图像和性质。
2.掌握一元二次方程的求解方法。
3.能够运用一元二次函数解决实际问题。
二、教学重点与难点1.教学重点：一元二次函数的定义、图像和性质，一元二次方程的求解方法。
2.教学难点：一元二次函数图像的变换，一元二次方程的求解技巧。
三、教学过程一、导入1.回顾一元一次函数的定义、图像和性质。
2.提问：一元二次函数与一元一次函数有什么区别？二、新课讲解1.定义介绍一元二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数称为一元二次函数。
2.图像开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
对称性：一元二次函数的图像关于其对称轴对称。
顶点：一元二次函数的图像有唯一的顶点，顶点坐标为（-b/2a，4ac-b²/4a）。
3.性质介绍一元二次函数的性质：当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增。
当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
函数的最大值或最小值出现在顶点处。
4.一元二次方程介绍一元二次方程的求解方法：公式法：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a因式分解法：将一元二次方程分解为两个一次因式的乘积，然后求解。
配方法：将一元二次方程转化为完全平方形式，然后求解。
三、案例分析1.分析几个典型的一元二次函数图像，让学生找出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标等。
2.分析几个一元二次方程，让学生运用所学方法求解。
四、巩固练习1.让学生独立完成几个一元二次函数的图像绘制和性质分析。
2.让学生独立求解几个一元二次方程。
五、课堂小结3.强调一元二次函数在实际问题中的应用。
六、课后作业1.绘制几个一元二次函数的图像，并分析它们的性质。
2.求解几个一元二次方程。
3.选取一个实际问题，运用一元二次函数解决。
通过本节课的学习，希望同学们能够掌握一元二次函数的基本知识，为后续学习打下坚实基础。
高中数学必修一第2章-一元二次函数、方程和不等式-教案
重要结论关系式
a+b 2 ba a+1 2
a a + 1 −2
a
ab
a
+ 2
b
2
2 ab a + b a2 + b2
1+1
2
2
ab
等号成立的条件
a, b 同号，当且仅当 a = b 时等号成立 a 0 ，当且仅当 a = 1 时等号成立 a 0 ，当且仅当 a = −1 时等号成立
a,b R ，当且仅当 a = b 时等号成立
a,b 0 ，当且仅当 a = b 时等号成立
例 5 若 a,b R ，且 ab 0 ，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A. a2 + b2 2ab
B. a + b 2 ab C. 1 + 1 2 D. b + a 2 a b ab a b
误；对于 D 选项，因为 ab 0 ，所以 b 0 ， a 0 ，所以有 b + a 2 b a = 2 ，当且
a
b
a b ab
仅当 a = b 时取“ = ”，故 D 项正确.
答案 D
知识 6 基本不等式与最值
1.使用条件
利用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：一正、二定、三相等.
条件
两个代数式的和为 定值时，它们的积 有最大值，相等时 取得
和定积大
例 6 （多选）下列选项中正确的是（ ）
A.不等式 a + b 2 ab 恒成立 B.存在实数 a ，使得不等式 a + 1 2 成立
a
6 / 29
C.若 a ， b 为正实数，则 b + a 2 ab
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二次函数教案，a≠0a），b，c为常数，（教学应从生活中的实例引出二次函数，进而总结出二次函数定义：它是从实践中来，上升为理论的方法，使学生由感性到理性，感的二次函数.那么y叫做x的图象，，y=-x2到真实贴切，易于接受.进而引导学生自己列表，动手画出二次函数y=x2为基础，以具体实例研究，然后由以二次函数y=ax2总结出其性质，图象的形状--抛物线.要始终把由特殊到一般的思维方法孕育在教学中，把.两个特殊型过渡到一般型的二次函数再通过描点画出二次函数配方法交给学生，待定系数法确定二次函数解析式展现给同学们，图象是轴的图象，结合图象确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、图象的平移规律.结合二次方程的有关知对称图形，并由二次函数的一般形式，通过配方写成顶点式的形式；三种形式实质是一致的，各有千秋，要向学生揭示各种识，由一般式可写成截距式的形式.轴有交点时，可选[如知其抛物线过三点时，可选用一般式求解；知其图象与x形式的特点.用截距式求解]，以例在求函数解析式时灵活运用要求动手画图，配方法、待定系数法.在教学中，要始终贯彻数形结合法、归纳法、演绎法、. 动脑思考，精心观察，培养学生的各种思维方法批点迷津如二次函数这一内容，必须牢记数形结合法进行思维，知其三点求二次函数解析式的方法.是求二次函数解析式的关键所几何、锐角三角函数及生活实际等找到这三点，何结合代数、在，要根据其性质、平移规律等进行思维，精心观察，数形结合，才能找到解题的突破口，取值一般地说，二次函数的图象是一条抛物线，那么x并根据自变量的取值范围画出图象.根据实际问.x范围必须是实数的取值范围在某一区间，则所画图象只是抛物线的一部分.若.总之，要根据自变量的取值范围具体画出图象题，有时是整数点.. 这根主线，对动静的互相转化的辩证关系也要把握适时在本单元，除抓住数形结合法航海导二、学思维基础。
，顶点从标是，对称轴是（一）1．二次函数的图象的开口方向是向. 的值等于x轴上，则m2．抛物线的顶点在，再向左平移个单位，就得到第二条抛物）3.如果把第一条抛物线向上平移个单位（a?0线，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是.（二）1.如图代13-3-1所示二次函数的图象，则有（）图代13-3-1 图代13-3-2A.a+b+c?0B.a+b+c=0C.a+b+c?0D.a+b+c的符号不定2.如图1-3-2是抛物线的图象，则下列完全符合条件的是（）A.a?0，b?0，c?0，b2?4acB.a?0，b?0，c?0，b2?4acC.a?0，b?0，c?0，b2?4acD.a?0，b?0，c?0，b2?4ac3．已知抛物线的对称轴为x=1，与x轴、y轴的三个交点构成的三角形的面积为6，），则此二次函数的解析式为（3轴的交点到原点的距离为y且与或 A.或 B.或 C.或 D.学法指要例在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若∠ACB=90°，.（1）求点C的坐标及这个二次函数的解析式；（2）试设计两种方案，作一条与y轴不生命，与△ABC的两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一.【思考】（第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y轴的交点坐标？3.如何设出抛物线与x轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？【思路分析】本例必须准确设出A，B两点坐标，再求出C点坐标，并会用它们表示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，相互转化，水到渠成.解：（1）依题意，设A(a,0),B(,0)其中a?0, β?0，则a,β是方程∴AOC∽△COB。
把A（-4，0）代入①，得解这个方程得n=2.∴所求的二次函数的解析式为现在来解答第二问。
【思考】这第二问所要求作的三角形应具备什么条件？什么样的三角形与△ABC相似？在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比？在一个图形上作一和直线，需要确定什么？△ABC是一个什么样的三角形？【思路分析】①所求的三角形与△ABC相似；②所求的三角形面积=所求三角形若与△ABC相似，要具备有两角对应相等，两边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例等判定两三角形相似的条件。
在两三角形相似的条件下，两三角形面积的比等于相似的平方，即找相似比等于1:2.在一个图形上，截得一个三角形，需要作一条直线，作一条直线应在图形上确定两个点，且这条直线不能与y轴重合。
分析至此问题十分明确，即在△ABC的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线。
再来分析△ABC是一个什么样的三角形，猜测它是直角三角形最为理想。
从第一问得知的条件A（-4，0）B（1，0），C（0，-2）可用勾股定理推出，△ABC确是直角三角形。
这样△ABC∽△CAO∽△BCO，且为作符合条件的直线提供了条件。
下边分述作符合条件直线的方案。
方案1:依据三角形两边中点的连线，截得的三角形与原三角形相似，其相似比是1:2，。
1:4面积的比为，∥OC，过D作D D?作法：取AO的中点D 的中点。
是AC∴D? 2，AD：AO=1：∴AD?D=.△即ABC.ACO∽△△AD?D∽△13-3-3图代AD?D是所求作的三角形。
∴DD?是所求作的直线，COB。
△BCF △方案2：利用∠C作一个，连结EF，则△上截取CF，使CF=BO=1BCF上截取作法：在CACE，使CE=CO=2，在CB即为所求，如图代13-3-4所示。
请读者证明。
图代13-3-4 图代13-3-5方案3：在AC上截取AG，使AG=CO=2，在AB上截取AH，使AH=BC=，连结GH，则△AGH 为所求，如图代13-3-5所示，请读者去证明。
方案4：在CA上截取CM，使CM=BO=1，在CB上截取CN，使CN=CO=2，连结MN，则△CMN为所求，如图代13-3-6所示，请读者去证明。
图代13-3-6 图代13-3-7方案5：在BA上截取BP，使BP=BC=，在BC上截取BQ，使BQ=BO=1，连结PQ，则△BPQ 为所示，如图代13-3-7所示。
请读者去证明。
思维体操例一运动员推铅球，铅球刚出手时离地面米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线.求这个抛物线的解析式.图代13-3-8如图，结合题意，知抛物线过，用一般式：解之，于是有解方程组，得；.∴所求抛物线解析式为或.∵，这时，抛物线的最高点（-20，3）不在运动员与铅球落地之间，不合题意，舍去.∴所求抛物线解析式为（0≤x≤10）.【扩散2】仿扩散1知抛物线过.因B为顶点，所以利用顶点式最宜，于是可设抛物线的解析式为.又其图象过A，C两点，则解方程组，得；.∵抛物线最高点（-20，3）不在运动员和铅球之间，不合题意，∴舍去.故所求抛物线的解析式是（0≤x≤10）.【扩散3】抛物线与x轴交于两点，即D（x，0），C（10，0），联想截距式解之.于是设抛物线解析式为，其图象又过A，C两点，则有，∴.又，∴ . ②①②联立解方程组，得；.但不合题意，舍去.故所求二次函数解析式为（0≤x≤10）.【扩散4】由抛物线对称性,设对称点,B(m，3)，又C（10，0），应用一般式可获解.设抛物线，则可得解这个方程组，得.∵（m，3）在第一象限，∴m?0.∴m=-20（舍去），∴m=4.进而求得：故所求抛物线解析式是：（0≤x≤10）.【扩散5】如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α和β，OA=1千米，tgα=,tgβ=,位于O点正上方千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中的E点）.（1）若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由.【思路分析】①本例应用扩散1～4思路均可，尤以扩散2应用顶点式最佳，读者可仿扩散2求得抛物线解析式为：（0≤x≤10）.②过点C作CB⊥Ox，垂足为B，然后解Rt△OBC和Rt△ABC，可求得点在抛物线上，因此可击中目标C（请读者自己写出完整解答过程）.【扩散6】有一抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系里（如图所示），若在离跨度中心M点5m处垂直竖直一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？图代13-3-9【思路分析】本例仿扩散2可设抛物线解析式为（0≤x≤40），又抛物线过原点，进而求得，在距离M点5m处，即它们的横坐标是x1=15或x2=25，分.长15m所以铁柱应取y1=y2=15.别代入抛物线解析式，求得．，抛物线应用从体育方面，扩散到军事，涉及现代科技、导弹、【评析】由扩散1～6进而又扩散到桥梁建筑，涉及到现代化建设的方方面面，告诉同学们，必须学.直升飞机等.好课本知识，才能适应现代化的需要13-3-10图代本例的解题思路扩散，把顶点式、一般式、截距式、抛物线的对称性都进行了展示，. 我们可以根据不同的情况，迅速进行决策，选设不同的解析式，达到求解的目的显示三、智能心中有数在解有关二次函数的问题时，应用待二次函数的知识，是初中三年级数学的重点内容.定系数法和方程、方程组的知识，用到数形结合、观察、想象的思想方法，应当深入理解和. 掌握这部分知识动手动脑件，现在采10元出售时，每天可销售1001. 某商人如果将进货价为8元的商品按每件其销售量就要减用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提高1元，少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润为最大，并求出最大利润？y轴交于C点，若2. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与. 是等腰三角形，求抛物线的解析式△ABC.3. 已知抛物线. 0）（2，1取何值，抛物线与）求证：不论mx轴必有两个交点，并且有一个交点是A（与md之间的函数关系式. ，轴的另一个交点为BAB的长为d，求（2）设抛物线与x （3）当d=10，P（a，b）为抛物线上一点.①当△ABP是直角三角形时，求b的值；②当△APB是锐角三角形、钝角三角形时，分别写出b的范围（不要求写出解答过程）.创新园地例如图，有一模型拱门，其拱门的徒刑为抛物线的一部分（该抛物线为二次函数的图形），拱门宽AB=20cm，拱门高PO为8cm，已知小明的玩具车宽为12cm，车高hcm，就能顺利通过这拱门，那么满足这个条件h的最大整数为 .提示：本例没有告知拱门所在坐标，这就需要我们自己建立直角坐标系后求解.图代13-3-11四、同步题库一、填空题1.把抛物线向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个.单位，得抛物线.，最大值是2.函数图象的对称轴是之间的函数关系y与x，如果边长增加x面积就增加y，那么3.正方形边长为3 .是已知二次函数，通过配方化为的形4..为（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1，x25. 若二次函数（c不为零），当x1与x2的关系是 .6.抛物线当b=0时，对称轴是，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在y轴侧.7.抛物线开口，对称轴是，顶点坐标是 .如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 .8.若a?0，则函数图象的顶点在第象限；当x?时，函数值随x的增大而 .9.二次函数（a≠0）当a?0时，图象的开口a?0时，图象的开口，顶点坐标是 .10.抛物线，开口，顶点坐标是，对称轴是 .11.二次函数的图象的顶点坐标是（1，-2）.12.已知，当x 时，函数值随x的增大而减小.13.已知直线与抛物线交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 .14.用配方法将二次函数化成的形式是 .15.如果二次函数的最小值是1，那么m的值是 .二、填空题16.在抛物线上的点是（）A.（0，-1）B.C.（-1，5）D.（3，4）17.直线与抛物线的交点个数是（）A.0个B.1个C.2个D.互相重合的两个18.关于抛物线（a≠0），下面几点结论中，正确的有（）①当a?0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a?0时，情况相反.②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④一元二次方程（a≠0）的根，就是抛物线与x轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函-3的大致图象是（）图代13-2-1221.若抛物线的对称轴是则（）A.2B.C.4D.22.若函数的图象经过点（1，-2），那么抛物线的性质说得全对的是（）A. 开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交轴相交y轴左侧，图象与正半y开口向下，对称轴在B.y轴相交C. 开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半）23.二次函数中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（）-1) D.（-1，1A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，24.函数与（）a?0）在同一直角坐标系中的大致图象是（13-3-13图代B，A点，与x轴正半轴交于轴交于25.如图代13-3-14，抛物线与y ）ABC=6，则b 的值是（C两点，且BC=3，S△5 D.b=4 A.b=5 B.b=-5 C.b=±13-3-14图代x，若要使函数值永远小于零，则自变量的取值范围是26.二次函数（a?0））（x?0 B.x?0 C.x?0 D.x?0或．X取任何实数A 1个单位，向下平移两个单位后的解析式为27.抛物线向左平移）（A. B.C. D.）28.二次函数（k?0）图象的顶点在（ B.y轴的正半轴上A.y轴的负半轴上D.x轴的正半轴上C.x轴的负半轴上，（x?0），其中图象经过原29.四个函数：（x?0）点的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x为值何，函数（a≠0）的值永远小于0的条件是（）A.a?0，Δ?0B.a?0,Δ?0C．a?0,Δ?0 D.a?0,Δ?0三、解答题31.已知二次函数和的图象都经过x轴上两上不同的点M，N，求a，b的值.32.已知二次函数的图象经过点A（2，4），顶点的横坐标为，它的图象与x轴交于两点B（x1，0），C（x2，0），与y轴交于点D，且，试问：y轴上是否存在点P，使得△POB与△DOC相似（O为坐标原点）？若存在，请求出过P，B两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15 图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线交x轴正方向于A，B两点，交y轴正方向于C点，过A，B，C三点做⊙D，若⊙D与y轴相切.（1）求a，c满足的关系能工巧匠；（2）设∠ACB=α，求tgα；（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙O的位置关系并证明.，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示13-3-17如图代35.部分为一段抛物线，桥拱的DGD＇意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，＇为两个方向的OA和OA和A＇D＇是两侧高为5.5米的支柱，顶点C的高度为8米，AD4. ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶米，线段CD和C＇D汽车通行区，宽都为15 ＇所在抛物线的解析式及CC＇的长；求（1）桥拱DGD B＇为两个方4米，相应的AB和A＇BE（2）和B＇E＇为支撑斜坡的立柱，其高都为B＇的宽；向的行人及非机动车通行区，试求AB和A＇0.4米，车（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于）区域安全通过？请说明OA＇载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA（或.理由13-3-17图代.O轴交于两点（a?b）36.已知：抛物线与x轴的哪一侧？简要说明理由，并O2在y，OB为直径作⊙O1和⊙为坐标原点，分别以OA.指出两圆的位置关系x轴，B两点，且A点在如果抛物线与37.x轴都交于Ab. OB的长是同的负半轴上，OA的长是a，的正半轴上，B点在x m的取值范围；（1）求m的值，并写出此时抛物线的解析式；b=3∶1，求（2）若a∶M，问：抛物线上是否存在y轴交于点C，抛物线的顶点是（3）设（2）中的抛物线与点的坐标；若不存在，请说PBCM面积的8倍？若存在，求出PAB点P，使△的面积等于△. 明理由EP=EB.A 使BE的延长线上取点P，是⊙O的直径，且EB=6，在EB38.已知：如图代13-3-18，的垂线作ADF，过B，过D作DF⊥AB上一点，过是EPA作⊙O于的切线AD，切点为DFH.ED和的延长线于H，连结BH，交AD13-3-18图代.的长AE=2，求AD（1）若重合）时，①是否总有？试证明A不与点E 当点A在EP上移动（点（2）. 的取值范围的函数关系式，并写出自变量x与，BH=y，求yx你的结论；②设ED=x轴的交点为已知二次函数的图象与x39.A，B（点A在点B右边），与y轴的交点为C.（1）若△ABC为Rt△，求m的值；（2）在△ABC中，若AC=BC，求∠ACB的正弦值；（3）设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值.40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB为直径的⊙C交x轴于A，交y轴于B，满足OA∶OB=4∶3，以OC为直径作⊙D，设⊙D的半径为2.图代13-3-19（1）求⊙C的圆心坐标.（2）过C作⊙D的切线EF交x轴于E，交y轴于F，求直线EF的解析式.（3）抛物线（a≠0）的对称轴过C点，顶点在⊙C上，与y轴交点为B，求抛物线的解析式.41.已知直线和，二次函数图象的顶点为M.取何实数值，m恰在直线与的交点处，试证明：无论M若）1（．.二次函数的图象与直线总有两个不同的交点），求二次函数在（1）的条件下，若直线过点D （0，-3（2）.的表达式，并作出其大致图象13-3-20图代，与x）的条件下，若二次函数的图象与在（2y轴交于点同C（3）. △CMA的外接圆上，试在直线上求异于M点P，使P在的左交点为A 两点，A，如图代13-3-20，已知抛物线与x轴从左至右交于B42.ACB=90°. -tgβ=2,∠，且∠BAC=α，∠ABC=β，tgα与y轴交于点C 求点C的坐标；（1））求抛物线的解析式；（2. ABPC的面积）3 若抛物线的顶点为P，求四边形（案参考答动脑动手100-10x）），即每件可获利润（2+x）元，则每天可销售（1. 设每件提高x元（0≤x≤10 元，依题意，得件，设每天所获利润为y元，每天所赚得最大利润14360x=4时（0≤x≤10）所获利润最大，即售出价为∴当元.2.∵，∴当x=0时，y=4.当时.即抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴的交点为A（3，0），.（1）当AC=BC时，.∴（2）当AC=AB时，.∴ .∴ .当时，；当时，.（3）当AB=BC时，，∴ .∴ .可求抛物线解析式为：或.3.（1）∵13-3-21图代∴不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点.令y=0，得，∴ .∴两交点中必有一个交点是A（2，0）.（2）由（1）得另一个交点B的坐标是（m2+3,0）.，∵m2+10?0，∴d=m2+1.（3）①当d=10时，得m2=9.∴A（2，0），B（12，0）..该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB的中点E（7，0）.过点P作PM⊥AB于点M，连结PE，则，∴ . ①∵点PD在抛物线上，∴ . ②解①②联合方程组，得.当b=0时，点P在x轴上，△ABP不存在，b=0，舍去.∴b=-1.注：求b的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.②△ABP为锐角三角形时，则-25≤b?-1；△ABP为钝角三角形时，则b?-1，且b≠0.同步题库一、填空题1.；2.；3.；4.；5.互为相反数；6.y轴，左，右；7.下，x=-1,(-1,-3)，x?-1；8.四，增大；9.向上，向下，；10.向下，（h,0），x=h；11.-1，-2；12.x?-1；13.-17，（2，3）；14.；15.10.二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.C 29.A 30.D三、解答题31.解法一：依题意，设M（x1，0），N（x2，0），且x1≠x2，则x1，x2为方程x2+2ax-2b+1=0 的两个实数根，∴，·.∵x1，x2又是方程的两个实数根，∴x1+x2=a-3，x1·x2=1-b2.∴解得或当a=1,b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数和符合题意.∴a=1，b=2.解法二：∵二次函数的图象对称轴为，二次函数的图象的对称轴为，N，x轴上两个不同的点M，又两个二次函数图象都经过. ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线 . ∴ .解得. ∴两个二次函数分别为和y=0，得依题意，令，.+②得①.解得 .∴或当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为和符合题意.∴a=1，b=2.32.解：∵的图象与x轴交于点B（x1，0），C（x2，0），∴ .又∵即，∴ . ①又由y的图象过点A（2，4），顶点横坐标为，则有4a+2b+c=4，②. ③解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.∴y=-x2+x+6.与x轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与y轴交点D坐标为（0，6）.设y轴上存在点P，使得△POB∽△DOC，则有（1）当B（-2，0），C（3，0），D（0，6）时，有.∴OP=4，即点P坐标为（0，4）或（0，-4）.当P点坐标为（0，4）时，可设过P，B两点直线的解析式为y=kx+4.有0=-2k-4.得k=-2.∴y=-2x-4.或 .∴OP=1，这时P点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P点坐标为（0，1）时，可设过P，B两点直线的解析式为y=kx+1.0=-2k+1.有．. 得 .∴两点直线的解析式为）时，可设过P，B当P点坐标为（0，-1 ，y=kx-1 ，有0=-2k-1 . 得 .∴6）时，同理可得（0-2，，0），D（（2）当B3，0），C（y=-3x+9，y=3x-9，或，或 . 或中，1）在直线y=k(x-4)33.解：（x=4.，得令y=0. ）4，0∴A点坐标为（ABC=90°.∠∴BAO，CBD∽△∵△∴，即OB2=OA·OC.又∵CO=1，OA=4，∴OB2=1×4=4.∴OB=2（OB=-2舍去）∴B点坐标为（0，2）.将点B（0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得.∴直线的解析式为：.（2）解法一：设抛物线的解析式为，函数图象过A（4，0），B（0，2），得解得∴抛物线的解析式为：.解法二：设抛物线的解析式为：，又设点A（4，0）关于x=-1的对称是D.∵CA=1+4=5，∴CD=5.∴OD=6.∴D点坐标为（-6，0）.将点A（4，0），B（0，2），D（-6，0）代入抛物线方程，得解得 .∴抛物线的解析式为：.34.解：（1）A，B的横坐标是方程的两根，设为x1,x2（x2?x1），C的纵坐标是C.又∵y轴与⊙O相切，∴OA·OB=OC2.x2=c2.x1·∴．又由方程知，ac=1.∴，即BD，必为抛物线的对称轴，连结AD、PD，交x轴于E，直线PD（2）连结图代13-3-22∴ ..∵a?0,x2?x1，∴ ..又ED=OC=c，∴ .（3）设∠PAB=β，∵P点的坐标为，又∵a?0，∴在Rt△PAE中，.∴ .∴tgβ=tgα. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵∠ADE+∠DAE=90°∴PA和⊙D相切.35.解：（1）设DGD＇所在的抛物线的解析式为，由题意得G（0，8），D（15，5.5）.∴解得∴DGD＇所在的抛物线的解析式为.∵且AD=5.5,∴AC=5.5×4=22(米).∴）=74（米）.答：cc＇的长为74米.（2）∵，∴BC=16.∴AB=AC-BC=22-16=6（米）.答：AB和A＇B＇的宽都是6米.（3）在中，当x=4时，.∵?0.∴该大型货车可以从OA（OA＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O1与⊙O2外切于原点O，∴A，B两点分别位于原点两旁，即a?0，b?0.∴方程的两个根a，b异号.∴ab=m+2?0，∴m?-2.（2）当m?-2，且m≠-4时，四边形PO1O2Q是直角梯形..）1根据题意，计算得（或或．. PO1O2Q是矩形m=-4时，四边形. 1）根据题意，计算得（或或?0）∵（3. ∴方程有两个不相等的实数根，∵m?-2 ∴b?0.，∴a?0. 轴右侧，并且两圆内切与⊙O2都在y∴⊙O1 ，，0）0两点的坐标分别是（x1，）、（x237.解：（1）设A，B 两点在原点的两侧，A，B∵，m+1）?0∴x1x2?0，即-（m?-1. 解得∵，m?-1时，Δ?0当m?-1.的取值范围是∴m ，（k?0）1，设a=3k，b=k∶（2）∵ab=3∶，x1=3k，x2=-k则∴ . 解得，∵时，（不合题意，舍去）m=2∴.∴抛物线的解析式是0），，B（-1）易求抛物线与x轴的两个交点坐标是A（3，0）（3），顶点坐标是M（1，4轴交点坐标是C（0，3）. 与y设直线BM的解析式为，则解得∴直线BM的解析式是y=2x+2.设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是（0，2），∴设P点坐标是（x,y），∵，∴ .即 .∴ .∴.当y=4时，P点与M点重合，即P（1，4），当y=-4时，-4=-x2+2x+3，解得 .∴满足条件的P点存在.P点坐标是（1，4），.38.（1）解：∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，=16.）2+6（AB=2×AD2=AE·∴．AD=4.∴13-2-23图代. ，总有A不与点E重合）（2）①无论点A在EP上怎么移动（点，，交FH于G证法一：连结DB 的切线，∵AH是⊙ODEB.∠∠HDB=∴为直径，AH，BE又∵BH⊥BDE=90°∠∴DEB DBE=90°-∠有∠HDB =90°-∠DBH.∠= 中，和△DHB在△DFB ，DBE=∠DBH∠DHB=90°，DB=DB，∠，∠DF⊥ABDFB=DHB. ∽△△DFB∴. 是等腰三角形∴△BHF∴BH=BF，FH. ⊥，即BD∴BG⊥FH.，∴∥FH∴ED图代13-3-24证法二：连结DB，∵AH是⊙O的切线，∴∠HDB=∠DEF.又∵DF⊥AB，BH⊥DH，∴∠EDF=∠DBH.以BD为直径作一个圆，则此圆必过F，H两点，∴∠DBH=∠DFH，∴∠EDF=∠DFH.∴ED∥FH.∴ .②∵ED=x，BH=，BH=y，BE=6，BF=BH，∴EF=6y.又∵DF是Rt△BDE斜边上的高，∴△DFE∽△BDE，∴，即.∴，即.∵点A不与点E重合，∴ED=x?0.A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，这时连结OD，则OD⊥PH.∴OD∥BH.又，，∴，由ED2=EF·EB得，. ，∴∵x?0 0?x≤.∴BH=4=y，代入中，得）（或由. 0?x≤）故所求函数关系式为（, 39.解：∵.∴可得为直角三角形，∴，（1）∵△ABC 即，m=2.∴化得.. ，即CO⊥AB，∴AO=BO（2）∵AC=BC，.∴∴. ⊥BC，垂足为D，过A作ADAD. ∴AB·OC=BC· . ∴ . ∴13-3-25 图代（3），∵. ∴当，即时，S有最小值，最小值为2，，⊙D的半径为OB，OA∶OB=4∶3140.解：（）∵OA⊥过原点，OC=4，∴⊙CAB=8.A点坐标为，B点坐标为.∴⊙C的圆心C的坐标为.（2）由EF是⊙D切线，∴OC⊥EF.∵CO=CA=CB，∴∠COA=∠CAO，∠COB=∠CBO.∴Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO.∴ .∴ .E点坐标为（5，0），F点坐标为，∴切线EF解析式为.（3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为，可得∴ .②当抛物线开口向上时,顶点坐标为，得∴ .综合上述，抛物线解析式为或.41.（1）证明：由有，.∴．.∴交点此时二次函数为.由②③联立，消去，有y.为何实数值，二次函数的图象与直线总有两个∴无论m.不同的交点13-3-26图代，，0-3）2）解：∵直线y=-x+m过点D（（，∴-3=0+mm=-3.∴. ）-2，-1∴M（∴二次函数为.13-3-26.图象如图代∠，，且∠CMA=RtRt）解：由勾股定理，可知△CMA为△（3.外接圆直径△CMA∴MC为在这个圆上，外接圆的直径，P在上，可设，由MC为△CMA∵P. ∠∠CPM=Rt∴PR的，MS的延长线与⊥，过M作MSy轴于S⊥分别作过PPN⊥y，轴于N，PQx轴于R延长线交于点Q.由勾股定理，有，即...而，∴，即，∴，.∴ .而n2=-2即是M点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴，此时 .∴P点坐标为.42.解：（1）根据题意，设点A（x1，0）、点（x2，0），且C（0，b），x1?0，x2?0，b?0，∵x1，x2是方程的两根，∴ .在Rt△ABC中，OC⊥AB，∴OC2=OA·OB.∵OA=-x1,OB=x2，x2=b.b2=-x1·∴．.1）（，∴C0，∵b?0,∴b=1 BOC中，的Rt△）在（2Rt△AOC..∴.∴抛物线解析式为图代13-3-27（3）∵，∴顶点P的坐标为（1，2），当时，.∴.延长PC交x轴于点D，过C，P的直线为y=x+1，∴点D坐标为（-1，0）.。