二元一次不等式组与平面区域1(修改)

题型四： 题型四：综合应用 x-y+5≥0
例 5、 求二元一次不等式组 y≥2
0≤x≤2
y
5
C x-y+5=0 D
所表示的平面区域的面积
解析： 解析： 如图，平面区域为直角梯形, 如图，平面区域为直角梯形,易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5) 所以AD=3,AB=2,BC=5 所以AD=3,AB=2,BC=5 故所求区域的面积为 1 S= (3 + 5)× 2 = 8 2 -5
x + 2 y ≤ 8, 4 x ≤ 16, 4 y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0.
y
4
y=3
2
o
2
4
6
8
xHale Waihona Puke Baidu
x + 2y −8 = 0
x=4
若生产一件甲产品获利2万元, 若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品 获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 件时， 设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得 的利润为 z ，则 z = 2 x + 3 y.
区域内的点
直线上的点的坐标满足x+y-1=0， 直线上的点的坐标满足x+y-1=0，那么直 x+y 线两侧的点的坐标代入x+y x+y线两侧的点的坐标代入x+y-1中，也等于 0吗?先完成下表，再观察有何规律呢？ 先完成下表，再观察有何规律呢？ y 点集{(x,y)|x+y {(x,y)|x+y1、点集{(x,y)|x+y-1>0}
x + 2 y ≤ 8, 4 x ≤ 16, 4 y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0.
y
4
y=3
2
o
2
4
6
8
x
x + 2y −8 = 0
x=4
设甲、乙两种产品分别生产x 设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组： 条件可得二元一次不等式组：
满足线性约束条 件的解 ( x , y ) 叫做 可行解. 可行解.
y
4
由所有可行解组 成的集合叫做可行域 可行域. 成的集合叫做可行域. 使目标函数取得 最大值或最小值的可 行解叫做线性规划问 题的最优解 最优解. 题的最优解.
2x + 3 y = 0
2
M
y=3
o
2
4
6
8
x
x + 2y −8 = 0
x-y+5≥0 y+5 0 x+y≥0 x+y 0 x≤3 3 分析： 画二元一次不等式组表 由于所求平面区域的点的坐
示的平面区域的步骤： 示的平面区域的步骤： 标需同时满足两个不等式， 标需同时满足两个不等式， 因此二元一次不等式组表示 的区域是各个不等式表示的 区域的交集 交集， 公共部分。 区域的交集，即公共部分。
二元一次不等式（组） 一次不等式（ 与平面区域
人教A版必修5 人教A版必修5 §3.3.1
一 问题 想 在平面直角坐标系中，直线x+y-1=0 在平面直角坐标系中，直线x+y x+y？ 将平面分成几部分呢？ 将平面分成几部分呢？
y
1
想
答：分成三部分: 分成三部分: （1）点在直线上
1
x （2）点在直线的右上方 x+y-1=0 （3）点在直线的左下方
x=4
在线性约束条件
x + 2 y ≤ 8, 4 x ≤ 16, 4 y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0.
下，
的最大值； 求（1）目标函数 z = x + 2 y 的最大值； （2）目标函数 z = x − y 的最大值和最小值. 的最大值和最小值.
y
4
x− y=0
x-y=0 x 1
（2，-1） ， ） A
变式演练
x-y≥0 满足约束条件： 设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0 满足约束条件 y ≥ -1
1 -2
o
-1
1
x
x+y-1≤0 x+y2y+2＞ x-2y+2＞0 y≥y≥-1
方法总结
根据平面区域写出二元一次 不等式（ 不等式（组）的步骤： 步骤：
求边界直线的方程 代入区域内的点定号 写出不等式（ 写出不等式（组）
题型五： 题型五：综合应用
试确定m的范围，使点（1，2）和 例 4、 试确定m的范围，使点（ 3x-y+m=0的异侧。 （1，1）在3x-y+m=0的异侧。 变式:若在同侧 同侧， 的范围又是什么呢？ 变式:若在同侧，m的范围又是什么呢？
0≤x≤2
C
y=a y= y=7 y=5 y=a y=
所表示的平面区域是一个三角形， 所表示的平面区域是一个三角形， 求a的取值范围
答案:5≤a 答案 5≤a<7
-5
o
2 x=2
x
y=a y=
某工厂用A 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件 两种配件生产甲、乙两种产品, 甲产品使用4 配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4 甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配 件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16 2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个 配件和12 12个 件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配 按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? 件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
方法总结： 方法总结：
典例精析 题型一： 题型一：画二元一次不等式表示的区域 例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域
y
x+4y>4
（1）x +4y>4 变式： 变式： （2）x-y-4<0 （3）x-y-4>0
x+4y=4
o
x
x+4y<4
y
o
x-y-4>0 x-y-4=0
x
题型二： 题型二：画二元一次不等式组表示的区域 例2、画出不等式组表示的平面区域。 画出不等式组表示的平面区域。 y
右上方点 左下方点
1
0
1
x x+y-1=0
同侧同号， 同侧同号，异侧异号
画二元一次不等式表示的平面区域的步骤： 画二元一次不等式表示的平面区域的步骤： 1、一般地，在平面直角坐标系中,二元一次不等式 、一般地，在平面直角坐标系中, +C=0某一侧 某一侧所有点组成的 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 线定界（注意边界的虚实） 1、+C> 表示直线A 线定界（注意边界的虚实） 平面区域，我们把直线画成虚线 以表示区域不包含 虚线, 平面区域，我们把直线画成虚线,以表示区域不包含 边界; +C≥ 表示的平面区域包括边界， 包括边界 边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界， 把边界画成实线 实线。 把边界画成实线。 由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C Ax+By+C中 由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中，所得 2、 、 点定域（代入特殊点验证） 2、点定域（代入特殊点验证） 实数符号相同， 实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个 特别地， C≠0时常把原点作为特殊点 时常把原点作为特殊点。 特别地，当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中，从所得结果的正负即可 特殊点代入Ax+By+C中 从所得结果的正负即可 Ax+By+C 正负 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。 Ax+By+C>0表示哪一侧的区域 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
解析： 解析： 由于在异侧，则（1，2）和（1，1） 由于在异侧，则（1，2）和（1，1） 解析： 由于在同侧， 由于在同侧， 代入3x-y+m 所得数值异号， 代入3x 所得数值异号 代入3x3x同号， 代入3x-y+m 所得数值同号， 3x 所得数值异号， 同号 则有（3-2+m）（3-1+m）＞ 则有（3-2+m）（3-1+m）<0 0 则有（ 2+m）（ 1+m） ）（3 则有（ 2+m）（3 1+m） ）（ 所以（m+1）(m+2)＞ 所以（m+1）(m+2)＞ 0 所以（m+1）(m+2) <0 所以（m+1） 即：-2<m<-1m＞-1 <即：m2<m<或 <-2 -
0
?不等式x+y-1＞0对应平面内哪部分的点呢？ 不等式x+y x+y对应平面内哪部分的点呢？
探索规律
表示直线x +y－1=0 （1,1） ） （ 右上方的平面区域0,0） 的平面区域； 右上方的平面区域； ） ） （2,0） ） 点集{(x,y)|x+y（-1,0） {(x,y)|x+y2、点集{(x,y)|x+y-1<0} 代入点的坐标 + 表示直线x ） y－1=0 ） （2,1） （-1,1） 左下方的平面区域 的平面区域。 左下方的平面区域。 ） （-1,-1） （2,2） ） 直线x+y 正 x+y-1=0叫做这两个 3、直线x+y-1=0叫做这两个 负 x+yx+y-1值的正负 区域的边界 边界。 区域的边界。
1
(A)
2
χ
(B)
2
χ
(C)
(D)
题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（ 题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组） 例3、写出表示下面区域 、 的二元一次不等式组
y
(0,1)
x
(-4,-1) (2,-1)
典例精析 题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（ 题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）
-5
x-y+5=0
5
o
x
4
x+y=0 x=3
跟踪练习
如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)＞ 如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)＞0 (x 的点(x,y)所在区域应为： (x,y)所在区域应为 的点(x,y)所在区域应为：( )
y 1 O y 1 O 2 χ 2 χ
B y
O y 1 O
2A
B
2 x=2
y=2
o
x
题型四： 题型四：综合应用 x-y+5≥0
变式： 若二元一次不等式组 y≥a 变式：
0≤x≤2
所表示的平面区域是一个三角形， 所表示的平面区域是一个三角形， 求a的取值范围
变式训练 题型四： 题型四：综合应用 x-y+5≥0
y
7 5D
x-y+5=0
变式： 若二元一次不等式组 y≥a 变式：
例3、写出表示下面区域的二元一次不等式 y 解析： 解析：边界直线方程为 x+yx+y-1≤0 紫色区域 x+yx+y-1=0 代入原点（ 代入原点（0，0) 绿色区域 -1x-0 2y+2＞ 0+0得0+0 ＜ 2y+2＞0 即所求不等式为 蓝色区域 -1≤0 -1 y≥x+y- y≥ x+y 黄色区域
y
2x + 3 y = 0
4 B 2 N M
y=3
o
2
4A
6
8
x
x + 2y −8 = 0
x=4
x + 2 y ≤ 8, 4 x ≤ 16, 4 y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0.
z = 2x + 3 y
不等组（ 不等组（1）是一组对变量 x、y的约束条件，这组约束条 的约束条件， 的一次不等式， 件都是关于 x、y 的一次不等式， 所以又称为线性约束条件 线性约束条件. 所以又称为线性约束条件.
把有关数据列表表示如下: 把有关数据列表表示如下:
甲产品 (1件) 件 4 0 1 乙产品 (1件) 件 0 4 2 资源限额
资源
A种配件 种配件 B种配件 种配件
≤16 ≤12 ≤8
所需时间
设甲、乙两种产品分别生产x 设甲、乙两种产品分别生产x、y件.
设甲、乙两种产品分别生产x 设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组： 条件可得二元一次不等式组：
函数 z = 2x + 3 y 称为目标函 数,又因这里的 z = 2x + 3 y 是 的一次解析式, 关于变量 x、y 的一次解析式, 所以又称为线性目标函数 线性目标函数. 所以又称为线性目标函数.
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题, 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题, 统称为线性规划问题. 线性规划问题 统称为线性规划问题.
B
x + 2y = 0
2
N
M
y=3
o
2
4A
6
8
x
x + 2y −8 = 0
x=4
举一反三
x-y≥0 满足约束条件： 设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0 满足约束条件 y ≥ -1
求z=2x-y最大值与最小值 。 z=2x-
y y=2x x+y=1 1 0
C
①作可行域（如图） 解： ②由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动 直线y=2x，若直线截距-z取得最大值， 则z取得最小值；截距-z取得最小值， y=-1 则z取得最大值. B (-1,-1) ③因此z在A（2，-1）处取得最大值， 即Zmax=2×2+1=5； 在B（-1，-1）处取得最小值， 即Zmin=2×（-1）-（-1）=-1。 ④综上,z最大值为5；z最小值为-1.