高中数学 2.4 等比数列 构造等比数列的三种方法素材 新人教A版必修5

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谈一类递推数列求通项公式的典型方法
除了我们经常接触的最基本的等差数列和等比数列之外,我们还经常遇到一类递推数列求通项的问题.它的基本形式是:已知1a 及递推关系1n n a pa q +=+((1)0)pq p -≠求n a .其求解方法有多种,下面结合具体例子介绍三种较为典型的解法.
题目:在数列{}n a (不是常数数列)中,1122n n a a +=
+且113
a =,求数列{}n a 的通项公式. 解法一:因为1122n n a a +=+,所以,1122n n a a -=+,所以,111()2
n n n n a a a a +--=-,所以,数列1{}n n a a +-是公比为12的等比数列.又21116a a -=,所以,11111()62
n n n a a -+-=⋅,将1122n n a a +=+代入上式可得11114()32n n a -=-⨯. [评注]这种方法叫做差分法.即由条件1n n a pa q +=+((1)0)pq p -≠进行递推可得1n n a pa q -=+,进一步可得11()n n n n a a p a a +--=-,数列1{}n n a a +-是公比为p 的等比数列,所以,1121()n n n a a a a p -+-=-,再将1n n a pa q +=+代入即可求得
121()1
n n a a p q a p ---=-. 解法二:所给数列对应的特征方程为:122
x x =+,所以,特征根为4x =.因为1122n n a a +=+,所以,114(4)2n n a a +-=-,即数列{4}n a -是公比为12
的等比数列,又11143a -=-,所以,4n a -=1111()32n --⨯.故11114()32
n n a -=-⨯. [评注]:这种方法叫做特征根法,因为1p ≠,所以满足x px q =+(叫做此数列对应的特征方程)的x 存在,由1n n a pa q +=+可得1()n n a x pa q x +-=+-()n p a x =-,所以,数列{}n a x -是以1a x -为首项,以p 为公比的等比数列或各项均为0,于是再根据条件11()n n a x a x p --=-,所以,11()n n a a x p x -=-+.
解法三:设11()2n n a a λλ++=+,即11122n n a a λ+=-与已知1122
n n a a +=+对比可得122λ-=,所以,4λ=-.所以,可得114(4)2n n a a +-=-,即数列{4}n a -是公比为12的等比数列或者各项均为0.(下同解法二).
[评注]:这种方法通常叫做构造法.即由已知递推式的特点构造一个等比数列,再求通项公式.设1()n n a p a λλ++=+,与原递推数列进行对比可以建立方程,求数所设实数λ的值即可得
1{}n a λ++是以1a λ+为首项,以p 为公比的等比数列.
以上三种方法虽然各不相同,但是它们有一点是共同的,即构造一个等比数列,这就是本题的实质所在.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。

读大海,读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂; 幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩:从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。

鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。

矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。

蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。

航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。

井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。

笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。

山中的石!当你背靠群峰时,意志就坚了。

水中的萍!当你随波逐流后,根基就没了。

空中的鸟!当你展翅蓝天中,宇宙就大了。

空中的雁!当你离开队伍时,危险就大了。

地下的煤!你燃烧自己后,贡献就大了
6、朋友是什么?
朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。

一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。

一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。

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