第六节 微分法在几何上的应用

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第九章多元函数微分法及其应用
M
2.向量值函数的导向量的几何意 义 设 r f t , t D的终端曲线为 .
若 f (t0 ) 0, 则 f t0 表示向量值函数的终端曲线在
z

M
t 0 处的切向量,其指向与 t
的增长方向一致.
f t0
r f t , t D
其中数集D称为函数的定义域
t 称为自变量， r 称为因变量
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M
对 上的动点M , 即 是向量 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线. 要用向量值函数研究曲线的连续性和 光滑性，就需要引进向量值函数的极限、 连续和导数的概念.
xz 0
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四、小结
1.空间曲线的切线与法平面； （空间曲线的点及切向量） 2.曲面的切平面与法线 （1）求法向量的方向余弦时注意符号；
1 cos . 2 2 1 fx f y
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f y f y ( x 0 , y0 )
第九章多元函数微分法及其应用
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例 2 求旋转抛物面 z x y 1在点( 2,1,4)
2 2
处的切平面及法线方程.
解
f ( x, y ) x 2 y 2 1,
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例 3
求曲面 z e z 2 xy 3 在点 (1,2,0) 处的
z
切平面及法线方程.
解 令 F ( x, y, z ) z e 2 xy 3,
Fx (1, 2, 0 ) 2 y (1, 2, 0 ) 4, Fy (1, 2 , 0 ) 2 x (1, 2 , 0 ) 2,
切平面 z f ( x , y ) 在 的全微分，表 ( x , y ) 0 0 上点的 竖坐标 示曲面 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处 的增量 的切平面上的点的竖坐标的增量.
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若 、 、 表示曲面的法向量的方向角， 并假定法向量的方向是向上的， 即使得它与 z 轴 的正向所成的角 是锐角，则法向量的方向余 弦为 fx cos , 2 2 1 fx f y 其中 fy cos , f x f x ( x0 , y0 ) 2 2 1 fx fy
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M处的法向量即
n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )
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二、空间曲线的切线与法平面
曲线在M处的切线方程
x x 0 y y0 z z 0 . ( t 0 ) ( t 0 ) ( t 0 )
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T (t0 ), (t0 ), (t0 )
法平面：过M点且与切线垂直的平面. (t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
x
o
图9-6-2
y
6
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第九章多元函数微分法及其应用
z 设空间曲线的方程 T x (t ) M : y ( t ) t , (6) z (t ) o y x 图9-6-3 假定(6)式中的三个函数均可导, 且三个导数不同时为零. M ( x0 , y0 , z0 ) 对应于 t t0 .
第六节
多元函数微分学的几何应用
一、向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 四、小结
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一、向量值函数及其导数
x (t ) 设空间曲线的方程 y ( t ) z (t ) (1)
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特殊地：
y ( x) 空间曲线方程为 , z ( x) 在点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处
曲线的切线方程为
法平面方程为
x x 0 y y0 z z 0 , 1 ( x 0 ) ( x 0 )
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )( z z0 ) 0.
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第九章多元函数微分法及其应用
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f (t ) f1 (t ), f2 (t ), f 3 (t ) , t D.
(1)极限
t t0
lim f t lim f1 t , lim f 2 t , lim f 3 t
t t0

(2)连续 （3）导数
2( x 1) 8( y 2) 12( z 2) 0 x 4 y 6z 21
切平面方程(2)
2( x 1) 8( y 2) 12( z 2) 0 x 4 y 6z 21
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例 5 求曲线 x 2 y 2 z 2 6 ， x y z 0在点 (1,2, 1)处的切线及法平面方程.
n (2,1,4) 2 x, 2 y, 1 (2,1,4) 4, 2, 1 ,
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) ( z 4) 0,
4 x 2 y z 6 0,
法线方程为 x 2 y 1 z 4 . 4 2 1
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三、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F ( x, y, z ) 0
在曲面上任取一条通 过点M的曲线 x (t ) : y ( t ), z (t )
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n
M
T
图9-6-4
T (t0 ), (t0 ), (t0 ) , 曲线在M处的切向量
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例 4
求曲面 x 2 2 y 2 3 z 2 21 平行于平面
x 4 y 6 z 0 的各切平面方程.
解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点, 切平面方程为
2 x0 ( x x0 ) 4 y0 ( y y0 ) 6z0 ( z z0 ) 0
第九章多元函数微分法及其应用
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则 nT , 由于曲线是曲面上通过 M 的任意一 条曲线，它们在 M 的切线都与同一向量 n 垂直， 故曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在 同一平面上， 这个平面称为曲面在点 M 的切平面.
n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )
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例 1 求曲线 : x 0 e cos udu， y 2 sin t
u
t
cos t , z 1 e 3 t 在 t 0处的切线和法平面方程.
x 0 y 1 z 2 , 切线方程 1 2 3 法平面方程 x 2( y 1) 3( z 2) 0,
解法 1
解法 2
直接利用公式;
将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
dz dy y z x dx dx dy dz 1 dx dx
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dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
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第九章多元函数微分法及其应用
曲面在M处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
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全微分的几何意义
因为曲面在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
z

方程(1)写成向量形式.
r xi yj zk ,
f (t ) (t )i (t ) j (t )k x
M
o
图9-6-1
y
r f t
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(2)
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1.定义
设数集 D R, 则称映射 f : D Rn 为一元向量值函数，通常记为
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特殊地：空间曲面方程形为 z f ( x , y )
令 F ( x, y, z ) f ( x, y ) z,
曲面在M处的切平面方程为
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
解 当 t 0时， x 0, y 1, z 2, dx dz dy t e cos t , 2 cos t sin t , 3e3t , dt dt dt 这时，对应的曲线的切向量为 T (1,2,3)
x 2 y 3z 8 0.
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lim f t f t0
t t0
t t0
4
t t0

3
f t0 lim
f t0 t f t0 t
t 0
f t f1 t , f 2 t , f 3 t
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dy 0, dx (1, 2 , 1)
由此得切向量 T
dz 1, dx (1, 2 , 1)
1, 0, 1 ,
x 1 y 2 z 1 , 所求切线方程为 1 0 1
法平面方程为 ( x 1) 0 ( y 2) ( z 1) 0,
Fz (1, 2 , 0 ) 1 e z (1, 2 , 0 ) 0,
切平面方程 4( x 1) 2( y 2) 0 ( z 0) 0, 法线方程
ห้องสมุดไป่ตู้2015-6-17
x 1 y 2 z 0 . 2 1 0
第九章多元函数微分法及其应用
2 x y 4 0,
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
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通过点 M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线.
记 f t t , t , t , t , . 则点M处的 切向量为 T f t0 t0 , t0 , t0
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依题意，切平面方程平行于已知平面，得 2 x 0 4 y0 6 z 0 2 x0 y0 z0 . , 即 1 4 6
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因为 ( x0 , y0 , z0 )是曲面上的切点， 满足方程 x0 1, 所求切点为 (1,2,2), ( 1,2,2), 切平面方程(1)