上海交通大学版大学物理学习题答案之16电磁感应习题思考题

16-10. 一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别 为 R1 和 R2 ，导体圆柱的磁导率为 µ1 ，筒与圆柱之间充以磁导率为 µ 2 的磁介 质。电流 I 可由中心圆柱流出，由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。 解： B1 =
μ1 Ir 2πR12 μ2 I 2πr
r ≺ R1
ε = −N
N µ I 0ω l d + a dΦ =− ln cos ωt dt 2π d
16-2. 如 图 所 示 ， 长 直 导 线 中 通 有 电 流 I = 5.0 A ， 在 与 其 相 距 d = 0.5cm 处 放 有 一 矩 形 线 圈 ， 共 1000 匝 ， 设 线 圈 长 l = 4.0cm ， 宽 a = 2.0cm 。不计线圈自感，若线圈以速度 v = 3.0cm/s 沿垂直于长导线的 方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？ 解： ε ab = NB2 lv
120� ，几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度 v 平行于长
直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解：连接 AO 、 OB ，圆弧形导线与 AO 、 OB 形成闭合回 路，闭合回路的电动势为 0，所以圆弧形导线电动势与
AOB 直导线的电动势相等。
ε AO = ∫ v × B • dl = − ∫ ε OB = ∫ v × B • dl = − ∫ ε AB = ε AO + ε OB = −
思考题 16-1. 图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面积 为 A ，匝数为 N ，电阻为 R ，其法向 n 与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时， 冲击电流计测得感应电量为 q ，试求小线圈所在位置的磁感应强度。 解： q =
�
∫ Idt = R ∫ εdt =
=
µ1I 2 µ2 I 2 R2 + ln 16π 4π R1
Wm = LI 2 / 2
261
单位长度自感 L =
µ1 µ2 R2 + ln 8π 2π R1
16-11. 一电感为 2.0H ，电阻为 10Ω 的线圈突然接到电动势 ε = 100V ，内阻不计的电 源上，在接通 0.1s 时，求： （1）磁场总储存能量的增加率； （2）线圈中产生焦耳热的速率； （3）电池组放出能量的速率。 解： （1） I (t ) =
R
16-7. 将金属薄片弯成如图所示回路，两端为半径为 a 的圆柱面，中间是边长为 l ，间 隔为 d 的两正方形平面，且 l >> a ， a >> d .（1）试求该回 路的自感系数； （2）若沿圆柱面的轴向加变化磁场
B = B0 + kt ，试求回路中的电流 I (t ) .（回路中的电阻很小，
I max
dB > 0 的磁场，一直 dt 导线弯成等腰梯形的闭合回路 ABCDA ，总电阻为 R ，上底为 a ，下底为 2a ，求： （1） AD 段、 BC 段和闭合回路中的感应电动势； （2） B 、 C 两
16-5. 如图所示，半径为 a 的长直螺线管中，有 点间的电势差 U B − U C 。 解：
262
答： t =
2πB 2 3 r0 3RF
16-3. 在磁感应强度为 B 的均匀磁场内，有一面积为 S 的矩形线框，线框回路的电阻为 R （忽略自感） ，线框绕其对称轴以匀角速度 ω 旋转（如图所示） 。 （1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？ （2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？
ε dc = NB1lv
ε = ε dc − ε ab
= NB1lv − NB2lv =
µ0 IN 1 µ0 IalvN 1 ( − )lv = = 1.92 × 10−4 2π d d + a 2π d (d + a )
16-3. 电 流 为 I 的 无 限 长 直 导 线 旁 有 一 弧 形 导 线 ， 圆 心 角 为
16-4. 一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过 程中两极板间的位移电流为多大 ?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两 极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样? 答： I d = C
dU ， dt
16-5. 图 a 为一量值随时间减小，方向垂直纸面向内的变化电场， 均匀分布在圆柱形区域内.试在图 b 中画出： （1）位移电流的大致分布和方向； （2）磁场的大致分布和方向。 答： 略 16-6. 试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式： （1）电力线起始于正电荷终止于负电荷； （2）磁力线无头无尾； （3）变化的电场伴有磁场； （4）变化的磁场伴有电场。 解： （1） （2）
答： Φ = BS cos φ = BS cos ωt
ε 1 = BSω sin ωt R R 1 p m = IS = BS 2 ω sin ωt R 1 M = Bp m sin ωt = B 2 S 2 ω sin 2 ωt R 2π 1 1 W = ∫ Mdθ = ∫ B 2 S 2 ω sin 2 θdθ = B 2 S 2 ωπ 0 R R I=
dΦ dt r dB E1 = − ⋅ 2 dt
∫ E • dl = −
r≺a r≻a
E2 = −
a 2 dB ⋅ 2r dt
ε AD = ∫ E 1 • dl = ∫ E cos θdl
=∫ =
a 2 a − 2
2 a 2 r dB a − ( 2 ) dl 2 dt r
3 2 dB ⋅a 4 dt
同理 ε BC =
∫ E 2 • dl =
πa 2 dB 6 dt ε = ε BC − ε AD = ( πa 2 3a 2 dB 逆时针方向 − ) 6 4 dt
整个闭合回路的电动势
U B − U C = −(
π + 3 2 dB )a 10 dt
16-6. 圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为 R ，高为 h ， 电阻率为 ρ ， 如图所示。 若匀强磁场以
dB = k (k > 0, k为恒量) 的规律变化， dt
259
求圆柱体内涡电流的热功率. 解：在圆柱体内任取一个半径为 r ，厚度为 dr ，高为 h 的小圆柱通壁
dΦ dB = πr 2 dt dt 2πr 电阻 R = ρ hdr ε= ε 2 h dB dP = = ⋅ rdr R ρ dt P=∫ πh dB 2 3 πhk 2 R 4 ( ) ⋅ r dr = 0 2 ρ dt 8ρ
B= Rq NA
1
ΔΦ NBA = R R
16-2. 图中 abcda 电路有电阻 R ，其中 bc 段的一部分绕成圆形，圆形区域有一与回路 平面垂直的均匀磁场 B ，在圆形导线的一边施加恒力 F ，由于 a 端 固定，假定该圆开始的半径为 r0 ，并维持以圆形的方式收缩，设导 线非常柔软，忽略导线的质量，问需要多长的时间圆形部分完全闭 合？
当 ωt =
π 时 2
p m = iπa 2 =
2 2 I ωπ 2 a 4 B 2 ωπ 2 a 4 μ 0 M = Bp m = = R 4 Rb 2
W = ∫ iπa 2 Bdθ =
B 2 ωπa 2 R
∫
π 2 0
sin 2 θdθ = −
2 2 I ωπ 3 a 4 B 2 ωπ 2 a 4 μ0 = R 16 Rb 2
可忽略不计） 解： （1） B = μ 0 nI = μ 0
Hale Waihona Puke Baidu
I l
W = wV = 2 ⋅
=
1 B2 1 B2 2 ⋅ π a 2l + ⋅l d 2 µ0 2 µ0
µ0 I 2 2 1 π a + µ0 I 2 d l 2 1 2 根据 W = LI 2 2µ π a 2 L= 0 + µ0 d l dI dΦ （2） ε = L = dΦ = S ⋅ dB dt dt S 2π a 2 + ld lkt I = ∫ kdt = kt = − L 2µ0π a 2 µ0 + µ0 d l
Φ = NBS = NμnIS
260
Φ = NμnS = 2 × 200 × 4π × 10 −7 × 40 × 10 2 × 3 × 10 − 4 = 6.03 × 10 − 4 H I dI 5−0 （2） ε = M = 6.03 × 10 − 4 × = 3.02 × 10 − 2 V dt 0.1 16-9. 如图，半径分别为 b 和 a 的两圆形线圈（ b >> a ） ，在 t = 0 时共面放置，大圆形线 圈通有稳恒电流 I，小圆形线圈以角速度 ω 绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为 R ， M =
2R
R
μ 0 Iv μ Iv dx = − 0 ln 2 2πx 2π
5 R 2 2R
μ 0 Iv μ Iv 5 dx = − 0 ln 2πx 2π 4
μ 0 Iv 5 ln 2π 2
16-4. 电阻为 R 的闭合线圈折成半径分别为 a 和 2a 的两个圆，如图所示，
258
将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按 B = B0 sin ω t 的规律变化。已知
257
习题 16 16-1. 直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为µ 的介质中， 已知： I = I 0 sin ω t ，其中 I 0、ω 是大于零的常量.求：与其共面的 N 匝矩 形回路中的感应电动势. 解： B =
µI 2π x
d +a d
Φ=∫
µIl d + a µI ⋅ldx = ln 2π x 2π d
B2 =
R1 ≺ r ≺ R2
Wm = ∫
=
B2 B2 B2 dV = ∫ 1 dV + ∫ 2 dV 2µ 2 µ1 2µ2
⎤ ⎡ 1 1 ⎡ R1 µ1 Ir 2 ( ) ⋅ 2π rdr ⎥ + ⎢ 2 ∫ 0 2 µ1 ⎢ 2 π R ⎣ 1 ⎦ ⎣ 2µ2
∫
R2
R1
(
µ2 I 2 ⎤ ) ⋅ 2π rdr ⎥ 2π r ⎦
∫ D • dS = ∑ q
S
i
∫ B • dS = 0
S
263
（3） H • dl =
∫ ∫
S
∑I + ∫
c
∂D • dS S ∂t
− t ε (1 − e L ) = 3.9 A R
R
W (t ) =
1 2 LI 2
R R R
− t − t − t dW (t ) dI ε2 L = LI ⋅ = εIe = (1 − e L )e L = 238 J s dt dt R
（2） P = I R = 3.9 × 10 = 152 J s （3）电池组放出能量的速率 P = Iε = 390 J s 16-12. 在一对巨大的圆形极板（电容 C = 1.0 × 10
a = 10cm ， B0 = 2 × 10 −2 T ， ω = 50rad/s ， R = 10Ω ，求线圈中感应电流的最大值。 I= ε 1 dΦ 1 dB 3πa 2 B0ω cos ω t = ⋅ = ⋅ [−πa 2 + π (2a ) 2 ] ⋅ = R R dt R dt R
3πa 2 B0ω 3π × 0.12 × 2 × 10 −2 × 50 = = = 9.42 × 10 −3 A R 10
16-8. 一 螺 绕 环 ， 每 厘 米 绕 40 匝 ， 铁 心 截 面 积 3.0cm ， 磁 导 率
2
µ = 200µ 0 ，绕组中通有电流 5.0mA ，环上绕有二匝次级线圈，求： （1）
两绕组间的互感系数； （2） 若初级绕组中的电流在 0.10s 内由 5.0A 降低到 0， 次级绕组中的互感电动势。 解： （1） B = μnI
求： （1）当小线圈转过 90 时，小线圈所受的磁力矩的大小； （2）从初始时刻转到该位 置的过程中，磁力矩所做功的大小。 解： B =
�
μ0 I 2b
任一时间穿过小线圈的磁通量 Φ = Bπa cos ωt
2
小线圈的感应电流 i =
ε 1 dΦ Bωπa 2 = = sin ωt R R dt R Bωπ 2 a 4 R
5 −12
2
2
F ）上，加上频率为 50Hz ，峰值
为 1.74 × 10 V 的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。 解： I D = C
dU = −ωCU m sin ωt dt
ω = 2πf
I Dm = ωCU m = 2π fCU m = 2π × 50 ×1.0 ×10−12 ×1.74 ×105 = 5.46 ×10−5 A