微分法在几何上的应用66851

割线 MM 的方程为
z
• M
x x0 = y y0 = z z0
Δx
Δy
Δz x
•M
o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 Δt,
x
x0 = y
y0 = z
z0 ,
Δx
Δy
Δz
Δt
Δt
Δt
当M ′→ M ,即Δt → 0时,
曲线在M处的切线方程
x x0 φ′(t0 )
=
y y0 ψ′(t0 )
一、空间曲线的切线与法平面
x = φ(t)
设空间曲线的方程 y = ψ(t)
(1)
z = ω(t)
(1)式中的三个函数均可导.
z
• M
设 M (x0 , y0 , z0 ), 对应于 t = t0;
•M
M′(x0 + Δx, y0 + Δy, z0 + Δz) x o
y
对应于t = t0 + Δt.
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
特殊地：空间曲面方程形为 z f ( x, y)
令 F(x, y,z) f (x, y) z, 曲面在M处的切平面方程为
fx ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 , 曲面在M处的法线方程为
曲则线n，它T,们在由M于曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量n的垂任直意，一故条 曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在同一 平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0.
2.空间曲线方程为
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
切线方程为
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
曲面在M处的法向量即
dz dx
x
dy
dz
1
dx dx
dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
dy
0,
dx (1,2, 1)
dz
1,
dx (1,2, 1)
由此得切向量
T {1, 0,1},
所求切线方程为 x 1 y 2 z 1,
1
0 1
法平面方程为 ( x 1) 0 ( y 2) (z 1) 0,
=
z z0 ω′(t0 )
.
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
{ }
T = φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
φ′(t0 )( x x0 ) + ψ′(t0 )( y y0 ) + ω′(t0 )( z z0 ) = 0
例1
求曲线
:
x
t
0
e
u
cos
udu
函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的全微分
z f ( x, y)在( x0 , y0 )的全微分，表示 曲面 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 , z0 ) 处的
切平面上的点的竖坐标的增量.
若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z
x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
全微分的几何意义 因为曲面在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
切平面 上点的 竖坐标 的增量
Fy Gy
Fz Gz
(x
0
x0 )
Fz Gz
0.
Fx Gx
(y
0
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
(
0
z
z0
)
例 2 求曲线 x2 y2 z2 6，x y z 0在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
解 1 直接利用公式;
解 2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得
y
dy dx
z
xz0
二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F(x, y,z) 0
n
T
在曲面上任取一条通
M
过点M的曲线
x (t)
:
y
(t
),
z (t)
曲线在M处的切向量 T {(t0 ), (t0 ), (t0 )},
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
1
2
3
法平面方程 x 2( y 1) 3(z 2) 0,
即 x 2 y 3z 8 0.
特殊地：
1.空间曲线方程为
y z
( (
x) ,
x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,
1 ( x0 ) ( x0 )
法平面方程为
，
y
2sin
t
cos t ,z 1 e3t 在t 0处的切线和法平面方程.
解 当t 0时， x 0, y 1, z 2,
x et cos t, y 2cos t sin t, z 3e3t ,
x(0) 1, y(0) 2, z(0) 3,
切线方程 x 0 y 1 z 2 ,
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,
轴的正向所成的角 是锐角，则法向量的方向
余弦为
cos fx ,
1
Байду номын сангаас
f
2 x
f
2 y
cos
fy
,
1
f
2 x
f
2 y
cos
1
.
1
f
2 x
f
2 y
其中
f x f x ( x0 , y0 ) f y f y ( x0 , y0 )
例 3 求旋转抛物面z x2 y2 1在点(2,1,4)