(完整版)任意角的三角函数练习题及答案详解
三角函数练习题及解析
三角函数练习题及解析一、单选题1. 已知直角三角形ABC，角A的对边BC=5，斜边AC=13，则角B 的邻边AB等于：A) 5B) 12C) 4D) 3解析：根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，因此选项B) 12.2. 在单位圆上，点A的坐标为$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$，则角A的度数为：A) 45°B) 60°C) 90°D) 120°解析：单位圆上的点A的坐标$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$对应的角A的度数为$60^\circ$，因此选项B) 60°.3. $\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ$的值等于：A) 0B) 1C) $\frac{3}{4}$D) $\frac{1}{2}$解析：$\sin^2 30^\circ = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，$\cos^2 60^\circ = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，因此$\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，因此选项D)$\frac{1}{2}$.二、填空题4. 对于任意角θ，$\sin(90^\circ - \theta)$的值等于 __________。
答案：$\cos \theta$解析：根据“余角公式”，$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$.5. $\cos(\frac{3\pi}{4})$的值等于 __________。
答案：$-\frac{\sqrt{2}}{2}$解析：根据单位圆上角度为 $\frac{3\pi}{4}$ 的点坐标为 $(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$，因此 $\cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{-\sqrt{2}}{2}$.三、解答题6. 解方程 $\sin x = \frac{1}{2}$，其中 $0 \leq x < 2\pi$。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．2.下列各式中，值为的是A．B．C．D．【答案】D【解析】;;;.【考点】二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.4.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.5.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.6.已知点P（）在第三象限，则角在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由已知得，即，则角在第二象限。
【考点】（1）三角函数值符号的判断；（2）象限角的判断。
7. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.8.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.任意角的三角函数值可利用诱导公将角化为锐角的三角函数值求得.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.9.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．10.设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和．【答案】；．【解析】利用余弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义即可求得的值与的值．∵为第四象限角，∴，∴，∴，∴，∴＝，∴，．【考点】任意角的三角函数的定义．11.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.12.下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°【答案】B【解析】与330°终边相同的角可写为，当时，可得-30°.【考点】终边相同的角之间的关系.13.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.14.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.15.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．16.已知【答案】【解析】由已知得，又因为，所以，而，故答案为．【考点】1．诱导函数；2．特殊角的三角函数值．17.一钟表的分针长5 cm，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm【答案】【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，分针经40分钟，分针的端点所转过的角的弧度数为2π×=，代入弧长公式l=αr，得出分针的端点所转过的长为×5=（cm）．故答案为：。
任意角的三角函数练习题及参考答案
任意角的三角函数练习题一．选择题1.已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－55 B ．－ 5 C ．552 D ．252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A ．sin α B ．cos α C ．tan α D ．cot α3.已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ） A ．25 B ．－25 C ．0 D ．与a 的取值有关4.α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=42x ，则sin α的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是（）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈ 6.若θ是第三象限角，且02cos<θ，则2θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7.已知sin α=54，且α是第二象限角，那么tan α的值为 （）A ．34- B ．43- C ．43D ．34 8.已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二．填空题1.已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 ．2.角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α+cos α=______． 3.已知角θ的终边在直线y =33x 上，则sin θ= ；θtan = ． 4.设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．三．解答题1.求43π角的正弦.余弦和正切值．2.若角α的终边落在直线y x 815=上，求ααtan sec log 2-．3.(1)已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；（2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；（3）已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sin α+cos α的值．参考答案一． 选择题ABAA BBAB 二．填空题1.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+-Z k k k ,2222|ππαππα； 2.12=m 时，1317cos sin =+αα；12-=m 时，137cos sin -=+αα． 3.21sin ±=θ；33tan =θ．4.4745πθπ<<．三．解答题1.2243sin=π；2243cos -=π；143tan -=π． 2.（1）取)15,8(1P ，则17=r ，2815817log tan sec log 22-=-=-αα； （2）取)15,8(2--P ，则17=r ，2815817log tan sec log 22=--=-αα． 3.（1）∵3,4-==y x ，∴5=r ，于是：5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα． （2）∵a y a x 3,4-==，∴a r 5=，于是：当0>a 时，5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα 当0<a 时，5254532cos sin 2=-+⋅=+αα（3）若角α终边过点()3,4P ，则254532cos sin 2=+⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2=-+⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4--P ，则254532cos sin 2-=-+-⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα．。
(完整版)任意角的三角函数练习题集与答案解析详解
任意角的三角函数一、选择题1．以下四个命题中，正确的是( )A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等B ．｛｜＝k ＋6π，k ∈Z ｝≠｛｜＝-k ＋6π，k ∈Z ｝ C ．若是第二象限的角，则sin2＜0 D ．第四象限的角可表示为｛｜2k ＋23＜＜2k ，k ∈Z ｝2．若角的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin tan ＞0 B ．cos tan ＞0 C ．sin cos ＞0 D ．sin cot ＞03．角的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin 的值是( ) A ．22 B ．-22 C ．±22 D ．14.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42x ，则sin α的值为（ ）A ．410B ．46C ．42D ．－4105.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一、二象限角或终边在y 轴上6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7. 已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tanθ＜si nθ｝，那么E∩F 是区间( )二、填空题1．已知角的终边落在直线y ＝3x 上，则sin ＝________． 2．已知P (-3，y )为角的终边上一点，且sin ＝1313，那么y 的值等于________． 3．已知锐角终边上一点P (1，3)，则的弧度数为________．4．（1）sin49πtan 37π_________ 5.三、解答题1．已知角的终边过P (-3，4)，求的三角函数值2．已知角的终边经过点P (x ，-3)(x >0)．且cos ＝2x，求sin 、cos 、tan 的值．3.(1)已知角α终边上一点P(3k ，－4k)(k ＜0)，求sinα，cosα，tanα 的值；4. 一个扇形的周长为l，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大．9 .化简或求值：三角函数的诱导公式一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的.）1、与－463°终边相同的角可表示为（ ） A ．k·360°＋436°（k ∈Z ） B ．k·360°＋103°（k ∈Z ） C ．k·360°＋257°（k ∈Z ）D ．k·360°－257°（k ∈Z ）2、下列四个命题中可能成立的一个是（ ） A 、21cos 21sin ==αα且 B 、1cos 0sin -==αα且 C 、1cos 1tan -==αα且 D 、α是第二象限时，αααcos tan sia -= 3、若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（ ） A 、34- B 、43 C 、43± D 、34±4、若2cos sin =+αα，则ααcot tan +等于（ ）A 、1B 、2C 、-1D 、-2 1、 ︒︒+450sin 300tan 的值为（ ） A 、31+ B 、31- C 、31-- D 、31+-5、若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，则下列等式成立的是（ ） A 、A C B sin )sin(=+ B 、A C B cos )cos(=+ C 、A C B tan )tan(=+ D 、A C B cot )cot(=+6、)2cos()2sin(21++-ππ等于 （ ）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos27、sinαcosα＝81，且4π＜α＜2π，则cosα－sinα的值为（ ） A ．23B ．23-C ．43 D ．43-8、在△ABC 中，若最大角的正弦值是22，则△ABC 必是（ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形9、下列不等式中，不成立的是（ ）A 、︒︒>140sin 130sin B 、︒︒>140cos 130cos C 、︒︒>140tan 130tan D 、︒︒>140cot 130cot10、已知函数2cos)(xx f =，则下列等式成立的是（ ） A 、)()2(x f x f =-π B 、)()2(x f x f =+π C 、)()(x f x f -=- D 、)()(x f x f =-11、若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=++m mx x 的两个实根，则m 值为（ ）A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,34mB 、51-=mC 、51±=mD 、51+=m 12、已知()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++（,,,a b αβ为非零实数），(2011)5f =则(2012)f =（ ）A ．1B ．3C ．5D ．不能确定二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13、化简=+-+βαβαβα222222cos cos sin sin sin sin .14、若0cos 3sin =+αα，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .15、=-︒)945cos( .16、=⋅⋅⋅⋅⋅⋅︒︒︒︒89tan 3tan 2tan 1tan .三、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18、 化简：)(cos )tan()2tan()cos()(sin 32πααππααππα--⋅+--+⋅+.19、已知21)sin(=+απ，求απααπcos )tan()2sin(⋅-+-的值.20、已知54sin -=α. 求ααtan cos 和的值 .21、（10分）已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+22、已知1)sin(=+βα，求证 0tan )2tan(=++ββα。
必修四任意角的三角函数(附规范标准答案)
任意角的三角函数(一)[学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．知识点一 三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cosα＝x r ，tan α＝yx.思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．思考三角函数在各象限的符号由什么决定？答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.题型一三角函数定义的应用例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； (2)已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.若a >0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则 sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a－4a ＝－34，若a <0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则 sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.(2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点． 则r ＝a 2＋3a2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a2a ＝12，tan α＝3a a＝3.若a <0，则α为第三象限，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a＝3.题型二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． 解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.跟踪训练2 若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角． 答案 四解析 ∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．题型三 诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练3 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32；(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用任意角的三角函数的定义求值，忽略对参数的讨论而致错例4 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 错解 令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k 2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.错因分析 点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0. 正解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝24k2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724. 当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝xr ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2 3．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.324．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝ .5．已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的三个函数值．一、选择题1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.323．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A.25 B.25或－25 C ．－25D ．与a 有关 4．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π6 6．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5 二、填空题7．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为 ． 9．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .10．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是 ．三、解答题11．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．12．求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.当堂检测答案1．答案 C解析 cos(－116π)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.2．答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．答案 A解析 ∵2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.4．答案 －43解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43. 5．解 因为x ＝2，y ＝－3， 所以r ＝22＋－32＝13.于是sin α＝y r＝－313＝－31313，cos α＝x r＝213＝21313，tan α＝y x ＝－32.课时精练答案一、选择题 1．答案 B 2．答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32.3．答案 C 解析 ∵a <0，∴r ＝－4a2＋3a 2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝yr ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.4．答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限， 又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．故选D. 5．答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33， ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6. 6．答案 A解析 ∵r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35. ∴b ＝3.二、填空题7．答案 一或二解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．8．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.9．答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.10．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2，故函数y ＝|sin x |cos x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}． 三、解答题11．解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5， 得sin α＝－25＝－255， cos α＝－15＝－55， tan α＝2.12．解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.如果角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用三角函数的定义，求出.因为角θ的终边经过点,由三角函数的定义可知，，故选A.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.半径为，中心角为所对的弧长是（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】弧长cm,故选D.【考点】弧长公式：（其中的单位是弧度）.5.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.6.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程7.与角-终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与−终边相同的角为2kπ−，k∈z，当 k=-1时，此角等于，故选：C．【考点】终边相同的角的定义和表示方法.8.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上（地面与墙面垂直），T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.【答案】.【解析】如图可知，点运动的轨迹为一段圆弧，由题意已知：，，∴，∴点运动的路程为.【考点】弧度制有关公式的运用.9.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.10.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】先利用诱导公式化简，根据三角函数的定义知，即，故选B.【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．11. 60°=_________．（化成弧度）【答案】【解析】根据,可得．【考点】角度与弧度的互化．12.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角13.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.14.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．15.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．16.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．17.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．18.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为 .【答案】π【解析】扇形的面积公式为.【考点】扇形的弧度制面积公式.19.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.20.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算21.已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为___________cm2。
三角函数第一节任意角练习含答案
《任意角》评测练习1下列命题：（1）始边和终边都相同的角一定相等 （2）始边相同而终边不同的角一定不相等（3）始边相同、终边相同且旋转方向也相同的两个角一定相等 （4）始边想通过、终边相同而旋转方向不相同的两个角一定不相等 其中正确的命题是 2、下列命题中，正确的是（1）第一象限的角都是锐角 （2）第二象限的角都是钝角 （3）小于90的角都是锐角 （4）锐角都是第一象限角3、在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角 （1）26-： （2）118524'： （3）900： （4）83710'-：4、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式360360α-≤<的元素表示出来。
（1）25- (2)83436'- (3)455 (4)05、（1）若角α的终边为第二象限的角平分线，则角α的集合是 ； （2）若角α的终边为第一、三象限的角平分线，则角α的集合是 。
6、设,αβ满足180180αβ-<<<，则αβ-的范围是：7、根据下列条件写出角α与角β之间的关系式： （1）两角,αβ的终边关于原点对称；（2）两角,αβ的终边关于x 轴对称；（3）两角,αβ的终边关于y 轴对称；（4）两角,αβ的终边关于直线y x =对称；8、自上午7点整到校至中午11点40分放学，时钟的时针和分针各转了多少度上午7点整和中午11点40分两针所成的最小正角各是多少度9、将下列落在图示部分的角（阴影部分）135 135第一章 三角函数 § 任意角和弧度制1． 任意角一、选择题1．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z 2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限3．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D4．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角5．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M PC ．MPD ．M ∩P ＝∅6．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限二、填空题7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在________． 8．经过10分钟，分针转了________度．9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______________________________．10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.三、解答题11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．能力提升13．如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．14．设α是第二象限角，问α3是第几象限角第一章三角函数§任意角和弧度制1．任意角答案1．C 2..A 3．D 4．C 5．B6．D7．x轴的正半轴8．－609．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}10．－110°或250°11．解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．12．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．13．解终边落在y＝3x (x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝3x (x≤0) 上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边在y＝3x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．14．解当α为第二象限角时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋k 3·360°<α3<60°＋k3·360°，k ∈Z .当k ＝3n 时，30°＋n ·360°<α3<60°＋n ·360°，此时α3为第一象限角；当k ＝3n ＋1时，150°＋n ·360°<α3<180°＋n ·360°，此时α3为第二象限角；当k ＝3n ＋2时，270°＋n ·360°<α3<300°＋n ·360°，此时α3为第四象限角．综上可知α3是第一、二、四象限角．任意角和弧度制练习题一选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 5、下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C7.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④8.若α是第一象限的角，则2α是( ) A.第一象限的角B.第一或第四象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角9.下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等10角α的终边落在y=-x(x ＞0)上，则sin α的值等于( )22 B.22 C.±22D.±2111.集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在( )轴的正半轴上轴的正半轴上轴或y 轴上轴的正半轴或y 轴的正半轴上12.α是一个任意角，则α与-α的终边是( )A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称 13.集合X={x ｜x=(2n+1)·180°,n ∈Z}，与集合Y={y ｜y=(4k ±1)·180°,k ∈Z}之间的关系是( C )C.Ｘ=Y≠Y14.设α、β满足-180°＜α＜β＜180°，则α-β的范围是( )°＜α-β＜0° °＜α-β＜180° °＜α-β＜0°°＜α-β＜360°15．下列命题中的真命题是（ ）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z )16．设k ∈Z ，下列终边相同的角是 （ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°17．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin18．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ）A ．70 cmB ．670cm C ．(3425-3π)cm D ．3π35 cm 19．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对20．设集合M ={α|α=5-2ππk ，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π}，则M ∩N 等于 （ ） A ．{－105ππ3,} B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,} D ．{07,031-1ππ } 21．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）A ．2°B ．2C ．4°D ．422．设集合M ={α|α=k π±6π，k ∈Z }，N ={α|α=k π+(－1)k6π，k ∈Z }那么下列结论中正确的是（ ） A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上） 23．若角α是第三象限角，则2α角的终边在 2α角的终边在_____________ 24．与－1050°终边相同的最小正角是 . 25．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 . 26．已知扇形的周长为20 cm ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大面积是 27. 在半径为12 cm 的扇形中, 其弧长为5π cm, 中心角为θ. θ=__________ (用角度制表示)．28. 已知一扇形在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度.任意角的三角函数一、选择题1.有下列命题：①终边相同的角的三角函数值相同； ②同名三角函数的值相同的角也相同；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同； ④不相等的角，同名三角函数值也不相同. 其中正确的个数是( )B.12.若角α、β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( )α=sin β α=cos βα=tan βα=cot β3.角α的终边上有一点P （a ，a ），a ∈R ，a ≠0，则sin α的值是( ) A.22 B.－22 C. 22或－224.若x x sin |sin |+|cos |cos x x +xx tan |tan |=－1，则角x 一定不是( )A.第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角·cos3·tan4的值( ) A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在6.若θ是第二象限角，则( )2θ＞02θ＜02θ＞02θ＜0 二、填空题7.若角α的终边经过P （－3，b ），且cos α=－53，则b =_________，sin α=_________. 8.在（0，2π）内满足x 2cos =－cos x 的x 的取值范围是_________. 9.已知角α的终边在直线y =－3x 上，则10sin α+3cos α=_________. 10.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第_________象限.三、解答题11.已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴.若角α的终边过点P （－3，y ），且sin α=43y （y ≠0），判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值.1．下列说法正确的是 [ ]A ．小于90°的角是锐角B ．大于90°的角是钝角C ．0°～90°间的角一定是锐角D ．锐角一定是第一象限的角2．设A={钝角}，B=｛小于180°的角}，C={第二象限的角}， D={小于180°而大于90°的角}，则 下列等式中成立的是 [ ]A ．A=CB ．A=BC ．C=D D ．A=DA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第一象限角或第二象限角A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称5．若α，β的终边互为反向延长线，则有 [ ]A ．α=-βB ．α=2k π+β(k ∈Z)C ．α=π+βD ．α=(2k+1)π+β(k ∈Z)6已知集合()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±==Z k k a a Z k k a a B Z k k a a A k k ,31,31,,3ππππππ则A 、B 的关系A ．A=B B B A ⊃C B A ⊂D ．以上都不对7．在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系一定是 [ ]A ．α+β=πB ．α+β=2k π(k ∈Z)C ．α+β＝n π(n ∈Z)D ．α+β＝(2k+1)π(k ∈Z)8．终边在第一、三象限角的平分线上的角可表示为 [ ]A ．k ·180°+45°(k ∈Z)B ．k ·180°±45°(k ∈Z)C ．k ·360°+45°(k ∈Z)D ．以上结论都不对9．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的四周角的弧度为 [ ] A 1 B 2 C 6π或65π D 3π或35π 10．若1弧度的圆心角，所对的弦长等于2，这圆心角所对弧长 [ ] A 21sin B 6π C 1/21sin D 221sin答案：BDDDD BCDCA CBCAD ABDBCBC第二或第四象限；第一或第二象限或终边在y 轴的非负半轴。
任意角的三角函数练习题及参考答案
任意角的三角函数练习题及参考答案一、选择题1.已知角α的终边过点P（－1,2），cosα的值为（）。
A．－2555 B．－5 C．D．552答案：B．－52.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（）。
A．sinα B．cosα C．tanα D．cotα答案：B．cosα3.已知角α的终边过点P（4a,－3a）（a<0），则2sinα＋cosα的值是（）。
A．22 B．－ C．0 D．与a的取值有关答案：A．224.α是第二象限角，P（x,5）为其终边上一点，且cosα=x/2，则sinα的值为（）。
A． B． C．D．－4444答案：D．－44445.函数y=sinx cosx的定义域是（）。
A．(2k,(2k1))，k Z B．[2k2,(2k1)]，k Z C．[k，(k1)]，k Z D．[2kπ，（2k+1）π]，k Z答案：B．[2k/2,(2k1)]6.若θ是第三象限角，且cosθ=1/2，则是（）。
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角答案：B．第二象限角7.已知sinα=3/4，且α是第二象限角，那么tanα的值为（）。
A． B． C．334 D．344答案：A．8.已知点P（tanα,cosα）在第三象限，则角α在（）。
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D．第四象限二、填空题1.已知sinαtanα≥1/2，则α的取值集合为（）。
答案：（2kπ+π/4，2kπ+3π/4），k∈Z2.角α的终边上有一点P（m，5），且cosα=m/13，则sinα+cosα=______。
答案：12/133.已知角θ的终边在直线y=3x上，则sinθ=______；tanθ=______。
答案：sinθ=3/√10，tanθ=3/√74.设θ∈（0，2π），点P（sinθ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是（）。
答案：（5π/6，2π）三、解答题1.求角的正弦、余弦和正切值。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．【答案】【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.【答案】－＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标【解析】因为A点纵坐标yAx＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.A4.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.5.如果点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限；【答案】第二象限角【解析】因为点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ<0，2cosθ<0，即所以θ为第二象限角．6.若θ是第二象限角，试判断sin(cosθ)的符号．【答案】负号【解析】∵2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴－1<cosθ<0，∴sin(cosθ)<0.∴sin(cosθ)的符号是负号．7.已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．【答案】【解析】如图，∠AOB＝2rad，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D.∠AOD＝∠BOD＝1rad，且AC ＝AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝8.已知角α(0≤α≤2π)的终边过点P，则α＝__________．【答案】【解析】将点P的坐标化简得，它是第四象限的点，r＝|OP|＝1，cosα＝＝.又0≤α≤2π，所以α＝.9.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________．【答案】2【解析】依题意知解得m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3.又sinα＜0，∴α的终边在第三象限，∴n＜0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.10.等于()A．sin2-cos2B．cos2-sin2C．±(sin2-cos2)D．sin2+cos2【答案】A【解析】原式===|sin2-cos2|,∵sin2>0,cos2<0,∴原式=sin2-cos2.11.已知点P(sinπ,cosπ)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】点P(sinπ,cosπ),即为P(,-),它在第四象限的角平分线上,且θ∈[0,2π),故选D.12.在单位圆中,一条弦AB的长度为,则弦AB所对的圆心角α是rad.【答案】π【解析】由已知R=1,∴sin==,∴=,∴α=π.13.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值14.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】角600°的终边与角-120°的终边相同，且角-120°的终边在第三象限，，所以.故选B.或解：因为角角600°的终边在第三象限，第三象限角终边上的点任一点，，由选项可知，只有B满足.故选B.【考点】1.终边相同的角的运用；2.三角函数的定义的运用.15.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式16.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.17.（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；（2）设．求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法. 试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则， 2分所以，当时， 5分此时，而所以当时该扇形面积最大 7分（2）证明：9分∵，∴， 11分∴当时， 14分又，所以，当时取等号，即． 16分法二：9分∵，, 11分∴当时，， 14分又∵，∴当时取等号即． 16分【考点】扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.18.若，则A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以==，=，故选A.【考点】本题主要考查特殊角的三角函数值，诱导公式、和差倍半公式的应用。
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数(经典练习及答案详解)
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式3.任意角的三角函数 (1)定义(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝yr；cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.已知角θ的终边过点P (－12，m )，cos θ＝－1213，则m 的值为( ) A.－5 B.5C.±5D.±8答案 C解析 由三角函数的定义可知cos θ＝－12（－12）2＋m2＝－1213，解得m ＝±5. 3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {－675°，－315°}解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ). 解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0D.sin 2α<0答案 D解析 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D. 5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是( ) A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角 答案 BD解析 对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，∵角α的终边在第二象限， ∴2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4＜α2＜2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4＜α2＜(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三象限角，故正确.6.(2021·菏泽质检)密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad. 答案 π50解析 ∵周角为2π rad ， ∴1密位＝2π6 000＝π3 000(rad)， ∴60密位＝π3 000·60＝π50(rad).考点一 角的概念及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A 、B ，易知D 错误，C 正确.2.(多选题)(2021·海南调研)已知α为第三象限角，则α2的终边所在的象限可能是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 BD解析 ∵α为第三象限角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2m ，m ∈Z 时，π2＋2m π<α2<3π4＋2m π，m ∈Z ，此时α2在第二象限， 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，3π2＋2m π<α2<7π4＋2m π，m ∈Z ， 此时α2在第四象限.综上，α2的终边在第二或第四象限.3.终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3解析 终边在直线y ＝3x 上的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，又由α∈[－2π，2π)，即－2π≤π3＋k π<2π，k ∈Z ， 解得k ＝－2，－1，0，1，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.感悟升华 1.确定nα，αn (n ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或αn 的范围，然后根据n 的可能取值讨论确定nα或αn 的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法). 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 考点二 弧度制及其应用【例1】已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，若α＝π3，R ＝10 cm ，求：(1)扇形的面积；(2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 (1)由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). (2)l ＝α·R ＝π3·10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12×10π3·10－12×102×32＝50π－7533(cm 2).感悟升华 应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练1】 (1)(多选题)(2020·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2(2)已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2. 答案 (1)ABC (2)4解析 (1)设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1. (2)设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ， 则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r ) ＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4， 所以S max ＝4(cm 2).考点三 三角函数的定义及应用角度1 求三角函数值【例2】已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A.－33 B.±33C.－32D.±32答案 C解析 由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32. 综上sin α·tan α＝－32. 角度2 由三角函数值求参数【例3】已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32 C.12D.32答案 C解析 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m >0，解得m ＝12.角度3 三角函数值的符号【例4】 (多选题)(2021·重庆调研)已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边可能在( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.y 轴上D.x 轴上答案 AD解析∵|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，∴cos θ≥0，tan θ≤0，∴角θ的终边在第四象限或x轴正半轴上，∴角θ2的终边在第二、四象限或x轴上.故选AD.感悟升华 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【训练2】(1)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y＝________.答案(1)D(2)－3解析(1)由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.故选D.(2)因为sin θ＝－31010<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y ＝－3.A 级 基础巩固一、选择题1.小明出国旅游，当地时间比北京时间晚一个小时，他需要调整手表的时间，则时针转过的角的弧度数为( ) A.π3 B.π6C.－π3D.－π6答案 B解析 因为当地时间比北京时间晚一个小时，所以时针应该是逆时针方向旋转，故时针转过的角的弧度数为π6.故选B.2.(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是( ) A.－3π4是第二象限角B.4π3是第三象限角C.－400°是第四象限角D.－315°是第一象限角答案 BCD解析 －3π4是第三象限角，故A 错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，B 正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，从而C 正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，从而D 正确.3.(2020·天津期末)在平面直角坐标系中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，则sin α＝( )A.－32B.－12C.32D.12答案 D解析 由任意角三角函数的定义得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.故选D.4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.8答案 C解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.5.若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－3π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－π4，k ∈Z 答案 D解析 由图知，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π＋3π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝（2n ＋1）π－π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π－π4，k ∈Z . 6.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角， 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2<0， 综上可知，θ2为第二象限角.7.(2020·长沙模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析 由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去).故选A.8.(多选题)(2021·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )A.经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3＋3B.经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π12C.经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π3D.经过5π9 s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇答案 ABD解析 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为π3＋3，故A 正确；经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π12，故B 正确；经过π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6×12＝5π12，故C 不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9(s)，故D 正确.二、填空题9.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎨⎧l ＝π3，r ＝2. 10.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________.答案 (－1，3)解析设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以点P 的坐标为(－1，3).11.(2021·河北九校联考)已知点P (sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________.答案 55°解析 由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限，所以α＝55°.12.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝________.答案 55解析 由O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋12－1＝23，解得a 2＝15， 即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝|a |＝55.B 级 能力提升13.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅ 答案 B解析 由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .14.(2019·北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β＋4cos βB.4β＋4sin βC.2β＋2cos βD.2β＋2sin β 答案 B解析 如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧上取一点C ，则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和.因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当△ABP 的面积最大时，阴影部分的面积最大.又AB 的长为定值，故当点P 为优弧的中点时，点P 到弦AB 的距离最大，此时△ABP 面积最大，即当P 为优弧的中点时，阴影部分面积最大.下面计算当P 为优弧的中点时阴影部分的面积.因为∠APB 为锐角，且∠APB ＝β，所以∠AOB ＝2β，∠AOP ＝∠BOP ＝180°－β，则阴影部分的面积S ＝S △AOP ＋S △BOP ＋S 扇形OAB ＝2×12×2×2sin(180°－β)＋12×22×2β＝4β＋4sin β.故选B.15.一扇形的圆心角为2π3，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.答案 7＋439解析 设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr 2＝7＋439.16.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________.答案解析 因为tan α<cos α，所以P 所在的圆弧不是，因为tan α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，又cos α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，所以P 所在的圆弧是.。
(完整版)任意角的三角函数练习题及标准答案详解
随意角的三角函数一、选择题1．以下四个命题中，正确的选项是( )A．在定义域内，只有终边同样的角的三角函数值才相等B．｛｜＝ k ＋， k∈ Z ｝≠｛｜＝ - k ＋， k∈ Z ｝6 6C．若是第二象限的角，则 sin2 ＜ 0 D ．第四象限的角可表示为｛｜ 2k ＋3＜＜ 2k ， k∈ Z ｝22．若角的终边过点 (- 3，- 2)，则 ( )A ． sin tan ＞ 0B ． cos tan ＞ 0 C．sin cos ＞ 0 D ． sin cot ＞ 0 3．角的终边上有一点P(a， a)， a∈R ，且 a≠ 0，则 sin 的值是 ( )A ．2 2 2D ． 1 2B ． - C．±2 224.α是第二象限角，其终边上一点P（ x，5），且 cos α＝4x，则 sin α的值为（）10 6 2 10A．4 B．4 C．4 D．－ 4 5. 使 lg （ cos θ·tan θ）存心义的角θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C ．第一或第二象限角D．第一、二象限角或终边在y 轴上6. 设角α是第二象限角，且|cos 2 |＝－cos 2 ，则角 2 是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角7.已知会合E=｛θ|cos θ＜ sin θ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tan θ＜ sin θ｝，那么 E∩F 是区间 ( )1 / 6二、填空题1．已知角的终边落在直线y＝ 3x 上，则 sin ＝ ________．2．已知 P(- 3 ，y)为角的终边上一点，且sin ＝13，那么y的值等于________．133．已知锐角终边上一点P(1， 3 )，则的弧度数为________．4．（ 1） sin 9tan7_________4 35.三、解答题1．已知角的终边过P(- 3 ， 4)，求的三角函数值2．已知角的终边经过点P(x，- 3 )(x>0)．且cos＝x，求sin、cos、tan的值．23.(1)已知角α 终边上一点P(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值；4.一个扇形的周长为 l ，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大．9 . 化简或求值：三角函数的引诱公式一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选择中，只 有一项为哪一项切合题目要求的 .） 1 、与－ 463°终边同样的角可表示为（ ）A ．k ·360°＋ 436°（ k ∈ Z ）B ．k ·360°＋ 103°（ k ∈ Z ）C ．k ·360°＋ 257°（ k ∈ Z ）D ．k ·360°－ 257°（ k ∈ Z ） 2、以下四个命题中可能建立的一个是（ ）A 、 sin1且 cos1 B 、 sin0且cos122C 、 tan1且 cos1 D 、 是第二象限时， tansiacos43、若 sin，且是第二象限角，则 tan 的值为（）54 33 4C 、A 、B 、4D 、3434、若 sin cos2 ，则 tancot 等于（ ）A 、 1B 、 2C 、 -1D 、-21、 tan 300 sin 450 的值为（ ）A 、 13 B 、 13 C 、 1 3D 、1 35、若 A 、B 、 C 为△ ABC 的三个内角，则以下等式建立的是（ ）A 、 sin(BC ) sin AB 、 cos(BC ) cos AC 、 tan(B C ) tan AD 、 cot( BC ) cot A6、 12 sin( 2) cos(2) 等于（）A ． sin2－ cos2B ．cos2－ sin2C ． ±（ sin2－cos2）D ． sin2+cos27 、 sin α cos ＝α 1 ， 且＜ α ＜ ， 则 cos α － sin α 的 值 为842（ ）3 3 3 3 A ．B ．C ．D ．22442 8、在△ ABC 中，若最大角的正弦值是2，则△ ABC 必是（ ）A 、等边三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形4 / 69、以下不等式中，不建立的是（）A 、 sin 130 sin 140B 、 cos130 cos140C 、 tan130 tan140D 、cot 130 cot 14010、已知函数 f ( x)cos x，则以下等式建立的是（）2A 、 f (2 x) f ( x)B 、C 、 f (x)f ( x)D 、 f ( 2 x) f ( x)f ( x)f ( x)11sin 、 cos 是对于 x 的方程 4x 22mx m 0的两个实根，则 m 值为（ ）、若A 、 m4,0B 、 m 15C 、 m 15D 、 m 15312、 已 知 f (x) a sin( x )b cos( x) 4 （ a, b, ,为非零实数），f (2011) 5则 f (2012) （ ）A ．1B ． 3C ． 5D ．不可以确立二、填空题（本大题共4 个小题 ,每题5 分，共 20 分 .将答案填在题中横线上）13、化简 sin 2sin 2 sin 2 sin 2cos 2 cos 2 .14、若 sin3 cos0 ，则 cos2 sin 的值为.3sin2 cos15、 cos( 945 ).16、 tan 1tan 2 tan 3tan 89.三、解答题（本大题共6 道小题，共 70 分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤）17、求值 sin 2 120cos180 tan45 cos 2( 330 ) sin( 210 )sin 2 () cos( ).18、 化简：) cos 3 (tan(2 ) tan()19、已知sin( ) 1) cos 的值.，求 sin( 2) tan(220、已知sin 4和 tan 的值 .. 求cos51 sin 1 sin21、（ 10 分）已知α是第三角限的角，化简sin 1 sin122、已知sin() 1，求证tan(2) tan0。
(完整)三角函数习题及答案
第四章 三角函数§4-1 任意角的三角函数一、选择题：1．使得函数lg(sin cos )y θθ=有意义的角在( ）（Ａ）第一，四象限 （Ｂ）第一，三象限 （Ｃ）第一、二象限 （Ｄ）第二、四象限 ２．角α、β的终边关于У轴对称，（κ∈Ζ)。
则（Ａ）α＋β＝２κπ （Ｂ）α－β＝２κπ（Ｃ）α＋β＝２κπ－π （Ｄ）α－β＝２κπ－π ３．设θ为第三象限的角，则必有（ ）（Ａ）tan cot 22θθ(Ｂ）tan cot 22θθ （Ｃ）sin cos 22θθ（Ｄ）sin cos 22θθ４．若4sin cos 3θθ+=-,则θ只可能是（ ）（Ａ）第一象限角 （Ｂ）第二象限角 （C ）第三象限角 （Ｄ)第四象限角５．若tan sin 0θθ且0sin cos 1θθ+，则θ的终边在（ ）(A)第一象限 (B)第二象限 （C)第三象限 （D ）第四象限 二、填空题：6．已知α是第二象限角且4sin 5α= 则2α是第▁▁▁▁象限角，2α是第▁▁▁象限角.7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为（2sina3,-2cos3),则α角弧度数为▁▁▁▁。
8．设1sin ,(,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈则Y 的取值范围是▁▁▁▁▁▁▁。
9．已知cosx-sinx<-1,则x 是第▁▁▁象限角。
三、解答题：10．已知角α的终边在直线y =上,求sin α及cot α的值。
11．已知Cos(α+β）+1=0, 求证：sin （2α+β)+sin β=0。
12．已知()()cos ,5n f n n N π+=∈,求ƒ(1）+ƒ（2）+ƒ（3)+……+ƒ（2000）的值. §4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、选择题：1．()sin 2cos 22ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭化简结果是（ ）(A)0 （B ）1- (C)2sin 2 ()2sin 2D -2．若1sin cos 5αα+=,且0απ，则tan α的值为（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43D -或34-3. 已知1sin cos 8αα=，且42ππα，则cos sin αα-的值为（ )(A ()34B ()C ()D ±4. 已知4sin 5α=，并且α是第一象限角，则tan α的值是（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43D5.的结果是（ )()0cos100A ()0cos80B ()0sin80C ()0cos10D6. 若cot ,(0)m m α=≠且cos α,则角α所在的象限是（ ）(A ）一、二象限 （B ）二、三象限 （C)一、三象限 （D ）一、四象限 填空题：7．化简()()()21sin 2sin 2cos αππαα+-+--=▁▁▁▁▁▁。
【同步练习】必修四 1.2.1 任意角的三角函数-高一数学人教版(必修4)(解析版)
第一章 三角函数1.2.1 任意角的三角函数一、选择题1．已知sin α+cos α=–15，α∈（0，π），则tan α的值为A ．–43或–34B ．–43C ．–34D ．34【答案】C【解析】∵sin α+cos α=–15，α∈（0，π），∴α为钝角，结合sin 2α+cos 2α=1，∴sin α=35，cos α=–45，则tan α=sin cos αα=–34，故选C ． 2．若点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，在角α的终边上，则sin α的值为A ．12-B ．12C ．3D 3 【答案】C【解析】因为点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，在角α的终边上，即点132⎛- ⎝⎭，在角α的终边上，则3sin α=，故选C ．3．若角α的终边过点P （3，–4），则cos α等于A ．35B ．34-C ．45-D ．45【答案】A【解析】∵角α的终边过点P （3，–4），∴r =5，∴cos α=35，故选A ．4．如果角θ的终边经过点（3，–4），那么sin θ的值是A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】D【解析】∵角θ的终边经过点（3，–4），∴x =3，y =–4，r 22x y +，∴sin θ=y r=–45，故选D ．5．若sinαtanα<0，且costanαα<0，则角α是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】∵sinαtanα<0，可知α是第二或第三象限角，又costanαα<0，可知α是第三或第四象限角．∴角α是第三象限角．故选C．6．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–45，则x的值为A．5 B．–5 C．4 D．–4 【答案】D【解析】∵P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–45，∴cosθ=29x+=–45，∴x=–4．故选D．7．若点P（sinα，tanα）在第三象限，则角α是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【解析】∵点P（sinα，tanα）在第三象限，∴sinα<0，tanα<0．∴角α是第四象限角．故选D．8．如果角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），则sinα的值等于A．12B．–12C．–3D．–3【答案】B【解析】角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），即（31-，），由任意角的三角函数的定义可知：sinα=()()221 231=-+-．故选B．9．若角120°的终边上有一点（–4，a），则a的值是A．43B．43-C．43±D．310．已知4sin5α=，并且P（–1，m）是α终边上一点，那么tanα的值等于A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A 【解析】∵4sin5α=，并且P （–1，m ）是α45=，∴m =43，那么tan α=1m-= –m =–43，故选A ． 11．已知sin α<0，且tan α>0，则α的终边所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵sin α<0，∴α的终边在第三、第四象限或在y 轴负半轴上，∵tan α>0，∴α的终边在第一或第三象限，取交集可得，α的终边所在的象限是第三象限角．故选C ． 12．若角α终边经过点P （sin2π2πcos 33，），则sin α=A ．12BC ．12-D ． 【答案】C【解析】∵角α终边经过点P （sin 2π2πcos 33，），即点P ，–12），∴x ，y =–12，r =|OP |=1，则sin α=y r=y =–12，故选C ．13．已知角α的终边过点12P ⎛ ⎝⎭，，则sin α=A ．12B C D ． 【答案】C【解析】由题意可得，x =12，y ，r =|OP |=1，∴sin α=y r，故选C ．14．已知角α的终点经过点（–3，4），则–cos α=A ．35B ．–35C ．45D ．–45【答案】A【解析】∵角α的终点经过点（–3，4），∴x =–3，y =4，r =|OP |=5，则–cos α=–35x r =，故选A ． 二、填空题15．若角α的终边与单位圆交于P （–35，45），则sin α=45；cos α=___________；tan α=___________．【答案】45；35-；43- 【解析】∵角α的终边与单位圆交于P （–35，45），|OP |=223455⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1，∴由任意角的三角函数的定义可知：sin α=44515=，同理可得cos α=35-；tan α=445335=--；故答案为：45；35-；43-．16．已知23cos 4a x a-=-，x 是第二、三象限角，则a 的取值范围是__________．17．已知角α的终边经过点P （–2，4），则sin α–cos α的值等于__________．35【解析】∵角α的终边经过点P （–2，4），∴x =–2，y =4，r =|OP 5，∴sin α=25y r =，cos α=xr= 5，则sin α–cos α3535． 18．适合条件|sin α|=–sin α的角α是__________．【答案】[2k π–π，2k π]，k ∈Z【解析】∵|sin α|=–sin α，∴–sin α≥0，∴sin α≤0，由正弦曲线可以得到α∈[2k π–π，2k π]，k ∈Z ，故答案为：[2k π–π，2k π]，k ∈Z ．19．若角α的终边经过点（–1，–2），则tan α=___________．【答案】2【解析】∵角α的终边经过点（–1，–2），∴由三角函数定义得tan α=21--=2．故答案为：2． 20．已知角θ的终边经过点P （x ，2），且1cos 3θ=，则x =___________．2 【解析】∵角θ的终边经过点P （x ，2），且21cos 34x θ==+，解得x 22．21．若sinθ<0，cosθ>0，则θ在第___________象限．【答案】四【解析】由sinθ<0，可知θ为第三、第四象限角或终边在y轴负半轴上的角．由cosθ<0，可知θ为第一、第四象限角或终边在x轴正半轴上的角．取交集可得，θ在第四象限．故答案为：四．三、解答题22．已知点P（3m，–2m）（m<0）在角α的终边上，求sinα，cosα，tanα．【解析】因为点P（3m，–2m）（m<0）在角α的终边上，所以x=3m，y=–2m，r=–13m，sinα=21313yr==，cosα=31313xr=-=-，tanα=32yx=-．23．确定下列各式的符号：（1）sin 103°·cos 220°；（2）cos 6°·tan 6.24．已知角α的终边在直线y=2x上，分别求出sinα，cosα及tanα的值．【解析】当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上任意取一点P（1，2），则x=1，y=2，r=|OP5，∴sinα=255yr==cosα=55xr=，tanα=yx=2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上任意取一点P（–1，–2），则x=–1，y=–2，r=|OP|=5，∴sinα=yr=5=25，cosα=xr=5=5，tanα=yx=2．25．已知角α的终边上一点P （m ）（m ≠0），且sin α=4，求cos α，tan α的值．【解析】设P （x ，y ）．由题设知x=y=m ，所以r 2=|OP|2=（2+m 2（O 为原点），，所以sin α=mr =4，所以=，3+m 2=8，解得当r=，x=所以cos =，tan当m=r=，x=y=所以cos =，tan26．已知角α终边上一点P （m ，1），cos α=–13．（1）求实数m 的值； （2）求tan α的值．【解析】（1）角α终边上一点P （m ，1），∴x =m ，y =1，r =|OP∴cos α=–13，解得m =．（2）由（1）可知tan α=1m。
任意角的三角函数练习题及答案详解
任意角的三角函数练习题及答案详解任意角的三角函数一、选择题1.以下四个命题中，正确的是()A.在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等B.｛α｜α=kπ，k∈Z｝≠｛β｜β=-kπ，k∈Z｝C.若α是第二象限的角，则sin2α＜0D.第四象限的角可表示为｛α｜2kπ＋π＜α＜2kπ，k∈Z｝2.若角α的终边过点(-3，-2)，则()A.sinαtanα＞0B.cosαtanα＞0C.sinαcosα＞0D.sinαcotα＞03.角α的终边上有一点P(a，a)，a∈R，且a≠0，则sinα的值是()A.√2/2B.-√2/2C.±√2/2D.1/24.α是第二象限角，其终边上一点P（x，5），且cosα＝4x，则sinα的值为（）sinα=√(1-cos^2α)=√(1-(16x^2/25))=√((9-16x^2)/25)5.使XXX(cosθ·tanθ)有意义的角θ是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一、二象限角或终边在y轴上6.设角α是第二象限角，且|cos2α|=－cos2α，则角2α是（）cos2α<0，所以2α是第二或第三象限角，又|cos2α|=－cos2α，所以cos2α=0，即2α=π/2+kπ，k∈Z，所以2α是第二象限角。
7.点P是角α终边上的一点，且tanα=5/12，则b的值是（）tanα=y/x=5/12，所以y=5x/12，又a^2+b^2=x^2+y^2，代入得a^2+b^2=x^2+(25/144)x^2，所以b=√(119/144)x。
8.在△ABC中，若最大的一个角的正弦值是1/2，则△ABC是（）最大角的正弦值为1/2，所以最大角为π/6，所以△ABC 是等边三角形。
9.若α是第四象限角，则sin(α+π)是（）sin(α+π)=sinαcosπ+cosαsinπ=-sinα10.已知sinα=4/5，且α为第二象限角，那么tanα的值等于（）cosα=√(1-sin^2α)=3/5，所以tanα=sinα/cosα=4/3.二、填空题12.已知角α的终边落在直线y＝3x上，则sinα＝3/√10.因为直线y=3x的斜率为3，所以α的终边与x轴夹角为arctan3，所以sinα=sin(arctan3)=3/√10.13.已知P(-3，y)为角α的终边上一点，且sinα＝13/√218，那么y的值等于-9/√218.因为sinα=y/√(x^2+y^2)=13/√218，且终边过点(-3，y)，所以x=-3，代入得y=-9/√218.14.已知锐角α终边上一点P(1，3)，则α的弧度数为arctan(3/1)。
(完整版)三角函数公式练习(答案)
三角函数公式练习题（答案）1．1．（ ）29sin6π=A ．B ．C ．D 12-12【答案】【解析】C试题分析：由题可知，；2165sin )654sin(629sin ==+=ππππ考点：任意角的三角函数2．已知，，（ ）10274(sin =-πα257cos2=α=αsin A ．B ．C ．D ．5454-53-53【答案】D 【解析】试题分析：由①，7sin()sin cos 45πααα-=⇒-= 2277cos2cos sin 2525ααα=⇒-=所以②，由①②可得 ③，()()7cos sin cos sin 25αααα-+=1cos sin 5αα+=-由①③得， ，故选D3sin 5α=考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式3．（ ）cos 690= A ．B ．C ．D ．2121-2323-【答案】C 【解析】试题分析：由，故选C ()()cos 690cos 236030cos 30cos30=⨯-=-==考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值4．的值为π316tanA. B. C. D.33-3333-【答案】 C 【解析】试题分析tanπ=tan（6π﹣）=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．5．若，，202παβπ<<<<-1cos()43πα+=cos()42πβ-=cos()2βα+=A ．B ．C ．D ．3333-93596-【答案】C．【解析】试题分析：因为，，所以，且202παβπ<<<<-1cos()43πα+=4344παππ<+<；又因为，所以322)4sin(=+απcos(42πβ-=02<<-βπ，且．又因为，所以2244πβππ<-<3624sin(=-βπ24()4(2βπαπβα--+=+)24sin()4sin(24cos()4cos()]24()4cos[(2cos(βπαπβπαπβπαπβα-++-+=--+=+．故应选C ．935363223331=⨯+⨯=考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．6．若角α的终边在第二象限且经过点(P -，则等于sin αA ．．12- D ．12【答案】A 【解析】试题分析：由已知，故选A ．23sin 2,3,1==⇒=∴=-=r y r y x α考点：三角函数的概念．7．sin70Cos370- sin830Cos530的值为（ ）A ． B ． C ． D ．21-212323-【答案】A 【解析】试题分析：sin70Cos370- sin830Cos530()()3790sin 790cos 37cos 7sin ---=()()2130sin 377sin 37sin 7cos 37cos 7sin -=-=-=-= 考点：三角恒等变换及诱导公式；8．已知，那么＝（ ）53)4cos(=-x πsin 2x （A ） （B ） （C ） （D ）25182524±257-257【答案】C 【解析】试题分析：sin2x ＝cos （－2x ）＝2cos 2（－x ）－1＝2×2π4π237(1525-=-考点：二倍角公式，三角函数恒等变形9．已知,那么 （ ） 51sin()25πα+=cos α=A ． B ． C ． D ．25-15-1525【答案】C 【解析】试题分析：由=,所以选C ．51sin()25πα+=sin()cos 2a a π+=考点：三角函数诱导公式的应用10．已知，则的值为（ ）31)2sin(=+a πa 2cos A ． B ． C ． D ．3131-9797-【答案】D 【解析】试题分析：由已知得,从而,故选D.31cos =α971921cos 22cos 2-=-=-=αα考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点（）在第三象限，则角在 （ ） P ααcos ,tan αA ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，，故角在第二象限．tan 0,cos 0αα<⎧⎨<⎩α考点：三角函数的符号.12．已知是第四象限角，，则（ ）α125tan -=α=αsin A ． B ． C ． D ．5151-135135-【答案】D 【解析】试题分析：利用切化弦以及求解即可．，1cos sin 22=+αα125cos sin tan -==ααα又是第四象限角，,故，16925sin 1cos sin 222=∴=+αααα135sin ,0sin -=<αα选：D.考点：任意角的三角函数的定义 ωπω2sin ==T x y ．13．化简得到（ ）2cos (4πα--2sin ()4πα-A ．α2sin B ．α2sin - C ．α2cos D ．α2cos -【答案】A 【解析】试题分析：απαπαπαπααππα2sin )22cos()4(2cos 4(sin )4(cos )4(sin )4(cos 2222=-=-=---=---考点：三角函数的诱导公式和倍角公式.14．已知，则3cos ,05ααπ=<<tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.B. C. D.15171-7-【答案】D 【解析】试题分析：由可知，因此，053cos ,0>=<<απα20πα<<54sin =α，由和角公式可知，故答案34tan =α713411344tan tan 14tantan )4tan(-=⨯-+=⋅-+=+παπαπα为D 。
高考数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》真题练习含答案
高考数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》真题练习含答案一、选择题1．若一个扇形的面积是2π，半径是23 ，则这个扇形的圆心角为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．π3答案：D解析：设扇形的圆心角为θ，因为扇形的面积S ＝12 θr 2，所以θ＝2S r 2 ＝4π（23）2 ＝π3 ，故选D.2．三角函数值sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是( ) 参考值：1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172° A ．sin 1>sin 2>sin 3 B ．sin 2>sin 1>sin 3 C ．sin 1>sin 3>sin 2 D ．sin 3>sin 2>sin 1 答案：B解析：因为1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°，所以sin 1≈sin 57°，sin 2≈sin 115°＝sin 65°，sin 3≈sin 172°＝sin 8°，因为y ＝sin x 在0°<x <90°时是增函数，所以sin 8°<sin 57°<sin 65°，即sin 2>sin 1>sin 3，故选B.3．若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角 答案：C解析：由sin θ>0，tan θ<0，知θ为第二象限角，∴2k π＋π2 <θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＋π4<θ2 <k π＋π2 (k ∈Z )，∴θ2为第一或第三象限角． 4．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3 x 上，则角α的取值集合是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z答案：D解析：∵y ＝－3 x 的倾斜角为23π，∴终边在直线y ＝－3 x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z .5．一个扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：设扇形的圆心角为θ，半径为R ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧θR ＝6，12θR 2＝6，得θ＝3．6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫35，－45 ，则cos α·tan α的值是( )A.－45 B ．45C ．－35D ．35答案：A解析：由三角函数的定义知cos α＝35 ，tan α＝－4535＝－43 ，∴cos αtan α＝35 ×⎝⎛⎭⎫－43 ＝－45. 7．给出下列各函数值：①sin (－1 000°)；②cos (－2 200°)；③tan (－10)；④sin 710πcos πtan 179π；其中符号为负的有( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案：C解析：∵－1 000°＝－3×360°＋80°，为第一象限角， ∴sin (－1 000°)>0；又－2 200°＝－7×360°＋320°，为第四象限角， ∴cos (－2 200°)>0；∵－10＝－4π＋(4π－10)，为第二象限角， ∴tan (－10)<0；∵sin 710 π>0，cos π＝－1，179 π＝2π－π9，为第四象限角， ∴tan 179 π<0，∴sin 710πcos πtan 179π>0.8．已知角θ的终边经过点P (x ，3)(x <0)且cos θ＝1010x ，则x ＝( ) A ．－1 B ．－13C ．－3D ．－223答案：A 解析：∵r ＝x 2＋9 ，cos θ＝xx 2＋9 ＝1010 x ，又x <0，∴x ＝－1.9．(多选)下列结论中正确的是( )A ．若0<α<π2，则sin α<tan αB ．若α是第二象限角，则α2为第一象限角或第三象限角C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 答案：ABD解析：若0<α<π2 ，则sin α<tan α＝sin αcos α，故A 正确；若α是第二象限角，即α∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋π ，k ∈Z ，则α2 ∈⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2 ，k ∈Z ，所以α2为第一象限或第三象限角，故B 正确；若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝4k 9k 2＋16k 2＝4k|5k |，不一定等于45 ，故C 错误；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，圆心角的大小为22＝1弧度，故D 正确．故选ABD.二、填空题10．已知扇形的圆心角为π6 ，面积为π3，则扇形的弧长等于________．答案：π3解析：设扇形所在圆的半径为r ，则弧长l ＝π6 r ，又S 扇＝12 rl ＝π12 r 2＝π3，得r ＝2，∴弧长l ＝π6 ×2＝π3.11．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π ，则sin α＝________．答案：－45解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π ，∴－1<cos θ<0，∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ ＝－5cos θ，故sin α＝－45.12．已知角α的终边经过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m ＝________.答案：12解析：由题可知P (－8m ，－3)，∴cos α＝－8m64m 2＋9 ＝－45 ，得m ＝±12，又cos α＝－45 <0，∴－8m <0，∴m ＝12 .。
专题6.2 任意角的三角函数(专题训练卷)(解析版)
专题6.2任意角的三角函数（专题训练卷）一、单选题A B ．12C ．12-D ． 【答案】D 【解析】7cos66cos ππ=-=, 故选DA ．sin αB ．cos αC ．sin α-D ．tan α【答案】D 【解析】sin()sin tan()tan cos()cos πααπααπαα+-+===+-，故选：D ． A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】B 【解析】 由51sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得1cos 5α=-.故选B ．A ．34B ．43C ．43±D ．34±【答案】D【解析】()cos c s 35o παα-=--=，∴3cos 5α=，4sin 5α==±，∴3sin 3cos 32tan 32sin 4cos 2παπααπαα⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-===± ⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭．故选：D ．A ．sin()sin παα+=-B ．cos()cos ααπ-=-C ．cos()sin 2παα+=-D ．tan()tan απα--=【答案】D 【解析】 根据诱导公式公式二，有sin()sin παα+=- 公式四，有cos()cos ααπ-=-公式六，有cos()sin 2παα+=-公式二、三，有tan()tan()tan αππαα--=-+=- 故选：D A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】 由已知3sin cos 3tan 133145cos sin 5tan 53αααααα--⨯-===---．故选：B ．A ．35B ．35C ．45-D ．15【答案】B 【解析】由诱导公式可得：()sin πα- sin α= 45=，∴3cos 5α=±， 由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得 3cos 5α=-.本题选择B 选项. A ．3- B ．3C ．13-D ．13【答案】D 【解析】∵()()sin π2cos 3π0θθ-++-=， ∴sin 2cos θθ=-，sin cos 2cos cos 1sin cos 2cos cos 3θθθθθθ+-+==---．故选D ：．A ．10B C ．10-D ．10-【答案】D 【解析】3sin cos 0αα+=，3sin cos αα∴=-，22sin cos 1αα+=，22sin 9sin 1αα∴+=，21sin 10α=，29cos 10α=，已知α为第二象限角，cos 0α<，cos 10α∴=-，即sin cos 2παα⎛⎫+==⎪⎝⎭A B C ．5-D ． 【答案】A 【解析】角α的终边过点()1,2P ，则cosx r α===则sin cos 25παα⎛⎫+==⎪⎝⎭， 故选：AA ．BCD ．【答案】A 【解析】 由21cossin 4αα-=可得()241sin 4sin 10αα---=，即24sin 4sin 30αα+-=，解得1sin 2α=或3sin 2α=-（舍）.,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴56πα=，∴5tan tan 63πα==-. 故选：A. 二、多选题A ．90αβ+=B ．180αβ+=C ．()36090k k Z αβ︒︒+=⋅+∈D ．()360k k Z αβ︒+=⋅∈E.()()21180k k Z αβ+=+⋅∈ 【答案】BE假设α、β为0180内的角，如图所示，因为α、β的终边关于y 轴对称，所以180αβ︒+=，所以B 满足条件；结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k αβ+=⋅+=+⋅∈，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件． 故选：BE.A ．tan(1)tan1π+=B ．()sin()cos tan 360ααα︒-=- C ．cos()tan()1sin(2)παπαπα---=-D ．若,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则312sin()sin sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭【答案】ABD 【解析】由诱导公式易知A 正确；B 正确，()sin()sin cos tan tan 360ααααα︒--==--； C 错误，cos()tan()sin(2)παπαπα----(cos )(tan )1sin ααα--==--；=原式|sin cos |θθ==- ∵,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴sin 0,cos 0θθ><， ∴sin θcos θ0，sin cos θθ=-. 故选：ABD.A ．()tan π1tan1+=B ．()()sin cos tan 360ααα-=-C ．()()sin πtan cos πααα-=+D ．()()()cos πtan π1sin 2πααα---=-【答案】AB 【解析】利用诱导公式，及sin tan cos ααα=A 选项：tan(1)tan1π+=，故A 正确；B 选项：sin()sin sin cos sin tan(360)tan cos o αααααααα--===--，故B 正确；C 选项：sin()sin tan cos()cos παααπαα-==-+-，故C 不正确；D 选项：sin cos cos()tan()cos (tan )cos 1sin(2)sin sin ααπαπααααπααα⋅----⋅-==-=---，故D 不正确故选：AB A ．,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=【答案】ABD 【解析】1sin cos 5θθ+=①()221sin cos 5θθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭即221sin 2sin cos cos 25θθθθ++=242sin cos 25θθ∴=-(0,)θπ∈sin 0θ∴>，cos 0θ<,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()249sin cos 12sin cos 25θθθθ∴-=-= 7sin cos 5θθ∴-=②①加②得4sin 5θ=①减②得3cos 5θ=-4sin 45tan 3cos 35θθθ∴===--综上可得，正确的有ABD 故选：ABD 三、填空题 【答案】253π【解析】因为扇形的圆心角为23π，半径为5，所以扇形的弧长210533l ππ=⨯=，所以面积11102552233S lrππ==⨯⨯=.故答案为：253π.【答案】4-【解析】依题意31cos23πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，即11sin,sin33αα=-=-，由于,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin0α<，所以,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以cos3α==，所以1sintancos43ααα-===-.故答案为：4-【答案】4 5【解析】∵3 cos()cos5πθθ+=-=-,∴3 cos5θ=，∵sin cos0θθ<,∴4 sin5θ==-,∴4 sin(7)=sin()sin()=sin5θπθππθθ--=---=.故答案为：4 5 .四、双空题【答案】45-43-【解析】因为()3cos 25θπθπ=-<<， 所以32πθπ<<， 所以sin 0θ<，所以4sin 5θ==-. ()sin 4tan tan cos 3θπθθθ-=-=-=-. 故答案为：45-；43-.【答案】3 310【解析】将sin cos sin cos x x x x +-=2左端分子分母同除以cos x ，得tan 12tan 1x x +=-，解得tan 3x =，2222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 13110x x x x x x x x ====+++. 故答案为：3；310【答案】38- 83- 【解析】因为1sin cos 2αα+=，所以112sin cos 4αα+=，所以sin cos αα⋅=38-，22sin cos sin cos 18tan cot cos sin sin cos sin cos 3αααααααααααα++=+===-.故答案为：38-；83- 【答案】1225 43- 【解析】1sin cos 5θθ+=，21(sin cos )12sin cos 25θθθθ∴+=+=，即12sin cos 25θθ=-． ()12sin cos sin cos 25θπθθθ∴-=-=；249(sin cos )12sin cos 25θθθθ∴-=-=，()0,θπ∈，sin 0θ∴>，cos 0θ<，即sin cos 0θθ->，7sin cos 5θθ∴-=． 联立1575sin cos sin cos θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 5θ=，3cos 5θ=-．4tan 3θ∴=-．故答案为1225；43-．五、解答题（1）求tan θ的值； （2）求2sin cos sin 2cos θθθθ-+的值.【答案】（1）34；（2）211.【解析】（1）02πθ<<，4cos 5θ∴===，因此，sin 353tan cos 544θθθ==⋅=； （2）原式2sin cos 31212tan 1142cos cos 42sin 2cos 311tan 2211112cos cos 44θθθθθθθθθθ-⨯--=====⨯=+++. （1）sin 3cos sin cos αααα-+；（2）2sin sin cos 2ααα++.【答案】（1）53-；（2）135． 【解析】 由tan 1tan 1αα=--，解得1tan 2α=． （1）sin 3cos sin cos αααα-+13tan 3521tan 1312αα--===-++； （2）2sin sin cos 2ααα++22222sin sin cos 2(sin cos )sin cos ααααααα+++=+ 2222223sin sin cos 2cos 3tan tan 2sin cos tan 1ααααααααα++++==++22113()2132215()12⨯++==+．（1）化简()f α；（2）已知tan 3α=，求()f α的值.【答案】（1）cos 3sin ()2sin cos f ααααα+=-+；（2）-2. 【解析】 （1)sin()3sin()cos 3sin 2()2sin cos 2cos()cos()2f παπααααπαααπα++--+==-++--; （2)由tan 3α=，可得cos 3sin 13tan 10()22sin cos 12tan 5f ααααααα++====--+--. （1）()()()sin 2cos 23tan 2cos sin 2ππααππαπαα⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭； （2【答案】（1）tan α；（2）1-【解析】（1）原式＝()()()()()sin sin tan cos cos ααααα-⋅-⋅-⋅- tan α= （2cos10sin10sin10cos10o o o o-=- 1=-从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：（1）求cos ,tan αα的值； （2）化简求值：3sin()cos()sin 2cos(2020)tan(2020)πααπαπαπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1625【解析】 （1）因为3sin 5α=-，所以α为第三象限或第四象限角； 若选③，4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==； 若选④，4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα====-； （2）原式sin cos (cos )cos tan()ααααα-=-sin cos tan ααα-=-sin cos sin cos αααα=2cos α=2315⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1625=. 【答案】详见解析【解析】()22sin sin cos 2sin 2sin cos sin 1tan 1cos ααααααααα++=++ ()2sin cos sin cos sin cos αααααα+=+2sin cos k αα==，()222sin cos sin cos 2sin cos αααααα-=+-12sin cos αα=- 1k =-,当04πα<<时，sin cos αα<，此时sin cos αα-=，当42ππα≤<时，sin cos αα≥，此时sin cos αα-=。
高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数．你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？改变终边上的点的位置，这个比值会改变吗？把角扩充为任意角，结论成立吗？一、任意角的三角函数1．单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在平面直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P (x ，y )，则r ＝|OP |＝1.那么：(1)y 叫做________，记作sin α，即y ＝sin α； (2)x 叫做________，记作cos α，即x ＝cos α； (3)y x 叫做________，记作tan α，即y x＝tan α(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．答案：1.单位圆2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切 三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝y r，其中r >0，于是sin α的符号与y 的符号相同，即：当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________象限角时，sin α<0.cos α＝x r，其中r >0，于是cos α的符号与x 的符号相同，即：当α是第__________象限角时，cos α>0；当α是第________象限角时，cos α<0.tan α＝y x，当x 与y 同号时，它们的比值为正，当x 与y 异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tan α>0；当α是第 ________象限角时，tan α<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin α＝yr ：上正下负横为0；cos α＝x r ：左负右正纵为0；tan α＝y x：交叉正负．” 形象的识记口诀2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．” 答案：1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z. 答案：相等四、三角函数线1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、 ________的．在平面直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：设角α的终边与单位圆的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP ，OM 就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP ＝y ＝sin α，OM ＝x ＝cos α.过点A (1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ，则有向线段AT 就是角α的正切线，即AT ＝tan α.3．填写下表中三角函数的定义域、值域：函数定义域值域 y ＝sin α y ＝cos α y ＝tan α答案：1.有长度 有正负 2.方向 正负 长度 大小 3.函 数定 义 域值 域 y ＝sin α R [－1，1] y ＝cos α R[－1，1]y ＝tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈ZR任意角的三角函数的定义1．正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．三角函数值是比值，是一个实数．这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而是由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也是唯一确定的．因此，三角函数是角的函数．(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点P 在终边上的位置无关． (2)三角函数值是一个比值，没有单位．三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式记，也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三角函数线对于三角函数线，须明确以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致，三种有向线段的长度与三种三角函数值相同．三角函数的定义域1．由三角函数的定义式可以知道，无论角α终边落在哪里，sin α，cos α都有唯一的值与之对应，但对正切则要求α终边不能落在y轴上，否则正切将无意义．2．角和实数建立了一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，所以就可以借助单位圆，利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数．基础巩固1．sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°＝________．答案：42．若α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－3 23．若角α的终边过点P (3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限角)，则sin α＝________．答案：454．cos θ·tan θ＜0，则角θ是________象限角． 答案：第三或第四5．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 答案：二6．角α的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么α(0＜α＜2π)的值为________．答案：π4或54π7．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 答案：sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1能力升级8．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z)9．已知角α的终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝－255，cos α<0，则k ＝________．解析：∵sin α＝－255，cos α<0，∴α的终边在第三象限．令角α的终边上一点的坐标为(a ，ka )，a <0，则r ＝－1＋k 2·a ，sin α＝－ka 1＋k 2a＝－255，∴k ＝2. 答案：210．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值X 围是________． 解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π11．解不等式2＋2cos x ≥0. 解析：2＋2cos x ≥0⇔cos x ≥－22，利用单位圆，借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋34π(k ∈Z)．12．若π4＜θ＜π2，则下列不等式中成立的是( )A ．sin θ＞cos θ＞tan θB ．cos θ＞tan θ＞sin θC ．sin θ＞tan θ＞cos θD ．tan θ＞sin θ＞cos θ解析：作出角θ的三角函数线(如图)，数形结合得AT ＞MP ＞OM ，即tan θ>sin θ>cosθ.答案：D13．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域是( C )A ．{－1，0，1，3}B ．{－1，0，3}C ．{－1，3}D ．{－1，1}14．若0＜α＜π2，证明：(1)sin α＋cos α＞1； (2)sin α＜α＜tan α.证明：(1)在如图所示单位圆中， ∵0＜α＜π2，|OP |＝1，∴sin α＝MP ，cos α＝OM . 又在△OPM 中，有 |MP |＋|OM |＞|OP |＝1. ∴sin α＋cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设△OAP 的面积为S △OAP ，扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ，△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， ∴12OA ·MP ＜12AP ︵·OA ＜12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ，即sin α＜α＜tan α.15．已知f (n )＝cosn π5(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值．解析：角n5π(n ＝1，2，…，10)表示10个不同终边的角，这10条终边分成五组，每组互为反向延长线．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，f (11)＋f (12)＋…＋f (20)＝0，…f (2 001)＋f (2 002)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5，cos 2π5与cos 3π5互为相反数，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝0.。
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任意角的三角函数
一、选择题
1．以下四个命题中，正确的是( )
A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等
B ．｛α｜α＝k π＋6
π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6
π
，k ∈Z ｝
C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0
D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋2
3π＜α＜2k π，k ∈Z ｝
2．若角α的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin α tan α＞0 B ．cos α tan α＞0 C ．sin α cos α＞0
D ．sin α cot α＞0 3．角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ．
2
2 B ．-
2
2 C ．±
2
2 D ．1
4.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42
x ，则sin α的值为
（ ）
A ．410
B ．46
C ．42
D ．－410
5.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第一或第二象限角
D ．第一、二象限角或终边在y 轴上
6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α
是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角 7．点P
是角α终边上的一点，且
，则b 的值是（ ）
A 3
B －３
C ±3
D 5 8.在△ABC 中，若最大的一个角的正弦值是
，则△ABC 是（ ）
A 锐角三角形
B 钝角三角形
C 直角三角形
D 等边三角形 9．若α是第四象限角，则
是（ ）
A 第二象限角
B 第三象限角
C 第一或第三象限角
D 第二或第四象限角
10．已知sin α=4
5
，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ）
(A)3
4 (B)43
- (C)4
3
(D)4
3-
11.若θ是第三象限角，且02
cos <θ，则2
θ是
（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限
二、填空题
12．已知角α的终边落在直线y ＝3x 上，则sin α＝________．
13．已知P (-3，y )为角α的终边上一点，且sin α＝
13
13
，那么y 的值等于________． 14．已知锐角α终边上一点P (1，3)，则α的弧度数为________． 15．（1）sin
49πtan 3
7π
_________ 16.是角θ终边上的一点，且。
17． 函数 的图象过点
，则当
时，x 的取
值范围是____________________。
18． 与
终边相同的最小正角是_______________；与－75°终边相同的
角的集合是___________________________。
19． －15°=_____________弧度；
=____________度。
20． 时钟的分针走了1小时10分，它所转过的角度是_____________度，是__________弧度。
21.若
2cos sin 2cos sin =-+α
αα
α，则=αtan ______________
三、解答题
1．已知角α的终边过P (-3，4)，求角α的sin α、cos α、tan α的值．
2．已知角α的终边经过点P (x ，-3)(x >0)．且cos α＝2
x ，求sin α、cos α、
tan α的值．
3． 一弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长和扇形的面积
的值求已知ααααcos ,sin ,cos 2sin .4-=
x
x
x x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 21:52
2+-=--求证
任意角的三角函数答案
一，1.C 2.C3.A 4.A 5。
C 6.C7.A8.B 9.D10.B11.B
二. 12.10103±
13.21 14.3π 15.26 16.
17.
18. 19.
20.
21.1 三，1.=
a sin 54 53cos -=a ，34tan -=a ， 43cot -=a ， 35sec -=a ，45csc =a 2. 3tan ,2
1
cos ,23sin -==-
=βββ。