8-6-1多元微分在几何上的应用

三、求出曲线 x t , y t 2 , z t 3 上的点,使在该点的切线平行
于平面 x 2 y z 4 .
z x 2 y 2 的交线在 四、求球面 x y z 6 与抛物面
2 2 2
(1,1,2) 处的切线方程 .
五、求椭球面 x 2 2 y 2 z 2 1上平行于平面 x y 2z 0 的切 平面方程.
6 x 0 2 y0 2 z 0 3 3
y0 x0 ,
z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 x0 2 x0 9 x0 16 0 , 2 2 2 3 x0 2 x0 9 x0 16 0
2.
练习题
例 2 求曲线 x 2 y 2 z 2 6 ， x y z 0 在点(1,2, 1) 处的切 线及法平面方程.
解1 直接利用公式;
解2
将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
dz dy y dx z dx x dy dz 1 dx dx
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
第八章
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.

M
T

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一、空间曲线的切线与法平面
x (t ) 设空间曲线的方程 y ( t ) z (t )
解
设 ( x0 , y0 , z0 )
为曲面上的切点,
切平面方程为
2 x0 ( x x0 ) 4 y0 ( y y0 ) 6 z0 ( z z0 ) 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 , 1 4 6
2 x0 y0 z0 .
xz0
二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为 F ( x, y, z ) 0 在曲面上任取一条通过 点M的曲线 x (t ) : y ( t ), z (t ) 曲线在M处的切向量 T { ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )},
法线方程.
解
n ( 2,1,4 ) { 2 x , 2 y , 1} ( 2,1,){4, 2,1}, f ( x , y ) x y 1, 4
2 2
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) ( z 4) 0,
4 x 2 y z 6 0, 法线方程为 x 2 y 1 z 4 . 4 2 1
y 2 sin t cos t ,
z 1 e 3 t , 在 t 0处的切线和法平面方程.
解 当 t 0 时， x 0, y 1, z 2,
x e t cos t ,
x(0) 1,
y 2 cos t sin t , y(0) 2,
z 3e 3t ,
一、 填空题: t 1 t 1、曲线 x ,y , z t 2 在对应于 t 1 的点处切线 1 t t 方程为________________； 法平面方程为________________. 2、 曲 面 e z z xy 3 在 点 (2,1,0) 处 的 切 平 面 方 程 为 __________________； 法线方程为__________________.
函数z f ( x , y )在点( x0 , y0 )的全微分
表示曲面 z f ( x , y )在点 z f ( x , y )在 ( x0 , y0 ) 的全微分， ( x0 , y0 , z0 )处的切平面上的点的竖坐标的增量.
例 3
求旋转抛物面 z x 2 y 2 1 在点( 2,1,4) 处的切平面及
三、小结
空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线
思考题
如果平面 3 x y 3 z 16 0 与椭球面
3 x y z 16 相切，求 .
2 2 2
思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ),
n {6 x0 , 2 y0 , 2 z0 },
依题意知切向量为 {3, ,3}
n
M
T
令 n { Fx ( x0 , y0 , z0 ), F y ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 则 n T ,
由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条曲线， 它们在 M 的切 线都与同一向量 n 垂直，故曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的 切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点 M 的切平面.
切线方程为 法平面方程为
Fy Gy Fz Gz
0
x x0 y y0 z z0 , Fz Fx F y Fz Fx F y Gy Gz
Fz Gz
0
Gz
Fx Gx 0
Gx 0
Gx
Fx Gx
Gy
Fy Gy
0
( x x0 )
( y y0 )
( z z0 ) 0.
0
练习题答案
1 x 2 y 2 z 1 ,2 x 8 y 16 z 1 0 ； 一、1、 1 4 8 x 2 y 1 2、 x 2 y 4 0, 1 2 . z 0 1 1 1 二、 P1 ( 1,1,1)及P2 ( , , ) . 3 9 27 x 1 y 1 z 2 x y 2 0 或 三、 . 1 1 0 z 2 0 11 x y 2z 四、 . 2
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
x x 0 y y0 z z 0 , 1 ( x 0 ) ( x 0 )
法平面方程为
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )( z z0 ) 0.
F ( x, y, z ) 0 , 2.空间曲线方程为 G ( x , y , z ) 0
4( x 1) 2( y 2) 0 ( z 0) 0, 2 x y 4 0,
x 1 y 2 z 0 . 2 1 0
法线方程
例5
求曲面 x 2 2 y 2 3 z 2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0 的 各切平面方程.
z(0) 3,
切线方程 法平面方程
x 0 y 1 z 2 , 1 2 3
x 2( y 1) 3( z 2) 0,
即 x 2 y 3z 8 0.
特殊地：
y ( x) , 1.空间曲线方程为 z ( x)
切线方程为
x x0 y y0 z z0 法线方程为 Fx ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
曲面在M处的法向量即 n { Fx ( x0 , y0 , z0 ), F y ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
( t0 )( x x0 ) ( t0 )( y y0 ) ( t0 )( z z0 ) 0
t 例1 求曲线 : x 0 e u cos udu ,
特殊地：空间曲面方程形为 z f ( x , y ) 令
F ( x, y, z ) f ( x, y ) z ,
曲面在M处的切平面方程为
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
曲面在M处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 . f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 1
全微分的几何意义
因为曲面在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
切平面上点的 竖坐标的增量
考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 t ,
z


M
M
x
o
y
x x 0 y y0 z z 0 , x y z t t t
当M M ,即t 0时 , 曲线在M处的切线方程
x x 0 y y0 z z 0 . ( t 0 ) ( t 0 ) ( t 0 )
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) F y ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
通过点 M ( x0 , y0 , z0 ) 而垂直于切平面的直线称为曲面在该点 的法线.
dy z x , dx y z dz x y , dx y z

dy 0, dx (1, 2, 1)
dz 1, dx (1, 2, 1)
由此得切向量
所求切线方程为
T {1, 0,1},
x 1 y 2 z 1 , 1 0 1
法平面方程为 ( x 1) 0 ( y 2) ( z 1) 0,
z
(1)