第五章 机械静强度可靠性设计

如果把安全系数看作仅与强度、应力的均值有关，安全
2 ，强度 当产品的应力 S～N (S , S ～N ( , 2 ) ，则产品 ) 的可靠度为： 1 S S R 2 2 2 2 s / S s
2）应力S、强度均为对数正态分布时的安全系数
ZR
ln ln S
2 ln

2 ln S

ln ln S C C
2 2 S
Z n e S
R
2 2 C CS
2 exp Z R C2 CS


对于给定的可靠度R，可靠性指数 Z R 为定值，由上式可
求连杆的截面尺寸。
（8）敏感度分析。如果本例的其他条件不变，而 载荷及强度的标准差，即 S 、 值均增大，通过
具体计算就可以明显看出，由于载荷和强度值分散
性的增加，可靠度将迅速下降。因此，当载荷及强
度的均值不变时，只有严格控制载荷和强度的分散
性才能保证可靠性设计结果能更好地应用。
S
可靠性意义下的安全系数
Байду номын сангаас
nR n 0.95
0.99
min
Smax

min(0.95)
Smax(0.99)
(1 1.65C ) (1 2.33CS ) S
任意可靠度下的安全系数
nR ：
nR
当 R

min
Smax
(1 Z C ) (1 Z S CS ) S
必须严格控制强度、应力的均值和标准差，这是
因为可靠度对均值和标准差是很敏感的。
可靠性的安全系数与可靠度关系：
1）应力、强度均为正态分布时的安全系数
ZR
S
2 2 S

1 S
2 2 2 S 2 2 2 S S

n 1
2 C2 n2 CS
Φ(Z S ) 0.500 时， 50% ， RS 50% ，即Φ(Z ) 0.500 ，
有 Z 0 ， Z S 0 ，于是有：
nR n 0.5
0.5
min
Smax

min(0.5)
Smax(0.5)
S
平均安全系数是取可靠度 R
与应力之比。
的尺寸落到 x X x 3 X 尺 寸范围之外。
例1：一机械部件由5个加工出的零件组成，假设各零件 的加工公差相同，并具有独立的正态分布，规定部件最 后的装配公差为Δ总 =±0.25，试求每个零件的加工公差 应为多少？
解：部件标准差为
部件尺寸的综合公式为 其标准差为 零件的加工公差为

( g 1 g 1 ( x, z ))
几种特殊情况：
(1) 当Z aX bY时： f Z ( z) f Z ( z)

z by 1 f X ,Y ( , y ) dy a a z ax 1 f X ,Y ( y, ) dx b b

如果X与Y相互独立, 则f X ,Y ( x, y ) f X ( x) fY (Y ) 1 z by f Z ( z) f X ( , y ) fY ( y )dy a a 1 z ax f Z ( z ) f X ( x) fY ( )dx b b
设：Y a1 X 1 a2 X 2 an X n ai X i
i 1
n
则有：E（Y） Y ai X i
i 1 n 2 2 Var (Y ) Y ai2 X ai a j X i X j X i X j i i 1 i 1 j 1 i j n n
设计方法，有时可进行适当的假设、简化与处理。
几何尺寸 ：
在机加工中尺寸的容许偏差为公差，如果与尺寸的 变动性有关的数据仅有容许偏差 X ，标准差估算：
( x X ) ( x X ) X X 6 3
若尺寸服从正态分布，则按正态 分布的“3倍标准差原则”或 3 “ 法则”，这时满足事件出现 （尺寸落在范围内）的概率将为 99.74%，或者说，在10 000个 零件中，将不会有多于26个零件 σX与 X 的关系
n
一般地，对于多元非线性函数的均值和 标准差（方差）：
函数：Z f X 1 , X 2 ,, X n 函数Z均值： Z f 1 , 2 ,, n f 2 函数Z的方差： Z DZ i 1 X i
n
2 i X i i
(2) 当Z XY时：f Z ( z )


z 1 f X ,Y ( , y ) dy y y
如果X与Y相互独立，f X ,Y ( x, y ) f X ( x) fY ( y ),则： f Z ( z)

z 1 f X ( ) fY ( y ) dy y y

a1 X 1 a2 X 2 Var (Y ) E{[(a1 X 1 a2 X 2 ) (a1 X 1 a2 X 2 )]2 }
2 2 2 a12 X 2 a a a 1 2 X1 X 2 X1 X 2 2 X 2 1
上述关系可以推广到n维随机变量线性组合函数。
50% ， RS 50% 时的强度
由可靠性定义的安全系数可得出如下结论： （1）当强度和应力的标准差 、 S 不变时，提 高平均安全系数就会提高可靠度。 （2）当强度和应力的平均值 、 S不变时，缩
小它们的离散性，降低其标准差 、 S ，也可 提高可靠度。
（3）如果要得到一个较好的可靠度估计值，则
5.3 预备知识：随机变量函数的概率分布和数字特征 一、 一维随机变量函数
X是随机变量，则它的函 数Y g ( X )也是一个随机变量。 Y的概率密度函数为：
1 dg fY ( y) f X ( g 1 ) dy
如果反函数不是单值的，则Y 的密度函数为：
fY ( y )
i 1
三、梁的静强度可靠性设计
力P、跨度l、力作用点位置a均 为随机变量。它们的均值及标 准差分别为 载荷 P( P, P ) 梁的跨度 l (l , l )


n 1 2 2 s / S
n 1
由上式可以看出，即使平均安全系数n不变，而 、 S 取不同 / S 或者的比值不变，而 和 S的取值不同时，其可 值， 靠度就不一样了，甚至会有较大的差异。因此，只考虑经典意 义下的平均安全系数n这样一个指标是不能全面评价产品的可 靠性的。

S
定义为
nR
min( R )
Smax( RS )
例如，如果强度和应力均服从正态分布，即 ～N ( , 2 ) ，
2 ，若强度的最小值 min 规定为可靠度R=95%时 S～N (S , S )
的下限值，而应力的最大值 S max 规定为可靠度R=99%时的上
限值，则有：
如Y是随机变量X的函数，Y g ( X ),则均值及方差: E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx

Var (Y ) [ g ( x) E (Y )]2 f ( x)dx E{[ g ( x) Y ]2 }


四、多元线性函数的数字特征
工作应力可表达为A的函数）。
Z R 均代入联结方程 Z R （6）将应力、强度、
S
2 2 S
，求得
截面积参数的均值。
二、拉杆静强度可靠性设计
例2 要设计一活塞连杆，所承受的拉力 P～N ( , 2 ) P P ，
其中 P 40 000N ， P 1 200N ；取45号钢为制造材料，
设Y a1 X 1 a2 X 2 , a1和a2为常数, X 1和X 2为随机变量。 E (Y )
a
1



(a1 x1 a2 x2 ) f X 1 , X 2 ( x1 , x2 )dx1dx2


x1 f X 1 ( x1 )dx1 a2 x2 f X 2 ( x2 )dx2
知，应力及强度的变差系数 CS 、 C 愈大（离散性愈大），则 所需的安全系数n亦愈大；反之，安全系数愈小。
5.2 设计参数数据的统计处理与计算
在机械可靠性设计中，影响应力分布与强度分布的物理 参数、几何参数等设计参数都是随机变量，理想的情况 是掌握它们的分布形式与参数。但关于这些设计参数的 统计数据、分布形式等资料却很缺乏，尚待做大量的试 验测定与统计积累。为了尽快推广可靠性设计这一先进
(3) 当Z X / Y时：f Z ( z ) f Z ( z)

f X ,Y ( zy , y ) y dy
如果X与Y相互独立，f X ,Y ( x, y ) f X ( x) fY ( y )，则：

f X ( zy ) fY ( y ) y dy
三、均值和方差的一般公式
k
dg f X (g ) dy
1 i
1
二、 多维随机变量函数
X、Y为连续随机变量，（ X，Y）的概率密度函数 为f X ,Y ( x, y ),则Z g ( X , Y )的密度函数为： f（ Z z） f（ Z z）
1 g f X ,Y ( g 1 , y ) dy ( g 1 g 1 ( z, y )) z 1 g f X ,Y ( x, z 1 ) dx z
假设产品的工作应力随机变量为S，产品材料强度随机变 量为δ，则产品的安全系数 n 也是随机变量。 S