2020中考数学压轴专题：图形折叠(含答案)

2020中考数学 压轴专题：图形折叠（含答案）

1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿AD 翻折，点B 恰好与点C 重合，点E 在AC 边上，连接BE .

(1)如图①，若点F 是BE 的中点，连接DF ，且AF ＝5，AE ＝6，求DF 的长； (2)如图②，若AF ⊥BE 于点F ，并延长AF 交BC 于点G ，当点E 是AC 的中点时，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ； (3)在(2)的条件下，连接DF ，请直接．．

写出∠DFG 的度数．

第1题图

解：(1)由折叠的性质得：AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ， 在Rt △ABE 中，∵点F 是BE 的中点， ∴AF 是Rt △ABE 斜边上的中线，∴AF ＝1

2BE ， ∵AF ＝5，∴BE ＝10，

在Rt △ABE 中，AE ＝6，BE ＝10，∴AB ＝8， 又∵AB ＝AC ，∴AC ＝8，

∴CE ＝AC －AE ＝2，∴DF ＝1

2CE ＝1；

(2)证明：如解图①，过点C 作CM ⊥AC ，交AG 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°，

第1题解图①

又∵∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACM ， ∵AF 是△ABE 的高，

∴∠AFB ＝90°，∴∠1＋∠BAF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，

∴∠2＋∠BAF ＝90°，∴∠1＝∠2， 在△ABE 和△CAM 中， ⎩⎪⎨⎪

⎧∠BAE ＝∠ACM AB ＝CA

∠1＝∠2

， ∴△ABE ≌△CAM (ASA)， ∴AE ＝CM ，BE ＝AM ， 又∵点E 是AC 边的中点， ∴CE ＝AE ＝CM ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， 又∵∠ACM ＝90°， ∴∠MCG ＝∠ACB ＝45°， 在△CEG 和△CMG 中， ⎩⎪⎨⎪

⎧CE ＝CM ∠ECG ＝∠MCG CG ＝CG

， ∴△CEG ≌△CMG (SAS)，∴EG ＝GM ， 又∵BE ＝AM ，

∴AG ＋EG ＝AG ＋GM ＝AM ＝BE ； (3)∠DFG ＝45°.

【解法提示】如解图②，过点D 作DN ⊥DF ，交AG 的延长线于点N ，则∠NDF ＝90°，

第1题解图②

∵AD ⊥BC ，

∴∠ADB ＝90°＝∠NDF ，∴∠ADB ＋∠ADF ＝∠NDF ＋∠ADF ，即∠BDF ＝∠ADN ，

∵∠ADB ＝∠AFB ＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＝∠4，

在Rt △ABC 中，BD ＝DC ， ∴AD ＝1

2BC ＝BD ，

在△BDF 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠BDF ＝∠ADN BD ＝AD ∠3＝∠4，

∴△BDF ≌△ADN (ASA)， ∴DF ＝DN ， 又∵∠NDF ＝90°，

∴∠DFN ＝∠DNF ＝45°，即∠DFG ＝45°.

2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝13，tan A ＝12

5，P 是射线AD 上一点，连接PB ，沿PB 将△APB 折叠，得到△A ′PB .

第2题图

(1)当∠DP A′＝10°时，∠APB＝________；

(2)当P A′⊥BC时，求线段P A的长度；

(3)当点A′落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段P A的长度．

解：(1)85°或5°或95°；

【解法提示】当点P在线段AD上，且∠APB<90°时，点A′在平行四边形ABCD 的内部，

∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，

∴∠APB＝1

2∠AP A′＝85°；

如解图①，当点P在线段AD上，且∠APB>90°时，点A′在平行四边形ABCD 的外部，

∵∠DP A′＝10°，

∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，

∴∠APB＝1

2(360°－∠AP A′)＝95°；

如解图②，当点P在AD的延长线上，则∠APB＝1

2∠DP A′＝5°；

第2题解图

(2)∵四边形ABCD是平形四边形，∴AD∥BC，若P A′⊥BC，则P A′⊥AD，

∴∠APB＝∠A′PB＝45°，

如解图③，作BH ⊥AD 于点H ，

第2题解图③

∵tan A ＝12

5，

∴设AH ＝5x ，BH ＝12x ，

在Rt △ABH 中，由勾股定理得AB ＝AH 2＋BH 2＝13x ＝ 9，解得x ＝9

13， ∴AH ＝4513，BH ＝108

13，

∵在Rt △BHP 中，∠BPH ＝45°， ∴BH ＝PH ＝10813， ∴AP ＝AH ＋PH ＝153

13；

(3)①如解图④，当点A ′在AD 上时，

第2题解图④

∵AB ＝A ′B ， ∴∠1＝∠2，

∴BP ⊥AD ，且A ′P ＝AP ，

∵tan A ＝12

5， ∴AP ＝513·AB ＝45

13；

②如解图⑤，当点A ′在BC 上时，

第2题解图⑤

由折叠可知，A ′B ＝AB ，AP ＝A ′P ，∠3＝∠4， 又∵AD ∥BC ， ∴∠5＝∠4， ∴∠3＝∠5， ∴AB ＝P A ，

∴四边形ABA ′P 为菱形， ∴AP ＝9；

③如解图⑥，当点A ′在AB 的延长线上时，∠ABP ＝ 1

2∠ABA ′＝90°， ∴AP ＝135×AB ＝117

5.

第2题解图⑥