罗素悖论举例
数学悖论的举例
数学悖论
上个世纪，第三次数学危机，就是有名的罗素悖论的出现，罗素悖论：把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为其元素，假设令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，则有：P={A∣A∈A}，Q={A∣A∉A}。
问题：Q∈P还是Q∉P？若Q∈P，则根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，而Q中的任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q，所以Q∉Q，引出矛盾。
若Q∉P，根据第二类集合的定义，A∉A，而P中的任何集合都有A∈A的性质，所以Q∈P，还是矛盾。
其实罗素悖论在我们生活中也很常见，像著名的理发师理论，理发师说了这样一句话：我给所有不给自己理发的人理发。
这就违反了逻辑，如果他给自己理发，就违反了第一个要素，如果他不给自己理发，那违反了第二个要素。
像古代也有这些，国王处置犯人，让他选择上吊还是砍头，让他说一句真话。
罗素悖论
“理发师悖论”悖论内容
一位理发师说：“我只帮所有不自己刮脸的人刮脸。
”那么理发师是否给自己刮脸呢？如果他给的话，但按照他的话，他就不该给自己刮脸（因为他"只"帮不自己刮脸的人刮脸）；如果他不给的话，但按照他的话，他就该给自己刮脸（因为是"所有"不自己刮脸的人，包含了理发师本人），于是矛盾出现了。
罗素悖论
我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。
但这样的企图将导致悖论：
罗素悖论：设命题函数P(x)表示“x∉x”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x ∉ x}”。
那么现在的问题是：A∈A是否成立？首先，若A∈A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由命题函数P知A∉A；其次，若A∉A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A∈A。
罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。
罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。
[编辑]书目悖论
书目悖论与理发师悖论基本一致。
可以说是罗素悖论的另一种通俗表达形式。
内容是：一个图书馆要编纂一本书，其内容是列出该图书馆里所有不列出自己书名的书的名字。
那么作为目录的书该不该列出自己的书名？。
罗素悖论及其拓展
“万有之集”W是一个集合，它无所不包，任何物质的或精神的事物都是它的元素，同时W本身也是一个事物，W∈W，所以“万有之集”W是一个异常集。但是罗素提问：
把正常集的全体构成一个集M，M是正常的还是异常的呢？
如果M是正常的，则M/∈M，即M不是M的元素，所以，M是异常的；
如果M是异常的，则M∈M，即M是M的元素，所以M是正常的。
正常之集M，如果是正常反而成了异常，如果是异常反而成了正常，既正则异，既异则正，两难选择，违反集合论二维基本公理。这就是罗素悖论。
罗素悖论曾经引起以集合论为基础的新兴数学的混乱。聪明的希尔伯特提出“A/∈A”的公理，从而制止了数学界的地震。不过这样做仅仅只是一种限制性回避。但是，回避不是办法。提出A/∈A的公理，回避了以自己为元素的异常集，实际是抛弃了对异常集的数学计算。异常集是客观存在的事物，前述如“观念之集”、“集之集”，再如“团体之集”、“市场之集”、“社会之集”、“宇宙之集”等。抛弃对客观事物的计算，不是数学精神。实际上，空集之集为空，全集之集为全，这两个集合论中的重要集合，也一起被抛弃在外了。
此时，杜瑞德法官看到骗子听了他的话以后无动于衷，就补充道：“我要警告，首席行刑官是逻辑实证主义行刑官俱乐部会员，将视任何形而上学废话为诺言，所以你别想在她面前玩花招。现在，给你一天时间，让你作出你自己的选择！”
杜瑞德法官言毕，陪审团为判决严正而鼓掌，法庭中所有的人都瞧着那名被告，为严惩这个撒谎成性的坏人而高兴，还想看看他是否会发表一个讲真话的声明而自取其辱。但奇怪的是，那“哲学家”仅微微冷笑，让人把他押送到死牢。
若干悖论（九、布什悖论）
只要是政治家，都好说漂亮话。美国总统布什访问北京大学，回答北大学子诘问有关自由的话题时说：“一个人只要不影响他人的自由，就可以享受个人自由”。这是近乎完美的闪烁着真理光芒的漂亮话。它是不是真理呢？
数学悖论选讲之5当前危机
三、当前危机：罗素悖论1.理发师悖论在某村理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮胡子．．．．．．．．．的人．．村里这样的人刮胡子。
现在问：“理发师是否可．．刮胡子，并且只给以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则，因此它不应该给自己刮胡子；而如果他不给自己刮胡子，那么按照原则他就该为自己刮胡子。
这是著名数学家罗素为了阐述自己发现的集合论的悖论（人称罗素悖论）而创造的一个通俗版本。
2.罗素悖论其实罗素悖论本身也不难理解：我们所见到的集合，大部分都不属于其自身，也就是说不是他本身的元素（这里请分别元素和子集的概念）。
例如｛１，２，３｝不属于．．．它自身；｛三角形｝也不是｛三角形｝的元素等等。
但是也有一些属于其本身的集合。
例如A={所有集合的集合}，则有AA （一种很奇怪的集合吧？）。
下面考虑那些所有．．不属于自身的集合的全体组成的集合．．．．．．．．．．．．．．．．，设为S，则S由一切不是自身元素的集合所组成。
然后罗素问：S是否属于S呢？根据集合元素的确定性（数学上称为排中律），一个元素要么属于某个集合，要么不属于。
因此上述问题是有意义的，但是它的回答却陷入了两难。
如果S属于S，根据S的定义（S包含所有不属于自身的集合），S就不属于S；反之，若S不属于S，同样根据定义，S就属于S。
一言以蔽之：S属于S,当且仅当S不属于S。
3.信仰危机罗素发现这个悖论后极为沮丧：“每天早晨，我面对一张白纸坐在那儿，除了短暂的午餐，我一整天都盯着那张纸。
常常在夜幕降临之际，仍是一片空白……似乎我整个余生都很可能就消耗在这张白纸上。
让人更加烦恼的是，矛盾是平凡的。
我的时间都花在这些似乎不值得认真考虑的事情上”另一位数学家弗雷格在接到罗素的信后惊愕之极，他在自己已处于付印中的《算数的基本规律》第二卷连忙加的补遗中，写下了他的伤心：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。
罗素悖论
第三次数学危机
16级水保一班林南屏
Katalogue
什么是罗素悖论 罗素悖论的例子
罗素悖论的影响
悖论的解决
什么是罗素悖论
发现背景：
20世纪之初，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中， 科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基 本建成。 例如，德国物理学家基尔霍夫(G．R．Kirchhoff)就曾经说过：“物理 学将无所作为了，至多也只能在已知规律的公式的小数点后面加上几个 数字罢了。” 英国物理学家开尔文(L．Kelvin)在1900年回顾物理学的发展时也说： “在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只能做一些零碎的修补 工作了。” 法国大数学家亨利•彭迦莱(Jules Henri Poincaré)在1900年的国际数学 家大会上也公开宣称，数学的严格性，现在看来可以说是实现了。 然而好景不长，时隔不到两年，科学界就发生了一件大事，这件大 事就是罗素(Russell)悖论的发现。
NBG公理系统
冯· 诺伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系统等。在该公理系统 中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称 为类，但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以 至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。
悖论的解决
• ZF公理系统：
1908年，策梅罗（Ernst Zermelo）在自己这一原则基础上提出第一 个公理化集合论体系。这一公理系统在通过弗兰克尔（Abraham Fraenkel） 的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在 一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集 合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集； 并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛 盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。
高考数学：一个故事让你彻底了解罗素悖论
2019高考数学：一个故事让你彻底了解罗素悖论在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺非常超群，誉满全城。
我将为本城全部不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人川流不息，自然都是那些不给自己刮脸的人。
可是，有一天，这位理发师从镜子里望见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？假如他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而假如他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
理发师悖论与罗素悖论是等价的：假如把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。
那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里全部不属于自身的集合都属于他。
那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。
反过来的变换也是成立的。
所以罗素悖论用数学式表达是这样子的：设性质P(x)表示“x不属于A”，现假设由性质P确定了一个类A也就是说
“A={x|x?A}”。
那么问题是：A属于A是否成立？首先，若A
属于A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A；其次，若A不属于A，也就是说A具有性质P，而A是由全部具有性质P的类组成的，所以A属于A。
趣味数学-12周
悖论（二）
有个虔诚的教徒，他 在演说中口口声声说 上帝是无所不能的， 什么事都做得到。一 位过路人问了一句话： “上帝能创造一块他自 己也举不起来的石头 吗？” 教徒哑口无言
•
一个男生看见公园里一位美丽的女生， 便想要她的相片，于是他和她说：“我说 一句话，如果这句话是真的，那么你就给 我你的相片，可以吗？”女孩不喜欢眼前 的男生，但是不忍拒绝他，便答应了，她 想：“反正他说什么我都说是假的就好 了。” • 结果男生说了一句话后，女孩把照片 给他了！请问男说了一句什么话使
两两错开一阶梯
“二二二”型
• 对面相隔不相连, • 用于判断对面，相连的一定不是对面。
•
•
识图巧排“7”、“凹”、 “田”。
出现这三个字形状的图形都不是正方 形的展开图。
判断下列图形能不能折成正方体？ (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
考试作弊—— 假分数 八分之七。（成语）—— 七上八下
.七天七夜－－
第 一 组
周长
勤点钞票—— 常数 搬来数一数—— 运算 诊断以后—— 开方
一减一不是零。（打一字）—— 三
第 二 组
一笔债务—— 负数
马路没弯儿—— 直径
双杠—— 等号
1.2.5—— 丢三落四
再见吧，妈妈—— 分母 搞错帐目—— 误差 并肩前进—— 平行 一网打尽—— 整除
第 三 组
你盼我，我盼你—— 相等
一模一样—— 全等
将此图形分成相等的4部分
将此图形分成相等的4部分
一个正方体可以展开成多少种平面 图形？
人类历史上经典的7大悖论
历史上经典的7大悖论包括：1．祖父悖论：这是一种时间旅行的悖论，举例来说，假设你回到过去，在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死，由于祖父母死了，就不会有你的父亲，而没有你的父亲，就不会有你，而你没有出生，那么杀死祖父母的行为就不存在。
这个悖论涉及到时间旅行和因果关系的矛盾。
2．理发师悖论：这是罗素悖论的通俗举例。
假设一个城市里唯一的理发师立下规定：只帮那些自己不理发的人理发。
那么问题来了：理发师应该为自己理发吗？如果理发师不给自己理发，他需要遵守规则，帮自己理发；如果理发师给自己理发，他需要遵守规则，不给自己理发。
这个悖论涉及到自指命题的矛盾。
3．辛普森悖论（Simpson's Paradox）：在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论。
这个悖论涉及到统计推理和因果关系的矛盾。
4．上帝悖论：这个悖论是几个世纪前罗马教廷出的一本书中提出的，用当时最流行的数学推论导出“上帝是万能的”。
一位智者针锋相对地问：“上帝能创造出一块他搬不动的石头吗？”如果教廷回答说能的，那上帝不能搬动他创造的那块石头，所以上帝不是万能的；如果教廷回答说不能，那么上帝不能创造出一块他搬不动的石头，所以上帝也不是无所不能的。
这个悖论涉及到对“万能”和“不可能”的定义及其相互关系的矛盾。
5．外祖母悖论：也叫“祖父悖论”，和祖父悖论类似，也是时间旅行带来的矛盾。
6．摩尔悖论：这个悖论涉及到自指命题的矛盾。
假设一个命题是真的，那么它的逆命题也是真的。
但是，如果一个命题是假的，它的逆命题却不一定是假的。
这个悖论就产生于这种逻辑矛盾。
7．意外绞刑悖论：这个悖论涉及到对“意外”的定义及其与“必然性”的关系的矛盾。
假设一个绞刑犯被判处绞刑，但是他在行刑前突然感到一阵头晕，于是他伸手去扶住绞刑架以免自己摔倒。
这时，执行绞刑的人问他：“你知道你为什么要被绞刑吗？”绞刑犯回答：“当然知道，我不是因为偷窃而杀人。
有 趣 的 悖 论
竭诚为您提供优质的服务，优质的文档，谢谢阅读/双击去除有趣的悖论有趣的悖论孙宏涛10月16日一、罗素悖论一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发。
于是有人问他：“您的头发谁给理呢？”理发师顿时哑口无言。
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。
到十九世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上了。
就在这时，集合论接连出现了一系列自相矛盾的结果。
特别是1902年罗素提出理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。
于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大批新成果，也带来了数学观念的革命。
二、说谎者悖论：“我正在说的这句话是慌话。
”公元前四世纪的希腊数学家欧几里德提出的这个悖论，至今还在困扰着数学家和逻辑学家。
这就是著名的说慌者悖论。
类似的悖论最早是在公元前六世纪出现的，当时克里特岛哲学家爱皮梅尼特曾说过：“所有的克里特岛人都说慌。
”在中国古代《墨经》中，也有一句十分相似的话：“以言为尽悖，悖，说在其言。
”意思是：以为所有的话都是错的，这是错的，因为这本身就是一句话。
说慌者悖论有多种变化形式，例如，在同一张纸上写出下列两句话：下一句话是慌话。
上一句话是真话。
更有趣的是下面的对话。
甲对乙说：“你下面要讲的是‘不’，对不对？请用‘是’或‘不’来回答！” 还有一个例子。
有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。
一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？” 三、芝诺悖论：阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。
一天他正在散步，忽然发现在他前面一百米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。
乌龟说：“阿基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了十米。
高考数学：一个故事让你彻底了解罗素悖论
2019高考数学：一个故事让你彻底了解罗素悖论在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。
我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。
可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。
理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。
那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。
那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。
反过来的变换也是成立的。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
罗素悖论 1
罗素悖论由英国哲学家罗素针对（集A合A论）所提出来的一条逻辑悖论，描述为：某些（集A合）是以自身做为元素的，例如所有概念的（集A合）F，其（集A合）自身F也是一个概念，所以该（集A合）F是自身中的一个元素；某些（集A合）是不以自身做为元素的，例如所有苹果的（集A合）G，其（集A合）自身不是苹果，所以该（集A合）G不是自身中的一个元素。
由此可知，任何一个（集A合），要么就是属于自身的，要么就是不属于自身的。
现构造出一个（集A合）R，R以所有自身不属于自身的（集A合）作为元素，问：R是属于自身的？还是不属于自身的？如果R是属于自身的，则根据R的定义，R不能做为R中的元素，所以R是不属于自身的；而如果R是不属于自身的，则根据R的定义，R一定是R中的元素，则R是属于自身的，由此构成悖论。
罗素悖论之所以称为是悖论，是因为它违反了形式逻辑中的矛盾律：矛盾律又称不矛盾律。
它通常被表述为A不是非A，或A不能既是B 又不是B。
要求在同一思维过程中，对同一对象不能同时作出两个矛盾的判断，即不能既肯定它，又否定它。
在传统逻辑里，矛盾律首先是作为事物规律提出来的，意为任一事物不能同时既具有某属性又不具有某属性。
它作为思维规律，则是任一命题不能既真又不真。
在罗素悖论中，罗素集R既属于自身又不属于自身，便是违反了矛盾律。
在形式逻辑中，同一律，矛盾律，排中律是形式逻辑的三大基本规律，罗素悖论违反了矛盾律而又得不到解决，所以对形式逻辑造成了巨大的冲击，被称为是第三次数学危机然尔人们只知道罗素悖论是违反了矛盾律，却不知道，这个悖论首先是违反了同一律，才会导致悖论，如果不违反同一律，则没有任何悖论可言。
说明如下：罗素悖论利用概括原则断言了存在这样的（集A合）：自身属于自身的（集A合），即（集A合）Z的自身是（集A合）Z中的一个元素。
在ZF公理系统中，是用正则公理排除掉了这种（集A合），而实际上，不用任何的限制公理，仅用逻辑方法便可以说明：这一类（集A 合）（自身属于自身的集A合）是无法构造出来的，如果这类（集A 合）被构造出来，必然会违反逻辑同一律。
罗素悖论
罗素悖论1.【罗素悖论简介】1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。
此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。
这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。
触发了第三次数学危机。
【什么是悖论】解释让我们先了解下什么是悖论。
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论是自相矛盾的命题。
即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
主要形式悖论有三种主要形式：1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
【罗素悖论定义】把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：P={A∣A∈A}Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号，因为实在找不到）问，Q∈P 还是Q∈Q？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A￠A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。
若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=Φ，所以Q￠Q，还是矛盾。
这就是著名的“罗素悖论”。
罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。
罗素悖论的解决
罗素悖论的解决
罗素悖论的意思是这样的：
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。
我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。
可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
这个问题可以这样解决：
理发师表示，他的原则是：他给不自己刮脸的人刮脸。
所以如果他的原则也针对他自己，那么假如他给自己刮脸，那么就不符合他的原则，而假如他不给自己刮脸，那么按照他的原则他又必须给自己刮脸。
这样就出现了悖论。
呵呵，这就是不顾他的原则的本意来推广他的原则的结果！事实上，他的原则的本意是针对别人的，而不是针对他自己的。
所以是按照他的原则的本意，是不存在悖论的。
逻辑悖论例子
逻辑悖论例子逻辑悖论是指在一定的逻辑框架内，因为某些语言表达的特殊性质，出现了不合理、自相矛盾的情形。
逻辑悖论在哲学、数学等学科领域经常出现，下面将介绍一些著名的逻辑悖论。
一、巴贝尔塔“巴贝尔塔”是指那些让人费解、无法真正说清楚的句子。
“这句话是假的”这句话既不是真也不是假，类似的例子还有“这句话不能被证明”“我正在说谎”等等。
二、史帝文森悖论由英国逻辑学家史帝文森发现，输入一个谎言检测程序，如果该程序检测到一个句子是谎言，则该句话的意义为真假都成立。
如果使用一个检测程序检测“我正在撒谎”，则该程序应该会认为这是一个真话，但事实上这是一个谎言。
三、罗素悖论罗素悖论起源于英国数学家伯特兰·罗素提出的一个经典的问题：是否存在一个集合，它包含所有的不包含自身的集合？如果假设存在这样的集合，那么它就是自己的一个元素，但这与它不包含自身的定义相矛盾；如果假设不存在这样的集合，那么这个集合不属于它自己，但根据定义，它包含了所有不包含自身的集合，这也与定义相矛盾。
罗素悖论出现了。
四、贝利帕齐悖论贝利帕齐悖论是由美国逻辑学家霍华德·贝利帕齐提出的一个逻辑悖论。
它可以表示成如下的形式：在一个小镇里，只有一个理发店，这家理发店只有一个理发师。
理发师只会给那些不给自己理发的人理发。
这个时候，问题来了：理发师会给自己理发吗？这个问题似乎没有简单的答案，如果理发师给自己理发，那么他就违反了他自己的规则，因此不应该给自己理发，但如果他不给自己理发，那么他就是那些不给自己理发的人之一，这就违反了他的规则，也不应该给别人理发。
这个问题并没有合理的答案。
五、费雷德悖论这个悖论的解释是：既然我们重新放回了一个道具，那么下一次取出的道具与上一次的道具颜色是完全独立的。
每一次取道具的概率都是1/2，最终抽出与前一次不同颜色的道具的概率仍然为1/2。
但这个悖论挑战了我们直觉上的思维方式，让我们产生了迷惑和困惑。
六、索格勒缪尔逊悖论索格勒缪尔逊悖论是1975年由美国动物学家索格勒提出的。
有关无限的悖论（罗素悖论）
有关无限的悖论（罗素悖论）
─选自《什么是数学》
虽然直觉主义者的那种不妥协立场对大多数数学家来说是太极端了，但是当美妙的无限集理论中出现了一些逻辑上明显的悖论时，集论受到了严重的威胁。
人们很快就发现，毫无约束地滥用“集合”的概念必然引出矛盾。
有一个由罗素（R.Russell）揭出的悖论可叙述如下。
大多数集合不包含它自身作为元素。
例如，全体整数集A只包含数为元素;A本身，不是一个整数，而是一个整数集，A并不包含它自身为元素。
这样的集我们可以称之为“普通的”。
有许多集可能包含它自身为元素，例如集S定义如下：“凡是可以用不超过三十个字来定义的集合是S的元素。
”可以看到，S是包含了它自身为一元素的。
这样的集我们可以称之为“非普通集”。
但无论如何，多数集将是普通的。
为了排除“非普通”集的反常状态，我们可以只着眼于所有普通集组成的集，称它为C。
集合C的每一个元素本身是一个集合，而且事实上是一个普通集。
现在产生了一个问题上：C本身是普通集还是非普通集？它必须是这二者之一。
如果C是普通集，由于C定义为包含所有普通集，它包含了它本身作为一个元素。
这样的话，C必须是非普通集，因为非普通集是那些包含了它本身为元素的集。
这是一个矛盾。
因此C必须是非普通集。
但这时C包含了一个非普通集（即C本身）为其元素，这与C只包含普通集的定义相矛盾。
因此，无论哪一种情形，仅仅是C的存在，就已经使我们陷入矛盾。
罗素悖论
罗素悖论的通俗形式，即“理发师悖论”： 一天，西班牙萨维利亚村理发师挂出一块招牌： “村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发， 我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的 头发由谁理呢 ? ”理发师顿时哑口无言。
罗素（Russell）悖论的数学形式： 罗素悖论是集合论悖论中形式最简单、意义 最强的一个。1901年6月，罗素考虑了康托 尔悖论，通过分析其结构后于1902年发现 了罗素悖论：令Ｓ（我们称作罗素集）是 所有不以自身为元素的集合所构成的一个 集合，即{s|s is not a member of s}， 例如{汤勺的集合}就是所有那些不是汤勺 的东西构成的集合；{我班同学的集合}就 是所有那些不是我班同学所构成的集合。
集合论悖论产生的根源在哪里?如何解决？
以Brouwer为代表的直觉主义认为问题出在无 限集合，他们从直觉主义哲学观出发，认 为数学是一个创造过程，只能接受越来越 大的有限集合,而不能接受无限集合。以自 然数为例，只能承认有越来越大的自然数， 因此任何时候只能有自然数的有限集合， 而不能承认有全体自然数这样一个无限集 合。
Russell和其他一些人认为集合论悖论产生的原因在 于所谓的“恶性循环”（涉及自身），“恶性循 环”是指一个集合中某些元素的定义中用到了这 个集合本身,每个集合论悖论中都有这样的定义存 在。为此，Russell根据排除“恶性循环”的原则， 提出了类型论。类型论的主要思想是将集合论讨 论的对象分成不同的类型，只允许相同的类型的 元素组成集合。排除“恶性循环”的主张过于激 烈，因为大多数这样的定义并不产生矛盾，要把 这些证明和定义全部改成没有“恶性循环”的证 明和定义，不但相当复杂而且有些是做不到的。 实际上,类型论也没有排除所有的“恶性循环”。
集合
1, 4, 9,16, 25 1,3,„,2n 1,„
如何表示小于5的实数 的集合呢？
由于小于5的实数有无穷多个，而且无法一一 列举出来，因此这个集合不能用列举法表示．
但是可以看出，这个集合中的元素满足性质： （1） 集合中的元素都小于5； （2） 集合中的元素都是实数．
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示， 写作 x x 5, x R .
a不是集合A中的元素，记作 a A （读作“a不属于A”）．
例1 判断下列对象是否可以组成集合：
⑴ 某学校数控专业的全体学生；
解 （2） x 数控专业的学生是确定的对象，所以可以组成 集合；
2
-1 = 0 的所有实数根；
， 解 解方程 x 2 1 0 得 x1 1, x2 1 即方程的解是确定的对象，所以可以组成集合．．
答案
不是． 集合 0 表示只含有一个元素即数字0
的集合．而 表示空集，是不含任何
元素的集合.
1．用列举法表示下列集合:
x 2 3x 4 0的解集； 1, 4 ⑴ 方程 2, 4, 6, , 2n, ⑵ 正偶数集合；
⑶ 1,4,9,16,25所组成的集合； ⑷ 正奇数集合．
数集
由数组成的集合叫做数集． 常用的几个数集，用固定的英文大写字母来表示：
*
常用的数集 自然数集 正整数集 整数集合 有理数集 实数集
固定英文大写字母
N N * 或N Z Q R
1．下列对象是否能确定一个集合：
⑴ 全体大于10的自然数；
⑵ 与1接近的实数．
是 不是
2． 用“”、“”填空：
利用对集合中的元素所具有的特定性质的描述 表示集合的方法叫做描述法.元素x满足性质p(x)的 集合M可以表示为 M x p( x) .
集合悖论举例说明
集合悖论举例说明
集合悖论是指在集合论的研究中出现的悖论性问题，主要涉及到自指和无限递归。
罗素悖论是最著名的集合悖论之一。
罗素悖论（Russell's Paradox）是由英国哲学家、数学家贝特兰·罗素于1901年提出的。
这个悖论涉及到一个特殊的集合，它包含了所有不包含自己的集合。
换句话说，如果一个集合不是它自己的成员，那么这个集合就是这个特殊集合的成员。
现在问题来了：这个特殊集合本身是不是它自己的成员呢？
如果这个特殊集合是它自己的成员，那么根据定义，它不应该包含自己；而如果这个特殊集合不是它自己的成员，那么根据定义，它应该包含自己。
这就导致了一个矛盾，无论如何都无法解决。
罗素悖论揭示了朴素集合论（naïve set theory）中的一个根本问题，即集合定义过于宽泛，导致了自指和悖论的出现。
为了解决这个问题，数学家们提出了多种形式化的集合论，例如Zermelo-Fraenkel集合论（ZF），它通过严格的公理系统来定义集合，从而避免了类似悖论的产生。