2013年湖南省高考数学试卷(理科)附送答案

2013年湖南省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）
A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法
3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）
A．B．C．D．
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0 C．D．
5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则
的取值范围为（）
A．B．C．D．
7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）
A．1 B．C．D．
8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△
ABC的重心，则AP等于（）
A．2 B．1 C．D．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）
9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：
（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．
10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为．11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．
12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为．
13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．
14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是
C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．15．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则（1）a3=；
（2）S1+S2+…+S100=．
16．（5分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）
①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；
②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；
（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X1234
Y51484542
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”
的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．
（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；
（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两
条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；
（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）已知a＞0，函数．
（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
2013年湖南省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．
【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i，
故复数z对应的点为（﹣1，1），
在复平面的第二象限，
故选B．
2．（5分）（2013•湖南）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）
A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．
故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．
故选：D．
3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）
A．B．C．D．
【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．
【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，
∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，
∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，
∴A=．
故选D．
4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值
是（）
A．B．0 C．D．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）
设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z
=F（，）=
最大值
故选：C
5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．
【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：
由图可知，两个函数图象共有2个交点
故选B．
6．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【分析】令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．
【解答】解：令，，，
如图所示：则，
又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，
易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，
所以的取值范围为[﹣1，+1]．
故选A．
7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）
A．1 B．C．D．
【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．
因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．
因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．
故选C．
8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）
A．2 B．1 C．D．
【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，
由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．
【解答】解：建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，
△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，
解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），
由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，
解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=
故选D
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）
9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过
椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．
【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．
【解答】解：由直线l：，得y=x﹣a，
再由椭圆C：，得，
①2+②2得，．
所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．
因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．
故答案为3．
10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．
【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．
【解答】解：∵a+2b+3c=6，
∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]
化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）
∴a2+4b2+9c2≥12，
当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立
由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12
故答案为：12
11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．
【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD 的距离，注意计算的正确率．
【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，
∴2×2=CP•1，
解得：CP=4，又PD=1，
∴CD=5，
又⊙O的半径为，
则圆心O到弦CD的距离为d===．
故答案为：．
12．（5分）（2013•湖南）若x2dx=9，则常数T的值为3．
【分析】利用微积分基本定理即可求得．
【解答】解：==9，解得T=3，
故答案为：3．
13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：
是否继续循环 a b
循环前/1 2
第一圈是 3 2
第二圈是 5 2
第三圈是7 2
第四圈是9 2
第五圈否
故最终输出的a值为9．
故答案为：9．
14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C 的离心率为．
【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a
所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，
∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，
∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，
即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，
∴c2﹣2ca+3a2=0，
∴c=a
所以e==．
故答案为：．
15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=（﹣1）n a n﹣，n ∈N*，则
（1）a3=﹣；
（2）S1+S2+…+S100=．
【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；
（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．
【解答】解：由，n∈N*，
当n=1时，有，得．
当n≥2时，．
即．
若n为偶数，则．
所以（n为正奇数）；
若n为奇数，则=．
所以（n为正偶数）．
所以（1）．
故答案为﹣；
（2）因为（n为正奇数），所以﹣，
又（n为正偶数），所以．
则．
，．
则．
…
．
所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100
=
=
=
=．
故答案为．
16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1} ．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）
①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；
②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．
【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a x+b x﹣c x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；
（2）对于①，把函数式f（x）=a x+b x﹣c x变形为
，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；
对于②，利用取特值法说明命题是正确的；
对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．
【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以，则．
令f（x）=a x+b x﹣c x=．
得，所以．
又∵＞1，则ln＞0，所以x=＞0，
所以0＜x≤1．
故答案为{x|0＜x≤1}；
（2）①因为，
又，
所以对∀x∈（﹣∞，1），．
所以命题①正确；
②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则a x=，b x=，c x=．不能构成一个三角形的三条边长．
所以命题②正确；
③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．
f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．
所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命题③正确．
故答案为①②③．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2013•湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．
（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；
（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值．
（2）由不等式可得sin（x+）≥，解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+，k ∈z，求得x的取值集合．
【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，
所以f（α）=sinα=，所以sinα=．
又α∈（0，），所以cosα=，
所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．
（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，
所以sinx+cosx=sin（x+）≥．
解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，
所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．
18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X1234
Y51484542
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；
（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．
【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；
（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P （X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3
由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==
∴所求的分布列为
Y51484542
P
数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46
19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．
（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；
（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；
（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
【解答】解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，
又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线
∴AC⊥平面BB1D，
∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；
（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，
由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成
的角（记为θ），连接A1D，
∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，
∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1
又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D
∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，
∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB 因此，，可得AB==
连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，
∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，
即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．
20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x 轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
【分析】（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．
【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则
（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值
①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|
∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24
∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24
∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21
∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21
∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；
②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|
此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y ≥21
由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立
综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L
路径”长度之和最小．
21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；
（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；
（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．
【解答】解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．
从而x1+x2=2pk1，．
所以点M的坐标为，．
同理可得点N的坐标为，．
于是．
由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．
故．
（Ⅱ）由抛物线的定义得，，
所以，从而圆M的半径．
故圆M的方程为，
化简得．
同理可得圆N的方程为
于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．
因为p＞0，所以点M到直线l的距离为
=．
故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．
故所求抛物线E的方程为x2=16y．
22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．
（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；
（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．
【解答】解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，
∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；
当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．
①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=
②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）﹣f（4）==
∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；
（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在
两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1∴•=﹣1
∴①
∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），
∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）
∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空
∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅
综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）．。