博弈论作业及答案 浙江财经大学 张老师作业答案

第1次作业
1、考虑一个工作申请的博弈。

两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。

工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。

现在假定每家企业的工资满足：W1/2<W2<2W1，则问：
a ．写出以上博弈的战略式描述
b ．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）
2、设古诺模型中有n 家厂商。

i q 为厂商i 的产量，12n Q q q q =+++L 为市场总产量。

P 为市场出清价格，且已知Q a Q P P
-==)(（当a Q <时，
否则0=P ）。

假设厂商i 生产产量i q 的总成本为i i i i cq q C C ==)(，也就是说没有固定成本且各厂的边际成本都相同，为常数)(a c c <。

假设各厂同时
选择产量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？
3、两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为
P Q -=100，设厂商1和厂商2都没有固定成本。

若他们在相互知道对方
边际成本的情况下，同时作出产量决策是分别生产20单位和30单位。

问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？
4、五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。

每只鸭子的收益v 是鸭子总数N 的函数，并取决于N 是否超过某个临界值N ；如果N N
<，收益
N N v v -==50)(；如果N N ≥时，0)(≡N v 。

再假设每只鸭子的成本为2=c 元。

若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什
么？
5、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。

问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？
矩阵1： 妻子
丈夫 活着 死了
活着 1，1 -1，0
死了 0，-1 0，0
矩阵2： 妻子
丈夫 活着 死了
活着 0，0 1，0
死了 0，1 0，0
矩阵3： 妻子
丈夫
活着 死了 活着 -1，-1 1，0 死了
0，1
0，0
6、两个个体一起参加某项工程，每个人的努力程度[0,1](1,2)i e i ∈=，成本为()(1,2)i c e i =，该项目的产出为12(,)f e e 。

个体的努力程度不影响到项目的分配方法，项目的产出在2个体之间均分。

试回答以下问题： 1、如果
1212(,)3f e e e e =，2
()(1,2)i i c e e i ==，试求此博弈的的
Nash
均衡（即两个个体选择的最优努力程度）。

2、如果1212(,)4f e e e e =，()(1,2)i i c e e i ==，试求此博弈的的
Nash
均衡。

第2次作业
1、企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。

如果企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。

（1）用扩展型表示这一博弈。

（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？ 企业乙
企业甲 高档 低档
高档 500，500 1000，700
低档 700，1000 600，600
2、两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是
q c aq p ++--=21)（π，企业2的利润函数是p b q +--=22)（π，其中p 是企业1的价格，q 是企业2的价格。

求：
（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡； （2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡； （3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；
（4）是否存在参数c b a ,,的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？
3、考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2目前情况下的生产成本都是2=c。

企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到1=c ，该项
技术需要投资f 。

在企业1作出是否投资的决策（企业2可以观察到）后，两个企业同时选择产量。

假设市场需求函数为q q p -=14)(，其中p 是市场价格，q 是两个企业的总产量。

问上述投资额f 处于什么水平时，企业1会选
择引进新技术？
4、在市场进入模型中，市场逆需求函数为p ＝13-Q ，进入者和在位者生产的边际成本都为1，固定成本为0，潜在进入者的进入成本为4。

博弈时序为：在位者首先决定产量水平；潜在进入者在观察到在位者的产量水平之后决定是否进入；如果不进入，则博弈结束，如果进入，则进入者选择产量水平。

求解以上博弈精炼纳什均衡。

5、在三寡头的市场中，市场的逆需求函数为三家产量之和Q Q a p ,-=，每家企业的不变边际成本为c ，固定成本为0。

如果企业1首先选择产量，企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量，则均衡时的市场价格。

第3次作业
1、两个人合作开发一项产品，能否成功与两个人的工作态度有关，设成功概率如下：
B
A 努力 偷懒
努力 9/16 3/8
偷懒 3/8 1/4
再假设成功时每人有4单位的利益，失败则双方都没有利益，偷懒本身有1单位的利益。

问该博弈无限次重复博弈的均衡是什么？
2、两寡头古诺产量竞争模型中厂商的利润函数为
()i i i j i q t q q π=--，1,2i =。

若11t =是两个厂商的共同知识，而2t 则
是厂商2的私人信息，厂商1只知道23/4t =或24/5t =，且2t 取这两个值的概率相等。

若两个厂商同时选择产量，请找出该博弈的纯策略贝叶斯均衡。

3、两个厂商生产相同产品在市场上进行竞争性销售。

第1个厂商的成本函数为11q c =，其中1q 为厂商1的产量。

第2个厂商的成本函数为22cq c =，其中2q 为厂商2的产量，c 为其常数边际成本。

两个厂商的固定成本都为零。

厂商2的
边际成本c 是厂商2的“私人信息”，厂商1认为c 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡23,21上呈均匀分布。

设
市场需求函数为214q q P --=，其中P 为价格，两个厂商都以其产量为纯战略，问纯战略贝叶斯均衡为何？。

4、两个企业同时决定是否进入一个市场，企业i 的进入成本),0[∞∈i θ是
私人信息，i θ是服从分布函数)(i F θ的随机变量以及分布密度
)(i f θ严格大于
零，并且1θ和2θ两者独立。

如果只有一个企业进入，进入企业i 的利润函数为
m i πθ-；如果两个企业都进入，则企业i 的利润函数为i d θπ-；如果没有企
业进入，利润为零。

假定m π和d π是共同知识，且m π>d
π>0，试计算此博
弈的贝叶斯均衡。

博弈论第1次作业答案
1、a ．写出以上博弈的战略式描述
b ．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）
①存在两个纯战略纳什均衡：分别为（企业1，企业2），收益为)2,1(W W 。

（企业2，企业1），收益为)1,2(W W 。

②存在一个混合策略均衡：令学生A 选择企业1的概率为p ，选择企业2的概率为p -1;学生B 选择企业1的概率为q ，选择企业2的概率为q -1。

当学生A 以)1,(p p -的概率选择时，学生B 选择企业1的期望收益应该与选择企业2的期望收益相等，即：
22
1
).1(2.1)1(121.W p W p W p W p -+=-+ 解得：
21212W W W W p +-=
,2
11
221W W W W p +-=-
同理求出：
22
1
).1(2.1)1(121.W q W q W q W q -+=-+ 解得：
21212W W W W q +-=,2
11221W W W W q +-=-
所以，混合策略纳什均衡为：学生A 、B 均以)
2
11
22,21212(
W W W W W W W W +-+-
学生B
企业1
企业2
学生A
企业1 )
221,121(W W )2,1(W W 企业2 )1,2(W W )121,221(W W
的概率选择企业1，企业2。

2、该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？
各厂商的利润函数为：
i
n
k k i i i i i i q q c a q c Q a q c q Q a C q P u ).().(.).(.1
∑=--=--=--=-=
求解：
i n
k k q i q q q c a u i
i
).(max max 1
∑=--=
对其求导，令导数为0，解得反应函数为：
()]......[2
1
1121n i i i q q q q q c a q ++++++--=+-
纳什均衡),...,,(*
*
2*
1n q q q ,必是n 条反应函数的交点
)...([21*
*3*2*1
n q q q c a q +++--=
)...([2
1*
*3*1*2n q q q c a q +++--=
.....
)......([2
1*
*1*1*2*1*n i i i
q q q q q c a q ++++++--=+-
......
)...([2
1*
1*2*1*-+++--=n n q q q c a q
得到：
1...**2
*
1
+-====n c
a q q q n
，且为唯一的纳什均衡。

当趋向于无穷大时博弈分析无效。

01
lim lim *
=+-=∞→∞→n c
a q n i
n ，此时为完全竞争市场，此时博弈分析无效。

3、问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？ 设：边际成本不变，为1c ，2c 。

计算得市场出清价格为：
)(100100)(21q q Q Q P P +-=-==
两个厂商的利润函数为：
1211111111)].(100[).(..q q q c q c P q c q P u +--=-=-= 2
212222222)].(100[).(..q q q c q c P q c q P u +--=-=-=
求解：
12111)].(100[max max 1
1
q q q c u q q +--=
22122)].(100[max max 2
2
q q q c u q q +--=
对其求导，令导数为0，解得反应函数为：
)100(21
)(21211q c q R q --==
)100(2
1
)(12122q c q R q --==
纳什均衡),(*
2*
1q q ,即（20,30）为两条反应函数的交点
)30100(21
201--=c
)20100(2
1
302--=c
得到： 301
=c ，202=c 。

此时：
4001=u ，9002=u 。

4、若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？
设居民
i 选择的养鸭数目为i
n )5,4,3,2,1(=i ，则总数为
∑==
5
1
i i
n
N 。

假设：
N N <
居民的得益函数为：
i i i i i i i n n n c V n c n V u ).48().(..5
1
∑=-=-=-=
计算：
i i i u i u n n u i
i
).48(max max 5
1
∑=-=
得到反应函数：
)......(2
1
2451121n n n n n R n i i i i ++++-==+-
5、反应函数的交点),,,,(*5*4*3*2*1n n n n n 是博弈的纳什均衡。

将),,,,(*
5*4*3*2*1n n n n n 带入反应函数，得：
8
*
5
*4*3*2*1=====n n n n n 。

此时：
64=i u 。

此时，40=N 然后讨论下N
若40>N ，则N N <，上述博弈成立。

若40≤N ，则]5
[N
N =
5、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？
矩阵1： 妻子
丈夫 活着 死了
活着 1，1 -1，0
死了 0，-1 0，0
矩阵2： 妻子
丈夫 活着 死了
活着 0，0 1，0
死了 0，1 0，0
矩阵3： 妻子
丈夫 活着 死了
活着 -1，-1 1，0
死了 0，1 0，0
用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为： 矩阵1：
（活着，活着） （死了，死了）
可以看出这对夫妻间感情十分深厚。

这对夫妻同生共死，一个死了，则另一个也选择死去。

如果一个死了，一个活着，那么活着的将生不如死。

矩阵2：
（活着，活着） （活着，死了） （死了，活着）
可以看出这对夫妻间感情一般。

这对夫妻共同活着没有收益，一个死了，对于另一个来说反而更好。

矩阵3：
（活着，死了） （死了，活着） 可以看出这对夫妻间感情很槽糕。

这对夫妻共同活着对双方来说是生不如死。

一个死了，对于另一个来说反而更好。

6、（1）如果1212(,)3f e e e e =，
2
()(1,2)i i c e e i ==，试求此博弈的Nash 均衡（即两个个体选择的最优努力程度）。

（2）如果1212(,)4f e e e e =，()(1,2)i i c e e i
==，试求此博
弈的Nash 均衡。

（1）收益为：
2
1211211
23)(),(21e e e e c e e f u -=-= 2
2212212
2
3)(),(21e e e e c e e f u -=-= 得出反应函数为：
221143)(e e R e == 11224
3)(e e R e == 纳什均衡),(*
2*1e e 为两条反应函数的交点，代入得出：
0,0*2
*
1
==e e
两个人都不会努力的
（2）收益为：
1211211
2)(),(2
1
e e e e c e e
f u -=-=
2212212
2)(),(2
1
e e e e c e e
f u -=-= 分别求偏导：
1
2211
-=∂∂e e u
1
212
2
-=∂∂e e u
此时，两个人的努力程度都与对方的努力程度有关
①)2
1
,0[=i e 时，博弈一方越努力，另一方就选择努力程度为0，
此时纳什均衡为（0,0） ②21=
i e 时，双方收益均达到最大值，此时纳什均衡为)2
1
,21(
③]1,2
1
(=i e 时，博弈一方越努力，另一方选择努力程度为1，
此时纳什均衡为（1,1）
第2次作业答案
1， （1）用扩展型表示这一博弈。

（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？
运用逆向法，由乙先来选择，在两个子博弈中，乙选择红色所示的路径。

再由甲选择，在（高档，低档），（低档，低档）之间选择。

甲选择绿色所示路径。

最终的子博弈完美纳什均衡是（高档，低档），双方的收益为（1000,700）
2、（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡； 同时决策时，两个企业都为了各自利润最大化 分别对各自利润求导，并令导数为0
0)(21
=+--=∂∂c aq p p
π
0)(22
=--=∂∂b q q
π 解得：
b q
c aq p =-= ，
c ab b
-==21ππ
此时，两个企业同时决策的纯策略纳什均衡为企业1,2的价格为),(b c aq -
（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；
企业1先决策，则企业2会在知道企业1的决策后，寻求自身利润最大化 所以：
0)(22
=--=∂∂b q q
π b q
=
将b q
=带入b c ab p q c aq p ++--=++--
=2
21))（（π 0)(21
=+--=∂∂c ab p p
π c ab p -= 此时，
c ab b -==21ππ ，跟同时决策时的纳什均衡相同。

企业1先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为),(b c ab -
（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡； 企业2先决策，则企业1会在知道企业2的决策后，寻求自身利润最大化 所以：
0)(22
=--=∂∂b q q
π c aq p -=
将c aq p -=带入c aq b q p b q -+--=+--=222
))（（π
0)(22
=--=∂∂b q q
π b a
q +=
2
此时，
c ab a p -+=2
2
c ab a b a -+=
+=4
,22
21ππ 企业2先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为)4
,2(2
c ab a b a -++
（4）是否存在参数c b a ,,的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决
策？
企业在先决策时得到的利润大于后决策时的利润时，会希望先决策 企业1希望先决策：
04
2
>->-+c ab c ab a ，ab c a <≠,0
企业2希望先决策：
02
>+>b a
b ，2,0a b a -><
结论：2,0a
b a -
><，ab c <
3、（1）企业1没有引入新技术
12111)12()q q q q c p --=-=（π 22122)12()q q q q c p --=-=（π
求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为0
02122111
=--=∂∂q q q π
0212122
2
=--=∂∂q q q π 得到： 41=q ，42=q 16,1621==ππ
（2）企业1引入新技术
f q q q f q c p ---=-'-=12111)13()（π
22122)12()q q q q c p --=-=（π
求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为0
02132111
=--=∂∂q q q π
0212122
2
=--=∂∂q q q π
得到：3141=
q ，3112=q 此时，3
17=p
引入新技术使得企业1的利润不少于没有引入新技术前的利润，所以 16)(111=≥-'-='ππf q c p
得到
9
52
≤f 时，企业1会选择引进新技术。

4、（1）企业1的产量1q ，企业2以产量2q 进入市场
2113q q p --=
1211)12(q q q --=π
4)12(2212---=q q q π
企业2后进入市场，则企业2会在知道企业1的决产量后，寻求自身利润最大化
所以：
0212212
2
=--=∂∂q q q π 122
1
6q q -=
将12
2
1
6q q -=带入1211)12(q q q --=π，得
0)2
1
612(11111=+--=∂∂q q q q π 此时， 61=q ，32=q 5,1821==ππ
（2）企业1的产量1q ，企业2以产量2q 进入市场时利润为0，觉得不进入市场
2113q q p --=
1211)12(q q q --=π
4)12(2212---=q q q π
企业2后进入市场，则企业2会在知道企业1的决产量后，寻求自身利润
最大化
所以：
0212212
2
=--=∂∂q q q π 12
21
6q q -= 将12
2
1
6q q -=带入04)12(2212=---=q q q π，得 （舍去）或1681=q
321=π ，此时，企业2不进入市场。

5、三个企业的利润函数为：
)3,2,1(,)()(321=----=-=i q c q q q a q c p i i i π
企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量
23212)(q c q q q a ----=π
33213)(q c q q q a ----=π
企业2和3均为了各自利润最大化选择产量，求解出各个的反应函数：
023212
2
=----=∂∂c q q q a q π 023213
3
=----=∂∂c q q q a q π ()()3
11312c
q a q q q q --=
=，将反应函数带入企业1的利润函数，得 1113211)(3
1)(q c q a q c q q q a --=----=π
对其求偏导，求解出企业1利润最大时的产量
0)2(3
1
111=--=∂∂c q a q π 得到:21c a q -=
, 6
32c
a q q -==, 此时：6
5)662(
c
a c a c a c a a p +=-+-+--=
第三次作业答案
1、两个人的得益矩阵如下：
B
A 努力 偷懒
努力
)49,49( )2
5,23(
偷懒
)2
3,25( )2,2( 一次博弈纳什均衡为（偷懒，偷懒），无法实现帕累托最优（努力，努力）。

无限次博弈时，对于A ，第一阶段选择努力，
（1）若前t-1时刻选择均为努力，t 时刻也选择努力
)1(49)...1(49lim 2δδδδπ-=
++++=∞→t
t A
（2）t 时刻选择偷懒，则前面的行为均为偷懒
δ
δδδδπ-+=++++='
∞→425)...(2lim 252t
t A
达到（努力，努力）这个均衡，使'
>A A ππ，即2
1
>
δ，采取触发策略。

、 均衡为（努力，努力），合作产生。

2、假设：厂商2在23/4t =时，产量为'2q ，利润为'
2
π；
厂商2在2
4/5t =
时，产量为"2
q ，利润为"2π 对于厂商2来说，分别具有50%的概率得到以下的利润
)4
3(2122'
--'='q q q π ①
)5
4(2122
"
--"="
q q q π ②
对于厂商1来说，利润为
)1(2
1)1(212112111"
--+'--=q q q q q q E π ③
求解上面三个式子的一阶导数，并令其为零，得到
024
321='
--q q 025
421="
--q q 02
12121221="
-'-
-q q q 得到：240
47
,24041,24098221="='=
q q q 该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1的产量为240
98
1=
q ，厂商2在23/4t =时，
产量为240
412='q ；在2
4/5t =时，产量为240
472=
"q 。

3、考虑到c 在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡23,21上呈均匀分布，1..)()(,1)(23
2
1===⎰dc c c f c E c f
对于厂商1，121111)3(q q q c pq --=-=π
对于厂商2，221222))(4(q c E q q c pq ---=-=π
2212)3(q q q --=π
对于厂商1,2的利润函数求一阶导数，并令其为零 得到121
==q q
该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1,2的产量均为1
4、假设：此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的成本为),(*
2*
1θθ 企业1,2的收益矩阵如下图：
2
1
进入 不进入 进入
),(21θπθπ--d d )0,(1θπ-m
不进入 ),0(2θπ-m
)0,0( 对于企业1来说
当*
11θθ<，企业1选择进入；当*
11θθ>，企业1选择进入
企业1进入的概率为
)()(110
11
θθθθF d f =⎰
不进入的概率为)(11θF - 企业2进入的期望收益为
))).((1()).((21212θπθθπθ--+-=m d F F u
不进入的期望收益为02=u 企业1进入的条件为21u u >
所以m m d F πππθθ
+-=)).((1*
2
因为该博弈是对称的 所以m m d F πππθθ+-=)).((2*
1
此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的以概率))(),((21θθF F 进入
均衡的成本为
m
m d F πππθθ+-=)).((1*2，
m m d F πππθθ
+-=)).((2*1（))(),((21θθF F 中为*2*1,θθ。