种群竞争模型
种群竞争模型研究
物种混居,必然会出现以食物、空间等资源为核心的种间关系。从理论上讲, 任何物种对其他物种的影响只可能有三种形式,即有利、有害、或无利无害的中 间态。因此,全部的种间关系只是这三种作用形式的可能组合。最常见的关系为 种间竞争、捕食和寄生。当环境中同时存在着两个种群,且两个种群存在着竞争
时可建立方程进行讨论,得到两种不同种群之间竞争的结果。研究种群竞争的关 系有很多应用，现举例如下：
假如人口数真能保持每 34.6 年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式 增长（如图 1）
例如，到 2515 年，人口约达 2×1014 人，即使海洋全部变成陆地，每人也 只有 9.3 平方英尺的活动范围，而到 2665 年，人口约达 4×1015 人，只好一个 人站在另一人的肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。
r
人口统计数据与 Malthus 模型计算数据对比：
年
1625
人口(亿) 5
表 2.2.1 世界人 口数量统计数据
1830 1930 1960 1974
10
20
30
40
1987 50
1999 60
年
1908
人口（亿） 3.0
表 2.2.2 中国人口数量统计数据
1933
1953 1964 1982
4.7
关键词：种群 竞争 数学模型 环境条件
1.2 英文摘要 Biological populations have different biomass at different growth
stages, and the changes of biomass over time are restricted by various complex factors. The competition between the biological populations is often reflected in the competition between the limited space resources and other living conditions, and the change of environmental conditions has an effect on the real growth rate of the biological population. In this paper, we give the mathematical model of the competition of biological populations, and then apply it in ecology, and then predict the competition outcome of the biological species. The relationship between the species is important for food and living space. Darwin wrote in the book "natural selection and the origin of the species": "because of the similarities in the habits and qualities especially in terms of structure, so if they are in a state of mutual competition, they are more intense than those of different biological species." In this paper, we give a mathematical model of population competition, and apply it to some aspects of ecology, and then predict the results of biological competition.
第七 种群竞争模型
种群竞争模型一.问题的提出Causs 根据实验分析，得出结论“吃同种食物的两种不同生物是不能长期共存的。
”你如何理解这句话这里不妨将我们讨论的对象想象为生活在同一草原上的羚羊和老鼠。
二.模型假设1.假设种群密度相当。
2.假设种群个体都是健康的。
3.假设没有受自然灾害的影响，只是靠搞自身的竞争力三.符号说明以)(1t x 、)(2t x 表示处于相互竞争关系中甲、乙二种群在时刻t 的数量，1． 资源有限，设其总量为1，)2,1(=i N i 分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；2． 种群数量的增长率)2,1)((=i t xi 与该种群数量)2,1)((=i t x i 成正比，同时也与有闲资源)2,1)((=i t s i 成正比；3． 各种群在对所占据资源的利用上是不充分的，)2,1(=i i σ分别表示甲、乙二种群对对方已占用资源的相对挑剔程度，通俗的讲，是在对方用过的盘子里捡“剩骨头”。
比方，若)1,0(1∈σ时，表示在乙种群看来，甲种群是“奢侈的”，它可以在甲种群用过的盘子里捡到“剩骨头”，若11>σ时，说明乙种群在食物选择上是“过分”挑剔的，或者可理解为，对于乙种群，甲种群在资源利用上对资源有破坏性；换一个说法，)2,1(=i i σ反映了甲、乙二种群适应能力，1σ越小、2σ越大，则甲种群的相对适应能力越强；4． )2,1(=i r i 分别表示甲、乙二种群的固有增长率。
四.模型建立根据模型假设，可得如下数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅-=⋅--=⋅⋅=⋅⋅=22112222111122221111//1//1N x N x s N x N x s s x r x s x r x σσ经化简，得：⎩⎨⎧-⋅-⋅⋅=⋅--⋅⋅=)//1()//1(2211222222111111N x N x x r x N x N x x r x σσ五.模型求解与分析模型方程的解没有解析表达式，我们的兴趣和目的是：当t 充分大时，)(1t x 、)(2t x 的变化趋势怎样？利用平衡点的稳定性，对两种群的变化趋势可作出判断。
用离散型种群竞争模型分析传染病的发展
用离散型种群竞争模型分析传染病的发展【摘要】本文利用离散型种群竞争模型分析传染病的发展。
在分析了研究背景、研究目的和研究意义。
正文部分介绍了传染病传播模型分析和离散型种群竞争模型，并探讨了两者结合应用于传染病发展分析的可能性。
探讨了种群竞争模型对传染病控制的启示，以及在传染病研究中局限性。
结论部分总结了研究成果，展望了未来研究方向，并提出了对传染病控制的建议。
本研究为传染病控制提供了新的模型和分析方法，有助于更好地理解传染病的发展规律和控制策略。
【关键词】传染病、离散型种群竞争模型、传播、控制、分析、发展、启示、局限性、研究总结、未来研究方向、建议1. 引言1.1 研究背景传染病一直是人类面临的重要公共卫生问题，其传播速度和规模往往难以预测和控制。
随着全球化的快速发展和人口流动的增加，传染病的传播范围越来越广，对于防控传染病的重要性也变得日益突出。
传染病的传播涉及到复杂的生态学和人群行为等因素，传统的数学模型往往难以全面描述传染病的传播规律。
离散型种群竞争模型是一种可以较好地描述种群竞争关系和生态系统变化的数学模型。
通过将种群个体划分为离散的单位，可以更好地理解个体之间的相互作用和竞争关系，从而揭示种群演化的规律。
将离散型种群竞争模型应用于传染病的研究中，可以更好地分析传染病在不同种群之间的传播方式和规律，为传染病的控制提供新的思路和方法。
本研究旨在利用离散型种群竞争模型分析传染病的发展，探讨种群竞争模型对传染病控制的启示，同时也对离散型种群竞争模型在传染病研究中的局限性进行探讨，并提出相应的建议和展望未来研究方向。
希望通过本研究可以更好地理解传染病传播的规律，为传染病防控提供科学依据和参考。
1.2 研究目的研究目的是通过离散型种群竞争模型来深入分析传染病的发展机理，探讨不同种群之间的竞争对传播过程的影响，从而为传染病的预防和控制提供科学依据。
通过模型分析，我们旨在揭示传染病在不同种群之间传播的特点和规律，探讨种群竞争对传染病传播的影响机制，为制定有效的防控策略提供理论支持。
实例 动物种群的相互竞争与相互依存的模型
实例动物种群的相互竞争与相互依存的模型实例2 动物种群的相互竞争与相互依存的模型在生物的种群关系中,一种生物以另一种生物为食的现象,称为捕食.一般说来,由于捕食关系,当捕食动物数量增长时,被捕食动物数量就逐渐下降,捕食动物由于食物来源短缺,数量也随之下降,而被捕食动物数量却随之上升.这样周而复始,捕食动物与被捕食动物的数量随时间变化形成周期性的震荡.田鼠及其天敌的田间种群消长动态规律也是如此.实验调查数据表明:无论是田鼠还是其天敌的数量都呈周期性的变化,天鼠与天敌的作用系统随时间序列推移,田鼠密度逐渐增加,其天敌随之增加,但时间上落后一步.由于天敌密度增加,则田鼠密度降低,而田鼠密度的降低,则其天敌密度亦减少,如此往复循环,从而形成一定的周期.试用数学模型来概括这一现象,并总结出其数量变化的近似公式.一问题分析及模型的建立设x(t)和y(t)分别表示t时刻田鼠与其天敌的数量,如果单独生活,田鼠的增长速度正比于当时的数量,即dx=λx dtdy=-μy dt而田鼠的天敌由于没有被捕食对象,其数量减少的速率正比于当时的数量,即现在田鼠与其天敌生活一起,田鼠一部分遭到其天敌的消灭,于是以一定的速率α减少,减少的数量正比于天敌的数量,因此有dx=(λ-αy)x dt类似地,田鼠的天敌有了食物,数量减少的速率μ减少β,减少的量正比于田鼠的数量,因此有dy=-(μ-βx)y dt上述公式,最后两个方程联合起来称为Volterra-Lot方程,这里α,β,λ,μ均为正数,初始条件为x(0)=x0,y(0)=y0现在通过实验调查所得到的数据如表,此数据为每隔两个月田间调查一次,得到的田鼠及其天敌种群数量的记录,数量的单位经过处理.试建立合理的数学模型.表田鼠种群数量记录29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5表田鼠天敌种群数量记录1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.82.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.91.1 1.3 1.62.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3二模型的求解Volterra-Lotok方程的解析解即x,y的显示解难求出,因此公式的参数方程不宜直接用Matlab函数来拟合解,可用如下的方法来求其近似解.Volterra-Lotok可转化为⎧dlnx=(λ-αy)dt ⎧dlny=(-μ+βx)dt⎧在区间[ti-1,ti]上积分,得lnxi-lnxi-1=λ(ti-ti-1)-αS1ilnyi-lnyi-1=-μ(ti-ti-1)+βS2i这里,S1i=⎧titi-1ydt,S2i=⎧xdt, i=1, ,m ti-2ti于是得到方程组⎧A1P1=B1 ⎧ AP=B2⎧22这里⎧t1-t0 t-tA1= 21t-t⎧mm-1-S11⎧⎧t1-t0⎧ -S12⎧ t2-t1A= 2 ⎧ ⎧ t-t-Sim⎧m-1⎧⎧m-S⎧⎧-S22⎧ ⎧⎧-S2m⎧⎧⎧-μ⎧⎧λ⎧ ⎧ P=P1= 2 β⎧⎧ α⎧⎧⎧⎧⎧B1=(lnxyx1y, ,lnm)T B=(ln1, ,lnm)T x0xm-1y0ym-1T-1TA2B2 因此方程组参数的最小二乘解为 T-1T P=(AA)A1B1 P=(A2A2)111由于x(t)和y(t)均为未知,因此S1i,S2用数值积分方法的梯形公式解S1i=⎧⎧titi-1ydt≈ti-ti-1(yi+yi-1) 2 S2=titi-1xdt=ti-ti-1(xi+xi-1) 2这样就可求得参数的近似值.模型参数求解的程序为clear all,clcX=[29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 ...34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 ... 10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5];Y=[1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9 ...1.1 1.3 1.62.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3];N=[X;Y];T=[0:2:60];for i=1:30A(i,1)=T(i+1)-T(i);A(i,[2 3])=((T(i+1)-T(i))/2)*[-(N(1,i+1)+N(1,i)),-(N(2,i+1)+N(2,i))];B(i,[1 2])=[log(N(1,i+1)/N(1,i)),log(N(2,i+1)/N(2,i))];end;A1=A(:,[1 3]);P1=inv((A1'*A1))*A1'*B(:,1)A2=A(:,[1 2]);P2=inv((A2'*A2))*A2'*B(:,2)上述结果代入Volterra-Lotok方程,用MATLAB函数ode45求方程在时间[0,60]的数值解.作图可看到田鼠及其天敌数量的周期震荡.求方程Volterra-Lotok的数值解的程序为定义函数vlok为[vlok.m]function dydt=vlok(T,Y)dydt=[(0.8765-0.5468*Y(2))*Y(1);(-0.1037+0.0010*Y(1))*Y(2)];clear all, clcX=[29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 ...34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 ... 10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5];Y=[1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9 ...1.1 1.3 1.62.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3]; N=[X,Y];T=[0:2:60];[t,Y]=ode45(@vlok,[0:0.5:60],[29.7 1.6]);plot(t,Y(:,1)/100,'k');hold on;plot(t,Y(:,2),'-.k');title('田鼠及其天敌的Volterra-Lotok模型拟合曲线');xlabel('时间');ylabel('数量(只/每百)');gtext('田鼠');gtext('天敌');legend('田鼠','天敌');legend('田鼠','天敌');图田鼠及其天敌的模拟曲线实线和虚线分别为田鼠和天敌的实际值,田鼠的数量为y坐标乘以100.。
种群相互竞争模型
数学实验设计课题：两种群相互竞争模型如下：()1(11)12()2(12)12x y x t r x s n n x y y t r y s n n ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩其中x （t ），y(t)分别是甲乙两种群`的数量，r1，r2为它们的固有增长率，n1，n2为它们的最大容量。
s1的含义是，对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对n2）的消耗量为单位数量甲（相对n1）消耗的s1倍，对于s2也可做相应的解释。
分析：这里用x (t)表示甲种群在时刻t 的数量，即一定区域内的数量。
y(t)表示乙种群在时刻t 的数量。
假设甲种群独立生活时的增长率（固有增长率）为r1，则x (t)/ x=r1，而种群乙的存在会使甲的增长率减小，且甲种群数量的增长也会抑制本身数量的增长，即存在种间竞争。
这里，我们设增长率的一部分减少量和种群乙的数量与最大容纳量的比值成正比，与s1（s1表示最大容纳量乙消耗的供养甲的资源是最大容纳量甲消耗该资源的s1倍）成正比。
另一部分的减少量和种群甲的数量与甲的最大容纳量的比值成正比。
则我们可以得到如下模型：x(t)=r1*x*(1-x/n1-s1*y/n2)同样，我们可以得到乙种群在t时刻的数量表达式：y(t)=r2*y*(1-s2*x/n1-y/n2)如果给定甲、乙种群的初始值，我们就可以知道甲、乙种群数量随时间的演变过程。
对于上述的模型，我们先设定好参数以后，就可以用所学的龙格库塔方法及MATLAB 软件求其数值解；问题一：设r1=r2=1,n1=n1=100,s1=0.5,s2=2, 初值x0=y0=10，计算x(t),y(t)，画出它们的图形及相图(x,y)，说明时间t充分大以后x(t),y(t)的变化趋势（人民今天看到的已经是自然界长期演变的结局）。
编写如下M文件：function xdot=jingzhong(t,x)r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2; xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r 2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x;然后运行以下程序：ts=0:0.1:10;x0=[10,10];[t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0);[t,x]plot(t,x),grid,gtext('\fontsize{12}x(t)'),gtext('\fontsize {12}y(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid, xlabel('x'),ylabel('y')得到10年间甲、乙两种群数量变化的图象为：123456789100102030405060708090100相图为：1020304050607080901000510152025xy结论：当t 充分大时，x 和y 的数量悬殊变大，最终是一方灭绝，一方繁荣。
7种群的相互竞争模型中数值计算与结果分析
7种群的相互竞争模型中数值计算与结果分析在生态系统中，物种之间存在着各种类型的相互关系，其中最为常见的是竞争关系。
而在生态学中，研究相互竞争的模型可以帮助我们理解不同物种之间的相互作用以及生态系统的稳定性。
本文将介绍基于7种群的相互竞争模型，并进行数值计算与结果分析。
1.模型的建立考虑一个由7种群（A、B、C、D、E、F、G）组成的竞争关系网络。
我们可以用以下方程来描述每个种群的变化率：dA/dt = rA(1-(A+αB+βC+γD+εE+ζF+ηG)/K1)（1）dB/dt = rB(1-(B+αA+βC+γD+εE+ζF+ηG)/K2)（2）dC/dt = rC(1-(C+αA+βB+γD+εE+ζF+ηG)/K3)（3）dD/dt = rD(1-(D+αA+βB+γC+εE+ζF+ηG)/K4)（4）dE/dt = rE(1-(E+αA+βB+γC+δD+ζF+ηG)/K5)（5）dF/dt = rF(1-(F+αA+βB+γC+δD+εE+ηG)/K6)（6）dG/dt = rG(1-(G+αA+βB+γC+δD+εE+ζF)/K7)（7）其中，r为生殖率，K为环境容纳量，α、β、γ、δ、ε、ζ和η为不同群体之间的竞争系数。
为了进行模拟计算，我们需要选择合适的参数值和初始条件。
首先，我们将初始种群密度设定为随机数，并将参数值设定为0.1接下来，我们使用数值计算方法（如欧拉法或四阶龙格-库塔法）来求解上述方程。
通过迭代计算，可以得到在不同时间点上每个种群的密度变化。
在得到结果之后，我们可以对数据进行统计和分析，以了解不同种群之间的竞争关系。
常用的分析方法包括计算平均密度、最大和最小密度、竞争强度等。
此外，我们还可以通过绘制种群密度随时间的变化曲线来直观地观察群体之间的竞争过程。
通过曲线的变化趋势，可以分析群体的生长速率、竞争关系的稳定性以及群体的周期性波动等。
最后，我们可以对不同的参数进行敏感性分析，以探讨不同竞争系数和环境容纳量对种群竞争模型的影响。
几类生物竞争模型的解
几类生物竞争模型的解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：生物竞争是生态系统中普遍存在的现象，不同生物种群之间为了获取有限的资源或生存空间而展开斗争的过程。
生物竞争模型是对这种竞争过程进行数学建模和研究的方法，通过模型可以更好地理解和预测种群之间的相互作用及演化规律。
在生物学研究中，主要有几类生物竞争模型，包括物种竞争模型、资源竞争模型、捕食者-猎物模型等。
一、物种竞争模型：物种竞争模型用于描述不同种群之间的竞争关系，其中最著名的模型之一是Lotka-Volterra竞争模型。
该模型是由意大利数学家阿尔弗雷多·洛特卡和美国生物学家维托尔·沃尔泰拉于20世纪初提出的，它基于如下假设：1）只有两个物种竞争；2）竞争对个体出生和死亡的速率有影响。
Lotka-Volterra竞争模型可以用以下微分方程表示：\begin{cases}\frac{dx}{dt} = ax - bx^2 - cxy \\\frac{dy}{dt} = -fy + exy\end{cases}x和y分别表示两个竞争物种的种群数量，a、b、c、d为相关参数。
该模型可以描述两个种群在共享资源时的竞争关系，通过数值计算可以得到不同种群数量随时间的演化规律。
资源竞争模型用于研究不同种群对有限资源的竞争过程，其中最典型的模型是Rosenzweig-MacArthur资源竞争模型。
该模型基于几个基本假设：1）资源是有限的；2）种群的增长受到资源的限制；3）不同种群对资源的利用有差异。
Rosenzweig-MacArthur资源竞争模型可以用以下微分方程表示：三、捕食者-猎物模型：捕食者-猎物模型用于描述捕食者和猎物之间的相互作用，其中最著名的模型是Lotka-Volterra捕食者-猎物模型。
该模型基于捕食者和猎物种群数量之间的相互依赖关系，可以用以下微分方程表示：x表示猎物种群数量，y表示捕食者种群数量，a、b、c、d为相关参数。
数学模型_种群的相互竞争
的根
0
若从P0某邻域的任一初值出发，都有 lim x 1 ( t ) x 1 , t
lim x 2 ( t ) x 2 , 称P0是微分方程的稳定平衡点 t
0
模型
x1 x2 x 1 ( t ) r1 x 1 1 1 N1 N2
x1 x 2 x 2 ( t ) r2 x 2 1 2 N1 N 2
种群的相互竞争
• 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的 关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 • 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝， 竞争力强的达到环境容许的最大容量。 • 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程， 分析产生这种结局的条件。
模型假设 • 有甲乙两个种群，它们独自生存
t 时 x 1 ( t ), x 2 ( t )的趋向
(平衡点及其稳定性)
(二阶)非线性 x 1 ( t ) f ( x 1 , x 2 ) 的平衡点及其稳定性 (自治)方程 x ( t ) g ( x , x ) 2 1 2
平衡点P0(x10, x20) ~ 代数方程
f ( x1 , x 2 ) 0 g ( x1 , x 2 ) 0
时数量变化均服从Logistic规律;
x 1 ( t ) r1 x 1 (1 x1 N1 )
x 2 ( t ) r2 x 2 (1
x2 N2
)
• 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作 用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。
模型
x1 x2 x2 x1 x 2 ( t ) r2 x 2 1 2 x 1 ( t ) r1 x 1 1 1 N1 N1 N 2 N2
实验10 种群竞争模型上机实验
实验10 种群竞争模型上机实验
一、实验目的和要求
1．利用MATLAB软件计算种群竞争模型的数值解；
2．画出模型的相轨线。
二、实验环境
Windows系列操作系统，Matlab软件。
三、实验任务：
1.课本P227 计算与验证. 利用MATLAB软件计算种群竞争模型(2)、(3)的数值解，并画出相轨线图形；
建立M文件：
2. 考虑有两个物种在它们共同生活的环境中为获得食物而相互竞争，假设在缺
少任何物种的情况下，另一种物种的数量都是有界的（Logistic ）。
不考虑竞争，在t 时刻，两种物种的数量为x(t)和y(t)满足微分方程
2
11222dx a x b x dt
dy a y b y dt
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ 除此之外，假设竞争使对方的数量减少，减少的速度与两个物种数量的乘积
()()x t y t 成比例，假设取负的比例常数12,c c --。
建立模型，计算竞争模型的平
衡点；分析在什么情况下，两种物种能够共存？什么情况下，只有一种物种能够存活？
若参数12121214,16,1/2,1a a b b c c ======，分析四个平衡点的稳定性。
并用Matlab 作出稳定平衡点附近的相轨线分布图。
建立M 文件：
四、程序代码及运行结果（经调试后正确的源程序）
五、实验总结
通过本节课我学会了利用MATLAB软件计算种群竞争模型的数值解，并且画出模型的相轨线。
Lotka-Volterra模型
结果4是一个稳定的平衡，无论N1和N2种群数量的组合 （N1，N2）落在直角坐标系内哪一区域，最终都将使得 N1种群和N2种群的数量趋向平衡点
7
nk可以理解为已经利用的空间称为已利用空间项则1nk可以理解为尚未利用的空间称为未利用空间项当两个物种竞争或者利用同一空间时已利用空间项还应该加上n2种群对空间的占用
20世纪40年代，Lotka（1925）和Volterra（1926） 奠定了种间竞争关系的理论基础，他们提出的种间 竞争方程对现代生态学理论的发展有着重大影响。 Lotka-Volterra模型（Lotka-Volterra种间竞争模型） 是对逻辑斯蒂模型的延伸。现设定如下参数：
dN2 / dt = r2 N2（1 - N2 / K2 - βN1 / K2） ——（2）
2
如我们所知： 当物种N1种群（物种1）的环境容纳量为K1时，N1种群 中每个个体对自身种群的增长抑制作用为1/K1； 同理，N2种群中每个个体对自身种群的增长抑制作用为 1/K2。 另外，从（1）、（2）两个方程以及α、β的定义中可知： N2种群中每个个体对N1种群的影响为：α/K1 N1种群中每个个体对N2种群的影响为：β/K2 因此，当物种2可以抑制物种1时，可以认为，物种2对物 种1的影响 > 物种2对自身的影响，即 α/K1 > 1/K2。 整理后得：K2 > K1/α，
物种2能抑制物种1 （K2 > K1/α）
两物种都有可能得 胜 （结果3）
物种2总是得胜 （结果2）
物种2不能抑制物种 1 （K2 < K1/α）
两种种群相互竞争模型的稳定性和相图分析演示文稿ppt课件
研究的目的:
研究两个种群相互竞争模型中的平衡点的稳定性， 利用常微分方程的方法求出其平衡点，并运用常微分 的知识判断平衡点的稳定性，在这基础上采用常微分 方程中的数值解法和Matlab程序对平衡点的稳定性作 出进一步的验证和分析，运用数形结合的方法，直观 地从种群数量曲线图和种群相轨线图中观察、分析并 验证两种群平衡点的稳定性.
为 r1, r2 , 在同一环境下只维持甲或乙种群的生存的极限数分别为 N1, N2.
于是对于种群甲有：
x1' (t)
r1 x1 (1
x1 N1
a1
x2 N2
)
其中 a1的意义为单位数量的乙消耗的供养甲的食物量为单位数量的
甲消耗的供养甲的食物量的 a1倍.
7
种群乙的增长方程为：
x2
'(t)
下面将分析第三种情况（即 a1 1, a2 1 ），平衡 的稳定性.作出从不同初始点出发的相轨线，并分析在 这种情况下平衡点的稳定性.
我们取：
a1
5 7
,
N1
1, r1
2.5; a2
3 5
,
N2
1, r2
1.8,
并带入方程（1）、（2）得：
x1
'(t )
5 2
x1 (1
我们取：
a1
4 3
,
N1
2, r1
2.5; a2
5, 3
N2
1.6, r2
1.8
入方程（1）、（2）得：
x1
'(t )
5 2
x1 (1
1 2
种群生态学模型
dN 2 N1 N 2 r2 N 2 1 2 dt K K 1 2
对 2 可作相应的解释。
于是，两个种群的相互竞争模型可以表述如下
dN1 N1 N2 r1 N1 1 1 , N1 (t0 ) N10 K2 dt K1 N1 N 2 dN 2 r N , N ( t ) N 2 2 1 2 2 0 20 K1 K 2 dt
u(0, t ) ( x)u( x, t )dx0 Nhomakorabea其中
u(x, 0) = u0(x)
u u ( x)u ( x, t ) x t
是一个一阶双曲型偏微分方程。
2 种群的相互竞争模型 当某个自然环境中只有一个种群生存时， 基本上可以用 Logistic 模型来描述种群数量的 演变过程。如果一个自然环境中有两个或两个 以上的种群生存，那么它们之间就要存在或者 是相互竞争，或者是相互依存，或者是弱肉强 食（食饵与捕食者）的关系。在此，首先讨论 两个种群竞争同一种有限资源的情形。
设甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环 境中生存时，数量的演变均遵从 Logistic 规律，记 N1(t)，N2(t) 是t时刻两个种群的数量，r1、r2 分别 是它们的内禀增长率，K1、K2 分别是它们的饱和 水平。于是对于种群甲有 N1 dN 1 r1 N1 1 dt K 1
N1 dN 1 N2 r1 N1 1 1 K dt K 1 2
这里 1 的意义是：单位数量乙（相对于 K2 而 言）消耗的供养甲的资源为单位数量甲（相对 于 K1 而言）消耗的供养甲的资源的 1 倍。
类似地，甲的生存也影响了乙的增长，种 群乙增长的方程为
种群相互竞争模型
种群相互竞争模型种群相互竞争模型是一种描述不同物种之间相互作用的模型。
在这个模型中，物种之间存在着竞争关系，它们彼此争夺有限的资源，如食物、空间、水等。
这种竞争关系是一种自然选择，只有适应环境的物种才能生存下来。
本文将介绍种群相互竞争模型的基本概念和模型类型。
一、基本概念种群：指在一个生态系统中，属于同一物种的个体集合。
相互作用：指不同种群之间在一个生态系统中进行的各种生物和非生物之间的相互作用。
竞争：指不同物种之间为获得生存所需的资源而进行的相互斗争。
资源：指能够提供生存所需的物质和能量，如食物、水、空间等。
竞争系数：指物种之间通过竞争所占据的位置和利用资源的能力。
二、模型类型1. Lotka-Volterra 模型Lotka-Volterra 模型是经典的种群相互竞争模型，它假设两个物种之间的竞争是无限的。
该模型有两个方程，包括一个描述一种物种的增长率和一个描述两种物种之间的交互作用。
该模型的形式为：dN1/dt = r1N1 - a12N2N1dN2/dt = r2N2 - a21N1N2其中，N1 和 N2 分别是种群1和2的数量，r1和r2是它们的增长率，a12和a21 是它们之间的交互作用。
2. Gause 模型其中，Ntotal=N1+N2是两种物种的总数量，r1和r2分别是它们的增长率，K1和K2是种群1和2的最大容量。
c1和c2 是两个物种之间的竞争系数，它们表示在某个条件下，一个物种的存在要比另一个物种更具有竞争力。
3. Ricker模型Ricker模型是一种离散的种群相互竞争模型，它包含了两个方程，描述了一种物种的数量随时间变化的规律。
Ricker模型的形式为：Nt+1 = Nt*exp(r(1-Nt/K)-a*Nc)其中，Nt是种群数量，r是增长率，K是种群的最大容量，a是物种之间的竞争系数，Nc是与物种竞争的物种数。
dN/dt = rN/(1 + aN)总结：种群相互竞争模型是描述不同物种之间相互作用的模型，包括竞争、相互作用、竞争系数、资源等基本概念。
生态学理论中的种间竞争模型
生态学理论中的种间竞争模型在生态学理论中，种间竞争模型是一个经典的概念。
种间竞争指的是不同物种之间的竞争关系，包括资源竞争和空间竞争。
种间竞争模型旨在研究这种竞争关系的影响，以及它们对生态系统的稳定性和多样性的影响。
竞争是生态系统中最基本的互动关系之一。
在同一生态环境中，不同的物种往往需要竞争有限的资源，如食物、水和空间。
由于竞争的存在，物种之间会出现明显的差异。
一些物种能够比其他物种更好地适应，或者更加有效地使用有限资源，因此它们能够在资源稀缺的环境中存活下来。
竞争模型被广泛应用于研究物种之间的相互作用。
其中最常用的模型是 Lotka-Volterra 竞争模型。
这个模型是基于维托·沃尔特和阿尔弗雷德·洛特卡的研究成果而来的。
Lotka-Volterra 竞争模型假设存在两个物种，它们需要同一种资源来生存，而且这个资源在环境中是有限的。
如果两个物种同时去追求这个资源，它们之间就会产生竞争。
通过这个模型，我们可以预测哪些情况下，两个物种中的哪一个会占据优势地位。
通常情况下，这个模型能够预测出循环竞争的稳定状态，其中两个物种交替成为优胜者。
除了 Lotka-Volterra 竞争模型之外，还有其他一些种间竞争模型，如 Gause 竞争模型、Ricker 竞争模型、Tilman 竞争模型等。
这些模型都基于不同的假设和实验条件，并且在不同的竞争情况下表现不同。
例如，Gause 竞争模型认为两个物种只要它们在资源利用上存在重叠，就会导致竞争。
这个模型被广泛应用于研究生物群落中的物种多样性。
Tilman 竞争模型则更加关注资源分配和物种行为的变化，通过这个模型我们可以理解哪些情况下资源利用效率最高，最终可以预测物种的竞争结果。
总体来说，种间竞争模型是研究生态系统中物种相互作用的一个有用的工具。
这些模型可以帮助我们理解物种之间的竞争，以及这种竞争如何影响生态系统的可持续性和多样性。
然而，需要注意的是，种间竞争模型只能提供一种近似的刻画，这种刻画必须结合实际观察和实验数据来评估和完善。
种群增长和竞争的数学模型
2013年06月05日 15:31:35在地中海中每平方米就有30至40只水母，种群增长和竞争的数学模型摘 要：本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的Volterra 模型，最后介绍了多种群的Gause-Lotka-Volterra 和三种群的RPS 博弈模型，对其做了比较和分析，得出了一些有益的启示。
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的V olterra 模型，最后介绍了三种群的Gause-Lotka-V olterra 和RPS 博弈模型。
一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，根据生态系统的特征建立相应的模型。
种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。
1.1 马尔萨斯（Malthus ）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r 基本上是一常数，（r =b -d , b 为出生率，d 为死亡率），既： 1dN r N dt = 或 dNrN dt= (1)其解为0()0()r t t N t N e -=(2)其中N 0=N (t 0)为初始时刻t 0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T ，则有： 002rT N N e =(3)ln 2T r=(4)人口统计数据与Malthus 模型计算数据对比：表1 世界人口数量统计数据表2 中国人口数量统计数据比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6亿（即3.06×1010），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。
种群的相互竞争模型中数值计算及结果分析
大学《数学模型》实验实验报告一、实验目的1.学会编写程序段。
2.能根据m文件的结果进行分析。
3.根据图像进行比较和分析。
二、实验要求8-1捕鱼业的持续收获运行下面的m文件，并把相应结果填空，即填入“_________”。
clear;clc;%无捕捞条件下单位时间的增长量：f(x)=rx(1-x/N)%捕捞条件下单位时间的捕捞量：h(x)=Ex%F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex%捕捞情况下渔场鱼量满足的方程：x'(t)=F(x)%满足F(x)=0的点x为方程的平衡点%求方程的平衡点syms r x N E; %定义符号变量Fx=r*x*(1-x/N)-E*x; %创建符号表达式x=solve(Fx,x) %求解F(x)=0（求根）%得到两个平衡点，记为：% x0=______________ , x1=___________x0=x(2);x1=x(1);%符号变量x的结构类型成为<2×1sym>%求F(x)的微分F'(x)syms x; %定义符号变量x的结构类型为<1×1sym>dF=diff(Fx,'x');dF=simple(dF) %简化符号表达式%得F'(x)=________________%求F'(x0)并简化dFx0=subs(dF,x,x0); %将x=x0代入符号表达式dFdFx0=simple(dFx0)%得F’(x0)=_______%求F’(x1)dFx1=subs(dF,x,x1)%得F’(x1)=________%若E<r，有F'(x0)<0，F'(x1)>0，故x0点稳定，x1点不稳定（根据平衡点稳定性的准则）；%若E>r，则结果正好相反。
%在渔场鱼量稳定在x0的前提下（E<r），求E使持续产量h(x0)达到最大hm。
种群的相互竞争模型-精选文档
因此 ,p (fx g )|P ,q det A |P ,i 1 , 2 , 3 , 4 . x 1 2 i i
对 P ( N , 0 ), p r r ( 1 ), q r r ( 1 ) 1 1 1 2 2 1 2 2
稳定条件 2
( 1 ) r N ( 1 ) r 1 1 1 1 1 1 1 N ( 1 ) 1 2 2 1 2 对 P ,A 3 r N ( 1 ) r ( 1 ) 2 2 2 2 2 2 ( 1 ) 1 1 1 2 1 2 N
N ( 1 ) N ( 1 1 1 2 2) P ( , ), P ( 0 ,0 ). 3 4 1 1 1 2 1 2
(5)
其中的第三个平衡点是在σ1,σ2 <1或σ1,σ2 >1的情形 下才会得到.
N ( 1 ) N ( 1 ) 1 1 2 2 P ( N , 0 ), P ( 0 , N ), P ( , ), P ( 0 , 0 ). 1 1 2 2 3 4 1 1 2 1 1 2
模型假设
的对其本身增长的阻滞 作用 ,x 可理解为相 N 1/ N 1 1 而言 ,数量为 x 时供养甲的食物量 ( 设食物总量 1 ). 1
于是对种群甲我们有
x 1 1(t)r x x ( 1 ) 1 1 N 1
这里因子 1 x 反映由于甲对有限资 的消耗导 1/ N 1
的对其本身增长的阻滞 作用 ,x 可理解为相 N 1/ N 1 1
种群的相互竞争模型
1.模型建立
当某个自然的环境中只有一种生物的群体(种群)生 存时,我们常用Logistic模型来描述它的数量的演变 过程,即 x
种群竞争模型
种群竞争模型
种群竞争模型作为一种经典的认知理论，可以被用来解释许多复杂的行为现象。
它的概念可以追溯到20世纪50年代，随着社会的发展，越来越多的研究者开始对这一理论进行检验和分析。
种群竞争模型不仅可以被用来解释生物进化，而且还可以被用来解释社会进化、经济进化、文化进化等等一系列复杂的行为模式。
种群竞争模型的基本概念是，在一个种群当中，一些成员拥有更强大的竞争力，它们可以更有效地收集资源，并且可以更高效地进行繁殖，因此这些优势成员会逐渐占据更多的资源，同时会抑制其他劣势成员的成长，最终形成一个更加均衡的种群结构。
种群竞争模型在社会文化领域也有类似的应用。
在文化进化中，一个社会中有很多文化元素，它们可以分为高竞争和低竞争两类。
在这种模型中，高竞争文化元素有更强的竞争力，它们在社会中的受欢迎程度会高于低竞争文化元素，所以它们会逐渐成为社会主流，而低竞争文化元素则会受到抑制。
种群竞争模型也在经济学领域受到广泛应用。
例如，在市场竞争中，一些具有更大优势的企业会抑制其他劣势企业的竞争力，从而获得更多的市场份额，最终形成一个垄断结构，而优势企业的优势也会持续扩大。
总的来说，种群竞争模型是一种经典的认知理论，它可以被用来解释生物学、社会学、文化学以及经济学等复杂的行为模式。
这一理论在解释复杂现象时有着重要的意义，并且也为研究者提供了一个深
入理解社会系统及其行为规律的有效途径。
种群的相互竞争模型
的
对
其
本
身
增
长
的
阻
滞作 用,
x1
/
N
可
1
理 解 为 相 对 于N1
而 言, 数 量 为x1时 供 养 甲 的 食 物 量(设 食 物 总 量 为1).
于是对种群甲我们有
x1(t )
r1 x1 (1
x1 N1
)
这
里
因
子1
x1
/
N
反
1
映
由
于
甲
对
有
限
资
源的
消
耗
导
致
的
对
其
本
身
增
长
的
阻
滞作 用,
x1
/
N
可
)
,
N 2 (1 2 1 1 2
)
)
r1(1 1 ) r2 (1 2 ) 1 1 2
r1r2 (1 1 )(1 2 ) 1 1 2
P4 (0,0)
(r1 r2 )
r1r2
1 1, 2 1
不稳定
注意到平衡点的定义我们可以看出,它是一个局部的
性质.对于非线性方程(4)所描述的种群竞争,我们更
x1 N1
1
x2 N2
( x1 , x2 )
12
x1 N1
x2 N2
x2 N 2 • P2
N2 /1
(2)1 1, 2 1
P2(0, N2 )全局稳定
0
0
O
N1
N1 / 2 x1
x2
N2 /1
N2
P3
•
0
(3)1 1, 2 1
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结果分析
最后数值稳定在x=100,y=0上，即物种甲达 到最大值，物种乙灭绝。
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结果分析
改变r1,r2: r1=r2=0.3
我们可以看到甲乙两物种最终结果仍然是甲达到数量 极限而乙灭绝，但与原先不同的是变化速度减缓了，这 是由于自然增长率r1,r2变小的缘故（相当于变化率减 小）。
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结果分析
改变n1,n2: n1=10000, n2=100
由于一开始甲物种的数量相对较少，所以乙物种 得以快速增长，数量一度达到90以上，但最终 仍然灭绝。物种容量的改变并不能影响最终谁会 灭绝。
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s1>1,s2<1 s1=1.5,s2=0.7
最后甲物种灭绝，乙物种存活并达到数量极 限。
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结果分析
s1<1,s2<1 s1=0.8,s2=0.7
最后稳定在x= 45.4546 y=68.1818上。两物种共存。
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结果分析
改变x10,x20: x10=10,x20=100:
乙物种的初始数量大使其灭绝时间稍稍延后，但它灭绝的 趋势不变。综上，无论怎样改变r1,r2,n1,n2,x0,y0，都改变 不了最后甲物种存活并达到数量最大且乙物种灭绝的结果。
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结果分析
其中x(t),y(t)分别为甲乙两种群的数量，r1 r2为它们的固有增长率， n1 n2为它们的最 大容量。s1的含义是对于供养甲的资源来说， 单位数量的乙(相对n2)的消耗为单位数量甲 （相对n1）消耗的s1倍，s2同理。
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MATLAB求解
程序如下： fun.m: function dx=fun(t,x,r1,r2,n1,n2,s1,s2) r1=1; r2=1; n1=100; n2=100; s1=0.5; s2=2; dx=[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2);r2*x(2)*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)]; p3.m: h=0.1;%所取时间点间隔 ts=[0:h:30];%时间区间 x0=[10,10];%初始条件 opt=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);%相对误差1e-6，绝对误差1e-9 [t,x]=ode45(@fun,ts,x0,opt);%使用5级4阶龙格—库塔公式计算 plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'b','LineWidth',2),grid; pause; plot(x(:,1),x(:,2),'LineWidth',2),grid %作相轨线
dx x = r1 x(1 − ) N1 dt
dy y = r1 y (1 − ) dt N1
两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作 用与乙的数量成正比；甲对乙有同样作用乙 有同样的作用。
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竞争模型
dx x y = r1 x(1 − − s1 ) dt n1 n2 dy y x = r2 y (1 − − s2 ) dt n2 n1
种群竞争模型
主讲人：泰山教育 小石老师
模型背景 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝， 竞争力强的达到环境容许的最大容量。 使用种群竞争模型可以描述两个种群相互竞争 的过程，分析产生各种结局的条件。
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模型假设 有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变 化均服从Logistic规律
应用举例
不同企业推出的类似产品可应用种群 竞争模型
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