正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

200

1.若 x 〜N (0,1),

求(I) P (-2.32< X <1.2) ; (2) P (x >2).

解： ⑴ P (-2.32< x <1.2)=

(1.2)-

(-2.32)

=(1.2)-[1-

(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.

(2) P (x >2)=1- P (x <2)=1-

(2)=1-0.9772=0.0228.

:

2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在 N(1,4)下，求 F(3).

2 ,

(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6)

;

3 1 解: (1) F (3) =

( ) =0( 1)= 0.8413 2

a

( )0.975 ■ 200

(2)F(y+b)= ( -------------- )=0( 1)= 0.8413

F(y —b)

)=0 (— 1 )=1—0 ( 1 )= 1 - 0.8413 = 0.1587

F(y — c,a+b)=F(a+b) — F(y — cr)

0.8413 — 0.1587 = 0.6826

3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 1

=，求总体落入区

间(一1.2 , 0.2 )之间的概率.[0 ( 0.2 ) =0.5793,

0 ( 1.2 ) (x )2

2~

=0.8848]

解：正态分布的概率密度函数是

f(x)

,x (

)，它是偶函数,

1

说明” 0,

f(x)的最大值为f()

=亍，所以"

1,这个正态分布就是标准正态分

P( 1.2 x 0.2)

(0.2)

( 1.2) (0.2) [1 (1.2)] (0.2) (1.2) 1

0.5793 0.8848 1

0.4642

4.某县农民年平均收入服从 =500元,

在500 : 520元间人数的百分比；(2) 的概率不少于0.95，则a 至少有多大？ =200元的正态分布 (1)求此县农民年平均收入 如

果要使此县农民年平均收入在( [0 ( 0.1 ) =0.5398,

0 ( 1.96 ) a, a )内

=0.975]

解：设 表示此县农民年平均收入,

~ N(500,2002).

P(500

520 500

(500 500.

200 '

)(0.1) (0) 0.5398 0.5

0.0398 ( 2 )

a)

(盘

—)2 200

(旦)1

0.95,

200

查表知：—1.96

1设随机变量

X 〜 N (3,1), 若P(X

4) p ,,则 J P(2

—、1

1

(A) p

(B)l 一

P C .

l -2p D . - p

2

2 【答 案】

C

因为

P(X 4) P(X 2)

p ,所以 P(2

1 P(X 4) P(X

2) 1 2p ,选

C .

2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000粒，对于没有发 芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为

X ，则X 的数学期望为（

）

A . 100

B . 200

C . 300

D . 400［答案］B

［解析］记“不发芽的种子数为

了，贝U 汁B(1 000,0.1)，所以E(8= 1 000 X 0.1= 100,

而 X = 2E,故 E(X)= E(2 3= 2E( 3 = 200，故选 B.

3.设随机变量3的分布列如下:

3

—1

0 1 P

a

b

c

其中a , b , c 成等差数列，若 E( 3 = 3,贝U D(3 =( )

［答案］A

［解析］设白球x 个，则黑球7— x 个，取出的2个球中所含白球个数为

C 7-x 2 7 — x 6 — x

P( 3= 0)= C 72 =

42

,

x - 7 — x x 7 — x P( 3=1)= C 72 =21 ,

C x 2 x x — 1

P( 3= 2)= C 72 = 42 ,

.x = 3.

4

A.

9 B .

1 2 9 C.3

［答案］D

［解析］由条件a , b , c 成等差数列知，2b = a + c ,

由分布列的性质知 a + b + c = 1,又

1 111 1

E( 3 = — a + c = 3 解得 a

= 6’ b

= 3 c = 2，二 D(3

= 6

X

2

+21-「=舟.

4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到 白球个数的数学期望值为7，则口袋中白球的个数为（

)A . 3 B . 4

C . 5

D . 2

3贝U 3取值0,1,2,

0X

7— x 6— x 42

x 7 — x 21 + 2X X X —

1 4

2 5