精选-数理经济学_茹少峰_第4章课后题及答案

第四章 习题答案

1.求下列函数的极值。

（1）by ax y xy x y 332

2--++= （2）x x

y 212-=

（3）()1613

+-=x y （4）()1ln >=x x

x y 解：（1）根据二元函数极值的必要条件，可得

032=-+=a y x f x ，032=-+=b y x f y

解得，)2,2(),(a b b a y x --=为可能的极值点。

根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=2112)(x H

03>=H ，因此)2,2(a b b a --为),(y x f 的严格极小值点，极值为

22353b ab a ---。

（2）根据一元函数极值的必要条件，可得

0)21(2

2

'>-=

x y

因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。 （3）根据一元函数极值的必要条件，可得

03632'=+-=x x y

求得极值点为1=x 。

由充分条件知66'

'-=x y 。

当1=x 时0'

'=y ，所以该函数极值不存在。 （4）根据一元函数极值的必要条件，可得

0ln 12

'=-=

x

x

y 求的极值点为e x =。

由充分条件知4

'

'3ln 2x

x

x x y -=

。 当e x =时，01

3''<-=e

y ，因此该函数存在极大值为e 1。

2. 讨论函数()()

12

2-+=y x xy y x f ，的极值。

解：根据二元函数极值的必要条件，可得

03,032332=-+==-+=x x y x f y y y x f y x

)2

1,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),0,0(),(--=-=-===y x y x y x y x y x 为可能的极值点。

根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-+=yx y x y x xy x H 61331336)(2222 )0,0(),(=y x 时，01<-=H ，因此函数在该点无极值；

)2

1

,21(),(=y x 时，022

32

121

2

3

>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为8

1

-；

)2

1

,21(),(--=y x 时，022

32

121

2

3

>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为8

1

-；

)2

1

,21(),(-=y x 时，022

32

121

2

3>=--=H ，0)1(,0)1(2

21>->-A A ，则海赛矩阵

为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为8

1

；

)21

,21(),(-=y x 时，022

3212123>=--

=H ，0)1(,0)1(221>->-A A ，则海赛矩阵

为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为8

1

3. 试说明对于任意的0>βα，，生产函数β

αL AK x f =)(是凹函数。

证明：

βαL K A f K 1-∂=,1

1--∂=ββαL K A f KL

βααL K A f KK 2)1(-∂-=,2)1(--=βαββL K A f LL

所以函数的Hessian 矩阵为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=------21

1112)1()1(),(βαβαβαβ

αβββαβαααL K A L K A L K A L K A L K H 因为10,10<<<<βα，所以0),(>L K H ;且0)1(,0)1(22

1>->-A A ,Hessian

是 负定的，因此生产函数是严格凹函数。

4. 考虑生产函数β

αK L y =。如果1101

0<+<<<<βαβα，，，试说明该生产函数对于L 和K 的任意取值都是严格凹函数。如果1=+βα，该函数是什么形状？ 证明：（1）同上，可求得函数的Hessian 矩阵为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=------21

1112)1()1(),(βαβαβαβ

αββαβαβααK L K L K L K L L K H

Hessian 是负定的，该函数对于K 、L 任意取值都是严格凹函数。

5. 某完全竞争厂商由单一可变投入L （劳动），每期工资率为0W 。若该厂商每期的固定成本为F ，产品的价格为0P ，要求：

（1） 写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数； （2） 何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义； （3） 什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？ 解:（1）生产函数为：)(L f Q = 收益函数为：)(L f P Q P R ⋅=⋅= 成本函数为：F W L C +⋅=0

利润函数为：)()(0F LW L Pf C R +-=-=π

（2）利润最大化的一阶条件为：

0)

(0=-=∂∂W L

L df P L π，即P W L L df 0)(=。该条件的经济含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的

比值。

（3）要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件：

0)(22

2<=∂∂L

d L df P L π